SKKN - BDT - Ninh

vũ văn ninh - tổ toán trờng thpt lý thờng kiệt - HP
I) Lý do chọn đề tài:
1) Cơ sở lý luận:
Bất đẳng thức là một trong những vấn đề khó giải quyết trong chơng trình toán
học phổ thông. Trong bài viết náy tồi không đa ra một phơng pháp giải quyết trọn
vẹn vấn đề bất đẳng thức mà chỉ đa ra một phơng pháp áp dụng bộ n số.
2) Cơ sở thực tiễn:
Qua kinh nghiệm của tôi cũng nh qua một số năm dạy học tôi thấy rằng học sinh
rất ngại và sợ chứng minh bất đẳng thức mặc dù đó là bất đẳng thức rất dễ. Tại sao lại
nh vậy. Có lẽ theo tôi câu trả lời là học sinh cha hpát hiện ra đợc những cái hay và
đẹp trong những bất đẳng thức. Phơng pháp tôi đa ra đây chỉ mang tính giúp học sinh
hiểu đợc chứng minh một bất đẳng thức cũng khoong khó lắm từ đó học sinh they
yêu và tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này
II) Ưu nh ợc điểm:
1) Ưu điểm:
Phơng pháp này cung cấp một cách giải tơng đối ngắn gọn cho rất nhiều so với
một số phơng pháp khác để chứng minh một số bất đẳng thức.
2) Nhợc điểm:
Tuy nhiên phơng pháp này theo tôi chỉ nên dạy ở các lớp và các đối tợng là học
sinh khá, giỏi. Không nên đa ra cho các đối tợng là học sinh sinh trung bình và yếu.
Tài liệu tham khảo
1) 17 phơng pháp chuyên đề giải 555 bài toán bất đẳng thức đại số
nguyễn đức dồng nguyễn văn vĩnh
2) Bộ đề thi tuyển sinh đại học môn toán
ở trong bài viết này tôi bàn về một phơng pháp có thể giúp cho ngời giáo viên có
thể ra một số bài toán về bất đẳng thức dựa trên cơ sở phơng pháp bộ n sắp thứ tự .
Khi đa các bài tập này cho học sinh theo tôi ngời giáo viên nên yêu cầu học sinh
chứng minh bằng các phơng pháp khác bởi vì phơng pháp n bộ sắp thứ tự rất trừu t-
trang: 1
vũ văn ninh - tổ toán trờng thpt lý thờng kiệt - HP
ợng với học sinh cấp ba nhất là đối với học sinh lớp 10. Là một giáo viên mới ra trờng

nên cha có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy rất mong các ý kiến đóng góp của các
đồng nghiệp để có thể đa bài viết này có thể áp dụng trong thực tế giảng dạy.
Cơ sở của phơng pháp này dựa trên định lý sau:
II)
I> Định lý:
Cho hai dãy số đơn điệu dơng cùng tăng:

b...bbb
a...aaa
n
n



>
>
0
0
321
321
Gọi (i
1
; i
2
; i
3
;...; i
n
) là một hoán vị bất kỳ của 1 , 2 , 3 ,... , n . Ta có:
)1(...

......
123121
321332211
321
babababa
babababababababa
nnnn
iniiinn
n
++++
++++++++

Ta chứng minh mệnh đề (1) bằng quy nạp cho VT VG (*)
Với n = 1 : (*) luôn đúng.
Với n = 2 : Ta cần chứng minh: nếu





21
21
bb
aa
()
thì: a
1
b
1
+ a

2
b
2
a
1
b
2
+ a
2
b
1
Thật vậy: a
1
b
1
+ a
2
b
2
a
1
b
2
+ a
2
b
1

a
1

(b
1
- b
2
) - a
2
(b
1
- b
2
) 0
(a
1
- a
2
) (b
1
- b
2
) 0 đúng do ()
Giả sử : (*) đúng đến n = k - 1 ; k Z
+
; k 2 . Thì ta có giả thiết quy nạp gọi
là ()
Xét (*) khi n = k và cũng gọi (i
1
; i
2
; i
3

;...; i
k
) là một hoán vị tuỳ ý của
1,2,3,...,k . Đồng thời i
j
= 1 mà bài toán vẵn không mất tính tổng quát , ta đợc:




++
++++=++++++
kk
iiij
ikijiikijiii
bbbaaa
bbbbba
bababababababababa
kkj
... và ...
aaaa b;a
:Nhưng
)...()(......
3232
1j1j1111
211321
111
21321
Do giả thiết quy nạp () mà (*) đã đúng đến n = k - 2 , nên :
k

k
ikiiikk
ikiikk
ba...babababa...bababa
ba...bababa...baba
++++++++
++++++
321
33
321332222
322222
(*) đúng với n = k .
trang: 2
vũ văn ninh - tổ toán trờng thpt lý thờng kiệt - HP
Theo nguyên lý quy nạp ; Thì (*) đợc chứng minh xong .
Dấu đẳng thức trong(*) xảy ra khi và chỉ khi :
( )
( )



====
====

n321
n321
i
i
b...bbb
a...aaa

n1, i ; dừngdãy là :b
n1, i ; dừngdãy là :a
Trờng hợp VG VP của (1) , chứng minh tơng tự.
Vậy : VT VG VP ; (1) đợc chứng minh xong bằng quy nạp
II> Ph ơng pháp cực trị bộ n sắp thứ tự:
Cho hai bộ n :




>
>
0...
0...
321
321
n
n
bbbb
aaaa

ba...baba S : dạng có tổng cáccả tất Xét
n21

ini2i1
+++=
(i
1
, i
2
, ... , i
n
) là một hoán vị nào đó của các số : 1 , 2 , 3 ,..., n
Gọi S
1
và S
2
lần lợt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các tổng thì:
S
1
= a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ ... + a
n
b
n

S

2
= a
1
b
n
+ a
2
b
n - 1
+ ... + a
n
b
1
II> áp dụng để ra các bài toán:
ở đây ta luôn giả thiết a , b, c là ba số dơng bất kỳ do đó có thể giả sử a b c >
0 mà không mất tính tổng quát của bài toán:
VD1: a b c > 0
222
cba

Từ hai bộ số :





222
cba
cba
ta có bài toán :

Chứng minh bất đẳng thức: a
3
+ b
3
+ c
3
ab
2
+ bc
2
+ ca
2
ac
2
+ ba
2
+ cb
2

VD2: a b c > 0 a
3
b
3
c
3
> 0
0
>
abc
c

abc
b
abc
a
Từ hai bộ số:







abc
c
abc
b
abc
a
bca
333
ta có bài toán sau:
Chứng minh bất đẳng thức:
trang: 3
vũ văn ninh - tổ toán trờng thpt lý thờng kiệt - HP
b
ac
a
cb
c
ba

ab
c
ca
b
bc
a
)c
a
c
c
b
b
a
ab
c
ca
b
bc
a
)b
b
c
a
b
c
a
ab
c
ca
b

bc
a
)a
222
222222333
222333
222333
+
+
+
+
+
++
++++
++++
VD3 : a b c > 0 a
2
b
2
c
2
, a
5
b
5
c
5
, a
3
b

3
a
3
c
3
b
3
c
3

333333
111
cbcaba


(1)
cba
cba
a
: Thức ẳngBất CM :toán bài có tlà
cbacba

:số bộ haiTừ
222
333
8
555555
333
88
333333333333

333333
555
111
bac
cb
DaHay
cbbacabacacb
bacacb
cba
++
++
++++








111
:số bộ haiTừ
333
222

abc
cba
Ta có bất đẳng thức:

c
1
b
1
a
1

cba
a
(2) và (1) Từ
(2)
c
1
b
1
a
1
c
c
b
b
a
a
b
c

a
b
c
a
333
888
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
++
++

++=++++
cb
VD4: Từ a b c a
5
b
5
c
5
và

222222
111
baaccb

Từ hai bộ số:

111
222222
555







baaccb
cba

cba

111cba

3
3
3
3
3
3
22

5
22
5
22
5
22
5
22
5
22
5
baccb
c
ba
b
ac
a
baacbc
++=++++
Hay là ta có bài toán sau: Cho ba số dơng a, b, c .Chứng minh bất đẳng thức:

cbacba

3
3
3
3
3
3
22

5
22
5
22
5
bacbaacbc
++++
VD5: Từ a b c d a
2
b
2
c
2
d
2
và
abcd
1111

trang: 4
vũ văn ninh - tổ toán trờng thpt lý thờng kiệt - HP
Từ hai bộ số:







abcd

dcba
1111
2222
dcba
dcba

b
c
c
b
d
a

22222222
+++=
+++++++++
d
d
c
c
b
b
a
a
abdca
d 1111
2222
Hay là ta có bài
toán:
Cho bốn số dơng a, b, c, d chứng minh các bất đẳng thức sau:

( )
dcba 2
a
dcba
c)
dcba
dcba
b)
dcba
b
c
c
b
d
a
)
2222
2222
2222
+++
+
+
+
+
+
++++++
++++++
bdc
abdc
a

d
a
Hải phòng, Ngày 17 Tháng 5 Năm 2002
Ngời thực hiện:
vũ văn ninh
trang: 5