Phương pháp hàm phạt điểm trong giải bài toán cân bằng giả đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

DƯƠNG HỒNG PHÚC

PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT
ĐIỂM TRONG GIẢI BÀI TOÁN
CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2010

1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

DƯƠNG HỒNG PHÚC

PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT
ĐIỂM TRONG GIẢI BÀI TOÁN
CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.36

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. PHẠM NGỌC ANH

Thái Nguyên - Năm 2010

2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




i

Mục lục
Mục lục

i

Lời cảm ơn

iii

Một số kí hiệu và chữ viết tắt

iv

Lời nói đầu

1

1 Bài toán cân bằng

2

1.1

1.2

Các kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.1

Tập lồi và các phép toán về tập lồi . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.2

Hàm lồi và dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1

Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.2

Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Phương pháp hàm phạt điểm trong
2.1

15

Phương pháp hàm phạt điểm trong ([2]) . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1

Ý tưởng chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.2

Phương pháp hàm phạt điểm trong . . . . . . . . . . . . . 16

2.2

Hàm toàn phương logarit ([3]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3

Mô tả thuật toán và sự hội tụ ([3]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4

Thuật toán bỏ qua điều kiện Lipschitz ([3]) . . . . . . . . . . . . . 30

3 Một số ứng dụng

3.1

36

Bài toán bất đẳng thức biến phân ([3]) . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ii

3.2

Thuật toán điểm gần kề giải bài toán (M V I ) . . . . . . . . . . . . 39
3.2.1

Sơ bộ về phương pháp kiểu điểm gần kề . . . . . . . . . . . 40

3.2.2

Đề xuất thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2.3

Sự hội tụ của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.4

Áp dụng thuật toán ánh xạ co Banach cho (M V I ) . . . . . 50

Kết luận

54

Danh mục các công trình có liên quan đến luận văn

54

Tài liệu tham khảo

56

4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




iii

Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái
Nguyên. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy TS.
Phạm Ngọc Anh (Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông), thầy đã trực tiếp
hướng dẫn tận tình và động viên tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu và viết
luận văn vừa qua.
Xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong Bộ môn Toán-Tin, Phòng
Đào tạo khoa học và Quan hệ quốc tế, các bạn học viên lớp Cao học Toán K2
trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và các bạn đồng nghiệp đã tạo

điều kiện thuận lợi, động viên tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu tại
trường.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân đã
luôn khuyến khích và động viên tác giả trong suốt quá trình học cao học và viết
luận văn này.
Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu xót và
hạn chế. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các
bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn.
Thái Nguyên, tháng 11 - 2010
Tác giả

Dương Hồng Phúc

5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




iv

Một số kí hiệu và chữ viết tắt
Rn
|β|
x := y
∀x
∃x
x
x, y
A⊂B
A⊆B

A∪B
A∩B
A×B

không gian Euclide n-chiều
trị tuyệt đối của số thực β
x được định nghĩa bằng y
với mọi x
tồn tại x
chuẩn của véc tơ x
tích vô hướng của hai véc tơ x, y
tập A là tập con thực sự của tập B
tập A là tập con của tập B
A hợp với B
A giao với B
tích Đề-các của hai tập A và B
argmin{f (x) | x ∈ C} tập các điểm cực tiểu của hàm f trên C
AT
ma trận chuyển vị của ma trận A
k
x →x
dãy {xk } hội tụ mạnh tới x
V IP
bài toán bất đẳng thức biến phân đơn trị
MV I
bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị
EP
bài toán cân bằng
t.ư.
tương ứng

6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




1

Lời nói đầu
Bài toán cân bằng, viết tắt là (EP ), là bài toán tổng quát hóa của nhiều bài
toán khác nhau như: Bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài
toán bù phi tuyến, bài toán Nash trong trò chơi hợp tác, · · · . Bài toán này có
rất nhiều ứng dụng trong khoa học, kỹ thuật, kinh tế, viễn thông, vật lý, · · · .
Do vậy, bài toán cân bằng đang được rất nhiều tác giả quan tâm, nghiên cứu về
lý thuyết tồn tại nghiệm cũng như các thuật toán để giải nó.
Luận văn này nhằm giới thiệu về bài toán cân bằng và trình bày phương
pháp hàm phạt điểm trong để giải bài toán (EP ) với giả thiết hàm f giả đơn
điệu trên tập lồi đa diện C và một ứng dụng với bài toán bất đẳng thức biến
phân đa trị. Luận văn gồm mục lục, ba chương, phần kết luận và tài liệu tham
khảo.
Chương 1 có tiêu đề là "Bài toán cân bằng". Chương này sẽ nhắc lại các kiến
thức cơ bản nhất của tập lồi và hàm lồi, mà các kết quả này sẽ được sử dụng ở
các chương sau. Phần cuối của chương sẽ giới thiệu về bài toán cân bằng, một
số ví dụ và sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng.
Chương 2 gồm hai phần chính: Phần đầu trình bày phương pháp hàm phạt
điểm trong giải bài toán cân bằng bằng cách sử dụng hàm toàn phương logarit
kết hợp với điều kiện Lipschitz đã biết. Để tránh điều kiện Lipschitz, phần hai
trình bày phương pháp hàm phạt điểm trong giải bài toán cân bằng bằng cách
kết hợp hàm toàn phương logarit với kỹ thuật tìm kiếm theo tia.
Chương 3 là phần ứng dụng. Phần này trình bày một kết quả nghiên cứu

mới về bài toán bất đẳng thức biến phân và một số kết quả tính toán.

7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




2

Chương 1
Bài toán cân bằng
1.1

Các kiến thức cơ bản

Giải tích lồi đóng một vài trò quan trọng trong việc nghiên cứu và xây dựng
các thuật toán giải bài toán cân bằng. Trong phần này, ta sẽ nhắc lại các kiến
thức cơ bản về giải tích lồi, trong đó các định lí, mệnh đề và hệ quả có thể không
được chứng minh.
Cho x = (x1 , x2 , · · · , xn )T và y = (y1 , y2 , · · · , yn )T là hai véc tơ trong Rn , tích
vô hướng của x và y được xác định bởi
n

x, y =

xi y i ,
i=1

và kí hiệu ||x|| là chuẩn Euclide của x, nghĩa là ||x|| =

x, x .

Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng trong Rn , khoảng cách từ x tới
tập C ⊆ Rn , kí hiệu d(x, C), được xác định bởi
d(x, C) := inf{||y − x|| : y ∈ C}.

1.1.1

Tập lồi và các phép toán về tập lồi

Phần này nhắc lại một số kiến thức cơ bản về giải tích lồi sẽ được sử dụng
trong các chương tiếp theo.
Định nghĩa 1.1. ([8]) Cho a, b ∈ Rn .
(i) Tập hợp điểm {x := λa + (1 − λ)b : 0 ≤ λ ≤ 1} được gọi là đoạn nối hai
điểm a và b, kí hiệu là [a, b].

8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




3

(ii) Tập con C ⊆ Rn được gọi là tập lồi nếu nó chứa mọi đoạn thẳng nối hai
điểm bất kỳ của nó; nghĩa là, nếu λa + (1 − λ)b ∈ C

∀a, b ∈ C, λ ∈ [0, 1].

Tập lồi đóng với phép giao, phép cộng, phép nhân với một số và phép lấy tổ
hợp tuyến tính (xem, [2]). Tức là, nếu A và B là hai tập lồi trong Rn thì các tập

sau cũng là tập lồi:
(i) A ∩ B := {x : x ∈ A, x ∈ B},
(ii) αA + βB := {x = αa + βb : a ∈ A, b ∈ B}.
Một tập C ⊂ Rn được gọi là một tập lồi đa diện (xem, [8]) nếu nó là giao
của một họ hữu hạn các nửa không gian đóng. Nói cụ thể hơn, tập lồi đa diện
là tập nghiệm của một họ hữu hạn các bất phương trình tuyến tính dạng
ai , x ≤ b i ,

i = 1, · · · , m

(1.1)

hoặc dưới dạng ma trận
Ax ≤ b,

(1.2)

trong đó A là ma trận cỡ m × n có các hàng ai và b ∈ Rm .
Vì một phương trình tuyến tính có thể biểu diễn thành hai bất phương trình
tuyến tính nên một tập lồi đa diện cũng là tập nghiệm của một hệ phương trình
và bất phương trình tuyến tính dạng
ai , x
aj , x

= bi ,
≤ bj ,

i = 1, · · · , m1
j = m1 + 1, · · · , m.

(1.3)

Hạng của hệ bất phương trình tuyến tính (1.2) được định nghĩa là hạng của
ma trận A.
Định nghĩa 1.2. ([3]) Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong Rn , và cho
f : C × C → R ∪ {+∞}. Song hàm f được gọi là

(i) đơn điệu mạnh trên C với hằng số τ > 0 nếu với mỗi x, y ∈ C , ta có
f (x, y) + f (y, x) ≤ −τ ||x − y||2 .

(ii) đơn điệu chặt trên C nếu với mỗi x, y ∈ C, x = y , ta có
f (x, y) + f (y, x) < 0.

9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




4

(iii) đơn điệu trên C nếu với mỗi x, y ∈ C , ta có
f (x, y) + f (y, x) ≤ 0.

(iv) giả đơn điệu trên C nếu với mỗi x, y ∈ C , nếu
f (x, y) ≥ 0 kéo theo f (y, x) ≤ 0.

Từ định nghĩa trên ta có mối quan hệ sau: Nếu hàm f đơn điệu mạnh ⇒
f đơn điệu chặt ⇒ f đơn điệu ⇒ f giả đơn điệu. Trong trường hợp tổng quát,

chiều ngược lại có thể không đúng.

Ví dụ 1.1. Trong không gian R2 xét hàm số
f : R+ × R+ −→ R
(x, y) −→ f (x, y) = −x2 + xy.

Khi đó f là hàm đơn điệu mạnh với hằng số 0 < τ ≤ 1.
Thật vậy, vì f (y, x) = −y 2 + xy , nên ta có
f (x, y) + f (y, x) = −(x − y)2 ≤ −τ (x − y)2 ,

do đó f là hàm đơn điệu mạnh với hằng số 0 < τ ≤ 1.
Tính đơn điệu chặt, đơn điệu, giả đơn điệu dễ dàng kiểm tra bằng định nghĩa.
Định nghĩa 1.3. Tập con C ⊆ Rn gọi là nón, nếu
λx ∈ C

∀x ∈ C, λ ≥ 0.

Tập C ∈ Rn được gọi là nón lồi nếu nó vừa là nón vừa là tập lồi, tức là
λ1 x + λ2 y ∈ C

∀x, y ∈ C, λ1 , λ2 ≥ 0.

Ví dụ 1.2. Rn+ là một nón lồi.
Định nghĩa 1.4. ([3]) Cho C ⊆ Rn là một tập lồi và x ∈ C , nón pháp tuyến
ngoài của C tại x0 (hay còn gọi là nón lồi đóng), kí hiệu là NC (x0 ), được xác
định bởi công thức
NC (x0 ) := {p ∈ Rn :

p, x − x0 ≤ 0

10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

∀x ∈ C}.




data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....



data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....