Lý thuyết lượng tử về một số hiệu ứng động trọng hệ thống bán dẫn thấp chiều

Header Page 1 of 126.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TÓM TẮT BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ MỘT SỐ HIỆU ỨNG
ĐỘNG TRONG HỆ BÁN DẪN THẤP CHIỀU
Mã số: Đ2013-03-45

Chủ nhiệm đề tài:

TS. Hoàng Đình Triển

Đà Nẵng, 12/ 2013
0
Footer Page 1 of 126.


Header Page 2 of 126.

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong những thập niên gần đây, ngành vật lý hệ thấp chiều (vật
lý nano) được nhiều nhà vật lý trên thế giới quan tâm bởi những
đặc tính ưu việt mà cấu trúc tinh thể 3 chiều không có được. Trong
các cấu trúc có kích thước lượng tử, nơi các hạt dẫn bị giới hạn bởi
trong những vùng có kích thước đặc trưng vào cỡ bước sóng De

Broglie, các tính chất vật lý của điện tử thay đổi kịch tính. Tại đây,
các quy luật của cơ học lượng tử bắt đầu có hiệu lực, trước hết,
thông qua việc biến đổi đặc trưng cơ bản nhất của hệ điện tử là
hàm sóng và phổ năng lượng của nó. Phổ năng lượng trở thành
gián đoạn dọc theo hướng toạ độ giới hạn. Dáng điệu của hạt dẫn
trong các cấu trúc kích thước lượng tử tương tự như khí hai chiều [
1-2] hoặc khí một chiều [3-4], .... Từ đó, hầu hết các tính chất
quang, điện đều có những thay đổi đáng kể [5-6]. Đặc biệt, một số
tính chất mới khác, được gọi là hiệu ứng kích thước, đã xuất hiện.
Sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ chế tạo vật liệu, đặc biệt
là công nghệ epitaxy chùm phân tử, rất nhiều hệ vật liệu với cấu
trúc nano như cấu trúc hố lượng tử, siêu mạng bán dẫn, các dây
lương tử và chấm lượng tử được chế tạo. Với đặc tính ưu việt của
nó, hàng loạt các hiệu ứng trong hệ bán dẫn thấp chiều đã được
nghiên cứu như: các cơ chế tán xạ điện tử-phonon [7-8], tính dẫn
điện tuyến tính và phi tuyến [9-10], các tính chất quang [4], .... Vật
liệu nano ngày càng được phát triển mạnh mẽ về cả lý thuyết lẫn
thực nghiệm.
1
Footer Page 2 of 126.


Header Page 3 of 126.

Cùng với sự phát triển mạnh mẽ của thế giới, các nhà vật lý
trong nước cũng đã có nhiều thành công trong nghiên cứu các hiệu
ứng động trong hệ bán dẫn thấp chiều như: sự linh động của hạt
tải [11,12], sự hấp thụ sóng điện từ [13-21], Hiệu ứng âm điện và
âm điện từ [22-25] và nhiều tính chất khác. Tuy nhiên để bắt kịp
với sự phát triển của thế giới, và hoàn thiên hơn các hiểu biết về hệ

bán dẫn thấp chiều, chúng ta cần có nhiều hơn nữa các nghiên cứu
cơ bản về các hiệu ứng, các tính chất của các hệ bán dẫn thấp
chiều, từ đó làm nền tảng cho sự pháp triển của ngành chế tạo vật
liệu mới.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Đề tài sẽ là nghiên cứu một số hiệu ứng trong hệ bán dẫn thấp
chiều trên cơ sở lý thuyết trường lượng tử cho hệ nhiều hạt như:
hiệu ứng âm điện từ trong hệ hai chiều; sự hấp thụ phi tuyến sóng
điện từ trong hệ một chiều. Thu nhận được các biểu thức giải tích
của các đại lượng đặc trưng của các hiệu ứng, từ đó khảo sát sự ảnh
hưởng của các hiệu ứng lên các tham số đặc trưng của hệ. Kết quả
thu được của đề tài đóng góp cho sự hiểu biết thêm về các hiệu ứng
vật lý trong vật liệu thấp chiều, góp phần thức đẩy sự pháp triển
chung về khoa học cơ bản.
3. Phương pháp nghiên cứu
Trong khuôn khổ của đề tài, bài toán hấp thụ phi tuyến sóng
điện từ bởi điên tử giam cầm trong dây lượng tử được tác giả
nghiên cứu bằng phương pháp phương trình động lượng tử, đây là
2
Footer Page 3 of 126.


Header Page 4 of 126.

phương pháp đã được sử dụng cho bài toán tương tự trong bán dẫn
khối [55, 64] cũng như các hệ hai chiều [16, 67] và đã thu được
những kết quả có ý nghĩa khoa học nhất định. Xuất phát từ việc
giải phương trình động lượng tử cho điện tử trong các hệ thấp
chiều, hàm phân bố điện tử không cân bằng được tìm thấy, từ đó
biểu thức của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh trong dây

lượng tử và dòng âm điện trong hệ bán dẫn hai chiều được tính
toán giải tích. Kết hợp với phương pháp tính số bằng phần mềm
tính số Matlab
4. Nội dung nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
Bằng những công nghệ chế tạo vật liệu hiện đại, người ta có
thể chế tạo rất nhiều loại bán dẫn thấp chiêu. Với mục tiêu đã đề
ra, đề tài nghiên cứu lý thuyết lượng tử về sự hấp thụ phi tuyến
sóng điện từ mạnh khi có mặt của từ trường ngoài với ba loại dây
lượng tử đặc trưng: dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn, dây
lượng tử hình trụ hố thế parabol bất đối xứng và dây lượng tử hình
chử nhật hố thế cao vô hạn. Bài toán về hiệu ứng âm điện lượng tử
được nghiên cứu đối với siêu mạng pha tạp.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Những kết quả thu được của đề tài đóng góp một phần vào
việc hoàn thiện lý thuyết lượng tử về các hiệu ứng động trong hệ
thấp chiều mà cụ thể là lý thuyết lượng tử hấp thụ phi tuyến sóng
điện từ khi có mặt của từ trường ngoài trong cấu trúc bán dẫn một
3
Footer Page 4 of 126.


Header Page 5 of 126.

chiều và hiệu ứng âm điện từ trong cấu trúc bán dẫn hai chiều.
Về mặt phương pháp, với những kết quả thu được từ việc sử
dụng phương pháp phương trình động lượng tử cho điện tử giam
cầm, đề tài góp phần khẳng định thêm tính hiệu quả và sự đúng
đắn của phương pháp này cho các hiệu ứng phi tuyến trên quan
điểm lượng tử.

Bên cạnh đó, tác giả cũng hi vọng kết quả của đề tài có thể
đóng góp một phần vào việc định hướng, cung cấp thông tin về
các hiệu ứng động cho vật lý thực nghiệm trong việc nghiên cứu
chế tạo vật liệu nano. Các kết quả nghiên cứu có thể được sử dụng
làm thước đo, làm tiêu chuẩn hoàn thiện công nghệ chế tạo vật liệu
cấu trúc nano ứng dụng trong điện tử siêu nhỏ, thông minh và đa
năng hiện nay.
6. Cấu trúc của đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình liên
quan đến đề tài đã công bố, các tài liệu tham khảo và phần phụ lục,
nội dung của đề tài gồm 5 chương tổng cộng 50 trang. Nội dung
của các chương như sau:
Chương 1 trình bày tổng quan hệ bán dẫn thấp chiều.
Chương 2 nghiên cứu sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi
điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn
Chương 3 nghiên cứu sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi
điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình trụ hố thế parabol bất
đối xứng.
4
Footer Page 5 of 126.


Header Page 6 of 126.

chương 4 nghiên cứu sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từ manh
bởi điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao
vô hạn.
Chương 5 nghiên cứu lý thuyết lượng tử về hiệu ứng âm điện
trong cấu trúc bán dẫn hai chiều.

Chương 1 TỔNG QUAN VỀ HỆ BÁN DẪN THẤP CHIÊU
1.1 Khái quát về dây lượng tử

1. 2 Hệ bán dẫn hai chiều
Chương 2 HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ BỞI
ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH
TRỤ HỐ THẾ CAO VÔ HẠN
2.1 Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong dây lượng tử hố
thế cao vô hạn khi có mặt của từ trường ngoài
Giả sử có một từ trường đều đặt song song với trục của dây.
Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong dây lượng tử khi có mặt
của từ trường được viết như sau:
r r
H = ∑ε γH ( p − A(t )) aγ+, pr aγ , pr + ∑ ωqr bqr+ bqr
r

r
q

γ ,p

+

∑C
r r

γ ,γ ' , p ,q

Trong đó

γ

và

γ′

r
q

I

n ,l , n' ,l'

r
(q ) J

N ,N'

(u)a +'

r r

γ , p+q

aγ , pr (bqr + b−+qr ),

lần lượt là các bộ số lượng tử

của điện tử dưới tác dụng của từ trường ngoài,
5

Footer Page 6 of 126.

(2.1)

( N , n, l )

N , N′

và

( N ′, n′, l′)

là các chỉ số


Header Page 7 of 126.

vùng Landau

r er
c

H
( N = 0,1, 2,...) , ε n,l ( p − A(t ))

là phổ năng lượng của điện tử

dưới tác dụng của sóng điện từ với thế vectơ
trường được xác định theo biểu thức (1.6) ,

r
A(t )

khi có mặt của từ

aγ+, pr ( aγ , pr )

là toán tử sinh

(huỷ) của một electron trong dây lượng tử khi có mặt từ trường
ngoài,

J

N ,N'

(u )

đặc trưng cho tác động của từ trường lên dây lượng

tử được xác định theo tích phân như sau:
J

ở đây

∞

N ,N '

u = ac q⊥2 / 2 , r⊥

(u ) = ∫ drφ ' (r⊥ − ac2 ( pz − q⊥ ))e

và

−∞

iq⊥ pz

N

ac = c / eB

φN (r⊥ − ac2 pz )

(2. 2)

lần lượt là vị trí và bán kính quỹ đạo

cyclotron.

2.2 Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong
dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn khi có mặt của từ
trường ngoài
Để thu được biểu thức của phương trình động lượng tử cho
điện tử giam cầm trong dây lượng tử chúng ta bắt đầu từ phương
trình động lượng tử cho toán tử số hạt điện tử trong dây lượng tử
khi có mặt của từ trường

nγ , pr (t ) = 〈 aγ+, pr aγ , pr 〉 t

i

∂nγ , pr (t )
∂t

ta có:

= 〈[aγ+, pr aγ , pr , H ]〉 t

(2.3)

Sử dụng Hamiltonian (2.9) và các phép biến đổi toán tử ta được
biểu thức của phương trình động lượng tử cho điện tử trong dây
lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn khi có mặt của từ trường ngoài
6
Footer Page 7 of 126.


Header Page 8 of 126.
∂nγ , kr (t )
∂t

= ∑ Cqr

2

r

γ ′, q

r 2
I n , l , n′ , l ′ ( q ) J

r r
r r
eE0 q
eE0 q
(u ) ∑ J k (
)Js (
)×
N ,N '
mΩ 2
mΩ 2
k , s = −∞
2

∞

t

× exp{−i ( k − s )Ω}∫ {[ nγ ′, pr − qr (t ′) N qr − nγ , pr (t ′)( N qr + 1)] ×
−∞

× exp[i(ε γH, pr − ε γH′, pr −qr − ωqr )(t − t ′)] + [nγ ′, pr −qr (t ′)( Nqr + 1) − nγ , pr (t ′) N qr ] ×
× exp[i (ε γH, pr − ε γH′, pr −qr + ωqr )(t − t ′)] + [nγ , pr (t ′) N qr − nγ ′, pr + qr (t ′)( N qr + 1)] ×
× exp[i (ε γH′, pr + qr − ε γH, pr − ωqr )(t − t ′)] + [nγ , pr (t ′)( N qr + 1) − nγ ′, pr + qr (t ′) N qr ] ×
× exp[i(ε γH′, pr + qr − ε γH, pr + ωqr )(t − t ′)]}dt ′

(2.10)

2.3 Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện tử
giam cầm trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn khi có
mặt của từ trường ngoài
Thực hiện các tính toán, biểu thức tổng quát của hệ số hấp
thụ phi tuyến sóng điện từ trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao
vô hạn khi có mặt của từ trường ngoài:
e4 n0*ωc kbT

3e2 E02
r 2
(
− )∑ | I ' ' (q ) | [1 + 2 2 4 ] ×
α=
8ac m Ω
2ε 0c χ ∞ mac2 Ω3 χ ∞ χ 0 γγ ' n,l ,n l

×[exp{

1

1

−ωc
−ω
n 1 |n|
n' 1 | n ' |
[ N + + + ]} − exp{ c [ N ' + + +
]}] ×
kbT
2 2 2

kbT
2 2 2

 


A| M* |
×  *
 + [ωo → −ωo ] .
*
2
M (Ω − ωo + M ωc ) + A 
 


trong đó

M * = M + (n − n' ) / 2 + (l − l' ) / 2 , M = N − N ' ,
A = N0

| C0 |2
4π 2

∑|I
r
q

n , l , n 'l'

(2.32)

và
r
(q ) |2 víiN 0 = kbT / ωo .

Như vậy, bằng phương pháp phương trình động lượng tử, hệ số
hấp thụ phi tuyến sóng điện mạnh bởi điện tử giam cầm khi có mặt
của từ trường ngoài đã được xác định (2.32). Từ biểu thức giải tích
7
Footer Page 8 of 126.


Header Page 9 of 126.

này chúng ta thấy rằng sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từ khi có
mặt của từ trường chịu ảnh hưởng của các yếu tố đặc trưng của từ
trường ngoài như tần số cyclotron, chỉ số mức Landau. Để thấy rõ
hơn sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến vào các tham số của
hệ, biểu thức (2.32) sẽ được tính số và bàn luận. Biểu thức (2.32)
cũng cho thấy rằng nếu cho số hạng phụ thuộc bậc 2 vào cường độ
điện trường

E0

tiến đến 0 thì kết quả phi tuyến trên sẽ trở về kết

quả tuyến tính.

2.4 Kết quả tính số và thảo luận

Hình 2.3: Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng
điện từ vào năng lượng photon khi có mặt của từ trường ngoài
Hình 2.3 thể hiện sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến
sóng điện từ vào năng lượng photon khi có mặt của từ trường
ngoài. Khác với trường hợp không có mặt của từ trường, đỉnh hấp
thụ nhọn hơn rất nhiều và hệ số hấp thụ chỉ có giá trị đáng kể gần
đỉnh hấp thụ. Điều này thể hiện sự tác động của từ trường lên hệ số
8
Footer Page 9 of 126.


Header Page 10 of 126.

hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử giam cầm trong dây
lượng tử, khi có mặt của từ trường ngoài, phổ năng lượng của điện
tử bị gián đoạn theo các mức Landau, sự chuyển mức năng lượng
của điện tử sau khi hấp thụ sóng điện từ phải thỏa mãn điều kiện
Ω − ωo + M *ωc = 0 .

Hình 2. 4: Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng
điện từ vào năng lượng cyclotron
Hình 2.4 cho thấy sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến
sóng điện từ

α

vào năng lượng cyclotron ( hωc ) trong dây lượng tử

hình trụ hố thế cao vô hạn. Ta có thể thấy hệ số hấp thụ phi tuyến
sóng điện từ có những đỉnh cộng hưởng nhọn tại những giá trị khác

nhau của tần số cyclotron. Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ chỉ
có giá trị đáng kể ở vị trí đỉnh cộng hưởng này. Điều này cho thấy
rằng chỉ số mức Landau mà điện tử sau khi hấp thụ dịch chuyển
đến phải được xác định và phải thỏa mãn điều kiện
9
Footer Page 10 of 126.

Ω − ωo + M *ωc = 0 ,


Header Page 11 of 126.

đây là sự khác biệt so với bán dẫn khối. Một điều nữa có thể nhận
thấy là mật độ các đỉnh hấp thụ dày khi
tần số cyclotron

ωc

ωc < Ω

và nó thưa dần khi

tăng lên. Nó thể hiện sự ảnh hưởng của từ

trường lên hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ, khi từ trường
mạnh lên, sự ảnh hưởng của nó càng lớn, phổ hấp thụ càng trở nên
gián đoạn.

Chương 3 LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ SỰ HẤP THỤ PHI
TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH

TRỤ HỐ THẾ PARABOL KHI CÓ MẶT CỦA TỪ TRƯỜNG
Trong chương này bài toán hấp thụ phi tuyến sóng điện từ
bởi điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình trụ hố thế parabol
bất đối xứng được nghiên cứu với mục đích thu nhận những kết
quả về sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ trong
dây lượng tử hình trụ với hố thế parabol vào các tham số của hệ
như nhiệt độ, cường độ và tần số sóng điện từ, tần số cyclotron,
bán kính dây lượng tử và tần số hiệu dụng của hố thế, từ đó đánh
giá sự ảnh hưởng của hố thế giam cầm từ việc so sánh với kết quả
thu được trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn đã được
nghiên cứu ở chương 2.
3.1 Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong dây lượng tử hố
thế parabol khi có mặt của từ trường
Mô hình dây lượng tử hình trụ với hố thế parabol bất đối
xứng như (1.7). Hàm sóng và phổ năng lượng được xác định trong
(1.8) và (1.9). Bỏ qua tương tác của các hạt cùng loại. Giả sử có
10
Footer Page 11 of 126.


Header Page 12 of 126.

một từ trường đều đặt song song với trục của dây. Hamiltonian của
hệ điện tử-phonon trong dây lượng tử khi có mặt của từ trường
được viết như sau:
r e r
H = ∑ε γH ( p − A(t )) aγ+, pr aγ , pr + ∑ ωqr bqr+ bqr
r
r
c

q
γ,p

+

∑C

r r
γ ,γ ' , p , q

Trong đó

γ

và

γ′

I

r
q

n , l , n' , l '

r
(q ) J

N ,N '

(u )a +'

r r

γ , p+q

aγ , pr (bqr + b−+qr ),

lần lượt là các bộ số lượng tử

của điện tử dưới tác dụng của từ trường ngoài,
vùng Landau

r e r
( N = 0,1, 2,...) , ε nH,l ( p − A(t ))
c

(3.1)

( N , n, l )

N , N′

và

( N ′, n′, l′)

là các chỉ số

là phổ năng lượng của điện tử

dưới tác dụng của sóng điện từ với thế vectơ

r
A(t )

khi có mặt của từ

trường
3.2 Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong
dây lượng tử hình trụ hố thế parabol khi có mặt từ trường
ngoài
Sử dụng Hamiltonian (3.1) và các phép tính giải tích tương tự
ta thu được biểu thức của phương trình động lượng tử cho điện tử
trong dây lượng tử hình trụ hố thế parabol khi có mặt của từ
trường:
∂nγ , kr (t )
∂t

= ∑ Cqr
r

γ ′, q

2

r 2
I n , l , n′ , l ′ ( q ) J

r r

r r
eE0 q
eE0 q
(u ) ∑ J k (
)Js (
)×
N ,N '
mΩ 2
mΩ 2
k , s = −∞
2

∞

t

× exp{−i(k − s)Ω}∫ {[nγ ′, pr −qr (t ′) N qr − nγ , pr (t ′)( N qr + 1)] ×
−∞

r
r r
p 2 − ( p − q )2
× exp[i (
+ ω1 ( n − n′) + ω2 (l − l′) − ωqr )(t − t ′)] +
M

11
Footer Page 12 of 126.

Header Page 13 of 126.
+[ nγ ′, pr − qr (t ′)( N qr + 1) − nγ , pr (t ′) N qr ] ×
× exp[i (

r
r r
p 2 − ( p − q )2
+ ω1 ( n − n′) + ω 2 (l − l′) + ω qr )(t − t ′)] +
M

+[ nγ , pr (t ′) N qr − nγ ′, pr + qr (t ′)( N qr + 1)] ×
× exp[i (

r r
r
( p + q )2 − p 2
+ ω1 ( n′ − n) + ω 2 (l′ − l ) − ω qr )(t − t ′)] +
M

+[ nγ , pr (t ′)( N qr + 1) − nγ ′, pr + qr (t ′) N qr ] ×
r r
r
( p + q )2 − p 2
× exp[i (
+ ω1 ( n′ − n) + ω 2 (l′ − l) + ω qr )(t − t ′)]}dt ′
M

(3.7)

3.3 Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện tử

giam cầm trong dây lượng tử hình trụ hố thế parabol khi có
mặt của từ trường ngoài
Biểu thức tổng quát của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ
trong dây lượng tử hình trụ hố thế parabol khi có mặt của từ trường
ngoài như sau:
e 4 n0*ωc kbT

3e 2 E02
r 2
α=
(
− )∑ | I ' ' (q ) | [1 + 2 2 4 ] ×
8ac m Ω
2ε 0 c χ ∞ mac2 Ω3V χ ∞ χ 0 γγ ' n ,l , n l
1

×[exp{
−exp{

1

−1
[ω1 (n + 1/ 2) + ω2 (l + 1/ 2)]} +
kbT

−1
[ω1 (n′ + 1/ 2) + ω2 (l′ + 1/ 2)]}] ×
kbT

 



A| M |
× 
 + [ωo → −ωo ] .
2
  M (Ω − ωo + (n′ − n)ω1 + (l′ − l)ω2 ) + A 


trong đó
Ωy

A

được xác định theo (3.15),

ω12 = Ω 2x + ωc2 , ω22 = Ω2y + ωc2 , Ωx

là tần số hiệu dụng của hố thế theo hai phương x và y,

số cyclotron của từ trường.
12
Footer Page 13 of 126.

(3.16)

ωc

và

là tần


Header Page 14 of 126.

3.4 Kết quả tính số và thảo luận
Để thấy được tường minh sự phụ thuộc về cả định tính lẫn
định lượng của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử
giam cầm trong dây lượng tử hình trụ hố thế parabol, trong phần
này, các tính toán số được thực hiện cho dây lượng tử hình trụ hố
thế parabol

GaAs / GaAsAl .

Hình 3.1: Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng
điện từ vào năng lượng cyclotron
tần số hiệu dụng

Ωx

hωc

với các giá trị khác nhau của

của hố thế tại

Ω y = 2 ×1013 s −1

Hình 3.2 cho thấy sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến
sóng điện từ vào năng lượng cyclotron của từ trường tại các giá trị

khác nhau của tần số hiệu dụng của hố thế

Ωx .

Ta có thể thấy rằng,

tương tự như trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn, hệ số
hấp thụ phi tuyến sóng điện từ trong trường hợp này cũng xuất
hiện các vạch hấp thụ tại các giá trị khác nhau của tần số cyclotron
13
Footer Page 14 of 126.


Header Page 15 of 126.

ωc .

Tuy nhiên các giá trị này phụ thuộc mạnh vào tần số hiệu dụng

của hố thế giam giữ điện tử, giá trị của tần số cyclotron

ωc

mà tại

đó có các vạch hấp thụ có thể dịch chuyển nếu thay đổi tần số hiệu
dụng

Ωx

của hố thế.

Hình 3.2: Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng
điện từ vào năng lượng photon với các giá trị khác nhau của tần số
hiệu dụng của hố thế

Ωx , Ω y = 2 ×1013 s −1 .

Các hình a, b, c tương ứng

với các khoảng khác nhau của năng lượng photon
Hình 3.2 cho thấy phổ hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện
tử giam cầm trong dây lượng tử hình trụ hố thế parabol khi có mặt
của từ trường ngoài là phổ vạch và gián đoạn theo từng nhóm vạch
14
Footer Page 15 of 126.


Header Page 16 of 126.

phổ tương ứng với sự chuyển mức Landau của năng lượng điện tử,
điều này là phù hợp với kết quả nghiên cứu của tác giả G.B.
Ibragimov cho trường hợp hấp thụ tuyến tính. Hệ số hấp thụ phi
tuyến cũng giảm nhanh khi tần số

Ω

của sóng điện từ càng tăng.

Mặt khác, hình 3.2 cũng cho ta thấy sự phụ thuộc của phổ hấp thu

phi tuyến sóng điện từ vào tần số hiệu dụng
điện tử. Khi thay đổi tần số

Ωx ,

Ωx

của hố thế giam giữ

độ rộng của các nhóm vạch phổ

hấp thụ phi tuyến cũng thay đổi. Cụ thể như ta nhìn thấy ở hình
3.2, khi

Ωx

tăng lên thì độ rộng của các nhóm vạch phổ hấp thụ

giảm. Đây là kết quả hoàn toàn mới, chưa được công bố trong các
nghiên cứu trước đây. Nó chỉ ra rằng thế giam cầm của điện tử có
tác động lớn đến sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từ trong dây lượng
tử.
Chương 4 HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ BỞI
ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH
CHỮ NHẬT HỐ THẾ CAO VÔ HẠN
4.1 Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong dây lượng tử
hình chữ nhật hố thế cao vô hạn
Chúng ta xem xét một dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao
vô hạn đặt trong một từ trường, để đơn giản chúng ta chọn một từ
trường đều yếu đặt song song với trục của dây. Hamiltonian của hệ

điện tử-phonon trong dây lượng tử khi có mặt của từ trường được
viết như sau:
15
Footer Page 16 of 126.


Header Page 17 of 126.
r e r
H = ∑ε γH ( p − A(t )) aγ+, pr aγ , pr + ∑ ωqr bqr+ bqr
r
r
c
γ,p
q
+

∑C
r r

I

r
q

γ ,γ ' , p , q

Trong đó

γ

và

γ′

n , l , n' , l '

r
(q ) J

N ,N'

(u )a +'

r r

γ , p+q

aγ , pr (bqr + b−+qr ),

lần lượt là các bộ số lượng tử

của điện tử dưới tác dụng của từ trường ngoài,
vùng Landau

r e r
( N = 0,1, 2,...) , ε nH,l ( p − A(t ))
c

(4.1)

( N , n, l )

N , N′

và

( N ′, n′, l′)

là các chỉ số

là phổ năng lượng của điện tử

4.2 Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong
dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn
Tương tự chúng ta cũng có được phương trình động lượng
tử cho điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế
cao vô hạn khi có mặt của từ trường ngoài:
∂nγ ,kr (t )
∂t

= ∑ Cqr
r

γ ′, q

2

r 2
I n , l , n′ , l ′ ( q ) J

r r
r r
eE0 q
eE0 q
(u ) ∑ J k (
)Js (
)×
N ,N'
mΩ 2
mΩ 2
k , s = −∞
2

∞

t

× exp{−i(k − s)Ω}∫ {[nγ ′, pr −qr (t ′) N qr − nγ , pr (t ′)( N qr + 1)] ×
−∞

× exp[i (

r
r r
p 2 − ( p − q )2
π 2 n 2 − n′2 l 2 − l′2
+ ωc ( N − N ′) +
(
+
) − ωqr )(t − t ′)] +

2m
2m
L2x
L2y
+[ nγ ′, pr − qr (t ′)( N qr + 1) − nγ , pr (t ′) N qr ] ×

r
r r
p 2 − ( p − q )2
π 2 n 2 − n′2 l 2 − l′2
× exp[i (
+ ωc ( N − N ′) +
(
+
) + ωqr )(t − t ′)] +
2m
2m
L2x
L2y
+[ nγ , pr (t ′) N qr − nγ ′, pr + qr (t ′)( N qr + 1)] ×

× exp[i (

r r
r
( p + q )2 − p 2
π 2 n′ 2 − n 2 l ′ 2 − l 2
+ ωc ( N ′ − N ) +
(
+

) − ωqr )(t − t ′)] +
2m
2m
L2x
L2y
+[ nγ , pr (t ′)( N qr + 1) − nγ ′, pr + qr (t ′) N qr ] ×

r r
r
( p + q )2 − p 2
π 2 n′2 − n 2 l′2 − l 2
× exp[i (
+ ωc ( N ′ − N ) +
(
+
) + ωqr )(t − t ′)]}dt ′
2m
2m
L2x
L2y

16
Footer Page 17 of 126.

(4.3)


Header Page 18 of 126.

4.3 Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện tử

giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn

Một cách tương tự, bằng việc sử dụng phương pháp xấp xỉ
gần đúng, giải phương trình động lượng tử (4.3), hàm phân bố của
điện tử

nγ , pr (t )

trong dây lượng tử hình chữ nhật khi có mặt của từ

trường thu được hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ trong dây
lượng tử hình chữ nhất hố thế cao vô hạn khi có mặt của từ trường
ngoài với tán xạ điện tử-phonon quang như sau:
α=

e4 n0*ωc kbT

(

1

2ε 0c χ ∞ mac2Ω3V χ ∞
×[exp{

−exp{

−

1

χ0

)∑ | I
γγ '

n , l , n'l '

|2 [1 +

3e2 E02
]×
8ac2 m2 Ω 4

−1
π 2 n2 l2
[ωc ( N + 1/ 2) +
( + )]} +
kbT
2m L2x L2y

π 2 n′ 2 l ′ 2
−1
[ωc ( N ′ + 1/ 2) +
( + )]}] ×
kbT
2m L2x L2y






A| M |


× [
]
+
[
ω
→
−
ω
]
o
o .
2
2
2
2
2
 M (Ω − ω + M ω + π ( n′ − n + l′ − l )) 2 + A

o
c


2m
L2x
L2y

Trong đó,

M = N′ − N ,

(4.9)

là hiệu chỉ số hai mức phân vùng từ Landau
A = N0

| C0 |2
4π 2

∑| I
r
q

n , l , n'l '

|2 víiN 0 = kbT / ω.

4.4 Kết quả tính số và thảo luận
Trong phần này, các biểu thức của hệ số hấp thụ phi tuyến
sóng điện từ bởi điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình chữ
nhật được tính số cho dây

GaAs / GaAsAl .

Khi có mặt của từ trường,

sự hấp thụ sóng điện từ trong dây lượng tử hình chữ nhật cũng đã

17
Footer Page 18 of 126.


Header Page 19 of 126.

thay đổi đáng kể.

Hình 4.1: Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng
điện từ vào năng lượng photon khi có mặt của từ trường trong dây
lượng tử hình chữ nhật

Hình 4.2: Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng
điện từ vào năng lượng cyclotron của từ trường trong dây lượng tử
hình chữ nhật
Hình 4.1 cho thấy phổ hấp thụ phi tuyến sóng điện từ trong
dây lượng tử hình chữ nhật là phổ vạch. Các vạch hấp thụ xảy ra
tại các giá trị khác nhau của năng lượng photon, tương ứng với các
giá trị khác nhau của tần số sóng điện từ. Có thể nói sự hấp thụ phi
18
Footer Page 19 of 126.


Header Page 20 of 126.

tuyến sóng điện từ khi có mặt của từ trường trong dây lượng tử có
sự lọc lừa thỏa mãn điều kiện

ωc ( N ′ − N ) +

π 2 n′2 − n2 l′2 − l 2
(
+
) ± ωo − k Ω .
2m
L2x
L2y

Phổ hấp thụ phi tuyến sóng điện từ cũng phụ thuộc vào kích thước
gới hạn

Lx

và

Ly

của dây lượng tử. Phổ hấp thụ sóng phi tuyến sóng

điện từ dịch chuyển khi thay đổi kích thước dây
Hình 4.2 thể hiện sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến
sóng điện từ trong dây lượng tử hình chữ nhật vào năng lượng
cyclotron. Nó cho thấy hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ chịu
sự tác động rất lớn của tần số cyclotron của từ trường. Sự hấp thụ
phi tuyến sóng điện từ chỉ xảy ra đáng kể tại các tần số cyclontron
xác định và gián đoạn, nó tương ứng với các chỉ số mức Landau
mà điện tử dịch chuyển đến sau khi hấp thụ, chỉ số này phải được
xác định.
CHUƠNG 5. LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG ÂM
ĐIỆN TRONG HỆ BÁN DẪN HAI CHIỀU

Khi có một sóng âm truyền dọc theo một vật dẫn thì do sự
truyền năng lượng và xung lượng từ sóng âm cho các điện tử làm
xuất hiện một dòng gọi là dòng âm điện, trong trường hợp mạch hở
xuất hiện trường âm điện.
5. 1. Hamiltonal và phương trình động lượng tử cho điện tử
trong siêu mạng
Sử dụng mô hình đơn giản cho siêu mạng, trong đó khí điện
tử hai chiều được giam giữ bởi thế cao vô hạn của các hố thế biệt
lập

U (z )

dọc theo trục của siêu mạng Oz và điện tử chuyển động tự
19

Footer Page 20 of 126.


Header Page 21 of 126.

do trong mặt phẳng (x,y). Giả sử sóng âm có tần số

ω qr

được truyền

vuông góc với trục siêu mạng Oz. Khi sóng âm được xem xét là
sóng siêu âm trong miền qℓ>>1. Dưới điều kiện như vậy sóng siêu
âm được xem như là phonon khối đơn sắc, và có hàm phân bố
r

trong không gian k như sau
r
r r
(2π )3
N (k ) =
Φδ ( k − q ) ,
hωqr cs

ở đây Φ là mật độ dòng âm với tần số
h = h / 2π

(5.1)

ω qr , cs vận

tốc sóng âm, và

, h là hằng số Planck. Hamiltonian của hệ điện tử tương tác

với sóng âm ngoài và tán xạ điện tử-phonon âm trong siêu mạng
trong lượng tử hóa lần thứ hai được viết như sau (ở đây

h = 1)

H = H 0 + H e − ph
H0 =

H e− ph =

∑

r
r
n , p⊥ , n ',q

+

∑ε

r
n , p⊥

n

r
( p⊥ )an+, pr⊥ an , pr ⊥ + ∑
ωkr bkr+ bkr
r

,

(5.2)

k

r
CqrU n ,n ' (q )an+, pr⊥ + qr⊥ an ', pr⊥ cqr exp(−iωqrt )

∑

r +
rI
r
r
r r
r
D
(
k
z ) an , p⊥ + q⊥ an ', p⊥ (bk + b− k )
r k n ,n '

r
n , p⊥ , n ',k

ở đây n là số lượng tử của phổ năng lượng dọc theo trục siêu mạng
Oz (n=1,2…).

an+, pr ⊥ , an, pr ⊥

(phonon âm trong),
r
r
n ' , p⊥ + k ⊥

cqr

( bkr+ , bkr ) tương ứng là toán tử sinh hủy điện tử
là toán tử hủy của phonon ngoài.

r
n, p⊥

và

tương ứng là trạng thái của điện tử trước và sau tán xạ.

5. 2. Dòng âm điện lượng tử trong siêu mạng
Sóng âm bên ngoài được giả thiết là truyền vuông góc với trục
của siêu mạng Oz. Sau khi cân bằng mới được thiết lập, hàm phân
bố của điện tử sẽ thỏa mãn điều kiện
20
Footer Page 21 of 126.


Header Page 22 of 126.

(∂f
ở đây (∂f n, pr

⊥

/ ∂t

r
n, p⊥

) (

/ ∂t = ∂f n, pr ⊥ / ∂t

) + (∂f
ac

r
n, p⊥

)

/ ∂t th ,

(5.6)

) là tốc độ thay đổi gây ra bởi tương tác điện tử với
ac

sóng âm ngoài và tán xạ điện tử-phonon âm, (∂fn, pr

⊥

/ ∂t

) là tốc độ
th

thay đổi gây ra bởi tương tác điện tử phonon nhiệt, tạp chất… Thực
hiện tính toán chúng ta thu được biểu thức của mật độ dòng âm
điện từ lượng tử
j

= A1 ∑ U n ,n ' exp(−
n,n '

+ A2 ∑ I n ,n ' exp( −
n,n '

A1 =

(2π ) 2 eΦΛ 2τ cl4ωqr2

ρ0 cs

exp(

µ
k BT

2mL2 kBT

π 2n2

2

ở đây

π 2 n2

2

QAE

2mL2 k BT

)( B+ − B− ) +

)(C+ − C− ),

),

D±2
D±2
B± = (1 +
) exp(−
);
mkBT
2mkBT

A2 =

C± =

eΛ 2τ (2 mk BT π )1/ 2
µ
exp(
),
m∆ n, n ' m(ωkr − ωq )
D± = q / 2 +
,
±

(2π ) 3 ρ 0 cs mω qr
k BT
q
q

(m∆ n ,n ' ± ωkr ) 2 π 1/ 2 exp[ − 2(b± c)1/ 2 ]
4c 3/ 2

×[2c + 2a± (b± c)

a± =
b± =
c=

×

b± K 5/ 2 [2(b± c)1/ 2 ]
+ a± ] +
,
4c

1/ 2

mkBT ± ∆n,n' ± ωkr
m∆n,n' ± mωkr

(m∆n,n' ± mωkr )2
2mKBT

exp(−

∆n,n' ± ωkr
2kBT

);

,

1
;
8mkBT

∆n,n' =

π2
2

2mL

(n2 − n '2 ) + ∆ncos(pnz d ) −∆n'cos(pnz 'd ).
21

Footer Page 22 of 126.

(5.10)


Header Page 23 of 126.

Với

µ

là thế hóa học, kB là hằng số Boltzmann, và

K n ( x)

là hàm

Bessel bậc hai. Phương trình (5.10) là biểu thức giải tích dòng âm
điện lượng tử trong siêu mạng khi thời gian phục hồi xung lượng là
không đổi.
5.3. Tính toán số và thảo luận
Để làm rõ kết quả đạt được, trong phần này chúng tôi thực
hiện tính toán số và thảo luận kết quả dòng âm điện lượng tử cho
siêu mạng cụ thể
-3

σ = 5.32 gcm

GaAs − Al0.3Ga0.7 As

m = 0.066m0 ,

,

m0

với các tham số như sau:

τ = 10−12 ,

là khối lượng của điện tử tự do,

k B = 1.3807 × 10 −23 J / K , e = 1.602196 × 10 −19 C ,

Φ=104 Wm-2,

h = 1.05459 × 10−34 J.s .

4

j

QAE

[arb. units]

3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
1

1.5

2

2.5

ω [s ]
-1

3

3.5

4
x 10

11

q
Hình 5.1. Sự phụ thuộc dòng
âm điện vào tần số sóng
âm ngoài tại các nhaunhiệt độ khác nhau: Đường
liền (T=50K), đường chấm (T=53K), đường nét đứt
(T=55K).

Hình 1 mô tả sự phụ thuộc của mật độ dòng âm điện
số của sóng âm

ωqr

tần

tại các nhiệt độ khác nhau. Hình 1 chỉ ra rằng

xuất hiện các đỉnh cực đại khi điều kiện
mãn.

22
Footer Page 23 of 126.

j QAE lên

ωqr = ωkr ± ∆ n ,n ' (n ≠ n ')

được thỏa


Header Page 24 of 126.

Hình 5.2: Sự phụ thuộc của Hình 5.3: Kết quả thực nghiệm
cho sự phụ thuộc của dòng âm
dòng âm vào nhiệt độ T
điện vào nhiệt độ [29]
Hình 5. 2 mô tả sự phụ thuộc của mật độ dòng âm điện lượng tử
j QAE

theo nhiệt độ. Sự phụ thuộc này là không tuyến tính và đạt giá

trị cực đại tại

T = 48K , ε F = 0.038eV

và

ωqr = 3 × 1011 s −1 .

Kết quả này phù

hợp với kết quả thực nghiệm trong hình 5.3 [29]. Theo kết quả
thực nghiệm trong Hình 5.3 thì mật độ dòng âm điện xuất hiện
đỉnh cực đại nằm trong khoảng từ 40-50K. Tuy nhiên trong công
trình khi đo được kết quả này nhưng không giải thích được sự xuất
hiện của các đỉnh trong khoảng nhiệt độ trên. Từ kết quả tính toán,
chúng tôi kết luận rằng cơ chế chính cho kết quả đó là do sự giam
cầm của điện tử trong siêu mạng.
KẾT LUẬN
Trên quan điểm lý thuyết trường lượng tử cho hệ nhiều hạt,
bằng phương pháp phương trình động lượng tử, đề tài đã nghiên
cứu lý thuyết lượng tử về một số hiệu ứng động trong hệ bán dẫn
thấp chiều. Các kết quả chính của đề tài có thể được tóm tắt như
23
Footer Page 24 of 126.


Header Page 25 of 126.

sau:
1. Thiết lập được các phương trình động lượng tử cho điện tử
trong ba loại dây lượng tử khi có mặt của từ trường ngoài. Thu
được các biểu thức của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh
bởi điện tử giam cầm trong các dây lượng tử.
2. Các kết quả cho thấy rằng sự lượng tử hóa do giảm kích

thước trong dây lượng tử có ảnh hưởng đáng kể lên sự hấp thụ phi
tuyến sóng điện từ
3. Các kết quả thu được chứng tỏ rằng thế giam giữ điện tử
trong các dây lượng tử ảnh hưởng đáng kể lên hệ số hấp thụ phi
tuyến sóng điện từ trong dây lượng tử. Đề tài cũng cho thấy hệ số
hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử giam cầm trong các dây
lượng tử hình dạng khác nhau cũng có một số khác biệt cả về định
lượng lẫn định tính.
4. Khi có mặt của từ trường, với sự tác động mạnh của nó lên
phổ năng lượng của điện tử, hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ
bởi điện tử giam cầm trong các dây lượng tử thay đổi rõ rệt, phổ
hấp thụ phi tuyến sóng điện từ lúc này trở thành phổ vạch và gián
đoạn. Khi tần số cyclotron

ωc

càng tăng, mật độ các đỉnh hấp thụ

(vạch hấp thụ) càng giảm dần.
5. Thiết lập được biểu thức giải tích của mật độ dòng âm
điện từ lượng tử trong siêu mạng trong trường hợp thời gian phục
hồi xung lượng xấp xỉ là hằng số. Sự phụ thuộc của dòng âm điện
từ lượng tử lên nhiệt độ T của hệ, tần số sóng âm
24
Footer Page 25 of 126.

ωqr

.