Luận văn Thạc sĩ Toán học Bài toán đảm bảo giá trị điều khiển tối ưu các hệ phương trình vi phân có trễ

Header Page 1 of 89.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
-------------------

HOÀNG THANH NGA

BÀI TOÁN ĐẢM BẢO GIÁ TRỊ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CÁC
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành : Giải tích
Mã số

: 60 46 01

Thái Nguyên, năm 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 1 of 89.




Header Page 2 of 89.
✶

▼ô❝ ❧ô❝

✶

▼ét sè ❦ý ❤✐Ö✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷

▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉

✸

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❈➡ së t♦➳♥ ❤ä❝

✺

✶✳✶

❇➭✐ t♦➳♥ æ♥ ➤Þ♥❤ ✈➭ æ♥ ➤Þ♥❤ ❤ã❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺

✶✳✶✳✶

❇➭✐ t♦➳♥ æ♥ ➤Þ♥❤

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺

✶✳✶✳✷

P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤➭♠ ▲②❛♣✉♥♦✈ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼

✶✳✶✳✸

❇➭✐ t♦➳♥ æ♥ ➤Þ♥❤ ❤ã❛

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽

❇➭✐ t♦➳♥ æ♥ ➤Þ♥❤ ✈➭ æ♥ ➤Þ♥❤ ❤ã❛ ❤Ö ❝ã trÔ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾

✶✳✷✳✶

❇➭✐ t♦➳♥ æ♥ ➤Þ♥❤ ❤Ö ❝ã trÔ

✾

✶✳✷✳✷

❇➭✐ t♦➳♥ æ♥ ➤Þ♥❤ ❤ã❛ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ✈➭ ➤✐Ò✉

✶✳✷

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❦❤✐Ó♥ ❝ã trÔ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵
✶✳✸

❇➭✐ t♦➳♥ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ tè✐ ➢✉
✶✳✸✳✶
✶✳✸✳✷

✶✳✹
✷

✸

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

▼ét sè ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ ➤➷❝ ❜✐Öt

✶✶

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷

❇➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣ t✉②Õ♥ tÝ♥❤

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸

▼ét sè ❜æ ➤Ò ❜æ trî ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹

❇➭✐ t♦➳♥ ➤➯♠ ❜➯♦ ❣✐➳ trÞ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ tè✐ ➢✉

✶✺

✷✳✶

❇➭✐ t♦➳♥ ➤➯♠ ❜➯♦ ❣✐➳ trÞ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ tè✐ ➢✉ ❝❤♦ ❤Ö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✳ ✳ ✶✺

✷✳✷

❇➭✐ t♦➳♥ ➤➯♠ ❜➯♦ ❣✐➳ trÞ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ tè✐ ➢✉ ❤Ö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝ã trÔ

✶✽

❇➭✐ t♦➳♥ ➤➯♠ ❜➯♦ ❣✐➳ trÞ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ tè✐ ➢✉ ❝❤♦ ❤Ö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝ã
➤é trÔ ❦❤➠♥❣ ❦❤➯ ✈✐

✸✳✶

❇➭✐ t♦➳♥ ➤➯♠ ❜➯♦ ❣✐➳ trÞ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ tè✐ ➢✉ ❝❤♦ ❤Ö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝ã
➤é trÔ ❦❤➠♥❣ ❦❤➯ ✈✐

✸✳✷

✷✹

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹

❱Ý ❞ô ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✻

❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵

Footer Page
2 ofbởi89.
Số hóa
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 3 of 89.
✷

▼ét sè ❦ý ❤✐Ö✉
• R = (−∞; +∞) ✿ t❐♣ ❝➳❝ sè t❤ù❝✳
• R+ = [0; +∞) ✿ t❐♣ ❝➳❝ sè t❤ù❝ ❦❤➠♥❣ ➞♠✳
• Rn×r ✿ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ n × r

❝❤✐Ò✉✳

• Rn ✿ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈Ð❝t➡ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ t❤ù❝ n ❝❤✐Ò✉ ✈í✐ ❦ý ❤✐Ö✉ tÝ❝❤ ✈➠ ❤➢í♥❣
❧➭

< ., . > ✈➭ ❝❤✉➮♥ ✈Ð❝ t➡ ❧➭ || . ||.

• C([a; b], Rn ) ✿ t❐♣ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ❤➭♠ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ [a; b] ✈➭ ♥❤❐♥ ❣✐➳ trÞ tr➟♥
Rn .
• L2 ([a, b], Rm )✿ t❐♣ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ❤➭♠ ❦❤➯ tÝ❝❤ ❜❐❝ ❤❛✐ tr➟♥ [a, b] ✈➭ ❧✃② ❣✐➳
m
trÞ tr♦♥❣ R .
• AT ✿ ♠❛ tr❐♥ ❝❤✉②Ó♥ ✈Þ ❝ñ❛ A❀ ♠❛ tr❐♥ A ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣

T
♥Õ✉ A = A .
• I ✿ ♠❛ tr❐♥ ➤➡♥ ✈Þ✳
• λ(A)✿ t❐♣ ❝➳❝ ❣✐➳ trÞ r✐➟♥❣ ❝ñ❛ A✳
• λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)}.
• λmin (A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)}.
• A > 0✿ ♠❛ tr❐♥ A ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣✳
• A ≥ 0✿ ♠❛ tr❐♥ A ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❦❤➠♥❣ ➞♠✳

Footer Page
3 ofbởi89.
Số hóa
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 4 of 89.


ờ ó
ý tết ề ể tố r ờ ố ữ ủ tế ỉ
r q q trì t trể ẽ ó t ợ ề t tự
rự rỡ t ề ể tố ó t q trọ ệt
t út sự q t ủ ọ ý tết ề ể
tố trở t ột ĩ ự ứ q trọ tr t ọ ó
ề ứ ụ t ớ tr ờ số tế ọ ĩ tt
Pt trể từ t tố ó ổ ể t ề ể tố
t tì q trì tố ệ ề ể t ở trì t
ọ r tự tế ệ tố ề ể tờ ị t ộ ở ề ề

ệ t s từ tí t í ủ ố tợ tết ế t r ì
ệ ứ ệ tố ề ể tố ột ệ ụ q trọ
ủ ý tết ề ể t ọ
ụ í ủ ứ t ề ể trị tố
ệ ộ ự ợ t ở ệ trì ó trễ
ồ
sở t ọ
r trớ ết ú t trì ột số ế tứ sở ề
ệ trì ề ể ó trễ t ổ ị ổ ị ó
ệ trì ề ể ó trễ ột số ổ ề ù ể ứ
ết q ở s
t trị ề ể tố
ú t trì ột số ết q sở t
trị ề ể tố P trì ề t
trị ề ể tố ệ tế tí ớ ụ t t P
tế t ú t trì t trị ề ể tố
ệ tế tí ó trễ P ố ủ ở rộ ết q ị í
ệ ó trễ ế t
t trị ề ể tố ệ tế tí
ó ộ trễ ụ í ủ ệ tì ờ
t trị ề ể ệ tế tí ó ộ trễ

Footer Page
4 ofbi89.
S húa
Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

Header Page 5 of 89.
✹
❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❝ò♥❣ ➤➢❛ r❛ ♠ét ✈Ý ❞ô ♠✐♥❤ ❤ä❛ ❝❤♦ ❦Õt q✉➯
❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
❚➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá sù ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ tí✐ ●❙✳ ❚❙❑❍ ❱ò ◆❣ä❝ P❤➳t✱ ♥❣➢ê✐ t❤➬②
➤➲ t❐♥ t×♥❤ ❝❤Ø ❜➯♦ t➠✐ tr♦♥❣ s✉èt t❤ê✐ ❣✐❛♥ t➠✐ ❧➭♠ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳
❚➠✐ r✃t ❜✐Õt ➡♥ ❚r➢ê♥❣ ➜❍❙P ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❑❤♦❛ ❚♦➳♥✱ ❑❤♦❛ ❙❛✉ ➤➵✐ ❤ä❝
➤➲ ❣✐ó♣ ➤ì t➵♦ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤♦ t➠✐ tr♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ t➵✐ tr➢ê♥❣✳
❚➠✐ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ♥❣➢ê✐ t❤➞♥✱ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ö♣✱ ❜➵♥ ❜❒ ➤➲ ❝æ ✈ò ➤é♥❣✱ ✈✐➟♥ t➠✐
tr♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ❧➭♠ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳
▼➷❝ ❞ï ➤➲ ❝è ❣➽♥❣ r✃t ♥❤✐Ò✉ ♥❤➢♥❣ ✈× t❤ê✐ ❣✐❛♥ ✈➭ tr×♥❤ ➤é ❝ß♥ ❤➵♥ ❝❤Õ
♥➟♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❦❤➠♥❣ t❤Ó tr➳♥❤ ❦❤á✐ ♥❤÷♥❣ t❤✐Õ✉ sãt ✈➭ s❛✐ ❧➬♠✳ ❚➠✐ r✃t ♠♦♥❣
♥❤❐♥ ➤➢î❝ sù ❝❤Ø ❜➯♦ ✈➭ ♥❤÷♥❣ ➤ã♥❣ ❣ã♣ ❝ñ❛ t❤➬② ❝➠ ✈➭ ❝➳❝ ❜➵♥✳
❚➠✐ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥✦

Footer Page
5 ofbởi89.
Số hóa
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 6 of 89.



sở t ọ
r ú t trì ột số ệ ề tí ổ
ị ổ ị ó ợ ủ ệ trì tờ ệ

trì ó trễ ột số ổ ề ổ trợ ứ ị ý í





t ổ ị ổ ị ó

t ổ ị

ét ột ệ tố ợ t ở ột ệ trì

x(t)

= f (t, x(t)), t t0
x(t0 ) = x0 , t0 0,
tr ó

x(t) Rn

é t tr t ủ ệ



f (t, x) : R+ ì Rn Rn



f (t, x) tỏ ề ệ s
ệ ủ t ệ (1.1) ớ ề ệ x(t0 ) = x0 , t0 0

é t trớ tết

ó ệ ó tí ủ ệ ợ ở tứ

t

x(t) = x0 +

f (s, x(s))ds.
t0

x(t) ủ ệ (1.1) ọ ổ ị ế ớ ọ số
> 0, t0 0 sẽ tồ t số > 0 ụ tộ , t0 s t ỳ ệ
y(t), y(t0 )) = y0 ủ ệ tỏ y0 x0 < tì sẽ ệ ú t
ị ĩ

ệ

tứ

y(t) x(t) < , t t0 .

Footer Page
6 ofbi89.
S húa
Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

Header Page 7 of 89.

ó ệ

x(t)

ổ ị ọ ệ ủ ệ ó

trị ủ ớ trị ủ
sốt tờ

x(t)

tì ủ ó tr

t t0

ị ĩ

x(t) ủ ệ (1.1) ọ ổ ị tệ ế ó
> 0 s ớ y0 x0 < tì

ệ

ổ ị ó ột số

y(t) x(t)

lim

t

x(t)

ĩ ệ

= 0.

ổ ị tệ ế ó ổ ị ọ ệ

y(t) ó trị y0

ớ trị

x0

sẽ tế tớ

x(t)

t tế tớ ù
ét r é ế ổ
trì

(x y) z, (t t0 )

ệ

(1.1) sẽ ợ ề

z = F (, z)



F (, 0) = 0 ó sự ổ ị ủ ột ệ x(t) ó ủ
ệ (1.1) sẽ ợ ề ứ tí ổ ị ủ ệ ủ ệ (1.2)
ể ọ từ t sẽ ó ệ (1.2) ổ ị t ó ệ ủ
ệ ổ ị ó từ ờ t ét ệ (1.1) ớ tết ệ ó ệ
+
tứ f (t, 0) = 0, t R ó
tr ó

(1.1) ổ ị ế ớ t ì > 0, t0 R+ sẽ tồ t số > 0 ụ
tộ , t0 s t ì ệ x(t) : x(t0 ) = x0 tỏ
x0 <
tì
x(t) < ớ ọ t t0
ệ

ệ
ế

(1.1) ổ ị tệ ế ệ ổ ị ó ột số > 0 s
x0 < tì
lim x(t) = 0.
t

ế số

>0

tr ị ĩ tr ụ tộ tờ ể

t0 tì tí ổ ị ổ ị tệ ợ ọ ổ ị ề
ổ ị tệ ề
ị ĩ

ệ

(1.1)

s ọ ệ ủ ệ

ổ ị ũ ế tồ t số

(1.1) ớ x(t0 ) = x0

x(t) M e(tt0 )

M >0>0

tỏ

x0 , t t0

ệ ủ ệ ữ ổ ị tệ ọ ệ ủ ó
tế tớ ớ tố ộ t số ũ

Footer Page
7 ofbi89.

S húa
Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




Header Page 8 of 89.
✼
✶✳✶✳✷

P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤➭♠ ▲②❛♣✉♥♦✈

❚r➢í❝ t✐➟♥ t❛ ①Ðt ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ♣❤✐ t✉②Õ♥ ❞õ♥❣

x˙ = f (x), f (0) = 0, t ∈ R+ .
◆❤➽❝ ❧➵✐ r➺♥❣ ❤➭♠
✭✐✮
✭✐✐✮

✭✶✳✸✮

V (x) : Rn → R ❧➭ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣ ♥Õ✉

V (x) ≥ 0 ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ Rn ✳
V (x) = 0 ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ x = 0✳
❍➭♠

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✹✳

V (x) : Rn → R+ ❣ä✐ ❧➭ ❤➭♠ ▲②❛♣✉♥♦✈ ❝ñ❛ ❤Ö (1.3)

♥Õ✉
✭✐✮
✭✐✐✮
✭✐✐✐✮

V (x) ❧➭ ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ Rn .
V (x) ❧➭ ❤➭♠ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣✳
Df V (x) :=

∂V
∂x f

(x) ≤ 0, ∀x ∈ Rn ✳

❍➭♠ ❱✭①✮ ❣ä✐ ❧➭ ❤➭♠ ▲②❛♣✉♥♦✈ ❝❤➷t ♥Õ✉ ♥ã ❧➭ ❤➭♠ ▲②❛♣✉♥♦✈ ✈➭ t❤➟♠ ✈➭♦
➤ã✱ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr♦♥❣ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ✐✐✐✮ ❧➭ t❤ù❝ sù ➞♠✱ ✈í✐ ♠ä✐ ① ♥➺♠ ♥❣♦➭✐
♠ét ❧➞♥ ❝❐♥ ✵ ♥➭♦ ➤ã✱ ❝❤Ý♥❤ ①➳❝ ❤➡♥✿
✭✐✈✮

∃c > 0 : Df V (x) ≤ −c

x < 0, x ∈ Rn \{0}

➜Þ♥❤ ❧Ý ❞➢í✐ ➤➞② ❝❤♦ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ➤ñ ➤Ó ❤Ö

(1.3) ❧➭ æ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ö♠ ❝❐♥ ✈í✐ sù tå♥

t➵✐ ❤➭♠ ▲②❛♣✉♥♦✈✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✺✳

◆Õ✉ ❤Ö

(1.3)

❝ã ❤➭♠ ▲②❛♣✉♥♦✈ t❤× æ♥ ➤Þ♥❤✳ ❍➡♥ ♥÷❛✱ ♥Õ✉

❤➭♠ ▲②❛♣✉♥♦✈ ➤ã ❝❤➷t t❤× ❤Ö ❧➭ æ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ö♠ ❝❐♥ ➤Ò✉✳
❚❛ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❤➭♠ ▲②❛♣✉♥♦✈ ❝❤♦ ❤➭♠ ❤❛✐ ❜✐Õ♥ ✈í✐ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣
tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ s❛✉✿

x(t)
˙
= f (t, x(t)), t ≥ 0,

✭✶✳✹✮

f (t, x) : R+ × Rn → Rn ❧➭ ❤➭♠ ♣❤✐ t✉②Õ♥ ❝❤♦ tr➢í❝ f (t, 0) = 0
+
✈í✐ ♠ä✐ t ∈ R ✳ ❚❛ ❧✉➠♥ ❣✐➯ t❤✐Õt ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ tr➟♥ ❢✭✳✮ s❛♦ ❝❤♦ ❤Ö (1.4) ❝ã
♥❣❤✐Ö♠ ①✭t✮ ✈í✐ x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0✳
➜è✐ ✈í✐ ❤Ö ♣❤✐ t✉②Õ♥ ❦❤➠♥❣ ❞õ♥❣ tæ♥❣ q✉➳t (1.4) t❤× ❤➭♠ ▲②❛♣✉♥♦✈ ➤➢î❝
➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ t➢➡♥❣ tù ❝❤♦ ❤➭♠ ❤❛✐ ❜✐Õ♥ ❱✭t✱ ①✮✳ ❑Ý ❤✐Ö✉ K ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ ❤➭♠ ❧✐➟♥
+
+
tô❝ t➝♥❣ ❝❤➷t a(.) : R → R
a(0) = 0✳
+
n
+

❍➭♠ V (t, x) : R × R → R ❣ä✐ ❧➭ ❤➭♠ ▲②❛♣✉♥♦✈ ♥Õ✉ t❤á❛ ♠➲♥✿

tr♦♥❣ ➤ã

Footer Page
8 ofbởi89.
Số hóa
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 9 of 89.
✽
✐✱

∃a(.) ∈ K : V (t, x) ≥ a( x ) ∀(t, x) ∈ R+ × Rn
✐✐✱

Df V (t, x) =

∂V
∂V
+
f (t, x) ≤ 0 ∀(t, x) ∈ R+ × Rn
∂t
∂x

❚r➢ê♥❣ ❤î♣ ❱✭t✱①✮ ❧➭ ❤➭♠ ▲②❛♣✉♥♦✈ ✈➭ t❤á❛ ♠➲♥ t❤➟♠ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥✿
✐✐✐✱

∃b(.) ∈ K : V (t, x) ≤ b( x ) ∀(t, x) ∈ R+ × Rn
✐✈✱

∃γ(.) ∈ K : Df V (t, x) ≤ −γ( x ) ∀x ∈ R+ ∀x ∈ Rn \{0}
t❤× t❛ ❣ä✐ ❧➭ ❤➭♠ ▲②❛♣✉♥♦✈ ❝❤➷t✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✻✳

◆Õ✉ ❤Ö ♣❤✐ t✉②Õ♥ ❦❤➠♥❣ ❞õ♥❣

(1.4)

❝ã ❤➭♠ ▲②❛♣✉♥♦✈ t❤× ❤Ö

æ♥ ➤Þ♥❤✳ ◆Õ✉ ❤➭♠ ▲②❛♣✉♥♦✈ ➤ã ❧➭ ❝❤➷t t❤× ❤Ö ❧➭ æ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ö♠ ❝❐♥✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✼✳

✭✐✮

✭✐✐✮

●✐➯ sö tå♥ t➵✐ ❤➭♠

∃λ1 , λ2 > 0 : λ1
R+ × Rn

x(t)

2

V (t, x) : R+ × Rn → R t❤á❛ ♠➲♥✿
≤ V (t, x(t)) ≤ λ2

x(t)

2

, ∀(t, x) ∈

∃α > 0 : V˙ (t, x(t)) ≤ −2αV (t, x(t)) ✈í✐ ♠ä✐ ♥❣❤✐Ö♠ x(t) ❝ñ❛ ❤Ö(1.1)
t❤× ❤Ö

(1.1)

❧➭ æ♥ ➤Þ♥❤ ♠ò ✈í✐

α✱ N =

λ2
λ1 . ❧➭ ❝➳❝ ❝❤Ø sè æ♥ ➤Þ♥❤

▲②❛♣✉♥♦✈✳

✶✳✶✳✸

❇➭✐ t♦➳♥ æ♥ ➤Þ♥❤ ❤ã❛

❳Ðt ❤Ö ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ ♠➠ t➯ ❜ë✐ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥

x(t)

˙
= f (t, x(t), u(t)), t ≥ t0 ,
x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Rm

✭✶✳✺✮

u(.) ∈ L2 ([0, t], Rm )∀t ≥ 0 ❧➭ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ ❝❤✃♣ ♥❤❐♥ ➤➢î❝
(1.5) ❣ä✐ ❧➭ æ♥ ➤Þ♥❤ ❤ã❛ ➤➢î❝ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ❤➭♠
u(t) = h(x(t)) : R → Rm s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ❤➭♠ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ ♥➭② ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✽✳

❍Ö
n

✈✐ ♣❤➞♥

x(t)
˙
= f (t, x(t), h(x(t))), t ≥ 0
Footer Page
9 ofbởi89.
Số hóa
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 10 of 89.

ổ ị tệ

u = h(x) tờ ọ ề ể ợ

rờ ợ ệ

(1.5) ệ tế tí
x = Ax + Bu

tì ệ ổ ị ó ợ ế tồ t tr



K

s tr

(A + BK)
ổ ị ệ tế tí

x = Ax + Bu
ổ ị ó ợ ế tồ t tr

K

s ệ

= (A + BK)
x(t)
ổ ị ụ í ủ t ổ ị ó tì ề

ể ợ

h(.) tr K

ệ ề ể
n
ế tồ t g(x) : R
ị ý

s ệ ổ ị t ĩ

(1.5) ợ ọ ổ ị ó ợ
Rm s ệ trì

ũ

x(t)

= f (t, x(t), g(x(t))), t 0
ổ ị ũ





t ổ ị ổ ị ó ệ ó trễ

t ổ ị ệ ó trễ

(1.1) t ố

x(t) tố t

ú t t r ệ trì tờ
q ệ ữ ế tờ
ổ ủ tr t

t

tr t ủ ệ tố

x(t) t ù ột tờ ể t

tr tự tế q trì r tr tự tờ ó sự q
ế q ứ ề ít ề tí trề ì t q trì
ú sẽ ợ ể ễ ớ trì ó trễ
sử ột ệ tố ụ tộ q ứ ớ ộ trễ

Footer Page
10 bi
of 89.
S húa
Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

(0 h +),


ớ


Header Page 11 of 89.

+
n
ột ó trễ tụ tr R trị tr R ú t
n
ự xt C := C([h; 0], R ) s xt (s) = x(t + s), s [h; 0],
n
tr ó C := C([h; 0], R ) xt ột qỹ

x(t)

tr

[t h; t] ủ ớ tr ợ ị ở
xt = Sup

x(t + s)

.

s[h,0]
ó ệ trì ó trễ t sự ụ tộ ủ tố
t ổ t tờ ể t tr t ủ ệ tố tr tờ
trớ ó

[t h; t] ợ ớ
x(t)

= f (t, xt ), t 0,
x(t) = (t), t [h; 0]

f : R+ ì C Rn í ệ x(t, ) ệ tỏ ề ệ
x(t) = (t), t [h, 0]. tự ệ trì

tr ó

tờ ú t ũ ó ệ ổ ị ổ ị tệ ổ ị
ũ ệ
ị ý

ế ệ

(1.7) ó V : R+ ì C R s

1 , 2 > 0 : 1 x(t) 2 V (t, xt ) 2 xt 2 , t 0
V (t, xt ) 0, ớ ọ ệ x(t) ủ ệ (1.7) tì ệ (1.7) ổ ị


ọ ệ

x(t) ị tứ
N > 0 : x(t, ) N

, t 0.

ế ề ệ ợ t ề ệ

V (t, xt ) < 0 tì ệ (1.7) ổ ị tệ
ế ề ệ ợ t ề ệ


ệ

3 > 0 : V (t, xt ) 23 V (t, xt )ớ ọ ệ x(t) ủ ệ (1.7) tì
(1.7) ổ ị ũ ỉ số ổ ị ũ 3





2
1

t ổ ị ó ệ trì ề ể ó
trễ

ét ệ trì ề ể ó trễ

x(t)

= f (t, xt , u(t)), t 0,
x(t) = (t), t [h; 0], h > 0,
Footer Page
11 bi
of 89.
S húa
Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

Header Page 12 of 89.


x(t) Rn é t tr t u(t) Rm é t ề ể xt C
f : R ìCìRm Rn é t trớ tỏ f (t, 0, 0) = 0, t 0
m
u(.) L2 ([0; t], R ), t 0.

tr ó
+

ị ĩ



n

g:R R

m

ệ ề ể

(1.7)

ợ ọ ổ ị ó ế tồ t

s ệ trì ó

x(t)

= f (t, xt , g(x(t))), t 0,



x(t0 ) = (t), t0 [h; 0],
ổ ị tệ
ị ĩ

> 0 ệ ề ể (1.7) ợ ọ
g : Rn Rm s ệ (1.10) ổ ị

số

ị ó ế tồ t

x(t)

= f (t, xt , g(x(t))), t 0,
x(t0 ) = (t), t [h; 0],


ổ

t ề ể tố

ờ t ó tể t t ề ể tố s ét ệ ề ể



= f (t, x(t), u(t), t [t0 , t1 ] = I

x(t)
x(t0 ) = x0 , x(t) Rn ,


u(t) = Rm
u(.) L2 ([t0 , t1 ], ) ề ể ợ
f (t, x, u) : I ì Rn ì Rm Rn t q trì ể



tr ó

ộ ủ

tr t ế ụ t

f 0 (t, x, u) dt

J(u) =
tr ó

I
m

f 0 (t, x, u) : I ì Rn ì R R

trớ t tố


t r tì ề ể ợ u (t) U1 s ù ớ qỹ

t ứ x (t) ủ ệ (1.11) ụ t (1.12) sẽ t ự tể t

ề ể u (t) ó tứ

J (u ) =

f 0 (t, x, u) dt,.

min
u(.)L2 ([t0 ,t1 ],)
I

Footer Page
12 bi
of 89.
S húa
Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

Header Page 13 of 89.



ề ể u (t) tì ợ sẽ ợ ọ ề ể tố t tố


(u (t), x (t)) ọ q trì tố ủ ệ (1.11) (1.12)
ờ t t ề ể tố ứ t trú ủ
ụ t ế ụ t ó

(1.12)

tì t ó t tố

r
ế

J(u) ó
J(u) = g(t1 , x(t1 )),

tr ó

t1

tờ ể ố ố ị trớ ủ ệ tì t ó t ề

ể tố r ò ế ụ t ở

f 0 (t, x, u)dt + g(t1 , x(t1 )),

J(u) =
I
tứ ết ợ ữ

(1.12) (1.13) tì t ó t tố

ụ í í ủ ứ tr ý tết ề ể tố
ì ề ệ ủ ể ột ề ể ợ
tố
ứ t tồ t ề ể tố
ự tết ế tt t tì ề ể tố
ụ ết q ý tết t ề ể tố
t tr ỹ tt tế



ột số t tố ệt

ự tr í ự t tố tổ qt ờ t
ợ ề t tố ụ tể ệt ố ớ ệ ề ể tế
tí ù ệ tì ề ể tố ệ ề ể tế tí
tr ề trờ ợ ò ỏ ề ĩ tt ứ t ố ớ ột
số t tố tế tí tù tì t ó tể tì ề ệ tố

tế từ í ự Ptr ớ tứ tí t ụ tể


Footer Page
13 bi
of 89.
S húa
Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




Header Page 14 of 89.
✶✸
✶✳✸✳✷

❇➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣ t✉②Õ♥ tÝ♥❤

❇➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ tè✐ ➢✉ ❝❤♦ ❤Ö
t✉②Õ♥ tÝ♥❤✳

x˙ = Ax + Bu(t), t ∈ [0; T ]
x(0) = x0 ∈ Rn , u ∈ Rm ,

✭✶✳✶✹✮

✈í✐ ❤➭♠ ♠ô❝ t✐➟✉ ❞➵♥❣ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣

T

( Qx, x + Ru, u )dt + P0 x(T ), x(T ) → min,

J(u) =

✭✶✳✶✺✮

0
tr♦♥❣ ➤ã

P0 , Q, R

❧➭ ♥❤÷♥❣ ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣✱ ❦❤➠♥❣ ➞♠ ✈➭
m
❞➢➡♥❣✳ ❳Ðt ❧í♣ ❤➭♠ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ u(t) ∈ L2 ([t0 , t1 ], R ).
❚õ ♥❣✉②➟♥ ❧Ý ❝ù❝ ➤➵✐✱ ➤è✐ ✈í✐ ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉

R

❧➭ ①➳❝ ➤Þ♥❤

(1.14) ✈➭ (1.15) t❛ ❝ã✿

f 0 (x, u) = Qx, x + Ru, u
f (x, u) = Ax + Bu
h(x(T )) = P0 x(T ), x(T )
H(p, x, u) = p, Ax + Bu + Qx, x + Ru, u .

❍Ö ❧✐➟♥ ❤î♣ ❧➭✿
❱×

u∗ ∈ Rm

p(t)
˙ = −A p(t) + 2Qx,
p(T ) = 2p0 x(T ).

❧➭ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ tè✐ ➢✉ ♥➟♥ sÏ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ➤➢î❝ tõ ❜✐Ó✉ t❤ø❝

❝❤♦ t❛

❚❤❛② ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥

1
u∗ (t) = − R−1 B p∗ (t).
2
∗
u (t) ✈➭♦ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ (1.14) t❛ ❝ã

∂H
∂u

= 0✱

✭✶✳✶✻✮

1
d ∗
(x (t)) = Ax∗ (t) − BR−1 B p∗ (t).
dt
2

❑Õt ❤î♣ ✈í✐

(1.16)

q✉➳ tr×♥❤ tè✐ ➢✉

u∗ (t)✱ x∗ (t)

➤➢î❝ t×♠ tõ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❤Ö

♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤

x˙∗ = Ax∗ − 12 BR−1 B p∗ , x(0) = x0
p˙∗ = 2Qx∗ − A p∗ , p∗ (T ) = 2P0 x(T ).

Footer Page
14 bởi
of 89.
Số hóa
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

✭✶✳✶✼✮




Header Page 15 of 89.
✶✹
✶✳✹

▼ét sè ❜æ ➤Ò ❜æ trî

❇æ ➤Ò ✶✳✹✳✶✳

❑❤✐ ➤ã ✈í✐

●✐➯ sö

δ>0

M ∈ Rn×n

❧➭ ♠ét ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣✳
n
✈➭ ✈í✐ ♠ä✐ ❤➭♠ ❦❤➯ tÝ❝❤ ω : [0; δ] → R t❛ ❝ã

T

δ

ω(s)ds
0
❇æ ➤Ò ✶✳✹✳✷✳

δ

M

δ

ω(s)ds
0

●✐➯ sö

M ∈ Rn×n

ω T (s)M ω(s)ds.

≤δ
0

❧➭ ♠ét ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣✳

n

x, y ∈ R . ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã
±2xT y ≤ xT M x + y T M −1 y
❇æ ➤Ò ✶✳✹✳✸✳

T

X ,Y = Y

T

✭❇æ ➤Ò ❙❝❤✉r✮ ❈❤♦ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ ❤➺♥❣ sè ➤è✐ ①ø♥❣ X, Y, Z
≥ 0✳ ❑❤✐ ➤ã R > 0, X + Z T Y −1 Z < 0 ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐

X ZT

Z −Y

Footer Page
15 bởi
of 89.
Số hóa
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

X=

< 0.




Header Page 16 of 89.
✶✺

❈❤➢➡♥❣ ✷
❇➭✐ t♦➳♥ ➤➯♠ ❜➯♦ ❣✐➳ trÞ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ tè✐
➢✉
❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ❝➡ së ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥
➤➯♠ ❜➯♦ ❣✐➳ trÞ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ tè✐ ➢✉✳

✷✳✶

❇➭✐ t♦➳♥ ➤➯♠ ❜➯♦ ❣✐➳ trÞ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ tè✐ ➢✉ ❝❤♦ ❤Ö t✉②Õ♥
tÝ♥❤

❳Ðt ❤Ö ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤

x˙ = Ax + Bu;
x(0) = x0 , x ∈ Rn , u ∈ Rm ,

✭✷✳✶✮

tr♦♥❣ ➤ã

A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m (n ≥ m)
✈➭ ❤➭♠ ♠ô❝ t✐➟✉

∞

J(u) =

[ Qx, x + Ru, u ]dt, Q > 0, R > 0.

✭✷✳✷✮

0
❳Ðt ❜➭✐ t♦➳♥ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❣✐➳ trÞ tè✐ ➢✉ (2.1) ✈í✐
∗
❤➭♠ ♠ô❝ t✐➟✉ (2.2). ●✐➯ sö tå♥ t➵✐ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ ♥❣➢î❝ u (t) = Kx(t) ✈➭ ♠ét
∗
sè ❞➢➡♥❣ J > 0 s❛♦ ❝❤♦ ❤Ö ➤ã♥❣ x
˙ = [A + BK]x ❧➭ æ♥ ➤Þ♥❤ ❤ã❛ ➤➢î❝ ✈➭
∗
∗
∗
❤➭♠ ♠ô❝ t✐➟✉ (2.2) t❤á❛ ♠➲♥ J(u ) ≤ J ❦❤✐ ➤ã u ❣ä✐ ❧➭ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ ♥❣➢î❝

∗
➤➯♠ ❜➯♦ ❣✐➳ trÞ tè✐ ➢✉✱ ✈➭ J ❣ä✐ ❧➭ ❣✐➳ trÞ ♠ô❝ t✐➟✉ tè✐ ➢✉ ❝ñ❛ ❤Ö✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✷✳✶✳✶✳

(2.1) ✈í✐ ❤➭♠ ♠ô❝ t✐➟✉ (2.2). ●✐➯ sö tå♥ t➵✐ ♠❛ tr❐♥
➤è✐ ①ø♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣ P s❛♦ ❝❤♦ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♠❛ tr❐♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✭▲▼■✮
➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✷✳

❳Ðt ❤Ö

Footer Page
16 bởi
of 89.
Số hóa
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 17 of 89.
✶✻
s❛✉ t❤á❛ ♠➲♥

P A + AP − BB + 14 BRB P Q
QP
−Q
u(t) = − 21 B P −1 x(t) ❧➭ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ ♥❣➢î❝ ➤➯♠
J = λmax (P −1 ) x0 2 ❧➭ ❣✐➳ trÞ ♠ô❝ t✐➟✉ tè✐ ➢✉✳
❦❤✐ ➤ã
∗

<0

✭✷✳✸✮

❜➯♦ ❣✐➳ trÞ tè✐ ➢✉ ✈➭

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❳Ðt ❤➭♠ ▲②❛♣✉♥♦✈ ✲ ❑r❛s♦✈s❦✐✐ s❛✉

V (x) = P −1 x, x .
➜➷t

y = P −1 x✱ ❞Ô ❞➭♥❣ ❦✐Ó♠ tr❛ ➤➢î❝✿
λmin (P −1 )

▲✃② ➤➵♦ ❤➭♠ ❝ñ❛

x

2

≤ V (.) ≤ λmax (P −1 )

x

2

.

V (x), t❛ ❝ã✿

V˙ (x(t)) = 2 P −1 x(t),
˙
x(t) = 2 P −1 (Ax + Bu), x
= 2 P −1 Ax, x + 2 P −1 Bu, x = 2 AP y, y − BB y, y
= (P A + AP )y, y − BB y, y < − Sy, y .
❚õ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♠❛ tr❐♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ▲▼■

(2.3) t❛ ❝ã✿

1
P A + AP − BB < − BRB − P QP = −S,
4
tr♦♥❣ ➤ã

S = 14 BRB + P QP > 0. ❞♦ ➤ã✿

V˙ (x(t)) ≤ −λmin (S)

y

2

≤ −λmin (S)λmin (P −2 )

x

2

.

(2.1) ❧➭ æ♥ ➤Þ♥❤ ❤ã❛ ➤➢î❝ ✈➭ u∗ = − 12 B P −1 x(t)
❧➭ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ ♥❣➢î❝ ❧➭♠ æ♥ ➤Þ♥❤ ❤ã❛ ❤Ö (2.1)
❚❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧Ý ▲②❛♣✉♥♦✈✱ ❤Ö

➜Ó t×♠

J ∗ , t❛ ❝ã✿

V˙ (x(t)) = (P A + AP − BB )y, y + Qx, x + Ru, u
− Qx, x − Ru, u .
▼➷t ❦❤➳❝ t❛ ❧➵✐ ❝ã✿

Qx, x = P QP y, y , Ru, u =
Footer Page
17 bởi
of 89.
Số hóa
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1
BRB T y, y .
4



Header Page 18 of 89.
✶✼

❉♦ ➤ã✿

1
P A + AP − BB + BRB + P QP
4
− [ Qx, x + Ru, u ].

V˙ (x) =

y, y

❆♣ ❞ô♥❣ ❜æ ➤Ò ❙❝❤✉r✱ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♠❛ tr❐♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✭▲▼■✮ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣
✈í✐ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥✿

1
P A + AP − BB + BRB + P QP < 0.
4
❉♦ ➤ã✿

V˙ (x) < −[ Qx, x + Ru, u ].
❙✉② r❛

[ Qx, x + Ru, u ] < −V˙ (x).
▲✃② tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❤❛✐ ✈Õ tõ

0 tí✐ t✱ t❛ ❝ã

t

t

V˙ (x(s))ds = V (x(0)) − V (x(t))

[ Qx, x + Ru, u ]ds < −
0

0

< V (x(0)) = P −1 x0 , x0 .
❈❤♦

t → +∞ t❛ ❝ã✿
J(u) ≤ J ∗ = P −1 x0 , x0 ≤ (λmax (P −1 ))

❱Ý ❞ô ✷✳✶✳✸✳

❳Ðt ❤Ö

x0

2

.

(2.1) ✈í✐ ❤➭♠ ♠ô❝ t✐➟✉ (2.2)✱ tr♦♥❣ ➤ã✿
A=

−3 0.2
1
; B=
1 −1

0

Q=

1 0
; R= 2
0 2

❇➺♥❣ ❝➳❝❤ sö ❞ô♥❣ ❤é♣ ❝➠♥❣ ❝ô ▼❛t❧❛❜✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝ã t❤Ó t❤✃② r➺♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣
t❤ø❝ ♠❛ tr❐♥

(2.3) t❤á❛ ♠➲♥ ✈í✐✿
P =

0.2009 0.0100
0.0100 0.3678

Footer Page
18 bởi
of 89.
Số hóa
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 19 of 89.
✶✽
tõ ➤ã ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ ♥❣➢î❝ ❣✐➳ trÞ tè✐ ➢✉ ❧➭✿

u(t) = −2.4918 0.0677 x(t),
✈➭ ❣✐➳ trÞ ♠ô❝ t✐➟✉ tè✐ ➢✉ ❧➭✿

J ∗ = 4, 9916.
✷✳✷

❇➭✐ t♦➳♥ ➤➯♠ ❜➯♦ ❣✐➳ trÞ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ tè✐ ➢✉ ❤Ö t✉②Õ♥ tÝ♥❤
❝ã trÔ

❳Ðt ❤Ö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝ã trÔ ❤➺♥❣

x(t)
˙
= Ax(t) + Dx(t − h) + Bu, t ≥ 0
x(t) = ϕ(t) t ∈ [−h, 0], u ∈ L2 (Rv )

✭✷✳✹✮

✈➭ ❤➭♠ ♠ô❝ t✐➟✉✿

∞

[ Q1 x, x + Q2 x(t − h), x(t − h) + Ru(t), u(t) ]dt

J(u) =

✭✷✳✺✮

0
tr♦♥❣ ➤ã✿

Q1 , Q2 , R > 0 ❧➭ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣✳

(2.4)✱ ✈í✐ ❤➭♠ ♠ô❝ t✐➟✉ (2.5)✳ ●✐➯ sö tå♥ t➵✐ ♠❛ tr❐♥
➤è✐ ①ø♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣ P s❛♦ ❝❤♦ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♠❛ tr❐♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✭▲▼■✮
➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✷✳✶✳

❳Ðt ❤Ö

s❛✉ t❤á❛ ♠➲♥


P A + AP − BB + 41 BRB + DP D + P P Q1 P Q2

Q1 P
−Q1 0  < 0,
Q2 P
0 −Q2


❦❤✐ ➤ã

✭✷✳✻✮

u(t) = − 21 B P −1 x(t) ❧➭ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ ♥❣➢î❝ ➤➯♠ ❜➯♦ ❣✐➳ trÞ tè✐ ➢✉ ✈➭
J ∗ = [(h + 1)λmax (P −1 ) + hλmax (Q2 )]

ϕ

2

❧➭ ❣✐➳ trÞ ♠ô❝ t✐➟✉ tè✐ ➢✉✳

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❳Ðt ❤➭♠ ▲②❛♣✉♥♦✈

t

V (xt ) = P

−1

x, x +

t

P −1 x, x ds.

Q2 x, x ds +
t−h

Footer Page
19 bởi
of 89.
Số hóa
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

t−h

Header Page 20 of 89.
✶✾
❉Ô ❞➭♥❣ ❦✐Ó♠ tr❛ ➤➢î❝✿

λmin (P −1 )

x

2

≤ V (xt ) ≤ [(h + 1)λmax (P −1 ) + hλmax (Q2 )]

xt

2

( ϕ = max ϕ(t)).
t∈[−h,0]
▲✃② ➤➵♦ ❤➭♠ ❝ñ❛

V (xt ), t❛ ❝ã✿

V˙ (xt ) = 2 P −1 x,
˙ x + Q2 x(t), x(t) − Q2 x(t − h), x(t − h)
−1
+ P x(t), x(t) − P −1 x(t − h), x(t − h) .
➜➷t

y = P −1 x, t❛ ❝ã✿

V˙ (xt ) = (P A + AP )y, y − BB y, y + 2 DPy (t − h), y
+ P Q2 P y, y − P Q2 P y(t − h), y(t − h)
+ P y(t), y(t) − P y(t − h), y(t − h) ].

❆♣ ❞ô♥❣ ❜æ ➤Ò

1.4.2 t❛ ❝ã✿

2 DP yh , y = 2 yh , P D y ≤ DP D y, y + P yh , yh .
❉♦ ➤ã✿

V˙ (xt ) = (P A + AP − BB + P Q2 P + DP D + P )y, y
− P Q2 P y(t − h), y(t − h) .
❚❤➟♠ ✈➭ ❜ít ➤➵✐ ❧➢î♥❣

[ Q1 x, x + Q2 x(t − h), x(t − h) + Ru, u ],

t❛ ❝ã✿

V˙ (xt ) = (P A + AP − BB + P Q2 P + DP D + P )y, y
− P Q2 P y(t − h), y(t − h)
+ [ Q1 x, x + Q2 x(t − h), x(t − h) + Ru, u ]
− [ Q1 x, x + Q2 x(t − h), x(t − h) + Ru, u ]
= (P A + AP − BB + P Q2 P + DP D + P
1
+ P Q1 P + BRB )y, y
4
− [ Q1 x, x + Q2 x(t − h), x(t − h) + Ru(t), u(t) ].
❱× ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝✿

1
P A + AP − BB + BRB + P + P Q2 P + P Q1 P + DP D < 0
4
Footer Page
20 bởi
of 89.
Số hóa
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 21 of 89.
✷✵
t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ▲▼■✿


P A + AP − BB + 14 BRB + DP D + P P Q1 P Q2

Q1 P
−Q1 0  < 0.
Q2 P
0 −Q2


♥➟♥ t❛ ❝ã

V˙ (xt ) < −[ Q1 x, x + Q2 x(t − h), x(t − h) + Ru, u ] ≤ 0.
❙✉② r❛ t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧Ý ▲②❛♣✉♥♦✈✱ ❤Ö ❧➭ æ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ö♠ ❝❐♥ ✈➭
❧➭ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ ♥❣➢î❝ ❧➭♠ æ♥ ➤Þ♥❤ ❤ã❛ ❤Ö

∗
➜Ó t×♠ J t❛ ❝ã✿

u∗ = − 21 B P −1 x(t)

(2.4)✳

[ Q1 x, x + Q2 x(t − h), x(t − h) + Ru, u ] < −V˙ (xt ).
▲✃② tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❤❛✐ ✈Õ tõ ✵ tí✐ t✱ t❛ ❝ã✿

t

[ Q1 x, x + Q2 x(t − h), x(t − h) + Ru(t), u(t) ]dt
0
t

V˙ (xs )ds = V (x0 ) − V (xt )

<−
0

< V (x0 ),
❈❤♦

✈× ❱ ✭①t )

≥ 0.

t → +∞✱ t❛ ❝ã✿
J(u) ≤ V (x0 ) ≤ [(h + 1)λmax (P −1 ) + hλmax (Q2 )]

❱Ý ❞ô ✷✳✷✳✷✳

❳Ðt ❤Ö

ϕ

2

= J ∗.

(2.4) ✈í✐ ❤➭♠ ♠ô❝ t✐➟✉ (2.5),

tr♦♥❣ ➤ã✿

h = 2.
−8 1
1
−1 0
A=
; B=
D=
0 −2
0
2 0.5
Q1 =

0.1 0
0.1 0
; Q2 =

; R = 0.2
0 0.2
0 0.3

❇➺♥❣ ❝➳❝❤ sö ❞ô♥❣ ❤é♣ ❝➠♥❣ ❝ô ▼❛t❧❛❜✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝ã t❤Ó t❤✃② ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝
♠❛ tr❐♥

(2.6) t❤á❛ ♠➲♥ ✈í✐✿
P =

0.2650 0.0090
,
0.0090 0.9811

Footer Page
21 bởi
of 89.
Số hóa
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 22 of 89.
✷✶
tõ ➤ã ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ ♥❣➢î❝ ➤➯♠ ❜➯♦ ❣✐➳ trÞ tè✐ ➢✉ ❧➭✿

u(t) = −1.8871 0.0174 x(t)
✈➭ ❣✐➳ trÞ ♠ô❝ t✐➟✉ tè✐ ➢✉ ❝ñ❛ ❤Ö ➤ã♥❣ ❧➭✿

J ∗ = 11.9241.
▼ë ré♥❣ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ➤Þ♥❤ ❧Ý

2.2.1 ❝❤♦ ❤Ö

❝ã trÔ ❜✐Õ♥ t❤✐➟♥✳ ❳Ðt ❤Ö t✉②Õ♥

tÝ♥❤ ❝ã trÔ ❜✐Õ♥ t❤✐➟♥

x(t)
˙
= Ax(t) + Dx(t − h(t)) + Bu(t), t ≥ 0
x(t) = ϕ(t) t ∈ [−h, 0],

✭✷✳✼✮

tr♦♥❣ ➤ã

˙
0 ≤ h(t) ≤ h, h(t)
≤δ<1
✈➭ ❤➭♠ ♠ô❝ t✐➟✉✿

∞

J(u) =

[ Q1 x, x + Q2 x(t−h(t)), x(t−h(t)) + Ru(t), u(t) ]dt,

✭✷✳✽✮

0

Q1 > 0, Q2 > 0, R > 0.
➜➷t

η = (1 − δ)−1
➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✷✳✸✳

(2.7) ✈í✐ ❤➭♠ ♠ô❝ t✐➟✉ (2.8)✳ ●✐➯ sö tå♥ t➵✐ ♠❛ tr❐♥
❞➢➡♥❣ P s❛♦ ❝❤♦ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♠❛ tr❐♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ s❛✉

❳Ðt ❤Ö

➤è✐ ①ø♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤
t❤á❛ ♠➲♥✿


P A + AP − BB + P + ηDP D + 41 BRB P Q1 P Q2

Q1 P
−Q1 0  < 0.
Q2 P
0 −Q2


✭✷✳✾✮

1
−1

❦❤✐ ➤ã u(t) = − B P
x(t) ❧➭ ❤➭♠ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ ♥❣➢î❝ ➤➯♠ ❜➯♦ ❣✐➳ trÞ tè✐ ➢✉
2
∗
−1
✈➭ J = [(h + 1)λmax (P
) + ηhλmax (Q2 )] ϕ 2 ❧➭ ❣✐➳ trÞ ♠ô❝ t✐➟✉ tè✐ ➢✉
❝ñ❛ ❤Ö

(2.7)

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❳Ðt ❤➭♠ ▲②❛♣✉♥♦✈

t

V (t, xt ) = P

−1

x(t), x(t) + η

P −1 x, x ds

Q2 x, x ds +
t−h(t)

Footer Page
22 bởi
of 89.
Số hóa

Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

t
t−h(t)




Header Page 23 of 89.
✷✷

tr♦♥❣ ➤ã

η = (1 − δ)−1 .
❉Ô ❞➭♥❣ ❦✐Ó♠ tr❛ ➤➢î❝

λmin (P −1 )
➜➷t

x

2

≤ V (xt ) ≤ [(h + 1)λmax (P −1 ) + ηhλmax (Q2 )]

xt

2

.

y = P −1 x, t❛ ❝ã
V˙ (xt ) = (P A + AP − BB )y, y + 2 DP y(t − h(t)), y(t)
+ η P Q2 P y(t), y(t) − P Q2 P y(t − h(t)), y(t − h(t))
+ P y(t), y(t) − (1 − δ) P y(t − h(t)), y(t − h(t))
+ P Q1 P y, y + P Q2 P y(t − h(t)), y(t − h(t))
1
+ BRB y(t), y(t)
4
− [ Q1 x, x + Q2 x(t − h(t)), x(t − h(t)) + Ru, u) ].

❆♣ ❞ô♥❣ ❜æ ➤Ò ✶✳✹✳✷ t❛ ❝ã✿

2 DP y(t−h(t)), y(t) = η DP D y(t), y(t) +(1−δ) P y(t−h(t)), y(t−h(t) .
❉♦ ➤ã t❛ ❝ã✿

V˙ (xt ) ≤ (P A + AP − BB + P + ηDP D
1
+ ηP Q2 P + P Q1 P + BRB )y, y]
4
− [ Q1 x, x + Q2 x(t − h(t)), x(t − h(t))
+ Ru, u) ].
❱× ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝✿

1
P A + AP − BB + P + ηDP D + ηP Q2 P + P Q1 P + BRB < 0
4
t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐



P A + AP − BB + P + ηDP D + 14 BRB P Q1 P Q2

Q1 P
−Q−1
0 <0
1
Q2 P
0
−Q−1
2


♥➟♥ t❛ ❝ã✿

V˙ (xt ) < −[ Q1 x(t), x(t) + Q2 x(t−h(t)), x(t−h(t)) + Ru(t), u(t)) ] ≤ 0.
Footer Page
23 bởi
of 89.
Số hóa
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 24 of 89.
✷✸
❙✉② r❛ t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧Ý ▲②❛♣✉♥♦✈✱ ❤Ö ❧➭ æ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ö♠ ❝❐♥ ✈➭

u∗ = − 12 B P −1 x(t)

❧➭ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ ♥❣➢î❝ ❧➭♠ æ♥ ➤Þ♥❤ ❤ã❛ ❤Ö (2.7)✳
∗
➜Ó t×♠ J t❛ ❝ã✿ ▲✃② tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❤❛✐ ✈Õ tõ ✵ tí✐ t✱ t❛ ❝ã✿

t

[ Q1 x, x + Q2 x(t − h(t)), x(t − h(t)) + Ru(t), u(t) ]dt
0
t

V˙ (xs )ds = V (x0 ) − V (xt ) < V (x0 ).

<−
0
❈❤♦

t → +∞ t❛ ❝ã✿
J(u) ≤ V (x0 ) ≤ [(h + 1)λmax (P −1 + ηhλmax (Q2 )]

❱Ý ❞ô ✷✳✷✳✹✳

❳Ðt ❤Ö

ϕ = J∗

(2.7) ✈í✐ ❤➭♠ ♠ô❝ t✐➟✉ (2.8),

tr♦♥❣ ➤ã✿

1

h(t) = sin t.
2
−1 0
1
−0.2 0
A=
; B=
D=
3 −5
0
5 0.2
Q1 =

0.2 0
0.1 0
; Q2 =
; R = 0.5
0 0.3
0 0.4

❇➺♥❣ ❝➳❝❤ sö ❞ô♥❣ ❤é♣ ❝➠♥❣ ❝ô ▼❛t❧❛❜✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝ã t❤Ó t❤✃② ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝
♠❛ tr❐♥

(2.9) t❤á❛ ♠➲♥ ✈í✐✿
P =

0.1108 0.0178
0.0178 0.7486

tõ ➤ã ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ ♥❣➢î❝ ➤➯♠ ❜➯♦ ❣✐➳ trÞ tè✐ ➢✉ ❧➭✿

u(t) = −4.5308 0.1075 x(t)
✈➭ ❣✐➳ trÞ ♠ô❝ t✐➟✉ tè✐ ➢✉ ❧➭✿

J ∗ = 18.9350.

Footer Page
24 bởi
of 89.
Số hóa
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 25 of 89.
✷✹

❈❤➢➡♥❣ ✸
❇➭✐ t♦➳♥ ➤➯♠ ❜➯♦ ❣✐➳ trÞ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ tè✐
➢✉ ❝❤♦ ❤Ö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝ã ➤é trÔ ❦❤➠♥❣ ❦❤➯
✈✐
✸✳✶

❇➭✐ t♦➳♥ ➤➯♠ ❜➯♦ ❣✐➳ trÞ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ tè✐ ➢✉ ❝❤♦ ❤Ö t✉②Õ♥
tÝ♥❤ ❝ã ➤é trÔ ❦❤➠♥❣ ❦❤➯ ✈✐

❳Ðt ❤Ö ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✈í✐ ❤➭♠ ❝ã trÔ ❤ç♥ ❤î♣

t

x(t)
˙
= A0 x(t) + A1 x(t − (h(t)) + A2

x(s)ds
t−k1 (t)
t

+ B0 u(t) + B1 u(t − h2 (t)) + B2

✭✸✳✶✮

u(s)ds,
t−k2 (t)

x(t) = φ(t), t ∈ [−d, 0], d = max{h1max , h2max , k1 , k2 }
∈ Rn ❧➭
φ(t) ∈ C ([−d, 0], Rn )

tr♦♥❣ ➤ã✱ x(t)
1

✈Ð❝t➡ tr➵♥❣ t❤➳✐✱

u(t) ∈ Rm

❧➭ ❤➭♠ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥✱

✈í✐

φ = Sup

φ(t)

2

+

˙
φ(t)

2

−d≤t≤0

A0 , A1 , A2 , B0 , B1 , B2 ❧➭ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ ❤➺♥❣ sè t❤ù❝✳ ❈➳❝ ❤➭♠ trÔ hi (t), ki (t), i =
1, 2 t❤á❛ ♠➲♥✿
0 ≤ himin ≤ hi (t) ≤ himax ,
0 ≤ ki (t) ≤ ki , i = 1, 2.

Footer Page
25 bởi
of 89.
Số hóa
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên