Tóm tắt lý thuyết,bài tập đại số và hình học 12 cả năm

Bài Tập Tốn 12 cả năm
PHẦN I: GIẢI TÍCH
CHƯƠNG 0: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN ÔN LẠI
I. Các hằng đẳng thức đáng nhớ:

II. Phương trình bậc hai:
Cơng thức nghiệm của phương trình bậc hai:



: Phương trình vơ nghiệm.



: Phương trình có nghiệm kép:



: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

;
Cơng thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai:
Nếu “b chẵn” (ví dụ
gọn.

) ta dùng cơng thức nghiệm thu



: Phương trình vơ nghiệm.



: Phương trình có nghiệm kép:



: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

;
 Chú ý: Nếu phương trình bậc 2:
thì:

có hai nghiệm
Trang 1


Bài Tập Tốn 12 cả năm

Định lí Viet: Nếu phương trình bậc 2
thì:

 “Tổng bà, tích ca”
Các trường hợp đặc biệt của phương trình bậc 2:

 Nếu

thì phương trình có nghiệm:

 Nếu

thì phương trình có nghiệm:

Dấu của nghiệm số:

 Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt

 Phương trình có 2 nghiệm dương

 Phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt

 Phương trình có 2 nghiệm âm

Trang 2

có 2 nghiệm


Bài Tập Tốn 12 cả năm

 Phương trình có 2 nghiệm cùng dấu
III.

 Phương trình có 2 nghiệm trái dấu
Dấu của đa thức:
Dấu của nhị thức bậc nhất: f ( x) = ax + b(a ≠ 0)
x

ax + b

−

−∞

trái dấu a

x

x

−∞

cùng dấu a

−

−∞

f ( x) cùng dấu a
∆>0

x

cùng dấu a

f ( x) = ax 2 + bx + c( a ≠ 0)

f ( x)

∆=0

+∞

0
“Phải cùng, trái trái”

Dấu của tam thức bậc hai:
∆<0

b
a

−∞

b
2a

0
x1

x2

f ( x) cùng dấu a

0
trái dấu a
“Trong trái, ngồi cùng”

0

Dấu của đa thức bậc

3: Bắt đầu từ ơ bên phải cùng dấu với hệ số a của số
mũ cao nhất, qua nghiệm đơn đổi dấu, qua nghiệm kép không đổi dấu.
IV.

Điều kiện để tam thức không đổi dấu trên

.

Cho tam thức bậc hai:

V. Phương trình lượng giác cơ bản

Đặc biệt:
Trang 3


Bài Tập Tốn 12 cả năm

Đặc biệt:

VI.

Phương trình và bất phương trình chứa trị tuyệt đối

Phương trình :






Bất phương trình:


Trang 4


Bài Tập Tốn 12 cả năm



VII. Phương trình và bất phương trình vơ tỉ
Phương trình:




Bất phương trình:






VIII. Cơng thức tính đạo hàm

Trang 5


Bài Tập Toán 12 cả năm

“anh bạn ăn cơm bằng chén”
CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỀ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM
SỐ
§1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
A- KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Định nghĩa: Giả sử hàm số
xác định trên khoảng K.
 Hàm số f được gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng K nếu:
 Hàm số f được gọi là nghịch biến (giảm) trên khoảng K nếu:

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng K được gọi chung là hàm số đơn điệu
trên khoảng K.

Trang 6


Bài Tập Toán 12 cả năm

Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị
đi lên từ trái sang phải
2. Định lý: Giả sử hàm số

Nếu hàm hàm số nghịch biến trên K thì đồ
thị đi xuống từ trái sang phải

có đạo hàm trên khoảng K.

a) Nếu

thì hàm số f đồng biến trên khoảng K.

b) Nếu

thì hàm số f nghịch biến trên khoảng K.

c) Nếu

thì hàm số f khơng đổi (f là hàm hằng) trên khoảng K.

Lưu ý: Ở ý a) và b) của định lý trên
có thể bằng 0 tại một số hữu hạn điểm thì
kết luận vẫn đúng.
B- BÀI TẬP:
Vấn đề 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Phương pháp: Để xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
bước như sau:
 Tìm tập xác định.

, ta thực hiện các

 Tính đạo hàm
. Giải phương trình
.
 Lập bảng biến thiên.
 Từ bảng biến thiên kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
a)

b)

c)

d)

e)

f)
Trang 7


Bài Tập Tốn 12 cả năm

g)

h)

i)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)
s)
Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

Trang 8


Bài Tập Tốn 12 cả năm

s)

r)

v)
u)
Vấn đề 2: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đơn điệu trên tập xác định
Phương pháp:
Hàm bậc 3:
Tập xác định

.

Đạo hàm

là 1 tam thức bậc 2.

 Hàm số đồng biến trên

 Hàm số nghịch biến trên
Hàm nhất biến:

Tập xác định

Đạo hàm
có dấu phụ thuộc vào dấu của tử.
 Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định
(Khơng có dấu “=”)
 Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định
(Khơng có dấu “=”)
Tìm điều kiện của tham số để hàm số sau đồng biến trên tập xác định:

Trang 9


Bài Tập Tốn 12 cả năm

a
a).
Tìm m để hàm số:
a

nghịch biến trên

b

.

đồng biến trên

b).

đồng biến trên

.

.

Tìm các giá trị của tham số m để hàm số
a Nghịch biến trên từng khoảng xác định.
b Đồng biến trên từng khoảng xác định.
Định m để hàm số:

a

đồng biến trên từng khoảng xác định.

c).

nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Tìm m để các hàm số sau ln đồng biến trên

:

a
d).
e).
Tìm m để các hàm số sau ln nghịch biến trên

:

a
f).
(*)Tìm m để hàm số

nghịch biến trên khoảng
Trang 10

.


Bài Tập Tốn 12 cả năm

(*)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
khoảng

nghịch biến trên

.

(*)Tìm các giá trị của tham số

để hàm số

nghịch biến trên khoảng

(ĐH Khối A-2013)

(*)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
biến trên khoảng

đồng

.

(*)Tìm m để hàm số
khoảng

đồng biến trên
.
§2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

A KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Định nghĩa: Cho hàm số
) và

xác định và liên tục trên tập D (D

.

 Nếu tồn tại khoảng

và
thì ta nói hàm số

 Nếu tồn tại khoảng

và
thì ta nói hàm số

a

b

sao cho
đạt cực đại tại

.

sao cho
đạt cực tiểu tại

a

Trang 11

,

,
.


Bài Tập Toán 12 cả năm

Chú ý:
 Nếu hàm số

đạt cực đại (cực tiểu) tại

thì

được

gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số;
được gọi là
giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số và được ký hiệu là () hay (),
còn điểm
được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu)
của đồ thị hàm số.
 Các điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị
cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung
là cực trị của hàm số.
2. Định lý:
Định lý 1: Giả sử hàm số

liên tục trên khoảng

và có đạo hàm trên khoảng
 Nếu

 Nếu

.

đổi dấu từ dương sang âm khi
đạt cực đại tại

qua

thì hàm số

qua

thì hàm số

.

đổi dấu từ âm sang dương khi
đạt cực tiểu tại

chứa điểm

.

+

+

Trang 12


Bài Tập Toán 12 cả năm
Định lý 2: Giả sử hàm số
. Khi đó:

 Nếu

có đạo hàm cấp hai trong khoảng

thì hàm số

đạt cực tiểu tại

 Nếu
thì hàm số
C- BÀI TẬP:
Vấn đề 1: Tìm cực trị của hàm số
Phương pháp:
Qui tắc 1: Dùng định lý 1.
 Tìm tập xác định.

đạt cực đại tại

 Tính đạo hàm
. Giải phương trình
 Lập bảng biến thiên.
 Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Qui tắc 2: Dùng định lý 2.
 Tìm tập xác định.
 Tính đạo hàm

 Tính

.

.

.

. Giải phương trình

tìm các nghiệm

và

 Dựa vào dấu của

suy ra các điểm cực trị:

o Nếu

thì hàm số đạt cực tiểu tại

o Nếu

thì hàm số đạt cực đại tại

.
.

Chú ý: Quy tắc 2 thường dùng đối với hàm số lượng giác hoặc việc xét dấu
tạp.
Tìm cực trị của các hàm số sau:
a)

b)

c)

d)

e)
f)
Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau:
Trang 13

phức


Bài Tập Toán 12 cả năm

a)

b)

c)
d)
Dựa vào quy tắc 2 tìm cực trị (nếu có) của các hàm số:
a)

b)

c)

d)

e)
Vấn đề 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
Phương pháp:

1. Hàm số

đạt cực trị tại

2. Hàm số

đạt cực đại tại

3. Hàm số

đạt cực tiểu tại

d)

4. Hàm bậc 3:

 Hàm số có 2 cực trị (cực đại và cực tiểu)

phương trình

có 2 nghiệm phân biệt
 Hàm số khơng có cực trị

hoặc có nghiệm kép

5. Hàm bậc 4 trùng phương:
Trang 14

Phương trình

vơ nghiệm


Bài Tập Tốn 12 cả năm
Ta có:

 Hàm số có 3 cực trị
biệt

Phương trình

có 3 nghiệm phân

Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
.

 Hàm số có 1 cực trị

Phương trình

có 1 nghiệm

Phương trình (2) vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng 0
.
Tìm m để hàm số

có 2 cực trị.

Tìm m để hàm số

có cực đại và cực tiểu.

Tìm m để hàm số

đạt cực tiểu tại

Tìm m để hàm số

đạt cực đại tại

Cho hàm số
a)Đạt cực đại tại

. Tìm m để hàm số:
.

b)Đạt cực tiểu tại
.
c)Có hai cực trị.
Định m để các hàm số sau có 2 cực trị:

Trang 15

.
.

Bài Tập Toán 12 cả năm
a
g).
Định m để hàm số:
a

đạt cực đại tại

h).

đạt cực tiểu tại

i).

.

đạt cực trị tại

. Khi đó hàm số đạt cực

đại hay cực tiểu?
Tìm m để hàm số

đạt cực tiểu tại

.

Định

để hàm số
a Khơng có cực trị.
j). Có cực đại và cực tiểu.
k). Có đồ thị nhận

làm một điểm cực trị.

(*) Tìm giá trị của tham số
để đồ thị của hàm số
a Có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của trục tung.
l). Có cực đại và cực tiểu.
m).
Có 2 điểm cực trị có hồnh độ âm.
(*)Tìm m để hàm số

đạt cực trị

tại x1 , x2 thỏa mãn
(*)Cho hàm số
điểm cực trị có hồnh độ dương.
(*)Cho hàm số

. Định m để hàm số có hai

. Tìm m để hàm số

thoả mãn

Trang 16

đạt cực trị tại


Bài Tập Toán 12 cả năm
(*)Cho hàm số
tiểu đồng thời
Cho hàm số

.Tìm m để hàm số có cực đại cực
.
.

Tìm a, b để hàm số đạt cực trị bằng
khi
.
Với a, b vừa tìm được hãy xác định các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm
số.
Xác định m để đồ thị của hàm số
cực đại.

có cực tiểu mà khơng có

Tìm m để hàm số

có 3 cực trị.

Tìm m để hàm số

có 1 cực trị.

Cho hàm số
trị.

. Xác định m để hàm số chỉ có 1 cực

Cho hàm số

. Tìm a để hàm số có 3 cực trị.

Cho hàm số
hàm số có 1 cực trị.
Cho hàm số

. Xác định các giá trị của tham số k để

. Định a, b để hàm số đạt cực trị bằng

tại

.
Xác định giá trị tham số

để hàm số

đạt cực trị tại

. Khi đó hàm số đạt cực đại hay cực tiểu tại
Tìm
a

.

để hàm số:
có cực đại, cực tiểu.

n).

có cực đại, cực tiểu.

o).
đạt cực đại tại
Vấn đề 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm bậc ba
Trang 17

.


Bài Tập Toán 12 cả năm
Phương pháp: Cho hàm số bậc ba
 Chia

cho

.
ta được

 Khi đó, giả sử

,

là các điểm cực trị thì:

Suy ra phương trình của đường thẳng qua hai điểm cực đại và cực tiểu là

Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị các hàm số:
a)

b)
c)
(*)Tìm các giá trị của tham số
để hàm số có cực đại, cực tiểu. Lập phương
trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị:
a)

(ĐHQG –2001)

b)

(ĐHTS – 1999)

c)
§3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
B KIẾN THỨC CƠ BẢN:
Cho hàm số

xác định trên tập D.

 Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số
với mọi

thuộc D và tồn tại

Ký hiệu
Trang 18

trên tập D nếu
sao cho


Bài Tập Toán 12 cả năm
 Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số
với mọi

trên tập D nếu

thuộc D và tồn tại

sao cho

Ký hiệu
D- BÀI TẬP:
Vấn đề 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên 1 đoạn
Phương pháp: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

trên 1 đoạn

:
Tìm tập xác định
Tính đạo hàm

Hàm số liên tục trên đoạn
.

Tìm các điểm

làm

bằng 0 hoặc khơng xác định.

Tính
,
,
So sánh và kết luận.
Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của các hàm số :
a)
b)

trên
trên đoạn

c)

trên đoạn

d)

trên đoạn

e)

trên đoạn

f)

trên đoạn

g)

trên đoạn

h)

trên đoạn

Trang 19


Bài Tập Tốn 12 cả năm

i)
j)
k)

trên đoạn
trên đoạn
trên đọan

l)
trên đoạn
Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của các hàm số :

a)
b)
c)
d)
Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của các hàm số :
a)
b)
c)
d)

trên đoạn

e)
trên đoạn
Vấn đề 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên 1 khoảng hoặc nửa
khoảng
Phương pháp: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
khoảng hoặc nửa khoảng
Tìm tập xác định.

…

Tính đạo hàm
Lập bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, so sánh và kết luận.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
Trang 20

trên 1

Bài Tập Tốn 12 cả năm
a)

b)

c)
d)
trên khoảng
Tìm các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số

trên đoạn

bằng

. (TN – 2012)

§4: ĐƯỜNG TIỆM CẬN
A-KIẾN THỨC CƠ BẢN:
 Đường thẳng

được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận

đứng) của đồ thị hàm số
được thoả mãn:

nếu ít nhất một trong các điều kiện sau

;
;

 Đường thẳng
ngang) của đồ thị hàm số
được thoả mãn:

được gọi là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận
nếu ít nhất một trong các điều kiện sau
Trang 21


Bài Tập Toán 12 cả năm
;

Chú ý: Đối với hàm số phân thức hữu tỷ
 Nếu

có nghiệm

thì đồ thị có tiệm cận đứng

.
 Nếu bậc(
)≤ bậc(
) thì đồ thị có tiệm cận ngang.
B- BÀI TẬP:
Tìm tất cả các tiệm cận của đồ thị của hàm số sau:
a)

e)

b)

f)

c)

d)

g)

h)

c)

d)

Tìm tất cả các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
a)

b)

Trang 22


Bài Tập Tốn 12 cả năm

e)

f)

g)

(*) Cho hàm số

có đồ thị (C).

a) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm
đến các
đường tiệm cận của (C) là một hằng số.
b) Tìm các điểm trên (C) sao cho điểm đó cách đều các đường tiệm cận của (C).
§5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
A- KIẾN THỨC CƠ BẢN:
Các bước chung khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:(6 dấu *)
∗ Tập xác định:
∗ Giới hạn (và tiệm cận đối với hàm phân thức

)

∗ Đạo hàm:
 Đối với hàm bậc 3, bậc 4: Giải phương trình

 Đối với hàm phân thức

tìm nghiệm.

:

(hoặc

)

∗ Bảng biến thiên:
Nhận xét về chiều biến thiên và cực trị.
∗ Bảng giá trị:(5 điểm đối với hàm bậc 3, bậc 4; 6 điểm đối với hàm phân thức

)
Chú ý: Đối với hàm bậc ba, nếu phương trình
trị ta giải phương trình
trị. (điểm
∗ Vẽ đồ thị:

để tìm điểm

vơ nghiệm thì khi lập bảng giá
là điểm chính giữa của bảng giá

được gọi là điểm uốn của đồ thị)

Trang 23


Bài Tập Toán 12 cả năm
B- BÀI TẬP:
Vấn đề 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba
Các dạng đồ thị của hàm số bậc ba
Số nghiệm của phương
trình
có 2
nghiệm phân biệt

có nghiệm

kép

vơ nghiệm

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số bậc ba sau:
a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

Trang 24


Bài Tập Toán 12 cả năm
k)

l)

m)

n)

Vấn đề 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương
Các dạng đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương

có 3
nghiệm
phân
biệt

có 1
nghiệm
duy
nhất

2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)
j)
Vấn đề 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số phân thức

Các dạng đồ thị của hàm số phân thức
Trang 25