Phương pháp lặp giải bài toán không thuần nhất giữa phương trình Elliptic và phương trình song điều hòa

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐINH NHƯ NGỌC

PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN KHÔNG THUẦN
NHẤT GIỮA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ PHƯƠNG
TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐINH NHƯ NGỌC

PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN KHÔNG THUẦN
NHẤT GIỮA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ PHƯƠNG
TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.36

Người hướng dẫn khoa học:
TS. VŨ VINH QUANG

THÁI NGUYÊN - NĂM 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




i

Mục lục
Mở đầu

1

1 Các kiến thức cơ bản
1.1 Các kiến thức cơ bản về các không gian hàm . . . . . . .
1.1.1 Không gian C k (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Không gian Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Không gian W 1,p (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Biên liên tục Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Vết của hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6 Không gian Sobolev với chỉ số âm . . . . . . . . .
1.2 Phương pháp lặp và các sơ đồ lặp cơ bản . . . . . . . . .
1.2.1 Lược đồ lặp hai lớp . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Lược đồ dừng, định lý cơ bản về sự hội tụ của phép
lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Khái niệm nghiệm yếu đối với phương trình Elliptic cấp hai
1.3.1 Khái niệm nghiệm yếu của phương trình . . . . .
1.3.2 Phát biểu các bài toán biên . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu . . . . . . . .

4
4
4
4
5
7
8
11
12
12
15
17
17
18
20

2 Các phương pháp xác định nghiệm xấp xỉ của bài toán
cấp hai và cấp bốn
24
2.1 Phương pháp lặp giải bài toán cấp hai trên tư tưởng chia
miền . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.1 Cơ sở của phương pháp chia miền . . . . . . . . . 24

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

ii

2.2

2.1.2 Phương pháp chia miền giải bài toán biên elliptic
Phương pháp xấp xỉ xác định giá trị biên đối với bài toán
song điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Bài toán không thuần nhất và phương pháp tìm nghiệm
xấp xỉ
3.1 Mô hình toán học của bài toán không thuần nhất . . . .
3.2 Phương pháp xấp xỉ dựa trên sơ đồ Dirichlet-Neumann .
3.3 Phương pháp xấp xỉ dựa trên sơ đồ xấp xỉ biên . . . . .
3.4 Các kết quả thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Danh mục công trình đã công bố . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên



28
36

45

45
51
58
61
66
67
68
84


iii

Các ký hiệu
L
Rn
Ω
∂Ω
C k (Ω)
L2 (Ω)
W 1,p (Ω)
H 1/2 (∂Ω)
H01 (Ω)
H −1 (∂Ω)
H −1/2 (∂Ω)
. V
(.)V
Cγ (Ω)
CΩ
E

Toán tử elliptic.
Không gian Euclide n chiều.
Miền giới nội trong không gian Rn .
Biên trơn Lipschitz.
Không gian các hàm có đạo hàm cấp k liên tục.
Không gian các hàm đo được bình phương khả tích.
Không gian Sobolev với chỉ số p.
Không gian Sobolev với chỉ số 1/2.
Không gian các hàm có vết bằng không trên ∂Ω.
Không gian đối ngẫu với H01 (Ω).
Không gian đối ngẫu với H 1/2 (∂Ω).
Chuẩn xác định trên không gian V .
Tích vô hướng xác định trên không gian V .
Hằng số vết.
Hằng số Poincare.
Ma trận đơn vị.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




1

Mở đầu
Phương trình cấp bốn mà tiêu biểu là phương trình song điều hoà
xuất hiện trong ngành cơ học chất rắn với mô hình chuyển dịch ngang
của tấm đàn hồi hoặc trong ngành cơ học chất lỏng với mô hình dòng
chảy với phương trình Navier-Stokes trong môi trường chất lỏng không
nén được, khi được ghép với các phương trình bậc hai sẽ xuất hiện mô

hình không thuần nhất mô tả sự dịch chuyển ngang của cấu trúc tấm
đàn hồi đa hợp mà nó được làm bởi hai thành phần khác nhau, một
thành phần là tấm uốn và thành phần còn lại là màng mỏng. Đây là
một mô hình hỗn hợp đang được các nhà toán học trên thế giới quan
tâm. Năm 2005, trong tài liệu [4], tác giả P. Gervasio đã mô tả mô hình
toán học của bài toán không thuần nhất và đưa ra phương pháp xác
định nghiệm gần đúng dựa trên một sơ đồ lặp. Ngoài phương pháp trên,
để giải mô hình bài toán không thuần nhất có thể sử dụng phương pháp
phân rã bài toán về một bài song điều hoà và hai bài toán elliptic và
từ đó đề xuất sơ đồ lặp bằng cách xác định nghiệm xấp xỉ của bài toán
song điều hoà dựa trên phương pháp xấp xỉ biên và xác định nghiệm của
hai bài toán elliptic trên cơ sở phương pháp chia miền. Cơ sở lý thuyết
này đã được một số tác giả Việt Nam đưa ra trong các năm qua.
Nội dung chính của luận văn sẽ mô tả mô hình toán học của bài toán,
nghiên cứu các phương pháp giải và đề xuất sơ đồ lặp xác định nghiệm
xấp xỉ trên cơ sở phân hoạch về hai bài toán cấp hai và cấp bốn, thực
hiện tính toán bằng số xác định nghiệm xấp xỉ. Luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về các không gian hàm
và đặc biệt là không gian Sobolev, các khái niệm cơ bản về nghiệm yếu

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




2

đối với phương trình elliptic, lý thuyết về phương pháp lặp giải phương
trình toán tử. Những kiến thức quan trọng này làm cơ sở để trình bày
và nghiên cứu về lý thuyết các mô hình toán học được trình bày trong

các chương tiếp theo của luận văn.
Chương 2: Trình bày cơ sở của phương pháp chia miền tổng quát,
các kết quả lý thuyết của phương pháp chia miền đối với phương trình
elliptic cấp hai dựa trên tư tưởng xác định giá trị đạo hàm trên biên
phân cách, lý thuyết về phương pháp xấp xỉ xác định giá trị biên đối với
bài toán song điều hòa. Đây là những kết quả đã được các tác giả Việt
Nam công bố trong các năm qua. Các kết quả này là cơ sở lý thuyết
chính để đề xuất sơ đồ lặp tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán không thuần
nhất trong chương 3 của luận văn.
Chương 3: Mô tả mô hình toán học của bài toán không thuần nhất,
trình bày phương pháp xấp xỉ dựa trên sơ đồ Dirichlet-Neumann do tác
giả P. Gervasio đề xuất. Xuất phát từ các lý thuyết trong chương 2, luận
văn đề xuất một phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ mới đối với bài toán
không thuần nhất bằng việc phân rã bài toán về 1 bài toán song điều
hoà và 2 bài toán elliptic tương ứng và từ đó xây dựng phương pháp lặp
xác định nghiệm xấp xỉ, tính toán thử nghiệm trên máy tính điện tử.
Phương pháp này có thể coi là ngược với phương pháp do P. Gervasio
đã đưa ra.
Các kết quả bằng số được lập trình trong môi trường MATLAB với
nhiều ví dụ khác nhau để kiểm tra tính đúng đắn của sơ đồ lặp đã đề
xuất.
Mặc dù đã rất cố gắng song nội dung bản luận văn không thể tránh
khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo, đóng góp
ý kiến của các Thầy Cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn thêm hoàn
thiện.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn TS. Vũ
Vinh Quang đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình làm
luận văn.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

3

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô, các bạn bè, đồng
nghiệp và gia đình đã luôn giúp đỡ, động viên, khích lệ tác giả trong
suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Tác giả

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




4

Chương 1
Các kiến thức cơ bản
1.1
1.1.1

Các kiến thức cơ bản về các không gian hàm
Không gian C k (Ω)

Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian Euclid n chiều Rn và
Ω là bao đóng của Ω. Ký hiệu C k (Ω), (k = 1, 2, ...) là tập các hàm có
đạo hàm đến cấp k kể cả k trong Ω, liên tục trong Ω. Ta đưa vào C k (Ω)
chuẩn

u

max | Dα u(x) |,

C k (Ω) =

(1.1)

α =k

trong đó α = (α1 , α2 , ..., αn ) được gọi là đa chỉ số, là vecto với các tọa
∂ α1 +α2 +...+αn u
α
độ nguyên không âm, | α |= α1 + α2 + ... + αn , D u =
.
∂xα1 1 ...∂xαnn
Sự hội tụ theo chuẩn này là sự hội tụ đều trong Ω của các hàm và tất
cả đạo hàm của chúng đến cấp k, kể cả k. Tập C k (Ω) với chuẩn (1.1) là
một không gian Banach.
1.1.2

Không gian Lp (Ω)

Giả sử Ω là một miền trong Rn và p là một số thực dương. Ta ký hiệu
Lp (Ω) là lớp các hàm đo được f xác định trên Ω sao cho
| f (x) |p dx < ∞.
Ω

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

(1.2)


5

Trong Lp (Ω) ta đồng nhất các hàm bằng nhau hầu khắp trên Ω. Như
vậy các phần tử của Lp (Ω) là các lớp tương đương các hàm đo được thoả
mãn (1.2) và hai hàm là tương đương nếu chúng bằng nhau hầu khắp
trên Ω. Vì
| f (x) + g(x) |p ≤ (| f (x) | + | g(x) |)p ≤ 2p (| f (x) |p + | g(x) |p )
nên rõ ràng Lp (Ω) là một không gian vecto.
hàm . p được xác định bởi
u

Ta đưa vào Lp (Ω) phiếm

p

| f (x) | dx

p=

1
p

.

(1.3)

Ω

Nếu 1 < p < ∞ và u ∈

Định lí 1.1. (Bất đẳng thức H¨
oder)
Lp (Ω), v ∈ Lp (Ω) thì uv ∈ Lp (Ω) và
| u(x)v(x) | dx ≤ u(x)

p

.

v(x)

p

,

(1.4)

Ω

trong đó p =

p
1 1
, tức là + = 1, p được gọi là số mũ liên hợp đối
p−1

p p

với p.
Định lí 1.2. ( Bất đẳng thức Minkowski)
f +g

p≤

f

p

+

Nếu 1 < p < ∞ thì
g

p

.

(1.5)

Định lí 1.3. Không gian Lp (Ω) với 1 ≤ p < ∞ là một không gian
Banach.
1.1.3

Không gian W 1,p (Ω)

Định nghĩa 1.1. Cho Ω là miền trong Rn . Hàm u(x) được gọi là khả

tích địa phương trong Ω nếu u(x) là một hàm cho trong Ω và với mỗi
x0 ∈ Ω đều tồn tại một lân cận ω của x0 để u(x) khả tích trong ω.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....



data error !!! can't not

read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not

read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....