BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Muc lục
Bài tập 1-2-3
Bài tập 4c)-5
Bài tập 6-7
Bài tập 8-9
Bài tập 10
Củng cố


BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Bài 1:

(trang 80)
a) Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M(1;-2; 4)
r
Có vectơ pháp tuyến : n = (2;3;5)

Giải:
Mặt phẳng đi qua điểm M(1;-2;4) và Có vectơ pháp tuyến :
Có phương trình là:

r
n = (2;3;5)

2 ( x − 1) + 3 ( y + 2 ) + 5 ( z − 4 ) = 0 ⇔ 2 x + 3 y + 5 z − 16 = 0

b) Viết phương trình mặt phẳng qua điểm A(0;-1; 2)
r
r
v = (−3;0;1)
và song song với giá của mỗi vectơ u = (3; 2;1)

r
Giải Mặt phẳng đi qua điểm A(0;-1;2) và
u = (3; 2;1)

r
r
là các vectơ chỉ phương vì vậy có vtpt là: n = (2; − 6; 6)
v = (−3;0;1)
phương trình mặt phẳng là:

2 ( x − 0 ) − 6 ( y + 1) + 6 ( z − 2 ) = 0 ⇔ x − 3 y + 3 z − 9 = 0


Câu 1c):Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm:

A(−3;0;0) , B(0; −2; 0) , C (0; 0; −1)
x y z
Giải:Áp dụng công thức:
+ + = 1 Thay số vào ta có:
a b c
x
y
z
+
+
= 1 ⇔ 2x + 3y + 6z + 6 = 0
−3 −2 −1
uu
ur
uu

ur
Cách 2 AB = (3; −2;0) và AC = (3;0; −1) Chỉ phương
r
Nên có vectơ pháp tuyến là n = (2;3; 6)
Phương trình mặt phẳng qua A có vectơ pháp tuyến
r
n = (2;3;6) Có phương trình là: 2 x + 3 y + 6 z + 6 = 0


Bài 2

Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn
thẳng AB :A(2;3;7);B(4;1;3)
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua
trung điểm I(3;2;5) và có vectơ pháp tuyến là:

GIẢI

r
n = (2; − 2; − 4)

Mặt phẳng trung trực có phương trình là:

1( x − 1) − 1( y − 2 ) − 2 ( z − 5 ) = 0 ⇔

B

I

Muc lục

α

A

x − y − 2z + 9 = 0

BÙI NGOC LINH TH


Bài 3a)
Cho hệ toạ độ Oxyz.Hãy viết phương trình của các mặt phẳng
(Oxy),(Oyz),(Oxz)
Giải
Mặt phẳng (Oxy) đi qua O(0;0;0) và có véc tơ pháp tuyến
(0;0;1)cho nên có phương trình:0(x-0)+0(y-0)+1(z-0)=0⇔z=0
Mặt phẳng (Oxz) đi qua O(0;0;0) và có véc tơ pháp
tuyến(0;1;0)cho nên có phương trình:0(x-0)+1(y-0)+0(z-0)=0⇔y=0
Mặt phẳng (Oyz) đi qua O(0;0;0) và có véc tơ pháp
tuyến(1;0;0)cho nên có phương trình:1(x-0)+0(y-0)+0(z-0)=0⇔x=0
Muc lục
BÙI NGOC LINH TH

5


Bài 3b)
Hãy viết phương trình của các mặt phẳng qua điểm M(2;6;-3)
và lần lượt song song các mặt phẳng toạ độ
Giải
Mặt phẳng song song với (Oxy) đi qua M (2;6;-3) và có véc tơ

pháp tuyến(0;0;1)cho nên có phương trình:
0(x-2)+0(y-6)+1(z+3)=0⇔ z+3=0
Mặt phẳng song song với (Oxz) đi qua M(2;6;-3) và có véc tơ pháp
tuyến(0;1;0)cho nên có phương trình:
0(x-2)+1(y-6)+0(z+3)=0⇔ y-6=0
Mặt phẳng song song với (Oyz) đi qua M(2;6;-3) và có véc tơ pháp
tuyến(1;0;0)cho nên có phương trình:
Muc lục
1(x-2)+0(y-6)+0(z+3)=0⇔ x-2=0
BÙI NGOC LINH TH

6


Bài 4 a)
Lâp phương trình mặt phẳng chứa trục Ox và điểm P(4;-1;2)
Mặt phẳng chứa truc Ox nên qua O(0;0;0)và có vectơ
uu
ur
r
i = (1;0;0) Và có vectơ : OP = (4; − 1; 2) Chỉ phương

ur
r  r u u
Có vectơ pháp tuyến : n = i , OP = (0; −2; −1)


Mặt phẳng có phương trình là:

0 ( x − 0 ) − 2 ( y − 0 ) − 1( z − 0 ) = 0 ⇔ −2 y − z = 0

⇔ 2y + z = 0

Bài 4 b)
Lâp phương trình mặt phẳng chứa trục Oyvà điểm Q(1;4;-3)
Mặt phẳng chứa truc Oy nên qua O(0;0;0)và có vectơ
uu
ur
r
Chỉ phương
j = (0;1; 0) Và có vectơ : OQ = (1; 4; − 3)

ur
r  r uu
Có vectơ pháp tuyến : n =  j , OQ  = ( −3;0; −1)
Mặt phẳng có phương trình là:

3 ( x − 0 ) + 0 ( y − 0 ) + 1( z − 0 ) = 0 ⇔

3x + z = 0

Muc lục


Bài 4 c)
Lâp phương trình mặt phẳng chứa trục Oz và điểm R(3;-4;7)
Vì mặt phẳng chứa truc Oz nên chứa O(0;0;0)và có vectơ
uu
ur
r

k = (0; 0;1) và có vectơ : OR = (3; − 4; 7) Chỉ phương
Có vectơ pháp tuyến :

ur
r  r u u
n =  k , OR  = (4;3; 0)

Mặt phẳng có phương trình là:

4 ( x − 0) + 3( y − 0) + 0 ( z − 0) = 0 ⇔ 4x + 3 y = 0
a)Mặt phẳng (ACD) qua C(5;0;4)và có vectơ
uu
ur
uu
ur
AC = (0; − 1;1) Và có vectơ : AD = (−1; − 1;3) Chỉ phương
Bài 5

ur ur
r u u u u 
Có vectơ pháp tuyến : n = AC , AD = (2;1;1)


Mặt phẳng có phương trình là:

2 ( x − 5 ) + 1( y − 0 ) + 1( z − 4 ) = 0 ⇔ 2 x + y + z − 14 = 0 Muc lục


Mặt phẳng (BCD) qua C(5;0;4) và có vectơ

uu
ur
uu
ur
BC = (4; − 6; 2) và có vectơ : BD = (3; − 6; 4) Chỉ phương
ur ur
r u u u u
Có vectơ pháp tuyến : n = BC , BD = (12;10;6)


Mặt phẳng có phương trình là:

6 ( x − 5 ) + 5 ( y − 0 ) + 3 ( z − 4 ) = 0 ⇔ 6 x + 5 y + 3 z − 42 = 0
5b)Phương trình mặt phẳng đi qua cạnh AB và song song cạnh CD
Giải:

Phương trình mặt phẳng đi qua cạnh AB và song song cạnh CD

ur ur
r u u u u
Có vectơ pháp tuyến : n =  AB, CD  = (10;9;5)
Mặt phẳng có phương trình là:

10 ( x − 5 ) + 9 ( y − 1) + 5 ( z − 3 ) = 0 ⇔10 x + 9 y + 5 z − 74 = 0
BÙI NGOC LINH TH

Muc lục


Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(2;-1;2) và song

song mặt phẳng :2x-y+3z+4=0

Bài 6
Giải :

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(2;-1;2) và song song
mặt phẳng :2x-y+3z+4=0 do đó có vec tơ pháp tuyến là:

Mặt phẳng có phương trình là:

r
n = (2; −1;3)

2 ( x − 2 ) − 1( y + 1) + 3 ( z − 2 ) = 0 ⇔ 2 x − y + 3 z − 11 = 0
Bài 7
Giải :

Viết phương trình mặt phẳng đi 2 qua điểm A(1;0;1);B(5;2;3)
và vng góc mặt phẳng :2x-y+z-7=0
Phương trình mặt phẳng đi 2 qua điểm A(1;0;1);B(5;2;3) và
vng góc mặt phẳng :2x-y+z-7=0 do đó có vec tơ pháp tuyến
ur
u
uu
ur
là:
nβ = (2; − 1;1)
AB = (4; 2; 2)

ur u

r  u u ur 
n =  AB, nβ  = (4;0; −8)

Mặt phẳng có phương trình là:

1( x − 1) − 2 ( z − 1) = 0 ⇔ x − 2 z + 1 = 0

Muc lục


Bài 8 Trang 81
Xác định các giá trị của m,n dể mỗi cặp măt phẳng sau là một cặp
mặt phẳng song song với nhau :
a)2x +my+3z-5= 0 và nx-8y-6z+2=0
b)3x-5y+mz-3=0 và 2x+ny-3z+1=0
Giải : Ta cần có :n :2=-8 :m= -6 :3 nên ta có n=-4 và m = -4
3 :2= -5 :n =m :-3 nên : n = −10 ; m = − 9
3
2
Bài 9: Tính khoảng cách từ điểm A(2;4;-3) lần lượt đến các mặt
c)
x=0
phẳng sau : a) 3x-y+2z-9=0 b) 12x-5z+5=0
Giải :
a) Khoảng cách từ điểm A(2;4;-3)
2. ( 2 ) − ( 4 ) + 2. ( −3) − 9
=5
đến các mặt phẳng 3x-y+2z-9=0 là: d =
2
22 + ( −1) + 22

b) Khoảng cách từ điểm
A(2;4;-3) đến các mặt
phẳng 12x-5z+5=0 là:

d=

12. ( 2 ) − 5 ( −3) + 5
122 + ( 0 ) + ( −5 )
2

2

44
=
13

Muc lục


9c) Khoảng cách từ điểm A(2;4;-3) đến các mặt phẳng x=0 là:
d=

Bài 10

2
12 + ( 0 ) + ( 0 )
2

2

=2

Giải bài tốn sau bằng phương pháp tọa độ
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’cạnh bằng 1
a)Chứng minh rằng hai mặt phẳng (AB’D’),(BC’D) song song với nhau
b)Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên
z
Giải :
a)Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho :
A(0 ;0 ;0) ;B(1 ;0 ;0) ;C(1 ;1 ;0) ;
D(0 ;1 ;0) ;A’(0 ;0 ;1) ;B’(1 ;0 ;1) ;C
’(1 ;1 ;1) ;D’(0 ;1 ;1)
u ur
uu
uu
uu
r
AD ' = ( 0;1;1)
Ta có: AB ' = ( 1; 0;1)
y
Véctơ pháp tuyếnu u ur phẳng
của mặt
ur
r u u uu
(AB’D’) là: n = AB ' ∧ AD ' = ( 1;1; −1)
mặt phẳng (AB’D’) có
phương trình : x+y-z=0
x

Giải : Phương trình mặt phẳng (BC’D)
Với hệ trục tọa độ đã chọn :
A(0 ;0 ;0) ;B(1 ;0 ;0) ;C(1 ;1 ;0) ;
D(0 ;1 ;0) ;A’(0 ;0 ;1) ;B’(1 ;0 ;1) ;C
’(1 ;1 ;1) ;D’(0 ;1 ;1)
uu
ur
Tương tự có: BD = ( −1;1;0 )
u ur
uu
BC ' = ( 0;1;1)

ur u u
r  u u u ur 
n =  BD, BC ' = ( 1;1; −1)

z

y

Mặt phẳng (BC’D) có phương trình là :
x+y-z-1=0 1 1 x −1 0
hai mặt phẳng song song với nhau vì : = = ≠
1 1 −1 −1
b) Khoảng cách hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ
một điểm tùy ý trên măt phẳng này đến mặt phẳng kia Vậy :
−1
1
d = d ( A.( BC ' D ) ) =

=
2
3
12 + 12 + ( −1)
Muc lục


Củng cố :
Phương trình mặt phẳng: Bài tập 4c)-5a)

Bài tập 6-7

Vị trí tương đối –khoảng cách: Bài tập 8-9
Dặn dị :
Xem bải phương trình đường thẳng trong khơng gian
Giải bài tập 3.17-3.30 trang 98 BT HH 12

BÙI NGOC LINH TH

Muc lục