BÀI 5. KHẢO SÁT HÀM SỐ

§5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ.
Ngày soạn: 19/09/2008 Tiết PPCT: Tiết 12 đến 18 (7 tiết)
I. Mục tiêu bài dạy:
1. Về kiến thức: Hs cần nắm được sơ đồ khảo sát hàm số (tập xác định, sự biến thiên, và đồ
thị), khảo sát một số hàm số đa thức và hàm số phân thức, sự tương giao giữa các đường (biện
luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị, viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị)
2. Về kỹ năng: biết cách khảo sát một số hàm số đa thức và hàm số phân thức đơn giản, biết
cách xét sự tương giao giữa các đường (biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị, viết
phương trình tiếp tuyến với đồ thị).
3. Về thái độ: Tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của
giáo viên, năng động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới, thấy được lợi ích của toán
học trong đời sống.
II. Chuẩn bị:
1. Giáo viên: Soạn bài; chuẩn bị tranh minh họa, hệ thống câu hỏi gợi mở.
2. Hoạc sinh: Ôn tập các kiến thức đã học.
III. Phương pháp:
- Thuyết trình, kết hợp vấn đáp gợi mở.
- Phương tiện dạy học: SGK.
IV. Tiến trình bài dạy: Lý thuyết: 4 tiết; Bài tập: 3 tiết.
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Tiết 12:
I. Sơ đồ khảo sát hàm số: (6 phút)
- Nêu sơ đồ khảo sát hàm số (Theo sgk nâng
cao).
- Chú ý:
1. Nếu hàm số tuần hòan với chu kỳ T thì chỉ
cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên
một chu kỳ, sau đó tịnh tiến đồ thị song song
với trục Ox
2. Nên tính thêm toạ độ một số điểm, đặc

biệt là toạ độ các giao điểm của đồ thị với
các trục toạ độ.
3. Nên lưu ý đến tính chẵn lẻ của hàm số và
tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.
II. Khảo sát một số hàm đa thức và hàm
phân thức:
* Hoạt động 1: (10 phút).
CH: Khảo sự sự biến thiên và vẽ đồ thị của
hàm số: y = ax + b, y = ax
2
+ bx + c (a
≠
0)
theo sơ đồ trên?
+ GV hướng dẫn để HS thực hiện các bước
theo sơ đồ và nhớ lại các tính chất của các
I. Sơ đồ khảo sát hàm số:
Yêu cầu HS nắm được sơ đồ khảo sát hàm số:
1.Tìm tập xác định của hàm số.
2.Xét sự biến thiên của hàm số:
a) Tìm các giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực
(nếu có).
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có).
b) Lập bảng biến thiên của hàm số:
+ Tính đạo hàm y’;Tìm các điểm tại đó đạo hàm y’
bằng 0 hoặc không xác định.
+ Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên và
các điểm cực trị (nếu có) của hàm số.
+ Điền các kết quả vàng bảng (bảng biến thiên).
3. Vẽ đồ thị của hàm số:

a) Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có).
b) Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị (giao
điểm của đồ thị với các trục tọa độ). Trong trường
hợp đồ thị không cắt các trục tọa độ hoặc việc tìm
tọa độ giao điểm quá phức tạp thì bỏ qua phần này.
c) Nhận xét và vẽ đồ thị: Chỉ ra trục và tâm đố xứng
của đồ thị (nếu có); không yêu cầu chứng minh.
II. Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân
thức:
*. BT: Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị của các hàm
số đã học: y = ax + b, y = ax
2
+ bx + c (a
≠
0)
Yêu cầu HS thực hiện đúng sơ đồ và nhớ lại tính
chất của các hàm số (đã học ở các lớp trước).
- Tập xác định.
- Các khoảng đơn điệu.
Lê Văn Ngân – THPT Ea Súp – Năm học 2008 - 2009
1

hàm số này.
+ Vẽ đồ thị minh họa.
+ Nhận xét để suy ra cách vẽ đồ thị nhanh
nhất.
1. Hàm số y = ax
3
+ bx
2

+ cx + d (a ≠ 0).
(29 phút)
a) Ví dụ 1 : Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm
số :y = f(x) = x
3
+ 3x
2
- 4
+ GV hướng dẫn HS thực hiện theo sơ đồ
(SGK, trang 32, 33).
+ Chú ý tính đối xứng : Hoành độ tâm đối
xứng là nghiệm của pt : y’’ = 0 (là hoành độ
của điểm uốn – HS tham khảo bài đọc thêm
về cung lồ, cung lõm và điểm uốn).
b) Hoạt động 2:
Yêu cầu Hs khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ
thị hàm số y = - x
3
+ 3x
2
– 4. Nêu nhận xét
về đồ thị này và đồ thị hàm số ở VD 1.
c) Ví dụ 2: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm
số :y = f(x) = -x
3
+ 3x
2
- 4x +2
+ Hướng dẫn HS giải nhanh (Tr33, 34 sgk).
+ Chú ý: hàm số này khôn có cực trị.

d) Tổng kết:
+ Sơ đồ khảo sát hàm số.
+ Các tính chất của hàm bậc ba:
- Các trường hợp hàm số không có cực trị.
- Chú ý tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
+ Bảng tổng kết các dạng đồ thị của hàm bậc
ba (Tr 35 sgk).
d) Luyện tập củng cố:
* Hoạt động 3 (sgk).
Yêu cầu Hs khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ
thị hàm số y =
1
3
x
3
- x
2
+ x + 1. Nêu nhận xét
về đồ thị.
* Dặn dò:
- Ôn tập bài ; giải BT1 Tr 43 sgk.
- Xem trước bài khảo sát hàm số trùng
phương.
- Các giới hạn ở vô cực.
- Các điểm cực trị (nếu có).
- Tính chất đối xứng của đồ thị (nếu có).
* Suy ra cách vẽ đồ thị của các hàm số trên một cách
nhanh nhất.
1. Hàm số y = ax
3

+ bx
2
+ cx + d (a ≠ 0).
a) Ví dụ 1 : Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số :
y = f(x) = x
3
+ 3x
2
- 4
Giải: 1) Txđ: D = R
2) Sự biến thiên:
−∞=
−∞→
)(lim xf
x
;
+∞=
+∞→
)(lim xf
x
Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
y’ = 3x
2
+6x = 3x(x + 2)
y’ = 0
⇔
3x(x + 2)




=⇒−=
−=⇒=
⇔
02
40
yx
yx
Trên các khoảng (-
∞
; -2) và (0;+
∞
) y’>0 nên hàm
số đồng biến.
Trên khoảng (-2;0) y’<0 nên hàm số nghịch biến.
Hàm số đạt cực đại tại x = -2; y
CĐ
= y(-2) = 0
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; y
CT
= y(0) = -4
Bảng biến thiên:
x -
∞
-2 0 +
∞
y’ + 0 - 0 +
y
0 +
∞
-

∞
-4
Đồ thị:
f(x)=x*x*x+3*x*x-4
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-2
2
4
x
y
Nhận xét: Đồ thị có tâm đối xứng là điềm I(-1;-2).
(Hoành độ của tâm đối xứng là nghiệm pt: y’’ = 0)
b) BT2: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số :
y = f(x) = -x
3
+ 3x
2
– 4 . Nêu nhận xét về đồ thị của
hàm số này và đồ thị hàm số ở VD1 ?
* Nhận xét :
c) Ví dụ 2: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số :y =
f(x) = -x
3
+ 3x
2
- 4x +2
* HS giải nhanh với sự hướng dẫn của giáo viên.
d) Tổng kết:
+ Sơ đồ khảo sát hàm số.

+ Các tính chất của hàm bậc ba:
- Các trường hợp hàm số không có cực trị.
Lê Văn Ngân – THPT Ea Súp – Năm học 2008 - 2009
2

Tiết 13 :
* Bài cũ : (10 phút)
CH1: Nêu sơ đồ khảo sát hàm số ?
CH2 : Từ dạng đồ thị của hàm số bậc ba (do
GV vẽ trên bảng). Có kết luận gì về :
+ Dấu của hệ số a ?
+ Số điểm cực trị ? Từ đó suy ra số nghiệm
của phương trình y’ = 0 ?
2. Hàm số y = ax
4
+ bx
2
+ c (a ≠ 0).
(35 phút)
a) Ví dụ 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số :
y = f(x) = x
4
– 2x
2
- 3
+ GV hướng dẫn HS thực hiện theo sơ đồ
khảo sát hàm số (SGK, trang 35, 36).
+ Nhận xét về số điểm cực trị.
+ Chú ý tính chất đối xứng (hàm số chẵn).
b) Hoạt động 4:

Yêu cầu Hs khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ
thị hàm số y = - x
4
+ 2x
2
+ 3. Nêu nhận xét
về đồ thị. Dùng đồ thị, biện luận theo m số
nghiệm của phương trình - x
4
+ 2x
2
+ 3 = m.

f(x)=-x*x*x*x+2*x*x+3
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
* Kết quả:
+) m>4: pt vô nghiệm.
+) m = 4: pt có 2 nghiệm.
+) 3<m<4: pt có 4 nghiệm.
+) m = 3: pt có 3 nghiệm.

+) m<3: pt có 2 nghiệm.
c) Ví dụ 4: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số:
y = f(x) =
2
3
2
2
4
+−−
x
x
+ Giáo viên hướng dẫn HS giải nhanh (Tr 37
sgk).
+ Nhận xét về số điểm cực trị.
+ Nhận xét về tính đối xứng của đồ thị.
d) Tổng kết về hàm trùng phương:
+ Nêu bảng tổng hợp trang 38 sgk.
+ Chú ý về các tính chất:
- Số điểm cực trị; số điểm cực đại, cực tiểu
(liên quan đến hệ số a và số nghiệm pt y’=0)
- Tính chất đối xứng của đồ thị
- Chú ý tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
+ Bảng tổng kết các dạng đồ thị của hàm bậc ba (Tr
35 sgk).
* Bài cũ:
+ Yêu cầu HS nắm rõ sơ đồ khảo sát hàm số mà
giáo viên đã truyền đạt ở bài trước (theo sgk nâng
cao).
+ Yêu cầu từ dạng đồ thị của hàm số; HS biết nhận
xét về tính chất của hệ số a và số nghiệm của

phương trình y’ = 0.
2. Hàm số y = ax
4
+ bx
2
+ c (a ≠ 0).
a) Ví dụ 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số :
y = f(x) = x
4
– 2x
2
- 3
* Thực hiện theo sơ đồ (Tr 35, 36 sgk).
* Nhận xét về số điểm cực trị.
f(x)=x*x*x*x-2*x *x-3
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
* Nhận xét về tình đối xứng ( hàm số chẵn có đồ thị
nhận trục tung Oy làm trục đối xứng).
b) BT4: khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y
= - x

4
+ 2x
2
+ 3. Nêu nhận xét về đồ thị. Dùng đồ
thị, biện luận theo m số nghiệm của phương trình -
x
4
+ 2x
2
+ 3 = m.
* Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y
= - x
4
+ 2x
2
+ 3
* Nêu nhận xét về đồ thị.
* Dùng đồ thị, biện luận theo m số nghiệm của
phương trình - x
4
+ 2x
2
+ 3 = m.
(Căn cứ vào các mốc cực trị của hàm số khi biện
luận)
c) Ví dụ 4: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số:
y = f(x) =
2
3
2

2
4
+−−
x
x
* HS giải nhanh theo hướng dẫn của GV (Tr 37
sgk).
* Nhận xét về số điểm cực trị.
* Nhận xét về tính đối xứng của đồ thị.
d) Tổng kết về hàm trùng phương:
* Yêu cầu HS nắm vững bảng tổng hợp Tr 38 sgk.
* Chú ý về các tính chất:
- Số điểm cực trị; số điểm cực đại, cực tiểu (liên
quan đến hệ số a và số nghiệm pt y’=0)
Lê Văn Ngân – THPT Ea Súp – Năm học 2008 - 2009
3

e) Luyện tập củng cố:
Hoạt động 5:
+ Yêu cầu Hs lấy một số ví dụ về hàm số
dạng y = ax
4
+ bx
2
+ c (a ≠ 0) sao cho
phương trình y’ = 0 chỉ chỉ một nghiệm.
- Cho HS thảo luận theo nhóm; mỗi nhóm
tìm một ví dụ.
- GV hướng dẫn lớp kiểm tra và đánh giá kết
quả của các nhóm.

* Dặn dò:
- Ôn tập bài; giải BT2 Tr 43 sgk.
- Xem trước nội dung bài các hàm số phân
thức.
Tiết 14:
* Bài cũ: (10 phút).
CH: Hãy nêu các dạng đồ thị của hàm số
trùng phương y = ax
4
+ bx
2
+ c (a
≠
0) khi:
+) pt: y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
+) pt: y’ = 0 có 1 nghiệm.
(chia ra các trường hợp: a>0; a<0)
3. Hàm số: y =
ax
( 0, 0)
b
c ad bc
cx d
+
≠ − ≠
+
( 35 phút).
1) VD5: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số:

1

2
)(
+
+−
==
x
x
xfy

+ Hướng dẫn HS th75c hiện theo sơ đồ.
+ Chú ý tính đơn điệu; các đường tiệm cận.
+ Chú ý về tính đối xứng của đồ thị.
2) VD6: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số:

12
2
)(
+
−
==
x
x
xfy

+ Hướng dẫn HS thực hiện theo sơ đồ.
+ Chú ý tính đơn điệu; các đường tiệm cận.
+ Chú ý về tính đối xứng của đồ thị.
f(x)=(x-2)/(2*x +1)
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8

-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
* Chú ý: Dấu của y’ chính là dấu của định
thức D = ad – bc.
3) Nêu bảng tóm tắt về các dạng của đồ thị
hàm số y = f(x) =
ax
( 0, 0)
b
c ad bc
cx d
+
≠ − ≠
+
- Tính chất đối xứng của đồ thị
e) Luyện tập củng cố:
BT5:Lấy một số ví dụ về hàm số dạng:
y = ax
4
+ bx
2
+ c (a ≠ 0) sao cho phương trình
y’ = 0 chỉ chỉ một nghiệm.

VD:
1) y = x
4
+ x
2
- 2
2) y = -
4
1
x
4
- x
2
+ 3
* Bài cũ:
+ Tính chất đối xứng của đồ thị hàm số trùng
phương.
+ Yêu cầu nhận xét được về sồ điểm cực trị (số
điểm cực đại, cực tiểu) trong mỗi trường hợp nêu
trên.
3. Hàm số: y =
ax
( 0, 0)
b
c ad bc
cx d
+
≠ − ≠
+
( 20 phút)

1) VD5: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số:

1
2
)(
+
+−
==
x
x
xfy

* Thực hiện theo sơ đồ (Sgk).
* Chú ý về tính đơn điệu (hàm nhất biến).
* Các đường tiệm cận: T/c đứng; T/c ngang.
f(x)=(-x+2)/(x+1)
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
* Tính đối xứng của đồ thị: Tâm đối xứng I(-1;-1) là
giao điểm của hai đường tiệm cận.
2) VD6: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số:

12
2
)(
+
−
==
x
x
xfy

* Thực hiện theo sơ đồ (Sgk).
* Chú ý về tính đơn điệu (hàm nhất biến).
* Các đường tiệm cận: T/c đứng; T/c ngang.
* Tính đối xứng của đồ thị: Tâm đối xứng là giao
Lê Văn Ngân – THPT Ea Súp – Năm học 2008 - 2009
4

(Tr 41 sgk)
4) Luyện tập củng cố:
+ Cho 2 HS lên giải BT 3a; b tại lớp.
+ GV hướng dẫn lớp kiểm tra và sửa chữa.
* Dặn dò:
- Ôn tập các kiến thức đã học.
- Giải các BT 1; 2; 3c.
Tiết 15:
* Bài cũ: (10 phút).
CH1:Nêu sơ đồ khảo sát hàm số?
CH2: Nêu tính chất đồ thị của hàm số phân
thức y = f(x) =

ax
( 0, 0)
b
c ad bc
cx d
+
≠ − ≠
+
?
III. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ
THỊ.

1) Hoạt động 6: (10 phút)
BT:Tìm giao điểm của đồ thị hai hàm số:
y = x
2
+ 2x – 3 và y = - x
2
- x + 2.
* Hướng dẫn HS cách giải.
* Nêu cách tìm tọa độ giao điểm của hai đồ
thị y = f(x) và y = g(x) (sgk).
2) Ví dụ 7: (10 phút).
Chứng minh rằng đồ thị hàm số:
1
1
+
−
=
x

x
y
luôn cắt đường thẳng d: y = m – x
với mọi giá trị của m?
CH1: Lập phương trình hoành độ giao điểm
của hai đồ thị?
CH2: Biện luận số nghiệm của phương trình
theo m? (PT luôn có nghiệm với mọi m).
2) Ví dụ 8: (12 phút).
a) Vẽ đồ thị hàm số: y = x
3
+ 3x
2
– 2.
b) Sử dụng đồ thị, biện luận theo m số
nghiệm của phương trình: x
3
+3x
2
– 2 = m.
+ Hướng dẫn HS vẽ đồ thị HS (khảo sát rút
gọn).
+ Hướng dẵn HS biện luận số nghiệm của
phương trình bằng cách cho đường thẳng y
= m chạy từ trên xuống dưới (hoặc từ dưới
lên trên).
Chú ý: Căn cứ vào các giá trị cực trị để biện
luận.
3) Luyện tập củng cố: (13 phút).
* Hướng dẫn HS giải BT5Tr44 (sgk) tại lớp.

+ Vẽ đồ thị hàm số y = -x
3
+ 3x +1.
(Các giá trị cực trị là: y
CĐ
= 3; y
CT
= -1)
+ Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị
với đường thẳng y = m+1 để suy ra số
nghiệm của phương trình.
* Dặn dò:
điểm của hai đường tiệm cận.
3) Bảng tóm tắt các dạng đồ thị của hàm số:
y = f(x) =
ax
( 0, 0)
b
c ad bc
cx d
+
≠ − ≠
+
(Tr 41 sgk)
4) Luyện tập:
* Giải các BT 3a; b tại lớp với sự hướng dẫn của
giáo viên.
* Bài cũ:
* Yêu cầu HS nắm vững sơ đồ khảo sát sự biến
thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

* Yêu cầu HS nắm được tính chất đối xứng; các
đường tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức dạng:
y = f(x) =
ax
( 0, 0)
b
c ad bc
cx d
+
≠ − ≠
+
.
III. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ.
1) BT6: Tìm giao điểm của đồ thị hai hàm số:
y = x
2
+ 2x – 3 và y = -x
2
–x +2.
Kết quả: Có 2 giao điểm là A(1;0) và B(
4
9
;
2
5
−−
)
* Nắm được cách tìm tọa độ giao điểm của hai đồ
thị y = f(x) và y = g(x) (sgk).
2) Ví dụ 7: Chứng minh rằng đồ thị hàm số:

1
1
+
−
=
x
x
y
luôn cắt đường thẳng d: y = m – x với mọi
giá trị của m?
* Giải theo sự hướng dẫn của giáo viên.
* Kết quả: Phương trình hoành độ giao điểm của hai
đồ thị luôn có 2 nghiệm với mọi giá trị của m.
2) Ví dụ 8:
a) Vẽ đồ thị hàm số: y = x
3
+ 3x
2
– 2.
b) Sử dụng đồ thị, biện luận theo m số nghiệm của
phương trình: x
3
+3x
2
– 2 = m.
* Giải theo sự hướng dẫn của giáo viên.
* Kết quả: Đồ thị (xem H25 Tr 43).
+ Nếu m>2: Phương trình có 1 nghiệm.
+ Nếu m = 2: Phương trình có 2 nghiệm.
+ Nếu -2<m<2: Phương trình có 3 nghiệm.

+ Nếu m = -2: Phương trình có 2 nghiệm.
+ Nếu m<-2: Phương trình có 1 nghiệm.
3) Luyện tập: Giải BT 5 Tr44 (sgk) tại lớp.
* Kết quả: Đồ thị (HS tự khảo sát và vẽ).
Biện luận số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và
đường thẳng: y = m + 1.
+) m+1<-1
⇔
m<-2: PT có 1 nghiệm.
+) m+1=-1
⇔
m = -2: PT có 2 nghiệm.
Lê Văn Ngân – THPT Ea Súp – Năm học 2008 - 2009
5