Kinh tế lượng nâng cao nguyễn thế hòa

TR

NG

I H C TH Y L I

Khoa Kinh t và Qu n lý

Kinh t l

ng nâng cao

(Biên so n l n th nh t cho l p cao h c kinh t TN & MT 17K)

Ti n s Kinh t Nguy n Th Hòa

Hà N i -2009
1


M cl c
Ch

ng 1: B n ch t c a phân tích h i qui
1.1 S di n gi i hi n đ i v khái ni m h i qui
1.2 Các m i quan h th ng kê không ph i quan h xác đ nh
1.3 H i qui không có tính nhân qu
1.4 H i qui không ph i t

ng quan

1.5 B n ch t và ngu n s li u cho phân tích kinh t l
Ch

ng

ng 2: Mô hình h i qui hai bi n
2.1 Ví d gi đ nh
2.2 Hàm h i qui t ng th (PRF)
2.3 Ch đ nh ng u nhiên v hàm PRF
2.4 T m quan tr ng c a sai s ng u nhiên
2.5 Hàm h i quy m u SRF
2.6 Ph

ng pháp bình ph

2.7 Tính ch t c a các
2.8 Các gi thi t c a ph
2.9

cl

ng

ng pháp bình ph

chính xác hay sai s chu n c a các

ng bé nh t
cl

ng OLS

2.10

H s xác đ nh r2 đo đ phù h p c a hàm h i quy m u SRF

2.11

Tính ch t c a các

2.12

Kho ng tin c y và ki m đ nh các h s h i qui

2.13

Ki m đ nh s phù h p c a hàm h i qui- Phân tích h i qui và phân tích
ph

2.14
Ch

ng nh nh t (OLS)

cl

ng d

i gi thi t chu n c a mô hình

ng sai: Ki m đ nh F

Phân tich h i qui và d báo

ng 3: Mô hình h i qui nhi u bi n
3.1 Mô hình h i quy ba bi n
3.2 Các gi thi t c a mô hình
3.3

cl

ng tham s c a mô hình h i qui ba bi n

3.4

cl

ng tham s c a mô hình h i quy k bi n
2


3.5 Các tính ch t c a

cl

ng bình ph

ng bé nh t

3.6 H s xác đ nh b i R2 và h s xác đ nh b i đã đ

c đi u ch nh R 2

3.7 Kho ng tin c y và ki m đ nh v các h s h i quy riêng - ki m đ nh T
3.8 Ki m đ nh ý ngh a chung c a h i qui m u: Phân tích ph

ng sai - ki m

đ nh F
3.9 H i qui có đi u ki n ràng bu c – Ki m đ nh F

Ch

3.10

D báo

3.11

Ví d

3.12

M t s d ng hàm h i qui

ng 4: H i qui v i các bi n gi
4.1 B n ch t c a bi n gi
4.2 H i quy v i m t bi n đ nh l

ng và m t bi n đ nh tính v i hai ph m trù

4.3 H i quy v i m t bi n đ nh l
ph m trù
4.4 H i quy v i m t bi n đ nh l

ng và m t bi n đ nh tính v i nhi u h n hai
ng và hai bi n đ nh tính

4.5 So sánh hai h i quy: Ti p c n b ng bi n gi
4.6 nh h

ng c a s t

ng tác gi a các bi n gi

4.7 S d ng bi n gi trong phân tích mùa
4.8 H i qui tuy n tính t ng khúc
Ch

ng 5: Chu i th i gian
5.1 Ví d v m t s chu i th i gian v kinh t
5.2 Quá trình ng u nhiên
5.3 Các quá trình ng u nhiên d ng
5.4 Các quá trình ng u nhiên không d ng
5.5 Các quá trình ng u nhiên không d ng
5.6 Các quá trình ng u nhiên có xu th d ng và có sai phân d ng
5.7 Ki m đ nh nghi m đ n v
5.8 Ki m đ nh đ ng tích h p

3

Ch ng 1
B n ch t c a phân tích h i qui
1.1 S di n gi i hi n đ i v khái ni m h i qui
Có nhi u khái ni m nói v kinh t l
l

ng. Nh ng có th đ nh ngh a kinh t

ng nh m t môn khoa h c xã h i trong đó các công c c a lý thuy t kinh t , toán,

suy lu n th ng kê đ

c áp d ng đ phân tích các v n đ kinh t .

Các lý thuy t kinh t th

ng đ a ra các m nh đ hay các gi thuy t mà h u h t

ch nói v ch t. Ví d , lý thuy t kinh t vi mô kh ng đ nh r ng khi các y u t khác
không thay đ i, n u gi m giá c a hàng hoá nào đó thì l

ng c u c a hàng hoá đó s

t ng. Nh v y, lý thuy t kinh t đ a ra m t m nh đ v m i quan h ngh ch bi n
gi a giá và l

ng c u c a m t hàng hoá. Nh ng chính lý thuy t này l i không đ a ra

m t s đánh giá l
đ

cl

m tl

ng hóa nào v m i quan h đó gi a hai bi n; t c là nó không nói

ng c u m t hàng hóa s t ng ho c gi m bao nhiêu khi giá c a nó thay đ i
ng nh t đ nh.

M i quan tâm chính c a kinh t toán là trình bày lý thuy t kinh t d
toán h c (các ph

ng trình) mà không chú ý t i kh n ng đo l

th c nghi m l i lý thuy t. Kinh t l

ng hay th m đ nh

ng quan tâm ch y u t i vi c th m đ nh th c

nghi m các lý thuy t kinh t . Các nhà kinh t l

ng th

ng s d ng các ph

trình toán h c do các nhà kinh t toán đ xu t nh ng l i đ t các ph

d

i d ng

ng

ng trình này

i d ng mà chính chúng có th dùng đ ki m đ nh th c nghi m. Và s chuy n đ i

mang tính toán h c này thành các ph

ng trình kinh t l

ng đòi h i r t l n s khéo

léo và k n ng th c hành.
Th ng k kinh t ch y u quan tâm t i vi c thu th p, x lý, và trình bày s li u
d

i d ng s đ và b ng bi u. ó là công vi c c a các nhà th ng kê kinh t . H ch u

trách nhi m thu th p s li u v GNP, vi c làm, th t nghi p, giá c , vân vân. Các s
li u đ

c thu th p này l i là s li u thô cho nghiên c u kinh t l

Các s li u kinh t không ph i đ
Các nhà kinh t l

ng.

c t o ra t các cu c thí nghi m có ki m soát.

ng gi ng nh các nhà thiên v n h c ph thu c vào s li u mà
4


chúng không th đ
t l

c ki m soát tr c ti p. S li u này ch a sai s c a phép đo. Kinh

ng s d ng các công c , ph

ng pháp c a th ng kê toán đ tìm ra b n ch t c a

các s li u th ng kê.
H i qui là m t công c c b n c a đo l

ng kinh t

. ýt

ng tr ng tâm c a

phân tích h i qui nhi u bi n là nghiên c u m i liên h ph thu c có tính th ng kê
c a m t bi n ng u nhiên v i nhi u bi n gi i thích khác.
M c tiêu c a phân tích h i qui là đi

cl

ng và d báo giá tr trung bình c a

bi n ph thu c Y , d a trên các giá tr đã bi t c a bi n gi i thích ; t c là tr

c h t đi

tìm hàm k v ng có đi u ki n c a bi n ph thu c v i các giá tr đã bi t c a bi n gi i
thích d

i d ng E (Y/Xi) = f(Xi). T ng giá tr riêng c a bi n ph thu c Yi s bi n

đ ng xung quanh E (Y/Xi) và l ch g i giá tr trung bình có đi u ki n này m t l

ng

ui, m i quan h này có d ng mô hình h i qui t ng th :
Y i = E(Y/X i ) + u i ,
Khái ni m h i qui đã đ

(1-1)

c Francis Galton đ a ra khi ông phát hi n ra qui lu t

chi u cao c a các cháu trai ph thu c vào chi u cao c a b chúng. Ông quan tâm tìm
ki m t i sao l i có s

n đ nh v phân b chi u cao trong m t nhóm dân s . Nh ng

theo cách nhìn hi n đ i m i quan quan tâm c a chúng ta là khám phá ra chi u cao
trung bình c a nh ng bé trai thay đ i nh th nào c n c chi u cao c a b chúng.
Nói cách khác, chúng ta quan tâm t i vi c d báo chi u cao trung bình c a nh ng bé
trai khi bi t chi u cao c a b chúng. Trong hình 1.1 là đ th phân r i cho bi t phân
b chi u cao c a nh ng bé trai trong m t t p dân s t
tr
ng

ng ng v i các giá tr cho

c v chi u cao c a b chúng. L u ý r ng ng v i chi u cao cho tr

cc am t

i b , có m t kho ng (phân b ) chi u cao c a nh ng bé trai. Tuy nhiên, c ng l u

ý chi u cao trung bình c a nh ng bé trai t ng lên khi chi u cao c a b chúng t ng
lên.

th y rõ đi u này, chúng ta v xuyên qua đ th phân r i m t đ

ng th ng

minh h a chi u cao trung bình c a nh ng bé trai t ng lên nh th nào cùng v i s
t ng lên v chi u cao c a b chúng.

ng th ng này đ

c g i là đ

ng h i qui.

Hãy xét đ th phân r i trong hình 1.2, nó cho bi t phân b v chi u cao c a
nh ng bé trai trong m t t p dân s theo nh ng đ tu i c đ nh. L u ý r ng, ng v i
5


m i đ tu i cho tr

c chúng ta có m t kho ng các chi u cao. Rõ ràng không ph i t t

c nh ng bé trai trong cùng m t đ tu i cho tr

c thì có cùng chi u cao. Nh ng

chi u cao trung bình t ng lên theo đ tu i. Nh v y, n u bi t đ tu i thì chúng ta có
th đoán đ

c chi u cao trung bình t

ng ng v i đ tu i đó.

Hình 1.1 Phân ph i gi thuy t v chi u cao c a con trai t
cho tr

ng ng v i chi u cao

cc ab

Hình 1.2 Phân ph i gi thuy t v chi u cao t

ng ng v i l a tu i

6


Quay sang ví d v kinh t , m t nhà kinh t có th quan tâm nghiên c u v s
ph thu c c a chi tiêu cá nhân vào thu nh p kh d ng cá nhân sau thu . M t phân
tích nh v y có th giúp cho vi c

cl

ng khuynh h

ng tiêu dùng biên (MPC),

t c là s thay đ i trung bình v chi tiêu cho tiêu dùng khi thay đ i m t đô la thu
nh p th c.
M t nhà đ c quy n có th c đ nh giá hay s n l

ng (nh ng không ph i c

hai) mu n khám phá xem ph n ng c a c u v m t s n ph m thay đ i theo giá. M t
thí nghi m nh v y có th t o đi u ki n đ

cl

ng đ co giãn c a c u theo giá

c a s n ph m đó và giúp xác đ nh m c giá có kh n ng mang l i l i nhu n l n nh t.

M t nhà kinh t lao đ ng có th mu n nghiên c u t l thay đ i m c l
danh ngh a có quan h v i t l th t nghi p. S li u l ch s đ
trong hình 1.3 là m t ví d v đ
s thay đ i ti n l

c cho

ng

đ th phân r i

ng cong Philip n i ti ng thi t l p m i quan h gi a

ng danh ngh a và t l th t nghi p. M t đ th phân r i nh v y có

th giúp nhà kinh t lao đ ng d đoán s thay đ i trung bình v m c l

ng danh

ngh a d a vào m t t l th t nghi p nh t đ nh. Nh ng ki n th c nh v y có th giúp
kh ng đ nh m t đi u gì đó v quá trình l m phát trong m t n n kinh t , vì t ng m c
l

ng danh ngh a có kh n ng ph n ánh s t ng giá.

Hình 1.3

ng cong Philip gi thuy t

M t nhà kinh t v ti n t cho bi t r ng, khi các y u t khác không đ i n u

m c làm phát

càng cao thì t l thu nh p mà m i ng

i mu n gi l i d

i d ng ti n
7


m t k càng th p, nh minh h a trong hình 1.4. M t phân tích l
h này s t o kh n ng cho nhà kinh t v ti n t d đoán l
t l thu nh p c a h , mà m i ng

ng hóa v m i quan

ng ti n m t, nh là môt

i mu n gi l i t i các m c l m phát khác nhau.

Giám đ c marketing c a m t công ty mu n bi t c u v s n ph m c a công ty
có m i quan h nh th nào v i v i chi tiêu cho qu ng cáo. M t nghiên c u nh v y
s giúp ích r t nhi u cho vi c tìm ra đ co giãn c a c u theo chi tiêu cho qu ng cáo,
t c là s ph n tr m thay đ i v c u ph n ng l i khi thay đ i m t ph n tr m trong
ngân sách qu ng cáo. Ki n th c này r t h u ích trong vi c xác đ nh ngân sách chi
cho qu ng cáo t i u.
Giám đ c marketing c a m t công ty mu n bi t c u v s n ph m c a công ty
có m i quan h nh th nào v i v i chi tiêu cho qu ng cáo. M t nghiên c u nh v y
s giúp ích r t nhi u cho vi c tìm ra đ co giãn c a c u theo chi tiêu cho qu ng cáo,
t c là s ph n tr m thay đ i v c u ph n ng l i khi thay đ i m t ph n tr m trong

ngân sách qu ng cáo. Ki n th c này r t h u ích trong vi c xác đ nh ngân sách chi
cho qu ng cáo t i u.
Hình 1.4 T l gi ti n m t trong thu nh p có quan h v i t l l m phát

M t nhà kinh t nông nghi p có th quan tâm nhiên c u s ph thu c c a s n
l

ng lúa vào nhi t đ , l

ng m a, l

ng ánh sáng m t tr i, và phân bón. Vi c phân

tích nh v y có th t o đi u ki n đ d báo v thu ho ch lúa trung bình d a trên
thông tin c a các bi n gi i thích.
8


B n đ c có th đ a ra nhi u ví d nh v y v s ph thu c c a m t bi n vào
m t hay nhi u bi n. Ph

ng pháp phân tích h i qui bàn t i

đây đ

c trình bày c

th nh m nghiên c u s ph thu c nh v y gi a các bi n.
1.2 Các m i quan h th ng kê không ph i quan h xác đ nh
T các ví d trích d n

nh ng gì đ

trên chúng ta l u ý r ng trong phân tích h i qui

c quan tâm là s ph thu c gi a các bi n mang tính th ng kê, ch

không mang tính hàm s hay xác đ nh nh nh ng m i quan h trong v t lý c đi n.
Trong nh ng m i quan h th ng kê chúng ta ch y u x lý v i các bi n ng u nhiên,
t c là các bi n có phân ph i xác su t. Ng

c l i, trong s ph thu c hàm s hay xác

đ nh chúng ta c ng x lý v i các bi n, nh ng các bi n này không mang tính ng u
nhiên.
Ví d , s ph thu c c a s n l

ng lúa vào nhi t đ , l

ng m a, l

ng ánh

sáng m t tr i, và phân bón v th c ch t là mang tính th ng kê theo ngh a các bi n
gi i thích này m c dù có t m quan tr ng nh t đ nh nh ng không th giúp nhà kinh t
nông nghi p d đoán chính xác s n l
đo l

ng lúa vì nh ng sai s có liên quan trong vi c

ng các bi n này c ng nh hàng lo t các y u t khác (các bi n) tác đ ng đ ng

th i t i s n l

ng nh ng có th r t khó đ xác đ nh riêng t ng cái m t. Do đó, có s

ch p nh n kh n ng bi n thiên “n i t i” hay ng u nhiên nh t đ nh trong bi n ph
thu c s n l

ng lúa, nó không th đ

c gi i thích hoàn toàn không c n bi t chúng ta

xem xét bao nhiêu bi n gi i thích.
1.3 H i qui không có tính nhân qu
M c dù phân tích h i qui đ c p đ n s ph thu c c a m t bi n vào nh ng
bi n khác, nh ng nó không nh t thi t hàm ý đ n tính nhân qu . Kendall và Stuart đã
nói: “M t m i quan h th ng kê dù r t m nh và dù r t nhi u hàm ý không th thi t
l p m i liên h nhân qu : các ý t

ng v tính nhân qu c a chúng ta ph i đ n t bên

ngoài th ng kê, xét cho cùng ph i đ n t m t lý thuy t nào đó ho c t l nh v c
khác.”
Trong ví d v s n l
r ng l
l

ng lúa trên đây, không có lý do th ng kê nào đ cho

ng m a không ph thu c vào s n l

ng lúa nh là bi n ph thu c vào l

ng lúa. V n đ

ch chúng ta xem s n

ng m a (trong s nh ng th khác) là do vi c
9


xem xét không có tính th ng kê: ý ngh a chung là m i quan h này không th đ o
ng
l

cđ

c, vì chúng ta không th ki m soát l

ng m a b ng cách thay đ i s n

ng lúa.
Trong các ví d trên đi m đáng l u ý là m t m i quan h th ng kê v th c

ch t không th ám ch lôgic đ n tính nhân qu .
ph i yêu c u đ n nh ng xem xét tr
ng

qui cho tính nhân qu , ng

i ta

c đó ho c lý thuy t. Do đó, trong ví d th ba

i ta có th vi n d n lý thuy t kinh t đ nói r ng chi tiêu cho tiêu dùng ph

thu c vào thu nh p th c t .
1.4 H i qui không ph i t
Phân tích t

ng quan

ng quan tuy có m i quan h r t g n nh ng v m t khái ni m l i

r t khác nhau v i phân tích h i qui, m c tiêu chính c a phân tích t
l

ng quan là đo

ng m c đ c a m i quan h tuy n tính gi a hai bi n. Ví d , chúng ta có th quan

tâm tìm ki m (h s ) t

ng quan gi a vi c hút thu c và ung th ph i, gi a các đi m

thi th ng kê và toán, gi a đi m t t nghi p ph thông và đi m t t nghi p đ i h c, vân
vân. Trong phân tích h i qui, chúng ta v c b n không quan tâm t i m t s đo nh
v y. Thay vào đó, chúng ta c g ng

cl

ng hay d báo giá tr trung bình c a m t

bi n d a trên các giá tr c đ nh c a nh ng bi n khác. Ch ng h n, chúng ta có th
mu n bi t li u có th d đoán đ

c đi m thi th ng kê trung bình khi bi t đi m thi

toán c a m t sinh viên.
H i qui và t

ng quan có m t s khác nhau c b n r t đáng chú ý. Trong

phân tích h i qui, có tính b t đ i x ng trong cách mà bi n ph thu c và các bi n gi i
thích đ

c x lý. Bi n ph thu c đ

có m t phân ph i xác su t. Ng

c cho là có tính th ng kê và ng u nhiên, t c là

c l i, các bi n gi i thích đ

c đ nh (trong vi c l y m u l p), chúng đ

c đ a ra rõ ràng trong đ nh ngh a v h i

qui. Ch ng h n, chúng ta gi s r ng bi n l a tu i đ
và các s đo chi u cao nh n đ

c cho là nh ng giá tr

c c đ nh

c t i các m c đó. Ng

các m c cho tr

c l i trong phân tích t

c
ng

quan, chúng ta x lý các (hai) bi n có tính đ i x ng; không có s phân bi t nào gi a
bi n ph thu c và các bi n gi i thích. Xét cho cùng, m i t
toán và đi m thi th ng kê c ng gi ng nh m i t
đi m thi toán. H n n a, c hai bi n đ

ng quan gi a đi m thi

ng quan gi a đi m thi th ng kê và

c cho là ng u nhiên. Nh chúng ta s th y,
10


h u h t lý thuy t t

ng quan d a trên gi thi t v tính ng u nhiên c a các bi n, trong

khi h u h t lý thuy t h i qui đ

c gi i thích d a trên gi thi t cho là bi n ph thu c

mang tính ng u nhiên nh ng các bi n gi i thích là c đ nh hay không ng u nhiên.
1.5 B n ch t và ngu n s li u cho phân tích kinh t l
S thành công c a phân tích kinh t l

ng

ng cu i cùng ph thu c vào s s n có

c a s li u phù h p . Do đó chúng ta c n dành th i gian bàn v b n ch t, t o ngu n,
và nh ng h n ch c a s li u mà có th g p ph i trong phân tích th c nghi m.
1. Các ki u s li u
Có 3 ki u s li u có th s n có trong phân tích th c nghi m: s li u chu i
th i gian, s li u chéo theo vùng, và s li u h n h p (k t h p s li u chu i th i gian
và s li u chéo theo vùng).
S li u chu i th i gian. Chu i th i gian là m t t p h p nh ng quan sát v nh ng giá
tr mà m t bi n có th nh n t i các th i đi m khác nhau. S li u nh v y có th đ

c

thu th p đ u đ n trong nh ng kho ng th i gian nh t đ nh, ch ng h n nh hàng ngày
(ví d , giá c phi u), hàng tu n (ví d , m c cung ti n c a nhà n

c), hàng tháng (ví

d , t l th t nghi p, ch s giá tiêu dùng), hàng quí (ví d , GNP), hàng n m (ví d ,

ngân sách c a chính ph ), c n m n m m t l n (ví d đi u tra v s n xu t), c m
n m m t l n (ví d đi u tra v dân s ).
hàng n m nh trong tr

i

ôi khi các s li u là s n có c theo quí và

ng h p s li u v GDP hay chi tiêu cho tiêu dùng.

Nh v y các s li u đ
m c cung ti n) ho c ch t l

c thu th p có th là s l

ng (ví d , thu nh p, giá c ,

ng (ví d , nam ho c n , có vi c làm ho c không có vi c

làm, có hôn nhân ho c ch a có hôn nhân, có trình đ đ i h c ho c không). Nh
chúng ta sau này s th y, các bi n ch t l
tr ng không kém các bi n v s l

c g i là các bi n gi và có th quan

ng.

M c dù s li u chu i th i gian đ
t l

ng đ

c dùng trong r t nhi u các nghiên c u kinh

ng, nh ng chúng c ng th hi n m t s v n đ đ i v i các nhà kinh t l

ng.

H u h t các công trình th c nghi m d a vào chu i th i th i gian đ u gi thi t r ng
các chu i th i gian đang dùng là các chu i d ng. Ý ngh a mang tính k thu t chính
xác c a tính d ng c a m t chu i th i gian là giá tr trung bình và ph

ng sai c a nó

11


là không đ i m t cách h th ng theo th i gian. Hãy luôn ghi nh m i khi b n x lý
v i s li u chu i th i gian, thì tính d ng c a nó luôn đ

c xem xét.

S li u chéo theo vùng. S li u chéo theo vùng là s li u cho các bi n đ

c thu th p

theo không gian vào cùng m t th i đi m, nh s li u đi u tra dân s c 10 n m m t
l n, s liêu đi u tra v chi tiêu cho tiêu dùng hay s li u v ý ki n c tri do r t nhi u
t ch c ti n hành. Trong b ng 1.1 minh h a s li u v s n l

ng tr ng và giá tr ng

cho 50 bang c a M n m 1990 và 1991. V i m i n m, s li u này trên 50 bang là s
li u chéo theo vùng. Nh v y, trong b ng 1.1 có hai m u s li u chéo theo vùng.
C ng gi ng nh s li u chu i th i gian có v n đ đ c bi t riêng c a chúng v
tính d ng, s li u chéo theo vùng c n có v n đ riêng c a chúng, c th là ph

ng

sai c a sai s không đ ng nh t. Chúng ta có m t s bang s n xu t r t nhi u tr ng (ví
d , bang Pennsylvania) và môt s bang s n xu t r t ít. Khi đ a các đ n v không
đ ng đ u vào m t phân tích th ng kê, c n ph i tính đ n đ n nh h

ng c a đ l n

hay qui mô c ng gi ng nh không th tr n l n táo v i cam.
S li u h n h p. Trong s li u h n h p, có c nh ng phân t s li u chu i th i gian
và c s li u chéo theo vùng. S li u trong b ng 1.1 là m t ví d v s li u h n h p.
V i m i n m chún ta có 50 quan sát chéo theo vùng và v i m i bang chúng ta có hai
quan sát theo th i gian v giá và s n l

ng c a tr ng, t ng c ng là 100 quan sát h n

h p.
2. Ngu n g c c a s li u
Các s li u đ
nhà n

c s d ng trong phân tích th c nghi m có th do các c quan

c, các t ch c qu c t , các công ty t nhân hay các cá nhân thu th p.

Chúng có th là các s li u th c nghi m và không th c nghi m. Các s li u th c
nghi m th

ng đ

c thu th p trong khoa h c t

nghi m th

ng đ

c thu th p trong khoa h c xã h i nói chung, không ph i do th c

nghi m mà có, không n m d
s ng

nhiên. Các s li u không th c

i s ki m soát c a k thu t viên (ví d GDP, giá c ,

i th t nghi p...).

3. Tính chính xác c a s li u
M c dù có r t nhi u s li u s n có trong nghiên c u kinh t , nh ng ch t l
c a các s li u thu th p đ

c th

ng không t t.

ng

ó là do m t s nguyên nhân. H u
12


h t các s li u trong khoa h c xã h i th

ng là các s li u phi th c nghi m nên có

th có nhi u sai s do quan sát hay b sót quan sát, hay do c hai. Ngay c các s
li u thu th p đ

c b ng th c nghi m c ng có sai s c a phép đo. Các m u đ

c thu

th p trong các cu c đi u tra r t khác nhau v kích c cho nên r t khó kh n trong vi c
so sánh các k t qu gi a các đ t đi u tra. Các lo i s li u kinh t th

ng có s n

m c t ng h p cao, không đi sâu vào các đ n v nh . M t s các s li u thu c bí m t
qu c gia, không ph i ai c ng có th s d ng đ
B ng 1.1 S n l

c.

ng tr ng c a M

13


Ch ng 2
Mô hình h i quy hai bi n
2.1 Ví d gi đ nh
Hãy hình dung vùng gi đ nh v i dân s có 60 gia đình. Gi s ta quan tâm
nghiên c u t i m i quan h gi a chi tiêu cho tiêu dùng c a m t gia đình hàng tu n Y
và thu nh p kh d ng sau thu c a m t gia đình X. C th h n, ta mu n d đoán
m c chi tiêu cho tiêu dùng gia đình trung bình hàng tu n n u bi t thu nh p hàng tu n
c a gia đình đó. Nh m m c đích đó, ta chia 60 gia đình này thành 10 nhóm có thu
nh p x p x nhau và ki m tra xem chi tiêu tiêu dùng c a các gia đình trong m i
nhóm. Ta có b ng s li u sau (tính b ng $):
B ng 2-1: Thu nh p và chi tiêu trong 1 tu n c a t ng th
X
Y

80

100

120

140

160

180

200

220

240

260

55
60
65
70
75

65
70
74
80
85
88

79
84
90
94
98

80
93

95
103
108
113

102
107
110
116
118
125

110
115
120
130
135
140

120
136
140
144
145

135
137
140
152
157

160

137
145
155
165
175
189

150
152
175
178
180
185

115
∑

162

191

325 462 445 707 678 750 685 1043 966 1211
B ng 2.1 đ c gi i thích nh sau: Ví d , t ng ng v i thu nh p 80 $ m i tu n

có n m gia đình mà chi tiêu tiêu dùng c a h trong kho ng t 55 $ đ n 75 $. T

ng

t , cho X = 240 $ thì có sáu gia đình mà chi tiêu tiêu dùng c a h trong kho ng t
137 $ đ n 189 $. Nói cách khác, m i c t trong b ng 2.1 cho bi t m t phân ph i chi
tiêu tiêu dùng Y t

ng ng v i m t m c thu nh p c đ nh;t c là nó cho bi t phân

ph i có đi u ki n c a Y v i các giá tr cho tr

c c a X. Nh v y, ta có b ng phân

ph i Y v i X đã cho. Ta có b ng phân ph i xác su t có đi u ki n P(Y| X = X i ). Ví
d , v i X = 80 $ có n m giá tr c a Y: 55 $, 60 $, 65 $, 70 $ và 75 $. Do đó, cho
tr

c X = 80, xác su t c a m i m c trong s các chi tiêu tiêu dùng này b ng 1/5; kí
14


hi u p(Y= 55| X = 80) = 1/5. T

ng t , p(Y= 150| X = 260) = 1/7, vân vân. Các xác

su t có đi u ki n cho s li u trong b ng 2.1 đ

c th hi n trong b ng 2.2.

B ng 2-2: Các xác su t có đi u ki n p(Y| Xi) cho s li u trong b ng 2.1
X
p(Y X i )

80

100

120

140

160

180

200

220

240

260

1/5
1/5

1/6
1/6

1/5
1/5

1/7

1/7

1/6
1/6

1/6
1/6

1/5
1/5

1/7
1/7

1/6
1/6

1/7
1/7

1/5

1/6

1/5

1/7

1/6

1/6

1/5

1/7

1/6

1/7

1/5
1/5

1/6
1/6

1/5
1/5

1/7
1/7

1/6
1/6

1/6
1/6

1/5
1/5

1/7
1/7

1/6
1/6

1/7
1/7

1/7
1/7

1/6

1/6

1/7
1/7

1/6

1/7
1/7

101

113

125

149

161

179

1/6
E(Y|X i )

65

77

89

137

V i m i phân ph i xác xu t có đi u ki n Y chúng ta có th tính giá tr trung
bình c a nó, đ

c g i là giá tr trung bình có đi u ki n hay k v ng có đi u ki n, ký

hi u E(Y X = X i ). Ta có,
n

E(Y | X = X i ) = ∑ P(Y | X i ). Yi
j =1

E(Y| X i = 80) = (55 + 60 + 65 + 70 + 75) 1/5 = 65

E(Y| X i = 200) = (120 + 136 + 140 + 144 + 145) 1/5 = 137
S li u

b ng 2.1 đ

c minh h a b ng đ th phân gi i trong hình 2.1.

th phân gi i này cho th y phân ph i có đi u ki n c a Y t

ng ng v i các

giá tr khác nhau c a X. M c dù có nh ng bi n thiên v chi tiêu tiêu dùng c a riêng
t ng gia đình, nh ng hình 2.1 cho th y rõ ràng r ng chi tiêu tiêu dùng tính trung bình
t ng lên khi thu nh p t ng lên.

khía c nh khác, đ th này bi u l giá tr trung bình

(có đi u ki n ) c a Y t ng lên khi X t ng. Quan sát này có th th y sinh đ ng h n
n u chúng ta t p trung vào nh ng đi m in đ m th hi n các giá tr trung bình có đi u
ki n khác nhau c a Y.

th phân gi i này cho th y các giá tr trung bình có đi u

15


ki n này n m trên m t đ
đ

ng th ng v i đ d c d

ng.

ng th ng này đ

c g i là

ng h i qui t ng th . ó chính là h i qui c a Y theo X.

Hình 2.1 Phân ph i có đi u ki n v chi tiêu v i các m c thu nh p khác nhau

Khi đó, v m t hình h c m t đ

ng h i qui t ng th đ n gi n là qu tích các

đi m giá tr trung bình có đi u ki n hay k v ng có đi u ki n c a bi n ph thu c v i
nh ng giá tr c đ nh c a các bi n gi i thích. Nh minh h a trong hình 2.2 cho th y
v i m i X i có m t t ng th các giá tr c a Y (đ
và m t giá tr trung bình (có đi u ki n) t

c gi thi t là có phân ph i chu n)

ng ng.

ng h i qui đi qua các giá tr

trung bình có đi u ki n này.
2.2 Hàm h i qui t ng th (PRF)
T th o lu n

trên đ c bi t trong hình 2.1 và 2.2 thì rõ ràng là m i giá tr trung

bình có đi u ki n E(Y| X i ) là m t hàm c a X i . B ng ký hi u, thì
E(Y| X i ) = f(X i )
trong đó f(X i ) ký hi u là m t hàm c a bi n gi i thích X i . Ph

(2.1)
ng trình (2.1) đ

cg i

là hàm h i quy t ng th (hai bi n) PRF. Nó đ n thu n kh ng đ nh r ng trung bình
(t ng th ) c a phân ph i Y v i X đã bi t là m t hàm c a bi n X i . Nói cách khác, nó
cho bi t giá tr trung bình c a Y thay đ i theo X nh th nào.
Hàm f(X i ) đ

c gi thi t có d ng nh th nào? Câu h i này là quan tr ng vì

trong nh ng tình hu ng th c t chúng ta không s n có toàn b t ng th đ ki m tra.
Do đó d ng hàm PRF là m t v n đ th c nghi m, m c dù trong các tr

ng h p c

th lý thuy t có th có đi u gì đó đ nói. Ví d , các nhà kinh t có th th a nh n r ng
16


chi tiêu tiêu dùng có m i quan h tuy n tính v i thu nh p. Vì v y, nh là m t s x p
x đ u tiên hay gi thuy t đ ti n hành nghiên c u, ta có th gi s r ng PRF E(Y|
X i ) là m t hàm tuy n tính c a X i , hay có d ng

E(Y| X i ) = f(X i ) = β 1 + β 2 X i

(2.2)

trong đó β 1 và β 2 là các tham s c đ nh ch a bi t g i là các h s h i qui: ta c ng
còn g i β 1 là h s ch n và β 2 là h s góc. Ph

ng trình (2.2) g i là hàm h i qui

t ng th tuy n tính hay h i qui t ng th tuy n tính.

ôi khi nó c ng đ

c g i là mô

hình h i qui t ng th tuy n tính.
Hình 2.2

ng h i qui t ng th

Thu t ng tuy n tính

đây đ

1. Tuy n tính theo các bi n.

c di n gi i theo hai cách:
i u đ u tiên có l r t “ t nhiên” c a ý ngh a

tuy n tính là k v ng có đi u kiên c a Y là m t hàm tuy n tính c a X i , ví d nh

(2.2). Trong tr

ng h p này đ

ng tuy n tính là m t đ

ng th ng. Theo s di n gi i

này, thì m t hàm h i qui nh E(Y | X i ) = β 1 + β 2 X i 2 không ph i là m t hàm tuy n
tính vì bi n X xu t hi n v i s m 2.
2. Tuy n tính theo tham s . Cách di n gi i v tuy n tính th hai là k v ng có
đi u kiên c a Y, E(Y|X i ), là m t hàm tuy n tính c a β i . Theo cách di n gi i này,
E(Y|X i )= β 1 + β 2 X i 2 là m t mô hình h i qui tuy n tính nh ng E(Y | X i ) =

1

+

2

.X i

17


thì không tuy n tính. Mô hình th hai là m t ví d v mô hình h i qui phi tuy n
(theo các tham s ) mà chúng ta không x lý v i nh ng mô hình nh v y trong tài
li u này.
2.3 Ch đ nh ng u nhiên v hàm PRF
Rõ ràng trong hình 2.1 khi thu nh p gia đình t ng lên thì chi tiêu tiêu dùng gia

đình tính trung bình c ng t ng lên. Nh ng còn chi tiêu tiêu dùng c a m t gia đình c
th có m i quan h nh th nào v i m c thu nh p (c đ nh) c a gia đình đó? Ta th y
t b ng 2.1 và hình 2.1 chi tiêu tiêu dùng c a m t gia đình c th không nh t thi t
t ng lên khi m c thu nh p t ng lên. Ví d , ng v i m c thu nh p 100$ có m t gia
đình mà chi tiêu tiêu dùng b ng 65$ th p h n chi tiêu tiêu dùng c a hai gia đình có
thu nh p hàng tu n ch 80$. Nh ng l u ý r ng, m c chi tiêu tiêu dùng trung bình c a
các gia đình có thu nh p hàng tu n 100$ là l n h n m c chi tiêu tiêu dùng trung bình
c a các gia đình có thu nh p hàng tu n 80$ (77$ l n h n 65$).
V y thì chúng ta có th nói gì v m i quan h gi a chi tiêu tiêu dùng c a m t
gia đình c th và m t m c thu nh p cho tr
nh p X i cho tr

c? T hình 2.1 ta th y, v i m c thu

c thì chi tiêu tiêu dùng c a m t gia đình c th dao đ ng xung

quanh m c chi tiêu dùng trung bình c a t t c các gia đình t i m c X i , t c là xung
quanh k v ng có đi u ki n c a nó. Do đó, chúng ta có th bi u di n bi n thiên này
c a m t gia đình c th xung quanh k v ng c a nó nh sau:
u i = Y i – E(Y X i )
Y i = E(Y X i ) + u i

hay

trong đó bi n thiên u i là m t bi n ng u nhiên không th quan sát đ
tr d

(2.3)
c nh n các giá

ng ho c âm. u i là sai s ng u nhiên ho c nhi u ng u nhiên.
Nh v y, chúng ta có th nói chi tiêu dùng c a m t gia đình c th v i m c

thu nh p c a nó cho tr

c có th đ

c bi u di n thành t ng c a hai ph n: (1) E(Y |

X i ) ám ch đ n gi n là m c chi tiêu dùng trung bình c a t t c các gia đình cùng m t
m c thu nh p đó. Thành ph n này có tính h th ng và xác đ nh đ

c. (2) thành ph n

th hai là u i , nó là ng u nhiên và không có tính h th ng. N u E(Y X i ) đ
thi t là tuy n tính theo X i , thì ph

c gi

ng trình (2.3) có th vi t là:
Y i = E(Y X i ) + u i
18


= β1 + β2Xi + ui

(2.4)

Theo (2.4) ta có:
Y 1 = 55 = β 1 + β 2 .80 + u 1

Y 2 = 60 = β 1 + β 2 .80 + u 2
Y 3 = 65 = β 1 + β 2 . 80 + u 3
Y 4 = 70 = β 1 + β 2 . 80 + u 4
Y 5 = 75 = β 1 + β 2 .80 + u 5
Bây gi n u chúng ta l y giá tr k v ng hai v c a (2.3), ta đ

c:

E(Y i |X i ) = E[E(Y|X i )] + E(u i |X i )
= E(Y| X i ) + E(u i |X i )
Do E(Y i |X i ) c ng chính là E(Y|X i ), nên ph

(2.5)
ng trình (2.4) hàm ý r ng

E(u i |X i ) = 0
Nh v y, gi thi t cho r ng đ

(2.6)

ng th ng h i qui đi qua các giá tr trung

bình có đi u ki n c a Y hàm ý r ng các giá tr trung bình có đi u ki n c a u i
(v i X i đã cho)là b ng 0. Vì v y không c n ph i đ a y u t này vào mô hình.
2.4 T m quan tr ng c a sai s ng u nhiên
Nh đã l u ý

trên, bi u th c sai s ng u nhiên u i là đ i di n cho t t

c các bi n b b qua không đ a vào mô hình nh ng có tác đ ng đ ng th i t i

Y. Câu h i đ t ra là: T i sao chúng ta không đ a t t c các bi n đó vào mô
hình? Hay nói cách khác, t i sao không phát tri n mô hình h i quy b i v i th t
nhi u bi n t i đa có th đ

c? Chúng ta có th xây d ng đ

c mô hình h i quy

b i nh ng dù có đ a thêm vào bao nhiêu bi n đ c l p thì sai s ng u nhiên v n
t n t i v i nhi u lý do. C th :
1. Tính m h c a lý thuy t: Lý thuy t này đi xác đ nh hành vi c a Y nh ng có
th ho c th

ng là không hoàn thi n. Chúng ta có th bi t ch c ch n thu nh p

hàng tu n X có nh h

ng t i chi tiêu dùng Y, nh ng có th b qua ho c

không bi t ch c ch n v nh ng bi n khác tác đ ng t i Y. Do đó, u i đ

cs

d ng đ thay th cho t t c các bi n b b qua không đ a vào mô hình.

19


2. Không đ y đ s li u: ngay c khi bi t rõ các bi n b b qua không đ a vào
mô hình và khi ti n hành xây d ng mô hình h i quy nhi u bi n chúng ta c ng

không có đ y đ thông tin v các bi n này. Kinh nghi m nói chung trong
phân tích th c nghi m là s li u chúng ta thích nh lý t

ng th

ng không

s n có. Ví d , chúng ta có th đ a s giàu có c a gia đình nh là m t bi n gi i
thích thêm vào bi n thu nh p đ gi i thích chi tiêu dùng gia đình. Nh ng th t
không may, thông tin v s giàu có gia đình là không s n có. Do đó chúng ta
bu c ph i b qua bi n v s giàu có này không đ a vào mô hình dù cho s
liên quan c a nó v m t lý thuy t là r t l n đ gi thích chi tiêu tiêu dùng.
3. Bi n c b n khác v i bi n ph . Gi s trong ví d tiêu dùng-thu nh p c a
chúng ta bên c nh thu nh p X 1 , còn có s con trong gia đình X 2 , gi i tính X 3 ,
tôn giáo X 4 , trình đ v n hóa X 5 , và vùng đ a lý X 6 c ng tác đ ng t i chi tiêu
tiêu tiêu dùng. Nh ng r t có th là nh h

ng chung c a t t c hay m t s

bi n này là r t nh đ n m c mà không nh h
mô hình. Ng

i ta hy v ng r ng nh h

ng đáng k khi đ a chúng vào

ng k t h p c a chúng có th đ

c

xem nh là bi n ng u nhiên u i .
4. S ng u nhiên mang tính n i tâm trong hành vi con ng

i. Ngay c khi chúng

ta thành công trong vi c đ a t t c các bi n có liên quan vào mô hình, thì v n
có gi i h n v s ng u nhiên mang tính n i tâm nào đó trong t ng cá nhân mà
Y không th đ

c gi i thích dù chúng ta c g ng đ n m y. Nhi u u i có th

ph n ánh r t t t s ng u nhiên mang tính n i tâm này.
5. Các bi n có s

y thác kém. M c dù trong mô hình h i qui c đi n gi s r ng

các bi n Y và X đ
s đo l

c đo chính xác, nh ng trong th c t s li u có th b sai

ng r t tai h i.

6. V khía c nh kinh t . Ta mu n có mô hình h i qui càng đ n gi n càng t t.
N u ta có th gi i thích hành vi c a bi n Y b ng m t s nh nh t các bi n và
ta không bi t t

ng minh các bi n khác thì ta dùng y u t u i đ thay cho t t c

các bi n này.

20


7. D ng hàm sai. Chúng ta th

ng không bi t chính xác d ng hàm v m i quan

h gi a các bi n gi i thích và ph thu c, đó là m i quan h tuy n tính hay, phi
tuy n.
2.5 Hàm h i quy m u SRF
Cho đ n gi chúng ta m i h n ch th o lu n
t

t p t ng th các giá tr c a Y

ng ng v i các giá tr X c đ nh đ th n tr ng tránh vi c l y m u các quan sát

(l u ý s li u c a b ng 2.1 minh h a t p t ng th , ch không ph i m t m u). Nh ng
đã đ n lúc ph i đ i m t v i các v n đ l y m u, vì h u h t trong các tình hu ng th c
t mà chúng ta có là m t m u các giá tr c a Y t

ng ng v i các giá r X c đ nh

nào đó. Do đó nhi m v c a chúng ta bây gi là đi

cl

ng hàm h i qui t ng th

PRF trên c s thông tin m u.
minh h a, gi s r ng t p t ng th c a b ng 2.1 chúng ta không bi t mà ch
có thông tin là m t m u đ
cho tr

c ch n ng u nhiên v các giá tr c a Y v i các giá tr X

c nh trong b ng 2.3. Không gi ng trong b ng 2.1, bây gi chúng ta ch có

m t giá tr c a Y t
trong b ng 2.3 đ

ng ng v i các giá tr c a X cho tr
c ch n ng u nhiên t các giá tr Y t

c; m i Y (cho tr

c Xi)

ng ng v i cùng m t X i t

b ng 2.1.
B ng 2.3 M t m u ng u nhiên t t p t ng th trong b ng 2.1
Y
70
65
90
95
100
115

120
140
155
150
Câu h i đ t ra là: T m u c a b ng 2.3

X
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
chúng ta có th d đoán chi tiêu tiêu

dùng trung bình hàng tu n Y trong t p t ng th t

ng ng v i các giá tr X đ

ch n hay không? Nói cách khác, chúng ta có th

cl

c

ng hàm h i qui t ng th

21


PRF t s li u m u hay không? B n đ c ch c ch n khi ng , chúng ta không th
l

ng “chính xác” PRF vì các dao đ ng trong vi c l y m u.

c

th y đi u này, ta l y

m t m u ng u nhiên khác t t p t ng th trong b ng 2.1, nh trong b ng 2.4.
B ng 2.4 M t m u ng u nhiên khác t t p t ng th trong b ng 2.1
Y

X

55
88

80
100

90
80

120
140

116
120
145

160
180
200

175

220

V s li u trong các b ng 2.3 và 2.4, ta đ
2.3. Trong đ th phân gi i, có hai đ

c đ th phân gi i nh trong hình

ng h i qui m u đ

c v đ “h p”v i các đi m

phân r i: SRF 1 d a trên m u th nh t, và SRF 2 d a trên m u th 2.
hai đ

ng này th hi n đ

ch n tuy t đ i là đ

ng nào trong

ng h i qui t ng th “th t s ”? Chúng ta không th ch c

ng nào. Các đ

ng trong hình 2.3 đ

c g i là các đ

ng h i

qui m u. Do có nh ng dao đ ng trong vi c l y m u nên chúng là x p x c a h i qui
t ng th PR. Nói chung, chúng ta có th có đ

c N hàm h i qui m u khác nhau SRF i

v i N m u khác nhau, và các hàm h i qui m u không trùng nhau.
T

ng t hàm h i qui t ng th PRF
∧

∧

(2.2), hàm h i qui m u có th vi t là
∧

Yi = β1 + β 2 X i

(2.7)

trong đó
∧

- Yi là
∧

- β1 là
∧

- β 2 là

cl

ng c a E(Y X i ),

cl

ng c a β 1 ,

cl

ng c a β 2

L u ý r ng, c ng gi ng nh nh hàm h i qui t ng th PRF đ c bi u di n
d i hai d ng t ng đ ng (2.2) và (2.4), ta có th bi u di n hàm h i qui m u SRF
(2.7) d i d ng ng u nhiên c a nó nh sau:
22


∧

∧

∧

Y i = β1 + β 2 X i + ui
Hình 2.3 Các đ

(2.8)

ng h i qui d a trên hai m u khác nhau

∧

trong đó ký hi u thêm vào u i nh đã đ c đ c đ nh ngh a, g i là ph n d (c a
∧
m u). V m t khái ni m u i t ng t v i u i và có th đ c xem nh là m t c l ng
c a u i . Nó đ c đ a vào hàm h i qui m u SRF v i cùng lý do nh u i đ c đ a vào
hàm h i qui t ng th PRF.
Tóm l i, chúng ta tìm th y m c tiêu ban đ u trong phân tích h i qui là

c

hàm PRF (2.4) đ c d a trên hàm h i qui m u (2.8), vì th ng th ng phân tích c a
chúng ta đ c a trên vi c l y m t m u t t p t ng th . Nh ng do các dao đ ng l y
m u nên c l ng hàm h i qui t ng th PRF d a trên hàm h i qui ch là m t x p x .
X p x này đ c minh h a trong hình 2.4.
V i X = X i , chúng ta có m t quan sát (m u) Y = Y i . Theo hàm h i qui m u
SRF, giá tr quan sát Y i có th đ c bi u di n là
∧

∧

Y i = Yi + ui
và theo hàm h i qui t ng th PRF, nó có th đ

(2.9)

c bi u di n là

Y i = E(Y X i ) + u i

(2.10)

∧

c l ng cao h n giá tr th c E(Y X i ) v i X i
Bây gi trong hình 2.4 rõ ràng Yi
đ c cho đây. C ng nh v y, v i giá tr X i n m v phía trái đi m A, thì hàm h i
23


qui m u SRF c l ng nh h n hàm h i qui t ng th th c. Nh ng b n đ c c ng d
th y r ng vi c c l ng cao h n hay nh h n nh v y là không th tránh kh i vì
các dao đ ng c a vi c l y m u.
Hình 2.4 Các đ

ng h i qui m u và h i qui t ng th

Câu h i then ch t bây gi là: N u nh mu n đ m b o SRF là m t x p x c a

PRF thì có th đ a ra m t qui t c hay m t cách nào đ làm cho x p x này là “g n
nh t” có th đ c hay không? Nói cách khác, SRF đ c xây d ng nh th nào sao
∧

∧

cho β1 là “g n nh t” có th đ c v i β 1 , β 2 là “g n nh t” có th đ
chúng ta s không bao gi bi t đ c giá tr th t s c a β 1 và β 2 ?
2.6 Ph
Ph

ng pháp bình ph

ng nh nh t (OLS)

ng pháp bình ph

ng nh nh t đã đ

Gauss đ a ra là m t trong nh ng ph
l c nh t. Nguyên lý c a ph

c v i β 2 dù cho

c nhà toán h c

c Carl Friedrich

ng pháp phân tích h i qui n i ti ng và có hi u

ng pháp nh sau:

Gi s có hàm h i qui t ng th PRF nh sau:
Yi = β1 + β2Xi + ui
Tuy nhiên, nh
nó

cl

trên ta đã l u lý hàm PRF là không quan sát đ

(2.4)
c tr c ti p. Chúng

ng nó t hàm SRF:
∧

∧

∧

Y i = β1 + β 2 X i + ui

(2.8)

24


∧

∧

= Yi + ui

(2.9)

∧

trong đó Yi là giá tr (trung bình có đi u ki n) đ
Nh ng hàm SRF đ

c

cl

c

ng nh th nào?

cl

ng c a Y i .
th y đ

c đi u này chúng

ta ti p t c nh sau.
Tr

c h t, ta bi u di n (2.9) l i nh sau

∧

∧

ui = Y i - Yi
∧

∧

= Y i - β1 - β 2 X i

(2.11)

nó cho bieeys (ph n d ) đ n gi n là m c chênh l ch gi a giá tr nó cho bi t (ph n
d ) đ n gi n là m c chênh l ch gi a giá t c th và giá tr Y đ
Bây gi cho tr

c

cl

ng

c n c p quan sát v Y và X, chúng ta mu n xác đ nh hàm

SRF b ng cách nào đó đ càng g n giá tr c th Y càng t t. Nh m vào m c tiêu này,
chúng ta có th tuân theo tiêu chu n sau: Ch n SRF b ng m t cách sao cho t ng các
ph n d

∧

∑u

i

=

∑ (Y

i

∧

− Yi ) nh t i đa có th đ

c. Nh ng yêu c u này b ng tr c

giác, thì đây ch a ph i là m t tiêu chu n th t t t nh chúng ta th y trong đ th th
phân gi i

hình 2.5.

Hình 2.5 Tiêu chu n bình ph

ng nh nh t

N u chúng ta tuân theo tiêu chu n c c ti u hóa

∧

∑u

i

, thì hình 2.5 cho th y
25