Bài Toán Dirichlet Đối Với Phương Trình Monge - Ampere Phức Và Tính Chính Qui Của Hàm Green Đa Phức

Header Page 1 of 126.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
–––––––––––––––––––

NGUYỄN THỊ HOÀ

BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƢƠNG TRÌNH
MONGE-AMPERE PHỨC VÀ TÍNH CHÍNH QUI
CỦA HÀM GREEN ĐA PHỨC
Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. PHẠM HIẾN BẰNG

THÁI NGUYÊN - 2013
Số hóa bởi trung tâm học liệu
Footer Page 1 of 126.

/>

Header Page 2 of 126.

i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu
tham khảo trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được công bố
trong bất cứ công trình nào.
Thái Nguyên, tháng 6 năm 2013

Tác giả
Nguyễn Thị Hòa

Số hóa bởi trung tâm học liệu
Footer Page 2 of 126.

/>

Header Page 3 of 126.

ii
LỜI CẢM ƠN
Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này
tôi xin bày tỏ lòng biết ơn Thầy về sự hướng dẫn tận tình, hiệu quả với những
kinh nghiệm trong quá trình nghiên cứu để hoàn thành luận văn.
Xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa
Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện
Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện
thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên,
Sở Giáo dục và Đào tạo Tuyên Quang, Trường PTDT Nội trú - THPT tỉnh,
Trường THPT Chuyên Tuyên Quang cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp
đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học
viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong
thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Thái Nguyên, tháng 6 năm 2013

Tác giả
Nguyễn Thị Hòa

Số hóa bởi trung tâm học liệu
Footer Page 3 of 126.

/>

Header Page 4 of 126.

iii
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................. 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................. 1
3. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 2
4. Bố cục của luận văn ......................................................................................... 2
Chƣơng 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .................................................... 3
1.1. Hàm đa điều hoà dưới cực đại ...................................................................... 3
1.2. Toán tử Monge-Ampère phức ...................................................................... 4
1.3. Bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampere ...................................... 8
1.4. Hàm Green đa phức với cực logarit tại một điểm ...................................... 20
Chƣơng 2: BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƢƠNG TRÌNH
MONGE-AMPÈRE PHỨC VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA HÀM
GREEN ĐA PHỨC .......................................................................................... 24
2.1. Các ước lượng biên đối với các đạo hàm cấp hai ....................................... 25
2.2. Các ước lượng nội tại đối với các đạo hàm cấp hai ................................... 32
2.3. Tính chính quy của hàm Green đa phức .................................................... 36
KẾT LUẬN....................................................................................................... 41
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 42

Số hóa bởi trung tâm học liệu
Footer Page 4 of 126.

/>

Header Page 5 of 126.

1
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Cho W là một miền bị chặn trong £ n với biên ¶ W lớp £ ¥ . Xét bài toán
Dirichlet đối với các phương trình Monge-Ampère phức
íï det (u
) = y (z , u, Ñ u ) trong W
z j zk
ïï
ì
ïï u = j tr ên ¶ W
ïî

(*)

Khi W là một miền giả lồi mạnh, bài toán này đã được nghiên cứu rộng
rãi. Năm 1976, E. Bedford và B. A. Taylor đã chứng minh sự tồn tại, tính duy
nhất và tính chính qui Lipschitz đều toàn cục của các nghiệm đa điều hòa dưới
tổng quát. Năm 1980, Cheng và Yau, trong công trình nghiên cứu về các mêtric
&
&

Kahler-Einstein
đầy đủ trên các đa tạp phức không Compact, đã giải bài toán

(*) với y = e

u

và j = + ¥ , thu được nghiệm thuộc lớp C ¥ (W) . Năm

1985, L. Caffarelli, J. J. Kohn, L. Nirenberg và J. Spruck đã chứng minh sự tồn
tại của các nghiệm đa điều hòa dưới cổ điển của (*) cho trường hợp   0 ,
không suy biến trong các điều kiện  thích hợp. Trường hợp suy biến   0
cũng đã thu hút nhiều sự chú ý, và các phản ví dụ được tìm thấy đã chỉ ra rằng
nghiệm đó không nhất thiết phải là nghiệm thuộc lớp C2 (xem Bedford và
Fornaess, 1979; Gamelin và Sibony năm 1980). Ở đây chúng ta xem xét bài
toán Dirichlet (*) đối với các miền tổng quát mà không cần đến tính giả lồi.
Theo hướng dẫn nghiên cứu trên, chúng tôi chọn đề tài: "Bài toán
Dirichlet đối với phương trình Monge-Ampere phức và tính chính qui của hàm
Green đa phức".
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của luận văn là trình bày một số kết quả trong việc nghiên
cứu tính chính quy của nghiệm tổng quát của phương trình Monge-Ampère.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:
Số hóa bởi trung tâm học liệu

Footer Page 5 of 126.

/>

Header Page 6 of 126.

2

- Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm
đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, toán tử Monge-Ampère và bài
toán Dirichlet cổ điển đối với toán tử Monge-Ampere, Hàm Green đa phức với
cực logarit tại một điểm .
- Trình bày một số kết quả của Bo Guan về tính chính quy của nghiệm
tổng quát của phương trình Monge-Ampère và tính chính qui của hàm Green
đa phức.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với các phương
pháp của lý thuyết thế vị phức để trình bày các kết quả của Bo Guan.
4. Bố cục của luận văn
Nội dung luận văn gồm 43 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương
nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất
của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, toán tử MongeAmpère và bài toán Dirichlet cổ điển đối với toán tử Monge-Ampere, Hàm
Green đa phức với cực logarit tại một điểm.
Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả nghiên
cứu về tính chính quy của nghiệm tổng quát của phương trình Monge-Ampère
và tính chính qui của hàm Green đa phức.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

Footer Page 6 of 126.

/>

Header Page 7 of 126.

3
Chƣơng 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Hàm đa điều hoà dƣới cực đại
1.1.1. Định nghĩa. Cho W là một tập con mở của £ n và u : W® [- ¥ , ¥ ) là
một hàm nửa liên tục trên và không trùng với - ¥ trên bất kỳ thành phần liên
thông nào của W. Hàm u được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi a Î W và

b Î £ n , hàm l a u(a + l b) là điều hoà dưới hoặc trùng - ¥ trên mỗi thành
phần của tập hợp {l Î £ : a + l b Î W}. Trong trường hợp này, ta viết

u Î P SH (W) . (ở đây P SH (W) là lớp các hàm đa điều hoà dưới trong W).
1.1.2. Định nghĩa. Hàm giá trị thực u Î C 2 (W) , WÐ £ n , gọi là đa điều hòa

{ } là xác định dương trong W.
Ký hiệu {u } là ma trận nghịch đảo của {u } khi nó là khả nghịch.
dưới chặt nếu ma trận Hessian phức uz z

j k

jk

z j zk

1.1.3. Định nghĩa. Cho W là một tập con mở của £ n và u : W® ¡ là hàm

đa điều hoà dưới. Ta nói rằng u là cực đại nếu với mỗi tập con mở compact
tương đối G của W, và với mỗi hàm nửa liên tục trên v trên G sao cho

v Î P SH (G ) và v £ u trên ¶ G , đều có v £ u trong G.
Sau đây ta sẽ xem xét một số tính chất tương đương của tính cực đại.
1.1.4. Mệnh đề. Cho WÐ £ n là mở và u : W® ¡ là hàm đa điều hoà dưới.
Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

(i ) Với mỗi tập con mở compact tương đối G của W và mỗi v Î P SH (W) , nếu
lim sup(u (z ) - v(z )) ³ 0 , với mọi x Î ¶ G , thì u ³ v trong G ;
z® x

(ii ) Nếu v Î P SH (W) và với mỗi e > 0 tồn tại một tập compact K Ð W sao
cho u - v ³ - e trong W\ K , thì u ³ v trong W;

Số hóa bởi trung tâm học liệu

Footer Page 7 of 126.

/>

Header Page 8 of 126.

4

(iii ) Nu v ẻ P SH (W) , G l mt tp con m compact tng i ca W, v
u v trờn ả G thỡ u v trong G;

(iv ) Nu v ẻ P SH (W) , G l mt tp con m compact tng i ca W, v
lim inf(u (z ) - v(z )) 0, vi mi x ẻ ả G , thỡ u v trong G;

zđ x

(v ) u l hm cc i.
Chng minh. (i ) ị (ii ) : Cho v l mt hm a iu ho di cú tớnh cht: vi
mi e > 0 tn ti mt tp compact K é W sao cho u - v - e trong W\ K .
Gi s rng u(a ) - v(a ) = h < 0 ti mt im a ẻ W. Bao úng ca tp hp

{

E = z ẻ W: u (z ) < v(z ) +

h
2

}

l tp con compact ca W. Bi vy cú th tỡm c tp m G cha E v
h
compact tng i trong G . Theo (i ) ta cú u v +
trong G , iu ú mõu
2
thun vi a ẻ E . Phn cũn li c suy ra t khng nh: hm

ớù max {u (z ), v(z )} (z ẻ G )
ù
w(z ) = ỡ
ùù
u (z )
(z ẻ W\ G )
ùợ

l a iu ho di trong W theo cỏc gi thit (iii ) , (iv ) , (v ) v (i ) .
1.2. Toỏn t Monge-Ampốre phc
Cho u l a iu ho di trờn min Wé Ê n . Nu u ẻ C 2(W) thỡ toỏn t:
c

n

(dd u )

ộ ảu ự
ỳ
:= (dd u ) ... (dd u ) = 4 n !det ờờ
dV ,
ỳ
1444444442 444444443
ả
z
ả
z
ờ
ỳ
j
k
n
ở
ỷ1Ê j ,k Ê n
c

c

n

vi dV l yu cú th tớch trong C n gi l toỏn t Monge-Ampốre. Toỏn t ny
cú th xem nh o Radon trờn W, tc l phim hm tuyn tớnh liờn tc trờn
khụng gian cỏc hm liờn tc vi giỏ compact C 0(W) trờn W

C 0 (W) ' j a

c n
ũ j (dd u ) .
W

S húa bi trung tõm hc liu

Footer Page 8 of 126.

/>

Header Page 9 of 126.

5

Bedford v Taylor ó chng minh rng nu u l a iu ho di b chn a
phng trờn W thỡ tn ti dóy {u n }

n> 1

ớù
v ỡ dd cu n
ùợù

(

é P SH h
(W) ầ C Ơ sao cho un ]

u

nỹ
ù

) ùýùỵù hi t yu ti o Radon trờn W tc l:
lim ũ j (dd cun ) =
n

n

W

ũ j d m, " j

ẻ C 0 (W).

W

Hn na khụng ph thuc vo vic chn dóy un nh trờn, ta ký hiu:

(dd c u )n = m
v gi l toỏn t Monge-Ampốre ca u .
Sau õy chỳng ta s xem xột mt vi tớnh cht c bn ca toỏn t MongeAmpốre c trỡnh by trong [1].

{ } l dóy cỏc o Radon trờn tp m Wé

1.2.1. Mnh . Gi s mj

Ă

n

hi

t yu ti o Radon m . Khi ú
a) Nu G é W l tp m thỡ m(G ) Ê lim inf mj (G ) .
jđ Ơ

b) Nu K é W l tp compact thỡ m(K ) lim sup mj (K ) .
jđ Ơ

c) Nu E compact tng i trong W sao cho m(ả E ) = 0 thỡ

m(E ) = lim mj (E ) .
jđ Ơ

Chng minh.
a) Ta cú m(G ) = sup {m(K ) : K é G }. Gi s K é G l tp compact. Ly
j ẻ C 0 (G ) , 0 Ê j Ê 1 v j = 1 trờn K . Khi ú

m(K ) Ê m(j ) = lim mj (j ) Ê lim inf mj (G ) .
jđ Ơ

T ú

m(G ) Ê lim inf mj (G ) .
jđ Ơ

S húa bi trung tõm hc liu

Footer Page 9 of 126.

jđ Ơ

/>

Header Page 10 of 126.

6

{

}

b) Ta có m(K ) = inf m(V ) : V É K ,V Ð W ,V= V 0 . Giả sử V là một lân cận
mở của K và j Î C 0 (V ) , 0 £ j £ 1 và j = 1 trên K . Khi đó

m(V ) ³ m(j ) = lim mj (j ) ³ lim sup mj (K ) .
j® ¥

Từ đó

j® ¥

m(K ) ³ lim sup mj (K ) .
j® ¥

c) Viết E = IntE È ¶ E . Khi đó

m(E ) = m(int E ) £ lim inf mj (int E ) £ lim inf mj (E ) .
j® ¥

j® ¥

Mặt khác

m(E ) ³ lim sup mj (E ) ³ lim sup mj (E ) .
j® ¥

j® ¥

Từ đó

m(E ) ³ lim sup mj (E ) .

Vậy

m(E ) = lim mj (E ) .

j® ¥

j® ¥

1.2.2. Định lý. Giả sử WÐ £ n là miền bị chặn và u, v Î P SH (W) Ç L¥ (W) sao
cho lim inf(u(z ) - v(z )) ³ 0 . Khi đó
z® ¶W

ò

( dd cv )n £ ò ( dd cu )n .
{u < v }
{u < v }

(1.1)

1.2.3. Hệ quả. Giả sử WÐ £ n là miền bị chặn và u, v Î P SH (W) Ç L¥ (W) sao cho
u £ v và lim u (z ) = lim v(z ) = 0 . Khi đó
z® ¶W

z® ¶W

ò ( dd v )
c

( W)

n

£ ò ( dd cu )n .
( W)

1.2.4. Hệ quả. (Nguyên lý so sánh). Giả sử WÐ £ n là miền bị chặn và

u, v Î P SH (W) Ç L¥ (W)

sao

cho

lim inf(u(z ) - v(z )) ³ 0 .

z® ¶W

Giả

(dd cu )n £ (dd cv )n trên W. Khi đó v £ u trên W.
Số hóa bởi trung tâm học liệu

Footer Page 10 of 126.

/>
sử


Header Page 11 of 126.

7

1.2.5. H qu. Gi s Wé Ê n l min b chn v u, v ẻ P SH (W) ầ LƠ (W) sao cho
lim inf(u(z ) - v(z )) = 0 v (dd cu )n = (dd cv )n . Khi ú u = v .

zđ ảW

1.2.6. H qu. Gi s Wé Ê n l min b chn v u, v ẻ P SH (W) ầ LƠ (W) sao cho
lim inf(u(z ) - v(z )) 0 v

zđ ảW

ũ

( dd cu )n = 0 .
{u < v }

Khi ú u v trờn W.
Chng

minh.

{u < v + ey } ạ

Gi

s

{u < v } ạ

ặ.

Khi

ú

cú

e> 0

sao

cho

ặ v do ú cú o Lebesgue dng. Chỳ ý rng do y < 0

nờn {u < v + ey } é

{u < v }. Khi ú ta cú
0=



ũ

c n
( dd cu )n
ũ ( dd u )
{u < v }
{u < v + ey }

ũ

(dd cv )n + en 4n n !l n ({u < v + ey }) > 0

{u < v + ey }

v ta gp mõu thun.
1.2.7. H qu. Gi s Wé Ê n l min b chn v u ẻ P SH (W) ầ LƠ (W) tha
món phng trỡnh Monge-Ampốre (dd cu )n = 0 . Khi ú u l hm a iu hũa
di cc i trong W.
Chng minh. Gi s v ẻ P SH (W) v G é W sao cho u v trờn ả G . t
ớù max {u (z ), v(z )}, z ẻ G
w(z ) = ùỡ
ùù u (z ), z ẻ W\ G .
ợ

Khi ú

w ẻ P SH (W) ầ LƠloc (W) . Hn na

lim inf(u (z ) - w(z )) = 0

zđ ảW

ũ

v

( dd cu )n = 0 . Vy theo H qu 1.2.6 ta cú u w trờn W. Vy u v trờn
{u < w }

G . Do ú u cc i.
S húa bi trung tõm hc liu

Footer Page 11 of 126.

/>

Header Page 12 of 126.

8

1.3. Bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampere
Trước tiên chúng ta xét lớp các hàm đa điều hòa dưới cực đại liên tục liên
quan đến bài toán Dichlet tổng quát:
Cho W là một miền bị chặn trong £ n và f Î C (¶ W) . Bài toán Dirichlet được
đặt ra như sau: tìm một hàm nửa liên tục trên u : W® ¡ sao cho u

W

là đa

điều hoà dưới trên W và u ¶ W º f .
Ta ký hiệu U (W, f ) là họ của tất cả các hàm u Î P SH (W) sao cho u * £ f trên
¶ W, trong đó

u * (z ) = lim sup u ( w) , với mọi z Î W.
w® z
wÎ W

Đặt y W, f (z ) = sup {u (z ) : u Î U (W, f )}, z Î W. Hàm y W, f (z ) được gọi là hàm
Perron - Bremermann đối với W và f .
Ta sẽ chứng minh rằng y W, f (z ) là nghiệm của bài toán Dirichlet tổng quát khi W
là một hình cầu Euclid.
1.3.1. Định lý. Cho f Î C (¶ B ) , trong đó B = B (a, r ) là một hình cầu mở trong
£ n . Khi đó hàm y xác định bởi

íï y B , f (z ) (z Î B )
y (z ) = ïì
ïï f (z ) (z Î ¶ B )
ïî

là một nghiệm của bài toán Dirichlet đối với tập B và hàm f . Hơn nữa, y là
liên tục.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết rằng a = 0 . Giả sử

h là nghiệm của bài toán Dirichlet cổ điển đối với B và f . Vì hàm đa điều hoà
dưới là điều hoà dưới, nên suy ra y B , f £ h trong B theo nguyên lý cực đại đối
với hàm điều hoà dưới. Do h liên tục trong B , nên ta có ( y B , f )* £ h trong B .
Đặc biệt, điều đó có nghĩa là ( y B , f )* Î U (B , f ) và như vậy ( y B , f )* º y trong

Số hóa bởi trung tâm học liệu

Footer Page 12 of 126.

/>

Header Page 13 of 126.

9

B ị y ẻ P SH (B ) . hon thnh chng minh kt lun th nht ca nh lý,
ta ch cn chng minh ( y B , f )* f trờn ả B .
Ta s chng minh mt tớnh cht mnh hn: vi z 0 ẻ ả B bt k, thỡ

lim inf y B , f (z ) f (z 0 ) .

z đ z0
zẻ B

Tht vy, ly z 0 ẻ ả B v e > 0 . Chng minh s c hon thnh nu ta cú
th tỡm c mt hm liờn tc v : B đ Ă

sao cho v B ẻ U (B , f ) v

v(z 0 ) = f (z 0 ) - e . iu ú cú th t c bng cỏch nh ngha
v(z ) = c ộờRe z , z 0 - r 2 ự
+ f (z 0 ) - e ,
ỳ
ở
ỷ

trong ú c > 0 l hng s, c chn v Ê f trờn ả B . (Chỳ ý rng biu
thc trong du múc vuụng l õm trờn B \ {z 0 }).
T ú vi mi z 0 ẻ ả B , ta cú

lim y (z ) = y (z 0 ) ,

(1.2)

z đ z0
zẻ B

tc l y liờn tc ti mi im biờn.
Tớnh cc i ca y l hin nhiờn. Thc vy, nu G l mt tp con m compact
tng i ca B , v : G đ [- Ơ , Ơ ) l na liờn tc trờn, v

G

ẻ P SH (W) v

v Ê y trờn ả G , thỡ hm
ớù max {v, y }
V = ùỡ
ùù
y
ùợ

zẻG
zẻ B\G

thuc U (B , f ) ị V Ê y . c bit, v Ê y trong G . (iu phi chng minh)
chng minh rng y l liờn tc, ch cn chng t nú na liờn tc di. Tht
vy, ly e > 0 . Khi ả B l compact, y

B

= f l liờn tc u. iu ú kt hp

r
vi (1.2) suy ra tn ti d = (0, ) sao cho nu z ẻ B , w ẻ ả B , v
2

z - w < 3d , thỡ
S húa bi trung tõm hc liu

Footer Page 13 of 126.

/>

Header Page 14 of 126.

10

y (z ) - y (w) <

e
.
2

(1.3)

Vi bt k y ẻ B (0, d) , t

ớù max {y (z ), y (z + y ) - e} (z ẻ B ầ (- y + B )
ù
.
H y (z ) = ùỡ
ùù
y (z )
(z ẻ B \ (- y + B )
ùợ
Ta s chng minh rng H y

B

ẻ U (B , f ) . Tht vy vỡ

B (0, r - d) é B ầ (- y + B ) = B (0, r ) ầ B (- y, r )
nờn H y ẻ P SH ( B (0,r - d ) ) l ln nht trong hai hm a iu ho di. Mt
khỏc, H y = y trong B \ B (0, r - 2d) . Thc vy, theo nh ngha H y (z ) ta cú
H y (z ) = y (z ), z ẻ B \ (- y + B ) .

Nu z ẻ (B ầ (- y + B )) \ B (0, r - 2d) , thỡ ta chn z 0 ẻ ả B

sao cho

z - z 0 < 2d . Ta cú z + y - z 0 < 3d v do ú theo (1.3)
y (z ) - y (z 0 ) <

e
2

v

y (z + y ) - y (z 0 ) <

e
.
2

Nh vy y (z ) y (z + y ) - e ị H y (z ) = y (z ) ị H y ẻ P SH (B ) v H y = f
trờn ả B ị H y ẻ U (B , f ) ị H y Ê y . T ú nu z , w ẻ B v z - w < d ,
thỡ y (z ) H w- z (z ) y (z + w - z ) - e = y (w) - e .
Vy y l na liờn tc di. (iu phi chng minh).
Bõy gi ta s ỏp dng kt qu trờn cho Bi toỏn Dirichlet tng quỏt i vi toỏn

t Monge-Ampere:
Cho W l min b chn trong Ê n v f ẻ C(ả W) . Bi toỏn Dirichlet tng quỏt
i vi toỏn t Monge-Ampere phc c t ra nh sau: tỡm mt hm na
liờn tc trờn u : Wđ R sao cho u liờn tc ti mi im ca ả W v cỏc iu
kin sau c tha món:

S húa bi trung tõm hc liu

Footer Page 14 of 126.

/>

Header Page 15 of 126.

11

ớù u ẻ P SH(W) ầ LƠ (W)
ùù
loc
ù
u = f
ỡ
ảW
ùù
ùù
(ddcu )n = 0
ợ
Trong phn ny chỳng ta s chng minh rng bi toỏn ny cú nghim duy nht
khi W l hỡnh cu clit B = B (a, r ) . Theo H qu 1.2.7, nghim nh vy phi
l hm cc i do ú nú phi trựng vi hm Perron-Bremermann YB , f . Vỡ th

bi toỏn a v chng minh (dd c YB , f )n = 0 trong B .
Ta nhc li mt vi ký hiu s dựng trong nh lý di õy:
Cho B (a, R ) l hỡnh cu m trong R m . t
A (u , a, R ) =

1
bm R m

ũ

u (x )d l (x ) , u l hm o trờn B (a, R ) .

B (a , R )

Cho u ẻ L1loc (W) . Vi e > 0 ta nh ngha

(T eu )(x ) =

2(2m + 2)
(A(u; x , e) - u(x )), (x ẻ We ) .
e2

Theo cụng thc Taylor cp 2 d kim tra rng nu u ẻ C2 (W) thỡ limT eu = D u
eđ 0

trong W. Nu u ẻ L1loc (W) thỡ T eu hi t n D u theo ngha suy rng.
1.3.2. nh lý.[10] Gi s u : Wđ R l hm iu hũa di sao cho
ả 2u
ẻ LƠloc (W), i, j = 1,..., m , ú W m v b chn trong m . Gi s
ả xiả x j

h > 0 v {ej } l dóy cỏc s dng hi t n 0 . Khi ú tn ti tp compact

K é W v s t nhiờn j 0 sao cho:
i ) l (W\ K )< h;

ả 2u
ii )
ả xi ả xk

ẻ C(K ) vi i, k = 1,..., m ;
K

S húa bi trung tõm hc liu

Footer Page 15 of 126.

/>

Header Page 16 of 126.

12

iii ) vi mi x ẻ K , j j 0 v y ẻ B (x , e j ) ,
ả 2u e

(T e u )(y ) - D u (x ) Ê h v

j

ả xiả xk

j

(y ) -

ả 2u
(x ) Ê h ,
ả xiả xk

trong ú i, k = 1,..., m v u e ( x) = A (u ; x, e j ) .
j

Bõy gi ta xem xột tớnh chớnh qui ca hm Perron- Bremermann: kt qu chớnh
qui sau õy thuc v Bedford-Taylor (1976)
1.3.3. nh lý. Gi s j ẻ C2(ả (B (0,1)) v u = YB (0,1),j . Khi ú
ả 2u
Ơ
ẻ Lloc
(B (0,1)) v u ẻ C1,1(W) .
ả xiả xk

Chng minh. Trc tiờn ta chng minh rng u tha món iu kin Lipschitz
trong hỡnh cu n v.
Gi s y ẻ C0Ơ (( C n ) sao cho 0 ẽ supp y v y
x y (z )j (

ả B ( 0,1)

1 . Khi ú hm

z
) thuc vo C0Ơ ( C n ) v trựng vi j trờn ả B (0,1) .
z

Ta ký hiu hm ny cng l j . Ly hng s C sao cho
ớù
ỹ
ùù
ùù
ù
C > m ax ùỡ sup dz j ( w), sup dz2j ( w, w), ùý
ùù x = 1
ùù
x =1
ùù w = 1
ùù
w =1
ợ
ỵ

Theo cụng thc Taylor ta cú

j (z ) - j ( z 0 ) - d z j ( z - z 0 ) Ê C z - z 0

2

0

vi mi z , z 0 ẻ ả B (0,1). Vi mi z 0 ẻ ả B (0,1) ta t

vz (z ) = - 2C ộờở1 - Reỏz , z 0 ự
+ j (z 0 ) + dz j (z - z 0 ) (z ẻ n ) .
ỳ
ỷ
0
0
Nu z = 1 , thỡ theo nh lý Pythagoras ta cú
S húa bi trung tõm hc liu

Footer Page 16 of 126.

/>

Header Page 17 of 126.

13

1= z

2

= (Reáz , z 0 ð)2 + dist (z , R z 0 )2 và

z - z0

2

= (1 - Reáz , z 0 ð)2 + dist (z , R z 0 )2 ,

trong đó R z 0 = {tz 0 : t Î R }. Do đó nếu z Î ¶ B (0,1) thì

2

v z ( z ) = - C z - z 0 + j ( z 0 ) + d z j (z - z 0 ) £ j (z )
0

0

và vz (z 0 ) = j (z 0 ) . Hơn nữa, Lip(vz ) £ C và v z thuộc vào họ U(B (0,1), j )
0

0

0

các hàm Perron-Bremermann u . Từ đó hạn chế của hàm

v = sup {vz : z Î ¶ B (0,1)} (z Î B (0,1))
trên B (0,1) thuộc vào U(B (0,1), j ) , Lip(v ) £ C và v = j

trên ¶ B (0,1) .

Tương tự, có thể xây dựng hàm w trên B (0,1) sao cho
(- w

B (0,1)

) Î U(B (0,1), - j ), Lip( w) £ C , và w = j trên ¶ B (0,1) .

Do đó v £ u £ w trong B (0,1) và

u (z ) - u ( z ) £ C z - z

với mọi

z Î B (0,1) và z Î ¶ B (0,1) . Ta sẽ chứng minh ước lượng sau cùng là đúng đối
với mọi z Î B (0,1) . Với y Î B (0, 2) đặt

íï m ax u (z ), u (z + y ) - C y
ï
H y (z ) = ì
ïï
u (z )
ïî

{

Ta chứng minh H y

B (0,1)

}

(z , z + y Î B (0,1))
(z Î B (0,1), z + y Ï B (0,1))

.

Î U(B (0,1), j ) .

Thật vậy, vì u (z + y ) - C y £ u (z )

với z Î B (0,1) và z + y Î ¶ B (0,1) nên H y Î P SH (B (0,1)) . Hơn nữa, nếu

z Î ¶ B (0,1) và z + y Î B (0,1) thì theo điều kiện Lipschitz ở trên ta có ước
lượng u (z ) ³ u (z + y ) - C y . Vì thế H y (z ) = u (z ) với z Î ¶ B (0,1) và ta có
điều phải chứng minh.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

Footer Page 17 of 126.

/>

Header Page 18 of 126.

14

Bây giờ, như là hệ quả ta có H y (z ) £ u (z ) với z Î B (0,1) . Nói riêng, với

z, z + y Î B (0,1) ta có:
u (z + y ) - C y £ u (z ) Þ u (z + y ) - u ( z ) £ C y .

Đổi vai trò z và z + y ta được u (z ) - u (z + y ) £ C y . Như vậy Lip(u ) £ C .
Tiếp theo ta chứng minh rằng với b Î ¶ B (0,1) tùy ý thì phân bố

å
j ,k

¶ 2u
bb
¶ z j¶ zk j k

có thể được biểu diễn một hàm bị chặn địa phương. Để làm điều đó ta lấy
e Î (0,1), z Î B (0,1 - e), d Î (0, e / 2ù
ú
û. Vì u là hàm đa điều hòa dưới nên ta có:

1
0 £ (T b, du )(z ) =
2pd2
1
=
2pd2

2p

1

2p

ò (u(z + dbe

ò ( 2 u(z + dbe
0

it

)dt

0

it

)) +

1
u (z - dbe it ) - u (z ))dt £ C ,
2

ở đó C là hằng số phụ thuộc vào e . Theo Hệ quả 4.2.7 [10] ta có
lim T b, du =
d® 0

å
j ,k

¶ 2u
bb
¶ z j ¶ zk j k

(1.4)

theo nghĩa hội tụ yếu theo độ đo trên Ae = B (0,1 - e) . Vì C 0 (Ae ) trù mật trong
L1(A e ) và 0 £ T b,du £ C nên vế phải của (1.4) thác triển tới hàm liên tục trên
L1(A e ) và do đó thuộc L¥ (A e ) . Vì e bé tùy ý nên suy ra điều phải chứng minh.

Nói riêng, phép biến đổi Laplace của u được biểu diễn bởi một hàm không âm
trong L¥loc (B (0,1)) . Điều đó suy ra rằng nếu z j = x j + ix j + n thì các đạo hàm
riêng

å

j ,k

¶ 2u
p
(B (0,1)) với mỗi
có thể đồng nhất với các hàm thuộc Lloc
¶ x j¶ xk

p Î (1, ¥ ) . Điều này có thể thấy như sau: trước tiên ta chỉ ra rằng nếu
p Î (1, ¥ ) thì tồn tại hằng số A p sao cho với y Î C0¥ ( R 2n ) tùy ý ta có
Số hóa bởi trung tâm học liệu

Footer Page 18 of 126.

/>

Header Page 19 of 126.

15

ả 2y
ả x jả xk

Ê Ap D y

(1.5)

Lp ( 2 n )

Lp ( 2 n )

Gi s y l phộp bin i Fourier ca y v R j l phộp bin i Riesz th j
trong R 2n . Khi ú

y (x ) =

ũ exp(2pi


v phộp bin i Fourier ca

x , y )y (y )dl (y )

2n

ảy
l 2p ix j y . T ú ta cú
ảxj

^

ổ ả 2y ử
ữ
ỗỗ
ữ (x ) = - 4p 2x x y (x )
ỗỗả x ả x ữ
j k
ữ
ữ
ỗố j k ứ

ổix ửổ
ử
^
2ử
ỗỗ j ữ
ỗỗix k ữ
ổ
2
ữ
ữ

ữ
ỗ
= - ỗ ữ
4
p
x
y
(
x
)
=
R
R
D
y
ữ
( j k ).
ỗỗ ữỗố
ữ

ứ
ỗỗ x ữ
x
ữ
ữ
ố ứốỗ ứ
ả 2y
= - R j R k D y v c lng (1.5) suy ra t tớnh Lp - b chn
Suy ra
ả x jả xk

ca cỏc phộp bin i Riesz.
Bõy gi kt lun ũi hi suy ra t (1.5), Mnh 2.5.2 [10], tớnh y ca cỏc
khụng gian L p v D(u * c e ) = D u * c e .
Vỡ th, nu e j = (0,...0,1, 0,..., 0) l vộc t th j ca c s chớnh tc trong
R

2n

ằ C , thỡ
n

ả 2u
d- 2
(u (z + de j ) + u (z - de j ) - 2u (z )) hi t n
2
ả x 2j

p
Lloc

(B (0,1)), p < Ơ

trong

khi d đ 0 . Do ú dóy con hi t hu khp ni. T ú

theo Mnh trờn ta cú

ả 2u
1
1
Ê C = C ( e)
2
2
2
ảxj

h.k.n trong B (0,1 - e) .

ả 2u
1
Tng t ta cú
Ê
C h.k.n trong B (0,1 - e) . Do ú ta cú:
2
ả x 2j + n

S húa bi trung tõm hc liu

Footer Page 19 of 126.

/>

Header Page 20 of 126.

16

ả 2u
ả 2u
ả 2u
0Ê 4
(z ) =
(z ) +
(z ) Ê C
ả z jả z j
ả x 2j
ả x j2+ n
vi hu nh tt c z ẻ B (0,1 - e) . Vi z nh th ta cú

ớù ả 2u
ỹ
ớù ả 2u
ỹ
ù
ù
1
ả 2u
ả 2u
ù
ù

ù
- C Ê - m ax ỡ 2 (z ), 2 (z )ý Ê min ỡ 2 (z ), 2 (z )ùý
ùù ả x
ùù ả x
2
ả x j + n ùù
ả x j + n ùù
ùỵ
ù
ợù j
ợù j
ỵ

ả 2u
ả 2u
ả 2u
ả 2u
Ơ
(z ), 2 (z ) ẻ L (B (0,1 - e)) . Vy
(z ), 2 (z ) b chn
ả x 2j
ả xj+n
ả x 2j
ả xj+n

suy ra

a phng trong B (0,1) .
ả 2u
ẻ LƠloc (B (0,1)) . Tht vy, c nh j v k , j ạ k .

Bõy gi ta s ch ra
ả x jả xk

ổe + e ữ
ử
ỗ
j
k ữ
Gi s U : C đ C l phộp bin i duy nht sao cho U (el ) = ỗỗ
.
ữ
ữ
ỗố 2 ứ
ữ
n

n

Khi ú v = u U = YB (0,1),j U

2

ả 2v
ẻ LƠloc (B (0,1)) . Vỡ th
v nh vy
2
ả xl

ả 2u
ả 2v - 1

1 ả 2u
1 ả 2u
(z ) =
(
U
(
z
))
(
z
)
(z ) .
ả x j ả xk
2 ả x j2
2 ả x k2
ả x l2

Theo chng minh trờn, v phi ca ng thc ny l b chn a phng. Vy
ả 2u
ẻ LƠloc (B (0,1)) . Kt lun cui cựng ca nh lý c suy ra t cỏc kt
ả x jả xk

qu v khụng gian Sobolev.
1.3.4. nh lý Bedford-Taylor. Nu f ẻ C(ả B (0,1)) , thỡ hm s
ớù f
u = ùỡ
ùù YB (0,1), f
ợ

t rờn ả B (0,1)

tr ờn B (0,1)

(1.6)

l nghim duy nht ca bi toỏn Dirichlet

S húa bi trung tõm hc liu

Footer Page 20 of 126.

/>

Header Page 21 of 126.

17

ớù u ẻ P SH (B (0,1)) ầ C(B (0,1))
ùù
ùỡ
u
= f
B (0,1)
ùù
ùù
(ddcu )n = 0 trong W
ợ

(1.7)

Chng minh. Khụng mt tớnh tng quỏt, ta cú th gi s f ẻ CƠ (ả B (0,1)) .

Tht vy, nu

{f }ẻ
j

f ẻ C(ả B (0,1)) thỡ cú th xp x f bi mt dóy gim

CƠ (ả B (0,1)) ; nu u j c xỏc nh nh trong (1.6) vi f thay th bi

f j , thỡ u j hi t u ti u .
Bõy gi gi s f ẻ CƠ (ả B (0,1)) . Ta ó bit u ẻ C(B (0,1)) (nh lý 1.3.1),

u ẻ C 1(B (0,1)) v o hm riờng cp 2 ca u thuc vo LƠloc (B (0,1)) (nh lý
1.3.3) . Vỡ th (ddcu )n = gdl vi hm khụng õm g ẻ LƠloc (B (0,1)) no ú.
Vi hng s c ẻ (0,1) , gi s l

({z ẻ

)

B (0,1 - c) : g(z ) > c } > c . t

ùớù ả 2u
ùỹ
ù
c
ù
M = M e = ess sup ỡ
(z ) : z Ê 1 - ,1 Ê i, j Ê n ùý
ùù ả z i ả z j

ùù
2
ùỵ
ợù
Theo nh lý 1.3.3, M l hu hn v nh vy l s dng.
Bõy gi chn cỏc s dng a, h sao cho

a<

v

h<

c

(1.8)

n

n ! ộờở4(nM + 1)ự
ỳ
ỷ

a
2n + 1

(1.9)

Gi s {e j } l dóy cỏc s dng sao cho lim ej = 0 v
jđ Ơ

u j (z ) = A (u ; z , ej ) (z ẻ B (0,1 - ej ))

S húa bi trung tõm hc liu

Footer Page 21 of 126.

/>

Header Page 22 of 126.

18

Theo nh lý 1.3.2 tn ti tp compact K é B (0,1) sao cho l (B (0,1) \ K ) < h
v s nguyờn j 0 sao cho vi z ẻ K , w ẻ B (z , ej ), j j 0
ta cú:

T e u ( w) - D u (z ) Ê h

(1.10)

j

v

ả 2u j

ả 2u
( w) =
(z ) + a ik ,

ả ziả zk
ả ziả zk

a ik Ê h

(1.11)

Vỡ l (B (0,1) \ K ) < c / 4 nờn tn ti im z 0 ẻ K ầ B (0,1 - c) sao cho

g(z 0 ) > c . t
ổ D u (z )
ử
2
0
ữ
v j ( w) = u j ( w) + (n h - a ) w - z 0 - e j2 ỗỗỗ
- a + 2n h ữ
vi
ữ
ữ
ốỗ2(2n + 2)
ứ

mi

w ẻ B (0,1 - ej ) . Ta cú v j l C2 - hm.
Chng minh s kt thỳc nu ta ch ra rng v j ẻ P SH (B (z 0, ej ), v j Ê u trờn

ả B (z 0, ej ) v v j (z 0 ) > u (z 0 ) . Tht vy, trc tiờn ta s ch ra tớnh a iu
hũa di ca v j . Ký hiu I l ma trn ng nht cp n n . Theo (1.11), nu

w ẻ B (z 0, ej ) ta cú
ộ ả 2v
ự
j
ờ
ỳ
ờả z ả z ( w)ỳ=
ờở i k
ỳ
ỷ

ổộ ả 2u
ử
ự
ữ
ỗỗờ
ỳ
ữ+
ỗỗờả z ả z (z 0 )ỳ- aI ữ
ữ
ữ
ốờở i k
ứ
ỳ
ỷ

(ộờởa

ik

ự+ n hI .
ỳ
ỷ

)

Ta phi chng minh rng ma trn ny l na xỏc nh dng. Gi s

0 < l 1 Ê ... Ê l n

ộ ả 2u
ự
(z 0 )ỳỳ. Khi ú
l cỏc giỏ tr riờng ca ờờ
ờởả z i ả z k
ỳỷ
ộ ả 2u
ự
l j Ê ồ l l = trace ờờ
(z 0 ) ỳ
ỳÊ nM .
ả
z
ả
z
l= 1
ỳ
ởờ i k
ỷ

n

S húa bi trung tõm hc liu

Footer Page 22 of 126.

/>

Header Page 23 of 126.

19
n

Do ú l 1 4 n !(nM )
n

n- 1

4 n !ế l j = g(z 0 ) > c > 0 . Suy ra
n

j=1

l j c 4- n (n !)- 1(nM )- 1- n > a theo (1.8). Vỡ l 1 - a l dng, nú l giỏ tr

ộ ả 2u
ự
(z 0 )ỳ
riờng nh nht ca ma trn ờờ
ỳ- aI , nờn ma trn l khụng õm. Vỡ

ả
z
ả
z
ỳ
ởờ i k
ỷ
a ik Ê h v b, c Ê

ồ

n b vi b, c ẻ n tựy ý, nờn ta cú:

2

a ik z i z k Ê n h z . Do ú ma trn ộờởa ik ự
ỳ+ n hI
ỷ

(

) l khụng õm. Do ú ta cú

th kt lun v j ẻ P SH (B (z 0, ej )) .
Bõy

gi

ta

s

chng

minh

vj Ê u

trờn

ả B (z 0 , e j ) .

T e u = 2(2n + 2)(u j - u )e-j 2 nờn nh ngha ca v j kộo theo ng thc sau:
j

v j ( w) - u ( w) =

1
ộT u ( w) - D u (z )ựe 2
ờ
0 ỳ j
ỷ
2(2n + 2) ở ej

+ (a - 2n h)ej2 - (a - n h)ej2 - (a - n h) w - z 0

2

(1.12)

T ú, nu w ẻ ả B (z 0, ej ) thỡ (1.12) v (1.10) s cho ta c lng:

ổ 1
ử
ữ
ỗ
ữ
v j ( w) - u ( w) Ê he ỗ
- n ữ< 0 .
ỗố2(2n + 2)
ữ
ứ
2
j

Nu w = z 0 thỡ s dng (1.9), 1.10) v (1.12) ta c

ổ
ử
h
ữ
ữ
v j (z 0 ) - u (z 0 ) ej2 ỗỗa - 2n m ỗố
ữ
2(2n + 2) ữ
ứ
> ej2 (a - h(2n + 1)) > 0 .

Tớnh duy nht c suy ra t H qu 3.7.6 [10].

S húa bi trung tõm hc liu

Footer Page 23 of 126.

/>
Vỡ


Header Page 24 of 126.

20

1.4. Hm Green a phc vi cc logarit ti mt im
1.4.1. nh ngha. Cho W l tp con m liờn thụng trong Ê n , a ẻ W, nu u l
hm a iu ho

trong lõn cn ca a thỡ ta núi rng u cú cc logarit ti

a nu
v(z ) - log z - a Ê O (1) khi z đ a .

Ta ký hiu:

{

}

gW(z , a ) = sup v(z ) : v ẻ P SH (W), v < 0; v(z ) - log z - a Ê 0(1) ,
l hm Green a phc trờn W vi cc logarit ti a .
Hm gW(z ,.) cú mt s tớnh cht sau õy:

1.4.2. nh lý. Cho W, WÂ l cỏc min trong Ê n , w ẻ W. Khi ú:

i ) nu z ẻ W v Wé WÂ, thỡ gW(z , w) gWÂ(z , w) ;
ii ) nu z ẻ W v Wé WÂv WÂ\ W l tp a cc, thỡ gW(z , w) = gWÂ(z , w) ;

iii ) nu R > r > 0 v B (w, r ) é Wé B (w, R ) , thỡ
ổz - w
ỗ
log ỗỗ
ỗỗ R
ố

ử
ổz - w ử
ữ
ữ
ỗỗ
ữ
ữ
;
Ê
g
(
z
,
w
)
Ê
log
ữ

ữ
ỗ
W
ữ
ữ
ỗ
r
ữ
ữ
ứ
ốỗ
ứ

(1.13)

iv ) nu W b chn, thỡ z gW(z , w) l hm a iu ho di õm vi cc
logarit ti w ;
, Â) , thỡ gWÂ( f (z ), f ( w)) Ê gW(z , w), (z ẻ W) ;
v ) nu f ẻ O (WW

vi ) nu W b chn, thỡ z gW(z , w) l hm cc i trong W\ {w}, tc l
dd cgW(., w))n 0 trong W\ {w}.
1.4.3. Mnh . Cho Wé Ê n l min siờu li. Khi ú
lim g (z , a ) = 0 vi mi a ẻ W v w ẻ ả W.

zđ w W
zẻ W

S húa bi trung tõm hc liu

Footer Page 24 of 126.

/>

Header Page 25 of 126.

21

Chng minh. Gi s r l hm xỏc nh i vi W. Ly a ẻ W v chn

r , R > 0 sao cho B (a, r ) é Wé Wé B (a, R ) . t
ớù max C r (z ), log z - a / R
ù
v(z ) = ùỡ
ùù log z - a / R
ùợ

{

(

(

)}

(z ẻ W\ B (a, r ))

)

(z ẻ B (a, r ))

,

trong ú C > 0 l hng s c chn sao cho C r < log(r / R ) trờn ả B (a, r ) .
Ta cú v ẻ P SH (W,[-Ơ ,0)) suy ra v Ê gW(., a ) trong W. Vỡ v(z ) = C r (z ) khi

z ẻ ảW nờn suy ra iu phi chng minh.
1.4.4. H qu. Nu W l min siờu li v w ẻ W thỡ hm z gW(z , w) liờn tc
trong W.
1.4.5. B . Cho W l min b chn trong Ê n , a ẻ W v

u, v ẻ P SH (W) ầ C(W\ {a}) . Gi s u - 1(- Ơ ) = v - 1(- Ơ ) = {a } ,
lim (u(z ) - v(z )) = 0 v u < v trong W\ {a} . Khi ú

zđ ảW

ũ (dd v )
c

n

Ê

W

ũ (dd u )
c

n

.

W

Chng minh. Chn M > 0 sao cho {u < - M } l tp compc tng i trong

W. t u1 = max {u,-M-1} v v1 = max {v, - M } . Nu j ẻ C 0Ơ W, ộờở0,1ự
ỳ
ỷ

(

bng 1 trong lõn cn ca

ũ j (dd v )
c

n

)

{u < - M }, thỡ
ũ j (dd v1)
c

=

W

n

v

W

ũ j (dd u )
c

n

W

=

ũ j (dd u1)
c

n

.

W

Do ú

ũ (dd v )
c

W

n

=

ũ (dd v1)
c

W

n

v

ũ (dd u )
c

n

=

W

ũ (dd u1)
c

n

.

W

Hn na, u1 < v1 trong W v u = u1, v = v1 trong lõn cn ca ả W . p dng
nh lý 1.2.2 cho u 1 v v1 ta cú iu phi chng minh.

S húa bi trung tõm hc liu

Footer Page 25 of 126.

/>