TÍCH PHÂN hàm LƯỢNG GIÁC 03

TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
b

b

Dạng 1: Tính tích phân I = ∫ sin xdx hoặc I = ∫ cosn xdx
n

a

a

Ta xét các trường hợp sau:
1. Trường hợp 1: n=1.
2. Trường hợp 1: n=2.
3. Trường hợp 1: n=3.
4. Trường hợp 1: n=4.
5. Trường hợp 1: n=5.
Trường hợp 1: n=1.

b

b

a

a

Tính tích phân: I = ∫ sin xdx hoặc I = ∫ cosxdx

Cách giải: Áp dụng bảng nguyên hàm.

Bài 1: Tính các tích phân sau:
π
2
0

π

 3π

3. I = ∫02 sin  − x ÷dx
 2


π
2
0

2. I = ∫ sin ( 2 x − π ) dx

1. I = ∫ sin xdx
Trường hợp 2: n=2 hoặc n=4.
Tính tích phân:
b

b

a

a

I = ∫ sin 2 xdx hoặc I = ∫ cos2 xdx .

o

b

b

a

a

I = ∫ sin 4 xdx hoặc I = ∫ cos4 xdx

o

Cách giải: Áp dụng công thức hạ bậc.
Công thức hạ bậc:
1
cos2 x = ( 1 + cos2x )
2
1
sin 2 x = ( 1 − cos2x ) .
2
2
2
1
2
1


cos4 x = ( cos2 x ) =  ( 1 + cos2x )  = ( 1 + cos2x )
4
2

sin x = ( sin x )
4

2

2

2

1
2
1

=  ( 1 − cos2x )  = ( 1 + cos2x ) .
4
2


Bài 2: Tính các tích phân sau:
π

π
π x
3. I = ∫02 sin  − ÷dx
2 2

π

1. I = ∫ 2 sin 2 xdx

2. I = ∫ 4 sin 2 2 xdx

0

0

Bài 3: Tính các tích phân sau:
π

π
π x
3. I = ∫02 cos  − ÷dx
4 4

π

1. I = ∫ 2 cos2 xdx

2. I = ∫ 6 cos2 3 xdx

0

0

Trường hợp 3: n=3 hoặc n=5.
Tính tích phân:

o
o

b

b

I = ∫ sin 3 xdx hoặc I = ∫ cos3 xdx .
a

b

a

b

I = ∫ sin xdx hoặc I = ∫ cos5 xdx
5

a

a

Cách giải: Đổi biến số.
b

o Phân tích sin3 x hoặc sin 5 x thành: I = ∫ f ( sin x ) .cosx.dx . Sau đó đặt t = f ( s inx ) .
a
b

o Phân tích cos3 x hoặc cos5 x thành: I = ∫ f ( cosx ) .sin x.dx . Sau đó đặt t = f ( cosx ) .
a

Ta áp dụng hằng đẳng thức:


sin 2 x = 1 − cos2 x
sin x + cos x = 1 ⇒  2
2
cos x = 1 − sin x
sin 3x=sin 2 x.s inx = ( 1 − cos2 x ) s inx

cos3 x = cos2 x.cosx = ( 1 − sin 2 x ) .cosx

2

2

sin 5x=sin 4 x.s inx = ( 1 − cos2 x ) 2 s inx

2
 5
4
2
cos x = cos x.cosx = ( 1 − sin x ) .cosx

Lưu ý: f ( s inx ) là một thức theo sinx, f ( cosx ) là một biểu thức theo cosx.
Bài 4: Tính các tích phân sau:
π

π

1. I = ∫ 2 sin3 xdx
0

2. I = ∫ 4 sin3 2 xdx

π
2
0

4. I = ∫ sin 5

0
π
2
0

3. I = ∫ sin 5 xdx

x
dx
2

Bài 5: Tính các tích phân sau:
π

x
dx
0

2
π
x
4. I = ∫ 2 cos5 dx
0
3

π

2. I = ∫ 3 cos5

1. I = ∫ 2 cos3 xdx
0

π

3. I = ∫ 2 cos5 xdx
0

b

Dạng 2: Tính tích phân I = ∫ sin m x.cosn xdx
a

Ta xét các trường hợp sau:
1. TH1: m=n=1.
2. TH2: m=n=2.
3. TH3: m=n=3.
4. TH4: m lẻ và n chẵn.
5. TH5: m chẵn và n lẽ.

6. TH6: m ≠ n với m và n cùng chẵn.
7. TH7: m ≠ n với m và n cùng lẻ.
b

Trường hợp 1: m=n=1. Ta có: I = ∫a sin x.cosxdx =

1 b
sin 2 xdx
2 ∫a

Công thức nhân đôi:
 sin 2 x = 2sin x.cosx .
1
1
 sin x.cosx= .2sin x.cosx= sin 2 x .
2
2
2
2 1
 1 2
2
2
 sin x.cos x= ( sinx.cosx ) =  .2sin x.cosx ÷ = sin 2 x
2
 4
3

1
 1
 sin x.cos x= ( sinx.cosx ) =  .2sin x.cosx ÷ = sin 3 2 x

2
 8
Bài 6: Tính các tích phân sau:
3

3

3

π

π

1. I = ∫ 2 sin x.cosxdx

2. I = ∫ 4 sin 2 x.cos2xdx

0
π
2
0

0
π
2
0

x
x
3. I = ∫ sin .cos dx

2
2

4. I = ∫ sin
b

2
2
Trường hợp 2: m=n=2. Ta có: I = ∫a sin x.cos xdx =

Cách giải: Hạ bậc.

1 b 2
sin 2 xdx
4 ∫a

3x
3x
.cos dx
2
2


Bài 7: Tính các tích phân sau:
π

π

1. I = ∫ 2 sin 2 x.cos2xdx

2. I = ∫ 4 4sin 2 2 x.cos2 2xdx

0
π
2
0

0
π
2
0

x
x
3. I = ∫ 8sin 2 .cos2 dx
2
2

x
x
4. I = ∫ 3sin 2 .cos2 dx
3
3

b

3
3
Trường hợp 3: m=n=3. Ta có: I = ∫a sin x.cos xdx =

1 b 3
sin 2 xdx
8 ∫a

Cách giải: Đổi biến số dạng 1.
Bài 8: Tính các tích phân sau:
π

π

1. I = ∫ 2 sin3 x.cos3xdx

2. I = ∫ 4 sin3 2 x.cos3 2xdx

0
π
2
0

0
π
2
0

x
x
3. I = ∫ sin3 .cos3 dx
2
2
Trường hợp 4: : m lẻ và n chẵn.

Cách giải: Đổi biến số dạng 1.

x
x
4. I = ∫ sin3 .cos3 dx
3
3

b

b

a

a

 Biến đổi: I = ∫ sin m x.cosn xdx = ∫ sin m −1 x.cosn x.s inxdx

 Đặt t=cosx hoặc biểu thức chứa cosx.
Bài 9: Tính các tích phân sau:
π

π

1. I = ∫ 2 sin3 x.cos2 xdx

2. I = ∫ 4 sin 5 2 x.cos4 2xdx

0

0

3 x
6 x
3. I = ∫0 sin .cos dx
2
2
Trường hợp 5: : m chẵn và n lẽ.
Cách giải: Đổi biến số dạng 1.

π
5 x
2 x
4. I = ∫0 sin .cos dx
3
3

π

b

b

a

a

 Biến đổi: I = ∫ sin m x.cosn xdx = ∫ sin m x.cosn-1x.cosxdx

 Đặt t=sinx hoặc biểu thức chứa sinx.

Bài 10: Tính các tích phân sau:
π

π

1. I = ∫ 2 sin 2 x.cos3xdx
0

2 x
3 x
3. I = ∫0 sin .cos dx
2
2
Trường hợp 6: m ≠ n với m và n cùng chẵn.
Cách giải: Hạ bậc.
π

b

b

a

a

2. I = ∫ 4 sin 4 2 x.cos5 2xdx
0

π
4 x

5 x
4. I = ∫0 sin .cos dx
3
3

 Biến đổi: I = ∫ sin m x.cosn xdx = ∫ sin m x.cosn-1x.cosxdx

1
dx .
3
6 sin x
Không giải được tích phân này bằng cách biến đổi.
π
π
π
π
1
sin 2 x + cos2 x
1
cos2 x
2
2
I = ∫π2 3 dx = ∫π2
dx
=
dx
+
∫π6 sin x ∫π4 sin3 x dx
sin3 x
6 sin x

6
π

Bài : Tính tích phân I = ∫π2


π

Tính A = ∫π2

6
π
2
π
6

1
dx
sin x

π
π
cos2 x
cos2 x.s inx
cos2 x.s inx
2
2
B
=
dx

=
dx
=
Tính
∫ sin3 x
∫π6 sin4 x
∫π6 1 − cos2 x 2 dx
(
)

Cách khác:
π

I = ∫π2
6

π
π
1
s inx
s inx
2
2
dx
=
dx
=
dx
π
π

2
3
4
∫
∫
2
sin x
6 sin x
6 ( 1 − cos x )

Ta phải giải bằng tích phân từng phần.
π
π
1
1
1
2
I = ∫π
dx = ∫π2
. 2 dx
3
6 sin x
6 sin x sin x
1

cosx

u = s inx
 du = − 2 dx
⇒

sin x
Đặt 
1
 dv =

v
=
−
cot
x
dx 

sin 2 x
π

π
π
π
π
cosx 2
cos2 x
1 − sin 2 x
1
1
2
2
2
− ∫π
dx = 2 3 − ∫π
dx = 2 3 − ∫π

dx + ∫π2
dx
Khi đó: I = 2
3
3
3
sin x π 6 sin x
sin x
6
6 sin x
6 sin x
6

π
2
π
6

Suy ra: 2 I = 2 3 + ∫

1
dx
sin x

π
π
1
s inx
s inx
2

2
dx = ∫π
dx = ∫π
dx
Tính A= ∫
2
2
sin x
6 sin x
6 1 − cos x
Đặt t = cosx ⇒ dt=-sinxdx

π
3
 x = ⇒ t =
6
2
Đổi cận: 
 x= π ⇒ t = 0
 2
π
2
π
6

Khi đó: A = ∫

0

3

2

1
1 23  1
1 
1 t +1
dx
=
−
−
dt = ln

÷
2
∫
1− t
2 0  t −1 t + 1 
2 t −1

1
3+2
1
3 +2
⇒ I = 3 + ln
Vậy: 2 I = 2 3 + ln
.
2 2− 3
4 2− 3
π
1

Bài : Tính tích phân I = ∫ 3
dx .
0 cos3 x

3
2
0

1
3 +2
= ln
2 2− 3