Xấp xỉ nghiệm của bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ vô hạn đếm được ánh xạ gần không giãn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ THU

XẤP XỈ NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN
PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG
CỦA MỘT HỌ VÔ HẠN ĐẾM ĐƯỢC
ÁNH XẠ GẦN KHÔNG GIÃN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN-2015
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ THU

XẤP XỈ NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN
PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG
CỦA MỘT HỌ VÔ HẠN ĐẾM ĐƯỢC
ÁNH XẠ GẦN KHÔNG GIÃN
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. TRƯƠNG MINH TUYÊN

THÁI NGUYÊN-2015
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




i

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong khoa Toán - Tin, trường
Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên nói chung và các thầy cô ở bộ môn
Toán ứng dụng nói riêng đã giảng dạy và dìu dắt tác giả trong suốt thời gian
qua. Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới TS.
Trương Minh Tuyên, thầy đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ tác giả
trong suốt quá trình làm luận văn.
Cuối cùng tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp đã
tận tình giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Học viên

Nguyễn Thị Thu


ii

Mục lục

Một số ký hiệu và viết tắt

1

Mở đầu

3

1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1. Không gian Hilbert và một số đặc trưng . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển . . . . . . . . . . . . .

8

1.3. Một số phương pháp tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ
điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1. Phương pháp gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2. Phương pháp gradient tăng cường . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ
gần không giãn

17

2.1. Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một
họ hữu hạn ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2. Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một
họ vô hạn đếm được ánh xạ gần không giãn . . . . . . . . . . . . 25
Tài liệu tham khảo

34


1

Một số ký hiệu và viết tắt

H

không gian Hilbert

., .

tích vô hướng trong không gian Hilbert H

.

chuẩn trên không gian Hilbert H

I

toán tử đồng nhất trên H

PC

phép chiếu mêtric

R

tập hợp các số thực

R+

tập các số thực không âm

Rn

không gian các số thực n chiều

∩

phép giao

∅

tập rỗng

∀

với mọi x

lim sup xn

giới hạn trên của dãy số {xn }

n→∞

xn −→ x0

dãy {xn } hội tụ mạnh về x0

xn

dãy {xn } hội tụ yếu về x0

x0

Fix(T )

tập điểm bất động của ánh xạ T

f

gradient của phiếm hàm khả vi f


2

Mở đầu

Bài toán "Bất đẳng thức biến phân" được nảy sinh trong quá trình nghiên
cứu và giải các bài toán thực tế như bài toán cân bằng trong kinh tế, tài chính,
bài toán mạng giao thông, lý thuyết trò chơi, phương trình vật lý toán ... Bài
toán này được giới thiệu lần đầu tiên bởi Hartman và Stampacchia vào năm

1966 trong tài liệu [8]. Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu
hạn chiều, cũng như vô hạn chiều cùng với các ứng dụng của nó được giới thiệu
khá chi tiết trong cuốn sách "An Introduction to Variational Inequalities and
Their Applications" của Kinderlehrer D. và Stampacchia G. xuất bản năm 1980
[10].
Từ đó, bài toán bất đẳng thức biên phân được nghiên cứu và phát triển mạnh
mẽ, thu hút sự được sự quan tâm của nhiều người làm toán trong và ngoài nước.
Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của bài toán bất đẳng thức biến
phân là việc xây dựng các phương pháp giải. Có nhiều phương pháp giải đã được
đề xuất như phương pháp gradient, gradient tăng cường hay phương pháp điểm
bất động ...
Một trường hợp đặc biệt của bài toán bất đẳng thức biến phân là bài toán
có dạng: Tìm một phần tử x∗ ∈ C = ∩N
i=1 Ci , sao cho
F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C,
trong đó F là một ánh xạ liên tục từ không gian Hilbert H vào chính nó, Ci ,
i = 1, 2, ..., N là các tập con lồi và đóng trong H. Bài toán này có ý nghĩa quan
trọng trong việc giải bài toán tối ưu lồi có ràng buộc và một trường hợp đặc biệt


3
là bài toán chấp nhận lồi nổi tiếng. Ta xem mỗi tập Ci là tập điểm bất động
của phép chiếu mêtric PCi từ H lên Ci , do đó bài toán trên có thể xem như bài
toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ hữu
hạn ánh xạ không giãn. Ngoài ra, nó cũng đã được nghiên cứu và mở rộng thành
bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ vô
hạn đếm được hay không đếm được ánh xạ không giãn.
Mục đích của luận văn là giới thiệu một số kết quả về bài toán tìm nghiệm
của bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn
ánh xạ không giãn hay vô hạn đếm được ánh xạ gần không giãn trong không

gian Hilbert H.
Luận văn bao gồm 2 chương: Chương 1 nhắc lại một số tính chất đặc trưng
của không gian Hilbert, bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển, cùng với một
số bài toán liên quan và một số phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến
phân. Chương 2 trình bày lại kết quả của các tác giả Buong N. và Duong L. T.
[4] dựa trên phương pháp lặp Mann và phương pháp đường dốc cho bài toán bất
đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn ánh xạ
không giãn và các kết quả nghiên cứu của Sahu D. R., Kang S. M. và Sagar V.
[17] cho bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của
một họ vô hạn đếm được ánh xạ gần không giãn trong không gian Hilbert thực
H. Bên cạnh đó, trong chương này một số ví dụ đơn giản cũng được đề cập
nhằm minh họa thêm cho các phương pháp.


4

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị

Chương này bao gồm 4 mục. Mục 1.1 trình bày về một số tính chất đặc trưng
của không gian Hilbert thực. Mục 1.2 giới thiệu về bài toán bất đẳng thức biến
phân cổ điểm trong không gian hữu hạn chiều, cùng với một số bài toán liên
quan. Mục 1.3 trình bày một số phương pháp cơ bản cho bài toán bất đẳng thức
biến phân như phương pháp gradient hay gradient tăng cường. Mục 1.4 đề cập
đến một số bổ đề quan trọng thường xuyên dùng đến trong chứng minh các kết
quả ở chương sau.

1.1.

Không gian Hilbert và một số đặc trưng

Trong luận văn chúng tôi luôn giả thiết rằng H là không gian Hilbert thực
với tích vô hướng được ký hiệu ., . và chuẩn được xác định bởi: x =

x, x

với mọi x ∈ H.
Trong mục này chúng tôi đề cập đến một số vấn đề cơ bản về hội tụ mạnh, hội
tụ yếu, tập lồi, tập đóng, tập compact,...
Định nghĩa 1.1. Cho H là một không gian Hilbert. Dãy {xn } được gọi là hội
tụ mạnh tới phần tử x ∈ H, ký hiệu xn → x, nếu ||xn − x|| → 0 khi n → ∞.
Định nghĩa 1.2. Dãy {xn } trong không gian Hilbert H được gọi là hội tụ yếu
tới phần tử x ∈ H, ký hiệu xn

x, nếu xn , y → x, y khi n → ∞ với mọi


5
y ∈ H.
Chú ý 1.1. a) Trong không gian Hilbert H, hội tụ mạnh kéo theo hội tụ yếu,
nhưng điều ngược lại không đúng.
b) Mọi không gian Hilbert đều có tính chất Kadec-Klee, tức là nếu dãy {xn }
trong không gian Hilbert H thỏa mãn các điều kiện xn → x và xn

x, thì

xn → x khi n → ∞.
Định nghĩa 1.3. Cho C là một tập con của không gian Hilbert H. Khi đó C
được gọi là:
a) tập lồi nếu λx + (1 − λ)y ∈ C với mọi x, y ∈ C và mọi λ ∈ [0, 1];

b) tập đóng nếu mọi dãy {xn } ⊂ C thỏa mãn xn → x khi n → ∞, ta đều có
x ∈ C;
c) tập đóng yếu nếu mọi dãy {xn } ⊂ C thỏa mãn xn

x khi n → ∞, ta đều

có x ∈ C;
d) tập compact nếu mọi dãy {xn } ⊂ C đều có một dãy con hội tụ về một
phần tử thuộc C;
e) tập compact tương đối nếu mọi dãy {xn } ⊂ C đều có một dãy con hội tụ;
f) tập compact yếu nếu mọi dãy {xn } ⊂ C đều có một dãy con hội tụ yếu về
một phần tử thuộc C;
g) tập compact tương đối yếu nếu mọi dãy {xn } ⊂ C đều có một dãy con hội
tụ yếu.
Nhận xét 1.1. a) Mọi tập compact đều là tập compact tương đối, nhưng điều
ngược lại không đúng.
b) Mọi tập đóng yếu đều là tập đóng, nhưng điều ngược lại không đúng.


6
Mệnh đề 1.1. [1] Trong không gian Hilbert H, mọi tập lồi, đóng và bị chặn đều
là tập compact yếu.
Tiếp theo, chúng tôi trình bày về phép chiếu mêtric trong không gian Hilbert.
Mệnh đề 1.2. Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert
H. Khi đó với mọi x ∈ H, tồn tại duy nhất PC x ∈ C sao cho x − PC x =
inf x − u .

u∈C

Chứng minh. Thật vậy, đặt d = inf x − u . Khi đó, tồn tại {un } ⊂ C sao cho

u∈C

x − un −→ d, n −→ ∞. Từ đó ta có
un − um

2

= (x − un ) − (x − um )
= 2 x − un
≤ 2( x − un

2

2

+ 2 x − um
2

2

un + um
−4 x−
2

2

2

+ x − um ) − 4d2

−→ 0,
khi n, m −→ ∞. Do đó {un } là dãy Cauchy trong H. Suy ra tồn tại u =
lim un ∈ C. Do chuẩn là hàm số liên tục nên x − u = d. Giả sử tồn tại v ∈ C

n→∞

sao cho x − v = d. Ta có
u−v

2

= (x − u) − (x − v)
= 2( x − u

2

2
2

+ x−v )−4 x−

u+v
2

2

≤ 0.
Suy ra u = v. Vậy tồn tại duy nhất một phần tử PC x ∈ C sao cho x − PC x =
inf u∈C x − u .
Định nghĩa 1.4. Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian

Hilbert H. Ánh xạ PC :

H −→ C xác định bởi H

x → PC x sao cho

x − PC x = inf u∈C x − u được gọi là phép chiếu mêtric từ H lên C.


7
Mệnh đề 1.3. Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert
H. Cho PC : H −→ C là một ánh xạ. Khi đó, các phát biểu sau là tương đương:
a) PC là phép chiếu mêtric từ H lên C;
b) y − PC x, x − PC x ≤ 0 với mọi x ∈ H và y ∈ C;
Chứng minh. Thật vậy, giả sử PC là phép chiếu mêtric từ H lên C, tức là
x − PC x = inf u∈C x − u . Với mọi x ∈ H, y ∈ C và với mọi α ∈ (0, 1), đặt
yα = αy + (1 − α)PC x. Vì C lồi nên yα ∈ C và do đó
x − P C x ≤ yα − x .
Điều này tương đương với
x − PC x

2

≤ α(y − PC x) − (x − PC x)
= α 2 y − PC x

2

+ x − PC x

2
2

− 2α y − PC x, x − PC x .

Từ đó, ta nhận được
2

2 y − PC x, x − PC x ≤ α y − PC x .
Cho α −→ 0+ , ta được y − PC x, x − PC x ≤ 0.
Ngược lại, giả sử b) đúng. Với mọi x ∈ H và mọi y ∈ C, ta có
x − PC x

2

= x − y + y − PC x

2

= x−y

2

+ 2 x − y, y − PC x + y − PC x

2

= x−y

2

+ 2 x − PC x, y − PC x − y − PC x

2

≤ x − y 2.
Do đó, x−PC x = inf u∈C x−u , hay PC là phép chiếu mêtric từ H lên C.
Ví dụ 1.1. Cho C = {x ∈ H : x, u = y}, với u = 0. Khi đó
PC x = x +

y − x, u
u

2

u.


8
Ví dụ 1.2. Cho C = {x ∈ H : x − a ≤ R}, trong đó a ∈ H là một phần tử
cho trước và R là một số dương. Khi đó, ta có:



x nếu x − a ≤ R,
PC x =
R


a +

(x − a) nếu x − a > R.
x−a

1.2.

Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển

Trong mục này, chúng tôi đề cập đến bài toán bất đẳng thức biến phân trên
không gian hữu hạn chiều Rn và một số bài toán liên quan.
Cho C là một tập con lồi và đóng của Rn và F : C −→ Rn là một ánh xạ
liên tục. Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển của ánh xạ đơn trị được phát
biểu như sau:
Tìm x∗ ∈ C sao cho
F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C.

(1.1)

Tập hợp những điểm x∗ ∈ C thỏa mãn (1.1) được gọi là tập nghiệm của bài
toán và ký hiệu là V I(F, C).
Sự tồn tại nghiệm của bài toán (1.1) được cho bởi định lý dưới đây:
Định lí 1.1. Cho C là một tập lồi và compact trong Rn và F : C −→ Rn là
một ánh xạ liên tục. Khi đó, bài toán (1.1) có ít nhất một nghiệm.
Chứng minh. Đặt PC là phép chiếu mêtric từ Rn lên C. Khi đó, PC (I − γF )
là một ánh xạ liên tục từ C vào chính nó, với I là ánh xạ đồng nhất trên Rn
và γ > 0. Theo nguyên lý điểm bất động Brouwer, tồn tại x∗ ∈ C sao cho
PC (x∗ − γF (x∗ )) = x∗ . Theo Mệnh đề 1.3, F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 với mọi x ∈ C
hay x∗ là nghiệm của bài toán (1.1).
Bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.1) có mối quan hệ mật thiết với một số

9
bài toán khác như là: Hệ phương trình, bài toán tối ưu, bài toán bù và bài toán
điểm bất động.
Hệ phương trình
Nhiều vấn đề cân bằng kinh tế cổ điển đã được mô hình như một hệ phương
trình, vì điều kiện thanh toán bù trừ thị trường, nhất thiết phải có sự cân bằng
giữa cung và cầu. Bài toán bất đẳng thức biến phân có thể xem như một hệ
phương trình thông qua mệnh đề dưới đây:
Mệnh đề 1.4. Phần tử x∗ ∈ Rn là nghiệm của bài toán V I(F, Rn ) khi và chỉ
khi F (x∗ ) = 0.
Chứng minh. Nếu F (x∗ ) = 0, thì hiển nhiên x∗ là một nghiệm của bài toán
V I(F, Rn ).
Ngược lại, giả sử x∗ là một nghiệm của bài toán V I(F, Rn ), tức là
F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0,
với mọi x ∈ Rn . Chọn x = x∗ − F (x∗ ), ta được − F (x∗ )

2

= 0, suy ra F (x∗ ) =

0.
Bài toán tối ưu
Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng của Rn và f : C −→ R là một phiếm
hàm lồi trên C. Xét bài toán sau:
Tìm x∗ ∈ C sao cho
f (x∗ ) = min{f (x)|x ∈ C}.

(1.2)

Mệnh đề sau đây cho biết mối quan hệ giữa bài toán (1.2) và bất đẳng thức biến

phân cổ điển.
Mệnh đề 1.5. Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng của Rn và f : C −→ R là
một phiếm hàm lồi, khả vi trên C. Khi đó, x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.2)
khi và chỉ khi x∗ là nghiệm của Bài toán (1.1), với F (x) =

f (x).


10
Chứng minh. Giả sử x∗ là nghiệm của Bài toán (1.2). Đặt ϕ(t) = f (x∗ +t(x−x∗ ))
với t ∈ [0, 1]. Khi đó, ϕ đạt cực tiểu tại t = 0, do đó 0 ≤ ϕ (0) =
hay x∗ là nghiệm của Bài toán (1.1), với F (x) =

f (x∗ ), x−x∗ ,

f (x).

Ngược lại, giả sử x∗ là nghiệm của Bài toán (1.1), với F (x) =

f (x). Vì f là

hàm lồi, nên
f (x) ≥ f (x∗ ) +

f (x∗ ), x − x∗ ,

với mọi x ∈ C. Từ đó suy ra f (x) ≥ f (x∗ ) với mọi x ∈ C, hay x∗ là nghiệm của
Bài toán (1.2).
Bài toán bù
Cho F : Rn −→ Rn là một ánh xạ. Bài toán bù phi tuyến trên Rn+ là một

hệ bao gồm các phương trình và bất phương trình có dạng sau:
Tìm x∗ ≥ 0 sao cho:
F (x∗ ) ≥ 0 và F (x∗ ), x∗ = 0.

(1.3)

Khi F là một ánh xạ affine, tức là F (x) = M x + b, với M là ma trận cỡ n × n
và b là véc tơ cỡ n × 1, thì (1.3) được gọi là bài toán bù tuyến tính.
Mối quan hệ giữa bài toán bù và bài toán bất đẳng thức biến phân được cho
bởi mệnh đề dưới đây:
Mệnh đề 1.6. Bài toán V I(F, Rn+ ) và Bài toán (1.3) có cùng tập nghiệm.
Chứng minh. Giả sử x∗ là nghiệm của V I(F, Rn+ ), tức là
F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0,

(1.4)

với mọi x ∈ Rn+ .
Trong (1.4), thay x bởi x∗ + ei , với i = 1, 2, ..., n và {e1 , e2 , ..., en } là cơ sở chính
tắc của Rn , ta được Fi (x∗ ) ≥ 0 với Fi (x∗ ) là tọa độ thứ i của F (x∗ ). Do đó,
F (x∗ ) ≥ 0.


11
Trong (1.4), lần lượt thay x bởi 2x∗ và 0, ta nhận được
F (x∗ ), x∗ ≥ 0, F (x∗ ), −x∗ ≥ 0.

(1.5)

Suy ra F (x∗ ), x∗ = 0. Do đó x∗ là một nghiệm của Bài toán (1.3).
Ngược lại, giả sử x∗ là nghiệm của Bài toán (1.3). Vì x ∈ Rn+ nên

F (x∗ ), x − x∗ = F (x∗ ), x − F (x∗ ), x∗ ≥ 0,
hay x∗ là nghiệm của bài toán V I(F, Rn+ ).
Bài toán điểm bất động
Mệnh đề sau đây cho biết mối quan hệ giữa bài toán điểm bất động với bất
đẳng thức biến phân cổ điển.
Mệnh đề 1.7. Phần tử x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.1) khi và chỉ khi x∗
là điểm bất động của ánh xạ PC (I − γF ), với mọi γ > 0 và I là ánh xạ đồng
nhất trên Rn .
Chứng minh. Suy ra trực tiếp từ Mệnh đề 1.3.

1.3.

Một số phương pháp tìm nghiệm cho bất đẳng thức
biến phân cổ điển

Trong mục trên chúng ta vừa trình bày sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức
biến phân cổ điển trong không gian Rn . Các kết quả trên đã được nghiên cứu
và mở rộng trong không gian Hilbert. Dưới đây, chúng tôi sẽ trình bày một số
phương pháp tìm nghiệm cho bài toán bất đảng thức biến phân trong không
gian Hilbert.
Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert H và
F : C −→ H là một ánh xạ. Xét bài toán sau:
Tìm x∗ ∈ C sao cho:
F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 với mọi x ∈ C.

(1.6)


12
Trước hết chúng ta nhắc lại một số khái niệm sau.

Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập lồi đóng khác rỗng của H
và F : C −→ H là một ánh xạ từ C vào H.
• Ánh xạ F được gọi là đơn điệu trên C nếu, với mọi x, y ∈ C ta có:
F (x) − F (y), x − y ≥ 0.
• Ánh xạ F được gọi là giả đơn điệu trên C nếu, với mọi x, y ∈ C ta có:
F (y), x − y ≥ 0 suy ra F (x), x − y ≥ 0.
• Ánh xạ F được gọi là α−đơn điệu mạnh trên C, nếu tồn tại một hằng số
α > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta có:
F (x) − F (y), x − y ≥ α x − y 2 .
• Ánh xạ F được gọi là α-ngược đơn điệu mạnh trên C, nếu tồn tại một
hằng số α > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta có:
F (x) − F (y), x − y ≥ α F (x) − F (y) 2 .
• Ánh xạ F được gọi là h-liên tục trên C nếu F (x + ty)

F (x) khi t −→ 0+

sao cho với mọi x, y ∈ C.
• Ánh xạ F được gọi là L-liên tục Lipschitz trên C, nếu tồn tại một hằng số
L > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta có:
F (x) − F (y) ≤ L x − y .
Nếu L = 1 thì ánh xạ F là một ánh xạ không giãn trên C, tức ánh xạ F thỏa
mãn
F (x) − F (y) ≤ x − y


13
với mọi x, y ∈ C.
Dễ dàng thấy rằng, nếu ánh xạ F là α-ngược đơn điệu mạnh thì ánh xạ F là
một ánh xạ đơn điệu và liên tục Lipschitz. Sau đây là một số phương pháp tìm
nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.1) trong không gian Hilbert.

1.3.1.

Phương pháp gradient

Từ Mệnh đề 1.3, tương tự như Mệnh đề 1.7, ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.8. Phần tử x∗ ∈ C là nghiệm của bất đẳng thức biến phân cổ điển
(1.6) nếu và chỉ nếu
x∗ = PC (x∗ − λF (x∗ ))

(1.7)

ở đây λ > 0 là một hằng số.
Dựa vào kết quả này, khi F là ánh xạ đơn điệu mạnh và Lipschitz, năm 1967
Lions J. L. và Stampacchia G. [12] đã đề xuất phương pháp gradient, để xác
định nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.6). Với phương pháp lặp
được xác định như sau:
x0 ∈ C, xn+1 = PC (xn − λF (xn )), n = 0, 1, 2...

(1.8)

Gần đây, Bnouhachem A. và các cộng sự [3] cũng đề xuất một kết quả mới để
tìm nghiệm cho bài toán (1.6). Họ xây dựng dãy lặp xác định như sau:
x0 ∈ C, xn+1 = PC (xn − λF (xn+1 )), n = 0, 1, 2...

(1.9)

và chứng minh được dãy lặp (1.9) hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất x∗ của bài
toán (1.6).
1.3.2.

Phương pháp gradient tăng cường

Như đã biết, phương pháp gradient chỉ cho sự hội tụ mạnh khi ánh xạ F
đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz. Một số nhà toán học đã áp dụng mở rộng


14
phương pháp gradient tăng cường, được đề xuất bởi Korpelevich G. M. [11], để
tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.6) và đã chứng minh được
các phương pháp này hội tụ mạnh khi ánh xạ F chỉ có tính chất đơn điệu, thậm
chí là giả đơn điệu (xem[15], [16]). Với phương pháp này dãy lặp {xn } được xác
định theo công thức sau:
x0 = x ∈ C,
yn = PC (xn − λF (xn )),

(1.10)

xn+1 = PC (xn − λF (yn )), n = 0, 1, 2...
trong đó λ ∈ (0, 1/L) với L là hằng số liên tục Lipschitz của ánh xạ F và họ
đã chứng minh được sự hội tụ mạnh của các dãy lặp {xn } và {yn } xác định bởi
(2.2) tới nghiệm x∗ của bài toán (1.6).
Năm 2006, cải tiến phương pháp gradient tăng cường, Nadezhkina N. và Takahashi W. [14] đã đề xuất một phương pháp mới để tìm nghiệm chung cho bất
đẳng thức biến phân cổ điển và bài toán tìm điểm bất động của một ánh xạ
không giãn trong không gian Hilbert. Kết quả đó được trình bày trong định lý
sau.
Định lí 1.2. [14] Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert
H, F : C −→ H là một ánh xạ đơn điệu và L-liên tục Lipschitz trên C. Giả sử
T : C −→ C là một ánh xạ không giãn, sao cho F ix(T ) ∩ V I(F, C) = ∅. Với x0
tùy ý thuộc C, các dãy lặp {xn } và {yn } xác định bởi:
x0 = x ∈ C,

yn = PC (xn − λn F (xn )),

(1.11)

xn+1 = αn xn + (1 − αn )T PC (xn − λn F (yn )), n = 0, 1, 2...
trong đó, λn ⊂ [a, b], với a, b ∈ (0, 1/L) và {αn } ⊂ [c, d], với c, d ∈ (0, 1). Khi
đó, các dãy lặp {xn } và {yn } hội tụ yếu tới x∗ ∈ F ix(T ) ∩ V I(F, C), với
x∗ = lim PF ix(T )∩V I(F,C) (xn ).
n→∞


15

Cùng với kết quả của Nadezhkina N. và Takahashi W., năm 2006 Zeng L. C. và
Yao J. C. [5] cũng có một kết quả khác. Kết quả đó được trình bày trong định
lý sau.
Định lí 1.3. [5] Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert
H, F : C −→ H là một ánh xạ đơn điệu và L-liên tục Lipschitz trên C. Giả sử
T : C −→ C là một ánh xạ không giãn sao cho F ix(T ) ∩ V I(F, C) = ∅. Với x0
tùy ý thuộc C, các dãy lặp {xn } và {yn } xác định bởi
x0 = x ∈ C,
yn = PC (xn − λn F (xn )),

(1.12)

xn+1 = αn x0 + (1 − αn )T PC (xn − λn F (yn )), n = 0, 1, 2...
trong đó các dãy số {λn } và {αn } thỏa mãn điều kiện sau:
i) {λn L} ⊂ (0, 1 − δ) với δ ∈ (0, 1);
∞
n=0 αn

ii) {αn } ∈ (0, 1),

= ∞ và limn→∞ αn = 0.

Khi đó, các dãy {xn } và {yn } hội tụ mạnh tới phần tử PF ix(T )∩V I(F,C) (x0 ) với
điều kiện
lim xn − xn+1 = 0.

n→∞

1.4.

Một số bổ đề bổ trợ

Để trình bày kết quả chính trong mục này, chúng tôi cần nêu lại một số kết
quả bổ trợ sau đây.
Bổ đề 1.1. [9] Cho H là một không gian Hilbert. Khi đó với mọi x, y ∈ H ta
có:
i) x + y

2

≤ x

2

+ 2 y, x + y ;

16
2

ii) (1 − t)x + ty

2

= (1 − t) x

2

+t y

− t(1 − t) x − y 2 ,

với mỗi t ∈ [0, 1].
Bổ đề 1.2. [2] T λ x − T λ y ≤ (1 − λτ ) x − y , với λ ∈ (0, 1) và µ ∈ (0, L2η2 ),
trong đó τ = 1 −

1 − µ(2η − µL2 ) ∈ (0, 1) và T λ x = (I − λµF )x, ∀x ∈ H.

Bổ đề 1.3. [13] Cho {xn }n∈N và {zn }n∈N là các dãy bị chặn trong không gian
Banach E sao cho xn+1 = (1 − βk )xn + βn zn , với βn ∈ [0, 1], n ≥ 0 và thỏa mãn
điều kiện
0 < lim inf βn < lim sup βn < 1.
n→∞

n→∞

Giả sử rằng

lim sup zn+1 − zn − xn+1 − xn ≤ 0.
n→∞

Khi đó,
lim xn − zn = 0.

n→∞

Bổ đề 1.4. [19] Cho {an } là một dãy số các số thực không âm thỏa mãn tính
chất
an+1 ≤ (1 − λn )an + λn βn + σn , ∀n ≥ 0
trong đó {λn }, {βn } và {σn } thỏa mãn các điều kiện
i)

∞
n=0 λn

= ∞;

ii) lim supn→∞ βn ≤ 0 hoặc
iii) σn ≥ 0, ∀n ≥ 0 và

∞
n=0 |λn βn |

∞
n=0 σn

< ∞;

< ∞.

Khi đó {an } hội tụ đến 0 khi n −→ ∞.
Bổ đề 1.5. [7] Cho T là một ánh xạ không giãn trên tập con lồi đóng C của
không gian Hilbert H. Nếu T có ít nhất một điểm bất động thì I −T là demi-đóng.


17

Chương 2
Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động
của ánh xạ gần không giãn

Trong chương này, trước hết ở Mục 2.1 chúng tôi giới thiệu một kết quả của
các tác giả Buong N. và Duong L.T. trong tìa liệu [4] cho bài toán tìm nghiệm
của bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của một họ hữu hạn ánh
xạ không giãn. Mục 2.2 của chương này trình bày kết quả của các tác giả Sahu
D.R., Kang S. M., Sagar V. trong tài liệu [17] cho bài toán tìm nghiệm của bất
đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ vô hạn đếm được
ánh xạ gần không giãn. Ngoài ra, chúng tôi cũng trình bày một số ví dụ cùng
với thử nghiệm chạy số trên phần mềm Matlab nhằm minh họa thêm cho các
phương pháp.

2.1.

Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động
chung của một họ hữu hạn ánh xạ không giãn

Cho H là một không gian Hilbert, F : H −→ H là một ánh xạ đơn điệu
mạnh và liên tục Lipschitz. Giả {Ti }N

i=1 là một họ hữu hạn các ánh xạ không
∗
giãn trên H sao cho F = ∩N
i=1 F ix(Ti ) = ∅. Xét bài toán: Tìm p ∈ F sao cho

F (p∗ ), p − p∗ ≥ 0 ∀p ∈ F.

(2.1)


18
Để giải bài toán (2.1), các tác giả Buong N. và Duong L.T. đã xây dựng dãy lặp
{xn } xác định bởi x0 ∈ H và
yn0 = xn , ∀n ≥ 0
yni = (1 − βni )yni−1 + βni Ti (yni−1 ), i = 1, 2, ..., N,

(2.2)

xn+1 = (1 − βn0 )xn + βn0 (I − λn µF )ynN , n ≥ 0,
ở đây {λn } và {βni }, với i = 0, 1, ..., N , là các dãy số thực thỏa mãn {λn } ⊂ (0, 1),
{βni } ⊂ (λ, β) với α, β ∈ (0, 1), n ≥ 0 và
∞
i
λn = ∞; lim |βn+1
− βni | = 0.

lim λn = 0;

n→∞

n=1

n→∞

(2.3)

Dãy lặp (2.2) có thể viết dưới dạng sau:
xn+1 = (1 − βn0 )xn + βn0 T0n .TNn ...T1n xn ,

(2.4)

trong đó Tin = (1 − βni )I + βni Ti , với i = 1, 2, ..., N và T0n = I − λn µF .
Ta có kết quả sau.
Định lí 2.1. [4] Cho H là một không gian Hilbert và F : H −→ H là một ánh xạ
L-liên tục Lipschitz và η-đơn điệu mạnh. Giả sử {Ti }N
i=1 là một họ hữu hạn các
ánh xạ không giãn trên H, sao cho F = ∩N
i=1 F ix(Ti ) = ∅. Khi đó, dãy {xn }n∈N
xác định bởi (2.2) thỏa mãn điều kiện (2.3) hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất p∗
của bất đẳng thức biến phân
F (p∗ ), p − p∗ ≥ 0 ∀p ∈ F.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh dãy {xn }n∈N bị chặn. Thật vậy, theo
(2.2), với mỗi p ∈ F và n ≥ 1 ta có:
yn1 − p = (1 − βn1 )yn0 + βn1 T1 yn0 − p
= (1 − βn1 )(yn0 − p) + βn1 (T1 yn0 − T1 p)
≤ (1 − βn1 ) yn0 − p + βn1 yn0 − p
= yn0 − p = xn − p .


19

Do đó
yni − p = (1 − βni )(yni−1 − p) + βni (Ti yni−1 − Ti p)
≤ (1 − βni ) yni−1 − p + βni yni−1 − p = yni−1 − p
..
.
≤ yn0 − p = xn − p , i = 1, 2, ...N.
Theo Bổ đề 1.2 ta có:
xn+1 − p = (1 − βn0 )xn + βn0 (I − λn µF )ynN − p
= (1 − βn0 )(xn − p) + βn0 [(I − λn µF )ynN − p]
= (1 − βn0 )(xn − p) + βn0 [T λn ynN − T λn p + λn µF (p)]
≤ (1 − βn0 ) xn − p + βn0 [(1 − λn τ ) ynN − p + λn µ F (p) ]
≤ (1 − βn0 ) xn − p + βn0 [(1 − λn τ ) xn − p + λn µ F (p) ]
µ
= (1 − βn0 λn τ ) xn − p + βn0 λn τ F (p) .
τ
Đặt
Mp = max{ x0 − p ,

µ
F (p) }
τ

thì ta có x0 − p ≤ Mp . Do đó, nếu xn − p ≤ Mp thì yni − p ≤ Mp với
i = 1, 2, ..., N . Vì vậy,
xn+1 − p ≤ (1 − βn0 λn τ )Mp + βn0 λn τ Mp = Mp .
Điều đó chứng tỏ dãy {xn }n∈N bị chặn. Từ đó suy ra các dãy {F (ynN )}n∈N ,
{yni }n∈N và {Ti yni−1 }n∈N đều bị chặn. Vậy, tồn tại một hằng số dương M1 sao
cho xn ≤ M1 , F (ynN ) ≤ M1 , yni ≤ M1 và Ti yni−1 ≤ M1 với n ≥ 0 và
i = 1, 2, ..., N .
Đặt

zn = (I − λn µF )ynN .
Khi đó, từ (2.2) ta có
xn+1 = (1 − βn0 )xn + βn0 zn


20
và
N
zn+1 − zn = (I − λn+1 µF )yn+1
− (I − λn µF )ynN
N
N
= (yn+1
− ynN ) + λn µF ynN − λn+1 µF yn+1
N
≤ yn+1
− ynN + M1 (λn + λn+1 )µ
N
N −1
N
N −1
= [(1 − βn+1
)yn+1
+ βn+1
TN yn+1
] − [(1 − βnN )ynN −1 + βnN TN ynN −1 ]

+ M1 (λn + λn+1 )µ
N
N −1

N
N −1
≤ (1 − βn+1
) yn+1
− ynN −1 + βn+1
TN yn+1
− TN ynN −1
N
+ 2|βn+1
− βnN |M1 + M1 (λn + λn+1 )µ
N
N −1
− βnN | + M1 (λn + λn+1 )µ
≤ yn+1
− ynN −1 + 2M1 |βn+1

..
.
N

≤

0
yn+1

−

yn0

i

|βn+1
− βni | + M1 (λn + λn+1 )µ

+ 2M1
i=1
N

i
|βn+1
− βni | + M1 (λn + λn+1 )µ.

= xn+1 − xn + 2M1
i=1

Vì vậy
zn+1 − zn − xn+1 − xn ≤ 2M1 (λn + λn+1 )µ.
i
Theo điều kiện (2.3), limn→∞ λn = 0 và limn→∞ |βn+1
−βni | = 0 với i = 1, 2, ..., N ,

nên ta có:
lim sup zn+1 − zn − xn+1 − xn ≤ 0.
n→∞

Theo Bổ đề 1.3 suy ra
lim xn − zn = 0,

n→∞

hay

lim xn − (I − λn µF )ynN = 0.

n→∞

Mặt khác, ta lại có
xn − ynN = xn − ynN + λn µF ynN − λn µF ynN


21
= xn − (I − λn µF )ynN − λn µF ynN
≤ xn − (I − λn µF )ynN + λn µ F ynN
≤ xn − (I − λn µF )ynN + λn µM1 → 0 khi n → ∞.
Do đó
xn − ynN → 0 khi n → ∞.
Tiếp theo ta sẽ chứng minh
xn − Ti xn → 0, với i = 1, 2, ..., N.
Để chứng minh điều đó, trước hết ta chỉ ra
yni−1 − Ti yni−1 → 0.
Giả sử {xl }l∈N là một dãy con của dãy {xn }k∈N sao cho
lim sup yni−1 − Ti yni−1 = lim yli−1 − Ti yli−1
l→∞

n→∞

và giả sử {xnj }j∈N là một dãy con của dãy {xl }l∈N sao cho
lim sup xl − p = lim xnj − p .
l→∞

j→∞

Ta có
xnj − p = xnj − znj + (I − λnj µF )ynNj − p
≤ xnj − znj + (I − λnj µF )ynNj − p
≤ xnj − znj + (1 − λnj τ ) ynNj − p + λnj µ F (p)
≤ xnj − znj + ynNj − p + λnj µ F (p)
≤ xnj − znj + ynNj−1 − p + λnj µ F (p)
≤ ...
≤ |nnj − znj + xnj − p + λnj µ F (p) .