CHƯƠNG 4. GIỚI HẠN HÀM SỐ TẬP 1

NGUYỄN BẢO VƯƠNG.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489

GIỚI HẠN HÀM SỐ
TẬP 1
220 BÀI TẬP TRẮC GIỚI HẠN HÀM SỐ CÓ LỜI
GIẢI CHI TIẾT

/>
ALBA-CHƯ SÊ-GIA LAI


NGUYỄN BẢO VƯƠNG

CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

CHƢƠNG IV: GIỚI HẠN
TẬP I. GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ

GIỚI HẠN DÃY SỐ
1. Giới hạn hữu hạn của dãy số
1.1. Định nghĩa:

 Dãy số (un ) được gọi là có giới hạn bằng 0 khi n tiến ra dương vô cực nếu với mỗi số dương nhỏ tuỳ ý
cho trước, mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng n|o đó trở đi, đều có giá tri tuyệt dối nhỏ hơn số
dương đó. Kí hiệu: lim un  0 .Hay là: lim un  0 khi và chỉ khi với mọi   0 nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự
x 

x 0

nhiên n0 sao cho: un   , n  n0 .

 lim un  a  lim  un  a   0 , tức là: Với mọi   0 nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên n0 sao cho
x 

x 

un  a   , n  n0 .
Dãy số (un) có giới hạn là số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.
1.2. Một số giới hạn đặc biệt

 lim

1
 0 với k 
nk

*

 Nếu q  1 thì lim qn  0
n 

 Nếu un  c (với c là hằng số) thì lim un  lim c  c
n

n

Chú ý: Ta viết lim un  a thay cho cách viết lim un  a .
n

2. Một số định lí về giới hạn

Định lí 1. Nếu dãy số (un) thỏa un  vn kể từ số hạng n|o đó trở đi v| lim vn  0 thì lim un  0 .
Định lí 2. Cho lim un  a, lim vn  b . Ta có:

 lim(un  vn )  a  b
 lim(un  vn )  a  b
 lim(un .vn )  a.b

lim



un a
 (b  0)
vn b

 Nếu un  0 n thì lim un  a
3. Tổng của CSN lùi vô hạn
Cho CSN (un ) có công bội q thỏa q  1 . Khi đó tổng

S  u1  u2  ...  un  .... gọi là tổng vô hạn của CSN và
S  lim Sn  lim

u1 (1  qn )
u
 1 .
1 q
1 q

4. Giới hạn vô cực
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA

1


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

NGUYỄN BẢO VƯƠNG

4.1. Định nghĩa:

 lim un    với mỗi số dương tuỳ ý cho trước , mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng n|o đó
n

trở đi, đều lớn hơn số dương đó .

 lim un    lim  un    .
n

n

4.2. Một số kết quả đặc biệt

 lim nk   với mọi k  0
 lim qn   với mọi q  1 .
4.3.Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cựC.
Quy tắc 1: Nếu lim un   , lim vn   thì lim(un .vn ) được cho như sau;

lim un

lim vn

lim(un vn )

























Quy tắc 2: Nếu lim un   , lim vn  l thì lim(un .vn ) được cho như sau;
Dấu của l

lim un

lim(un vn )

























Quy tắc 3: Nếu lim un  l , lim vn  0 và vn  0 hoặc vn  0 kể từ một số hạng nào dó trở đi thì lim

un
vn

được coi như sau;
Dấu của l

Dấu của vn

























lim

un
vn

Vấn đề 1. Tìm giới hạn bằng định nghĩa
Phƣơng pháp:

 Để chứng minh lim un  0 ta chứng minh với mọi số a  0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số na sao cho

un  a n  na .
 Để chứng minh lim un  l ta chứng minh lim(un  l)  0 .

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA

2


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

NGUYỄN BẢO VƯƠNG

 Để chứng minh lim un   ta chứng minh với mọi số M  0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên nM
sao cho un  M n  nM .

 Để chứng minh lim un   ta chứng minh lim(un )   .
 Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó l| duy nhất.
Các ví dụ

Ví dụ 1. Chứng minh rằng:
1. lim

n2
1
n1

2. lim

n2  1 1

2n 2  1 2

3. lim

1  2n
n2  1

 2

Lời giải.
1. Với a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na 

1
 1 , ta có:
a

n2
1
1

1 

 a với n  na
n1
n  1 na  1
Suy ra lim

n2
n2
 1  0  lim
 1.
n1
n1

2. Với a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na 

3
 1 , ta có:
a

n2  1 1
3
3
  2
 2
 a với n  na
2
2
2n  1
n  1 na  1

Suy ra lim

n2  1 1
n2  1 1
  0  lim 2
 .
2
2n  1 2
2n  1 2

3. Với a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na 

1  2n
n 1
2

2 

Suy ra lim

1  2 n  2 n2  1
n 1
2

1  2n
n 1
2



 2  0  lim

9
 1 , ta có:
a2

1  2n  2(n  1)
n 1
2

1  2n
n2  1



3
n 1
2



3
n 1
2
a

 a với n  na .

 2 .

Ví dụ 2. Chứng minh rằng dãy số (un ) : un  ( 1)n không có giới hạn.
Lời giải.
Ta có: u2n  1  lim u2n  1; u2n1  1  lim u2n1  1
Vì giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất nên ta suy ra dãy (un) không có giới hạn.
Ví dụ 3. Chứng minh các giới hạn sau:
1. lim

n2  1
 
n

2. lim

2n

 

n

Lời giải.
1. Với mọi số thực dương M lớn tùy ý, ta có:
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA

3


NGUYỄN BẢO VƯƠNG

CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

n2  1
M  M2  4
 M  n2  Mn  1  0  n 
n
2

 M  M2  4 
n2  1
Ta chọn n0  
 thì ta có:
 M , n  n0
2
n


Do đó: lim

n2  1
  .
n

2. Với mọi M  0 lớn tùy ý, ta có:

 M  M2  8 

 M  n M n 2  0  n  


2
n




n2

2

2


n2
M  M2  8  

 thì ta có:
 M , n  n0
Ta chọn n0  

 
2
n





Do đó: lim

2n
n

  .

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1. Giá trị của lim

1
bằng:
n1

A. 0

B.1

Lời giải. Với a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na 
Bài 2. Giá trị của lim

1
nk

sin 2 n
n2

C.4
k

D. 5

1
1
1

1
ta có k  k  a n  na nên có lim k  0 .
a
n
na
n

bằng:
B.3

Lời giải. Với a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na 

lim

1
1
1
1

 a n  na nên có lim
 1 ta có
 0.
n  1 na  1
a
n1

B.2

Lời giải. Với a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na 

A. 0

D. 3

( k  *) bằng:

A. 0

Bài 3. Giá trị của lim

C.2

C.5

D. 8

2

sin n
1
1
1


 a n  na nên có
 2 ta có
n

2
n


2
n
2
a
a

sin 2 n
0.
n2

Bài 4. Giá trị của lim(2n  1) bằng:
A. 

B. 

Lời giải. Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn nM 

C.0

D. 1

M 1
2

Ta có: 2n  1  2nM  1  M n  nM  lim(2n  1)   .

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA

4

NGUYỄN BẢO VƯƠNG

Bài 5. Giá trị của lim

1  n2
n

CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

bằng:
B. 

A. 

Lời giải. Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn nM thỏa

 nM 
Ta có:

C.0

D. 1

n 1
M
nM
2
M

M  M2  4
.
2

n2  1
n2  1
 M n  nM  lim
 
n
n

Vậy lim

1  n2
  .
n

Bài 6. Giá trị của lim

2
bằng:
n1
B. 

A. 

C.0

D. 1

C.0

D. 1

2 
Lời giải. Với mọi a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na    1  1
a 
Suy ra

2
2
 a n  na  lim
0.
n1
n1

Bài 7. Giá trị của lim

cos n  sin n
bằng:
n2  1
B. 

A. 
Lời giải. Ta có

cos n  sin n
n

2

Bài 8. Giá trị của lim



2
1
cos n  sin n
mà lim 2  0  lim
0
2
n
n
n2  1

n1
n2

bằng:
B. 

A. 

C.0

D. 1

1


Lời giải. Với mọi số thực a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na   2  1  1
a


Ta có:

n1
1
n1

 a n  na  lim
0.
n2
n
2
n1

Bài 9. Giá trị của lim
A. 

3n3  n
n2

bằng:
B. 

C.0

D. 1

M
Lời giải. Với mọi M  0 lớn tùy ý, ta chọn nM     1
3
Ta có:

3n3  n
1
 3n   M n  nM
n
n2

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA

5


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

NGUYỄN BẢO VƯƠNG

Vậy lim

3n3  n
  .
n2

Bài 10. Giá trị của lim

2n

bằng:

n1

B. 

A. 

C.0

D. 1

2

1

Lời giải. Với mọi M  0 lớn tùy ý , ta chọn nM    3   1
a

n2

Ta có:

1 n

Suy ra lim

 n1 

2n

n1

3
n1

 1  n  3  M n  nM

  .

Bài 11. Giá trị của A  lim

2n  1
n2

bằng:

B. 

A. 

C.2

Lời giải. Với số thực a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na 

D. 1

5
2 2
a

2n  1
5
5
2 

 a n  na
n2
n  2 na  2

Ta có:

Vậy A  2 .
Bài 12. Giá trị của B  lim

2n  3
n2  1

bằng:

B. 

A. 

C.0

Lời giải Với số thực a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na thỏa

 na 
Ta có:

na2  1

a

1  a2  4a  13
a

2n  3
 a n  na  B  0 .
n2  1

Bài 13. Giá trị của C  lim

n2  1
n1

bằng:

B. 

A. 

C.0

Lời giải. Với số thực a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na 
Ta có:

2na  3

D. 1

D. 1

1
1
a

n2  1
n2
1
1 
1 
 a n  na
n1
n1
na  1

Vậy C  1 .
Bài 14. Giá trị của A  lim

n2 n
2n

bằng:

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA

6

CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

NGUYỄN BẢO VƯƠNG

B. 

A. 
Đáp án A 

C.

1
2

D. 1

1
2

Bài 15. Giá trị của B  lim

n sin n  3n2
n2

bằng:

B. 

A. 

C. 3

D. 1

C.0

D. 1

C.0

D. 4

C.0

D. 1

Lời giải B  3
Bài 16. Giá trị của C  lim

1
n 2 n 7
2

bằng:

B. 

A. 
Lời giải C  0
Bài 17. Giá trị của D  lim

4n  1
n  3n  2
2

bằng:

B. 

A. 
Lời giải D  4
Bài 18. Giá trị của lim

an
 0 bằng:
n!
B. 

A. 

Lời giải. Gọi m là số tự nhiên thỏa: m  1  a . Khi đó với mọi n  m  1
m

a  a 
an
a a a
a
a
 . ... .
... 

.

Ta có: 0 
n!
1 2 m m  1 n m !  m  1 
 a 

Mà lim 
 m1



n m

 0 . Từ đó suy ra: lim

n m

an
0.
n!

Bài 19. Giá trị của lim n a với a  0 bằng:
B. 

A. 

C.0

D. 1

Lời giải. Nếu a  1 thì ta có đpcm

 Giả sử a  1 . Khi đó: a  1 




n



n

a  1   n




n



a 1

Suy ra: 0  n a  1 

a
 0 nên lim n a  1
n

 Với 0  a  1 thì

1
1
 1  lim n  1  lim n a  1 .
a
a

Tóm lại ta luôn có: lim n a  1 với a  0 .

Vấn đề 2. Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản
Phƣơng pháp:
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA

7


NGUYỄN BẢO VƯƠNG

CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

Sử dụng c{c định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.

 Khi tìm lim

f (n)
ta thường chia cả tử và mẫu cho n k , trong đó k là bậc lớn nhất của tử và mẫu.
g(n)

 Khi tìm lim  k f (n)  m g(n)  trong đó lim f (n)  lim g(n)   ta thường tách và sử dụng phương ph{p


nh}n lượng liên hơn.
Các ví dụ

Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau :
1. A  lim

n 1  3  5  ...  (2n  1)

2. B  lim

2n  1
2

1  2  ...  n  n
3

1  2 2  ...  n2  2n
2

Lời giải.
1. Ta có: 1  3  5  ...  2n  1  n2
Suy ra A  lim

n2
 lim
2n2  1

2. Ta có: 1  2  ...  n 

1
1
2 2
n



1
.
2

n(n  1)
;
2
n(n  1)(2n  1)
6

12  22  ...  n2 


1
n2  1  
n
n(n  1)

 n
n
2

2
Suy ra : B  lim
 lim

n
(
n

1)(2
n

1)

1

1

3
3
 2n
n  1   2  
3
6
n 
n

 2n
6

3

1
1
2
.
1
2
3

Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau :


1 
1
1. C  lim  1  2  1  2
3
 2 

 
1
 ...  1  2
  n





 1
1
1

1 


 ... 
2. D  lim 

n(n  1) 
 1.2 2.3 3.4

Lời giải.
1. Ta có: 1 

1 ( k  1)( k  1)
nên suy ra

k2
k2


1 
1 
1
 1  2  1  2  ...  1  2
2
3
n


 
Do vậy C  lim

2. Ta có

 1.3 2.4 (n  1)(n  1) n  1

  2 . 2 ...
2n
n2
 2 3

n1 1
 .
2n
2

1
1
1
1
1
1
1
1
 


 ... 
 1
nên suy ra
k( k  1) k k  1
1.2 2.3 3.4

n(n  1)
n1

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA

8


NGUYỄN BẢO VƯƠNG

CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1


1 
Vậy D  lim  1 
 1.
n
1

Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau :
1. A  lim

4 n  1  5n  1
4 n  5n

2. B  lim

4.3n 2  2.7 n1
4n  7 n 1

Lời giải.
n

4
4   5
n
5
4

n
1. Chia cả tử và mẫu cho 5 ta có: A  lim
 5 ( do lim    0 ).
n
5
4
 5 1
 
n

4 2
36   
7
7
2
 .
2. Ta có: B  lim  n
49
4
7  7
 


1 
1 
1 
Ví dụ 4. Tìm giới hạn sau : C  lim  1  2  1  2  ...  1  2  
2
3
n

 


Lời giải.
Ta có: 1 

1 ( k  1)( k  1)
nên suy ra

k2
k2


1 
1 
1  1.3 2.4 (n  1)(n  1) n  1

 1  2  1  2  ...  1  2   2 . 2 ...
2n
n2

 2  3   n  2 3
Do vậy C  lim

n1 1
 .
2n
2

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1. Giá trị của A  lim

2n2  3n  1
bằng:
3n2  n  2
B. 

A. 

C.

2
3

D. 1

3 1
 2
n
n  2.
Lời giải. Ta có: A  lim

1 2
3
3  2
n n
2

Bài 2. Giá trị của B  lim
A. 

n2  2n
n  3n2  1
B. 

bằng:
C.0

D.

1
1 3

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA

9


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

NGUYỄN BẢO VƯƠNG

1
n2  n
1
n  1
n
Lời giải. Ta có: B  lim
 lim
2
1
1 3
n  3n  1
1 3  2
n
n

 2n
Bài 3. Giá trị của C  lim

2

 n  2

1

4

9

bằng:

n17  1
B. 

A. 

C.16

D. 1

1 4 9
2
1
2
) .n (1  )9
(2  2 )4 .(1  )9
n  lim
n
n2
n
1
1
n17 (1  17 )
1  17
n
n

n8 (2 

Lời giải. Ta có: C  lim
Suy ra C  16 .

n2  1  3 3n3  2

Bài 4. Giá trị của D  lim

4

2n4  n  2  n

bằng:

B. 

A. 

C.

1 3 3
4

2 1

D. 1


1
2 
n 1  2  3 3  3 

n

n  1  3 3
Lời giải. Ta có: D  lim 
.

4


2 1
1
2
4
n  2  3  4  1


n n


Bài 5. Giá trị của A  lim





n2  6n  n bằng:
B. 

A. 
Lời giải. Ta có A  lim





n2  6n  n  lim

6n

 lim

n  6n  n
2

Bài 6. Giá trị của B  lim
A. 
Lời giải. Ta có: B  lim

3

6
6
1 1
n

D. 1

C.0

D. 3

n2  6n  n

3



n3  9n2  n bằng:
B. 

3

C.3
2

n3  9n2  n



9n2

 lim
3

 lim





 lim

n  6n  n
2

n

3

 9n 2



2

 n 3 n 3  9n 2  n 2

9
2


9
9
3 1
 1  1


n
n


3.

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA

10


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

NGUYỄN BẢO VƯƠNG

Bài 7. Giá trị của C  lim

3.2n  3n
bằng:
2 n  1  3n  1
B. 

A. 

C. 

1
3

D. 1

n

Lời giải. Ta có: C  lim

3.2n  3n
2 n  1  3n  1

Bài 8. Giá trị của D  lim



n2  2n  3 n3  2n2

Lời giải. Ta có: D  lim

 lim

 bằng:

B. 

A. 

 lim

2
3.    1
3
1
 lim  n

3
2
2.    3

3



2n
n2  2 n  n

2
1

2
1
n



n2  2n  n  lim

3



3

n3  2n2  n

Bài 9. Giá trị của A  lim

C.2

D. 1

C.0

D. 1

C.0

D. 1



(n3  2n2 )2  n 3 n3  2n2  n2

2
3

D. 1

2n 2

 lim

 lim

1
3

C.



2
2
(1  )2  3 1   1
n
n

1
.
3





n2  2n  2  n bằng:
B. 

A. 



2 2
Lời giải. Ta có A  lim n  1   2  1   


n n





2 2
Do lim n  ; lim  1   2  1   2 .


n n


Bài 10. Giá trị của B  lim





2n2  1  n bằng:
B. 

A. 



1
Lời giải Ta có: B  lim n  2   1   


n


Bài 11. Giá trị của C  lim

4

3n3  1  n

2n4  3n  1  n

bằng:

B. 

A. 

3
1 1
 8 
5
n
n
n
0.
3. Chia cả tử và mẫu cho n ta có được C  lim
3
1 1
2 3  4 
n
n n
4

2

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA

11


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

NGUYỄN BẢO VƯƠNG

Bài 12. Giá trị của D  lim

ak nk  ...  a1n  a0
bp np  ...  b1n  b0

(Trong đó k , p là các số nguyên dương; ak bp  0 ) .

bằng:
B. 

A. 

C.Đ{p {n kh{c

D. 1

Lời giải Ta xét ba trường hợp sau

ak  1
a

 ...  0k  if a b  0
k p
n
n 
.

bp

if
a
b 0
b0
k p


 ...  k
n
np  k

ak 

 k  p . Chia cả tử và mẫu cho n k ta có: D  lim

ak  1
a
 ...  0k
n
n  ak .
b0
bk

bk  ...  k
n

ak 

 k  p . Chia cả tử và mẫu cho n k ta có: D  lim

ak
pk

 ... 

a0

np  0 .
 k  p . Chia cả tử và mẫu cho n p : D  lim n
b
bp  ...  0p
n
Bài 18. Giá trị của. F  lim

(n  2)7 (2n  1)3
bằng:
(n2  2)5
B. 

A. 
7

C.8

D. 1

1
2

D. 1

3


2 
1
1 n   2  n 
 
 8
Lời giải. Ta có: F  lim 
5

5 
1 2 
n


Bài 19. Giá trị của. H  lim





n2  n  1  n bằng:
B. 

A. 

C.

1
1
n
 lim

Lời giải. Ta có: H  lim
2
2
1 1
n n1 n
1  2 1
n n
1

n1

Bài 20. Giá trị của. M  lim
A. 



1
12

Lời giải. Ta có: M  lim



1  n2  8n3  2n bằng:

B. 

3

(1  n  8n )  2n 1  n  8n  4n
2



3 2

D. 1

C.0

1  n2

Bài 21. Giá trị của. N  lim
A. 

3

3

2

3

2



1
12



4n2  1  3 8n3  n bằng:
B. 

C.0

D. 1

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA

12


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

NGUYỄN BẢO VƯƠNG

Lời giải. Ta có: N  lim
Mà: lim

lim



3





4n2  1  2n  lim





1

4n2  1  2n  lim



4n  1  2 n
2



3

8n3  n  2n

0

n

8n2  n  2n  lim
3

(8n  n)  2n 3 8n2  n  4n2
2



2

0

Vậy N  0 .
Bài 22. Giá trị của. K  lim





n3  n2  1  3 4n2  n  1  5n bằng:

3

C. 

B. 

A. 

5
12

D. 1

2
3

D. 1

 n  n  1  n  3lim  4n  n  1  2n
1
1
Mà: lim  n  n  1  n   ; lim  4n  n  1  2n 
4
3
Lời giải. Ta có: K  lim
3

Do đó: K 

3

3

3

2

2

2

2

1 3
5
 
3 4
12

Bài 23. Giá trị của. A  lim

B. 

A. 
Lời giải A  

4n2  3n  1
bằng:
(3n  1)2
B. 

A. 

C.

4
9

D. 1

C.

1
4

D. 1

C.0

D. 1

4
9

Bài 25. Giá trị của. C  lim

n3  1
bằng:
n(2n  1)2
B. 

A. 
Lời giải C 

C. 

2
3

Bài 24. Giá trị của. B  lim

Lời giải B 

2n  1
bằng:
1  3n

1
4

Bài 26. Giá trị của. D  lim
A. 

n3  3n2  2
bằng:
n4  4 n3  1
B. 

Lời giải D  0

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA

13


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

NGUYỄN BẢO VƯƠNG

n3  2 n  1
bằng:
n2

Bài 27. Giá trị của. E  lim

B. 

A. 

C.0

D. 1

Lời giải E  
Bài 28. Giá trị của. F  lim

n 4  2n  1  2n

4

C.

3
3

3 1

D. 1

3
3

3 1

Bài 29. Giá trị của. M  lim





n2  6n  n bằng:
B. 

A. 

6n

Lời giải M  lim

n  6n  n
2

Bài 30. Giá trị của. N  lim



3

(n  3n  1)  n. 3 n3  3n2  1  n2
3

2

2

Bài 31. Giá trị của. H  lim n



3

3



8n3  n  4n2  3 bằng:



8n3  n  2n  lim n

Bài 32. Giá trị của. K  lim

1
3

D. 1

1

C. 

2
3

4n 2  3  2 n  

2
3

B. 

A. 
Lời giải H  lim n



C.0



3n  1
3

D. 1

n3  3n2  1  n bằng:

2

Lời giải N  lim

C.3

3

B. 

A. 

A. 

bằng:

B. 

A. 
Lời giải F 

3n3  n  n

3





D. 1

3.2n  3n
bằng:
2 n  1  3n  1
B. 

C.2

D. 1

C.2

D. 1

n

2
3   1
3
1

Lời giải K  lim  n
3

2
2   3
3
Bài 33. Giá trị của. A  lim
A. 

2n3  sin 2n  1
bằng:
n3  1
B. 

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA

14


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

NGUYỄN BẢO VƯƠNG

Lời giải A  lim

2

sin 2n  1
n3
2
1
1 3
n

n

Bài 34. Giá trị của. B  lim

n  2n

n

Lời giải. Ta có:

n!

n 3  2n



n

n

n

n3  2n

C.0

n



n3  2n

D. 1

0B0

3.3n  4n
bằng:
3n  1  4 n  1

Bài 35. Giá trị của. C  lim
A. 

B.

1
2

C.0

D. 1

1
2

Bài 36. Giá trị của. D  lim

n1
n ( 3n  2  3n2  1)
2

2

bằng:

B. 

A. 
Lời giải D 

bằng:

B. 

A. 

Lời giải C 

n!

3

2

C.

3

D. 1

2 3
3

Bài 37. Giá trị của. E  lim( n2  n  1  2n) bằng:
B. 

A. 
Lời giải E  
Bài 38. Giá trị của. F  lim



C.0

D. 1

C.0

D. 1

C.Đ{p {n kh{c

D. 1



n  1  n bằng:
B. 

A. 

Lời giải F  

p

Bài 39. Giá trị của. H  lim( k n2  1  n2  1) bằng:
B. 

A. 
Lời giải. Xét c{c trường hợp
TH1: k  p  H  
TH 2: k  p  H  
TH 3: k  p  H  0 .
Bài 40. Giá trị của K  lim n
A. 





n2  1  n bằng:
B. 

C.

1
2

D. 1

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA

15


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

NGUYỄN BẢO VƯƠNG

Lời giải K 

1
2

Bài 41. Tính giới hạn của dãy số un 

Suy ra un  1 

1
3 2 2 3

1
( k  1) k  k k  1

1
n1



1

1
(n  1) n  n n  1

:

D. 1

1



k 1

k

 lim un  1

(n  1) 13  23  ...  n3
:
3n3  n  2

B. 

A. 

 ... 

C.0

Bài 42. Tính giới hạn của dãy số un 

 n(n  1) 
Lời giải Ta có: 13  2 3  ...  n3  

 3 
Suy ra un 

2 1 2



B. 

A. 
Lời giải. Ta có:

1

C.

1
9

D. 1

2

n(n  1)2
1
 lim un  .

3
9
3(3n  n  2)

Bài 43. Tính giới hạn của dãy số un  (1 

n(n  1)
1
1
1
)(1  )...(1  ) trong đó Tn 
.:
2
T1
T2
Tn

B. 

A. 
Lời giải. Ta có: 1 

C.

1
3

D. 1

1

2
( k  1)( k  2)
 1

Tk
k( k  1)
k( k  1)

1 n2
1
Suy ra un  .
 lim un  .
3 n
3
Bài 44. Tính giới hạn của dãy số un 
A. 
Lời giải. Ta có

2 3  1 3 3  1 n3  1
.:
.
....
2 3  1 3 3  1 n3  1

B. 

2
3

D. 1

C.3

D. 1

C.

k3  1
( k  1)( k 2  k  1)

k 3  1 ( k  1)[( k  1)2  ( k  1)  1]

2 n2  n  1
2
 lim un 
Suy ra  un  .
3 (n  1)n
3

2k  1
.:
2k
k 1
n

Bài 45. Tính giới hạn của dãy số un  
A. 

B. 

1
1 1 1
1  2n  1
Lời giải. Ta có: un  un     2  ...  n1   n1
2
2 2 2
2  2

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA

16


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

NGUYỄN BẢO VƯƠNG

1
3 2n  1
 un   n1  lim un  3 .
2
2 2
Bài 46. Tính giới hạn của dãy số un  q  2q2  ...  nqn với q  1
B. 

A. 

C.

.:

q

1  q 

D.

2

q

1  q 

2

Lời giải. Ta có: un  qun  q  q2  q3  ...  qn  nqn1

 (1  q)un  q

q
1  qn
.
 nq n1 . Suy ra lim un 
2
1 q
1  q 
n

n
2

n
k
k 1

Bài 47. Tính giới hạn của dãy số un  
B. 

A. 
Lời giải. Ta có: n

 un  1 

.:
C.3

D. 1

n
n
n
1
 un  n 2
 2
 un  1  2
n2  n
n 1
n 1
n 1

n

 0  lim un  1 .
n 1
2

Bài 48. Tính giới hạn của dãy số
A. 

A  lim

ak .nk  ak 1nk 1  ...  a1n  a0
bp .np  bp 1np 1  ...  b1n  b0

B. 

với ak bp  0

.:

D. 1

C.Đ{p {n kh{c

Lời giải. Ta chia l|m c{c trường hợp sau

ak  1
a
 ...  0k
n
n  ak .
TH 1: n  k , chia cả tử và mẫu cho n k , ta được A  lim

bp 1
bp
b
bp 
 ...  0k
n
n
ak 

TH 2: k  p , chia cả tử và mẫu cho n k , ta được A  lim

ak  1
a
 ...  0k
 khi ak bp  0

n
n

bp 1
b
 khi ak bp  0
 k  p 1  ...  0k 
n
n

ak 
bp
nk  p
ak

TH 3: k  p , chia cả tử và mẫu cho n p , ta được A  lim n

pk



bp 
Bài 49. Tính giới hạn của dãy số B  lim
A. 

3

B. 

ak  1
p  k 1

n
bp 1
n

 ... 

 ... 

n6  n  1  4 n4  2n  1
(2n  3)2
C.3

b0

a0
np  0 .

np
.:
D.

3
4

Lời giải. Chia cả tử và mẫu cho n2 ta có được:

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA

17


NGUYỄN BẢO VƯƠNG

3

B  lim

1

CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

1

1
2
1
 6  4 1 3  4
5
n n
n n  1 4   3 .
2
4
4

3
2 n



Bài 50. Tính giới hạn của dãy số C  lim



4n2  n  1  2n

B. 

A. 



.:

C.3

D.

1
1
n
Lời giải. Ta có: C  lim
 lim

2
4
1 1
4n  n  1  2n
4  2 2
n n
1

n1

Bài 51. Tính giới hạn của dãy số D  lim

Lời giải. Ta có: D  lim

Mà: lim

lim



3



n2  n  1  2 3 n3  n2  1  n
C. 





n2  n  1  n  2 lim



3

n3  n 2  1  n





.:

1
6

D. 1

1
1
n
 lim

n  n  1  n  lim
2
2
1 1
n n1 n
1  2  1
n n



2



1

n1

n 1
2

n3  n2  1  n  lim

Vậy D 



B. 

A. 

1
4

3

(n  n  1)  n. n  n  1  n
3

2

2

3

3

2

2

1

 lim

1
n2

2

3




1
1 
1 1
1 4  6   3 1 n  3  1
n n 
n


1
3

1 2
1
  .
2 3
6

Bài 52 . Cho các số thực a,b thỏa a  1; b  1 . Tìm giới hạn I  lim
B. 

A. 

C.

1  a  a2  ...  an
.
1  b  b2  ...  bn

1 b
1 a

Lời giải. Ta có 1, a, a2 ,..., an là một cấp số nhân công bội a 1  a  a2  ...  an 
Tương tự 1  b  b2  ...  bn 

D. 1

1  an  1
1 a

1  bn  1
1 b

1  an 1
1 b
Suy ra lim I  lim 1  na1 
1 a
1 b
1 b
( Vì a  1, b  1  lim an1  lim bn1  0 ).

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA

18


NGUYỄN BẢO VƯƠNG

CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

Bài 53. Cho dãy số ( xn ) x{c định bởi x1 
Đặt Sn 

1
1


x1  1 x2  1



1
, x  xn2  xn ,n  1
2 n1

1
. Tính lim Sn .
xn  1
B. 

A. 

C.2

D. 1

Lời giải. Từ công thức truy hồi ta có: xn1  xn , n  1,2,...
Nên dãy ( xn ) là dãy số tăng.
Giả sử dãy ( xn ) là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại lim xn  x
Với x là nghiệm của phương trình : x  x2  x  x  0  x1 vô lí
Do đó dãy ( xn ) không bị chặn, hay lim xn   .
Mặt khác:
Suy ra:

1
1
1
1



xn1 xn ( xn  1) xn xn  1

1
1
1


xn  1 xn xn1

Dẫn tới: Sn 

1
1
1
1

 2
 lim Sn  2  lim
2
x1 xn1
xn1
xn1

Bài 54. Cho dãy ( xk ) được x{c định như sau: xk 

1 2
k
  ... 
2! 3!
( k  1)!

n
Tìm lim un với un  n x1n  x2n  ...  x2011
.

B. 

A. 
Lời giải. Ta có:

C. 1 

1
2012!

D. 1 

1
2012!

k
1
1
1
 
nên xk  1 
( k  1)! k ! ( k  1)!
( k  1)!

Suy ra xk  xk 1 

1
1

 0  xk  xk  1
( k  2)! ( k  1)!

n
 n 2011x2011
Mà: x2011  n x1n  x2n  ...  x2011

Mặt khác: lim x2011  lim n 2011x2011  x2011  1 
Vậy lim un  1 

1
2012!

1
.
2012!

u0  2011
u3

Bài 55. Cho dãy số (un ) được x{c định bởi: 
1 . Tìm lim n .
n
un 1  un  u2
n

B. 

A. 

C.3

D. 1

Lời giải. Ta thấy un  0, n

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA

19


NGUYỄN BẢO VƯƠNG

Ta có: un31  un3  3 

CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

3
1
(1)

un3 un6

Suy ra: un3  un31  3  un3  u03  3n (2)
Từ (1) và (2), suy ra: un31  un3  3 

Do đó: un3  u03  3n 
n

Lại có:

1

k
k 1

 1

2

1
1

u  3n u3  3n
0



3
0



1
1
 2
3n 9n

1 n 1 1 n 1
   (3)
3 k 1 k 9 k 1 k 2

n
1
1
1

1
1

 ... 
 2  2.  n
1.2 2.3
(n  1)n
n
k 1 k

Nên: u03  3n  un3  u03  3n 

u03 un3
u3 2
2
.

 3 0 

n
n
n 9n 3 n

Vậy lim

un3
3.
n

1

k 1

2

 2n

x 1 1
. Tìm  0;   .
x

Bài 57. Cho dãy x  0 x{c định như sau: f ( x) 
B. 

A. 
Lời giải. Ta có un1  un 

n

k

2
2n

9
3

Hay 3 



 un3  3 

2

C.2010

D. 1

1
2

D. 1

u
u u
un
 n 1 n 
2010
un1 .un
2010un1
2
n

 1
un
1 
 2010.  

un1

 un un1 

Ta có

un

u

n1

 2010(

1
1
1

)  2010(1 
)
u1 un1
un1

Mặt khác ta chứng minh được: lim un   .
Nên lim(

uu
)  2010 .
un1

Bài 60. Tìm lim un biết un 
A. 

n. 1  3  5  ...  (2n  1)
2 n2  1
B. 

Lời giải. Ta có: 1  3  5  ...  2n  1  n2 nên lim un 

C.

1
2

 3 x  2  2x  1

khi x  1
Bài 61. Tìm lim un biết f ( x)  
x 1
 3m  2
khi x  1

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA

20


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

NGUYỄN BẢO VƯƠNG

3

C.2

D.

6
2

n(n  1)
n(n  1)(2n  1)
và 12  22  ...  n2 
2
6

Lời giải. Ta có: 1  2  ...  n 
Nên lim un 

3

B. 

A. 

6
2

 x 1 1
khi x  0

Bài 62. Tìm lim un biết f ( x)  

x
2 x 2  3m  1 khi x  0

B. 

A. 
Lời giải. Ta có:

1
( k  1) k  k k  1

C.2

1





k

1
k 1

D. 1

Suy ra un  1 

1
n1

 lim un  1

 2x  4  3
khi x  2

Bài 63. Tìm lim un biết f ( x)  
trong đó x  1 .
x1
khi x  2
 2
 x  2mx  3m  2
B. 

A. 
Lời giải. Ta có: 1 

n

1
n k

B. 

A. 

n
n n
2

D. 1

2

k 1

Mà lim

1
3

1
2
( k  1)( k  2)
1 n2
1
 1

Suy ra un  .
 lim un  .
Tk
k( k  1)
k( k  1)
3 n
3

Bài 68. Tìm lim un biết un  

Lời giải. Ta có:

C.

1

1



n n
2

n k

n

 lim



2

n 1
2

C.3

1
n 1
2

D. 1

, k  1, 2,..., n Suy ra

n
n n
2

 un 

n
n 1
2

 1 nên suy ra lim un  1 .

Bài 69. Tìm lim un biết un  2 2... 2
n dau can

B. 

A. 
1

Lời giải. Ta có: un  2 2



1
22

 ...

1
2n

1
1  
2

C.2

n

2

,nên lim un  lim 2

1
1  
2

D. 1

n

 2.

Bài 70. Gọi g( x)  0, x  2 là dãy số x{c định bởi  . Tìm lim f ( x)  lim
x 2

A. 

B. 

C.

4
3

x 2





2x  4  3  3 .
D. 1

4 8
4 8
Lời giải. Ta có 0  u1  u2  u3   
3u1   
3u2  u3 nên dãy (un ) l| dãy tăng.
9 9
9 9

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA

21

CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

NGUYỄN BẢO VƯƠNG

Dễ dàng chứng minh được un 

4
, n 
3

*

.Từ đó tính được lim un 

2

4
.
3

2


1
 1
 1
Bài 71. Cho dãy số A   x12  x1 x2    x1 x2  x22   x12 x22  3  0 được x{c định như sau  x1  x2 .
2


 4
 2
3
Đặt x  . Tìm  x3  2x  3 3  2x  4  0 .
2
B. 

A. 

C.

1
2

D. 1

Lời giải Ta có: un1  (un2  3un )(un2  3un  2)  1  (un2  3un  1)2

 un2  3un  1
Suy ra: un1  1  (un  1)(un  2) 
Suy ra:

1
1
1


un1  1 un  1 un  2

1
1
1


un  2 un  1 un1  1

n 
1
1 
1
1
1
1
Do đó, suy ra: vn   


 
 
u

1
u

1
u

1
u


1
2
u
1
i 1  i
i 1
1
n1
n1


Mặt khác, từ un1  un2  3un  1 ta suy ra: un1  3n .
Nên lim

1
1
 0 . Vậy lim vn  .
un1  1
2

Bài 72. Cho a, b 

n  au  bv . Tìm lim
n 

A. 

,(a, b)  1; n  ab  1, ab  2,... . Kí hiệu rn l| số cặp số (u, v) 



sao cho

rn
1
 .
n ab
B. 

C.

1
ab

D. ab  1

 n  1
Lời giải. Xét phương trình 0;
(1).
n 

Gọi (u0 , v0 ) là một nghiệm nguyên dương của (1). Giả sử (u, v) là một nghiệm nguyên dương kh{c (u0 , v0 )
của (1).
Ta có au0  bv0  n, au  bv  n suy ra a(u  u0 )  b(v  v0 )  0 do đó tồn tại k nguyên dương sao cho

u  u0  kb, v  v0  ka . Do v là số nguyên dương nên v0  ka  1  k 

v0  1
a

. (2)

Ta nhận thấy số nghiệm nguyên dương của phương trình (1) bằng số các số k nguyên dương cộng với 1. Do
 v  1
 n u0 1 
đó rn   0
 1      1.
 a 
 ab b a 
Từ đó ta thu được bất đẳng thức sau:
Từ đó suy ra :

n u0 1
n u 1
   rn   0   1.
ab b a
ab b a

1 u0 1 rn 1 u0 1 1
 
     .
ab nb na n ab nb na n
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA

22


NGUYỄN BẢO VƯƠNG

CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

Từ đ}y {p dụng nguyên lý kẹp ta có ngay lim
n 

rn
1
 .
n ab

GIỚI HẠN HÀM SỐ
1. Định nghĩa:
1.1. Giới hạn hàm số: Cho khoảng K chứa điểm x0 . Ta nói rằng hàm số f ( x) x{c định trên K (có thể trừ
điểm x0 ) có giới hạn là L khi x dần tới x0 nếu với dãy số ( xn ) bất kì, xn  K \{x0 } và xn  x0 , ta
có: f ( xn )  L . Ta kí hiệu:

lim f ( x)  L hay f ( x)  L khi x  x0 .
x  x0

1.2.Giới hạn một bên:
* Cho hàm số y  f ( x) x{c định trên ( x0 ; b) .Số L gọi là giới hạn bên phải của hàm số y  f ( x) khi x dần
tới x0 nếu với mọi dãy ( xn ) : x0  xn  b mà xn  x0 thì ta có: f ( xn )  L . Kí hiệu: lim f ( x)  L .
x  x0

* Cho hàm số y  f ( x) x{c định trên ( a; x0 ) .Số L gọi là giới hạn bên trái của hàm số y  f ( x) khi x dần
tới x0 nếu với mọi dãy ( xn ) : a  xn  x0 mà xn  x0 thì ta có: f ( xn )  L . Kí hiệu: lim f ( x)  L .
x  x0

Chú ý: lim f ( x)  L  lim f ( x)  lim f ( x)  L .
x  x0

xx

xx

0

0

1.3. Giới hạn tại vô cực
* Ta nói hàm số y  f ( x) x{c định trên ( a; ) có giới hạn là L khi x   nếu với mọi dãy số

( xn ) : xn  a và xn   thì f ( xn )  L . Kí hiệu: lim f ( x)  L .
x 

* Ta nói hàm số y  f ( x) x{c định trên ( ; b) có giới hạn là L khi x   nếu với mọi dãy số

( xn ) : xn  b và xn   thì f ( xn )  L . Kí hiệu: lim f ( x)  L .
x 

1.4.Giới hạn vô cực
* Ta nói hàm số y  f ( x) có giới hạn dần tới dương vô cực khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số

( xn ) : xn  x0 thì f ( xn )   . Kí hiệu: lim f ( x)   .
x  x0

* Tương tự ta cũng có định nghĩa giới hạn dần về âm vô cực
* Ta cũng có định nghĩa như trên khi ta thay x0 bởi  hoặc  .
2. Các định lí về giới hạn
Định lí 1: Gới hạn của tổng, hiệu, tích, thương (mẫu số dẫn về L  0 ) khi x  x0 (hay x  ; x   )
bằng tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn đó khi x  x0 (hay x  ; x   ) .

Chú ý: Định lí trên ta chỉ áp dụng cho những hàm số có giới hạn là hữu hạn. Ta không áp dụng cho các
giới hạn dần về vô cực
Định lí 2: (Nguyên lí kẹp)
Cho ba hàm số f ( x), g( x), h( x) x{c định trên K chứa điểm x0 (có thể c{c h|m đó không x{c định tại x0 ).
Nếu g( x)  f ( x)  h( x) x  K và lim g( x)  lim h( x)  L thì lim f ( x)  L .
x  x0

x  x0

x  x0

3. Một số gới hạn đặc biệt

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA

23


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

NGUYỄN BẢO VƯƠNG

* lim x 2 k  

lim x 2 k 1   ( )

;

x 
( x  )

x 
( x  )

* lim f ( x)   ( )  lim
x  x0

x  x0

k
 0 ( k  0) .
f ( x)
Vấn đề 1. Tìm giới hạn bằng định nghĩa

Phƣơng pháp:
Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm giới hạn các hàm số sau bằng định nghĩa :
1. A  lim(3x2  x  1)

2. B  lim

x 1

x 1

x3  1
x 1

3. C  lim

x2

x2 2
x2

4. D  lim

x 

3x  2
x 1

Lời giải.
1. Với mọi dãy ( xn ) mà lim xn  1 ta có:





A  lim 3xn2  xn  1  3  1  1  5
2. Với mọi dãy ( xn ) mà lim xn  1 và xn  1 n ta có:

B  lim

( xn  1)( xn2  xn  1)
 lim xn2  xn  1  3 .
xn  1





3. Với mọi dãy ( xn ) mà lim xn  2 và xn  2 n ta có:

B  lim

xn  2  2
xn  2

 lim

( xn  2)
( xn  2)



xn  2  2



 lim

1
xn  2  2



1
4

4. Với mọi dãy ( xn ) mà lim xn   ta có:

3x  2
D  lim n
 lim
xn  1

2
xn
3.
1
1
xn

3

Ví dụ 2. Chứng minh rằng hàm số sau không có giới hạn:
1. f ( x)  sin

1
x

khi x  0

2. f ( x)  cos5 2x khi x   .

Lời giải.
1. Xét hai dãy ( xn ) : xn 

1



 2  n2 



2

,( yn ) : yn 

1
(n )2

Ta có: lim xn  lim yn  0 và lim f ( xn )  1; lim f ( yn )  0 .
Nên hàm số không có giới hạn khi x  0 .
2. Tương tự ý 1 xét hai dãy: xn  n ; yn 


4

 n

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA

24