khóa luận tốt nghiệp toán học

LỜI CẢM ƠN
Được sự phân công của khoa Toán trường Đại học Sư Phạm Đà Nẵng, và
sự đồng ý của giáo viên hướng dẫn cho phép tôi làm khóa luận tốt nghiệp với đề
tài: “Sử dụng thao tác tư duy Phân tích - Tổng hợp để tìm ra lời giải cho bài
toán khoảng cách trong hình học không gian”.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các quý thầy cô khoa Toán đã tận
tình giảng dạy và hướng dẫn trong nhiều năm tôi theo học tại trường Đại học Sư
Phạm Đà Nẵng. Đặc biệt là cho phép tôi gửi lời biết ơn sâu sắc đến cô ThS. Ngô
Thị Bích Thủy là người hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu.
Trong quá trình nghiên cứu bản thân tôi đã khắc phục mọi khó khăn để
hoàn thành khóa luận. Tuy nhiên vì thời gian có hạn và kiến thức còn hạn chế
nên không tránh khỏi thiếu sót. Kính mong quý thầy cô và các bạn góp ý, bổ
sung để tôi hoàn thiện tốt hơn đề tài này.
Xin chân thành cảm ơn!

1


PHẦN I: MỞ ĐẦU
1.

Lý do chọn đề tài:

Trong môn Toán ở trường phổ thông, phần hình học không gian giữ một vai
trò, vị trí vô cùng quan trọng. Ngoài việc cung cấp các kiến thức, kỹ năng giải
toán; hình học không gian còn góp phần rèn luyện cho học sinh những đức tính
mới: cẩn thận, chính xác, sáng tạo và óc thẩm mỹ cao.
Hình học không gian là mảng kiến thức khó, đặc biệt là bài toán về khoảng
cách. Trong quá trình học tập, các em học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi tiếp
xúc với những khái niệm mới, những dạng bài toán mới; nó khiến các em khó
tiếp thu trọn vẹn kiến thức cũng như ghi nhớ chúng và vận dụng vào việc giải

các bài tập. Chính vì thế mà nhiều em học sinh còn học yếu môn học này, cảm
thấy nó vô cùng trừu tượng và thiếu tính thực tế. Đối với giáo viên, việc tìm ra
phương pháp truyền đạt phù hợp với dạng toán này cũng như việc hướng dẫn
cho học sinh nắm được hướng tư duy và cách tiếp cận bài toán này một cách bài
bản theo trình tự các bước là là một vấn đề khó khăn.
Toán học gắn liền với tư duy, các thao tác tư duy là phần không thể thiếu
trong việc tìm ra lời giải cho bài toán. Để học tốt môn Toán, chúng ta không thể
áp đặt hay rập khuôn máy móc. Do đó muốn học sinh dễ dàng giải quyết các bài
toán, cần nắm vững và vận dụng thao tác này một cách hợp lý và hiệu quả nhất
có thể.
Với những lý do nói trên, tôi quyết định chọn đề tài cho luận văn của mình là
“SỬ DỤNG THAO TÁC TƯ DUY PHÂN TÍCH – TỔNG HỢP ĐỂ TÌM RA
LỜI GIẢI CHO BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG
GIAN”. Thông qua đề tài này, tôi muốn đưa ra dạng bài toán khoảng cách cơ
bản trong phần HHKG, nhằm tổng hợp lại kiến thức về dạng toán này cũng như
tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh hay gặp phải. Bên cạnh đó,

2


luận văn sẽ định hướng lời giải cho bài toán bằng thao tác tư duy phân tích, làm
nền tảng cho việc truyền tải kiến thức cho học sinh theo hướng mới với mong
muốn cải thiện kỹ năng giải bài toán khoảng cách nói riêng và các bài toán
HHKG nói chung. Ngoài ra, qua việc nắm vững được kiến thức môn Toán, còn
giúp các em tìm ra hứng thú, niềm vui học tập cho bản thân sau này.
2.

Mục đích nghiên cứu:

Nghiên cứu này sẽ thống kê lại cho học sinh các dạng bài toán cơ bản về

khoảng cách HHKG. Ngoài ra nó còn cung cấp cách phân tích nhằm tìm ra lời
giải cho bài toán một cách phù hợp và chính xác nhất.
3.

Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Nghiên cứu cơ sở lý luận cho đề tài này.
- Trình bày các phương pháp thường dùng đối với từng dạng toán khoảng

cách để tìm ra lời giải.
- Đưa ra lời giải bằng thao tác tư duy Phân tích – Tổng hợp cho từng bài
toán cụ thể.

4.
5.

6.

- Hệ thống và giải một số bài tập điển hình chủ đề khoảng cách.
Đối tượng nghiên cứu:
Hoạt động dạy và học của giáo viên và học sinh trong nhà trường THPT.
Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu lý luận.
- Phương pháp quan sát.
- Phương pháp so sánh, tổng hợp.
Phạm vi nghiên cứu:

Đề tài này chỉ tập trung nghiên cứu kiến thức trọng tâm sách giáo khoa hình
học lớp 11, 12 (cơ bản và nâng cao), sách giáo viên và các sách tham khảo có
liên quan.
Các sách về phương pháp và lí luận dạy học.

7.

Cấu trúc khóa luận:
3


Khóa luận gồm 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lí luận.
Chương 2: Phân dạng các bài toán về khoảng cách trong hình học không gian.
Chương 3: Rèn luyện thao tác tư duy Phân tích – Tổng hợp cho học sinh thông
qua các bài toán tính khoảng cách trong không gian.
Ngoài ra còn có Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận, Tài
liệu tham khảo.
Những chữ viết tắt sử dụng trong đề tài:
HHKG: Hình học không gian.
THPT: Trung học phổ thông.
NXBGD: Nhà xuất bản giáo dục.
SGK: Sách giáo khoa.
NC: Nâng cao.
CB: Cơ bản.

PHẦN II: NỘI DUNG
Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN

4


1.1. Khái niệm về tư duy:
“Tư duy là một quá trình phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối
quan hệ và liên hệ có tính quy luật bên trong sự vật, hiện tượng trong hiện thực

khách quan mà trước đó ta chưa biết”. Như vậy, tư duy về bản chất là một quá
trình cá nhân thực hiện nhờ các thao tác tư duy nhất định để giải quyết vấn đề
hay nhiệm vụ được đặt ra. Các thao tác tư duy được nói đến ở đây là thao tác:
phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa. Đó là những thao
tác cơ bản.
Tư duy là hình thức cao nhất của sự phản ánh, là mức độ nhận thức mới
về chất so với cảm giác, tri giác. Hay nói cách khác tư duy là sự nhận thức lý
tính phản ánh những thuộc tính bản chất bên trong, những mối quan hệ liên hệ
có tính chất quy luật của sự vật, hiện tượng.
Ví dụ: Khi gặp một hình chóp đều có đáy là tứ giác thì ta sẽ nhận biết
được ngay đáy của nó là tứ giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau… đó là dựa
vào các kiến thức học được từ định nghĩa trong sách giáo khoa. Còn tư duy sẽ
cho ta biết đường nối giao điểm của hai đường chéo ở mặt đáy và đỉnh của hình
chóp là khoảng cách từ đỉnh hình chóp đều tới mặt đáy.
Tuy rằng tư duy phản ánh được những thuộc tính bản chất bên trong của
sự vật hiện tượng, nhưng tư duy không phải bao giờ cũng dẫn tới cái đúng mà
nó còn phụ thuộc vào chiến thuật và phương pháp tư duy.
1.2. Đặc điểm của tư duy:
Tư duy có nhiều đặc điểm đặc trung như: tính có vấn đề của tư duy, tính
gián tiếp của tư duy, tính trừu tượng hóa - khái quát hóa, tư duy quan hệ chặt
chẽ với ngôn ngữ, tư duy quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính. Đối với con
người tư duy đóng vai trò vô cùng quan trọng vì tư duy giúp ích rất nhiều cho
việc mở rộng giới hạn nhận thức; nâng cao khả năng nhìn nhận sâu sắc vào bản
chất của sự vật, hiện tượng và tìm ra các mối quan hệ có tính quy luật giữa
chúng với nhau. Bên cạnh đó, tư duy không chỉ giải quyết được những nhiệm
vụ trước mắt mà còn có thể thấy được những nguyên nhân sâu xa, hậu quả của
5


vấn đề hoặc diễn tiến tương lai do nắm được qui luật vận động của tự nhiên, xã

hội và con người. Tư duy giúp ta vận dụng những những kiến thức đã tích lũy
được để giải quyết những vấn đề liên quan nhờ đó tiết kiệm được công sức. Nhờ
tư duy, trình độ hiểu biết của con người cũng nâng cao hơn và làm việc có kết
quả tốt hơn. Tư duy có phương tiện là ngôn ngữ và có sản phẩm là những khái
niệm, những phán đoán, những suy luận được biểu đạt bằng từ ngữ, kí hiệu,
công thức.
1.2.1. Tính có vấn đề của tư duy:
Trong thực tế tư duy chỉ nảy sinh khi gặp hoàn cảnh có vấn đề. Tình
huống có vấn đề là tình huống chưa có đáp số nhưng đáp số đã tiềm ẩn bên
trong tình huống chứa những điều kiện giúp ta tìm ra những đáp số đó. Nhưng
không phải bất cứ tác động nào của hoàn cảnh đều xuất hiện tư duy.
Hoàn cảnh có vấn đề là những tình huống mà bằng vốn kiến thức,
phương pháp cũ không giải quyết được mà cần đến những phương pháp tri thức
mới để giải quyết vấn đề, tức là phải tư duy. Nhưng không phải bất cứ hoàn
cảnh nào có vấn đề nào cũng xuất hiện tư duy ở bản thân. Vậy để kích thích
được tư duy thì hoàn cảnh có vấn đề phải được cá nhân nhận thức đầy đủ và có
nhu cầu chuyển thành nhiệm vụ của tư duy để giải quyết vấn đề đó (nghĩa là cá
nhân phải xác định được cái gì đã biết, đã cho, cái gì chưa biết, cần phải tìm).
Ví dụ: Khi dạy bài “Khoảng cách” trong chương trình toán hình học
11NC, giáo viên hướng dẫn học sinh làm bài toán sau: “Cho hình chóp S.ABCD
có đáy là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy. Tìm khoảng cách từ B đến mặt
bên (SCD)”

S

H
A

B

D
C

6


Theo định nghĩa đã học thì học sinh sẽ tìm hình chiếu vuông góc H của
điểm B lên mặt (SCD), nhưng theo cách này việc tìm điểm H là rất khó

⇒

Xuất

hiện hoàn cảnh có vấn đề.
Như vậy các em sẽ phải tìm hiểu kiến thức mới để tìm ra lời giải thông
qua định nghĩa 2 tiếp theo trong bài.
1.2.2. Tính gián tiếp của tư duy:
Tư duy có khả năng phản ánh gián tiếp thông qua các dấu hiệu, kinh
nghiệm, ngôn ngữ, công cụ,…Tính gián tiếp của tư duy giúp con người nhận
thức thế giới khách quan sâu sắc, đầy đủ, đồng thời mở rộng khả năng hiểu biết
của con người, của chủ thể tư duy.
Ví dụ: Bằng các phần mền toán học kết hợp với máy vi tính giáo viên có
thể minh họa và hướng dẫn cho học sinh thấy rõ: Đường cao của một khối đa
diện là đường nào?...
1.2.3. Tính trừu tượng hóa và khái quát của tư duy:
a) Tính trừu tượng hóa:
Là khả năng con người dùng trí óc để gạt bỏ những liên hệ, những mặt,
những thuộc tính không cần thiết mà chỉ giữ lại yếu tố nào là cần thiết để tư
duy.
b) Tính khái quát hóa:

Là khả năng con người hợp nhất nhiều đối tượng khác nhau nhưng có
chung những thuộc tính, những mối liên hệ thành một nhóm.
Ví dụ: Khi hướng dẫn học sinh làm các bài tập về khoảng cách của một
điểm tới một mặt phẳng thì phương pháp tính cho trường hợp này có thể áp
dụng cho các trường hợp tính khoảng cách khác hay không.
1.2.4. Tư duy gắn liền với ngôn ngữ:

7


Tư duy của động vật bao giờ cũng dừng lại ở tư duy hành động trực giác
mà không vượt quá giới hạn đó. Còn ở con người tư duy mang tính gián tiếp
trừu tượng hóa và khái quát hóa, mối liên hệ giữa tư duy và ngôn ngữ là mối
liên hệ biện chứng, nó là mối liên hệ giữa nội dung và hình thức. Trong đó ngôn
ngữ là hình thức biểu đạt cố định của tư duy. Nhờ đó người khác và chủ thể tư
duy tiếp cận kết quả tư duy một cách dễ dàng. Hay nói cách khác ngôn ngữ là
phương tiện tư duy.
1.2.5. Tư duy quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính:
Tư duy bao giờ cũng liên hệ gắn bó mật thiết với nhận thức cảm tính.
Nhận thức cảm tính là cửa ngõ của tư duy liên hệ với thế giới bên ngoài, nhận
thức cảm tính cung cấp chất liệu cho tư duy và cuối cùng toàn bộ sản phẩm của
tư duy được kiểm nghiệm trong hoạt động thực tiễn.
Trong học tập toán đặc điểm này thể hiện để tìm hiểu nội dung hay chứng
minh một bài toán trước hết dựa vào nhận thức cảm tính về yêu cầu hay giả
thuyết ( thử hướng này, hướng khác) đi đến nhận xét, kiểm tra bằng hoạt động
tư duy đi đến kết quả
Ví dụ: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông,
SA = 2a

AB = a

,

. Hãy xác định đường cao của hình chóp S.ABCD.

Với những dữ kiện của bài toán: đáy là hình vuông, các cạnh bên đều
bằng nhau, các mặt của hình chóp là tam giác cân

⇒

Ta có thể đoán được

đường cao của hình chóp hạ từ đỉnh S sẽ đi qua giao điểm của hai đường chéo
nằm ở mặt đáy.
1.3. Thao tác tư duy Phân tích -Tổng hợp:
1.3.1 Mô tả:
Trong một đối tượng chứa nhiều thành phần, bộ phận, trong đó mỗi bộ
phận có một mối quan hệ khác nhau. Để nhận thức được toàn diện bộ phận đó,
8


ta tiến hành nhận thức riêng từng bộ phận để việc nhận thức được tương đối
hoàn thiện hơn, quá trình đó gọi là phân tích. Tổng hợp là hợp nhất lại kết quả
đã nhận thức ở từng bộ phận thành một chỉnh thể. Đây là hai thao tác cơ bản
nhất của mọi quá trình tư duy.
Có thể nói Phân tích - tổng hợp là một cặp thao tác tư duy cơ bản và quan
trọng nhất. Nó được thực hiện trong tất cả các quá trình tư duy của học sinh.
Với đặc trưng là phân chia đối tượng nhận thức thành các bộ phận, các thành
phần khác nhau sau đó hợp nhất các thành phần đã được tách rời nhờ sự phân
tích thành một chỉnh thể, trong môn toán, thao tác Phân tích – Tổng hợp thường

được sử dụng để tìm hiểu đề bài, để nhận diện bài toán thuộc loại nào, phân tích
cách diễn đạt các mối quan hệ của bài toán, phân tích thuật ngữ, phân tích cách
hỏi, câu hỏi, yêu câu của bài toán, những tình huống,... tổng hợp các yếu tố,
điều kiện vừa phân tích trong bài toán để đưa ra điều kiện mới, kết luận mới,
tổng hợp các bước giải bộ phận để liên kết tạo thành bài giải hoàn thiện, tổng
hợp các bài toán tương tự theo một tiêu chí nhất định thành một mẫu bài toán,
tổng hợp các cách giải tạo thành phương pháp giải chung,...
Đây là hai thao tác trái ngược nhau, nhưng lại liên hệ chặc chẽ với nhau
trong một thể thống nhất.
1.3.2 Tác dụng trong dạy học toán:
Tư duy có vai trò vô cùng quan trọng. Tư duy mở rộng giới hạn nhận
thức, giúp con người khái quát được một phạm vi rộng lớn của thực tiễn tri thức
và nắm được mối quan hệ giữa nhiều lĩnh vực khác nhau. Khi quan sát các vì
sao, biến thiên dãy số,… chỉ có thể nhận thức cảm tính về chúng, dù có một
triệu hình tam giác chỉ có thể nghi ngờ tổng ba góc trong là

1800

. Chỉ có tư duy

mới thật sự làm cho chúng ta hiểu rõ những vấn đề rộng lớn trong cuộc sống.
Đặc biệt thao tác tư duy Phân tích – Tổng hợp có vai trò hết sức cần thiết
cho các em học sinh trong quá trình học tập môn Toán.
9


- Giúp học sinh hiểu sâu và đầy đủ những thuộc tính, những trường hợp
riêng lẻ nằm trong một khái niệm, một định lý....
- Từ những thuộc tính riêng lẻ đó học sinh tổng hợp lại để nhận biết chính
xác, đầy đủ một khái niệm,...

Đây là thao tác cơ bản luôn luôn được sử dụng để tiến hành những thao
tác khác.
1.3.3 Một vài biện pháp thực hiện:
* Khi dạy khái niệm, định nghĩa tập cho học sinh phân tích các thuộc tính
bản chất để từ đó tổng hợp lại nhận biết và phân biệt với khái niệm khác hay để
tìm ra mối liên hệ giữa các khái niệm gần gũi nhau.
Ví dụ 1: Định nghĩa “Khoảng cách từ một đến một mặt phẳng” được phân
tích thành:

d ( M ; H ) H ∈ ( P)
- Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là:
,
sao
cho

MH ⊥ ( P)

d (M ;( P))
. Kí hiệu:

.

Ví dụ 2: Phân tích để thấy sự khác nhau và giống nhau của hai định nghĩa
“ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song” và “ Khoảng cách
giữa hai mặt phẳng song song ”
- Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với

d ( A;( P))
đường thẳng a là:

với

A∈a

d (a;( P))
. Kí hiệu :

.

d ( B;(Q))
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) là:

B ∈ ( P)

d (( P);(Q))
. Kí hiệu:

.
10

với


* Khi dạy định lý phải tập cho học sinh biết phân tích giả thuyết kết luận,
phân tích để thấy các bước, các ý trong khi chứng minh, để thấy và phân biệt sự
giống nhau và khác nhau giữa các định lý gần gũi nhau.
Ví dụ 3: Định lí về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
- Phân tích giả thiết, kết luận:

d

+ Giả thiết:

a, b ∈ ( P )
•
•
•

a
.

a b.
d ⊥ a, d ⊥ b

P

b

.

+ Kết luận:

d ⊥ ( P)
•

.

* Khi dạy học sinh giải bài tập toán cần phải:
+ Nhìn bao quát một cách tổng hợp, xem xét bài toán đã cho thuộc loại
nào? Phân tích cái đã cho và cái cần tìm...

+ Thực hiện phân tích và tổng hợp xen kẽ nhau. Sau khi phân tích được
một số ý thì tổng hợp lại để xem ta thu được điều gì bổ ích không, còn thiếu yếu
tố nào nữa?
+ Tách bài toán đã cho (thường là khó hơn) thành nhiều bài toán thành
phần, bài toán đặc biệt đơn giản hơn và dễ hơn, và cuối cùng tổng hợp lại để có
kết quả.
1.4. Những khó khăn thường gặp của học sinh khi giải các bài toán khoảng
cách trong HHKG:

11


HHKG là phần nội dung kiến thức tương đối khó nên nhiều học sinh chưa
quen với tính tư duy trừu tượng của nó, học sinh khó khăn ngay từ bước đầu
tiếp cận ở lớp 11 và vì thế dễ dẫn đến sự mất hứng thú đối với HHKG. Cũng vì
thế mà các dạng bài toán về khoảng cách trong HHKG lại càng là vấn đề nan
giải của các em học sinh trong quá trình học.
Qua thực tế cho thấy nhiều bạn học sinh khi làm các bài tập về khoảng
cách trong HHKG còn lúng túng, không phân dạng được các dạng toán và chưa
định hướng được cách giải,... Học sinh thường hay gặp phải những khó khăn
sau:
+ Chưa xác định được giả thiết và kết luận của bài toán.
+ Vẽ hình chưa đúng hoặc vẽ khó nhìn, khó hình dung.
+ Quen với hình học phẳng, óc tưởng tượng không gian chưa tốt, chưa
vận dụng được các tính chất của hình học phẳng cho hình không gian.
+ Khả năng suy luận hình học còn hạn chế, dẫn đến việc xây dựng kế
hoạch giải còn khó khăn.
+ Việc trình bày bài của học sinh còn thiếu chính xác, chưa khoa học, còn
lủng củng, nhiều khi đưa ra khẳng định còn thiếu căn cứ, không chặt chẽ.
+ Không phân dạng được các bài toán về khoảng cách.

+ Không biết đưa các bài tập khoảng cách từ các trường hợp phức tạp về
đơn giản hơn.
+ Khả năng suy luận hình học còn hạn chế, dẫn đến việc xây dựng kế
hoạch giải còn khó khăn.
+ Việc trình bày bài của học sinh còn thiếu chính xác, chưa khoa học, còn
lủng củng, nhiều khi đưa ra khẳng định còn thiếu căn cứ, không chặt chẽ.

12


* Học sinh lúng túng, không định hướng được cách giải trong các bài
toán cụ thể là do:
+ Định lý, khái niệm còn trừ tượng nên học sinh chưa hiểu rõ một cách
tường tận.
+ Thời gian luyện tập trên lớp còn hạn chế.
+ Chưa xác định động cơ học tập đúng đắn.

13


Chương 2: PHÂN DẠNG CÁC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
2.1 Kiến thức cơ bản:
Định nghĩa: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là khoảng cách từ
điểm đó đến hình chiếu của nó trên đường thẳng. Khoảng cách từ điểm A đến
đường thẳng

(∆ )

được kí hiệu là

d ( A;(∆))

.

A

H
Định nghĩa: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là khoảng cách từ
điểm đó đến hình chiếu của nó trên mặt phẳng. Khoảng cách từ điểm A đến mặt
A

d ( A;( P))
phẳng (P) được kí hiệu là

.

H

P

Định nghĩa: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng
cách từ một điểm bất kì của đường thẳng đến mặt phẳng. Khoảng cách giữa
B
đường thẳng và mặt phẳng được kí hiệu là:
A

P

d (a;( P))

K

H
14

.


Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một
điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Khoảng cách giữa hai mặt

d (( P);(Q))
phẳng (P) và (Q) được kí hiệu là:
A
B
Q

H

K

P

Định nghĩa:
- Đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng chéo nhau gọi là đường vuông
góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.
- Nếu đường vuông góc chung cắt hai đường thẳng chéo nhau tại A và B thì
đoạn thẳng AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung

của hai đường thẳng đó.

d ( a; b )
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b được kí hiệu là:
a

c
A
B

b

15

.


Nhận xét:
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách một trong hai
đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng còn lại.
a
A

P

c
a’
Q

B

b

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt
phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
a
Q

b
P
Tính chất: Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O (
OC ⊥ OA

OA ⊥ OB, OB ⊥ OC ,

) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Khi đó đường cao
1

OH được tính bằng công thức:

1
1
1
=
+
+
OH 2 OA2 OB 2 OC 2

.

Chú ý: Khoảng cách giữa hai yếu tố điểm, đường thẳng, mặt phẳng là khoảng
cách bé nhất giữa hai điểm thuộc hai yếu tố đó.
2.2 Phân dạng bài tập khoảng cách:

16


2.2.1 Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng:
2.2.1.1 Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng

∆

:

Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng
với H là hình chiếu của điểm A lên đường thẳng
- Kẻ

AH ⊥ ∆

thì

∆

. Kí hiệu:

∆

bằng đoạn AH

d ( A, ∆ ) = AH

.

d ( A; ∆) = AH .

- Nếu có mặt phẳng

( A; ∆)

và A’, B’ thuộc

∆

thì AH là đường cao của

∆AA’B’

.

- Để tính đoạn AH ta có thể dùng hệ thức lượng trong tam giác, tam giác vuông,
quan hệ diện tích, tam giác đồng dạng, quan hệ song song,…
A

A

A’

H

B’

H
Ví dụ: Cho tam giác ABC với AB = 7cm, BC = 5cm, CA = 8cm. Trên đường
thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A, lấy điểm O sao cho
Tính khoảng cách từ điểm A và điểm O đến đường thẳng BC.
Giải:
Dựng AH là đường cao của tam giác ABC thì:

d ( A; BC ) = AH

Theo công thức Hêrông, diện tích S của tam giác ABC là:

17

AO = 4cm

.


S = 10.5.3.2 = 10 3

Vì:

(cm2)

2S 20 3
=
=4 3
BC

5

(cm)

AH ⊥ BC ⇒ OH ⊥ BC

Do đó:
Vậy

⇒ AH =

OH 2 = OA2 + AH 2 = 16 + 48 = 64

OH = 8

(cm)

2.2.1.2 Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P):
Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng đoạn AH

với H là hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng (P). Kí hiệu:

d ( A, ( P ) ) = AH

.

A

P

H

- Ngoài cách xác định hình chiếu thông thường, ta có thể sử dụng quan hệ song
song, đặc biệt hơn là phải tìm mặt phẳng (Q) chứa A, vuông góc với (P), lúc đó
H là hình chiếu trên giao tuyến d của (P) và (Q).
Thông thường khi giải bài toán khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ta sử
dụng 2 trường hợp sau:

18


A ∈ (Q) (Q) ∩ ( P) = ∆
P
(*) Trường hợp 1: Giả sử
,
và trên (P) tồn tại S sao cho
SA ⊥ (Q)

.

AH ⊥ (∆)

Bước 1: Kẻ
Q

Bước 2: Ta có:

Do

, kẻ

AK ⊥ SH

S
.

K

 ∆ ⊥ AH
⇒ ∆ ⊥ ( SHA) ⇒ ∆ ⊥ AK .

 ∆ ⊥ SA

H

∆

 AK ⊥ ∆
⇒ AK ⊥ ( P).

 AK ⊥ SH

Bước 3: Vậy

A

d ( A;( P)) = AK .

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,

SA ⊥ ( ABC )

. Biết

BC = a

SA = a

và

. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).

Giải:
Trong (ABC), kẻ
⇒H

tại H .

là trung điểm của BC.

Trong (SAH), kẻ

Do

AH ⊥ BC

AK ⊥ BC

S
tại K.

 BC ⊥ AH
⇒ BC ⊥ (SAH )

 BC ⊥ SA

⇒ BC ⊥ AK

K
.

A

.

C
B

19

H


Vì:

 AK ⊥ BC
⇒ AK ⊥ (SBC ) ⇒ d ( A;( SBC )) = AK

 AK ⊥ SH

AH =

Ta có:

Trong

∆SAH

BC a
= ; SA = a.
2
2

SA. AH
AK =
=
SA2 + AH 2

d ( A;(SBC )) = AK =
Vậy:
P
H

Bước 1: Tìm giao tuyến

AH ⊥ (∆)

Bước 3: Kết luận:

a 5

5

A ∈ (Q)

(*) Trường hợp 2:

Bước 2: Kẻ

a.

a2
4

=

a 5
5
.

.

sao cho

(Q) ⊥ ( P)

(Q) ∩ ( P) = ∆

. Khi đó

a

2

a2 +

vuông tại A, ta có:

Q
A

.

.

.

∆

AH = d ( A,( P)).

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với

AB = a, AD = a 3

. Gọi

H ∈ AC

AH =

sao cho

khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC).
Giải:
Kẻ

BK ⊥ AC

tại K.

20

AC
4

. Biết

SH ⊥ ( ABCD)

. Tính


P

O
A

Khi đó:

 BK ⊥ AC
⇒ BK ⊥ (SAC )


BK
⊥
SH


⇒ d ( B;(SAC )) = BK

Trong

BK =

∆ABC

S

.
A

vuông tại B, ta có:

H

AB. AC
a.a 3
a 3
=
=
2
AB 2 + BC 2

a 2 + 3a 2

d ( B;( SAC )) =
Vậy

B

K
D

C

a 3
.
2

Chú ý 1: Ngoài cách làm trực tiếp ta còn có các cách tính gián tiếp như sau:

P

Cách 1: Nếu

AB ∩ ( P) = O

d ( A;( P)) OA
=
d ( B;( P)) OB
. Khi đó:

AB / /( P)

Cách 2: Nếu

. Khi đó:

.

d ( A;( P)) = d ( B;( P))

21

.


Cách 3: Nếu

AB ∩ ( P)

tại trung điểm của AB. Khi đó:

d ( A;( P)) = d ( B;( P))

.

Chú ý 2:
Xác định chiều cao của hình chóp:
Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt
đáy: Đường cao của hình chóp là cạnh
bên ấy.
Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt
đáy: Đường cao của hình chóp là đường

cao xuất phát từ đỉnh của mặt bên ấy.

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có
SA ⊥ ( ABC )
thì đường cao là SA.
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có
( SAB ) ⊥ ( ABCD )
thì đường cao hình
chóp là đường cao kẻ từ đỉnh S của
∆SAB
.
Hình chóp có hai mặt bên vuông góc với Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có hai
mặt đáy: Đường cao của hình chóp là giao mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc
tuyến của hai mặt bên đó.
với mặt đáy thì đường cao hình chóp là
SA.

2.2.2 Khoảng cách giữa hai đoạn thẳng chéo nhau:

22


Định nghĩa: Cho hai đường thẳng chéo nhau
chung của hai đường thẳng

d1

và

d2

Kí hiệu:

và

d2

. Đường vuông góc

d1 d2
lần lượt cắt các đường thẳng ,
tại O

và H. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
d ( d1 , d 2 ) = OH

d1

d1

và

d2

bằng đoạn thẳng OH.

.

Phương pháp: Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta
phân hai trường hợp như sau:

(*) Trường hợp 1:

d1 ⊥ d2

Bước 1: Dựng mặt phẳng (P) chứa d2 và vuông góc với d1.
Bước 2: Tìm giao điểm
Bước 3: Trong (P) kẻ

Bước 4: Do

OH ⊥ d1

OH ⊥ d 2

d1

d1 ∩ ( P) = O

OH ⊥ d 2

d2

O

.

H

P

nên

OH = d (d1, d 2 )

.

Ví dụ: Cho hình S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với

AD = a 3, SA ⊥ ( ABCD), SA = a 3

S
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

AD và SB.
Giải:
Kẻ

AH ⊥ SB

AB = a,

H
A

D

tại H.
B

23

C


Do

 AD ⊥ AB
⇒ AD ⊥ (SAB)

 AD ⊥ SA

⇒ AD ⊥ AH
 AH ⊥ SB

 AH ⊥ SA

Vì

nên

d ( AB, SB) =
Vậy
M

SA. AB
a 3.a
a 3
=
=
2

SA2 + AB 2
3a 2 + a 2

d ( AB, SB) = AH =

a 3
.
2

(*) Trường hợp 2: Hai đường thẳng chéo nhau và không vuông góc với nhau.
Bước 1: Chọn (P) chứa d2 và

( P) / / d1

.

d (d1, d 2 ) = d (d1,( P)) = d (M ,( P)) ( M ∈ d1 )
Bước 2: Khi
,
.
d 2đó:

d1

H

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
P
SA ⊥ ( ABCD ), SA = a 3

d ( AB, SC )
. Tính

.

Giải:
Kẻ

AH ⊥ SD

tại H.

24


Do

Vì

CD ⊥ AD
⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ AH

CD ⊥ SA

S
H

 AH ⊥ CD
⇒ AH ⊥ (SCD)


 AH ⊥ SD

A

D

⇒ d ( A,( SCD)) = AH
B

SA. AD
a 3.a
a 3
⇒ AH =
=
=
2
SA2 + AD2
3a2 + a 2

Ta có:

Vì

C

 AB / / CD
⇒ AB / /( SCD)

CD ⊂ ( SCD)

 AB / / CD

 SC ⊂ (SCD)

d ( AB, SC ) = d ( AB,( SCD)) = d ( A,( SCD)) =
nên

a 3
2

.

2.2.3 Ứng dụng thể tích để tính khoảng cách:

- Thể tích của khối chóp

1
3V
V = S .h ⇔ h =
3
S

(trong đó S là diện tích đáy và h là

chiều cao của khối chóp).
Ta có thể dùng công thức này để tính khoảng cách từ đỉnh của hình chóp
đến mặt đáy.
2.2.4 Phương pháp tọa độ trong không gian:
- Phương pháp tọa độ trong không gian: Trong chương III - §1 SGK hình học
12, Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), NXBGD

2008, đã nêu định nghĩa và một số tính chất sau :

25