SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY CASIO hỗ TRỢ NHẨM NGHIỆM, dự đoán NHÂN tử GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, bất PHƯƠNG TRÌNH, hệ PHƯƠNG TRÌNH

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH
TRƯỜNG THPT C NGHĨA HƯNG


BÁO CÁO SÁNG KIẾN
ỨNG DỤNG MÁY TÍNH CASIO HỖ TRỢ NHẨM
NGHIỆM, DỰ ĐOÁN NHÂN TỬ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH,
BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Tác giả : Nguyễn Thị Quyết
Trình độ chuyên môn : Cử nhân SP Toán
Chức vụ : Giáo viên
Đơn vị : Trường THPT C Nghĩa Hưng
Nghĩa Hưng, ngày 25 tháng 5 năm 2016


1. Tên sáng kiến
ỨNG DỤNG MÁY TÍNH CASIO HỖ TRỢ NHẨM NGHIỆM, DỰ ĐOÁN
NHÂN TỬ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG
TRÌNH
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán THPT
3. Thời gian áp dụng sáng kiến
Từ ngày 15 tháng 4 năm 2014 đến 20 tháng 5 năm 2016
4. Tác giả:
Họ và tên: Nguyễn Thị Quyết
Năm sinh: 1986
Nơi thường trú: xóm 8, xã Xuân Châu, Xuân Trường, Nam Định
Trình độ chuyên môn: Cử nhân Sư phạm Toán
Chức vụ công tác: GV THPT
Nơi làm việc: Trường THPT C Nghĩa Hưng, huyện Nghĩa Hưng, tỉnh Nam
Định

Điện thoại: 0974085998
Tỷ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến: 100%
5. Đồng tác giả: Không có
6. Đơn vị áp dụng sáng kiến:
Tên đơn vị: Trường THPT C Nghĩa Hưng, huyện Nghĩa Hưng, tỉnh Nam Định
Địa chỉ: Thị trấn Rạng Đông, Nghĩa Hưng, Nam Định
Điện thoại: 03503…


BÁO CÁO SÁNG KIẾN
I.

ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN
Trong đề thi THPT QG những năm gần đây thường gặp những phương trình vô tỉ, bất
phương trình, hệ phương trình ở mức độ vận dụng cao (câu 8, 9 điểm). Để giải những bài toán
này đòi hỏi học sinh vận dụng kết hợp sáng tạo nhiều phương pháp: phân tích nhân tử, phương
pháp thế, phương pháp hàm số, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp liên hợp, phương pháp
đánh giá, … Song, vấn đề ở chỗ lựa chọn phương pháp nào để giải đúng, nhanh gọn chính xác
nhất là điều không phải học sinh nào cũng làm được.
Qua quá trình giảng dạy lớp 12 nhiều năm tôi nhận thấy mặc dù đã cung cấp tương đối
đầy đủ các phương pháp giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình chính thống, học
sinh có thể đã định hình được phương pháp giải nhưng vẫn gặp khó khăn trong việc tìm ra lời
giải dẫn đến đáp số cuối cùng: ví dụ như nhẩm được một số nghiệm của phương trình nhưng
không biết đã tìm được nghiệm chưa hoặc không biết hàm số có đơn điệu trên khoảng K nào đó
hay không, hoặc học sinh biết phương trình này có nghiệm vô tỉ nhưng không biết thêm bớt nhân
tử như thế nào để xuất hiện nghiệm….
Vậy làm thế nào để học sinh có cảm nhận bài toán và lựa chọn phương pháp giải hợp lý trong
thời gian ngắn nhất là điều khiến tôi luôn băn khoăn trăn trở. Qua quá trình học hỏi kinh nghiệm
đồng nghiệm, qua các chuyên đề tìm hiểu được và quá trình đúc rút kinh nghiệm từ bản thân tôi
thấy cần cung cấp cho học sinh một số kỹ năng vận dụng sự hỗ trợ của máy tính casio để có thể

tìm hướng giải quyết bài phương trình , bất phương trình và hệ, rồi cho học sinh rèn luyện để
kiểm chứng những kỹ thuật đã học được. Từ nhu cầu thực tế đó tôi viết sáng kiến kinh nghiệm:
“ỨNG DỤNG MÁY TÍNH CASIO HỖ TRỢ NHẨM NGHIỆM, DỰ ĐOÁN NHÂN TỬ
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH’’
II.
MÔ TẢ GIẢI PHÁP
II.1 MÔ TẢ GIẢI PHÁP TRƯỚC KHI TẠO RA SÁNG KIẾN
Hiện trạng trước khi áp dụng giải pháp mới:
Cấu trúc đề thi THPT QG những năm gần đây, phần phương trình, bất phương trình, hệ phương
trình thường đòi hỏi ở mức độ vận dụng cao nên các trường, các Sở trong cả nước khi ra đề khảo
sát các kỳ cũng thường đòi hỏi mức độ vận dụng kiến thức rất cao ở phần này.Nhằm đáp ứng
yêu cầu của kỳ thi THPT Quốc Gia, tôi thường cho học sinh cọ sát với các đề khảo sát thi THPT
Quốc Gia của các trường, các Sở trong cả nước nhưng tôi nhận thấy chỉ những học sinh có lực
học tốt mới “dám” làm phần phương trình, bất phương trình, hệ phương trình nhưng tốn rất
nhiều thời gian và công sức có khi không tìm ra được hướng giải hoặc chỉ giải quyết được 50%
đến 70% bài toán mà không giải quyết triệt để vì vấp phải một số vướng mắc.
VD 1. Đề thi giữa kỳ I lớp 12 năm 2015 – 2016 trường THPT C Nghĩa Hưng
Giải hệ phương trình:
 2 y 3 + y + 2 x 1 − x = 3 1 − x
(1)

2
2
2
( x, y ∈ Z )
 9 − 4 x = 2 x + 6 y − 7
 3 3
Điều kiện: x ≤ 1, y ∈  − ; 
 2 2
(1) có x, y độc lập ⇒ định hướng hàm số

(1) ⇔ 2 y 3 + y = 2(1 − x ) 1 − x + 1 − x
Trang 1


'
2
Xét hàm số f (t ) = 2t 3 + t ta có f (t ) = 6t + 1 > 0∀t ∈ R ⇒ hàm f (t ) đồng biến trên R
y ≥ 0
Vậy (1) ⇔ f ( y ) = f ( x − 1) ⇔ y = x − 1 ⇔  2
thế vào 2 ta được
 y = 1− x
4 x + 5 = 2x2 − 6x −1
Đến đây học sinh gặp khó khăn trong việc tìm lời giải tiếp.
Giáo viên hướng dẫn:
Phương trình
⇔ 2 4 x + 5 = 4 x 2 − 12 x − 2

⇔ 4x + 1 + 2 4 x + 5 + 1 = 4 x2 − 8x + 4
⇔ ( 4 x + 5 + 1) 2 = (2 x − 2) 2
 4 x + 5 = 2 x − 3 (vô nghiêm do x ≤ 1 )
⇔
 4 x + 5 = 1 − 2 x
⇔ x = 1− 2 ⇒ y = 4 2
Học sinh phản hồi: Làm thế nào để phát hiện đưa phương trình về dạng A2= B2 được?
VD2. Đề trường THPT Thủ Đức – TP HCM
 x + 1 + x 2 + 2 x = y + y 2 − 1
(1)
Giải hệ  2
(2)
3 x − 8 x − 7 = 4 x y + 1

 x ≥ 0, y ≥ 1
Điều kiện: 
 x ≤ −2
(1) có x, y độc lập => định tính sử dụng phương pháp hàm số
(1) ⇔ x + 1 + ( x + 1) 2 − 1 = y + y 2 − 1 (*)
Xét hàm số f (t ) = t + t 2 − 1 , t ≥ 1
Chứng minh được hàm số này đồng biến trên (1; +∞)
Khi đó phương trình (*) ⇔ f ( x + y ) = f ( y ) ⇔ x + 1 = y
Thay vào (2) ta được 3 x 2 − 8 x − 7 = 4 x x + 2
Đến đây học sinh cũng gặp khó khăn trong việc tìm lời giải tiếp theo.
Giáo viên hướng dẫn:
Phương trình ⇔ 2 x + 2.2 x + 2 + [ 2(3x − 1) + 2(1 − x) ] x + 2 + (3x − 1)( − x + 1) = 0
⇔ (2 x + 2 − x + 1)(2 x + 2 + 3 x − 1) = 0
2 x + 2 = x − 1
⇔
 2 x + 2 = 1 − 3 x
Học sinh phản hồi:
Làm thế nào để tách được nhân tử đưa về được dạng phương trình tích A.B = 0?

Trang 2


VD 3. (Đề sở GD ĐT Bắc Giang)
 x 3 − 7 y 3 + 3 xy ( x + y ) − 24 y 2 + 3 x − 27 y = 14 (1)
Giải hệ : 
3
2
(2)
 3 − x + y + 4 = x + y − 5
y ≥ 4

Điều kiện 
x ≤ 3
Định hướng: Phương trình (1) có thể tách nhân tử đưa về dạng phương trình tích
(1) ⇔ ( x − y − 2) ( x + y ) 2 + ( x + y )(2 y + 2) + (2 y + 2) 2 + 3 = 0
⇔ y = x−2
Học sinh phản hồi: làm thế nào biết phương trình (1) có nhân tử là (y-x+2)?
VD 4. Giải phương trình :
x 2 + x − 1 = ( x + 2) x 2 − 2 x + 2 (1)
Định hướng: thêm bớt, tách nhân tử đưa về phương trình tích hoặc sử dụng phương pháp ẩn phụ
không triệt để.
(1) ⇔ x 2 − 2 x − 7 = ( x + 2) x 2 − 2 x + 2 − 3 x − 6
⇔ x 2 − 2 x − 7 = ( x + 2)( x 2 − 2 x + 2 − 3)
 x = 1 + 8
 x2 − 2x − 7 = 0

⇔ 
⇔   x = 1 − 8
x+2
1=


x2 − 2x + 2 + 3
 x 2 − 2 x + 2 = x − 1 ( ptr vô nghiem)
x = 1+ 8
⇔
 x = 1 − 8
Vấn đề ở chỗ: làm thế nào học sinh phát hiện được nhân tử ( x 2 − 2 x − 7 )?
Qua một số ví dụ điển hình về những khó khăn học sinh có thể gặp phải trong quá trình giải toán,
nhằm giúp học sinh có công cụ mạnh hơn để xử lý tình huống, tôi xin đưa ra một số giải pháp
mới nhằm khắc phục nhược điểm của các giải pháp cũ.

II.2 MÔ TẢ GIẢI PHÁP SAU KHI CÓ SÁNG KIẾN
2.11VẤN ĐỀ CẦN GIẢI QUYẾT
1 Trang bị cho học sinh kĩ năng chia đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử bằng
máy tính CASIO
2 Trang bị cho học sinh kĩ năng chia đa thức có một căn thức bằng máy tính CASIO
3 Trang bị cho học sinh kỹ năng thêm bớt, tìm và tách nhân tử giải phương trình, bất
phương trình vô tỉ bằng máy tính CASIO
4 Trang bị cho học sinh kỹ năng dự đoán mối quan hệ giữa hai biến trong hệ phương
trình bằng máy tính CASIO
Học sinh kết hợp tốt các kỹ năng trên cùng với việc vận dụng linh hoạt các phương pháp giải
phương trình, bất phương trình, hệ sẽ giải quyết được một lớp các bài toán mà học sinh thường
gặp khó khăn trước đây.
Cách xử lí phương trình và bất phương trình là tương đối giống nhau, vì vậy trong sáng kiến này
tôi đi sâu hơn vào các bài toán giải phương trình. Đối với hệ phương trình, theo xu hướng hiện
Trang 3


nay thì thường tìm mối quan hệ của biến này theo biến kia từ một phương trình của hệ. Sau đó
thế vào phương trình còn lại, từ đây lại gặp bài toán giải phương trình. Do đó việc nắm thật vững
các kỹ năng giải phương trình là điều cực kỳ quan trọng, có khi việc giải phương trình trong quá
trình giải hệ trước còn khó hơn việc tìm mối quan hệ giữa hai biến của hệ.
2.2 PHẠM VI ÁP DỤNG
- Sáng kiến được sử dụng để giảng dạy và bồi dưỡng cho các em học sinh khối 10,12 hệ THPT
đặc biệt là các em ôn thi THPT Quốc gia xét đại học và làm tài liệu tham khảo cho các thầy cô
giảng dạy môn Toán. Các thầy cô và học sinh có thể sử dụng các bài toán trong sáng kiến này
làm bài toán gốc để đặt và giải quyết các bài tập cụ thể.
Trong sáng kiến này tôi đã đưa ra và giải quyết một số dạng bài toán thường gặp tương ứng các
bài tập tự luyện. Sau mỗi bài toán tác giả đều có những nhận xét bình luận khắc phục những hạn
chế cơ bản giúp bạn đọc có thể chọn ra cho mình những phương pháp giải tối ưu nhất, để có
được những lời giải gọn gàng và sáng sủa nhất.Hướng trình bày của sáng kiến là định tính

phương pháp giải, chỉ ra hướng giải nhờ sử dụng máy tính casio, không đi sâu vào lời giải chi
tiết.
2.3 ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG GIẢI PHÁP
1) Học sinh nắm được các phương pháp cơ bản giải phương trình, bất phương
trình :
• Phương pháp biến đổi tương đương, hệ quả:
Các dạng cơ bản:
 f ( x ) ≥ 0 hoặc g ( x) ≥ 0
* Dạng 1: f ( x) = g ( x) ⇔ 
 f ( x) = g ( x)
* Dạng 2:

 g ( x ) ≥ 0
f ( x) = g ( x) ⇔ 
(Không cần đặt điều kiện f ( x ) ≥ 0 )
2
 f ( x ) = g ( x )

* Dạng 3:

 f ( x ) + g ( x ) + 2 f ( x ) g ( x ) = h( x )

f ( x ) + g ( x ) = h( x ) ⇔  f ( x ) ≥ 0
(chuyển về
 g ( x) ≥ 0


dạng 2)
3

* Dạng 4:

f ( x ) + 3 g ( x ) = 3 h( x )

⇔ f ( x) + g ( x ) + 33 f ( x) g ( x) (3 f ( x) + 3 g ( x) ) = h( x)

Thay 3 h( x) = 3 f ( x) + 3 g ( x) nhận được phương trình hệ quả
• Phương pháp đặt ẩn phụ
Đối với một số phương trình có thể đặt ẩn phụ để quy về dạng đơn giản. Tùy theo dạng phương
trình có thể đặt một ẩn, nhiều ẩn, quy về phương trình hoặc hệ phương trình.
1. Phương pháp đặt ẩn phụ hoàn toàn
a. Một số dạng thường gặp
Nếu có f (x) và f(x) thì đặt t = f (x)
Nếu có

f ( x) , g ( x) mà

f ( x) . g ( x) = a (hằng số) đặt t =

f ( x) ⇒ g ( x) = a / t
Trang 4


Nếu có f ( x) ± g ( x ) , f ( x ) g ( x) , f ( x ) ± g ( x) = a đặt t =
2. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn
3. Đặt ẩn phụ đưa về dạng tích
Sử dụng đẳng thức

f ( x) ± g ( x)

u + v = 1 + uv ⇔ ( u − 1) ( v − 1) = 0

au + bv = ab + vu ⇔ ( u − b ) ( v − a ) = 0

4. Đặt ẩn phụ quy về hệ phương trình
u = n a − f ( x)
u n + v n = a + b
⇒
Dạng 1: đặt 2 ẩn phụ a − f ( x) + b + f ( x) = c → 
v = n b + f ( x)
u + v = c
Dạng 2: một ẩn phụ chuyển phương trình thành một hệ : ax + b = c(dx + e) 2 + nx + m
Dạng 3: Đưa về hệ tạm
Nếu phương trình vô tỉ có dạng A + B = C , mà : A − B = α C
ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của x . Ta có thể giải như sau :
n

n

 A + B = C
A− B
= C ⇒ A − B = α , khi đĩ ta có hệ: 
⇒ 2 A = C +α
A− B
A
−
B
=
α


5. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :
Chúng ta đã biết cách giải phương trình: u 2 + α uv + β v 2 = 0 (1) bằng cách
2

u
u
Xét v ≠ 0 phương trình trở thành:  ÷ + α  ÷+ β = 0 . v = 0 thử trực tiếp
v
v
Các trường hợp sau cũng đưa về được (1)

a. A ( x ) + bB ( x ) = c A ( x ) .B ( x )

α u + β v = mu 2 + nv 2
Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương
trình vô tỉ theo dạng này .

a. Phương trình dạng : a. A ( x ) + bB ( x ) = c A ( x ) .B ( x )

Như vậy phương trình Q ( x ) = α P ( x ) có thể giải bằng phương pháp trên nếu

 P ( x ) = A ( x ) .B ( x )

Q ( x ) = aA ( x ) + bB ( x )

b.Phương trình dạng : α u + β v = mu 2 + nv 2
Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưg nếu ta bình
phương hai vế thì đưa về được dạng trên.
• Phương pháp trục căn để xuất hiện nhân tử chung

1. Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung
Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm x0 như vậy phương trình luôn đưa về
được dạng tích ( x − x0 ) A ( x ) = 0 ta có thể giải phương trình A ( x ) = 0 hoặc chứng minh

Trang 5


A ( x ) = 0 vô nghiệm , chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía
A ( x ) = 0 vô nghiệm
2. Nhân liên hợp
•

Phương pháp đánh giá

Khi giải phương trình vô tỉ (chẳng hạn f ( x) = g ( x) ) bằng phương pháp đánh giá, thường là để
ta chỉ ra phương trình chỉ có một nghiệm (nghiệm duy nhất).Ta thường sử dụng các bất đẳng
thức cổ điển Cô si, Bunhiacopxki, đưa vế trái về tổng bình phương các biểu thức, đồng thời vế
phải bằng 0. Ta cũng có thể sử dụng tính đơn điệu của hàm số (có thể thấy ngay hoặc sử dụng
đạo hàm xét sự biến thiên của hàm số) để đánh giá một cách hợp lý.
 f ( x) = g ( x)

Thường ta đánh giá như sau:  f ( x) ≥ C (≤ C ) ⇔ f ( x ) = g ( x) = C , hoặc đánh giá f ( x ) ≥ g ( x )
 g ( x ) ≤ C (≥ C )

cũng như là f ( x ) ≤ g ( x ) …
Ngoài ra đối với bài cụ thể nào đó ta sẽ có cách đánh giá khác.
Cũng có một số phương trình vô tỉ có nhiều hơn một ẩn mà ta giải bằng phương pháp đánh giá.
• Phương pháp hàm số
Một số dạng cơ bản
a. Phương trình f ( x ) = k . Nếu f ( x) đơn điệu thì phương trình f ( x) = k có nghiệm duy nhất

x = x0 (Để tìm được x0 ta nhẩm nghiệm).
b. Phương trình f ( x) = g ( x) . Nếu f ( x) đồng biến và g ( x) nghịch biến thì phương trình
f ( x) = g ( x) có nghiệm duy nhất x = x0 (Để tìm được x0 ta nhẩm nghiệm).
c. Phương trình f (u ) = f (v ) . Nếu f ( x) đơn điệu thì phương trình f (u ) = f (v ) ⇔ u = v .
2) Học sinh có máy tính Casio 570ES Plus, vnplus..
3) Học sinh nắm được công dụng của một số phím chức năng của máy tính
Phím Calc: tính giá trị biểu thức
Ví dụ: cho f ( x) = 2 x 2 + 1 + x + 4 tính f(2); f(4);...
Ta nhập vào máy biểu thức: 2 x 2 + 1 + x + 4
ấn CALC cho x=2 được 9 + 6
ấn CALC cho x=4 được 33 + 2 2
...
Phím Shif+ calc (slove): tìm nghiệm phương trình
Phím gán: Shift+STO
Ví dụ: muốn gán giá trị 1000 cho A ta ấn:
1000 SHIFT STO A
Phím Mode7:
- Tìm nghiệm hữu tỉ
- Dự đoán khoảng chứa nghiệm vô tỉ
- Dự đoán số nghiệm của phương trình
Trang 6


- Dự đoán tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
2.4 CÁCH THỨC THỰC HIỆN
1. GIẢI PHÁP CHIA ĐA THỨC CÓ HỆ SỐ NGHUYÊN, PHÂN TÍCH ĐA
THỨC THÀNH NHÂN TỬ
VD1. Giải phương trình x 4 − 4 x3 + 8 x 2 − 11x + 6 = 0
Hướng dẫn: nhập biểu thức vế trái
ALPHA X 4 − 4 ALPHA X 3 + 8 ALPHA X 2 − 11ALPHA X + 6

ấn SOLVE (SHIFT CALC)
máy hỏi solve for x
ta ấn 10 = được nghiệm x = 2
ấn ¬ replay để trở lại phương trình
ấn SOLVE cho x=0 được nghiệm x = 1
ấn SOLVE cho x=-10 được nghiệm x = 2
dự đoán nhân tử là : (x-1)(x-2)=x2-3x+2
Ta thực hiện chia để tìm nhân tử còn lại như sau:
x 4 − 4 x3 + 8 x 2 − 11x + 6
Nhập
x 2 − 3x + 2
Calc cho x=1000 được 999003 ≈ x 2
ấn ¬ replay
Ta trừ biểu thức cho x2
Calc cho x = 1000 được -997 dự đoán là –x+3
¬ replay
Ta cộng biểu thức cho x-3
Calc cho x tuỳ ý đều được 0, chứng tỏ phép chia hết.
⇒ x 4 − 4 x 3 + 8 x 2 − 11x + 6 = (x 2 − 3x + 2)(x 2 − x + 3)
Học sinh có thể kiểm chứng kết quả bằng việc biến đổi ngược lại để tìm lời giải.
Nhận xét: Học sinh tính được nghiệm hữu tỉ có thể sử dụng lược đồ Hoocne để tách nhân
tử...nhưng trong những trường hợp không tìm được nghiệm hữu tỉ mà dự đoán được nhân tử bậc
cao thì việc chia như trên tỏ ra hiệu quả rõ ràng.
Ta xét VD2
VD2. Giải phương trình:
x 4 + 3x3 + x 2 − 2 = 0
Nhập biểu thức vế trái
Ấn SOLVE nhập x = 10 được nghiệm x ≈ 0, 73205...
Ấn , = để lưu phương trình
ấn AlphaX Shift STO A ( gán nghiệm vừa tìm được cho A)

Trở lại phương trình ấn SOLVE nhập x = 0
Được x ≈ −2, 73205. .. ấn AlphaX Shift STO B gán vào B
Ta thử :
AlphaA+ AlphaB=-2
AlphaA.AlphaB=-2
Suy ra A, B là nghiệm của phương trình x 2 + 2 x − 2
⇒ Nhân tử là x 2 + 2 x − 2
Trang 7


x 4 + 3x 2 + x 2 − 2
x2 + 2x − 2
Thực hiện phép chia tương tự như ví dụ 1 ta được x 4 + 3 x 3 + x 2 − 2 = ( x 2 + 2 x − 2)( x 2 + x + 1)
Nhập

Nhận xét:
Đối với phương trình bậc cao, nếu tìm được nghiệm vô tỉ có tổng, tích hữu tỉ thì có thể dự đoán
được nhân tử nhờ định lý Viet rồi thực hiện phép chia đa thức như trên, sau đó nhân ngược trở
lại sẽ tìm được hướng giải.
Có thể áp dụng kỹ năng trên để giải phương trình chứa căn bằng phương pháp luỹ thừa đưa về
phương trình bậc cao.
Ví dụ 3:
Giải phương trình :
(1 − x ) 2 x + 3 − 2 x 2 + 3 = 0 (1)
t 2 −1
2
Thế vào phương trình (1) ta được:
t 4 + t 3 − 6t 2 − 5t + 3 = 0
Nhập vế trái
ấn SOLVE cho x=10 được x ≈ 2.30277

Ấn , = để lưu phương trình
ấn AlphaX Shift STO A ( gán nghiệm vừa tìm được cho A)
Trở lại phương trình ấn Solve nhập x = 0 được x ≈ 0, 4142.. .. gán vào B
Trở lại phương trình ấn Solve nhập x = -10 được x ≈ -2.4142... gán vào C
Thử AlphaC+ AlphaB=-2
AlphaC.AlphaB=-1
Suy ra B, C là nghiệm của phương trình t 2 + 2t − 1
⇒ Nhân tử là t 2 + 2t − 1
t 4 + t 3 − 6t 2 − 5t + 3
Ta nhập
t 2 + 2t − 1
Calc cho x=1000 được 998997 ≈ x 2
ấn ¬ replay
Ta trừ biểu thức cho x2
Calc cho x = 1000 được -1003 dự đoán là –x-3
¬ replay
Ta cộng biểu thức cho x+3
Calc cho x tuỳ ý đều được 0, chứng tỏ phép chia hết.
Suy ra t 4 + t 3 − 6t 2 − 5t + 3 = (t 2 + 2t − 1)(t 2 − t − 3)
Từ đây bài toán được giải quyết dễ dàng.
Đặt

2x + 3 = t, t ≥ 0 ⇒ x =

Ví dụ 4: Giải phương trình:
2 x 2 − 2 x + (5 x − 6) x − 1 = 0
Đk: x ≥ 1
Trang 8

x −1 = t , t ≥ 0
⇒ x = t2 +1
Phương trình trở thành:
2t 4 + 5t 3 + 2t 2 − t = 0
Sử dụng phím SOLVE ta dễ dàng tìm được hai nghiệm là : 0, -1
⇒ nhân tử là t(t+1)
Sử dụng giải pháp chia đa thức như VD 1 ta dễ dàng tìm được nhân tử còn lại là 2t 2 − 3t − 1
Vậy: 2t 4 + 5t 3 + 2t 2 − t = t (t + 1)(2t 2 + 3t − 1)
Đến đây học sinh có thể dễ dàng tìm lời giải.
Bài tập tự luyện:
Giải các phương trình sau:
1) 2 x − 1 + x 2 − 3 x + 1 = 0 ( khối D-2006)
Đặt

2) 3 x 2 − 3x + 2 + ( x 2 + x − 2) x + 1 = 0
3) 4 x 2 − 8 x + 2 x + 3 = 1 ( chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An 2012)
4) x 3 + x 2 = ( x 2 + 1) x + 1 + 1
5) x 3 − x 2 − x − 5 = ( x + 4) x + 2
6) x 3 + x 2 = ( x 2 + 1) x + 1 + 1
2. GIẢI PHÁP CHIA ĐA THỨC CÓ MỘT CĂN THỨC
x2 + 6 x − 3 − 4x 2 x −1
VD1. Chia
3 2x −1 − x
Bước 1: nhập biểu thức
Bước 2: Calc cho x = 2 (chọn giá trị của x đảm bảo cho 2 x − 1 vô tỉ),ấn =
Được −2 + 3
ấn ¬ replay rồi trừ biểu thức cho 2 x − 1 (chú ý: 3 = 2.2 − 1 )
Bước 3: Calc cho x = 1000 được -1000 ấn ¬ replay
Cộng biểu thức với x
Bước 4: Calc cho x = 1000; 99; 8; 55…( tuỳ ý) đều được 0,vậy phép chia hết.

x2 + 6x − 3 − 4 x 2x − 1
⇒
= 2x −1 − x
3 2x −1 − x
Có thể kiểm chứng kết quả bằng cách khai triển ngược lại (3 2 x − 1 − x).( 2 x − 1 − x) từ đó tìm
được lời giải bài toán.
(3 x 2 − 3 x + 2) + ( x 2 + x − 2) x + 1
=A
x x +1 + 2x − 2
Bước 1. Nhập biểu thức A
Bước 2: Calc cho x = 1 được 2 dự đoán là x + 1
ấn ¬ replay rồi trừ biểu thức cho x + 1
Bước 3: Calc cho x = 1000 được 999 dự đoán là x-1
VD2. Chia

Trang 9


ấn ¬ replay rồi trừ biểu thức cho x – 1
Bước 4: Calc cho x tuỳ ý đều được 0, vậy phép chia hết.
⇒ A = x +1 + x −1
Nhận xét:
Phép chia đa thức có căn thức được dùng để định hướng thêm bớt hạng tử làm xuất hiện biểu
thức chứa căn chứa nghiệm vô tỉ của phương trình vô tỉ. Việc tìm biểu thức chưa căn chứa
nghiệm vô tỉ của phương trình vô tỉ chúng ta sẽ nghiên cứu ở phần sau.
3. GIẢI PHÁP THÊM BỚT TÌM NHÂN TỬ GIẢI PT, BPT VÔ TỈ BẰNG
MÁY CASIO
3.1 Trường hợp tìm được hai nghiệm hữu tỉ đơn
VD1: Giải phương trình:
. 3x + 1 + 5 x + 4 − (3 x 2 − x + 3) = 0

Bước 1: Nhập biểu thức vế trái
Bước 2: ấn Shift calc (solve) cho x=10 ta được nghiệm 1
Bước 3: ấn Shift calc (solve) cho x=0 ta được nghiệm 0
Nhân tử là x(x-1)
Phân tích: Để làm xuất hiện nhân tử x 2 − x thì mỗi biểu thức chứa căn thường phải thêm bớt nhị
thức bậc nhất
Giả sử phương trình 3x + 1 + ax + b = 0
 x = 0 b + 1 = 0
b = −1
⇒
⇒

Có hai nghiệm:  x = 1  a + a = −2 a = −1
⇒ 3x + 1 − x − 1
Tương tự : 5 x + 4 − x − 2
Khi đó ta có lời giải như sau:
−1

 x ≥ 3
−1
⇔ x≥
Điều kiện pt: 
3
 x ≥ −4

5
(1) ⇔ 3x + 1 − x − 1 + 5 x + 4 − x − 2 = 3 x 2 − 3 x
⇔

− x2 + x

1
+
= 3( x 2 − x )
3x + 1 − x − 1
5x + 4 − x − 2


 x = 0 (tm)

⇔  x = 1 (tm)

1
1

+
= −3 (*)
 3 x + 1 − x − 1
5x + 4 − x − 2
−1  x + 1 > 0
⇒
⇒ VT ptr (*) > 0
Do điều kiện x ≥
3
x + 2 > 0
⇒ pt (*) vô nghiệm
Trang 10


Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = { 0,1}
Nhận xét:

Đối với phương trình vô tỉ tìm được hai nghiệm hữu tỉ thì bằng cách làm tương tự như ví dụ trên
có thể tìm được các hạng tử cần thêm bớt rồi sử dụng phương pháp liên hợp sẽ làm xuất hiện
nhân tử. Việc sử dụng máy tính để tìm nghiệm cũng tiết kiệm được rất nhiều thời gian và công
sức giải toán.

Bài tập tự luyện :
Giải các phương trình, bất phương trình sau:
1)

2 x 2 − x + 3 + x 2 − x = 21x − 17

2) 2 x 2 − 4 x − 9 + 5 x + 6 + 7 x + 11 = 0
3) 2 x + 3 + 2( x − 1) x + 7 ≥ 4 x 2 + 13 x − 13
4) 5 x 3 − 22 x 2 + 22 x − 6 + 4 x − 3 = 0
5) 2 x 2 − 3 x + 2 ≤ x 3x − 2
6) 3x 2 + 4 x − 3 = 4 x 4 x − 3
3.2 Trường hợp tìm được hai nghiệm vô tỉ đơn có tổng, tích hữu tỉ
Ví dụ 1: ta xét ví dụ 4 phần II.1
Giải phương trình: x 2 + x − 1 = ( x + 2) x 2 − 2 x + 2 (1)
Hướng dẫn: Sử dụng chức năng SOLVE ta tìm được hai nghiệm vô tỉ là: 3,8284... và -1,8284...
ta gán lần lượt cho A , B . Thử được:
A + B = 2
Suy ra A, B là nghiệm của phương trình x 2 − 2 x − 7

 AB = −7
Vậy phương trình có thể tách được nhân tử là: x 2 − 2 x − 7
Từ đó ta có lời giải như VD 4 phần II.1
Chú ý: Phương trình này có thể bình phương hai vế đưa về phương trình bậc 4 rồi thực hiện phép
chia đa thức như giới thiệu ở trên.
Ví dụ 2: Giải phương trình:

x 2 + 3 x − x x 2 + 2 = 1 + 2 x 2 + 2 (1)
Hướng dẫn: Sử dụng chức năng SOLVE ta tìm được hai nghiệm vô tỉ , ta gán lần lượt cho A,B.
A + B = 0
Thử được 
 AB = −7
Suy ra A, B là nghiệm của phương trình : x 2 − 7
Vậy phương trình có thể tách được nhân tử là x 2 − 7
Từ đó ta có lời giải:

Trang 11


⇔ x 2 − 7 − ( x + 2)( x 2 + 2 − 3) = 0
 x 2 − 7 = 0 (a )
(1) 
⇔
x+2
1 = x 2 + 2 + 3 (b)

(a) ⇔ x = ± 7

x ≥ 1

x ≥ 1

−1 ( hệ vô nghiệm)
2
(b ) ⇔ x + 2 = x − 1 ⇔  2
 x = 4
2

x + 2 = x − 4x +1

{

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = − 7, 7

}

Bài tập tương tự:
1) 5 + 4 x = 2 x 2 − 6 x − 1
2) ( x + 2) x 2 + 1 = ( x + 1) 2
3) 9 x 2 + 8 x + 3 − (9 x + 7) x 2 + 1 = 0
3
1
4) 3 x +
= 2x +
−7
2x
2 x
3.3 Trường hợp phương trình vô tỉ tìm được 1 nghiệm vô tỉ hoặc hai nghiệm vô tỉ nhưng
tổng, tích không hữu tỉ
Ví dụ 1: Giải phương trình:
x 2 + 4 x + 3 = ( x + 1) 8 x + 5 + 6 x + 2 (1)
Hướng dẫn:
Nhập biểu thức vế trái
ấn solve cho x=10, x=0, x=-10 ta đều tìm được nghiệm x ≈ 4, 2306.. ta lưu vào A
Ấn MODE 7
Nhập f(x)= A2 − Ax
Máy hỏi start? Ta nhập -14 =
Máy hỏi End? Ta nhập 14 =

Máy hỏi Step? Ta nhập 1 =
Máy hiện lên bảng giá trị, ta thấy x=4 thì f(x)=1, suy ra A2 − 4 A = 1 ⇒ A là nghiệm của phương
trình x 2 − 4 x − 1 = 0
⇒ phương trình (1) có thể tách được nhân tử là x 2 − 4 x − 1
Từ đây ta có hướng thêm bớt hạng tử:
Ta nhận thấy: 8 x + 5 + x 2 − 4 x − 1 = x 2 + 4 x + 4 = ( x + 2) 2 ⇒ 8 x + 5 − x − 2
6 x + 2 + x 2 − 4 x − 1 = x 2 + 2 x + 1 = ( x + 1) 2 ⇒ 6 x + 2 − x − 1
Từ đó ta có lời giải
8 x + 5 ≥ 0
−1
⇔x≥
Đk:

3
6 x + 2 ≥ 0

Trang 12


⇔ ( x + 1)( 8 x + 5 − x − 2) + 6 x + 2 − x − 1 = 0
⇔
(1)

( x + 1)(− x 2 + 4 x + 1)
− x2 + 4 x + 1
+
=0
8x + 5 + x + 2
6x + 2 + x +1

 − x 2 + 4 x + 1 = 0 (a)
⇔
x +1
1

+
= 0 (b )
6x + 2 + x +1
 8 x + 5 + x + 2
x = 2 + 5
(a) ⇔ 
 x = 2 − 5

Giải (b)
Do x ≥

−1  x + 1 > 0
⇒
suy ra VT (b)>0 ⇒ ( b) vô nghiệm.
3
x + 2 > 0

{

Kết hợp điều kiện ta được tập nghiệm của phương trình là: S = 2 + 5

}

Ví dụ 2: Giải Phương trình
2 x − 5 + 3 2 x + 7 = 2 x + 1 (1)

Hướng dẫn:
Nhập biểu thức vế trái
ấn solve cho x=10, x=0, x=-10 ta đều tìm được nghiệm x ≈ −0, 4641... ta lưu vào A
Ấn MODE 7
Nhập f(x)= A2 − Ax
Máy hỏi start? Ta nhập -14 =
Máy hỏi End? Ta nhập 14 =
Máy hỏi Step? Ta nhập 1 =
Máy hiện lên bảng giá trị, ta thấy x=6 thì f(x)=3, suy ra A2 − 6 A = 3 ⇒ A là nghiệm của phương
trình x 2 − 6 x − 3 = 0
⇒ phương trình (1) có thể tách được nhân tử là x 2 − 6 x − 3
Đến đây ta có thể thêm bớt hạng tử, dùng phương pháp liên hợp tương tự như ví dụ 1 trên để
tách nhân tử x 2 − 6 x − 3 hoặc có thể luỹ thừa đưa về phương trình bậc 4, dùng giải pháp chia đa
thức cho x 2 − 6 x − 3 , ta sẽ được thương còn lại.
VD3. Giải phương trình 5 x 2 − 4 x − 2 − 2(2 x − 1) 2 x 2 − 3 = 0
Hướng dẫn:
Nhập biểu thức vế trái
ấn solve cho x=10, x=0, x=-10 ta đều tìm được nghiệm x ≈ −1, 236... ta lưu vào A
Ấn MODE 7
Nhập f(x)= A2 − Ax
Máy hỏi start? Ta nhập -14 =
Máy hỏi End? Ta nhập 14 =
Máy hỏi Step? Ta nhập 1 =
Trang 13


Máy hiện lên bảng giá trị, ta thấy x=-2 thì f(x)=4, suy ra A2 + 2 A = 4 ⇒ A là nghiệm của phương
trình x 2 + 2 x − 4 = 0
⇒ phương trình (1) có thể tách được nhân tử là x 2 + 2 x − 4
Đến đây ta có thể thêm bớt hạng tử, dùng phương pháp liên hợp hoặc luỹ thừa đưa về phương

trình bậc 4, dùng giải pháp chia đa thức cho x 2 + 2 x − 4 , ta sẽ được thương còn lại.
Nhận xét: Với giải pháp trên, đối với phương trình vô tỉ chứa căn mà dò được tam thức bậc hai
chứa nghiệm vô tỉ của phương trình ta có thể luỹ thừa lên và thực hiện phép chia đa thức tìm
nhân tử còn lại.
VD4. Giải phương trình
8 x 2 − 8x + 3 = 8 x 2 x 2 − 3x + 1
Hướng dẫn:
Nhập biểu thức vế trái

(1)

Sử dụng phím SOLVE ta tìm được hai nghiệm vô tỉ, lưu vào A, B: A ≈ 1,183; B = 0,3169 nhưng
A+B vô tỉ và A.B vô tỉ nên không thực hiện được như 3.2
Ta có thể tìm được tam thưc bậc hai chứa nghiệm vô tỉ A hoặc B như ví dụ 1,2, 3 hoặc tìm như
sau
Ấn Mode 7
Nhập f ( x) = 2 A2 − 3 A + 1 − Ax =
Máy hỏi start? Ta nhập -14 =
Máy hỏi End? Ta nhập 14 =
Máy hỏi Step? Ta nhập 1 =
Từ bảng giá trị ta thấy:
1
x = 0 thì f ( x) =
2
1
⇒ 2 A2 − 3 A + 1 =
2
⇒ A là nghiệm của phương trình 2 2 x 2 − 3 x + 1 − 1
Sử dụng giải pháp chia đa thức có một căn thức ta được
8 x 2 − 8 x + 3 − 8 x 2 x 2 − 3x + 1

= 2 2 x 2 − 3x + 1 − 4 x + 1
2
2 2 x − 3x + 1 − 1
Từ đó ta có lời giải như sau
(1) ⇔ 8 x 2 − 12 x + 4 + 4 x − 1 + (2 − 8 x − 2) 2 x 2 − 3 x + 1 = 0

Trang 14


⇔ 4(2 x 2 − 3 x + 1) + 2(1 − 4 x) 2 x 2 − 3 x + 1 − 2 2 x 2 − 3 x + 1 + 4 x − 1 = 0
⇔ 2 2 x 2 − 3 x + 1(2 2 x 2 − 3x + 1 − 1) + (1 − 4 x)(2 2 x 2 − 3 x + 1 − 1) = 0
⇔ (2 2 x 2 − 3 x + 1 + 1 − 4 x)(2 2 x 2 − 3 x + 1 − 1) = 0
2 2 x 2 − 3x + 1 + 1 − 4 x = 0
⇔
 2 2 x 2 − 3 x + 1 − 1 = 0

3+ 3
x =
2
8 x − 12 x + 3 = 0
4



3− 3
1
⇔   x ≥
⇔ x =

4

4

 2

−1 + 7
 8 x + 4 x − 3 = 0
x =
4

Kết luận….
VD5. Giải phương trình 4 x + 5 = 2 x 2 − 6 x − 1
 x ≈ 3, 732...
Sử dụng phím Shift Calc ta tìm được hai nghiệm 
vô tỉ, lưu vào A, B
 x ≈ −0, 4142...
Ấn Mode 7 nhập f ( x) = 5 + 4 A − Ax
Máy hỏi start? Ta nhập -14 =
Máy hỏi End? Ta nhập 14 =
Máy hỏi Step? Ta nhập 1 =
Máy hiện lên bảng giá trị, ta thấy x=2 thì f(x)=-3,
⇒ 5 + 4 A − 2A=-3
⇒ A là nghiệm của phương trình 5 + 4 x − 2x+3 =0
Sử dụng giải pháp chia đa thức chứa một căn thức ta có
2 x2 − 6 x −1 − 5 + 4 x
1
1
=−
5 + 4x − x +
2
2

5 + 4 x − 2x+3
Từ đó ta có lời giải
5
Điều kiện: 4 x + 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ −
4
2
(1) ⇔ 4 x − 12 x − 2 − 2 5 + 4 x = 0
⇔ (2 x − 1)(2 x − 3) − (5 x + 4) + (1 − 2 x + 2 x − 3) 5 + 4 x = 0
⇔ (2 x − 1)(2 x − 3) + (2 x − 3) 5 + 4 x − (2 x − 1) 5 + 4 x − (5 x + 4) = 0
 5 + 4x = 1 − 2x
⇔
 5 + 4 x = 2 x − 3
Đến đây phương trình có thể giải quyết được dễ dàng
Nhận xét chung: đối với những phương trình vô tỉ mà tìm được một nghiệm vô tỉ đơn hoặc tìm
được hai nghiệm vô tỉ nhưng tổng và tích không hữu tỉ thì ta có thể đi tìm tam thức bậc hai chứa
Trang 15


nghiệm vô tỉ nhờ sử dụng chức năng Mode 7 từ đó tìm cách tách nhân tử, hoặc sử dụng chức
năng Mode7 dò được biểu thức vô tỉ có chứa nghiệm vô tỉ rồi sử dụng giải pháp chia đa thức có
một căn thức để tìm thương từ đó tìm cách tách làm xuất hiện nhân tử.
Bài tập tự luyện : Giải phương trình, bất phương trình sau:
1)

5x2 + 2 x + 2 ≤ 5x x2 + x + 1

3)

6 x2 + 4 x + 8
= (5 2 x 2 + 3

x +1
x 3 − x 2 − x − 5 = ( x + 4) x + 2

4)

(1 − x ) 2 x + 3 − 2 x 2 + 3 = 0

5)

x 3 + x 2 = ( x 2 + 1) x + 1 + 1

6)

x3 − 3x + 1 = 8 − 3 x 2

2)

4. Ứng dụng chức năng SOLVE dự đoán mối quan hệ giữa hai biến trong hệ phương trình
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:
2
3
2
 x + xy (2 y − 1) = 2 y − 2 y − x (1)
( THPT số 1 Bảo Yên)

6 x − 1 + y + 7 = 4 x ( y − 1) (2)
Hướng dẫn:
Điều kiện: x ≥ 1
Nhập phương trình số (1) vào máy.
ALPHA X 2 + ALPHA X ALPHA Y (2 ALPHA Y − 1) − 2 ALPHA Y 3 + 2 ALPHA Y 2 + ALPHA X

ấn SOLVE
Máy hỏi y ? ta nhập 100 =
Máy hỏi solve for x ? ta nhập =
Máy hiện x=99 ta dự đoán là x=y-1
⇒ nhân tử là x-y+1. Thực hiện tách nhân tử ta được:
(1) ⇔ (2 y 2 + x)(1 + x − y ) = 0
Do x ≥ 1 ⇒ 2 y 2 + x > 0 suy ra y=x+1
Thế vào phương trình (2) ta được:
6 x − 1 + x + 8 = 4 x 2 (3)
Sử dụng chức năng solve ta tìm được nghiệm của phương trình là x=2, ngoài ra không tìm được
nghiệm nào khác ⇒ nhân tử là x-2
Khi đó (3) ⇔ 6( x − 1 − 1) − 4 x 2 + x + 14 = 0
6( x − 2)
⇔
= ( x − 2)(4 x + 7)
x −1 + 2
x = 2
⇔
6

= 4 x + 7 (4)
 x − 1 + 2
Trang 16


Với x=2 ⇒ y=3
Giải (4)
 4 x + 7 ≥ 11

⇒ (4) vô nghiệm

6
Với x ≥ 1 ⇒ 
 x −1 + 2 ≤ 3

Vậy hệ có nghiệm duy nhất x=2; y=3
Nhận xét: Nhờ sự trợ giúp đắc lực từ máy tính, ta có thể tìm ngay được mối quan hệ giữa x và y
trong hệ, từ đó xác định được hướng giải bài toán.
Ví dụ 2: giải hệ pt:
 2 4 x + 4 y + 1 − 5 x + y + 1 = 3 x + 7 y + 1 (1)


(3 x + 2) 9 y + 1 + 4 x = 14 x 3 y (2)

Hướng dẫn: điều kiện: x ≥ 0, y ≥ 0
Nhập phương trình số (1) vào máy.
ấn SOLVE
Máy hỏi y ? ta nhập 100 =
Máy hỏi solve for x ? ta nhập =
Máy hiện x=300 ta dự đoán nhân tử là x-3y
Nhận thấy hệ số tự do bị khử , nên có thể tách 2 4 x + 4 y + 1 = 4 x + 4 y + 1 + 4 x + 4 y + 1

{

Sau đó nhóm với hai căn còn lại rồi liên hợp,xuất hiện nhân tử chung.
x = 3y

1
1
(1) ⇔ 
=

(3)
 4 x + 4 y + 1 + 5 x + y + 1
4 x + 4 y + 1 + 3x + 7 y + 1
Nhân chéo hai vế của (3) và khử căn ta cũng được x=3y
Với x=3y thế vào phương trình (2) ta được:
(3x + 2) 3 x + 1 + 4 x = 14 x x
x=0 không phải là nghiệm của phương trình
Với x>0, chia cả hai vế cho x x ta được
2
1 4
(3 + ) 3 + + = 14 (3)
x
x x
1
Đặt = t (t > 0) , ta được (3 + 2t ) 3 + t + 4t = 14
x
Dùng phím SOLVE ta tìm được nghiệm t=1 nên (3)
⇔ (3 + 2t )( 3 + t − 2) + 8t − 8 = 0
3 + 2t
⇔(
+ 8)(t − 1) = 0 ⇔ t = 1
3+t + 2
1
1
⇒ =1⇔ x =1 ⇒ y =
x
3
Trang 17

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
( 2016 + x 2 + x)( 504 + y 2 + y ) = 1008 (1)


( THPT Hồng Quang lần 2)
 x 6 x − 4 xy + 1 = 8 xy + 6 x + 1 (2)
Hướng dẫn:
Nhập phương trình số (1) vào máy.
ấn SOLVE
Máy hỏi solve for y ? ta nhập 100 =
Máy hỏi solve for x ? ta nhập =
Máy hiện x=-200 suy ra x=-2y
(1) ⇔ ( 2016 + x 2 + x)504 = 1008( 504 + y 2 − y )
⇔ 2016 + x 2 + x = 2016 + (−2 y ) 2 + (−2 y )
Dễ dàng chứng minh được hàm số
y = 2016 + t 2 + t đồng biến trên ¡ ⇒ x = −2 y ⇒ y =

−x
thế vào phương trình số 2 ta được
2

x 2 x 2 + 6 x + 1 + 4 x 2 − 6 x − 1 = 0 (3)
Dùng chức năng SOLVE ta tìm được hai nghiệm là 1 và nghiệm vô tỉ -0,1583… ta gán nghiệm
này cho A
Sử dụng chức năng MODE 7 ta dự đoán được nhân tử là 2 x 2 + 6 x + 1 + 2 x có nghiệm A
Sử dụng giải pháp chia đa thức ta tìm được nhân tử còn lại là

2 x 2 + 6 x + 1 − 3x

⇒ (3) ⇔ ( 2 x 2 + 2 x + 1 + 2 x)( 2 x 2 + 2 x + 1 − 3 x) = 0

 2 x2 + 2x + 1 + 2 x = 0
⇔
 2 x 2 + 2 x + 1 − 3 x = 0
Đến đây bài toán cơ bản được giải quyết.
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:
 y 3 + 5 y 2 + y + 5 = 8 xy 2 + 8 x 2 − xy + 3x
 2
 4 x − 5 x + 3 x + 1 − y = 0
−1
Điều kiện: x ≥
3
Nhập phương trình số (1) vào máy.
ấn SOLVE
Máy hỏi solve for y ? ta nhập 100 =
Máy hỏi solve for x ? ta nhập =
Máy hiện x=13.125 ta dự đoán 13.125 =

105 y + 5
=
8
8

Dự đoán nhân tử là y-8x+5
Từ đó ta tách được (1)

Trang 18


⇔ ( y 2 + x + 1)( y − 8 x + 5) = 0
 y 2 + x + 1 = 0(vn)

⇔
 y − 8x + 5 = 0
−1
Do x ≥
nên x+1>0 ⇒ y 2 + x + 1 > 0 suy ra y=8x+5
3
Thế vào phương trình (2) ta được
4 x 2 − 13x + 5 + 3 x + 1 = 0
Phương trình này lại có dạng 3.3( tìm được hai nghiệm vô tỉ nhưng tổng tích không hữu tỉ)
Nhập vế trái
Sử dụng phím SOLVE ta dò được hai nghiệm vô tỉ ta gán lần lượt cho A, B
Sử dụng chức năng MODE 7 ta dò được nhân tử là 3x + 1 − 2 x + 2 ( nếu dò với nghiệm A
không được ta dò sang nghiệm B)
Sử dụng giải pháp chia đa thức ta tìm được thương là 3x + 1 + 2 x − 3
Từ đó ta có thể dễ dàng tìm được lời giải bài toán.
Nhận xét chung:
Với sự trợ giúp đắc lực từ máy tính casio, sự vận dụng thành thạo kỹ năng chia đa thức tách
nhân tử, kỹ năng tìm nghiệm vô tỉ và chức năng MODE 7 dò tam thức bậc hai chứa nghiệm vô
tỉ,ta có thể dễ dàng tìm được lời giải bài toán một cách nhanh gọn, hiệu quả.
Đối với bài toán giải hệ phương trình mà mối quan hệ giữa hai biến dạng y=ax+b
( a,b hữu tỉ) ta hoàn toàn có thể tìm ra được mối quan hệ đó nhờ công dụng của máy tính như
hướng dẫn ở trên, từ mối quan hệ đó ta tìm cách tách làm xuất hiện nhân tử .
Trở lại 4 ví dụ ở phần II.1
Đối với khúc mắc ở ví dụ 1(II.1)
2 x2 − 6x − 1 = 4 x + 5
Phương trình này rơi vào trường hợp có hai nghiệm vô tỉ nhưng tổng tích không hữu tỉ.
Nhập phương trình
Ấn SOLVE nhập x=10 được x=3.73025… ta gán cho A
Ấn SOLVE nhập x=0 được x=-0.4142... ta gán cho B
Ấn MODE 7, nhập f ( x) = 4 A + 5 − Ax

Máy hỏi START ? ta nhập x=-14
Máy hỏi END ? ta nhập x=14
Máy hỏi STEP? Ta nhập x=1
Nhìn vào bảng giá trị, ta tra được x=2 thì f(x)=-3
⇒ A là nghiệm của phương trình 4 x + 5 − 2 x = −3
Dự đoán nhân tử là 4 x + 5 − 2 x + 3
Sử dụng giải pháp chia đa thức, ta tìm được nhân tử còn lại là: 4 x + 5 + 2 x − 1
Từ đó có thể dễ dàng tìm được lời giải bài toán.
Đối với khúc mắc ở ví dụ 2( II.1)
Phương trình 3 x 2 − 8 x − 7 = 4 x x + 2
Nhập phương trình
Ấn Solve nhập x = 10 được x = 7
Ấn solve nhập x = 0 được x = - 0,4867… ta lưu vào A
Trang 19


Ấn Solve nhập x = -10 được x = - 0,4867 vẫn là nghiệm A
Sử dụng phím Mode7 ta dò được nhân tử chứa nghiệm A là 2 x + 2 + 3x − 1
Sử dụng giải pháp chia đa thức ta được thương là 2 x + 2 − x + 1
Đối với khúc mắc ở ví dụ 4 (II.1)
Ta chỉ cần nhập vào máy x 3 − 7 y 3 + 3xy ( x + y ) − 24 y 2 + 3x − 27 y − 14
Sử dụng chức năng Solve ta dự đoán được mối quan hệ giữa x và y là
y=x–2
Từ đó ta dự đoán nhân từ là x – y – 2
Bài tập tương tự
 x + y ( x + 1) = y + y − x
1) 
(THPT Yên Thế - 2016)
3
2

 x + 6 x + 20 = 171 y + 40( y + 1) 5 y − 1
 2 x + 1 + x 2 + 2 xy + 4 y − 1 = 3 y 2 + 2 y − 1
2) 
(THPT Hùng Vương – Phú Thọ 2016)
2
2
2
x
x
+
xy
+
1
=
2
x
+
3
y
−
xy
−
x
−
9

( x + 3 y + 1) 2 y + 2 xy = y (3 x + 4 y + 3)
3) 
(THPT Phạm Văn Đồng- 2016)
2

( x + 3 − 2 y − 2)( x − 3 + x + x + 2 y − 4) = 4
 2 x 3 − 9 y 3 = ( x − y )(2 xy + 3)
4)  2
(Lần 2 THPT Thạch Thành 1- 2016)
2
 x + y = 3 + xy
 y 3 + y 2 + 4( x − y − 1) = xy 2
5)  2
(Lần 3 THPT Bình Long - 2016)
2
2
2
( x + 1) y + x (2 y + 1) = x − 3x − 2
 2 x 2 + 2 x = ( x + y ) y + x + y
6) 
(Lần 1 THPT Lộc Ninh - 2016)
2
x
−
1
+
xy
=
y
+
21

6 x 3 + 3 x 2 + y = y 2 + xy (3 x − 2)
7) 
(Lần 1 THPT Hồng Quang - 2106)

2
 4 x − y − 2 + x − 1 = y − 1
 2 x − y − 1 + 3 y + 1 = x + x + 2 y
8) 
(Lần 2 THPT Thuận Thành - 2016)
2
 x + x + 3 y + 17 − 6 x + 7 − 2 x 3 y + 1 = 0
 2 y 3 + 12 y 2 + 25 y + 18 = (2 x + y ) x + y
9) 
(THPT Nghi Sơn, Thanh Hoá - 2015)
2
2
 3 x + 1 + 3 x − 14 x − 8 = 6 − 4 y − y
3 x 2 + 3 y 2 + 8 = ( y − x)( y 2 + xy + x 2 + 6)
10) 
(THPT Chuyên Vĩnh Phúc – 2015)
( x + y − 13)( 3 x − 14 − x + 1) = 5

Trang 20


III.
HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI
1. Hiệu quả kinh tế
Với các giải pháp được đưa ra trong sáng kiến qua quá trình giảng dạy học sinh lớp 10 và lớp 12,
tôi thấy có hiệu quả rõ rệt.
Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong 2 năm học giảng dạy lớp 10,12 được học sinh đồng
tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng giải phương trình, bất phương trình vô tỉ, hệ phương
trình . Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ các em học sinh với mức học
trung bình cứng trở lên đã có kỹ năng giải các bài tập. Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt.

Cụ thể ở các lớp khối 10,12 sau khi áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy thì số HS hiểu và
có kỹ năng giải được cơ bản các dạng toán nói trên , kết quả qua các bài kiểm tra thử như sau :
Năm
học
20141015
20152016

Lớp

Tổng số

12A3

46

Điểm 8 trở lên
Số
Tỉ lệ
lượng
8
17,4 %

Điểm từ 5 đến 8
Điểm dưới 5
Số
Số
Tỉ lệ
Tỉ lệ
lượng
lượng

29
59,2 %
9
19,4%

10A5
47
9
19,1 %
33
70,2 %
5
10,6%
12A3
41
12
29,3 %
23
55 %
6
14,6 %
12A5
44
8
18,2%
27
61,4%
9
20.4%
Như vậy tôi thấy các phương pháp có hiệu quả tương đối. Theo tôi khi dạy chuyên đề

phương trình vô tỉ,bất phương trình, hệ phương trình giáo viên ngoài cách chỉ rõ các dạng toán
và cách giải tương ứng để học sinh nắm được bài, còn cần hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính
để hỗ trợ sẽ giúp học sinh tiết kiệm rất nhiều thời gian để tìm ra lời giải đúng đắn.
2. Hiệu quả về mặt xã hội
Sáng kiến giúp các em sử dụng thành thạo máy tính cầm tay,còn rất nhiều dạng toán khác mà
nếu giải bằng phương pháp bình thường sẽ gặp rất nhiều khó khăn, biết khai thác những thế
mạnh mà máy tính đem lại sẽ giúp cho học sinh dễ dàng định hướng và làm cho công việc giải
toán bớt nặng nề hơn, góp phần hình thành lòng đam mê, yêu thích bộ môn từ đó hướng các em
vào việc nghiên cứu, để tìm ra những ứng dụng mới, không hài lòng với những kiến thức đã biết
mà luôn có tinh thần tìm tòi, sáng tạo để tự mình tìm ra kiến thức mới .
Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót và hạn chế. Tôi rất
mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung và góp ý cho tôi. Tôi xin chân thành
cảm ơn.

Trang 21


IV.

CAM KẾT KHÔNG SAO CHÉP HOẶC VI PHẠM BẢN QUYỀN
Sáng kiến được tôi viết qua quá trình dài nghiên cứu tài liệu, học hỏi kinh nghiệm đồng

nghiệp và đúc rút từ kinh nghiệm của chính bản thân khi tham gia giảng dạy chuẩn bị cho các em
lớp 12 thi THPT Quốc gia qua hai năm học 2014-2015, 2015-2016. Tôi cam đoan không sao
chép hoặc vi phạm bản quyền của cá nhân, tổ chức nào.

CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
(xác nhận)
…………………………………………………………
…………………………………………………………

TÁC GIẢ SÁNG KIẾN

Nguyễn Thị Quyết

…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
………………… …………………………………….
…………………………………….

Trang 22


TÀI LIỆU THAM KHẢO
+ Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao - Nhà xuất bản giáo dục
+ Bài giảng chuyên sâu toán THPT ( Lê Hồng Đức-Nhóm cự môn) –Nhà xuất bản Hà Nội
+ Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10( Ths Nguyễn Kiếm-Ths Lê Thị
Hương- Ths Hồ Xuân Thắng)- Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội
+ Phương Pháp giải toán Đại Số (Lê Hồng Đức- Lê Bích Ngọc –Lê Hữu Trí)- Nhà xuất bản đại
học Quốc gia Hà Nội
+ Hướng dẫn ôn tập kì thi THPT Quốc gia năm 2015-2016 môn Toán ( Đoàn Quỳnh)- Nhà xuất
bản giáo dục Việt Nam
+ Thư viện đề thi và kiểm tra : dethi.violet.vn
+ máy tính VINACAL Vn-570MS hướng dẫn sử dụng và giải toán

Trang 23