5 2 phương trình bậc hai với hệ số thực

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 5 - SỐ PHỨC

Bài 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
VỚI HỆ SỐ THỰC TRÊN TẬP SỐ PHỨC
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Căn bậc hai của số phức: Cho số phức w . Mỗi số phức z thỏa mãn z 2  w được gọi là một căn
bậc hai của w .
2. Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cho phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0  a, b, c  ; a  0  . Xét   b 2  4ac , ta có
   0 : phương trình có nghiệm thực x  

b
.
2a

   0 : phương trình có hai nghiệm thực được xác định bởi công thức: x1,2 

b  
.
2a

   0 : phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức: x1,2 

b  i |  |
.
2a

 Chú ý.
 Mọi phương trình bậc n : Ao z n  A1 z n 1  ...  An 1 z  An  0 luôn có n nghiệm phức (không

nhất thiết phân biệt).
 Hệ thức Vi–ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực: Cho phương trình bậc hai
ax 2  bx  c  0  a  0  có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 (thực hoặc phức). Ta có hệ thức Vi–ét
b

S  x1  x2   a

 P  x .x  c
1 2

a
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
1. Dạng 1: Tìm căn bậc hai của một số phức
 Trường hợp w là số thực: Nếu a là một số thực
+ a  0, a có các căn bậc hai là i | a | .
+ a  0 , a có đúng một căn bậc hai là 0.
+ a  0 , a có hai căn bậc hai là  a .
Ví dụ 1: Ta có hai căn bậc hai của – 1 là i và i . Hai căn bậc hai của a 2 ( a là số thực khác 0) là
ai và ai .
 Trường hợp w  a  bi  a, b  , b  0 
Gọi z  x  yi  x, y    là một căn bậc hai của w khi và chỉ khi z 2  w , tức là
 x2  y 2  a
2
2
2
x

yi

a


bi

x

y

2
xyi

a

bi




2 xy  b

Mỗi cặp số thực  x; y  nghiệm đúng hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai x  yi của số
phức w  a  bi .
Ví dụ 2: Tìm các căn bậc hai của w  5  12i .
Gọi z  x  yi  x, y    là một căn bậc hai của số phức w  5  12i .

Chủ đề 5.2 – Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cần file Word vui lòng liên hệ:

1|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD5

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 5 - SỐ PHỨC

x  2
2

x  4  y  3
 x 2  y 2  5 
2
2

Ta có z  w   x  yi   5  12i  

6 
 x  2
2 xy  12
y  x


  y  3
Vậy w  5  12i có hai căn bậc hai là 2  3i và 2  3i .
2. Dạng 2: Giải phương trình bậc hai với hệ số thực và các dạng toán liên quan
 Giải các phương trình bậc hai với hệ số thực
Ví dụ 3: Giải phương trình bậc hai sau: z 2  z  1  0
Ta có   b 2  4ac  3  0

1 i 3
.

2
 Giải phương trình quy về phương trình bậc hai với hệ số thực
Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
– Bước 1: Nhẩm 1 nghiệm đặc biệt của phương trình.
+ Tổng các hệ số trong phương trình là 0 thì phương trình có một nghiệm x  1 .
+ Tổng các hệ số biến bậc chẵn bằng tổng các hệ số biến bậc lẻ thì phương trình có một nghiệm
x  1 .
+ Định lý Bơdu:
Phần dư trong phép chia đa thức f  x  cho x  a bằng giá trị của đa thức f  x  tại x  a.
Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt là x1,2 

Tức là f  x    x  a  g  x   f  a 
Hệ quả: Nếu f  a   0 thì f  x   x  a 
Nếu f  x   x  a  thì f  a   0 hay f  x   0 có một nghiệm x  a.
– Bước 2: Đưa phương trình về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai bằng cách hân tích đa thức ở
vế trái của phương trình thành nhân tử (dùng hẳng đảng thức, chia đa thức hoặc sử dụng lược đồ
Hoocne) như sau:
Với đa thức
f  x   an x n  an 1 x n 1  ...  a1 x  a0 chia cho x  a có thương là
g  x   bn 1 x n 1  bn  2 x n 2  ...  b1 x  b0 dư r

an
a bn1  an

an 1

an  2

a2

a1

a0

bn 2  abn 1  an  2

bn3  abn 2  an3

b1  ab2  a2

b0  ab1  a1

r  ab0  b0

– Bước 3: Giải phương trình bậc nhất hoặc bậc hai, kết luận nghiệm
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ:
– Bước 1: Phân tích phương trình thành các đại lượng có dạng giống nhau.
– Bước 2: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện của ẩn phụ (nếu có).
– Bước 3: Đưa phương trình ban đầu về phương trình bậc nhất, bậc hai với ẩn mới.
– Bước 4: Giải phương trình, kết luận nghiệm.
C. KỸ NĂNG SỬ DỤNG MÁY TÍNH
1. Chọn chế độ tính toán với số phức: MODE 2 màn hình hiện CMPLX.
Nhập số thuần ảo i : Phím ENG
2. Tìm các căn bậc hai của một số phức
Chủ đề 5.2 – Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cần file Word vui lòng liên hệ:

2|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD5

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 5 - SỐ PHỨC

Ví dụ 5: Khai căn bậc hai số phức z  3  4i có kết quả:
Cách 1:
– Mode 2 (CMPLX)
– Nhập hàm X 2
– Sử dụng phím CALC, nhập từng giá trị vào, giá trị nào ra kết quả bằng z thì ta nhận.
Cách 2:
– Mode 1 (COMP)
– Nhấn Shift + (Pol), ta nhập Pol  3; 4 
– Nhấn Shift – (Rec), ta nhập Re c





X , Y : 2 , ta thu được kết quả X  1; Y  2 .

– Vậy 2 số phức cần tìm là 1  2i và 1  2i .
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1.

Câu 2.

Trong  , phương trình 2 x 2  x  1  0 có nghiệm là
1
1

1
1
A. x1  1  7i ; x2  1  7i .
B. x1  1  7i ; x2  1  7i .
4
4
4
4
1
1
1
1
C. x1  1  7i ; x2  1  7i .
D. x1  1  7i ; x2  1  7i .
4
4
4
4

















Câu 4.

Câu 6.

Câu 7.











D. z1  1  2i; z 2  1  2i .

A. z1  2; z2  1  3i; z3  1  3i .

B. z1  2; z2  1  3i; z3  1  3i .

C. z1  2; z2  1  3i; z3  1  3i .

D. z1  2; z2  1  3i; z3  1  3i .

Trong  , phương trình z  z  2  4i có nghiệm là
B. z  2  4i .

C. z  4  4i .

D. z  5  4i .

Hai giá trị x1  a  bi ; x2  a  bi là hai nghiệm của phương trình:
A. x 2  2ax  a 2  b 2  0 .

B. x 2  2ax  a 2  b 2  0 .

C. x 2  2ax  a 2  b 2  0 .

D. x 2  2ax  a 2  b 2  0 .

[NC] Trong  , phương trình z 2  3iz  4  0 có nghiệm là
 z  3i
z  i
z  1 i
A. 
.
B. 
.
C. 
.
 z  4i
 z  4i
 z  3i

 z  2  3i
D. 
.
z  1 i

Trong  , phương trình z 2  z  1  0 có nghiệm là

 z  3  5i
A. 
.
 z  3  5i
Câu 8.



Trong  , nghiệm của phương trình z 3  8  0 là

A. z  3  4i .
Câu 5.



Khai căn bậc hai số phức z  3  4i có kết quả:
A. z1  1  2i; z 2  1  2i .
B. z1  1  2i; z2  1  2i .
C. z1  1  2i; z 2  1  2i .

Câu 3.




2  3i
z 
2
B. 
.

2  3i
z 

2

 1  5i
z 
2
C. 
.
 1  5i
z 

2

Tính căn bậc hai của số phức z  8  6i ra kết quả:
z  3  i
z  3  i
A. 
.
B. 

.
C.
z  3  i
 z  3  i

 z  3  i
z  3 i .


Chủ đề 5.2 – Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cần file Word vui lòng liên hệ:

 1  3i
z 
2
D. 
.
 1  3i
z 

2
z  3  i
D. 
.
 z  3  i
3|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD5


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

Câu 9.

CHUYÊN ĐỀ 5 - SỐ PHỨC

Trong  , nghiệm của phương trình z 2  5  0 là
z  5
A. 
.
 z   5

 z  4 5i
B. 
.
 z   4 5i

C.

5i .

D.  5i .

Câu 10. Trong  , nghiệm của phương trình z 2  5  12i là
 z  2  3i
A. 
.
B. z  2  3i .
C. z  2  3i .
 z  2  3i
Câu 11. Trong  , nghiệm của phương trình z 2  4 z  5  0 là
 z  2  i

A. z  2  i .
B. z  2  i .
C. 
.
 z  2  i
Câu 12. Trong  , tập nghiệm của phương trình z 2  2 z  1  2i  0 là
A. S  2  i;  i .
B. S  i  2;  i .
C. S  2  i; 2  i .
Câu 13. Cho z  3  4i . Tìm căn bậc hai của z .
A. 2  i và 2  i .
C. 2  i và 2  i .

 z  2  3i
D. 
.
 z  2  3i

D. z  2  i .

D. S  2  i;  i .

B. 2  i và 2  i .
D.

3  2i và  3  2i .

Câu 14. [NC] Cho z  1  i . Tìm căn bậc hai dạng lượng giác của z :
A.

4

B.


 

2  cos
 i sin
 và
8
8 




2  cos  i sin  .
4
4


4

7
7

2  cos
 i sin
8
8




 

2  cos
 i sin
.
4
4 







D. 4 2  cos  i sin  và 4 2  cos
 i sin
8
8
8
8




.


C.


.


Câu 15. [NC] Trong  , phương trình  z 2  i  z 2  2iz  1  0 có nghiệm là

3
3
1  2i  ;  2  i  ; 4i .
2
2

C.

B. 1  i ; 1  i ; 2i .

2 1  i 
2
,
 1  i  , i .
2
2

A.

D. 1  2i ; 15i ; 3i .

Câu 16. Trong  , phương trình z 4  6 z 2  25  0 có nghiệm là

A. 8;  5i .

B. 3;  4i .

Câu 17. Trong  , phương trình z 





A. 1  3 i .

C. 5;  2i .

D.   2  i  ;   2  i  .

1
 2i có nghiệm là
z





B. 5  2 i .





C. 1  2 i .





D. 2  5 i .

Câu 18. Trong  , phương trình z 3  1  0 có nghiệm là
A. 1 ;

2i 3
.
2

B. 1 ;

1 i 3
.
2

C. 1 ;

1 i 5
.
4

Chủ đề 5.2 – Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cần file Word vui lòng liên hệ:

D. 1 ;

5i 3
.
4

4|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD5


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 5 - SỐ PHỨC

Câu 19. Trong  , phương trình z 4  1  0 có nghiệm là
A. 1;  2i .
B. 2;  2i .
C. 3;  4i .

D. 1;  i .

Câu 20. Trong  , căn bậc hai của 121 là
A. 11i .
B. 11i .

D. 11i và 11i .

C. 11 .

Câu 21. Phương trình 8 z 2  4 z  1  0 có nghiệm là

1 1
5 1
A. z1   i; z2   i .
4 4
4 4
1 1
1 1
C. z1   i; z2   i .
4 4
4 4

1 1
1 3
 i; z 2   i .
4 4
4 4
2 1
1 1
D. z1   i; z2   i .
4 4
4 4

B. z1 

Câu 22. Biết z1 ; z2 là hai nghiệm của phương trình 2 z 2  3z  3  0 . Khi đó giá trị của z12  z22 là
A.

9
.
4

B. 9 .

9
D.  .
4

C. 4 .

Câu 23. Phương trình z 2  az  b  0 có một nghiệm phức là z  1  2i . Tổng 2 số a và b bằng:
A. 0 .
B. 3 .
C. 3.
D. 4 .
Câu 24. Gọi z1 ; z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  4 z  5  0 . Khi đó phần thực của z12  z22 là
A. 5.
Câu 25.

B. 6.

C. 4.

D. 7.

Gọi z1 ; z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  2 z  4  0 . Khi đó A | z1 |2  | z2 |2 có giá trị là
A. 7 .

C. 4 .

B. – 8.

D. 8.

Câu 26. Phương trình z 3  8 có bao nhiêu nghiệm phức với phần ảo âm?
A. 1.
B. 2.
C. 3.

D. 0.

Câu 27. Biết z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình 2 z 2  3z  3  0 . Khi đó giá trị của z12  z22 là
A. 4.

B.

9
.
4

9
D.  .
4

C. 9.

Câu 28. Phương trình sau có mấy nghiệm thực: z 2  2 z  2  0
A. 0.
B. 1.
C. 2.

D. Vô số nghiệm.

Câu 29. Tìm các căn bậc hai của 9 .
A. 3i .
B. 3.

D. 3 .

C. 3i .

Câu 30. Trong  , phương trình z 4  4  0 có nghiệm là
A.  1  4i  ;  1  4i  .

B.  1  2i  ;  1  2i  .

C.  1  3i  ;  1  3i  .

D. ± 1 i  ;  1  i  .

Câu 31. Giải phương trình z 2  2 z  7  0 trên tập số phức ta được nghiệm là
A. z  1  2 2i .

B. z  1  6i .

C. z  1  2i .

D. z  1  7i .

Câu 32. Căn bậc hai của số phức 4  6 5i là





A.  3  5i .





B. 3  5i .





C.  3  5i .

Câu 33. Gọi z là căn bậc hai có phần ảo âm của 33  56i . Phần thực của z là
A. 6.
B. 7.
C. 4.
Chủ đề 5.2 – Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cần file Word vui lòng liên hệ:

D. 2.

D. –4.
5|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD5

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 5 - SỐ PHỨC

Câu 34. Tập nghiệm trong  của phương trình z 3  z 2  z  1  0 là
A. i;i;1; 1 .

B. i; i;1 .

C. i; 1 .

D. i; i; 1 .

Câu 35. Trên tập số phức, phương trình bậc hai có hai nghiệm   4  3i;   2  i là
A. z 2   2  4i  z  11  2i   0 .

B. z 2   2  4i  z  11  2i   0 .

C. z 2   2  4i  z  11  2i   0 .

D. z 2   2  4i  z  11  2i   0 .

Câu 36. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn điều kiện z 2 | z |2  z ?
A. 3.

B. 0.

C. 1.

D. 2.

Câu 37. Phương trình  2  i  z 2  az  b  0  a, b    có hai nghiệm là 3  i và 1  2i . Khi đó a  ?
A. 9  2i .

B. 15  5i .

C. 9  2i .

Câu 38. Cho số phức z thỏa mãn z 2  6 z  13  0 . Tính z 

D. 15  5i .

6
z i

A. 17 và 4.

B. 17 và 5.

C. 17 và 3.

D. 17 và 2.

Câu 39. Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình z 2  1  3i  z  2 1  i   0 . Khi đó
w  z12  z 22  3z1 z2 là số phức có môđun là

A. 2.

B. 13 .

C. 2 13 .

Câu 40. Số nghiệm của phương trình với ẩn số phức z: 4 z 2  8 | z |2 3  0 là
A. 3.
B. 2.
C. 4.
Câu 41. Tìm số phức z để z  z  z 2 .
A. z  0; z  1  i .
C. z  0; z  1  i; z  1  i .

D.

20 .

D. 1.

B. z  0; z  1  i .
D. z  1  i; z  1  i .

Câu 42. Với mọi số ảo z, số z 2  | z |2 là
A. Số thực âm.
C. Số thực dương.

B. Số 0.
D. Số ảo khác 0.

Câu 43. Trong trường số phức phương trình z 3  1  0 có mấy nghiệm?
A. 2.

B. 3.
C. 1.

D. 0.

Câu 44. Giá trị của các số thực b, c để phương trình z 2  bz  c  0 nhận số phức z  1  i làm một
nghiệm là
b  2
b  2
b  2
b  2
A. 
.
B. 
.
C. 
.
D. 
.
c   2
c   2
c  2
c  2
Câu 45. Trên tập hợp số phức, phương trình z 2  7 z  15  0 có hai nghiệm z1 , z2 . Giá trị biểu thức
z1  z2  z1 z2 là
A. –7.

B. 8.

C. 15.

D. 22.

Câu 46. [NC] Tìm số nguyên x , y sao cho số phức z  x  yi thỏa mãn z 3  18  26i
x  3
A. 
.
 y  1

x  3
B. 
.
 y  1

x  3
C. 
.
y 1

Chủ đề 5.2 – Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cần file Word vui lòng liên hệ:

 x  3
D. 
.
 y  1
6|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD5

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 5 - SỐ PHỨC
4

Câu 47. Trên tập số phức, cho phương trình sau:  z  i   4 z 2  0 . Có bao nhiêu nhận xét đúng trong
số các nhận xét sau?
1. Phương trình vô nghiệm trên trường số thực  .
2. Phương trình vô nghiệm trên trường số phức  .
3. Phương trình không có nghiệm thuộc tập số thực.
4. Phương trình có bốn nghiệm thuộc tập số phức.
5. Phương trình chỉ có hai nghiệm là số phức.
6. Phương trình có hai nghiệm là số thực
A. 0.
B. 1.
C. 3.
D. 2.
Câu 48. Phương trình z 6  9 z 3  8  0 có bao nhiêu nghiệm trên tập số phức?
A. 3.
B. 4.
C. 2.

D. 6.

Câu 49. Giả sử z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 2  2 z  5  0 và A, B là các điểm biểu diễn của
z1 , z2 . Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là
A. I 1;1 .

B. I  1; 0  .

C. I  0;1 .

D. I 1; 0  .

Câu 50. Cho phương trình z 2  mz  6i  0 . Để phương trình có tổng bình phương hai nghiệm bằng 5
thì m có dạng m    a  bi  a, b    . Giá trị a  2b là
A. 0.
B. 1.
C. 2 .
D. 1 .
4

 z 1 
Câu 51. Gọi z1 , z 2 , z2 , z 4 là các nghiệm phức của phương trình 
  1 . Giá trị của
 2z  i 
P   z12  1 z22  1 z32  1 z 42  1 là

A.

17
.
8

B.

17
.
9

C.

9
.
17

D.

17i
.
9

Câu 52. Trong tập số phức, giá trị của m để phương trình bậc hai z 2  mz  i  0 có tổng bình phương
hai nghiệm bằng 4i là
A.  1  i  .
B. 1  i  .
C.  1  i  .
D. 1  i .
Câu 53. Cho phương trình z 2  mz  2m  1  0 trong đó m là tham số phức. Giá trị của m để phương
trình có hai nghiệm z1 , z2 thỏa mãn z12  z22  10 là
A. m  2  2 2i .

B. m  2  2 2i .

C. m  2  2 2i .

D. m  2  2 2i .

Câu 54. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 2  2 z  8  0 , trong đó z1 có phần ảo dương. Giá
trị của số phức w   2 z1  z2  z1 là

A. 12  6i .

B. 10.

C. 8.

D. 12  6i .

Câu 55. Tổng bình phương các nghiệm của phương trình z 4  1  0 trên tập số phức là bao nhiêu?
A. 3.
B. 1.
C. 2.
D. 0.
Câu 56. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 2  2 z  6  0 . Trong đó z1 có phần ảo âm. Giá trị
biểu thức M | z1 |  | 3z1  z 2 | là
A.

6  2 21 .

B.

6  2 21 .

C.

6  4 21 .

D.

6  4 21 .

Câu 57. Phương trình x 4  2 x 2  24 x  72  0 trên tập số phức có các nghiệm là
A. 2  i 2 hoặc 2  2i 2 .
B. 2  i 2 hoặc 1  2i 2 .
C. 1  2i 2 hoặc 2  2i 2 .
D. 1  2i 2 hoặc 2  2i 2 .
Câu 58. Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình z 2  3z  7  0 . Khi đó A  z14  z 24 có giá trị là
A. 23.

B.

23 .

C. 13.

Chủ đề 5.2 – Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cần file Word vui lòng liên hệ:

D. 13 .
7|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD5


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 5 - SỐ PHỨC

E. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN 1.2
1

A

2
A

3
B

4
A

5
C

6
B

7
D

8
B

9
B

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A C D C A C D C B D D

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

C D C B D A D A A D B C B D B A A B C C
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58
C B B C B C D D D D B A A C D B A A
II –HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.

Chọn A.
Ta có:   b 2  4ac  12  4.2.1  7  7i 2  0
Nên phương trình có hai nghiệm phức là x1,2 

Câu 2.

1  i 7
.
4

Chọn A.
Giả sử w  x  yi  x, y    là một căn bậc hai của số phức z  3  4i .

Ta có: w2  z   x  yi 

2

 x  1
 x2  1  y  2
 x  y  3 

 3  4i  

2

2 xy  4
 y  x   x  1


  y  2
2

2

Do đó z có hai căn bậc hai là z1  1  2i; z2  1  2i
Câu 3.

Chọn B.
z  2
z  2
Ta có: z 3  8  0   z  2   z 2  2 z  4   0   2

2
 z  2z  4  0
 z  1  3
z  2
z  2


  z  1  3i   z  1  3i
 z  1   3i
 z  1  3i



Câu 4.

Chọn A.
Đặt z  a  bi  a, b     z  a 2  b 2 .
Thay vào phương trình:

Câu 5.

 a 2  b 2  a  2
a  3
a 2  b 2  a  bi  2  4i , suy ra 

b  4
b  4

Chọn c.
S  x1  x2  2a
Áp dụng định lý đảo Viet : 
.
2
2
P

x
.
x

a

b


1 2
Do đó x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình: x 2  Sx  P  0  x 2  2ax  a 2  b 2  0

Câu 6.

Chọn B.
2
  b 2  4ac   3i   4.1.4  25  0
Nên phương trình có hai nghiệm phức là z1 

3i  5i
3i  5i
 i; z 2 
 4i
2
2

Chủ đề 5.2 – Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cần file Word vui lòng liên hệ:

8|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD5


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
Câu 7.

CHUYÊN ĐỀ 5 - SỐ PHỨC

Chọn D.
2

  b 2  4ac   1  4.1.1  3  0
Nên phương trình có hai nghiệm phức là x1 
Câu 8.

1  3i
1  3i
; x2 
2
2

Chọn B.
Giả sử w  x  yi  x, y    là một căn bậc hai của số phức z  8  6i .

x  3
2

x  9  y  1
x2  y2  8 
2
2

Ta có: w  z   x  yi   8  6i  

3 
 x  3
2 xy  6
y  x



  y  1
Do đó z có hai căn bậc hai là z1  3  i; z 2  3  i
Câu 9.

Chọn B.
z 2  5  0  z 2   5  z  i 4 5

Câu 10. Chọn A.
Giả sử z  x  yi  x, y    là một nghiệm của phương trình.
2

z 2  5  12i   x  yi   5  12i  x 2  y 2  2 xy  5  12i
 x  2
2


x

4
 x 2  y 2  5 
 y  3


6 
y

 2 xy  12


  x  2
x

  y  3

Do đó phương trình có hai nghiệm là z  2  3i; z  2  3i
Câu 11. Chọn C.
2

z 2  4 z  5  0   z  2   1  z  2  i  z  2  i
Câu 12. Chọn D.
 z  11 i  2  i
2
z 2  2 z  1  2i  0   z  1  2i  z  1   1  i   
 z  1  1  i  i
Câu 13. Chọn C.
Giả sử w  x  yi  x, y    là một căn bậc hai của số phức z  3  4i .

 x  2
 x2  4  y  1
x  y  3 
2

Ta có: w2  z   x  yi   3  4i  

2 
 x  2
2 xy  4
y  x



  y  1
Do đó z có hai căn bậc hai là z1  2  i; z 2  2  i
2

2

Câu 14. Chọn A.
  
  
Ta có z  1  i  2  cos     i sin    
 4 
  4
7
7

z có các căn bậc hai là w1  4 2  cos
 i sin
8
8



 


4
 i sin
 ; w2  2  cos


8
8 



Chủ đề 5.2 – Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cần file Word vui lòng liên hệ:

9|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD5


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 5 - SỐ PHỨC

Câu 15. Chọn A.

 1  i 
 z 2  i
z


 z  i  z  2iz  1  0  
2
2

 z  i   0
 z  i
2

2

Câu 16. Chọn D.
z   2  i
2
z 4  6 z 2  25  0   z 2  3  16  0  z 2  3  4i  z 2  3  4i  
 z    2  i 
Câu 17. Chọn C.
z

 z  0
z  0
1
 z  0
 z  0
 2i   2





2
z   2 1 i
z
 z  i   2i
 z  i   2  0
 z  2iz  1  0










 z  1 2 i
Câu 18. Chọn B.
 z  1
1 3
z 3  1  0   z  1  z 2  z  1  0   2
 z  1 hoặc z 
2
z  z 1  0

Câu 19. Chọn D.

z 1
z  1

z  1  0   z  1 z  1  z  1  0   z  1   z  1
 z 2  1  0
 z  i
4

2

Câu 20. Chọn B.

2

Ta có: z  121  z  11i  . Do đó z có hai căn bậc hai là z  11i; z  11i
Câu 21. Chọn A.
 '  b '2  ac  4  8  4  0  z1,2 

2  2i 1 i
 
8
4 4

Câu 22. Chọn D.

b
3
S  z1  z 2    
a
2  z 2  z 2  S 2  2P  3  3   9
Theo Viet, ta có: 
1
2
4
4
 P  z .z  c  3
1 2

a 2

Câu 23. Chọn C.
Vì z  1  2i là một nghiệm của phương trình z 2  az  b  0 nên ta có:

2
1  2i   a 1  2i   b  0  a  b  2ai  3  4i  a  b  3
Câu 24. Chọn B.
b

S  z1  z 2   a  4
Theo Viet, ta có: 
 z12  z 22  S 2  2 P  16  2.5  6
c
 P  z .z   5
1 2

a
Câu 25. Chọn D.
2

z 2  2 z  4  0   z  1  3  0  z  1  3i  A | z1 |2  | z2 |2  8
Chủ đề 5.2 – Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cần file Word vui lòng liên hệ:

10 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTN-CD5


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 5 - SỐ PHỨC

Câu 26. Chọn A.

z  2
2
z 3  8   z  2   z 2  2 z  4   0   z  2   z  1  3  0  


 z  1  3i
Do đó phương trình chỉ có một nghiệm phức có phần ảo âm.
Câu 27. Chọn D.

b
3
S  z1  z 2    
a
2  z 2  z 2  S 2  2P  3  3   9
Áp dụng định lý Viet, ta có: 
1
2
4
4
P  z z  c  3
1 2

a 2

Câu 28. Chọn A.
  b2  ac  1  2  1  0 nên phương trình vô nghiệm trên tập số thực.
Câu 29. Chọn A.
Ta có 9  9.i 2 nên 9 có các căn bậc hai là 3i và 3i .
Câu 30. Chọn D.
 z   1  i 

 z 2  2i
z 40  2

 z  2i
 z   1  i 
4

Câu 31. Chọn B.
2
z 2  2 z  7  0   z  1  6  0  z  1  6i
Câu 32. Chọn C.
Giả sử w là một căn bậc hai của 4  6 5i . Ta có:



w2  4  6 5i  w2  3  5i



2





 w   3 5 i .

Câu 33. Chọn B.
2
Ta có: 33  56i   7  4i   z  7  4i . Do đó phần thực của z là 7.

Câu 34. Chọn D.
 z  1
z 3  z 2  z  1  0   z  1  z 2  1  0  
 z  i
Câu 35. Chọn B.
S      2  4i
Áp dụng định lý Viet, ta có: 
.
 P   .  11  2i
Do đó  ,  là hai nghiệm của phương trình: z 2  Sz  P  0  z 2   2  4i  z  11  2i   0
Câu 36. Chọn A.
Gọi z  a  bi  a, b    là số phức thỏa mãn điều kiện trên. Ta có:
2

z 2 | z |2  z   a  bi   a 2  b 2  a  bi  a  2b 2  bi  2abi  0   a  2b 2    b  2ab  i  0
a  b  0
a  2b 2  0


 a   1
a  2b 2  0
 b  0


  
2

b

2

ab

0

1



1
  a   2
 b  
2
 
Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chủ đề 5.2 – Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cần file Word vui lòng liên hệ:

11 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTN-CD5


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 5 - SỐ PHỨC

Câu 37. Chọn A.
Theo Viet, ta có: S  z1  z 2  

a

 4  i  a   i  4  i  2   a  9  2i
2i

Câu 38. Chọn B.
2

z 2  6 z  13  0   z  3  4  0  z  3  2i
+) Nếu z  3  2i :
6
6
9  15i 18  72i
6
z
 3  2i 


 1  4i  z 
 1  4i  17
zi
3  3i 3  3i
18
z i
+) Nếu z  3  2i :
6
6
13  9i 30  40i
6
z
 3  2i 



 3  4i  z 
 3  4i  5
zi
3i
3i
10
z i
Câu 39. Chọn D.
b

S  z1  z 2   a  1  3i
Theo Viet, ta có: 
 P  z .z  c  2 1  i 
1 2

a
2

w  z12  z22  3z1 z2  S 2  5P   1  3i   10 1  i   2  4i | w | 4  16  20
Câu 40. Chọn C.
Gọi z  a  bi  a, b    là nghiệm của phương trình.
2

Ta có: 4  a  bi   8  a 2  b2   3  0  4  a 2  b 2  2abi   8  a 2  b 2   3  0
12a 2  4b 2  3 4a 2  b2  1
 12a  4b  8abi  3  0  

ab  0
ab  0

 2 a  b  2  1
1

2
2
4a  4ab  b  1 
a
a  0

hoặc

 a  0

4

b


1

ab  0

b

0

 b  0
Vậy phương trình có 4 nghiệm phức
2

2

Câu 41. Chọn C.
Gọi z  a  bi  a, b    là số phức thỏa mãn đẳng thức trên. Ta có:

z  z  z 2  a  bi  a  bi   a  bi 

2

 a  1
2
2

a

b

0
z  0

b


1
a 2  b 2  0 


 a  1

 z  1 i


 a  0
2ab  2b
 b  0
 z  1  i



 b  0

Câu 42. Chọn B.
Do z là số ảo nên z có dạng: z  bi  b    .
2

Ta có: z 2  | z |2   bi   b 2  b 2  b 2  0 .
Câu 43. Chọn B.
z  1
z  1  0   z  1  z  z  1  0   1  3i
z 

2
Vậy phương trình có ba nghiệm trong trên tập số phức.
3

2

Chủ đề 5.2 – Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cần file Word vui lòng liên hệ:

12 | T H B T N

Mã số tài liệu: BTN-CD5


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 5 - SỐ PHỨC

Câu 44. Chọn C.
Do z  1  i là một nghiệm của z 2  bz  c  0 nên ta có:
b  c  0
b   2
2

1  i   b 1  i   c  0  b  c  bi  2i  0  
b  2
c  2
Câu 45. Chọn B.
b

S  z1  z 2   a  7
Theo Viet, ta có: 
 P  z z  c  15
1 2

a
 z1  z 2  z1 z2  S  P  7  15  8
Câu 46. Chọn C.
3

z 3  18  26i   x  yi   18  26i  x 3  3 x 2 yi  3xy 2  y 3i  18  26i

 ( x 3  3 xy 2 )   3 x 2 y  y 3  i  18  26i
2
2

 x 3  3 xy 2  18
 x  x  3 y   18
 2

3
2
2
3 x y  y  26
 y  3 x  y   26

x  3
 x  3
 2

2
x

3
y

6


  y  1
Do x, y nguyên nên x  x 2  3 y 2   18  


x  6
x6
 
 
 loai 
  x 2  3 y 2  3
  y   11

Mà y  3 x 2  y 2   26  x  3; y  1
Câu 47. Chọn D.
4

4

 z  i   4 z 2  0   z  i   4 z 2
 z  i  2  2iz
 z  1
 z  1
 z2 1  0






 2
2
z

2

i

3

0
 z  i  2  2iz
z

4
iz

1

0


 z   2 







3 i

Do đó phương trình có 2 nghiệm thực và 4 nghiệm phức. Vậy nhận xét 4, 6 đúng.
Câu 48. Chọn D.
Ta có: z 6  9 z 3  8  0   z  1 z  2   z 2  z  1 z 2  2 z  4   0
 z 1  0  z  1

 z 2  0  z  2
2

2
1
3
1
3  3 
1
3

 z  z  1  0   z      
i   z   
i hoặc z   
i
2
4  2 
2 2
2 2

2

2

 z 2  2 z  4  0   z  1  3 

 3i 

2

 z  1  3i hoặc z  1  3i

Vậy phương trình có 6 nghiệm.
Câu 49. Chọn D.
2

z 2  2 z  5  0   z  1  4  0  z  1  2i  A 1; 2  ; B 1; 2 
Do đó tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là I 1; 0  .
Chủ đề 5.2 – Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cần file Word vui lòng liên hệ:

13 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTN-CD5


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 5 - SỐ PHỨC

Câu 50. Chọn D.
Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình đã cho
b

S  z1  z 2   a   m
Theo Viet, ta có: 
 P  z .z  c  6i
1 2

a
Theo bài cho, tổng bình phương hai nghiệm bằng 5. Ta có:

2

z12  z22  S 2  2 P  m 2  12i  5  m 2  5  12i  m 2   3  2i   m    3  2i 

 a  3; b  2  a  2b  3  4  1
Câu 51. Chọn B.
 z 1
 2z  i
i
 z 1 
Với mọi z  , ta có: 
  1   z 1
2
 2z  i 

 2 z  i
4

 z  1  i
 1 i
 1  z 
3
 
2  4i
 i
z 
5

 z  0

 1  i  2    2  4i  2 
 P   z  1 z  1 z  1 z  1   1  i   1 
 1 
 1

 9
25





9  2i 13  16i 425 17
 1  2i 
.


9
25
9.25 9
2
1

2
2

2
3

2

2
4

Câu 52. Chọn A.
Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình.
b

S  z1  z 2   a   m
Theo Viet, ta có: 
 P  z .z  c  i
1 2

a
 z12  z 22  S 2  2 P  m 2  2i
2

Ta có: m2  2i  4i  m 2  2i  m 2  1  i   m   1  i 
Câu 53. Chọn A.
b

S  z1  z 2   a  m
Theo Viet, ta có: 
 P  z . z  c  2m  1
1 2

a
z12  z22  10  S 2  2 P  10  m 2  2  2m  1  10  m 2  4m  12  0
2

  m  2   8  0  m  2  2 2i
Câu 54. Chọn C.
 z  1  7i
2
z 2  2 z  8  0   z  1  7  0  z  1  7i   1
 z2  1  7i







 





w   2 z1  z2  z1   2 1  7i  1  7i  1  7i  1  7i 1  7i  1  7  8


Chủ đề 5.2 – Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cần file Word vui lòng liên hệ:

14 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTN-CD5


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 5 - SỐ PHỨC

Câu 55. Chọn D.
 z  1
z 4 1  0  
 z  i
Do đó tổng bình phương các nghiệm của phương trình là 1  1  0
Câu 56. Chọn B.
2

z 2  2 z  6  0   z  1  5  0  z  1  5i  z1  1  5i; z 2  1  5i
Do đó M | z1 |  | 3 z1  z2 | 1  5i  2  4 5i  6  84  6  2 21
Câu 57. Chọn A.

x 4  2 x 2  24 x  72  0   x 2  4 x  6  x 2  4 x  12   0
 x  2  2  2  0
 x  2  2i
 x2  4x  6  0
 2



 x  2  2  8  0
 x  4 x  12  0
 x  2  2 2i
Câu 58. Chọn A.
b

S  z1  z 2   a   3

Theo Viet, ta có: 
 P  z .z  c  7
1 2

a
2

2

 A  z14  z24   S 2  2 P   2 P 2   3  2.7   2.49  23

Chủ đề 5.2 – Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cần file Word vui lòng liên hệ:

15 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTN-CD5