MH11 1 ham so luong giac
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (305.49 KB, 10 trang )
TOPPER ACADEMY
TÀI LI U ÔN T P H C KÌ
- L P 11 -
23 Ngõ Huế, Hai Bà Trưng, Hà Nội
131 Nguyễn Ngọc Vũ, Cầu Giấy, Hà Nội
(04) 6657 4444 | 0977 111 657
MH11.1: HÀM S
L
Nội dung
NG GIÁC
Trang
Sự biến thiên của hàm số lượng giác
3
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
7
Đáp án
9
Facebook: />Website: topper.vn
TOPPER ACADEMY – “Yêu trò vô điều kiện”
MH11.1 – Hàm số lượng giác
DẠNG 1: SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A – KIẾN THỨC CẦN NHỚ
y = sinx
y = cosx
y = tanx
t = cotx
Tập XĐ
D= ℝ
D= ℝ
π
D = ℝ \ + kπ
2
D = ℝ \ {kπ}
Chu kì
2π
2π
π
π
Tính
chẵn, lẻ
Hàm số lẻ
Hàm số chẵn
Hàm số lẻ
Hàm số lẻ
Sự biến
thiên
π π
NB: ( −π; − );( ; π)
2 2
π π
ĐB: ( − ; )
2 2
π π
ĐB: − ;
2 2
NB: (0; π)
NB: (0; π)
ĐB: ( −π;0).
Chú ý:
– Sự biến thiên của hàm số y = sin x ; y = cos x xét trên khoảng ( −π; π ) .
π π
Sự biến thiên của hàm số y = tan x xét trên khoảng − ; .
2 2
Sự biến thiên của hàm số y = cot x xét trên khoảng ( 0; π ) .
– Hàm số y = sin (ax + b) hoặc y = cos (ax + b) có chu kì là T =
2π
.
a
Hàm số y = tan (ax + b) hoặc y = cot (ax + b) có chu kì là T =
π
.
a
TOPPER | 3
TOPPER ACADEMY – “Yêu trò vô điều kiện”
MH11.1 – Hàm số lượng giác
B – VÍ DỤ
Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = sin 2x.
(a) Tập xác định: D = ℝ . Hàm số có chu kì là T =
2π
= π.
2
– Ta có sin (–2x) = –sin 2x ⇒ hàm số y = sin 2x là hàm số lẻ.
– Bảng biến thiên
– Vẽ đồ thị
Đồ thị hàm số đi qua các điểm
π π
π π
− ; 0 ; − ; −1 ; (0 ; 0) ; ;1 ; ;0 .
2 4
4 2
Hàm số y = sin 2x là hàm số lẻ nên nhận
điểm O(0 ; 0) là tâm đối xứng.
TOPPER | 4
TOPPER ACADEMY – “Yêu trò vô điều kiện”
MH11.1 – Hàm số lượng giác
π
Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = cos 3x − .
6
(a) Tập xác định: D = ℝ . Hàm số có chu kì là T =
2π
.
3
π
cos 3x −
6
π
⇒ hàm số y = cos 3x − π không chẵn, không lẻ.
– Ta có cos −3x − ≠
6
6
π
cos −3x+
6
– Bảng biến thiên
– Vẽ đồ thị
Đồ thị hàm số đi qua các điểm
5π
π π
− ; −1 ; − ; 0 ; ;1 ;
18
9 18
2π 7 π
; −1 .
;0 ;
9 18
TOPPER | 5
TOPPER ACADEMY – “Yêu trò vô điều kiện”
MH11.1 – Hàm số lượng giác
C – BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số
π
(a) y = sin x − ;
4
(b) y = cos 4x .
Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số
(a) y = tan2x ;
π
(b) y = cot x + .
3
Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số
(a) y = 2sin3x ;
TOPPER | 6
(b) y = sinx + cos x .
TOPPER ACADEMY – “Yêu trò vô điều kiện”
MH11.1 – Hàm số lượng giác
DẠNG 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A – KIẾN THỨC CẦN NHỚ
(1) −1 ≤ sin x ≤ 1 và −1 ≤ cos x ≤ 1.
(2) a.sinx + b. cos x = a2 + b2 . sin(x + α )
⇒ − a2 + b2 ≤ a.sinx + b.cos x ≤ a2 + b2
Chú ý:
– Nếu x ∈ [a ; b], bạn dựa vào bảng biến thiên ⇒ GTLN, GTNN của sin x, cos x trên [a ; b].
– Bạn đã biết
A ≥ 0; (A + B)2 ≥ 0.
B – VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
(a) y = 2sinx + 1 ;
(b) y = 3.sin 2x – 4.cos 2x + 1.
(a) Ta có −1 ≤ sinx ≤ 1 ⇔ −2 ≤ 2sinx ≤ 2 ⇔ −1 ≤ 2sinx + 1 ≤ 3 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2sinx + 1 là –1, đạt được khi sin x = −1 ⇔ x = −
giá trị lớn nhất của hàm số y = 2sinx + 1 là 3, đạt được khi sin x = 1 ⇔ x =
(b) Ta có 3. sin2x − 4.cos 2x=5.sin ( 2x − α ) , với cos α =
π
+ k2π.
2
π
+ k2π.
2
3
4
; sin α = .
5
5
⇒ −5 ≤ 3.sin2x − 4.cos2x ≤ 5
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3sin2x − 4 cos2x là –5, đạt được khi sin(x + α ) = −1
⇔ x+α =−
π
π
+ k2π ⇔ x = −α − + k2π.
2
2
giá trị lớn nhất của hàm số y = 3sin2x − 4 cos2x là 5, đạt được khi sin(x + α ) = 1
⇔ x+α =
π
π
+ k2π ⇔ x = −α + + k2π.
2
2
TOPPER | 7
TOPPER ACADEMY – “Yêu trò vô điều kiện”
MH11.1 – Hàm số lượng giác
C – BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
(a) y = sinx + 3 cos x ;
(b) y = 2sinx − 1 + 3 .
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
(a) y = 4 sin2 x − 4 sinx + 3 ;
(b) y = sin4 x − 2cos2 x + 1 .
D – BÀI TẬP NÂNG CAO
π π
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên ; .
6 3
(a) y = 2sin x;
(b) y = sinx + 3 cos x
π 3π
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên − ; .
6 4
π
(a) y = 2sin x + + 1 ;
4
(b) y = cos2 x + 2sinx + 2 .
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
(a) y =
cos x + 2sin x − 3
;
2cos x − sin x + 4
(b) y =
1 − cos x
.
sinx + cos x − 2
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = sin2015 x + cos2016 x.
TOPPER | 8
TOPPER ACADEMY – “Yêu trò vô điều kiện”
MH11.1 – Hàm số lượng giác
ĐÁP ÁN
DẠNG 1: Sự biến thiên của hàm số lượng giác
BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1:
π
(a) y = sin x −
4
(b) y = cos 4x
Bài 2:
(a) y = tan 2x
π
(b) y = cot x +
3
Bài 3:
(a) y = 2sin 3x
π
(b) y = sinx + cos x = 2 sin x + .
4
TOPPER | 9
TOPPER ACADEMY – “Yêu trò vô điều kiện”
MH11.1 – Hàm số lượng giác
DẠNG 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1:
π
+ k2π ;
6
π
(b) GTLN là 4 tại x = + k2π ;
2
Bài 2:
π
(a) GTLN là 11 tại x = − + k2π ;
2
π
(b) GTLN là 2 tại x = + kπ ;
2
(a) GTLN là 2 tại x =
5π
+ k2π .
6
π
GTNN là 3 tại x = − + k2π .
2
GTNN là –2 tại x = −
GTNN là 2 tại x =
π
5π
+ k2π hoặc x =
+ k2π .
6
6
GTNN là –1 tại x = kπ .
BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 1:
(a) GTLN là
3 tại x =
(b) GTLN là 2 tại x =
π
;
3
π
.
6
π
GTNN là –1 tại x = .
3
GTNN là 1 tại x =
π
;
6
Bài 2:
π
;
4
π
(b) GTLN là 4 tại x = ;
2
Bài 3:
3π
.
4
7
π
GTNN là
tại x = − .
4
6
(a) GTLN là 3 tại x =
(a) Ta có y =
GTNN là 1 tại x =
cos x + 2sin x − 3
2cos x − sin x + 4
⇔ (y + 2)sinx + (1 − 2y)cos x = 4y + 3 có nghiệm
⇔ (y + 2)2 + (1 − 2y)2 ≥ (4y + 3)2 ⇔ 11y 2 + 24 y + 4 ≤ 0 .
⇔ −12 − 3 5 ≤ y ≤ −12 + 3 5 ⇒ GTLN của y là −12 + 3 5
11
11
11
(b) GTLN của y là 1; GTNN của y là 0.
sin2015 x ≤ sin2 x
Bài 4: Ta có 2016
⇒ y ≤ sin2 x + cos2 x = 1 .
2
x ≤ cos x
cos
⇒ GTLN của y là 1 đạt được khi
TOPPER | 10
x = kπ ; x =
π
+ k2π.
2
; GTNN của y là
−12 − 3 5
.
11
