lý thuyết,bài tập số phức nhiều dạng

Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – THPT Hà Trung
Tài liệu dành cho lớp học tại Ngọc Hồi – Hoàng Mai – Huỳnh Thúc Kháng – Bạch Mai
Liên hệ ôn thi : Gv – Lương Văn Huy – 0969141404
Face: Lương Văn Huy
A. ĐỊNH NGHĨA & CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC
I. LÝ THUYẾT:
1.Khái niệm số phức:
 Là biểu thức có dạng a + b i , trong đó a, b là những số thực và số i thoả i 2 = –1.
Kí hiệu là z = a + b i với a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo.
 Tập hợp các số phức kí hiệu là C = {a + b i / a, b R và i 2 = –1}. Ta có R  C .
 Số phức có phần ảo bằng 0 là một số thực: z = a + 0. i = a   
 Số phức có phần thực bằng 0 là một số ảo: z = 0.a + b i = b i . Đặc biệt i = 0 + 1. i
 Số 0 = 0 + 0. i vừa là số thực vừa là số ảo.
2.Số phức bằng nhau:
a  a '
 Cho hai số phức z = a + b i và z’ = a’ + b’ i . Ta có z = z  
b  b '
 VD: Tìm các số thực x, y biết: (2x – 3) – (3y+1) i = (2y + 1) + (3x – 7) i (1)
2 x  3  2 y  1
x  y  2
x  2
(1)  


3 y  1  3x  7
x  y  2
y  0
3.Biểu diễn hình học của số phức:
 Mỗi số phức z = a + b i được xác định bởi cặp số thực (a; b).
 Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a; b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại.
 Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục hoành

Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo.
 VD: Các điểm A, B, C, D biểu diễn các số phức là:
z A = 1 + 4 i , z B = –3 + 0. i , zC = 0 –2 i , z D = 4 – i
4.Môđun của số phức:
 Số phức z = a + b i được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng

Oxy. Độ dài của véctơ OM được gọi là môđun của số phức z. Kí
hiệu z = a + bi = a 2 + b 2
 Tính chất

 z  a2  b2  zz  OM
 z.z '  z . z '



 z  0, z   ,

z
z

z' z'

z 0z0

 z  z'  z  z'  z  z'

 VD: z = 3 – 4 i có z  3  4i  32  (4)2 = 5
 Chú ý: z 2  a 2  b 2  2abi  (a 2  b 2 ) 2  4a 2b 2  a 2  b 2  z

2

5.Số phức liên hợp:
 Cho số phức z = a + b i , số phức liên hợp của z là z  a  bi .
z = a + bi  z = a - bi ; z  z , z = z
Tính chất
 z1  z1
  ;
 z2  z2
z là số ảo  z   z

 z  z ; z  z '  z  z ' ; z.z '  z.z ';
 z là số thực  z  z ;
* Chú ý

2

z.z  z  a 2  b2

(z n )  (z) n ;i  i; i  i

Gv : Lương Văn Huy - LTĐH – Vinastudy.vn – Dạy bằng tất cả đam mê

-Trang 1


Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – THPT Hà Trung
Tài liệu dành cho lớp học tại Ngọc Hồi – Hoàng Mai – Huỳnh Thúc Kháng – Bạch Mai
Liên hệ ôn thi : Gv – Lương Văn Huy – 0969141404
Face: Lương Văn Huy




z là số thực  z  z
z là số ảo  z  z
* Môđun số phức z = a + b.i (a; b  R)


z  OM  a 2  b 2  z.z

Chú ý:

z z

z  C

 Hai điểm biểu diễn z và z đối xứng nhau qua trục Ox trên mặt phẳng Oxy.
6. Cộng, trừ số phức:
 Số đối của số phức z = a + b i là –z = –a – b i
 Cho z  a  bi và z '  a ' b ' i . Ta có z ± z' = (a ± a')+ (b ± b')i
 Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng số thực.
7. Phép nhân số phức:
 Cho hai số phức z  a  bi và z '  a ' b ' i . Nhân hai số phức như nhân hai đa thức rồi thay i 2 = –1 và rút
gọn, ta được: z.z' = a.a' - b.b' + (a.b' + a'.b)i
 k.z = k(a + b i ) = ka + kb i . Đặc biệt 0.z = 0 z 
2

 z. z = (a + b i )(a – b i ) hay z.z = a 2 + b 2 = z
 (a +bi)2 = a2 – b2 + 2abi . (1 +i)2 = 2i
 (a – bi)2 = a2 – b2 -2abi . (1 – i)2 = -2i
 VD: Phân tích z 2 + 4 thành nhân tử. z 2 + 4 = z 2 – (2i )2 = (z – 2 i )(z + 2 i ).

 Phép nhân số phức có các tính chất như phép nhân số thực.
8. Phép chia số phức:
1
z
1
a - bi
 Số nghịch đảo của số phức z  a  bi  0 là z -1 = = 2 hay
= 2
z z
a + bi a + b 2
 Cho hai số phức z  a  bi  0 và z '  a ' b ' i thì

z ' z '.z
a' + b'i (a' + b'i)(a - bi)
 2 hay
=
z
a + bi
a 2 + b2
z

 VD: Tìm z thoả (1 + 2 i )z = 3z – i .
i
i (2  2i )
2  2i
1 1
Ta có (3 – 1 – 2 i )z = i  z =
 z
z
 z  i

2  2i
4 4
8
4 4
9. Lũy thừa của đơn vị ảo: Cho k  N
 i 4k = 1; i 4k+1 = i; i 4k+ 2 = -1; i 4k +3 = -i
 VD: Tìm phần thực và ảo của số phức: z = (2  2i )13
6

z   (2  2i) 2  (2  2i)  (8i)6 (2  2i )  86.2  86.2i  219  219 i
Phần thực a = 219 , phần ảo b = 219
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
1) Tìm các số thực x, y biết:
a) (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i; c) (1 – 2x) – i 3 = 5 + (1 – 3y)i;
b) (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i;
3
4
1 5
1 3
 ĐS: a) x = , y =
b) x = 0, y = 1
c) x =
,y=
2
3
2
3
2) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa:
a) Phần thực của z bằng –2;
b) Phần ảo của z bằng 3;

c) Phần thực của z thuộc khoảng (–1; 2);
d) Phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3];
e) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [–2; 2].
 Hướng dẫn:
Gv : Lương Văn Huy - LTĐH – Vinastudy.vn – Dạy bằng tất cả đam mê

-Trang 2


Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – THPT Hà Trung
Tài liệu dành cho lớp học tại Ngọc Hồi – Hoàng Mai – Huỳnh Thúc Kháng – Bạch Mai
Liên hệ ôn thi : Gv – Lương Văn Huy – 0969141404
Face: Lương Văn Huy
a) Là đường thẳng x = –2;
b) Là đường thẳng y = 3;
c) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song x = –1 và x = 2 không tính biên;
d) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song y = 1 và y = 3 tính cả biên;
e) Là miền trong giới hạn bởi bốn đường thẳng đôi một song song x = –2, x = 2 và y = –2, y = 2 tính cả
biên.
3) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa:
a) |z| = 1;
b) |z|  1
c) 1 < |z|  2
d) |z| = 1 và phần ảo của z bằng 1.
 Hướng dẫn:
a) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa a 2  b 2  1 , là đường tròn tâm O, bán kính R = 1;
b) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa a 2  b 2  1 , là hình tròn tâm O, bán kính R = 1 tính cả biên;
c) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa 1  a 2  b 2  2 , là hình vành khăn tâm O, bán kính r = 1 không tính biên,
bán kính lớn R = 2 tính biên;

4) Thực hiện các phép tính sau:
(1  i) 2 (2i )3
a) 2i(3 + i)(2 + 4i)
b)
2  i
5) Giải phương trình sau:
b) (3 – 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i; b) (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z

c)

z
 (2  3i )  5  2i
4  3i

8 9
 i
c) z = 15 – 5i.
5 5
6) Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ O trong mặt
phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i.



 Hướng dẫn:Gọi A là điểm biểu diễn số phức i thì D biểu diễn số –i. F  cos ;sin  nên F biểu diễn số
6
6

3 1
3 1
 i . C đối xứng F qua O nên C biểu diễn số 

 i . E đối xứng F qua Ox nên E biểu diễn số
2 2
2 2
3 1
3 1
 i . B đối xứng E qua O nên B biểu diễn số 
 i
2 2
2 2
1
3
1
7) Cho z   
i . Hãy tính: ; z ; z 2 ; ( z )3 ;1  z  z 2 .
2 2
z
 Hướng dẫn: Ta có z  1 nên

 Hướng dẫn: a) z = 1

b) z =

1
1
3
1
3
 
i  z ; z2   
i;

z 3  z .z 2  1 ; 1  z  z 2  0
z
2 2
2 2
8) Chứng minh rằng:
1
1
a) Phần thực của số phức z bằng  z  z  , phần ảo của số phức z bằng  z  z 
2
2i
b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi z   z .
c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi z  z .
z'  z'
d) Với mọi số phức z, z, ta có z  z '  z  z ', zz '  z. z ' và nếu z  0 thì
 
z z
 Hướng dẫn: z  a  bi, z  a  bi (1)

Gv : Lương Văn Huy - LTĐH – Vinastudy.vn – Dạy bằng tất cả đam mê

-Trang 3


Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – THPT Hà Trung
Tài liệu dành cho lớp học tại Ngọc Hồi – Hoàng Mai – Huỳnh Thúc Kháng – Bạch Mai
Liên hệ ôn thi : Gv – Lương Văn Huy – 0969141404
Face: Lương Văn Huy
1
a) Lấy vế cộng vế  Phần thực của số phức z bằng  z  z  . Lấy vế trừ vế  phần ảo của số phức z bằng
2

1
z  z  .
2i
b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0  z  z  0  z   z .
c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi phần ảo bằng 0  z  z  0  z  z .
d) z  a  bi; z '  a ' b ' i; z z  a 2  b 2 là số thực
z  z '  ( a  a ')  (b  b ')i  (a  a ')  (b  b ')i  (a  bi )  (a ' b ' i )  z  z '
zz '  ( aa ' bb ')  ( ab ' a ' b)i  ( aa ' bb ')  (ab ' a ' b )i  (a  bi )(a ' b ' i )  z.z '

 z '   z '.z  z '.z z '.z z '


 

z.z
z
 z   z.z  z.z
9) Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có i 4 m  1; i 4 m1  i; i 4 m  2  1; i 4 m3  i
 Hướng dẫn: Ta có i 4  i 2 .i 2  1
4 m

i 

 1m  i 4 m  1  i 4 m .i  1.i  i 4 m1  i  i 4 m 1.i  i.i  i 4 m  2  1  i 4 m  2 .i  1.i  i 4 m 3  i

10) Chứng
minh rằng:


e) Nếu u của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì | u |  | z | và từ đó nếu hai điểm A1 , A2 theo thứ tự


biểu diễn số phức z1 , z2 thì A1 A2  z2  z1 .
f) Với mọi số phức z, z, ta có |z.z | = |z|.|z | và khi z  0 thì

z'
z'

z
z

g) Với mọi số phức z, z, ta có z  z '  z  z '
 Hướng dẫn:




a) z  a  bi thì z  a 2  b 2 , u biểu diễn số phức z thì u = (a; b)  u  a 2  b 2 do đó | u |  | z |
  

A1 , A2 theo thứ tự biểu diễn số phức z1 , z2 thì A1 A2  OA2  OA1  z2  z1  A1 A2  z2  z1
b) z  a  bi , z '  a ' b ' i , z.z '   aa ' bb '   ab ' a ' b  i , z  a 2  b 2 , z '  a '2  b '2
2

2

Ta có z . z '   a 2  b 2  a '2  b '2 
2

2

2

2

2

2

2

Ta có z.z '   aa ' bb '   ab ' a ' b    aa '   bb '    ab '   a ' b    a 2  b 2  a '2  b '2 
Vậy |z.z| = |z|.|z|
z' . z
z' . z
z'
z ' z '.z
Khi z  0 ta có




2
2
z
z.z
z
z
z



 
 
c) u biểu diễn z, u ' biểu diễn z thì u  u ' biểu diễn z + z và z  z '  u  u '
  2  2  2
 
 
 2  2
 
 
  
Khi u , u '  0 , ta có u  u '  u  u '  2 u u ' cos u, u '  u  u '  2 u u '  u  u '
   
 u  u '  u  u ' do đó z  z '  z  z '









2

11) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau:
z i
h) z  i  1
b)
1
c) z  z  3  4i

z i
 Hướng dẫn: Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức.
Gv : Lương Văn Huy - LTĐH – Vinastudy.vn – Dạy bằng tất cả đam mê

-Trang 4


Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – THPT Hà Trung
Tài liệu dành cho lớp học tại Ngọc Hồi – Hoàng Mai – Huỳnh Thúc Kháng – Bạch Mai
Liên hệ ôn thi : Gv – Lương Văn Huy – 0969141404
Face: Lương Văn Huy
2

a) Với z  x  yi  z  i  1  x  ( y  1)i  1  x 2  ( y  1) 2  1  x 2   y  1  1
Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I(0; 1) bán kính R = 1.
z i
2
2
b) Với z  x  yi 
 1  x  ( y  1)i  x  ( y  1)i  x 2   y  1  x 2   y  1  y  0
z i
Tập hợp các điểm M là trục thực Ox.
c) Với z  x  yi  z  z  3  4i  x  yi  ( x  3)  (4  y )i  x 2  y 2  ( x  3)2  (4  y )2
 6 x  8 y  25  0 . Tập hợp các điểm M là đường thẳng 6 x  8 y  25  0
12) Tìm số phức thỏa mãn đk ở bài 11 mà có mô đun nhỏ nhất.
z10  1
13) Chứng minh rằng với mọi số phức z  1, ta có 1  z  z 2  ...  z 9 
z 1
 Hướng dẫn:
Với z  1, 1  z  z 2  ...  z 9   z  1  z  z 2  ...  z 9  z10  1  z  z 2  ...  z 9   z10  1

Chia hai vế cho z – 1 hằng đẳng thức được chứng minh.(Cấp số nhân)
14) Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý sao cho biểu thức xác định)?
zz
z 2  ( z )2
a) z 2  ( z ) 2
b) 3
c)
z  ( z )3
1  zz
2
2
2
 Hướng dẫn: Ta có z  a  bi, z  a  bi , z  (a  b )  2abi, z 2  (a 2  b 2 )  2abi,
Và z 3  (a 3  3ab 2 )  (3a 2 b  b3 )i, z 3  (a 3  3ab 2 )  (3a 2b  b3 )i

zz
b
z 2  ( z )2
4ab

i
là
số
ảo;

i là số ảo.
3
3
3
2

z  (z )
a  3ab
1  z.z
1  a 2  b2
15) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau:
1
i) z 2 là số thực âm;
b) z 2 là số ảo ;
c) z 2  ( z )2
d)
là số ảo.
z i
 Hướng dẫn: M(x; y) biểu diễn z thì z  x  yi  z 2  x 2  y 2  2 xyi; z 2  x 2  y 2  2 xyi
a) z 2 là số thực âm khi xy = 0 và x 2  y 2  0  x = 0 và y  0. Tập hợp các điểm M là trục Oy trừ O
b) z 2 là số ảo khi x 2  y 2  0  y =  x. Tập hợp các điểm M là 2 đường phân giác của gốc tọa độ.
c) z 2  ( z )2 khi xy = 0  x = 0 hoặc y = 0. Tập hợp các điểm M là 2 trục tọa độ.
1
x  ( y  1)i
1
 2
d)
=
là số ảo khi x = 0, y  1. Tập hợp M là trục Oy bỏ điểm M(0;
z  i x  ( y  1)i x  ( y  1) 2
16) Tìm nghiệm phức của phương trình sau:
j) iz  2  i  0
c)  2  i  z  4  0
e) z 2  4  0
Vậy z 2  ( z )2  2(a 2  b 2 ) là số thực;

k)  2  3i  z  z  1
 Hướng dẫn:
a) z  1  2i

b) z  

d)  iz  1 z  3i  z  2  3i   0
1 3
 i
10 10

8 4
c) z   i
5 5

d) i;  3i; 2  3i

e) z  2i

2) Tìm :
17) a) Cho số phức z  x  yi (x, yR). Khi z  1, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức
b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện

zi
z i

zi
là số
z i

thực dương.
 Hướng dẫn:
Gv : Lương Văn Huy - LTĐH – Vinastudy.vn – Dạy bằng tất cả đam mê

-Trang 5


Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – THPT Hà Trung
Tài liệu dành cho lớp học tại Ngọc Hồi – Hoàng Mai – Huỳnh Thúc Kháng – Bạch Mai
Liên hệ ôn thi : Gv – Lương Văn Huy – 0969141404
Face: Lương Văn Huy

x2  y 2 1
2x
a) Phần thực là 2
, phần ảo 2
2
x  ( y  1)
x  ( y  1)2
b) Là số thực dương khi x  0 và x 2  y 2  1  0  Tập hợp là trục Oy bỏ đoạn IJ với I, J là điểm biểu diễn
hai số phức i,  i .
18) a) Trong mặt phẳng phức cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn số phức
z1 , z2 , z3 . Hỏi trọng tâm ABC biểu diễn số phức nào?
b) Xét 3 điểm A, B, C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức z1 , z2 , z3 thỏa

z1  z2  z3 . Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi
z1  z2  z3  0
 Hướng dẫn:

 1    1

a) Gọi G là trọng tâm ABC, ta có OG  OA  OB  OC   z1  z2  z3  vậy G biểu diễn số phức
3
3
1
z   z1  z2  z3 
3
  
b) Vì OA  OB  OC nên A, B, C thuộc đường tròn tâm O. Tam giác ABC đều khi trọng tâm G trùng





O hay z1  z2  z3  0 .

B. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC & PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I. LÝ THUYẾT
1. Căn bậc hai của số phức:
Cho số phức w, mỗi số phức z = a + b i thoả z 2 = w được gọi là căn bậc hai của w.
 w là số thực: w = a 
 a = 0: Căn bậc hai của 0 là 0
 a > 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là a và – a
 a < 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là

a .i và – a .i

 w là số phức: w = a + b i (a, b  , b  0) và z = x + y. i là 1 căn bậc hai của w khi
 x 2 - y2 = a
z 2  w  (x + yi)2 = a + bi  
 2xy = b

 Mỗi số phức đều có hai căn bậc hai đối nhau.
 VD: Tính căn bậc hai của w = –3 + 4 i .
ĐS: có 2 căn bậc hai của w là z1 = 1 + 2 i , z2 = –1 – 2 i .
2. Phương trình bậc hai:
a) Phương trình bậc hai với hệ số a, b, c là số thực: ax 2  bx  c  0 (a  0),   b 2  4ac .
b  
2a
b  |  |.i

2a

   0: Phương trình có 2 nghiệm thực x1,2 
  < 0: Phương trình có 2 nghiệm phức x1,2

Gv : Lương Văn Huy - LTĐH – Vinastudy.vn – Dạy bằng tất cả đam mê

-Trang 6


Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – THPT Hà Trung
Tài liệu dành cho lớp học tại Ngọc Hồi – Hoàng Mai – Huỳnh Thúc Kháng – Bạch Mai
Liên hệ ôn thi : Gv – Lương Văn Huy – 0969141404
Face: Lương Văn Huy
3
 VD: Giải phương trình x  8  0
ĐS: Phương trình có 3 nghiệm x1  1  3.i, x2  1  3.i, x3  2
b) Phương trình bậc hai với hệ số phức: Ax 2  Bx  C  0 ( A  0),   B 2  4 AC ,   a  bi
B
  = 0: Phương trình có nghiệm kép x 
2A

B  
   0: Phương trình có 2 nghiệm x1,2 
với  là 1 căn bậc hai của .
2A
 VD: Giải phương trình: a) 2z 2  iz  1  0 ; b) z 2  (3  2i ) z  5  5i  0
a) 2z 2  iz  1  0 có  = –1 – 8 = – 9 = (3i )2 .
i  3i
i  3i
1
Phương trình có 2 nghiệm phức z1 
 i , z2 
 i
4
4
2
2
2
b) z  (3  2i ) z  5  5i  0 có  = (3  2i )  4(5  5i )  9  12i  4i 2  20  20i  15  8i = (1  4i) 2 Phương
3  2i  1  4i
3  2i  1  4i
trình có 2 nghiệm phức z1 
 1  3i ; z2 
 2  i
2
2
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
1) Giải các phương trình sau trên tập phức:
a) 3z 2  2 z  1  0
b) 7 z 2  3 z  2  0 ;
c) 5 z 2  7 z  11  0

 Hướng dẫn:
1 i 2
3  i 47
7  i 171
a)
b)
c)
3
14
10
2) Giải các phương trình sau trên tập phức:
a) z 4  z 2  6  0
b) z 4  7 z 2  10  0
 Hướng dẫn:
a)  2;  i 3 b) i 2;  i 5
3) Cho a, b, c  R, a  0, z1 , z2 là hai nghiệm phương trình az 2  bz  c  0 . Hãy tính z1  z 2 và z1 z 2 theo
các hệ số a, b, c.
b
c
 Hướng dẫn: z1  z 2 =  , z1 z 2 =
a
a
4) Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z, z làm nghiệm.
 Hướng dẫn:
Phương trình ẩn x nhận z, z làm nghiệm nên có (x – z)(x – z ) = 0  x 2  ( z  z ) x  zz  0 .
Với z + z = 2a, z z = a 2  b 2 . Vậy phương trình đó là x 2  2ax  a 2  b 2  0
5) Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của w thì z  w
2

 Hướng dẫn: z  a  bi là một căn bậc hai của w  z 2  w  z 2  w  z  w  z 

2

VD: 3  4i   2  i  tức z  2  i là một căn bậc hai của w  3  4i thì z 
6) Tìm nghiệm phức của các phương trình sau:
a) z 2  z  1
b) z 2  2 z  5  0
 Hướng dẫn:

w

w

c) z 2  (1  3i ) z  2(1  i)  0

2

1 1 5
1
5
1
5

a) z  2.z.     z     z  
2 4 4
2
4
2 2

2

2

2

2

b) z 2  2 z  5  0   z  1  4   z  1   2i   z  1  2i  z  1  2i
Gv : Lương Văn Huy - LTĐH – Vinastudy.vn – Dạy bằng tất cả đam mê

-Trang 7


Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – THPT Hà Trung
Tài liệu dành cho lớp học tại Ngọc Hồi – Hoàng Mai – Huỳnh Thúc Kháng – Bạch Mai
Liên hệ ôn thi : Gv – Lương Văn Huy – 0969141404
Face: Lương Văn Huy
2

2

c)   1  3i   8 1  i   2i  1  i  Phương trình có hai nghiệm phức là z1  2i; z 2  1  i .
7) a) Hỏi công thức Viét về phương trình bậc hai với hệ số thực có đúng cho phương trình bậc hai với hệ số
phức không? Vì sao?
b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i).
c) Có phải mọi phương trình bậc hai z 2  Bz  C  0 (B, C là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai số phức
liên hợp không thực phải có các hệ số B, C là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng không?
 Hướng dẫn:
B  
a) Hai nghiệm của phương trình bậc hai hệ số phức là z1,2 
 2    B 2  4 AC  nên


2A
B
C
z1  z2   ; z1 z2  .
A
A
b) Hai số cần tìm là nghiệm phương trình z 2   4  i  z  5 1  i   0
2

Có   5  12i   2  3i  nên hai số cần tìm là z1  3  i; z2  1  2i .
c) Phương trình z 2  Bz  C  0 có hai nghiệm là z  a  bi; z  a  bi thì B    z  z   2a là số thực và
C  z.z  a 2  b 2 là số thực. Điều ngược lại không đúng.
8) a) Giải phương trình sau:  z 2  i  z 2  2iz  1  0

b) Tìm số phức B để phương trình z 2  Bz  3i  0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.
 Hướng dẫn:
2
2
2
2
2
a)  z 2  i   z  i   0 có 3 nghiệm là

i; 

i; i .
2
2
2

2
b) Ta có z1  z2   B; z1.z 2  3i nên
2

2

z12  z22  8   z1  z 2   2 z1 z 2  8  B 2  6i  8  B 2   3  i   B    3  i 
1
 k trong các trường hợp sau:
z
a) k = 1;
b) k = 2 ;
c) k = 2i.
1
k 
 Hướng dẫn: z   k  z 2  kz  1  0 có 2 nghiệm z1,2 
 2    k 2  4

z
2
1
3
2
2
a) k = 1 thì z1,2  
i
b) k = 2 thì z1,2 

i
c) k  2i  z1,2  1  2 i

2 2
2
2
10) Giải phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng phức mỗi phương trình sau:
a) z 3  1  0 ;
b) z 4  1  0 ;
c) z 4  4  0 ;
d) 8 z 4  8 z 3  z  1
 Hướng dẫn:
1
3
1
3
a) z 3  1  0   z  1  z 2  z  1  0  z  1, z  
i, z  
i.
2 2
2 2
b) z 4  1  0  z 4  1  z 2  1  z  1, z  i

9) Tìm nghiệm của phương trình z 





c) z 4  4  0  z 4  4  z 2  2i  z   1  i  , z   1  i 
1
1
3

d)  z  1  8 z 3  1  0   z  1 2 z  1  4 z 2  2 z  1  0  z  1, z  , z   
i
2
4 4
11) a) Tìm các số thực b, c để phương trình z 2  bz  c  0 nhận z  1  i làm nghiệm.
b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình z 3  az 2  bz  c  0 nhận z  1  i và z = 2 làm nghiệm.
 Hướng dẫn:
2
a) 1  i   b 1  i   c  0  b  c   2  b  i  0  b  c  0 vaø 2  b  0  b  2, c  2

Gv : Lương Văn Huy - LTĐH – Vinastudy.vn – Dạy bằng tất cả đam mê

-Trang 8


Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – THPT Hà Trung
Tài liệu dành cho lớp học tại Ngọc Hồi – Hoàng Mai – Huỳnh Thúc Kháng – Bạch Mai
Liên hệ ôn thi : Gv – Lương Văn Huy – 0969141404
Face: Lương Văn Huy
b) Lần lượt thay z  1  i và z = 2 vào phương trình, ta được
b  c  2
a  4
b  c  2  (2  2a  b)i  0


 2a  b  2
 b  6

8  4a  2b  c  0
4a  2b  c  8 c  4



C. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC (Tham khảo)
I. LÝ THUYẾT
1.Số phức dưới dạng lượng giác:
a) Acgumen của số phức z  0:
 Cho số phức z = a + b i  0 được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Số đo (rađian) của góc
 
  (Ox, OM ) được gọi là một acgumen của z.
 Mọi acgumen của z sai khác nhau là k2 tức là có dạng  + k2 (k  )
(z và nz sai khác nhau k2 với n là một số thực khác 0).
1
 VD: Biết z  0 có một acgumen là  . Hãy tìm một acgumen của mỗi số phức sau: –z; z ; – z ; .
z


 z biểu diễn bởi OM thì –z biểu diễn bởi – OM nên có acgumen là  + (2k + 1)
 z biểu diễn bởi M đối xứng M qua Ox nên có acgumen là –  + k2

 – z biểu diễn bởi – OM ' nên có acgumen là –  + (2k + 1)
z
1
1
 = z 1  2 , vì
là một số thực nên z 1 có cùng acgumen với z là –  + k2.
z
|z|
| z |2
b) Dạng lượng giác của số phức z = a + b i :
 Dạng lượng giác của số phức z  0 là z = r (cos  + i sin  ) với  là một acgumen của z.

a
b
z = a + bi  z = r  cosφ + isinφ  Vôùi r = a 2 + b 2 ; cosφ = ; sinφ =
r
r
 VD:
 Số –1 có môđun là 1 và một acgumen bằng  nên có dạng lượng giác là z = cos + i sin
1
3

 Số 1 + 3 i có môđun bằng 2 và một acgumen bằng  thoả cos  =
và sin  =
. Lấy  =
thì 1
2
2
3


+ 3 i = 2(cos + i sin )
3
3
 Số 0 có môđun là 0 và một acgumen tuỳ ý nên có dạng lượng giác 0 = 0(cos  + i sin  )
 Chú ý:
 Số – cos  – i sin  có dạng lượng giác là cos(  + ) + i sin(  + )
 Số cos  – i sin  có dạng lượng giác là cos(–  ) + i sin(–  )
 Số – cos  + i sin  có dạng lượng giác là cos( –  ) + i sin( –  )
2.Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác:
Cho z = r (cos  + i sin  ) và z = r (cos  ’ + i sin  ’) với r , r  0
z

r
z.z' = r.r'[cos(φ + φ')+ isin(φ + φ')] và
= [cos(φ - φ')+ isin(φ - φ')] ( r  0)
z' r'
1
1 1
 Ta có
và z có cùng acgumen là –  ’ + k2 nên
 [cos(  ')  i sin(  ')] .
z'
z' r'
Do đó

z r
 [cos( -  ')  i sin( -  ')] ( r ’ 0)
z' r'

Gv : Lương Văn Huy - LTĐH – Vinastudy.vn – Dạy bằng tất cả đam mê

-Trang 9


Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – THPT Hà Trung
Tài liệu dành cho lớp học tại Ngọc Hồi – Hoàng Mai – Huỳnh Thúc Kháng – Bạch Mai
Liên hệ ôn thi : Gv – Lương Văn Huy – 0969141404
Face: Lương Văn Huy
3
3 
5
5 

z1


 VD: z1  2  cos
 i sin
 i cos
 và z2  2  sin
 . Tính z1 .z2 và
4
4 
12
12 
z2




 
5
5


Với z2  2  cos  i sin  ; z1 .z2 = 2 2  cos
 i sin
12
12 
6
6




3 1 


2
2

 i   6  2.i


 2 2 




 1
z1
2 
2
2 
3 
2
6
=
cos

i
sin


2


i  

i





3
3 
2
2
z2
2
 2 2 
3.Công thức Moa–vrơ (Moivre) và ứng dụng:
a) Công thức Moa–vrơ: Cho số phức z = r (cos  + i sin  )

và

n

  r(cosφ + isinφ) = r n (cosnφ + isinnφ) (n * )
b) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác:`
 Mọi số phức z = r (cos  + i sin  ) ( r > 0) có 2 căn bậc hai là
φ
φ



 φ



φ

  r  cos + isin  và  2   r  cos  i sin    2  r  cos  + π  + isin  + π  
2
2
2
2



2

 2
100
 VD: Đổi sang dạng lượng giác rồi tính: 1  i  và căn bậc hai của w = 1 + 3.i

1 


 1

2

i   2  cos  i sin  .

4
4
2 

 2

 Ta có 1 + i =

100

 

 
Do đó 1  i  =  2  cos  i sin    250  cos 25  i sin 25 
4
4 
 






 w = 1 + 3.i = 2  cos  i sin  có 2 căn bậc hai là 2  cos  i sin  và
3
3
6
6



100

7
7

2  cos
 i sin
6
6



.


II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
19
1) Dùng công thức khai triển nhị thức Niutơn 1  i  và công thức Moavrơ để tính
190  192  194  ...  1916  1918 .




 Hướng dẫn: 1  i  2  cos  i sin 
4
4

19

n 19

Ta có 1  i    nk i k  190 i 0  191 i1  192 i 2  ...  1918i18  1919 i19 với phần thực là 190  192  194  ...  1916  1918
k 0

19

1  i 

Vậy 190  192  194  ...  1916  1918
 i 
2) Tính: 

 1 i 
 Hướng dẫn:
 i 
 1 i 



19 
2
2

9
9
9
i
  2  2 i có phần thực 2  512
  2  
2

2



= –512.

19 
19
19
 2  cos
 i sin
4
4


2004

2004

 5  3 3i 
; 

 1  2 3i 

1 i 


 2 

2004

21

 2

 

cos  i sin  

4
4 
 2 

2004



1
1002

2

 cos   i sin    

Gv : Lương Văn Huy - LTĐH – Vinastudy.vn – Dạy bằng tất cả đam mê

1
1002

2

-Trang 10


Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – THPT Hà Trung
Tài liệu dành cho lớp học tại Ngọc Hồi – Hoàng Mai – Huỳnh Thúc Kháng – Bạch Mai
Liên hệ ôn thi : Gv – Lương Văn Huy – 0969141404
Face: Lương Văn Huy
21

21

21
 5  3 3i 
 
2
2  
 i sin
 221  cos14  i sin14   221

  1  3i   2  cos


3
3 
 
 1  2 3i 
1
3) Cho số phức w   1  3i . Tìm các số nguyên dương n để wn là số thực. Hỏi có số nguyên dương m
2

m
để w là số ảo?
1
4
4
4n
4n
 Hướng dẫn: w   1  3i  cos
 i sin
 wn  cos
 i sin
2
3
3
3
3
4n
W là số thực khi sin
 0 , điều này xảy ra khi n là bội nguyên dương của 3.
3
Không có m nào để wm là số ảo.













CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
1. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
2
1
1 i 
10

  1  i   2  3i 2  3i  
i
1 i 
2. Tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau:
1
2i
 1  3i

a.
z
;
b. 2  i z  3  i . iz    0;
1 i
2i
2i 






2

c. z 2  | z | 0;
d. z 2  z  0 ;
3.Tính: a. 1 + (1+i) + (1+i)2 + (1+i)3 + ... + (1+i)20
b. 1 + i + i2 + i3 + ……+ i2011
4. Xác đỉnh tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn điều kiện sau:
a. | z  z  3 | 4;
b. | z  z  1  i | 2;

 

c. 2  z  i  z là số ảo tùy ý;

d. 2 | z  i || z  z  2i |;

 

5. Các vectơ u ,u ' trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’.
  
1
a. Chứng minh rằng tích vô hướng u . u '  z. z ' z.z ' ;
2





 

b. Chứng minh rằng u ,u ' vuông góc khi và chỉ khi | z  z '|| z  z '| .
6. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn
z
 k , (k là số thực dương cho trước).
z i
z 1
z  3i
7. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời:
 1 và
 1.
zi
z i
4

 z i 
8. Tìm số phức z thỏa mãn 
 1
 zi 

9. Tìm phần thực ;phần ảo ;mô đun số phức:

1  i tan 
1  i tan 

10. Giải các phương trình sau trên C :

Gv : Lương Văn Huy - LTĐH – Vinastudy.vn – Dạy bằng tất cả đam mê

-Trang 11


Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – THPT Hà Trung
Tài liệu dành cho lớp học tại Ngọc Hồi – Hoàng Mai – Huỳnh Thúc Kháng – Bạch Mai
Liên hệ ôn thi : Gv – Lương Văn Huy – 0969141404
Face: Lương Văn Huy

z2
1
a. z  z   z  1  0 bằng cách đặt ẩn số phụ w  z  ;
2
z
4

3







2



b. z 2  3 z  6  2 z z 2  3 z  6  3 z 2  0









c. (z +1) +(z+3) =0a.  z  i  z 2  1 z 3  i  0
2

2

2





2



d. z 2  z  4 z 2  z  12  0.

11. Giải hệ phương trình hai ẩn phức z1 , z 2 sau :
 z1  z 2  4  i
 z1 z 2  5  5i
a.  2
b.
 2

2
2
 z1  z2  5  2i
 z1  z 2  5  2i
12. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau :






a. -1-i 3 ; b. cos  i sin
c.  sin  i cos ; d. 1  sin   i cos   0    ;
4
4
8
8
2

13. Cho PT : z2 + kz + 1=0 (-2đường
tròn đơn vị.
14. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện
sau : z  2 z  1  i  z  3
15. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
7


1  i 10 ; c. z 2000  1 biết rằng z  1  1.


a.  cos  i sin i 5 1  3i ;
b.
9
3
3
z 2000
z

3i
2011
2009
2007
16. CMR: 3(1+i) = 4i(1+i) - 4(1+i)









 3  3i 

17. Hỏi với số nguyên dương n nào, số phức 

3

3
i



18. Viết dạng lượng giác số z =

n

là số thực, là số ảo?

1
3

i . Suy ra căn bậc hai số phức z ?
2 2

19. Với giá trị nguyên dương n nào thì số phức sau là số thực, số ảo ? 1) (

3i 3 n
)
3  3i

2) (

7i n
)
4  3i

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1) Tìm các số thực x, y sao cho:
a) 3x + yi = 2y + 1 + (2 – x)i;
b) 2x + y –1 = (x + 2y – 5)i.

 Hướng dẫn:
a) x = 1, y = 1
b) x = –1, y = 3
2) Chứng tỏ rằng với mọi số phức z, ta luôn có phần thực và phần ảo không vượt quá môđun của nó.
 Hướng dẫn: z = a + bi  |z| = a 2  b 2 . Ta có |z|  a 2 = a và |z| 
3) Giải phương trình sau trên tập phức:
a) (3 + 4i)z + (1 –3i) = 2 + 5i;
b) (4 + 7i)z – (5 – 2i) = 6iz.
 Hướng dẫn:
7 4
18 13
a)  i
b)
 i
5 5
7 7
4) Giải phương trình sau trên tập phức:
a) 3 z 2  7 z  8  0
b) z 4  8  0
c) z 4  1  0
 Hướng dẫn:

b2 = b

Gv : Lương Văn Huy - LTĐH – Vinastudy.vn – Dạy bằng tất cả đam mê

-Trang 12


Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – THPT Hà Trung

Tài liệu dành cho lớp học tại Ngọc Hồi – Hoàng Mai – Huỳnh Thúc Kháng – Bạch Mai
Liên hệ ôn thi : Gv – Lương Văn Huy – 0969141404
Face: Lương Văn Huy
7  i 47
b)  4 8 , i 4 8
c) 1,  i
6
5) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3, tích của chúng bằng 4.
 Hướng dẫn: z1  z 2  3, z1 z2  4  z1 , z2 là nghiệm phương trình z 2  3z  4  0 với  = ( 7i ) 2 

a)

3i 7
2
6) Cho hai số phức z1 , z2 . Biết rằng z1  z2 , z1 z2 là hai số thực. Chứng tỏ z1 , z2 là hai nghiệm một phương
trình bậc hai với hệ số thực.
 Hướng dẫn:
Đặt z1  z2  a, z1 z2  b với a, b  R. Khi z1 , z2 là hai nghiệm phương trình ( z  z1 )( z  z2 )  0 hay
z1,2 

z 2  ( z1  z2 ) z  z1 z 2  0  z 2  az  b  0
zw
7) Chứng minh rằng nếu z  w  1 thì số
1  zw  0  là số thực.
1  zw
2
 Hướng dẫn: Ta có z. z  z  1

1 1


zw
 zw  zw zw z w zw
nên



1  zw  0  là số thực.

 
1  zw
 1  zw  1  zw 1  zw 1  1 1  zw
zw
8) Giải phương trình:
2

2

a)  z  3  i   6  z  3  i   13  0

iz  3
 iz  3 
b) 
40
 3
z  2i
 z  2i 

2

2

c)  z 2  1   z  3  0

 Hướng dẫn:
 z  3  i  3  2i
 z  i
2
a)  z  3  i   6  z  3  i   13  0  

 z  3  i  3  2i
 z  3i
1 5
 iz  3

 1
z  i
2


(1

i
)
z


3

2
i


iz  3
 iz  3 
z  2i
2 2
b) 
40 


 3
z  2i
 z  2i 
(4  i ) z  3  8i
 iz  3  4
 z  4  35 i
 z  2i
 17 17
2

2

c)  z 2  1   z  3 i   0   z 2  1  ( z  3)i  z 2  1  ( z  3)i   0
Phương trình z 2  iz  1  3i  0 có nghiệm z1  1  2i; z2  1  i
Phương trình z 2  iz  1  3i  0 có nghiệm z3  1  2i; z4  1  i
9) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = ( x  yi )2  2( x  yi)  5 . Với giá trị nào của x, y thì số phức
trên là số thực.
 Hướng dẫn: Phần thực là x 2  y 2  2 x  5 , phần ảo là 2( xy  y ) . Số phức trên là số thực khi y = 0 hoặc x
= 1.
10) Thực hiện các phép tính:
2  i 2 1 i 2

a)
d) (1  2i )3  (1  2i )3 ;
g) (1  i )2010  (1  i )2009
e)

1 i 2 2  i 2
11) Tìm z, biết:
zi
a) (1  5i) z  10  2i  1  5i ;
b) (3  2i) z  1  i  4 z
c)
1 i  3  i
1 i
Gv : Lương Văn Huy - LTĐH – Vinastudy.vn – Dạy bằng tất cả đam mê

-Trang 13


Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – THPT Hà Trung
Tài liệu dành cho lớp học tại Ngọc Hồi – Hoàng Mai – Huỳnh Thúc Kháng – Bạch Mai
Liên hệ ôn thi : Gv – Lương Văn Huy – 0969141404
Face: Lương Văn Huy
2  3i
2i
1  3i
d)
z  1  3i  2 z  1 ;
e) ( 2  i 3) z  i 2  3  2i 2 ; f)
z
1 i

1 i
2i
z  2i
1 i z  2  i
2iz  2i
g)  z  11  i   2  2i 
h) 2 z  3i 

i) 1  i  z  5  5i 
1 i
1 i
1 i
1 i
 Hướng dẫn:
1 3
1
a) z  1  2i ; b) z   i ;
c) z  2  3i ;
d) z    i ;
5 5
5
2 4
e) i ;
f)   i
g) z  3  i
h) z  3i
i) z  2  3i
5 5
12) Biết z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình z 2  3z  3  0 . Hãy tính:
z z

2
2
a) z12  z22 ;
b) z13  z23 ;
c) 1  2 ;
d) z1  z2
z2 z1
 Hướng dẫn:
z z
2
2
a) z12  z22 = –3;
b) z13  z23 = 6 3 ;
c) 1  2 = –1;
d) z1  z2 = 6.
z2 z1
13) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4.
3
7
3
7
 Hướng dẫn: Hai số phức cần tìm là z1  
i và z2  
i
2 2
2 2
14) Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) z 2  8(1  i ) z  12  16i  0 ;
b) z 2   2  i  z  2i  0 ;
c) iz 2  2 1  i  z  4  0 ;

d) z 2   5  i  z  8  i  0
 Hướng dẫn:
a) z  2i, z  8  6i ; b) z1  2; z2  i ;
c) z1  2; z2  2i ;
d) z1  2  i; z 2  3  2i
15) Giải các phương trình sau trên tập số phức:
b) x 4  6 x 2  25  0 ;
b) x 4  16 x 2  100  0 ;
c) x 4  3 x 2  3  3i  0
d) x 4  3(1  2i) x 2  8  6i  0 ;
e) x 4  7  24i  0 ;
f) x 4  28  96i  0
 Hướng dẫn:
a) x   1  2i  , x   1  2i  ;
b) x    3  i  , x    3  i  ;
c) x    2  i  , x   1  i 
d) x    2  i  , x   1  i  ; e) x    2  i  , x   1  2i  ;
16) Tìm z biết:

a) z  z 2 ; b) z  2 z  2  4i

f) x    3  i  , x   1  3i 

c) z  2  i  z  1  2i và

1
10

z
10

 Hướng dẫn: Gọi z = x + y i  z = x – y i và z 2  x 2  y 2  2 xyi .

 x 2  y 2  x (1)
a) z  z 2  
2 xy   y (2)
(2) có nghiệm y = 0 thay vào (1)  x = 0 hoặc x = 1
1
3
Nếu y  0  (2) có nhiệm x = – thay vào (1)  y = 
2
2
 1 3  1
3
Vậy nghiệm của hệ là các cặp số (0; 0), (1; 0),   ;
 ,   ; 

2 
 2 2   2
1
3
1
3
Vậy phương trình có các nghiệm: z = 0; z = 1; z =  
i;z=  
i
2 2
2 2
Gv : Lương Văn Huy - LTĐH – Vinastudy.vn – Dạy bằng tất cả đam mê

-Trang 14


Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – THPT Hà Trung
Tài liệu dành cho lớp học tại Ngọc Hồi – Hoàng Mai – Huỳnh Thúc Kháng – Bạch Mai
Liên hệ ôn thi : Gv – Lương Văn Huy – 0969141404
Face: Lương Văn Huy
2
b) z   4i
c) z  1  3i; z  1  3i
3
17) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa:
z  3i
c) z  i  2 ;
b)
 1 ; c) z  z  1  i ;
d) (2  3i) z  2i  m  0 (m là tham số)
z  3i
 Hướng dẫn:
a) z  i  2  x  ( y  1)i  2  x 2  ( y  1) 2  2  x 2  ( y  1) 2  4
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(0; 1), bán kính R = 2.
z  3i
x  ( y  3)i
b)
1
1
z  3i
x  ( y  3)i

x 2  ( y  3)2

x 2  ( y  3) 2
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là trục Ox.

1 y  0

c) z  z  1  i  x  yi  ( x  1)  ( y  1)i  x 2  y 2  ( x  1) 2  ( y  1)2  x  y  1  0
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: x + y – 1 = 0.
2m  6

x

m  2i
2m  6 3m  4

13
d) (2  3i) z  2i  m  0  z 
z

i
 3x  2 y  2  0
2  3i
13
13
 y   3m  4

13
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: 3x + 2y + 2 = 0.
18) Dùng công thức Moa-vrơ để tính (1  i)5 ,





6

3 i .

 Hướng dẫn: 4 1  i  .
19) Tìm phần thực và phần ảo của số phức



8



3i .

 3 1 



3  i  2
 i   2  cos  i sin  .
 2 2 
6
6





Hướng dẫn:

20) Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình 2 z 2  4 z  11  0 . Tính giá trị của biểu thức
2

A

z1  z2

 z1  z2 

2
2

.

ĐS: A=11/4

21) Tìm số phức z thoả mãn: z  2  i  2 . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.









ĐS: z  2  2  1  2 i, z  2  2  1  2 i .



22) Tìm số phức z thỏa mãn: 



z 1
1
z i

1

z  3i
1
z i

2

. HD: Gọi z=x+yi; (1)x=y, (2)y=1. ĐS: z=1+i.

4

 z i 
23) Giải phương trình: 
  1.
 z i 

ĐS: z{0;1;1}

24) Giải phương trình: z 2  z  0 .
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình  x, y  z.

ĐS: z{0;i;i}

25) Giải phương trình: z 2  z  0 .
Gv : Lương Văn Huy - LTĐH – Vinastudy.vn – Dạy bằng tất cả đam mê

-Trang 15


Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – THPT Hà Trung
Tài liệu dành cho lớp học tại Ngọc Hồi – Hoàng Mai – Huỳnh Thúc Kháng – Bạch Mai
Liên hệ ôn thi : Gv – Lương Văn Huy – 0969141404
Face: Lương Văn Huy
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình  x, y  z.

ĐS: z=0, z=1, z 

1
3

i
2 2

z2
26) Giải phương trình: z  z 
 z  1  0.
2

4

3

1 1
ĐS: z=1±i, z    i .
2 2
27) Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0.
1
3
1
3
HD: Đặt thừa số chung ĐS: z  1, z  
i, z   
i.
2 2
2 2
28) Cho phương trình: (z + i)(z22mz+m22m)=0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương
trình:
a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức.
b. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực.
c. Có ba nghiệm phức.
29) Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận  làm nghiệm biết:
a.  = 25i
b.  = 2i 3
c.  = 3 - i 2
30) Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:
a. z3iz22iz2 = 0.
b. z3+(i3)z2+(44i)z7+4i = 0.

HD: Chia hai vế phương trình cho z2.

31) Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: 2 z  i  z  z  2i . ĐS: y 

x2
.
4

3
. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
2
3
9
2
2
*Gọi z=x+yi. z  2  3i   …   x  2    y  3  .
2
4
Vẽ hình |z|min z.

32) Trong các số phức thỏa mãn z  2  3i 
HD:


26  3 13 78  9 13

i.
13
26
PS : Dạng bài này ta có thể dùng hình học, bất đẳng thức, khảo sát hoặc chuyển pt đường tròn, elip

biểu diễn số phức thành dạng lượng giác để xác định max,min
33) Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+ … + (1+i)20.
HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN, ĐS: phần thực 210, phần ảo: 210+1.
34) Trong các số phức thỏa mãn z  z  1  i . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.

ĐS: z 

Gv : Lương Văn Huy - LTĐH – Vinastudy.vn – Dạy bằng tất cả đam mê

-Trang 16


Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – THPT Hà Trung
Tài liệu dành cho lớp học tại Ngọc Hồi – Hoàng Mai – Huỳnh Thúc Kháng – Bạch Mai
Liên hệ ôn thi : Gv – Lương Văn Huy – 0969141404
Face: Lương Văn Huy
MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG
Bài 1. (Đề thi Cao đẳng năm 2009 – Khối A, B, D)
a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Cho số phức z thoả mãn (1  i) 2 (2  i ) z  8  i  (1  2i ) z . Tìm phần thực và
phần ảo của z.
4 z  3  7i
b) Chương trình Nâng cao (1 điểm) Giải phương trình
 z  2i trên tập  .
z i
 Hướng dẫn:
a) (1  i) 2 (2  i ) z  8  i  (1  2i ) z   (1  i) 2 (2  i )  (1  2i)  z  8  i   2i (2  i)  1  2i  z  8  i 
8i
(8  i )(1  2i )
10  15i
 z

 z
 2  3i . Phần thực là 2, phần ảo –3
1  2i
1 4
5
4 z  3  7i
b)
 z  2i  z 2  (4  3i) z  1  7i  0
z i
Ta có  = (4  3i) 2  4(1  7i )  3  4i  (2  i )2 . Phương trình có 2 nghiệm:
4  3i  2  i
4  3i  2  i
z1 
 3  i và z2 
 1  2i
2
2
Bài 2. (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm
tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả điều kiện | z  (3  4i) | 2 .
 Hướng dẫn:
Đặt z = x + y i (x, y  )  z  (3  4i )  x  yi  3  4i  ( x  3)  ( y  4)i
z

Ta có | z  (3  4i) | 2  ( x  3)2  ( y  4) 2 = 2  ( x  3) 2  ( y  4) 2 = 4
Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3; –4), bán kính R = 2
Bài 3. (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối B) Chương trình Chuẩn (1 điểm)
Tìm số phức z thoả: | z  (2  i ) | 10 và z.z = 25.
 ĐS: z = 3 + 4 i hoặc z = 5 + 0 i .
Bài 4. (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối A) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức
2

2

của phương trình z 2  2 z  10  0 . Tính giá trị của biểu thức A  z1  z2 .
 Hướng dẫn:
z 2  2 z  10  0 có  = 1 – 10 = –9 = (3i )2 . Nghiệm là z1  1  3i , z2  1  3i
2

2

Ta có: z1  1  9  10 và z2  1  9  10 nên A  z1  z2  20
Bài 5. (Đề thi Cao đẳng năm 2010 – Khối A, B, D)
2
a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần thực, ảo của số phức z thỏa:  2  3i  z   4  i  z   1  3i 
b) Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Giải phương trình z 2  1  i  z  6  3i  0
 Hướng dẫn:
2
a) Gọi z = a + bi, ta có:  2  3i  z   4  i  z   1  3i  

 2  3i  (a  bi )   4  i  (a  bi)   1  3i 

2

6a  4b  8
 a  2
 6a  4b  (2a  2b)i  8  6i  

2a  2b  6
b  5

Vậy phần thực a = –2, phần ảo b = 5.
b) z 2  1  i  z  6  3i  0 có  = (1  i )2  4(6  3i )  24  10i  (1  5i )2
Do đó phương trình có 2 nghiệm: z1 

1  i  1  5i
1  i  1  5i
 1  2i ; z2 
 3i
2
2

Gv : Lương Văn Huy - LTĐH – Vinastudy.vn – Dạy bằng tất cả đam mê

-Trang 17


Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – THPT Hà Trung
Tài liệu dành cho lớp học tại Ngọc Hồi – Hoàng Mai – Huỳnh Thúc Kháng – Bạch Mai
Liên hệ ôn thi : Gv – Lương Văn Huy – 0969141404
Face: Lương Văn Huy
Bài 6. (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm)
Tìm số phức z thỏa: z  2 và z 2 là số thuần ảo
 ĐS z = 1 + i hoặc z = 1 – i hoặc z = –1 + i hoặc z = –1 – i.
Bài 7. (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối B) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập
hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa z  1  (1  i) z
 Hướng dẫn:
Gọi z = x + yi, ta có x  ( y  1)i  (1  i )( x  yi )  x 2  ( y  1)2  ( x  y )2  ( x  y )2 
x 2  y 2  2 y  1  0  x 2  ( y  1)2  2 . Tập hợp là đường tròn tâm I(0; –1), bán kính R =
Bài 8. (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối A)
a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần ảo của số phức z thỏa: z  ( 2  i ) 2 (1  2i )

b) Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Cho số phức z thỏa: z 

2.

(1  3i )3
. Tìm môđun của số phức z  iz
1 i

 Hướng dẫn:
a) Gọi z = a + bi, ta có: z  ( 2  i ) 2 (1  2i )  a  bi  1  2 2i 1  2i  a  bi  5  2i .







 a  5,  b  2 . Vậy phần phần ảo b = – 2 .

b) Gọi z = a + bi, ta có: z 

(1  3i )3 1  3 3i  9  3 3i 8 8(1  i )



 4  4i
1 i
1 i
1 i
11

 z = –4 + 4i và iz = –4 – 4i  z  iz = –8 – 8i. Do đó : z  iz 

2

 8   8

TRẮC NGHIỆM - 2017
Câu 1 :Cho số phức z  12  5i . Mô đun của số phức z bằng
7
B.
C.
17
119

2

8 2.

D. 13

Câu 2: Cho hai số phức z1  1  2i;z 2  2  3i . Tổng của hai số phức là
3 – 5i
B. 3 – i
C. 3 + i
D. 3 + 5i
2
Câu 3: Cho số phức z thỏa (1  2i) .z  z  4i  20 . Môđun số z là::
4
B. 5

C. 10
D. 6
Câu 4 :Tìm mô đun của số phức z thỏa mãn: (1  2i )( z  i)  4i (i  1)  7  21i

z 5

B.

z 2 3

C.

z 9

D.

z 3 7

Câu 5 :Gọi z1, z 2 là hai nghiệm phức của phương trình 2z 2  4z  3  0 . Giá trị của biểu thức
z 1  z 2 bằng

2

3

C. 2 3
D.
6
2(1  2i)
 7  8i . Môđun của số phức w  z  i  1

Câu 6 :Cho số phức z thỏa mãn (2  i)z 
1 i
3
B. 4
C. 5
D. 6
Câu 7:Tìm số phức z biết z   2  3i  z  1  9i
z=2+i
B. z = - 2 - i
C. z = - 2 + i
D. z = 2 – i
B.

Gv : Lương Văn Huy - LTĐH – Vinastudy.vn – Dạy bằng tất cả đam mê

-Trang 18


Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – THPT Hà Trung
Tài liệu dành cho lớp học tại Ngọc Hồi – Hoàng Mai – Huỳnh Thúc Kháng – Bạch Mai
Liên hệ ôn thi : Gv – Lương Văn Huy – 0969141404
Face: Lương Văn Huy
Câu 8:Số phức liên hợp của số phức z  (1  i)15 là:
B. z  i
C. z  128  128i
D. z  128  128i
z  128  128i
n
Câu 9:Cho số phức z  1  i  , biết n  N và thỏa mãn log 4 (n  3)  log 4 (n  9)  3.
Tìm phần thực của số phức z.

a7
B. a  0
C. a  8
D. a  8
Câu 10:Trong các kết luận sau, kết luận nào sai?
z  z là một số thực
B. z  z là một số ảo
z .z là một số thực
D. z 2  z 2 là một số ảo
Câu 11:Tìm số phức z thỏa mãn | z  (2  i) |  10 và z.z  25 .
z = 3 + 4i; z = -5
B. z = 3 + 4i; z = 5
z = 3 - 4i; z = 5
D. z = -3 + 4i; z = 5
Câu 12:Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức
. Chọn kết luận đúng nhất:
Tam giác ABC cân.
B. Tam giác ABC vuông cân.
Tam giác ABC vuông.
D. Tam giác ABC đều.
Câu 13:Cho số phức z thỏa mãn phương (1  2i ).z  1  2i. Phần ảo của số phức   2iz  (1  2i).z là:
3
4
2
1
B.
C.
D.
5
5

5
5
Câu 14:Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thoả điều kiện: z  1  i  z  3  2i là:
Đường thẳng
B. Elip
C. Đoạn thẳng
D. Đường tròn
Câu 15:Môđun của số phức z – 2i bằng bao nhiêu? Biết z thỏa mãn phương trình
(z  2i)(z  2i)  4iz  0
B. 2 2
C.
D. 2 3
3
2
Câu 16:Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z  (3  4i )  2 trong mặt phẳng Oxy là:

Đường thẳng 2 x  y  1  0
B và C đều đúng.

B. Đường tròn ( x  3) 2  ( y  4) 2  4
D. Đường tròn x 2  y 2  6 x  8 y  21  0

4 z  3  7i
 z  2i
z i
z  1  2i và z  3  i.
z  1  2i và z  3  i.

Câu 17:Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức:

z  1  2i và z  3  i.
z  1  2i và z  3  i.

B.
D.
3
Câu 18:Bộ số thực  a; b; c  để phương trình z  az 2  bz  c  0 nhận z  1  i và z  2 làm
nghiệm.
 4;6; 4 
B.  4; 6; 4 
C.  4; 6; 4 
D.  4;6;4 
3

Câu 19:Tìm các số thực x, y thỏa mãn đẳng thức: x  3  5i   y 1  2i   35  23i
(x; y) = (- 3; - 4)
B. (x; y) = (- 3; 4)
(x; y) = (3; - 4)
D. (x; y) = (3; 4)
Câu 20:Các căn bậc hai của số phức 117  44i là:
  2  11i 
B.   2  11i 
C.   7  4i 
D.   7  4i 
Câu 21:Gọi z1, z2 là 2 nghiệm của phương trình z 2  2iz  4  0 . Khi đó môđun của số phức
w  ( z1  2)( z2  2) là
4
B. 5
C. 6
D. 7

Gv : Lương Văn Huy - LTĐH – Vinastudy.vn – Dạy bằng tất cả đam mê

-Trang 19


Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – THPT Hà Trung
Tài liệu dành cho lớp học tại Ngọc Hồi – Hoàng Mai – Huỳnh Thúc Kháng – Bạch Mai
Liên hệ ôn thi : Gv – Lương Văn Huy – 0969141404
Face: Lương Văn Huy
Câu 22:Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z thỏa z  3  2i  4 là
Đường tròn tâm I(-3;2), bán kính R = 4.
B. Đường tròn tâm I(3;-2), bán kính R = 16.
Đường tròn tâm I(3;-2), bán kính R = 4.
D. Đường tròn tâm I(-3;2), bán kính R = 16.
2
Câu 23:Cho số phức z thỏa 1  i  (2  i)z  8  i  1  2i  z .Phần thực của số phức z là:
3
B. 1
C. 2
D. 4
2

3

Câu 24:Tìm phần phần ảo của số phức sau: 1  1  i   1  i   1  i   ...  1  i 

210  1

B.

210  1

C.

210  1

20

D.

210  1

D.

z

Câu 25:Tìm số phức liên hợp của: z  (1  i )(3  2 i )  1

3i





53 9
53 9
53 9
z  i
B. z   i
C. z    i

10 10
10 10
10 10
Câu 26:Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn z  3  3  4i là

53 9

i
10 10

Đường tròn
B. Đường thẳng
C. Đoạn thẳng
D. Một điểm
Câu 27:Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1  i)(z  i)  2z  2i . Môdun của số phức

w

z  2z  1
là:
z2
B.

5

2 2

C.

D.

10



2 5



Câu 28:Tính mô đun của số phức z biết rằng:  2 z  11  i   z  1 1  i   2  2i

3
3

B. Đáp án khác

C.

5
3

D.

2
3

zw
là :
1  z.w
Số thực

B. Số âm
C. Số thuần ảo
D. Số dương
Câu 30:Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  (2  i )z  13  3i . Phần ảo của số phức z bằng
B. 4
C. 3
D. 1
2
Câu 31:Cho 2 số thực x, y thỏa phương trình: 2 x  3  (1  2 y)i  2(2  i )  3 yi  x .
Câu 29:Cho hai số phức z và w thoả mãn z  w  1 và 1  z.w  0 . Số phức

Khi đó: x 2  3 xy  y 
-3
B. 1
C. -2
D. -1
Câu 32:Cho số phức z  a  bi;( a, b   ) . Trong 4 khẳng định sau , khẳng định nào sai ?
2

(1): “ z 2   z   2( a 2  b 2 ) ”
(2):” z. z  a 2  b 2 ”
(3):” Phần ảo của z 3 là a3  3a 2b ”
(4):”Phần thực của z 3 là 3a 2b  b3 ”
(3)
B. (4)
C. (1)
D. (2)
2
Câu 33:Phần ảo của số phức z biết z  ( 2  i) .(1  2i) là:
1

B.
C.  2
D. -1
2
Câu 34:Tập hợp điểm biễu diễn số phức z thoả z  2i  3 là đường tròn tâm I. Tất cả giá trị m thoả
1
khoảng cách từ I đến d: 3x + 4y – m =0 bằng
là?
5

m  10; m  14

B.

m  10; m  12

C.

m  10;m  11

D.

Gv : Lương Văn Huy - LTĐH – Vinastudy.vn – Dạy bằng tất cả đam mê

m  12; m  13
-Trang 20


Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – THPT Hà Trung
Tài liệu dành cho lớp học tại Ngọc Hồi – Hoàng Mai – Huỳnh Thúc Kháng – Bạch Mai

Liên hệ ôn thi : Gv – Lương Văn Huy – 0969141404
Face: Lương Văn Huy
Câu 35:Trong mặt phẳng phức , cho 3 điểm A,B,C lần lượt biểu diễn cho 3 số phức

z1  1  i; z2  (1  i ) 2 ; z3  a  i;(a   ) . Để tam giác ABC vuông tại B thì a  ?
-3

B. -2
C. 3
D. -4
1 i
Câu 36 :Cho số phức z 
. Phần thực và phần ảo của z 2010 là:
1 i
a  1, b  0
B. a  0, b  1
C. a  1, b  0
D. a  0, b  1
Câu 37: Trong các kết luận sau, kết luận nào là sai?
Mô đun của số phức z là một số thực âm.
B. Mô đun của số phức z là một số phức.
Mô đun của số phức z là một số thực.
D. Mô đun của số phức z là một số thực dương.
Câu 38:Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Tìm tập hợp các điểm M(z)
thỏa mãn điều kiện: z  1  i =2
Đáp án khác
B. (x+1)2 + (y + 1)2 = 4
(x-1)2 + (y - 1)2 = 4
D. (x-1)2 + (y + 1)2 = 4
Câu 39:Gọi M, N, P lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức

M, N, P là 3 đỉnh của tam giác có tính chất:
Vuông
B. Vuông cân

C. Cân

D. Đều

1 z  z2
Câu 40:Cho số phức z thỏa (1  i )( z  i )  2 z  2i . Môđun của số phức w 
là
1 z
B.
C.
D. 5
5
10
13
Câu 41:Tìm số phức z thoả mãn

là số thực và môđun của z nhỏ nhất?

z=2i

C.

B.

D.

Câu 42: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Số phức z = a + bi được biểu diễn bằng điểm M(a; b) trong mặt phẳng phức Oxy
B. Số phức z = a + bi có môđun là a2  b2
a  0
C. Số phức z = a + bi = 0  
b  0
D. Số phức z = a + bi có số phức đối z’ = a - bi
Câu 43: Trong C cho phương trình bậc hai az2 + bz + c = 0 (*) (a  0). Gọi  = b2 – 4ac. Ta xét các mệnh
đề:
1) Nếu  là số thực âm thì phương trình (*) vô nghiệm
2) Néu   0 thì phương trình có hai nghiệm số phân biệt
3) Nếu  = 0 thì phương trình có một nghiệm kép
Trong các mệnh đề trên:
A. Không có mệnh đề nào đúng
B. Có một mệnh đề đúng
C. Có hai mệnh đề đúng
D. Cả ba mệnh đề đều đúng
Câu 44: Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z = 2 + 5i và B là điểm biểu diễn của số phức z’ = -2 + 5i
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành
B. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục tung
C. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ O
D. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x
Câu 45: Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z = 3 + 2i và B là điểm biểu diễn của số phức z’ = 2 + 3i
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành
B. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục tung
Gv : Lương Văn Huy - LTĐH – Vinastudy.vn – Dạy bằng tất cả đam mê

-Trang 21

Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – THPT Hà Trung
Tài liệu dành cho lớp học tại Ngọc Hồi – Hoàng Mai – Huỳnh Thúc Kháng – Bạch Mai
Liên hệ ôn thi : Gv – Lương Văn Huy – 0969141404
Face: Lương Văn Huy
C. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ O
D. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x
Câu 46: Cho số phức z = a + a2i với a  R. Khi đó điểm biểu diễn của số phức liên hợp của z nằm trên:
A. Đường thẳng y = 2x
B. Đường thẳng y = -x + 1
C. Parabol y = x2
D. Parabol y = -x2

Câu 47: Giả sử A, B theo thứ tự là điểm biểu diễn của các số phức z1, z2. Khi đó đọ dài của véctơ AB
bằng:
A. z1  z2
B. z1  z2
C. z2  z1
D. z2  z1
Câu 48: Cho số phức z = x + yi  1. (x, y  R). Phần ảo của số
A.

2x

 x  1

2

y

2

B.

2y

 x  1

2

y

2

C.

z1
là:
z1

xy

 x  1

2

y

2

D.

xy

 x  1

2

 y2

Câu 49: Cho số phức z = x + yi . (x, y  R). Tập hợp các điểm biểu diễn của z sao cho
thực âm là:
A. Các điểm trên trục hoành với -1 < x < 1
 x  1
C. Các điểm trên trục hoành với 
x  1

z i
là một số
z i

B. Các điểm trên trục tung với -1 < y < 1
 y  1
D. Các điểm trên trục tung với 
y  1

2

Câu 50. Phần thực của số phức z thỏa 1  i   2  i  z  8  i  1  2i  z là:

A. 6 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 1 .
Câu 51. Cho hai số phức z1  3  i, z2  2  i . Giá trị của biểu thức z1  z1 z2 là:
A. 0 .
B. 10 .
C. 10
.
D. 100 .
Câu 52. Cho hai số phức thỏa z1  2  3i, z2  1  i . Giá trị của biểu thức z1  3z2 là:
A. 5 .

B. 6 .

C.

61

.

D.

55 .

2

Câu 53. Số phức z thỏa mãn phương trình z  3 z   3  2i   2  i  là:
A. z 

11 19
 i.
2 2

B. z  11  19i .

C. z 

11 19
 i.
2 2

D. z  11  19i .

2(1  2i)
 7  8i .Môđun của số phức   z  1  i là:
1 i
A. 3 .
B. 4 .
C. 5 .
D. 8 .
Câu 55. Môđun của số phức z thỏa mãn phương trình (2z  1)(1  i)  ( z  1)(1  i)  2  2i là:

Câu 54. Cho số phức z thỏa mãn (2  i) z 

1
1
2
3
.

B.
.
C. .
D. .
3
2
2
3
2
2
2
Câu 56. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z  4 z  7  0 . Khi đó z1  z2 bằng:
A. 10 .
B.7.
C. 14 .
D. 21 .
2
Câu 57. Số số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z  2 và z là số thuần ảo là:
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Câu 58. Cho số phức z thỏa z  1  i  2 . Chọn phát biểu đúng:
A. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng.
B. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường Parabol.
C. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có bán kính bằng 2 .
D. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có bán kính bằng 4 .
A.

Gv : Lương Văn Huy - LTĐH – Vinastudy.vn – Dạy bằng tất cả đam mê

-Trang 22


Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – THPT Hà Trung
Tài liệu dành cho lớp học tại Ngọc Hồi – Hoàng Mai – Huỳnh Thúc Kháng – Bạch Mai
Liên hệ ôn thi : Gv – Lương Văn Huy – 0969141404
Face: Lương Văn Huy
Câu 59. Cho số phức z thỏa 2  z  1  i . Chọn phát biểu đúng:
A. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng.
B. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường Parabol.
C. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn.
D. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường Elip.
Câu 60. Cho hai số phức z1  3  2i, z2  1  4i . Tìm phần ảo của số phức w , biết w  3z1  2 z2 .
A. Phần ảo của w là 11
B. Phần ảo của w là 2
C. Phần ảo của w là 2
D. Phần ảo của w là 11
Câu 61. Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: z  1  3i  z  i .
A. Đường thẳng
B. Đường thẳng
C. Đường thẳng
D. Đường thẳng

d 
d 
d 
d 

có phương trình:

có phương trình:
có phương trình:
có phương trình:

8 y  9  0 .
2x  4 y  9  0 .
2x  8 y  9  0 .
4x  6 y  9  0 .

A. z  5

13  9i
.
2i
B. z  50

x  8
A. 
 y  9

x  8
B. 
y  9

Câu 62. Tính môđun của số phức z 

C. z  5 10
D. z  2 5
5
Câu 63. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z   4 . Tính giá trị biểu thức Q  z13  z23 .

z
A. Q  5
B. Q  4
C. Q  2 5
D. Q  10 5
Câu 64. Tìm các số thực x và y thỏa mãn  x  yi  2  i   26  7i .
 x  9
C. 
y  8

x  9
D. 
y  8

1
3  2i
 3  5i 
.
1 i
z
1
3
B. z   i
25 25

Câu 65. Tìm số phức z , biết

5 15
1
3

 i
C. z   i
2 2
25 25
Câu 66: Tìm số phức liên hợp của số phức z  i (3i  1)

A. z 

A. z  3  i
B. z  3  i
C. z  3  i
Câu 67: Tính mô đun của số phức z thoả mãn z (2  i)  13i  1.

D. z 

5 15
 i
2 2

D. z  3  i

5 34
34
z 
z 
z

34.
z


34
A.
B.
C.
D.
3
3
2
Câu 68: Kí hiệu z 0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 4 z  16z  17  0. Trên mặt
phẳng toạ độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức w  iz0 ?
1 
 1 
 1 
1 
A. M 1  ; 2  .
B. M 2   ; 2  .
C. M 3   ;1 .
D. M 4  ;1 .
2 
 2 
 4 
4 
Câu 69: Cho số phức z  a  bi (a, b  R) thoả mãn (1  i ) z  2 z  3  2i. Tính P  a  b.
1
1
A. P 
B. P  1
C. P  1
D. P  
2

2

Câu 70: Xét số phức z thoả mãn (1  2i ) z 

10
 2  i. Mệnh đề nào sau đây đúng?
z

Gv : Lương Văn Huy - LTĐH – Vinastudy.vn – Dạy bằng tất cả đam mê

-Trang 23


Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – THPT Hà Trung
Tài liệu dành cho lớp học tại Ngọc Hồi – Hoàng Mai – Huỳnh Thúc Kháng – Bạch Mai
Liên hệ ôn thi : Gv – Lương Văn Huy – 0969141404
Face: Lương Văn Huy
A.

3
 z  2.
2

B. z  2.

C. z 

1
2

D.

1
3
 z .
2
2

Câu 71: Cho z  x  iy; z '  x ' iy ',  x, y    . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai ?
A. z  z '   x  x '   i  y  y '
B. z.z '  xx ' yy ' i  xy ' x ' y 

z xx ' yy '
x ' y  xy '
 2
 i. 2
2
z' x'  y'
x '  y '2
D. z  z '  x  x ' i   y  y '
C.

Câu 72: Tính  5  3i  3  5i 
A. 15  15i

B. 30  16i

C. 25  30i

D. 26  9i

Câu 73: Xác định tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức sao cho
ảo.
A. Trục tung, bỏ điểm  0;1

1
là số thuần
z i

B. Trục hoành, bỏ điểm  1;0 

C. Đường thẳng y  1 , bỏ điểm  0;1

D. Đường thẳng x  1 , bỏ điểm  1;0 

Câu 74: Số phức z thỏa mãn:  3  2i  z  4 1  i    2  i  z . Mô đun của z là :
3
4
Câu 75: Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z  3  2i và điểm B là điểm biểu diễn số phức z '  2  3i .
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O.
B. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục tung.
C. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua trục hoành
D. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y  x
Câu 76: Tìm tất cả các nghiệm của z 4  4 z 3  14 z 2  36 z  45  0 , biết z  2  i là một nghiệm của
phương trình:
A. z1  2  i; z2  3i; z3  3i
B. z1  2  i; z2  2  3i; z3  3i; z4  3i

A.

3

B.

5

C. 10

D.

C. z1  2  i; z2  2  i; z3  3; z 4  3i
D. z1  2  i; z2  2  i; z3  3i
2i
1  3i
Câu 77: Tìm số phức z thỏa mãn
z
1 i
2i
22 4
22 4
22
4
22 4
A.
 i
B.
 i
C.
i

D.   i
25 25
25 25
25
25
25 25
2
z
Câu 78: Tìm phần thực của số phức z biết: z 
 10
z
A. 10
B. 5
C. -5
D. 10
Câu 79: Tìm số phức z có z  1 và z  i đạt giá trị lớn nhất.
A. 1
B. -1
C. i
D. -i
3
Câu 80: Cho số phức z thỏa mãn: z  z . Khẳng định nào sau đây đúng:
A. z  1
B. z có thể nhận giá trị là số thực hoặc số thuần ảo.
C. Phần thực của z không lớn hơn 1.
D. Đáp án B và C đều đúng.
Câu 81: Miêu tả tập số phức z trên hệ tọa độ phức mà thỏa mãn z  3i  2  10 là:
Gv : Lương Văn Huy - LTĐH – Vinastudy.vn – Dạy bằng tất cả đam mê

-Trang 24

Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – THPT Hà Trung
Tài liệu dành cho lớp học tại Ngọc Hồi – Hoàng Mai – Huỳnh Thúc Kháng – Bạch Mai
Liên hệ ôn thi : Gv – Lương Văn Huy – 0969141404
Face: Lương Văn Huy
A. Đường thẳng 3 x  2 y  100
B. Đường thẳng 2 x  3 y  100
2

2

C. Đường tròn  x  2    y  3  100

2

2

D. Đường tròn  x  3   y  2   100

Câu 82: Cho số phức z  a  bi thỏa mãn z  2i.z  3  3i . Tính giá trị biểu thức: P  a 2016  b 2017
 34032  32017 
34032  32017
A. 0
B. 2
C.
D.




52017
52017


Câu 83: Cho số phức z thỏa:
A. w  5

z 1
 i. Môđun của số phức: w  (2  i)z  1 là?
zi

B. w  5

C. w  3

D. w  1

Câu 84: Cho phương trình: z 2  2z  3  0 có hai nghiệm là z1, z2. Giá trị của w  z12  z22  z1z2 là?
A. 2
B. 3
C. 1
D. 1 – i
Câu 85: Giá trị của z  1  i  i2  ...  i2017 là?
A. –1 + i
B. 0

C. 1 – i

D. 1 + i

Câu 86: Phương trình của tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa z  i  z  1 là?
A. x – y = 0
B. x +y = 0
C. 2x +y –1 = 0
D. x –2y =0
Câu 87: Cho số phức z = 1 + 2i, giá trị của số phức w  z  i z là?
A. 2 –i
B. 3 +3i
C. 1 +i
D. 3 –3i
Câu 88: Giá trị của b và c để phương trình z2 + bz + c = 0 nhận z = 1 + i làm nghiệm là?
A. b = 1 và c = 3
B. b = 2 và c = –2
C. b = –2 và c = 2
D. b = –3 và c = 1
(1  2i )(i  2)
là
Câu 89. Dạng đại số của biểu thức
i 1
1 7
7 7
A.  i
B. 7-7i
C.  i
D. 1-7i
2 2
2 2
Câu 90. Giá trị của biểu thức A  z 2  3iz  2 với z=2-3i là
A. 2-6i
B. 6i-2

C. -6+2i
D. 6-2i
Câu 91. Gọi M,N,P lần lượt là điểm biểu diễn số phức 1+i, 2+3i, 1-2i. Khi đó số phức biểu diễn điểm Q
  
thỏa mãn MN  3MQ  0 là
2 1
2 1
2 1
2 1
A.   i
B.   i
C.  i
D.  i
3 3
3 3
3 3
3 3
1  2i
. Mô đun của z là
Câu 92. Cho z 
1 i
5
5
10
A.
B. 10
C.
D.
2
2

2
Câu 93. Cho z=(1-2i)(1+i). Số phức liên hợp của z là
A. 1-3i
B. 3-i
C. 3+i
D. -3+i
2
Câu 94. Phương trình x -x+1=0 có hai nghiệm là
1
3 1
3
1
3
1
3
A. 1  3i;  1  3i
B. 
i; 
i C.  
i;  
i D. 1  3i; 1  3i
2 2 2 2
2 2
2 2
Câu 95: Tìm phần thực của số phức z  (2  3i) z  1  9i .
A.1
B.2
C. -1
D. -2
2

Câu 96:Gọi z1, z2 là nghiệm của pt z +2z +5 = 0. Tính giá trị của biểu thức sau : A = |z1|2 + |z2|2 –
4 | z1 | . | z 2 | .
A. -10
B.10
C.-20
D.20
Gv : Lương Văn Huy - LTĐH – Vinastudy.vn – Dạy bằng tất cả đam mê

-Trang 25