Bài tập về căn thức hay

Bài 1:
Cho biÓu thøc
A=

3

x 2   3
23 x  3 x 2 − 4
2 +
:
+
x
+
.
( x ≠ 8; x ≠ −8; x ≠ 0)
3
2 + 3 x 
2 + 3 x  
x − 2  3 x 2 + 23 x

8− x

Chøng minh A kh«ng phô thuéc biÕn sè
Híng dÉn

Cho biÓu thøc
A=

3

x 2   3

23 x  3 x 2 − 4
2 +
:
+
x
+
.
( x ≠ 8; x ≠ −8; x ≠ 0)
3
2 + 3 x 
2 + 3 x  
x − 2  3 x 2 + 23 x

8− x

Chøng minh A kh«ng phô thuéc biÕn sè

(2 − 3 x )(4 + 23 x + 3 x 2 )  4 + 23 x + 3 x 2   3 x 2 − 23 x + 23
:
+
3
3

 
2+3 x
2
+
x
x −2


 
 3 x 2 − 23 x + 23 x
(2 − 3 x )(4 + 23 x + 3 x 2 )
2+3 x

A=
.
+
3
2+3 x
x −2
4 + 23 x + 3 x 2 
A=

x  (3 x − 2)(3 x + 2)
.

3
x (3 x + 2)

 (3 x − 2)(3 x + 2)
.

3
x (3 x + 2)


A = 2 − 3 x + 3 x = 2∉ x

Bài 2 :

Cho biÓu thøc

3
3
 1
1 
2
1 1  x +y x+x y+ y
A = 
+
+ + . :
y  x + y x y 
 x
xy 3 + x 3 y

1) Rót gän A

2) T×m x ; y biÕt xy =

1
;A=5
36

Hướng dẫn:
1)
 x+ y
2
x+ y 
A=
.

+
. :
xy 
xy
x+ y


(
A=

x+ y
xy

)

2

.

(

xy ( x + y )

)

=

(

)(

)

x + y x − xy + y + xy ( x + y )
xy ( x + y )

x+ y

x + y ( x + y)
xy
5
1
2) A = 5 ⇔ x + y = 5 xy ⇔ x + y = theo GT xy =
6
6
theo Viet đảo x; y là nghiệm dương của phương trình bậc 2

1
1
5
1
t 2 − t + = 0 ⇔ 6t 2 − 5t + 1 = 0 ∆ = 1 ⇒ t1 = ; t 2 =
6
6
2
3

1 1 1 1
vậy ( x; y ) =  ; ;  ; 
 4 3 3 4

: Cho biÓu thøc
Bài 3 :

1. Rót gän biÓu thøc A
2. T×m tÊt c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc A cã gi¸ trÞ nguyªn
Híng dÉn
1


1. §KX§ : x ≠ -26;x ≠ -6;x ≠ -3;x ≠ 1;x ≠ 2;
 3  x 6 + x 4 − x 4 − 1   x 3 − 4 x 2 + x − 4   x 2 + 3 x + 26 x + 78 
. 6
 : 

A =  − 
2
2
2
x
+
1
x
(
x
+
6
)
−
(
x

+
6
)
3
(
x
−
2
x
+
6
x
−
12
)


 


 3  x 6 − 1   ( x − 4)( x 2 + 1)   ( x + 3)( x + 26) 
.
 : 

A =  −  2
6
2
3
(
x

−
2
)(
x
+
6
)
x
+
1
(
x
+
6
)(
x
−
1
)








 3 x − 4  3( x − 2)( x + 6) 3 x + 18 − 2 x + 8 3( x − 2)( x + 6)
A= −
.

=
.
2( x + 6)
( x + 3)( x + 26)
 2 x + 6  ( x + 3)( x + 26)
A=

3x + 18 − 2 x + 8 3( x − 2)( x + 6)
x + 26 3( x − 2)( x + 6) 3( x − 2)
.
=
.
=
2( x + 6)
( x + 3)( x + 26) 2( x + 6) ( x + 3)( x + 26) 2( x + 3)

3( x − 2)
2( x + 3)
V× A ∈ Z nªn 2A ∈ Z .

2. A =

3( x − 2) 3( x + 3) − 15
15
=
= 3−
∈Z ⇔
x+3
x+3
x+3

x+3
-15
-5
-3
-1
1
x
-18
-8
-6
-4
-2
2A
4
6
8
18
-12
A
2
3
4
9
-6 ( lo¹i)
VËy x ∈ { − 18;−8; ;−4;−2;0;12 } th× A nguyªn
Bài 4 : Cho biÓu thøc
2A =

XÐt

x + 3 ∈ U (15)

3
0
-2
-1

5
2(lo¹i)
0
0

 x − y x2 + y 2 + y − 2  4x4 + 4x2 y + y 2 − 4
:
A = 
+
2
2 
2
y
−
x
2
y
+
xy
−
x
x 2 + y + xy + x



Với x > 0; y > 0; x ≠ 2 y; y ≠ 2 − 2 x 2
1. Rót gän biÓu thøc A
2. Cho y=1 hãy tìm x để A =

2
5

Hướng dẫn :
 x−y
x2 + y 2 + y − 2  4x 4 + 4x 2 y + y 2 − 4
:
1. A = 
+
2
2 
2
y
−
x
2
y
+
xy
−
x
x 2 + y + xy + x



 x−y
x2 + y2 + y − 2 
( x + y )( x + 1)
.
A = 
+
2
2
 2 y − x ( x + y )(2 y − x)  (2 x + y − 2)(2 x + y + 2)
2x 2 + y − 2
( x + y )( x + 1)
x +1
A=
.
=
( x + y )(2 y − x) (2 x 2 + y − 2)(2 x 2 + y + 2) (2 y − x)(2 x 2 + y + 2)
2. với y= 1 ta có

A=

x +1
2
=
⇔ 4 x 3 − 8 x 2 + 11x − 7 = 0
2
( 2 − x) 2x + 3 5

(

)

⇔ ( x − 1)(4 x 2 − 4 x + 7) = 0 ⇔ x = 1

2

15
12
2
1



a 2 + b2
a b
a b
+
ữ. 2 2 , a, b > 0
Bài : Cho biểu thức : P =
a 2 b2 a + b ữ
a +b a b
a b

A, Rút gọn P=?
B, Biết a-b=1 tìm GTNN
2
2
P= a + b

a)

b

2
2
2
1
b) Vi a-b=1 => a=1+b => P= (b + 1) + b = 2b + 2b + 1 = 2b+ +2 2 2 +2

b

b

b

1
GTNN P = 2 2 +2 2b = b=
b

2
2
và a=
+1
2
2

Bi 5 :
a+ b
a b a + b + 2ab
+

ữ: 1 +
Cho biu thc D =
ữ vi a > 0 , b > 0 , ab 1
ữ
1

ab

1

ab
1
+
ab



a) Rỳt gn D.
b) Tớnh giỏ tr ca D vi a =

2
2 3

a+ b

+

Rỳt gn D : Biu thc D =

D=

(

a b a + b + 2ab
ữ: 1 +
ữ
1 ab
1 + ab ữ


1 ab
Vi K : a > 0 , b > 0 , ab 1 Biu thc D cú ngha

)(

) (

a + b 1 + ab +

)(

a b 1 ab

1 ab
2 a + 2b a 1 + ab + a + b 2 a ( 1 + b ) ( 1 + a ) ( 1 + b )
=
:
=
:
1 ab

1 ab
1 ab
1 ab
2 a ( 1 + b)
1 ab
2 a
=
.
=
1 ab
( 1+ a) ( 1+ b) 1+ a

b) a =

1 ab

) : 1 ab + a + b + 2ab

2
2 3

=> D =

2

(

= 4 + 2 3 = 3 + 2 3 + 1 = ( 3 + 1)

)

3 +1

5+2 3

2

=

2 3 +1
5+2 3

=

2

(

2

) = (2

3 +1

5+2 3

)(

3 +2 52 3
13

3 + 1 >0)

Bài 6 : Cho biểu thức


a

1

2 a



.

A = 1 : 1

1 + a a 1 (a + 1)( a 1)
a) Tìm điều kiện của a để A có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức A.
c) với giá trị nào của a thì A có giá trị nguyên.
Giải :


a

1

2 a

.

Ta có: A = 1 : 1

1 + a a 1 (a + 1)( a 1)
3

) =6

(

)

3 2 2 3 3 1
=
13
13

(Vỡ


1+ a a a +1 2 a
.
A = 1 :


1 + a (a + 1)( a 1)

1 ( a 1) 2
.
A = 1 :
1 + a (a + 1)( a 1)
a 0

a0
a 0 (*)
a) Biểu thức A có nghĩa khi: 1a++ 1 a 0 0
a

1
a 1


a 1 0

b) Với điều kiện (*), ta có:


A = 1 :


A=

( a 1) 2
.
1 + a (a + 1)( a 1)

1

(1 + a) ( a 1) 2
(a + 1)( a 1)

=

a 1
a +1

c) Ta có:

A==1-

2
a +1

Biểu thức A có giá trị nguyên khi:
2 (a + 1)
hay a+1 = {1;-1;2;-2} => a = {0;-2;1;-3}
Kết hợp với điều kiện (*) => a = 0
Bài 7: . Cho biểu thức:
P= x x 3
a)
b)
c)

2( x 3)

x2 x 3
x +1
Rút gọn biểu thức P.
Tính giá trị của P với x = 14 - 6 5
Tìm GTNN của P.

+

x+3
3 x

Giải
Điều kiện để giá trị của biểu thức P xác định : x0; x 9
a) Rút gọn:
x x 3
2( x 3)
x+3
P=


( x + 1)( x 3)
x +1
x 3
2

=
=
=

x x 3 2( x 3) ( x + 3)( x + 1)
( x 3)( x + 1)
x x 3 2 x + 12 x 18 x 3 x x 3

x x 3 x + 8 x 24

( x 3)( x + 1)
=

x( x + 8) 3( x + 8)

=

x+8

( x 3)( x + 1)
( x 3)( x + 1)
x +1
b) x = 14 - 6 5 = ( 5 )2 - 2.3. 5 + 9 = ( 5 - 3)2 x = 3 Khi đó P = 14 6 5 + 8 = 22 6 5 = 58 2 5
11
3 5 +1
4 5
Vậy với x = 14 - 6 5 thì P = 58 2 5
11
c)
4

5

P=

x+8
x +1

=

x 1+ 9
x +1

=

x 1+

9
x +1

9

x +1 =

x +1

9

x +1+
9

x + 1;

( áp dụng BĐT CôSi cho 2 số dơng
Dấu"=" xảy ra

=

x +1

x +1

22 92=4

)

x = 4 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy minP = 4, đạt đợc khi x = 4.
5
1
Bài 8 : Cho A= x + 2
+
x +3 x+ x 6 2 x

a) Rút gọn A
b) Tìm x để A có giá trị nguyên

. a) đk x 0; x 4
b) A= x 4 = 1
x 2

A=

x2 x
x + x +1



x +2

(

)(

)

x 2 5
x +3

)(

(

x 2

)

x +3

)=

x 4

(2đ)
x 2

2
nguyên khi 2 M( x -2) x = 0; 1; 9; 16 (2đ)
x 2

Bài 9 :
Cho biểu thức sau:
P=

(

2x + x

+

x

2( x 1)
x 1

1. Rút gọn P.
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

3. Tìm x để biểu thức Q = 2 x nhận giá trị là số nguyên
Điều kiện: 0 < x 1
P=

x

(

)(

P

) (2

x 1 x + x +1

x + x +1
P = x x +1

) (

)

x +1 + 2 x +1

2

1 1 3
1
3 3
2
P = x 2 x . + + = x + với mọi x thoả mãn điều kiện xác định
2 4 4
2
4 4

3
1
1
min P = x = 0 x =
4
2
4
2 x
2 x
2
2
Q=
=
=
=
1
P
M
x x +1
x+
1
x
1
> 2 M > 1 0 < Q < 2. vì Q nguyên
Với 0 < x 1 x +
x
2 x
Q =1
=1

x x +1
7+3 5
73 5
x 3 x +1 = 0 x =
;x =
2
2
Kết luận: với x = 7 3 5 thì Q Z
2

Bài 10 :
Cho biểu thức

5


x+ y
x y x + y + 2 xy

A=
+
: 1 +
1 xy

1

xy
1
+
xy

a, Rút gọn A

2
2+ 3

b, Tính giá trị của A khi x =

c, Tìm giá trị lớn nhất của A.
Giải :a,
Điều kiện để A có nghĩa là x 0; y 0; xy 1
x+ y

x y

x + y + 2 xy

: 1 +

+
Ta có : A =

1

xy
1

xy
1
+
xy



x + y . 1 + xy + x y . 1 xy 1 + x + y + xy
=
:
1 xy
1 xy

(

)(

) (

)(

)

x + x y + y + y x + x x y y + y x 1 + x + y + xy
:
1 xy
1 xy

=

2 x + 2y x
1 xy
2 x (1 + y )
2 x
.
=
=
(1 + x ).(1 + y ) (1 + x )(1 + y ) 1 + x
1 xy
2
b, Ta có : x =
thoả mãn điều kiện x 0
2+ 3
=

x=

(

(

)

2 2 3
= 42 3 =
2+ 3 2 3

)(

)

Thay x vào A ta có:

(

)

2
2 3 1
2
3 1
A=
=
4 2 3 +1 5 2 3

=

(

25 3 +652 3

(

5 2 3
2

)

2

)

c, Với mọi x 0 ta có

=
=

(

(

(

)

3 1

(

2

)(
)(

2 3 1 5 + 2 3
52 3 5+2 3

(

) (

)
)

)

2 3 3 +1 2 3 3 +1
=
25 12
13

)

2

x 1 0

x 2 x +1 0 x +1 2 x
1

2 x
1+ x

( vì x+1>0) 2 x 1 A 1

Vậy giá trị lớn nhất của P = 1 khi
Bi 11:
Cho biểu thức: A= ( x + 2 +
x x 1

1+ x
x 1 = 0 x = 1

x
1
):
+
x + x +1 1 x

Với x>0 và x 1
a) Rút gọn biểu thức A
b) Chứng minh rằng: 0< A < 2
a.

6

x 1
2


x+2
x
A =
+

3
x 1 x + x +1

A =

A=

(

x+2

)(

)

x 1 x + x +1

x+2+ x

(

(

+

x 1
:
2
x 1
1

x
x + x +1

) (

).

x 1 x + x +1

)(

)

x 1 x + x +1



x 1
1


2

=

x 1

(

)

(

2 x 1

)(
2

2

)

x 1 x + x +1

=

2
x + x +1

b.
Vì x > 0 nên x + x + 1 > 1
Mà A =

2
x + x +1

A>0

Vì x > 0 x + x + 1 > 1

(1)
2
x + x +1

< 2 tức A<2

(2)

Từ (1) và (2) ta có: 0 < A < 2
Bài 12: Cho biểu thức:
P= x x 3 2( x 3) + x + 3
x2 x 3

x +1

3 x

1) Rút gọn biểu thức P
2) Tính giá trị của P với x = 14-6 5
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
1) Điều kiện để giá trị biểu thức P xác định: x 0; x 9
Rút gọn:
P=
=
=
=

x x 3
( x + 1)( x 3)



2( x 3)
x +1

x +3



x 3

x x 3 2( x 3) ( x + 3)( x + 1)
2

( x 3)( x + 1)
x x 3 2 x + 12 x 18 x 3 x x 3
( x 3)( x + 1)
x x 3x + 8 x 24
( x 3)( x + 1)

=

x ( x + 8) x( x + 8)
( x 3)( x + 1)

x+8

=

x +1

2) x = 14 -6 5 = ... = ( 5 - 3)2 => x = 3 - 5
Khi đó P = 14 6 5 + 8 = 22 6 5 = 58 2 5
3) P =

3 5 +1
x+8
x 1 + 9
x +1

=

x +1

4 5

11

9

= x 1+

x +1

=

x +1 +
9

( áp dụng BĐT Côsi cho hai số dơng x + 1 ;
Dấu " = " sảy ra <=> x + 1 =
Vậy min P = 4 khi x = 4

9

x +1

x +1

9
x +1

- 2 2 9 - 2 = 4

)

<=> x = 4 thoả mãn đk
7


Bài 13: Cho biểu thức:

x
+
x4

A=

1
x 2

1

+

x +2

a). Tìm điều kiện của x để biểu thức A xác định.
b). Rút gọn gọn biểu thức A.
c). Tính giá trị của A khi x = 25.
d). Tìm các giá trị của x để A =

1
3

Gii:
a). (1 điểm) Biểu thức A đợc xác định :
x Xac dinh
x 0


x 4 0
(0,5 diem) x 4

x 4

x 20

x 0

x4

b). : Rút gọn biểu thức A
A=
=

=

x
+
x4

1
x 2
x

(

( x 2) x + 2
x+

x +2+

1

+

x +2
+

)

x +2
( x 2)( x + 2)

x 2

c). : Khi x = 25 thì A =
d). : A =

1
3



x
x 2

25 2

=

x 2

)(

x+2

=

)

x
x 2

5

3

1
3

3 x = x +2 4 x =2

Vậy với x=

(

( x 2) ( x + 2)

25

=

x 2

x ( x + 2)

=

( x 2)( x + 2)

+

x=

1

1
x=
( T/m điều kiện)
2
4

1
1
thì A = .
4
3

Bi 14: Cho biểu thức
x x +1 x 1

A =
x 1


: x +
x 1

x

x 1

a) Tìm ĐKXĐ của A. Rút gọn A
b) Tìm giá trị của x để A = 3
Gii
a) ĐKXĐ: x > 0 và x 1

Ta có:

x x +1 x 1
x
: x +

A = x 1


x

1
x

1



( x + 1)( x x + 1)
x 1

=

x ( x 1)
:
+
x 1
x 1

( x 1)( x + 1)

8

x

x 1


x x +1 x 1 x x + x

:





x

1
x

1
x

1




=

=

x +2
x 1

b) A = 3

x

:

x 1

=

x +2
x 1

=> 2 x = 3



=

x 1
=
x

x x +1 x +1
x 1

1

-

3

+

2

x +1 x x +1 x - x +1
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của P
Gii . a) Điều kiện x 0
1
3
2
P=
+
x + 1 ( x + 1)(x - x + 1) x - x + 1
x - x + 1- 3 + 2 x + 2
x x +1
x ( x + 1)
x x +1

P =
P=

x

x - x +1

2

1
3

> 0 x 0
x - x + 1 = x - +
2
4

b) Ta có

x 0
x 0

x
0 ,x 0
x - x +1
P = 0 x = 0 . Vậy min P = 0

nên

Ta có

P=

(

)

x 1

2 x
x

Bài 15:

P =

x

=> 3x + x - 2 = 0 => x = 2/3

x

Cho biểu thức P =

:

2

x -1 0 , x 0

x-2 x +1 0
x- x +1 x ,x0
x
1, x 0

x - x +1
P 1 x 0 ; P = 1 x = 1 . Vậy MaxP = 1 khi x = 1
Tóm lại : minP = 0 khi x = 0 ; MaxP = 1 khi x = 1
Bi 16 : Cho biểu thức A = (

x x 1 x x +1 x + 2
):
x2
x x x+ x

a, Nêu điều kiện phải có của x và rút gọn biểu thức A
b, Tìm những giá trị của x để A có giá trị nguyên
Gii
9


Câu a, Lập luận giải kết hợp để tìm điều kiện của A.
( x > 0, x 1, x 2) cho (0,5đ)
2
biến đổi biểu thức trong ngoặc: 2 x 2 2 x

x x

2
x 2 2x 4
A = 2 x2 2 x .
=

x+2 x+2
2 x 4 2( x + 2) 8

8
Câu b, A =
=
=2x+2
x+2
x+2
8
Để A nguyên
nguyên 8M(x+2) hay x+2 là Ư8
x+2
x x

Vì x > 0 x+2 > 2 Do đó x+ 2 = 4; x+2 = 8
Tính x = 2 hoặc x = 6 vi x 2 nên x =6 . Thì A có giá trị nguyên.
Bi 17: Cho biểu thức B =

2 x 9
x5 x +6

x + 3 2 x +1
x 2
3 x

a. Xác định x để B có nghĩa.
b. Rút gọn B.
c. Tìm x để B là số nguyên.
Gii:
a. Ta có: x - 5 x + 6 = ( x - 3)( x - 2).
Điều kiện: x 0
x 0

3
x 9
x
x 4
x 2
b. B =

2 x 9
( x 3)( x 2)

x + 3 2 x +1
+
x 2
x 3

=

2 x 9 ( x + 3)( x 3) + (2 x + 1)( x 2)
( x 3)( x 2)

=

2 x 9 x + 9 + 2x 4 x + x 2
( x 3)( x 2)

=

( x 2)( x + 1)
( x 3)( x 2)

x +1
= 1+
x 3
= 1; 2; 4.

c/ Vì B =

=

x +1
x 3

4
Nên B z ( B nguyên) thì
x 3

Tìm đợc các giá trị thích hợp của x là: 1;4;16;25;49
Bài 18 : Cho biểu thức:
A= (1+

2 x
x ):( 1
)

x 1 x x + x x 1
x +1

a>Rút gọn biểu thức A
b>Tìm x để A> 1

x 0; x 1
Gii :a> ĐKXĐ:

10

x - 3 phải là ớc của 4

x -3



x + 1+ x 1
2 x
ữ
:

x 1
ữ
x +1
x
x
+
1

x
+
1
(
)
(

)



x + x +1 1
2 x
=
:

x 1 ( x +1)
x +1
x 1


A=

(

=

)


ữ(0, 5d )
ữ


x + x +1
x +1 2 x
:

(0, 5d )
x +1
( x +1) x 1

(
)
x + x +1 ( x +1) ( x 1)
=
ì
(0, 5d )
x +1
( x 1)
2

=

x + x +1
(0, 5d )
x 1

Vậy A= x + x +1 với x 0; x 1
x 1

b> A>1 x + x +1 >1 x + x +1 - 1 > 0 x + x + 1 x + 1 > 0 x + 2 > 0
x 1

x 1

x 1

x 1

Do x 0 x + 2 > 0 x 1 > 0 x > 1.
Kết hợp với ĐKXĐ 0 x < 1 thì A> 1
Bi 19 :
Cho biếu thức
2x x + x x

M =

x x 1





x+ x
x 1
x

+

x 1 2x + x 1 2 x 1

a, Hãy tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa, sau đó rút gọn M.
b, Với giá trị nào của x thì biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất
Gii :
a, Điều kiện để biểu thức có nghĩa là: x 0, x
2x x + x x

M =

1
và x#1.
4



x+ x
x 1
x
.
+
x 1 2 x + x 1 2 x 1

(

x +1

x x 1

x 2x + x 1 x + x
x 1
x
=

+

x 1 2x + x 1 2 x 1
x x 1

(

=
=

)

x ( x 1)

x x 1
x

(



)

(2

x

)(

x 1

)

)

x +1

+

x
2 x 1

=

x

(

(x +

)
x + 1) 2

x +1

x +1

x + x +1
b, Do x 0 nên M 0 . Đẳng thức xảy ra khi x = 0

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 0 khi x = 0
Bài 20 :
Rút gọn biểu thức sau:

11

x
x 1

+

x
2 x 1


a) M = ( x x + 3 3 − 2 x ) x + 3 víi x ≥ 0, x ≠ 3.
3− x

x − 3x + 3

:a> §KX§:

x ≥ 0; x ≠ 1


x + 1+ x  1
2 x

÷
:
−
A=
 x −1
x +1

x
x
+
1
−
x
+
1
( ) ( ) ÷


x + x +1  1
2 x
=
:
−
 x −1 ( x +1)
x +1
x −1


(

=

)


÷(0, 5d )
÷



x + x +1
x +1 − 2 x
:
(0, 5d )
x +1
( x +1) x −1

(
)
x + x +1 ( x +1) ( x −1)
=
×
(0, 5d )
x +1
x
−
1
(
)
2

=

x + x +1
(0, 5d )
x −1

VËy A= x + x +1 víi x ≥ 0; x ≠ 1

x −1

c> A>1 ⇔ x + x +1 >1 ⇔ x + x +1 - 1 > 0 ⇔ x + x + 1 − x + 1 > 0 ⇔ x + 2 > 0
x −1

x −1

x −1

x −1

Do x ≥ 0 ⇒ x + 2 > 0 ⇒ x − 1 > 0 ⇒ x > 1.
KÕt hîp víi §KX§ 0 ≤ x < 1 th× A> 1
Bài 16: Cho biểu thức
A=

1
1
x3 − x
+
+
x −1 − x
x −1 + x
x −1

a, Rút gọn A
b, Tìm x để A > 0
c, Tính Giá trị của A khi x =

53

9−2 7

Câu a:
a, Điều kiện: x > 1
A = x − 2 x −1
b, A > 0 khi 1 < x ≠ 2

c, A = 7
Bµi 21 :

 x+2
x
1  x −1
Cho biÓu thøc: P = 
+
+
víi x > 0 vµ x ≠ 1
÷:
2
 x x −1 x + x +1 1 − x 
a, Rót gän P.
2
b, T×m x ®Ó P =
7
12


c, So s¸nh P 2 víi 2P
 x+2
x

1  x −1
víi x > 0 vµ x ≠ 1
P=
+
+
÷:
2
 x x −1 x + x +1 1 − x 


x+2
x
1 ÷ x −1

=
+
−
:
3

÷
2
x
+
x
+
1
x
−
1

 x −1
÷




x+2
x
1 ÷ x −1
=
+
−
:
 x −1 x + x + 1 x + x + 1
2
x −1 ÷


x + 2 + x x −1 − x + x +1
x −1 x + 2 + x − x − x − x −1 2
=
:
=
.
2
x −1
x −1 x + x + 1
x −1 x + x + 1

( )

(

)(

(

(

)(

) (

)

)

)

(

)(

)

2
( víi x > 0; x ≠ 1)
x + x +1
2
2
2

Nªn P = ⇔
= ⇔ x + x +1 = 7 ⇔ x + x − 6 = 0
7
x + x +1 7
x − 2 x +1
2
2
2
=
.
=
P=
x −1 x + x +1
x −1 x + x +1
x + x +1
Ta cã P =

(

⇔

(

)(

x −2

)(

)

)

x + 3 = 0 ⇔ x − 2 = 0 ( v× x + 3 > 0 víi mäi x > 0)
⇔ x = 4 ( t/m ®k).
2
VËy víi x = 4 th× P =
7
c, So s¸nh P 2 víi 2P
2
Ta cã P =
( víi x > 0; x ≠ 1)
x + x +1
2
1 3

Mµ x + x + 1 =  x + ÷ + > 0 víi mäi x > 0,
2 4

2
nªn P =
> 0 víi mäi x > 0
x + x +1
Ta l¹i cã x + x > 0 víi mäi x > 0
1
2
⇒ x + x +1 > 1⇒
<1⇒ P =
<2
x + x +1

x + x +1
× P > 0 vµ P < 2 nªn P(P - 2) < 0 ⇒ P2- 2P < 0 ⇒ P2 < 2P. VËy P2 < 2P

Bài 22 :
 2 a  1

2 a
:

−
Cho biểu thức: A = 1 −
  1 + a a a + a + a + 1  , với a ≥ 0
a
+
1

 


A ,út gon biểu thức A.
13


B,ớnh giỏ tr ca biu thc A khi a = 2010 -2 2009 .

A, iu kin a 0. Ta cú:
2 a 1

2 a
:

,

A = 1



a
+
1
1
+
a
a
a
+
a
+
a
+
1




a 2 a +1 1
2 a

:

a +1
1
+
a
(
a
+
1
)(
1
+
a
)



(
(

)

)

2

a 1
a +1 2 a
:
a +1
(a + 1)(1 + a )

2

a 1 (a + 1)(1 + a )
(a + 1)( a 1) 2

= 1+ a

Thỡ A = 1 +

B,
Khi a = 2010 -2 2009 = ( 2009 -1)2

( 2009 1) 2 = 2009

1

b. Đặt C = 2 x + 4 x 1 2 x 4 x 1 với x>
4
ta có C2 = 2, mà C > 0 nên C = 2

Bi 23: Cho biểu thức A=
a.

ĐKXĐ: x 0; x 1.

A =

1
1

x2 + 2
+

3
2(1 + x ) 2(1 x ) 1 x

1
1
x2 + 2
1
1
x2 + 2
+

+

=
3
2(1 + x ) 2(1 x ) 1 x
2(1 + x ) 2(1 x ) (1 x )(1 + x )( x 2 + x + 1)

(1 x )( x 2 + x + 1) + (1 + x )( x 2 + x + 1) 2( x 2 + 2)
2(1 x )(1 + x )( x 2 + x + 1)
2x 2
2( x 1)
=
=
2
2
2(1 + x )(1 x )( x + x + 1) 2(1 x)( x + x + 1)

x 1
1
= 2
=
2
( x + x + 1)( x 1) x + x + 1

=

b. Vì x 0 x2 + x + 1 1
Min (x2 + x + 1) =1 khi x=0
Max

Do A =

1
=1
x + x +1
2

Khi x= 0

1
1
nên A đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi 2
đạt giá trị lớn nhất
x + x +1
x + x +1
2

Vậy Min A = -1 khi x= 0
c.
Để A Z thì x2 + x + 1 phải là Ư(-1)
x2 + x + 1 = 1
2
x + x + 1 > 0 với mọi x x2 + x + 1 = 1

x = 0
x2 + x = 0 x(x + 1) = 0
x = 1(loai )
14


Vậy với x = 0 thì A Z

a2 + 2

Bi 24 : Chng minh rng vi mi s thc a, ta u cú :
thc ?
Gii : Ta cú : a

2

)

+2 (
=

a +1

2 . Khi no cú ng

2

a2 +1 +1
a +1

2

a2 +1

2

= a2 +1 +

1

. p dng bt ng thc

a +1
2

Cauchy:
a +1 +

1

2

a2 +1 =

a2 +1
1
a2 +1

2

a + 1.
2

1
a2 +1

= 2 . Vy

a2 + 2
a2 +1

2 . ng thc xy ra khi

a = 0.

Bi 26 :. Cho biu thc: P =

x
2
x+2
+
+
x x x + 2 x ( x 1)( x + 2 x )

a. Rỳt gn P .
b. Tớnh P khi x = 3 + 2 2 .
c. Tỡm giỏ tr nguyờn ca x P nhn giỏ tr nguyờn.
Gii :

a/
P=

x
2
x+2
+
+
x ( x 1)
x ( x + 2)
x ( x 1)( x + 2)

=

x( x + 2) + 2( x 1) + x + 2 x x + 2 x + 2 x 2 + x + 2
=
x ( x 1)( x + 2)
x ( x 1)( x + 2)

=

x x + 2x + 2 x + x
=
x ( x 1)( x + 2)

x ( x + 1)( x + 2) ( x + 1)
=
x ( x 1)( x + 2) ( x 1)

b/ x = 3 + 2 2 x = 2 + 2 2 + 1 = ( 2 + 1) 2 = 2 + 1
( x + 1)
2 +1+1
2+2
=
=
= 1+ 2
( x 1)
2 +11
2
c/ K: x > 0; x 1 :
P=

P=

( x + 1)
=
( x 1)

x 1+ 2
2
= 1+
x = 4 hoc x = 9
x 1
x 1

Bài 27 : a) Tính giá trị biểu thức : P = x3 + y 3 - 3(x+y) + 2004.
Trong đó x = 3 3 + 2 2 + 3 3 2 2 ; y = 3 17 + 12 2 + 3 17 2 2
Hớng dẫn :
x = 3 3 + 2 2 + 3 3 2 2 ; x 3 3x = 6
y = 3 17 + 12 2 + 3 17 2 2 y 3 3 y = 34

Do đó : P = x3 + y 3 - 3(x+y) + 2004= x3-3x + y 3-3y +2004=6+34+2004=2044
Bài 28 : Chứng tỏ x = 3 9 + 4 5 + 3 9 4 5 là nghiệm của phơng trình
x3 3x 18 = 0
15


Tính x = ?
HD: Từ x = 3 9 + 4 5 + 3 9 4 5
x3 = 9 + 4 5 + 9 - 4 5 + 3 3 ( 9 + 4 5 ) ( 9 4 5 ) + 3 3 ( 9 + 4 5 ) ( 9 4 5 )
2

2

x3 = 18 + 3 3 9 + 4 5 + 3 3 9 4 5
x3 3x 18 = 0
*) Tính x nh sau x3 3x 18 = 0
x3 27 3x + 9 = 0
(x 3)(x2 3x + 6) = 0 (x2 3x + 6 0) x 3 = 0 x = 3
x
2
1
+
):

x 1 x x
x 1
( Đề thi lớp 10A1 trờng THPT NLII năm học 2007-2008)
a) Tìm điều kiện xác định, Rút gọn A
b)Tính giá trị của A khi x=3-2 2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Bài giải:a) ĐKXĐ x > 0; x 1.
x
2
1
x
2
1
+
):
=(
+
):
Rút gọn A = (
x 1 x x
x 1
x 1
x 1
x( x 1)
Bài 35 Cho biểu thức

A=(

( x )2 + 2
x 1 (x + 2)( x 1) x + 2

A=
.
=
=
x ( x 1) 1
x ( x 1)
x
b. Khi x= 3-2 2 = ( x 1) 2 x = 2 1

(

)(

)

52 2
2 +1
32 2 + 2 52 2
=
=
=1 3 2
1
2 1
2 1
x+2
2
c) Ta có A=
= x+
2 2 ( BĐT Côsi cho hai số dơng)
x

x
2
A min = 2 2 x =
x = 2 (TMĐK)
x
Vậy Amin=2 2 x = 2 .
Bài 36: ( Đề thi tốt nghiệp năm 2002-2003)
1
3
1
Cho biểu thức A =

ữ:
x +3 x 3
x 3
a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A
1
b) Với giá trị nào của xthì A >
3
c) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất
Bài giải:a) ĐKXĐ x 0; x 9
A=

(
)(

x + 3
1
3
1

A=

:
=
ữ
x + 3 x 3
x 3
x 3

(

).
x + 3)
x 3

16

x 3=
3

(

6

x 3

)(

x +3

)

. x 3
3


2
x +3
1
b) A >
3
A=

2
1
>
x +3 3

2
1
3 x
>0
>0
x +3 3
3 x +3

(

)

3 x > 0 ( vì 3( ( x + 3) > 0) x < 9 x < 9
Kết quả hợp với ĐKXĐ: 0 x 9 thì A > 1/3.
2
c) A =
đạt giá trị lớn nhất khi x + 3 đạt giá trị nhỏ nhất.
x +3

(

)

2
= 3 x = 0 x = 0 lúc đó AMax= x = 0.
min
3
Bài 37: ( Đề thi vào lớp 10 năm học 2008-2009)
1
1
3
Cho biểu thức P =
+
:
ữ
x +1 x +1
1 x
a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị của x để P =
5
4
x + 12 1

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M =
.
x 1 P
Bài giải:a) ĐKXĐ x 0; x 1

x +2
x +1
3
1
3+ x 1
x +1
x +2

P=
=
+
=
.
=
1
x 1 x +1
x + 1 ( x 1) x + 1
x 1
x +1 x 1


b) P = 5 x + 2 = 5 4 x + 2 = 5 x 1 4 x + 8 = 5 x 5.
4
x 1 4
x = 13 x = 168 (TMĐK)

c) M = x + 12 . 1 = x + 12 . x 1 = x + 12 = x 4 + 16 =
x 1 P
x 1 x + 2
x +2
x +2
16
16
16
x 2+
= x +2+
4 ta có
x +2+
2 16 = 2.4 = 8
x +2
x +2
x +2
16
M 8 4 = 4 M min = 4 x + 2 =
x +2
x +33

Mà

(

)(

x +3

)

(

(

(
(


)
x + 6) (

2

x + 2 = 16

)

(

x +2+4

)

) (

)(

(
(

)(
)(

)

)

x +24 =0

x 2 = 0 x 2 = 0 x = 4(TMDK)
Vậy Mmin= 4 x = 4 .
2 x
x
3x + 3 2 x 2
Bài 38: Cho biểu thức: D =
+

1ữ
ữ
x

9
x
+
3
x

3
x

3



a) Tìm ĐKXĐ ,rút gọn biểu thức
17

)
)


1
2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D
b) Tìm x để D < -

Bài giải:a) ĐKXĐ: a 0;a 1
a a +2
a a 1

a 1



P=
1
+ 1 = a 1 : a + 1 =

a +2
a 1
a +1



b) P = a 1 = 1 2
a +1
a +1
2
để P nhận giá trị nguyên thì
nhận giá trị nguyên dơng. a + 1 thuộc ớc dơng
a +1
của 2.
a +1 =1
a = 0
a=1 (Loại vì không thoả mãi điều kiện)


a
=
1

a + 1 = 2
Vậy P nhận giá trị nguyên khi a = 0
Bài 39: ( Đề thi vào lớp 10 A1 trờng THPT NLII năm 2004-2005)
1
1

Cho biểu thức B =
2 x + 3 1 2 x + 3 +1
a) Tìm x để B có nghĩa và rút gọn B.
b) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên.
Bài giải:a) ĐKXĐ x 3; x 2

(

)

(

(

B=

2

(

1



) 2(

x + 3 1

)

(

)(

) (

1

)

x + 3 +1

b) B nhận giá trị nguyên khi

=

)

)

x + 3 +1

(

)=

x + 3 1

2 ( x + 3 1)

1
nhận giá trị nguyên.
x+2

x + 2 Ư(1)
x + 2 = 1
x = 1
thoả mãn điều kiện


x + 2 = 1 x = 3
Vậy x= -1; x= -3 thì B nhận giá trị nguyên
x2 x
2x + x 2 ( x 1)
Bài 40 Cho biểu thức P =

+
x + x +1
x
x 1
a) Tìm ĐKXĐ , rút gọn P
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
c) Tìm x để biểu thức Q = 2 x nhận giá trị nguyên.
P
Bài 41 ( Đề thi vào lớp 10 năm học 2006-2007)
1
x +1
1
+
Cho biểu thức: P =

2
ữ:
x x 1 x 1 x
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P

(

)

b) Tìm x để P > 0
18

2
1
=
2( x + 2) x + 2


Bài giải a) ĐKXĐ x>0; x 1
2


1

x
1
1
x +1
1+ x
1 x

P=
+
:
.
=
2 =
x 1 x 1 x 1 x
x +1
x
x 1 x


b) P > 0 1 x > 0 1 x > 0 ( vì x > 0) x < 1 x < 1.
x
Kết hợp với ĐKXĐ: 0 < x < 1 thì P > 0

(

)

(

)

(

)

(

)

Bài 42: (Đề thi vào lớp 10 năm học 2007-2008)

x
1
1
Cho biểu thức A =

ữ:
x 1 x x x 1
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A
b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0
c) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phơng trình A. x = m x có nghiệm.
Bài giải a) ĐKXĐ: x > 0; x 1
2


x
1


x
1
1
x
1
1
x 1 x 1

A=

:
=

:
=
.
=
ữ
1


x

1
x

x
x

1
x

1
x

1
x

x
x

1
x

1
x





(

b) A < 0

x 1
< 0 x 1 < 0 (vì
x

)

(

( )

)

x < 0 ) x < 1 kết hợp với ĐKXĐ 0

x 1
. x = m x x 1 = m x (1)
x
x 1 = m x x + x ( m + 1) = 0(*)
Đặt x = t >0 ta có phơng trình t 2 + t ( m + 1) = 0 ( *) để phơng trình (1) có nghiệm thì
phơng trình (*) phải có nghiệm dơng.
= 1 + 4 ( m + 1) 0
Để phơng trình (*) có nghiệm dơng thì: ( m + 1) < 0

c) P.t: A. x = m x

5

4m + 5 0
m


4 m > 1 Vậy m>-1 và m 1 thì pt A x = m x có
m
+
1
>
0


m > 1

nghiệm.
Bài 43 : (Đề thi vào lớp 10 năm học 2004-2005)

1
1

Cho biểu thức: P = 1 +
ữ.
x 1 x x

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm giá trị của P khi x = 25
c) Tìm x để P. 5 + 2 6.
Bài giải:

(

)

2

x 1 = x 2005 + 2 + 3.

19



1
1
x
1

a) ĐKXĐ x > 0; x 1 : P = 1 +
.
=

ữ
x 1 x x x 1

x x 1

1
P=
2
x 1

(

(

)

b) Khi x= 25 P =

c)

P. 5 + 2 6.

(

(

1

)

25 1

)

x 1

2

=

1
16

2

= x 2005 + 2 + 3

1

(

)

x 1

2 .

(

) (
2

2+ 3 .

)

2

x 1 = x 2005 + 2 + 3

2 + 3 = x 2005 + 2 + 3 x = 2005 TMĐK

(

)

2

Vậy x = 2005 thì P. 5 + 2 6 x 1 = x 2005 + 2 + 3
Bài 44: (Đề thi vào lớp 10 năm học 2003-2004)
1
1
1
Cho biểu thức A =
+
ữ.1 +

ữ
x +1
x
x 1
a) Tìm ĐKXĐ, và rút gọn A.
1
b)Tính giá trị của A khi x= .
4
c)Tìm giá trị của x để A > A.
Bài giải:a) ĐKXĐ x > 0; x 1 .
1
1
x + 1+ x 1 x + 1
1
A=
+
.
=
ữ. 1 +
ữ=
x + 1
x
x
x 1
x 1 x +1

(
( x 1) (
2 x

)
x + 1)

(

x +1

x

A =

)(

)

2
x 1

1
A=
b) Khi x = 4

2
2
=
= 4
1
1
1
1

2
4
2
c) A > 0 0 < A < 1 0 <
< 1.
x 1
2
+0 <
x 1 > 0 x > 1( 1)
x 1
+

)


ữ
ữ


2
2
<1 1
>0
x 1
x 1

x 3
>0
x 1
20

x 3 > 0

x > 9 Vậy x > 9 thì A > A
x

1
>
0

Bài 45: (Đề thi vào lớp 10 năm học 2001-2002)
x
2 x 1

Cho biểu thức A =
x 1
x x 1
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của biểu thức A
c) Với giá trị nào của x thì A > A
Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x 1 .

(

A=

x
2 x 1

=
x 1
x x 1

(

)

)

( )
x

x

2

(

2 x +1

)

x 1

=

(
x

(

)

x 1

2

)

x 1

=

x 1
x

b) Khi x=36 A = 36 1 = 5
6
36
c) A > A A < 0 x 1 < 0 x 1 < 0 (vì x > 0 )
x
x < 1 x < 1 Kết hợp với điều kiện xác định 0 < x <1 thì A > A
2)Rỳt gn biu thc sau : A = 4 + 10 + 2 5 + 4 10 + 2 5 5
t B = 4 + 10 + 2 5 + 4 10 + 2 5 ,B>0
Ta cú B 2 = 4 + 10 + 2 5 + 4 10 + 2 5 + 2 (4 + 10 + 2 5 )(4 10 + 2 5 )
B 2 = 8 + 2 16 (10 + 2 5)
B 2 = 8 + 2.

(

)

5 1

2

(

= 6+2 5 B =

)

5 +1

2

Vy A = 5 + 1 5 = 1
x y
+
Bi 46 : Cho P=
x

y


x3 y 3
yx

A, Rỳt gn P =?

B, Tớnh P khi x= 5 2 6 , y= 5 + 2 6
C, Chng minh 0 P 1
Gii : P= (

(

x+ y

)(

x y

x y

)(

(


:



)(

= 5 + 1 , Vỡ B > 0

(

x y x + xy + y

x+ y

)(

)

+ xy

x+ y


x y

x y

)

2

)) : x 2

xy + y + xy
x+ y


x + xy + y x xy + y x + 2 xy + y x xy y
x+ y
:
= x+ y
=

.


x+ y
x+ y
x+ y
x xy + y

=

xy
x xy + y
21


B, x = ( 3 − 2 ) , y = ( 3 + 2 )
2

P=

(

3− 2

)(
2

3+ 2

)

2

x − xy + y −

(

)

(

x− y

)

2

3− 2 1
=
9
9

=

5 − 2 6 + 5 + 2 6 −1
C, x, y ≥ 0, ⇒ xy ≥ 0, (1)

2

+ xy ta có x ≠ y

(

2

≥ 0, xy >0 ⇒ x − y
Từ (1) và (2) ⇒ P ≥ 0 (*)
x− y

xy

Xét hiệu P-1 ta có x − xy + y
=

−

(

x− y

)

2

x − xy + y

)

2

+ xy >0 (2)
xy − x − y + xy

−1 =

x − xy + y

=

2 xy − x − y
x − xy + y

ta có − ( x − y ) < 0 và x ≠ y (3)

Từ (2) và (3) ⇒
Bµi 47 :

−

(

x− y

)

2

x − xy + y

<0 hay P-1 <0 suy ra P<1

Cho biÓu thøc A = 15 x − 11 + 3 x − 2 − 2 x + 3
x + 2 x − 3 1− x
x +3
a) Rót gän biÓu thøc A .
2 −1
b) TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x =
3+ 2 2
2
c) Chøng minh r»ng: A ≤
3

Giải
a) §KX§: x ≥ 0 ; x ≠ 1
A=
=
=
=

(

15 x − 11
x +3

)(

)

x −1

(

−

3 x −2 2 x +3
−
x −1
x +3

) (
( x − 1) ( x + 3)

15 x − 11 − 3 x − 2

)(

x +3 − 2 x +3

)(

)

x −1

15 x − 11 − 3x − 9 x + 2 x + 6 − 2x + 2 x − 3 x + 3

(

)(

x −1

x +3

( 2−5 x)(
( x + 3) ( x − 1) ( x + 3) (
7 x − 5x − 2

=

)

) = 2−5

x −1

)

x −1

22

x
x +3


2 −1

b) x =

2 −1 (
=

=

)

2 −1

2

(

)

2

2 −1 = 2 −1
2 −1
2 +1
2 − 5 x 2 − 5 2 + 5 7 − 5 2 24 − 17 2
A=
=
=
=
2
x +3
2 −1 + 3
2+2
2 2 − 5 x 2 6 − 15 x − 2 x − 6

−17 x
− =
=
c) XÐt hiÖu: A − =
3
x +3 3
3 x +3
3 x +3
3+ 2 2

Ta cã: −17 x ≤ 0 vµ 3
⇒

−17 x

3

(

x +3

)

(

=

2 −1 ⇒ x =

(

)

)

(

)

x + 3 > 0, ∀x ≥ 0; x ≠ 1

≤0⇔A−

2
2
≤0⇔A≤
3
3

 x +3

x +2

x +2

 

x 

+

+
÷
Bài 48 : Cho biểu thức A = 
÷:  1 − x + 1 ÷
÷;
 x − 2 3− x x −5 x + 6  


Với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9 (*)
a) Rút gọn biểu thức A;
b) Tìm giá trị của A khi x = 6 − 2 5 ;
c) Với giá trị nào của x thì

1
đạt giá trị nhỏ nhất? tìm giá trị nhỏ nhất đó?
A

a) Với điều kiện ( *) ta có:

x +3
x +2
A=
−
+
 x −2
x −3

=

(

 
x 
÷:  x + 1 −
÷
x +1 ÷
x − 3 ÷  x + 1



x +2
x −2

)(

x −9− x + 4+ x + 2  1 
:
÷
x −2
x −3
 x +1 

=

(

)(

)

)

=

(

x −3
x −2

)(

 1 
:
÷
x − 3  x +1 

)

x +1
x −2

1
1
:
=
x − 2 x +1

B,Dễ thấy : x = 6 − 2 5 = ( 5 − 1) thoả mãn điều kiện. Khi đó:
2

c)

x=

(

)

5 −1

2

= 5 −1 .

5 −1+1
5
3 5 −5
=
=
5 −1 − 2
5 −3
4
3
3
1
1
Viết lại, =1 −
. Để
có GTNN thì
có GTLN, hay

x +1
x +1
A
A
có GTNN. Ta có: x + 1 ≥ 1 , dấu "=" xảy ra khi x = 0.
3
1
= 1 − 3 = −2 , xảy ra khi x = 0.
Giá trị nhỏ nhất của
là 1 −
0 +1
A

Do vậy, giá trị của biểu thức A là:

Bài 49 :
23

x +1


Cho biểu thức: A = (

x+2
x
1
x −1
+
+
):

2
x x −1 x + x +1 1 − x

1- Rút gọn biểu thức A.
2- Tính giá trị của A khi x = 7 − 2 6 .
3- Tìm x để biểu thức A đạt giá trị lớn nhất.
Giải :
1Điều kiện xác định: 0 ≤ x ≠ 1
A=
=

x + 2 + x ( x − 1) − ( x + x + 1)
2
.
x x −1
x −1
( x − 2 x + 1)2
2
=
2
( x − 1) ( x + x + 1) x + x + 1

2
2
≤
=2
1
3
1
3

22
( x+ ) +
+
2
4 4 4
Dấu “ =’’ xảy ra ⇔ x = 0 ⇔ x = 0
A=

Vậy giá trị lớn nhất của A là 2 khi x = 0.
3- Với x = 7 − 2 6 = ( 6 − 1) 2 ⇒ x = 6 − 1
2
2
=
7 − 2 6 + 6 −1 +1 7 − 6
3
2 x2
x− y +
+y y
3 xy − 3 y
x
Bài 50 : B =
+
, x > 0, y > 0, x ≠ y
x− y
x x+y y

Ta có: A =

(

)

2.

(
Xét:
=

)

2 x2
+y y
( x )3 − 3 x y + 3 x y − ( y )3 + 2( x )3 + ( y ) 3
x
=
x x+y y
( x )3 + ( y )3

x− y

3

+

3( x )3 − 3 x y + 3 x y
( x) + ( y)
3

3

3 x ( x ) 2 − x y + ( y ) 2 
=
=
( x + y )  ( x ) 2 − x y + ( y ) 2 

Xét:

3 xy − 3 y
3 y( x − y)
=
=
x− y
( x + y )( x − y )

B=

3 y
3( x + y )
3 x
+
=
=3
x+ y
x+ y
x+ y

3 y
x+ y

Đáp số : B = 3



Bài 51 : Cho biểu thức: P =  x −


1   x −1
x −1 

 : 
−
x 
x
x + x 

a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi x =

2
2+ 3
24

3 x
x+ y


c) Tìm giá trị của x thỏa mãn đẳng thức: P. x = 6 x - 3 - x − 4

1   x −1
x −1 


 : 
−
P =  x −
x 
x
x + x 

ĐKXĐ: x > 0 , x ≠ 1
 x − 1   x − 1
x − 1 
 : 
−
P = 
x
x ( x + 1) 
 x  
x − 1 x ( x + 1) ( x + 1) 2
x− x
x − 1 x − 1 − x + 1 x −1
:
=
=
:
=
.
=
x
x
x ( x + 1)
x

x ( x − 1)
x
x ( x + 1)
2
∈ ĐKXĐ
Với x =
2+ 3
x = 4 - 2 3 = ( 3 − 1) 2 ⇒ x = 3 − 1
Nên P =

( 3 − 1 + 1) 2

=

3 −1

3
3
= ( 3 + 1)
3 −1 2

a+b

b
a
Bài 52 : Cho biểu thức P=
: 
−
+
 −

a + b  a − b b − ab
ab + a 
Với a>0, b>0 ,a ≠ b
a+b

(

a− b
2

)

2

A, Rút gọn biểu thức P =?
B , Tìm a và b sao cho b =(a+1)2 và P=-1
Giải :
P=
=
=


:
a+ b 
a+b

a+b
a+ b
a+b
a+ b

:

:

(

a+b
a+ b

)(

a− b

)

−

− b

(

b
a− b

a ab + b ab + ab + b ab + a ab − ab

( a − b)

2 ab ( a + b )

( a − b)

ab

−

ab

a− b
2

=

a− b
−
2

a− b
a− b
−
=0
2
2
a − b <0⇔a
)

+

a

(


−
a+ b 
a

)

a− b
2

a− b

−

2

a− b
2

Nếu : a − b > 0 ⇔ P =

Nếu :
B, a − b = −1 ⇔ a − ( a + 1) 2 = −1
Vì b =(a+1)2 ⇔ a − a − 1 = −1 ⇔ a (1 − a ) = 0 nà a >0 ⇔ 1 − a = 0 ⇔ a = 1 ⇒ b = 4
Vậy a=1 và b=4 thì P=-1

25