BÀI TẬP NGUYÊN HÀM HỬU TỶ
(Dùng phương pháp hệ số bất định đưa về tổng )
x 2 − 5x + 9
1. ∫ 2
dx
x − 5x + 6
2.
2 x 2 + 41x − 9
∫ x 3 − 2 x 2 − 11x + 12 dx
3.
1
∫ x 3 − 2 x 2 + x dx
5x 2 + 6 x + 8
6.
∫ ( x − 3) ( x + 1)
7.
4 x + 11
∫ x 2 − 5x + 6dx
8.
9.
4.
2
∫ (x
1
2
+ 3x + 2
)
2
dx
2
5.
x4 +1
∫ x 6 − 1 dx
cot x
∫ 1 + sin
9
x
dx
dx
∫ x 4 − 4x 2 + 3
x2 −1
∫ x 4 + 2 x 3 − x 2 + 2 x + 1 dx
15.
dx
∫ x (1 + x )
4
2
x2
6x
∫ x + 1 dx
16.
∫ (1 − x )
x +1
dx
11. ∫
x(1 + xe x )
17.
∫ x( x
18.
x4 +1
∫ x 6 − 1 dx
10.
12.
∫
dx
14.
3
x 4 − 6 x 3 + 12 x 2 + 6
∫ x 3 −6 x 2 + 12 x − 8 dx
13.
sin x + cos x
dx
3 + sin 2 x
2 2
dx
dx
10
+ 1)
HD:
1.
x4 +1
( x 4 + x 2 + 1) − x 2
1
x2
=
=
−
x 6 − 1 ( x 2 − 1)( x 4 + x 2 + 1) x 2 − 1 x 6 − 1
•
1
1 1
1
=
−
x −1 2 x −1 x + 1
•
x2
đặt t = x 3
x6 −1
2.
3.
2
x 2 − 5x + 9
1
1
= 1 + 3
−
2
x − 5x + 6
x−3 x−2
2 x 2 + 41x − 9
A
B
C
=
+
+
3
2
x − 2 x − 11x + 12 x − 1 x + 3 x − 4
•
2 x 2 + 41x − 9 = A( x + 3)( x − 4) + B( x − 1)( x − 4 ) + C ( x − 1)( x + 3)
Gán x=1,x= -3 ,x=4 tìm A ,B ,C
1
1
A
B
C
=
= +
+
như bài 3 5.
2
2
x x + 1 ( x + 1) 2
x − 2 x + x x( x + 1)
4.
3
x 4 − 6 x 3 + 12 x 2 + 6
− 8x + 6
= x+
3
2
x − 6 x + 12 x − 8
( x − 2) 3
− 8x + 6
A
B
C
=
+
+
2
MS
x − 2 ( x − 2)
( x − 2) 3 tìm A,B,C
•
5x 2 + 6 x + 8
6.
7.
8.
9.
( x − 3) ( x + 1)
2
A
B
C
D
+
+
+
2
( x − 3) ( x − 3) x + 1 ( X + 1) 2
=
2
4 x + 11
A
B
=
+
x − 5x + 6 x − 3 x − 2
2
(x
1
+ 3x + 2
2
)
2
1
1
=
−
x + 1 x + 2
2
1
1
1 1
1
= 2
= 2
− 2 10.
2
2
x − 4x + 3
x − 1 x − 3 2 x − 3 x − 1
(
4
6x 3
(
)
= 6 x 2 − x +1 −
x +1
11.
)(
)
6
x +1
x +1
e x ( x + 1)
=
x 1 + xe x
e x x 1 + xe x
(
)
(
đặt t = 1 + xe x
)
⇒
1
1
−
t −1 t
π
π
2 cos x − dx
2 cos x − dx
sin x + cos x
( sin x + cos x ) dx =
4
4
dx =
=
12..
đặt
2
3 + sin 2 x
π
π
2 + ( sin x + cos x )
21 + cos 2 x − 2 2 − sin 2 x −
4
4
π
t = sin x −
4
13.
cot xdx
cos xdx
1
t8
=
=
−
với t=sĩn
1 + sin 9 x sin x 1 + sin 9 x t 1 + t 9
(
1
1 − 2
x
x −1
dx =
dx
2
x + 2x − x 2 + 2x + 1
1
1
x + + 2 x + − 3
x
x
2
14.
)
4
3
t = x+
1
x
15.
16.
1
1
1
1
= 4 − 2 +
2
x 1+ x
x
x
1+ x2
4
(
)
x2
(1 − x )
2 2
dx =
1
(1 − x )
2 2
2
1
•
17.
18.
(
)
x x +1
10
=
x
1
1− x2
1
1 1
1
=
−
x − 1 2 x − 1 x + 1
•
1
−
(1 − x )
2 2
10
(
x9
x 10 + 1
)
=
1 1
1
2
+
−
2
2
4 ( x − 1)
( x + 1) ( x − 1)( x + 1)
đặt t = 1 + x 10
x4 +1
1
x2
=
−
x6 −1 x2 −1 x6 −1
Nguyễn văn Phép
Gv. PTTH BÌNH MINH