Giáo án toán 10

Tiết 17-18-19: § 2. Tích vô hướng của hai véc tơ:
I/ MỤC ĐÍCH YÊU CẦU:
1) Kiến thức:
- Học sinh nắm được định nghĩa tích vô hướng của hai véc tơ và các tính chất của tích vô hướng.
- Học sinh biết sử dụng biểu thức tọa độ của tích vô hướng để tính độ dài của một véc tơ, tính
khoảng cách giữa hai điểm, tính góc giữa hai véc tơ và chứng minh được hai véc tơ vuông góc với
nhau.
2) Kỹ năng:
- Thành thạo cách xác định góc giữa hai véc tơ, cách tính tích vô hướng của hai véc tơ.
- Biết chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
3) Tư duy:
- Hiểu được định nghĩa góc giữa hai véc tơ, định nghĩa tích vô hướng của hai véc tơ, biết suy
luận ra trường hợp đặc biệt, biết áp dụng vào bài tập.
4) Thái độ:
- Cẩn thận, chính xác.
- Toán học bắt nguồn từ thực tiễn.
II/ PHƯƠNG TIỆN DẠY HỌC:
- Thực tiễn học sinh được biết trong vật lý khái niệm công sinh ra bởi lực và công thức tính công
theo lực.
- Tranh vẽ xác định góc giữa hai véc tơ.
III/ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC:
Phương pháp mở vấn đáp thông qua các hoạt động.
IV/ TIẾN TRÌNH BÀI:
1) Ổn định lớp: Sỹ số: Vắng:
2) Kiểm tra bài cũ:
1. Nêu định nghĩa tỷ số lượng giác của góc α (0
0
≤ α ≤ 180
0
).
2. Xác định các tỷ số lượng giác của góc α = 60

0
.
3. Nêu nhận xét về dấu của các tỷ số lượng giác.
3) Giảng bài mới:
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Hoạt động 1:
1) Góc giữa hai véc tơ:
GV nêu định nghĩa góc giữa hai véc tơ, giải thích
trên hình vẽ.
Định nghĩa: Cho hai véc tơ
a
và
b
khác véc tơ
không. Từ một điểm O bất kỳ, ta vẽ các véc tơ
bOB,aOA
==
.Khi đó, số đo của góc
∧
AOB

được
39
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
gọi là góc giữa hai véc tơ
a
và
b
, ký hiệu là
( )

b,a
GV đặt câu hỏi
- Cách xác định góc giữa
a
và
b
như trên có phụ
thuộc vào việc chọn điểm O hay không? Chứng
minh, từ đó suy ra cách chọn điểm O cho thuận
tiện.

b
A

a

a
O

b
B
- So sánh
( )
b,a
và
( )
a,b
- Khi nào
( )
b,a

= 0
0
,
( )
b,a
= 180
0
?
- Nếu
( )
b,a
= 90
0
thì ta nói rằng
a
và
b
vuông
góc với nhau, ký hiệu:
a
⊥
b
Ví dụ: Cho ∆ABC có A = 90
0
, B = 50
0
. Hãy xác
định góc giữa hai véc tơ sau: C
a)
BA

và
.BC
b)
AB
và
.BC
c)
CA
và
.CB
d)
AC
và
.BC
A
B
Hoạt động 2:
2) Định nghĩa tích vô hướng của hai véc tơ:
GV đặt vấn đề: Trong vật lý, nếu một lực
F
tác dụng lên một vật
tại điểm O và làm cho vật đó di chuyển một quãng
đường s = OO’ thì công A của lực
F
được tính theo công
thức:
A = 
F
 
OO'

 cosϕ
Trong đó 
F
 là cường
độ của lực
F
tính bằng
Niu tơn.

OO'
 là độ dài của véc tơ
OO'
tính bằng mét, ϕ
là góc giữa hai véc tơ
OO'
và
F
, công A được tính
- Học sinh trả lời.
-
( )
b,a
=
( )
a,b
-
( )
b,a
= 0
0

khi
a

b
;

( )
b,a
= 180
0
khi
a

b
.
- Học sinh lên bảng tính. Kết quả như sau:
0
50 )BC ,BA (
=
0
130 )BC ,AB (
=
0
40 )CB ,CA (
=

F
ϕ
O O’
40

bằng Jun.
Trong toán học, giá trị A của biểu thức trên
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
(không kể đến đơn vị đo) được gọi là tích vô
hướng của hai véc tơ
OO'
và
F
.
Định nghĩa: (SGK).

( )
.b ,a.cosb.a b.a
=
Ví dụ: Cho ∆ABC đều cạnh a, trọng tâm G. Tính
các tích vô hướng sau:
GC.GB ,AB.AG ,CB.AC ,AC.AB
A
.BC.GA ,GA.BG
G
B M C
- Nếu
a
⊥
b
thì
a
.
b
có giá trị như thế nào?

- Chiều ngược lại có đúng không? Chứng minh
rằng:
a
⊥
b
⇔
a
.
b
= 0.
Bình phương vô hướng:
Tích vô hướng
a
.
a
được ký hiệu là (
a
)
2
hay
đơn giản là
a
2
và gọi là bình phương vô hướng của
véc tơ
a
. Ta có:
a
.
a

=
a
2
= 
a

2

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông cân tại A với
AB = AC = a. Gọi M là trung điểm của BC. Tính
các tích vô hướng sau:
,BC.AB ,BM.BA ,BC.AM
B
.CB.BM ,CB.MB ,CA.MA
M
( )
AC,AB.cosAC.AB AC.AB
=+


.
2
a

2
1
.a 0AB.AC.cos6
2
20
===

2
a
- 20AC.CB.cos1 CB.AC
2
0
==+
.
2
a
... 0AG.AB.cos3 AB.AG
2
0
==+
.
6
a
- 20GB.GC.cos1 GC.GB
2
0
==+
.
6
a
0BG.GA.cos6 GA.BG
2
0
==+
.BC GA vì0 BC.GA
⊥=+

+
a
.
b
= 0.
+ Đúng, vì nếu
a
.
b
= 0 thì
a
hoặc
b
bằng
.0
hoặc cos(
a
,
b
) = 0.
Nếu
a
hoặc
b
bằng
0
⇒
a
⊥
b

.
Nếu cos(
a
,
b
) = 0 ⇒ (
a
,
b
) = 90
0
⇒
a
⊥
b
.
+ Học sinh theo dõi và ghi chép.
+ Học sinh vẽ hình, xác định góc giữa các cặp
véc tơ rồi tính các tích vô hướng.
Kết quả:
,
4
2a
BM.BA 0, BC.AM
2
==+
,a - BC.AB
2
=
,

4
2a
CA.MA
2
=
,
4
2a
CB.MB
2
=
.
2
2a
- CB.BM
2
=
41
A C Học sinh suy nghĩ và trả lời:
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
GV đặt câu hỏi:
- Khi
AB

CD
thì
AB
.
CD
có giá trị đặc

biệt?
- Khi
AB

CD
thì
AB
.
CD
có giá trị đặc
biệt?
- Nếu
( )
b,a
nhọn thì giá trị của
a
.
b
có tính
chất gì?
- Nếu
( )
b,a
tù thì giá trị của
a
.
b
có tính
chất gì?
Chú ý:

*
AB

CD
thì
CD.AB CD.AB
=
> 0.
*
AB

CD
thì
CD.AB CD.AB
=
< 0.
⇒
AB
cùng phương
CD
thì
CD.AB CD.AB
=
.
GV nhấn mạnh lại kiến thức trọng tâm của bài.
BTVN: BT4, 5, 6(51).
AB
.
CD
= AB.CD.

AB
.
CD
= - AB.CD.
a
.
b
> 0.
a
.
b
< 0.
Những lưu ý, kiến nghị, bổ sung, sửa đổi sau tiết giảng:
Lớp: Đối tượng học sinh: Nội dung
42
Tiết 18:
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
I. ỔN ĐỊNH LỚP: Sỹ số: Vắng:
II. KIỂM TRA BÀI CŨ:
- Định nghĩa góc giữa hai véc tơ.
- Định nghĩa tích vô hướng của hai véc tơ – bình
phương vô hướng của hai véc tơ.
- Làm BT4(51).
III. NỘI DUNG BÀI GIẢNG:
Hoạt động 3:
3) Các tính chất của tích vô hướng:
GV yêu cầu học sinh:
- Phát biểu các tính chất của hai số thực.
- Dự đoán tính chất nào cũng đúng cho tích vô
hướng của hai véc tơ.

- Hãy chứng minh các tính chất đúng và chỉ rõ các
tính chất sai (vì sao?).
GV chính xác hóa.
Định lý: Với mọi véc tơ
a
,
b
,
c
và mọi số thực
k, ta có:
1) Tính chất giao hoán:
a
.
b
=
b
.
a
.
2) Tính chất phân phối:
a
(
b
+
c
) =
a
.
b

+
a
.
c
.

a
(
b
-
c
) =
a
.
b
-
a
.
c
.
3) Tính chất kết hợp: (k
a
)
b
= k(
a
.
b
).
GV yêu cầu học sinh tính:

( )
? b a
2
=+
( )
? b a
2
=−
( )( )
? b ab a
=−+
GV chính xác hóa.
GV: Với hai số thực a và b bất kỳ, ta luôn có: (a.b)
2
= a
2
.b
2
. Vậy với hai véc tơ
a
,
b
bất kỳ thì đẳng
thức: (
a
.
b
)
2
=

a
2
.
b
2
có đúng không?
Bài toán 1: Cho tứ giác ABCD.
Học sinh trả lời.
Hai học sinh lên bảng.
Các học sinh khác nhận xét bài của bạn.
Học sinh suy nghĩ trả lời.
đẳng thức: (
a
.
b
)
2
=
a
2
.
b
2
chỉ đúng khi
a
,
b
cùng phương. A
B D
43

a) CMR: AB
2
+ CD
2
= BC
2
+ AD
2
= 2
BD.CA
.
b) Từ câu a) hãy CMR: điều kiện cần và đủ để tứ
giác có hai đường chéo vuông góclà tổng các bình
phương của các cặp cạnh đối diện bằng nhau.
C
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Giải:
a) GV hướng dẫn học sinh chứng minh.
b) Từ câu a) có ngay:
0 BD.CA BDCA
=⇔⊥
.AD BC CD AB
2222
+=+⇔
Bài toán 2: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a và số
k
2
. Tìm tập hợp những điểm M sao cho

MB.MA

=
k
2
Hướng dẫn giải:
GV hướng dẫn học sinh lập luận, từ
MB.MA
= k
2
⇔ MO
2
– a
2
= k
2
⇔ MO
2
= a
2
+ k
2
.
Từ đó suy ra quỹ tích các điểm M.
Bài toán 3: Cho hai véc tơ
OB ,OA
. Gọi B’ là
hình chiếu của B trên đường thẳng OA. CMR:
.OB' .OA OB .OA
=
Hướng dẫn giải:
GV lưu ý học sinh giải quyết bài toán trong cả hai

trường hợp:
.90 AOB và90 AOB
00
≥<
∧∧
GV yêu cầu học sinh so sánh
OB .OA
với
.OB' .OA
GV phát biểu thành công thức hình chiếu.
Véc tơ được gọi là hình chiếu của véc tơ trên
đường thẳng OA. Công thức
OB' .OA OB .OA
=

được gọi là công thức hình chiếu.
B B
O B’ A B’ O A
Bài toán 4: Cho đường tròn (O, R) và một điểm M
cố định, một đường thẳng ∆ thay đổi luôn đi qua
M, cắt đường tròn tại hai điểm A, B. CMR:
.R - MO MB.MA
22
=
Hướng dẫn giải:
Sử dụng công thức hình chiếu của
MC
trên đường
thẳng MB (BC là đường kính của đường tròn đã
( ) ( )

BD CB DB AD VT
22
+++=
( )
DB - ACDB2 2BD AD BC
222
+++=
2DB - DBAC.2 2BD AD BC
2222
+++=
VP BDCA.2 AD BC
22
=++=
(đpcm).
M
A O B
Một học sinh lên bảng.
Các học sinh khác theo dõi, nhận xét.
Học sinh dựa vào hướng dẫn của GV để chứng
minh.
Học sinh theo dõi và ghi bài.
Học sinh dựa theo gợi ý của GV để chứng minh.
44
cho) ta suy ra được điều chứng minh.
Chú ý: 1)
22
R - d MB.MA
=
nói trong bài toán 4
gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
(O) ký hiệu là P
M/(O)
và P
M/(O)
= d
2
– R
2
(d =MO
B
O
C O B
C M
A A
M
2) Khi M nằm ngoài (O), MT là tiếp tuyến của
đường tròn thì: P
M/(O)
=
.MT MT
2
2
=
4) Biểu thức tọa độ của tích vô hướng:
Hoạt động 4:
GV: Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho các véc tơ
)y ,(x b ),y ,(x a
2211
==

. Hãy biểu diễn
b vàa

theo
i
và
j
rồi tính
( )
.b,acos ,a ,b .a
2

GV chính xác hóa và đưa ra định lý.
Định lý: 1)
.yy x x b .a
2121
+=
2)
.y x a
2
1
2
1
+=
3)
( ) ( )
0 b,a
y x.y x
yy xx
b,acos

2
2
2
2
2
1
2
1
2121
≠
++
+
=
4)
a
⊥
b
⇔ x
1
x
2
+ y
1
y
2
= 0.
GV nêu các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho
a
= (1, 2),

b
= (-1, m).
a) Tìm m để
a
⊥
b
.
b) Tìm độ dài của
a
và
b
, tìm m để 
a
 = 
b
.
Ví dụ 2: Cho A(1, 1), B(3, 1), C(1, 4).
a) CMR: ∆ABC vuông và tính chi vi ∆ABC.
b) Tính cosC theo hai cách.
Học sinh dựa vào tính chất của tích vô hướng
của hai véc tơ đưa ra kết quả.
a)
a
⊥
b
⇔ 1.(-1) + 2m = 0 ⇔ m =
.
2
1
b) + 

a
 =
,5 2 1
22
=+

m 1 b
2
+=
+
a
 = 
b
 ⇔ 5 = 1 + m
2
⇔ m = ± 2.
a)
3) (0, AC 0), (2, AB
==+
0
90 A AC AB 0 0.3 2.0 AC. AB
=⇒⊥⇒=+=+

⇒ ∆ABC vuông tại A.
+ AB = 2, AC = 3, BC =
13
⇒ chu vi ∆ABC
là: 5 +
13
.

b) + Cách 1: ∆ABC vuông tại A
45
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
GV yêu cầu học sinh đưa ra công thức tính
AB
.
với A(x, y), B(x’, y’).
GV nhấn mạnh lại kiến thức trọng tâm của bài.
BTVN: BT7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14(52).
⇒ cosC =
.
13
133

13
3

CB
CA
==
+ Cách 2:
.
13
133

133.
9 0

CA.CB
CB.CA

cosC
=
+
==
+ Học sinh tính tọa độ của
AB
từ đó súy ra
công thức tính
AB
.
Những lưu ý, kiến nghị, bổ sung, sửa đổi sau tiết giảng:
Lớp: Đối tượng học sinh: Nội dung
46
Tiết 19:
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
I. Ổn định lớp: Sỹ số: Vắng:
II. KIỂM TRA BÀI CŨ:
- Phát biểu các tính chất của tích vô hướng.
- Biểu thức tọa độ của tích vô hướng.
- Phương tích của điểm M đối với đường tròn tâm
O bán kính R.
BÀI MỚI:
Bài tập 4: Trong trường hợp nào thì tích vô hướng
a
.
b
có giá trị dương, có giá trị âm, bằng 0?
Bài tập 5: Cho tam giác ABC, tổng các góc
( ) ( ) ( )
AB ,CA CA ,BC BC ,AB

++
có thể nhận giá
trị nào trong các giá trị sau: 90
0
, 180
0
, 270
0
, 360
0
?
Bài tập 6: Cho tam giác vuông ở A, B = 30
0
. Tính
giá trị của các biểu thức sau:
.
2
)CB ,AC(
tan )BC ,BAsin( )BC ,ABcos( a)
++
).BA ,CAcos( )BA ,BCcos( )AC ,ABsin( b)
++
Bài tập 7: Cho bốn điểm bất kỳ A, B, C, D.
CMR:
0. AB.DC CA.DB BC.DA
=++
Từ đó suy ra một cách chứng minh định lý “Ba
đường cao của một tam giác đồng quy tại một
điểm”.
Bài tập 8: CMR: điều kiện cần và đủ để ∆ABC

vuông tại A là
.ABBC.BA
2
=
Bài tập 9: Cho ∆ABC với ba trung tuyến AD, BE,
CF. CMR:
0. CF.AB BE.CA AD.BC
=++
Bài tập 10: Cho hai điểm M, N nằm trên đường
tròn đường kính AB = 2R. Gọi I là giao điểm của
+ Tích vô hướng
a
.
b
có giá trị dương, có giá
trị âm, bằng 0 khi M nằm ngoài, M nằm trong,
M nằm trên đường tròn (O, R).
+ 360
0
.
+ Học sinh tính toán:
.
2
3 1
a)
+
.
2
3 2
b)

+
+ Học sinh:
- Xen điểm O bất kỳ vào các véc tơ, dùng tính
chất phân phối của tích vô hướng để bỏ dấu
ngoặc, ta đi đến kết quả.
- Áp dụng đẳng thức trên suy ra ba đường cao
trong một tam giác đồng quy.
+ Học sinh:
AC.BA BA )AC BA(BA BC.BA
2
+=+=
Mà ∆ABC vuông tại A ⇔
0. AC.BA
=
Vậy ta có đpcm.
+ Học sinh:
Chú ý vận dụng tính trung điểm của D, E, F
(chẳng hạn
AC AB AD2
+=
) thay vào đẳng
thức trên, ta được đpcm.
47
hai đường thẳng AM và BN.
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
a) CMR:
.BI.BA BI.BN ,AI.AB AI.AM
==
b) Tính
BI.BN AI.AM

+
theo R.
Bài tập 11: Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau
tại M. Trên a lấy hai điểm A và B, trên b lấy hai
điểm D và C đều khác M sao cho
MD.MC MB.MA
=
CMR: Bốn điểm A, B, C,
D cùng nằm trên một đường tròn.
Bài tập 12: Cho đoạn thẳng AB cố định, AB = 2a
và một số thực k
2
. Tìm tập hợp những điểm M sao
cho MA
2
– MB
2
= k
2
.
Bài tập 14: Trong mặt phẳng tọa độ, cho ∆ABC có
đỉnh A(-4, 1), B(2, 4), C(2, -2).
a) Tính chu vi và diện tích ∆ABC.
b) Tìm tọa độ trực tâm H, trọng tâm G và tâm I của
đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.Từ đó hãy kiểm tra
tính chất thẳng hàng của ba điểm H, I, G.
+ Học sinh:
a) Chú ý đến hình chiếu của
AB
trên đường

thẳng AI và áp dụng công thức hình chiếu, ta có
được điều cần chứng minh.
b) KQ: 4R
2
.
+ Học sinh:
Gọi C và D’ là các giao điểm của đường tròn đi
qua ba điểm A, B, C và đường thẳng b. Ta
chứng minh D ≡ D’.
+ Học sinh:
Gọi O là trung điểm của đoạn AB, H là hình
chiếu của M trên OB.
Lập luận để đi đến
k OB.OH4.
2
=
Từ đó suy
ra H là điểm cố định trên đường thẳng AB
không phụ thuộc vào vị trí của M.
Vậy tập hợp những điểm M là đường thẳng
vuông góc với OB tại H.
+ Học sinh:
a) - Chu vi ∆ABC là: c
ABC
=
( )
5 16
+
- Diện tích ∆ABC là: S
∆

ABC
= 18.
b) G(0, 1),
.1,
4
1
-I ,1,
2
1
H












Từ đó ⇒
hai véc tơ
GI vàGH
cùng phương ⇒ H, I, G
thẳng hàng.
Những lưu ý, kiến nghị, bổ sung, sửa đổi sau tiết giảng:
Lớp: Đối tượng học sinh: Nội dung
48

Tiết 20-21: Hệ thức lượng trong tam giác:
I/ MỤC ĐÍCH YÊU CẦU:
1) Kiến thức:
- Kiến thức cơ bản mà học sinh cần nắm được là: định lý côsin, định lý sin trong tam giác và các
hệ quả.
- Từ đó biết vận dụng vào giải các bài toán chứng minh và tính toán góc, các cạnh chưa biết của
một tam giác khi đã biết ba cạnh hoặc hai cạnh và góc xen giữa, hoặc một cạnh và hai góc kề.
2) Kỹ năng:
- Áp dụng được định lý côsin, định lý sin để giải các bài toán có liên quan đến tam giác.
- Biết vận dụng kiến thức giải tam giác vào các bài toán có nội dung thực tiễn.
3) Tư duy:
- Biết quy lạ về quen.
- Biết suy ra một số trường hợp đặc biệt.
4) Thái độ:
- Cẩn thận, chính xác.
- Toán học bắt nguồn từ thực tiễn.
II/ PHƯƠNG TIỆN DẠY HỌC:
- Sách giáo khoa, thước, tranh.
III/ PHƯƠNG PHÁP:
- Phương pháp mở vấn đáp thông qua các hoạt động.
IV/ TIẾN TRÌNH:
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
1) Ổn định lớp: Sỹ số: Vắng:
2) Kiểm tra bài cũ:
Học sinh 1: Cho ∆ABC vuông tại A, CMR:

(*) AC AB BC
222
+=
3) Giảng bài mới:

Hoạt động 1: (Hình thành định lý côsin trong tam
giác).
1. Định lý côsin trong tam giác:
GV: Trong chứng minh (*) giả thiết góc A vuông
được sử dụng như thế nào?
Bây giờ ta hãy xét một tam giác ABC tùy ý. Đặt BC
= a, CA = b, AB = c. Hãy tìm một đẳng thức liên hệ
giữa a, b, c và góc A.
GV: Như vậy ta có định lý sau gọi là định lý côsin
trong tam giác.
Định lý: (SGK).
+ Học sinh 1 trả lời.
Học sinh dựa theo cách chứng minh đẳng thức
(*) rồi suy ra hệ thức cần tìm.
49
GV: - Yêu cầu học sinh phát biểu bằng lời định lý
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
- Từ định lý hãy viết công thức tính cosA, cosB,
cosC.
Hệ quả: (SGK).
Ví dụ 1: Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ vị trí
A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc
60
0
, tàu B chạy với vận tốc 20 hải lý một giờ, tàu C
chạy với vận tốc 15 hải lý một giờ. Sau hai giờ hai
tàu cách nhau bao nhiêu hải lý?
GV treo tranh vẽ minh họa.
Ví dụ 2: Cho ∆ABC, biết a = 7, b = 24, c = 23.
Tính góc A.

GV hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính bỏ túi để
tính góc A.
Hoạt động 2: (Tiếp cận hình thành định lý sin).
2) Định lý sin trong tam giác:
GV: Ch
∆
ABC có BC = a, CA = b, AB = c nội tiếp
đường tròn (O, R). Nếu góc A vuông thì tính a, b,
c?
A = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC (*).
Bây giờ ta xét trường hợp A không phải là góc
vuông. Hãy kiểm tra công thức (*) xem nó có còn
đúng không?
Hướng dẫn: Gọi (O, R) là đường tròn ngoại tiếp
∆ABC, vẽ đường kính BA’
Hãy chứng minh
∧∧
=
CBABAC 'sinsin
trong cả hai
trường hợp góc
∧
BAC
nhọn và
∧
BAC
tù.
A
B A’ B A’
C A C

GV: Từ đây ta có định lý:
Định lý: (SGK).
Ví dụ 3: Từ hai vị trí A, B của một tòa nhà, người
ta quan sát đỉnh C của một ngọn núi. Biết rằng độ
cao AB = 70 m, phương nhìn AC tạo với phương
nằm ngang một góc 30
0
, phương nhìn BC tạo với
phương nằm ngang một góc 15
0
30’. Hỏi ngọn núi
cao bao nhiêu mét so với mặt đất?
+ Học sinh ghi chép định lý.
+ Học sinh phát biểu bằng lời và suy ra công
thức tính cosA, cosB, cosC.
+ Học sinh áp dụng định lý côsin cho tam giác
ABC suy ra khoảng cách giữa hai tàu là BC =
36 1300
≈
hải lý (1 hải lý ≈ 1,852 km).
+ Học sinh suy nghĩ và tính toán.
Đáp số: A ≈ 16
0
58’.
+ Học sinh trả lời.
+ Học sinh suy nghĩ và chứng minh.
+ Học sinh ghi nội dung định lý
50
GV treo tranh minh họa.
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

Hướng dẫn
Vận dụng định lý sin vào tính chiều cao ngọn núi.
Ví dụ 4: Cho ∆ABC có a = 4, b = 5, c = 6. CMR:
sinA – 2sinB + sinC = 0.
GV hướng dẫn học sinh dùng máy tính bỏ túi để
giải. bài toán.
Hoạt động 3: (Tiếp cận và hình thành định lý).
3) Tổng bình phương hai cạnh và độ dài đường
trung tuyến của tam giác:
Bài toán 1: Cho ba điểm A, B, C, trong đó BC =
a > 0. Gọi I là trung điểm của BC, biết AI = m. Hãy
tính AB
2
+ AC
2
theo a và m.
A
B I C
Bài toán 2: Cho hai điểm P, Q phân biệt. Tìm tập
hợp các điểm M sao cho MP
2
+ MQ
2
= k
2
, trong đó
k là hằng số cho trước.
Bài toán 3: Ký hiệu m
a
, m

b
, m
c
lần lượt là các
đường trung tuyến ứng với các cạnh BC = a, CA =
b, AB = c của ∆ABCChứng minh công thức sau
đây, gọi là gọi là công thức trung tuyến.
.
4
a
-
2
c b
m 2m c b
222
2
a
2
a
22
+
=⇒=+
.
4
b
-
2
a c
m 2m a c
222

2
b
2
b
22
+
=⇒=+
.
4
c
-
2
b a
m 2m b a
222
2
c
2
c
22
+
=⇒=+
Hoạt động 4:
4) Diện tích tam giác:
Cho ∆ABC, biết AB = c, BC = a, CA = b, bán kính
đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp lần lượt là R và r;
độ lớn các góc A, B, C. Hãy tìm các công thức tính
diện tích tam giác ABC theo các yếu tố đó.
+ Học sịnh tính được chiều cao là: ≈ 134,7 m.
+ Học sinh vận dụng định lý sin tính được sinA,

sinB, sinC, sau đó thay vào VT của biểu thức
cần chứng tính ⇒ đpcm.
+ Học sinh:
IB AI AB
+=
IC AI AC
+=
Khi đó:

2
a
2m AC AB AC AB
2
2
22
22
+=+=+
+ Học sinh:
Gọi I là trung điểm của PQ, đặt PQ = a, theo bài
toán 1, ta có:
4
a
-
2
k
MI
2
a
2MI MQ MP
22

2
2
222
=⇒+=+
Từ đây đưa ra kết quả.
+ Học sinh:
Từ kết quả bài toan 1 suy ra công thức cần
chứng minh.
51
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
A A
c h
a
b h
a
c b
B H a C H B a C
GV: Hãy tính h
a
trong ∆AHB theo cạnh c và góc B,
rồi thay vào công thức:
ah
2
1
S
a
=
(Chú ý xét cả
hai trường hợp H nằm trong và nằm ngoài đoạn
BC).

Để có công thức Hê rông, từ công thức:
A)cos - 1(cb
4
1
S bcsinA
2
1
S
2222
ABC
=⇒=
∆
Áp dụng hệ quả của định lý côsin, thay vào biểu
thức trên ta có được công thức cần tính.
Vậy ta có các công thức tính diện tích tam giác:
;c.h
2
1
b.h
2
1
a.h
2
1
S
cba
===

(1)
bcsinA;

2
1
acsinB
2
1
absinC
2
1
S
===

(2)
;
4R
abc
S
=
(3)
S = pr; (4)
.c) - b)(p - a)(p - p(p S
=

(5)
Công thức (5) gọi là công thức Hê rông).
GV lưu ý: Ta gọi tam giác có độ dài các cạnh là ba
số nguyên liên tiếp và có diện tích bằng một số
nguyên là tam giác Hê rông.
Ví dụ: ∆ABC có: a = 3, b = 4, c = 5.
a = 13, b = 14, c = 15.
Tính diện tích của hai tam giác Hê rông trên.

Củng cố:
- GV nhấn mạnh lại các kiến thức cơ bản.
- BTVN: 15-32(64-66).
+ Học sinh:
Trong mọi trường hợp, ta đều tính được:
h
a
= csinB = bsinC nên:

absinC. acsinB
2
1
S
ABC
==
∆
Tương tự:
bcsinA.
2
1
S
ABC
=
∆
Ta cũng có được :
.
24R
abc
S
ABC

=
∆
A
c r b
O C
a
B
. Ta có :
S S S S
OCAOBCOABABC
∆∆∆∆
+=
pr. cr
2
1
br
2
1
ar
2
1

=++=
+ GV gọi học sinh.
Những lưu ý, kiến nghị, bổ sung, sửa đổi sau tiết giảng:
Lớp: Đối tượng học sinh: Nội dung
52
Tiết 21:Luyện tập:
I/ ỔN ĐỊNH LỚP: Sỹ số: Vắng:
II/ KIỂM TRA BÀI CŨ:

Phát biểu nội dung định lý côsin, định lý sin, các công thức tính độ dài đường trung tuyến, công
thức tính diện tích tam giác.
III/ NỘI DUNG BÀI:
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Bài 15: Cho ∆ABC có a = 12, b = 13, c = 15. Tính
cosA và góc A?
Bài 16: Cho ∆ABC có AB = 5, AC = 8, A = 60
0
.
Kết quả nào trong các kết quả sau là độ dài của
cạnh BC?
.69 d) 49; c) 7; b) ;129 a)
Bài 18: Cho ∆ABC. Chứng minh các khẳng định
sau:
a) Góc A nhọn ⇔ a
2
< b
2
+ c
2
.
b) Góc A tù ⇔ a
2
> b
2
+ c
2
.
c) Góc A vuông ⇔ a
2

= b
2
+ c
2
.
Bài 19: Cho ∆ABC có A = 60
0
, B = 45
0
, b = 4. Tính
hai cạnh a và c.
Bài 20: Cho ∆ABC có A = 60
0
, a = 6. Tính bán kính
đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Bài 21: Chứng minh rằng nếu ba góc của tam giác
ABC thỏa mãn hệ thức sinA = 2sinBcosC thì tam
giác ABC là tam giác cân.
Bài 23: Gọi H là trực tâm của tam giác không
vuông ABC. CMR: bán kính của đường tròn ngoại
tiếp các tam giác ABC, HBC, HCA, HAB bằng
nhau.
+ GV gọi học sinh.
.50 A
39
25
cosA
0
≈⇒=
+ Học sinh vận dụng định lý côsin để tính cạnh

a. Kết quả: a = 7 – Đáp án b).
+ Học sinh áp dụng hệ quả của định lý côsin để
chứng minh.
+ Áp dụn định lý sin và côsin để tính toán.
Đáp án: a ≈ 4,9; c ≈ 5,5.
+ Áp dụng định lý sin, tính được:

3,5.
3
6
R
≈=
+ Áp dụn định lý sin và côsin ⇒ kết quả cần
chứng minh.
+ Học sinh: Gọi R, R
1
, R
2
, R
3
là các bán kính
của các đường tròn nói trên. Từ hệ quả định lý
sin trong ∆ABC, ta có:

2sinA
a
R
=
. Trong cả
hai trường hợp A nhọn, A tù đều có:

A H
E
F F E
H A
B C B C
53
.BAC EHFsin 180 BAC EHF
0
∧∧∧∧
=⇒=+
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Bài 24: ∆ABC có: a = 7, b = 8, c = 6. Tính m
a
.
Bài 25: ∆ABC có: a = 5, b = 4, c = 3. Lấy D đối
xứng với B qua C. Tính độ dài AD.
Bài tập 27: CMR: trong một hình bình hành, tổng
bình phương các cạnh tổng bình phương hai đường
chéo.
Bài 28: CMR: ∆ABC vuông ở A
⇔
m m 5m
2
c
2
b
2
a
+=
.

Bài 29: ∆ABC có: b = 6,12; c = 5,35; A = 84
0
.
Tính diện tích ∆ABC.
Theo hệ quả định lý sin trong ∆HBC, ta có:
R.
2sinA
a

EHF2sin
a

BHC2sin
a
R
1
====
∧∧
Tương tự, ta cũng có: R
2
= R, R
3
= R.
+ Học sinh: Áp dụng công thức trung tuyến.

37,75 m
2
a
=
⇒ m

a
≈ 6,1.
+ Học sinh: Áp dụng công thức trung tuyến.
AD
2
= 73 ⇒ AD ≈ 8,5.
+ Học sinh: Gọi O là tâm hình bình hành, áp
dụng công thức trung tuyến cho ∆ABD. Từ đó
suy ra đpcm.
+ Học sinh: Áp dụng công thức trung tuyến.
+ Học sinh: Áp dụng công thức tính diện tích
tam giác:
16,3. .sin84.6,12.5,35
2
1
bcsinA
2
1
S
0
ABC
≈==
∆
Những lưu ý, kiến nghị, bổ sung, sửa đổi sau tiết giảng:
Lớp: Đối tượng học sinh: Nội dung
54
Tiết 2 3 : Hệ thức lượng trong tam giác: (Tiếp).
I/ MỤC ĐÍCH YÊU CẦU:
1) Kiến thức:
Củng cố kiến thức về định lý sin, định lý côsin, công thức đường trung tuyến, công thức tín diện

tích tam giác qua các bài toán giải tam giác, giải các bài toán có liên quan thực tế.
2) Kỹ năng:
Học sinh biết vận dụng các định lý và công thửctên thành thạo vào các bài toán tính các cạnh và
các góc của tam giác dựa vào một số điều kiện cho trước.
3) Thái độ, tư duy:
- Tích cực học tập, biết quy lạ về quen.
- Toán học bắt nguồn từ thực tiễn.
4) Phương tiện: Sách giáo khoa, thước.
II/ TIẾN TRÌNH:
1) Ổn định lớp: Sỹ số: Vắng:
2) Kiểm tra bài cũ:
Phát biểu nội dung định lý côsin, định lý sin, các công thức tính độ dài đường trung tuyến, công
thức tính diện tích tam giác.
3) Nội dung bài:
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Hoạt động 6: Giải tam giác và ứng dụng thực
tiễn:
5) Giải tam giác và ứng dụng thực tiễn:
GV: Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của
tam giác dựa trên một số điều kiện cho trước.
Ví dụ 5: Cho ∆ABC, biết a = 17,4; B = 44
0
30’; C
= 64
0
. Tính góc A và các cạnh b, c của tam giác đó.
A
c b
44
0

30’ 64
0
B 17,4 C
Ví dụ 6: Cho ∆ABC, biết a = 49,4; b = 26,4; C
= 47
0
20’. Tính hai góc A, B và cạnh c.
A
26,4
49,4 47
0
20’
B C
+ Học sinh:
Ta có: A = 180
0
– (B + C) = 71
0
30’.
Áp dụng định lý sin, tính được: b =

sinA
asinB
⇒ b ≈ 12,9;

sinA
asinC
c
=
≈ 16,5.

+ Học sinh:
Áp dụng định lý côsin, tính được:
c
2
= a
2
+ b
2
– 2abcosC ≈ 1369,58 ⇒ c ≈ 37,0.
Áp dụng hệ quả của định lý côsin, tính được:
cosA ≈ 0,1913. Dùng máy tính bỏ túi, tính
được: A ≈ 101
0
2’.
55
Còn B = 180
0
– (A + C) ≈ 31
0
38’.
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Ví dụ 7: Cho ∆ABC biết a = 24, b = 13, c = 15.
Tính các góc A, B, C. A
15 13
24
B C
Ví dụ 8: Đường dây cao thế nối thẳng từ vị
trí A đến vị trí B dài 10 km, từ vị trí A đến vị trí C
dài 8 km, góc tạo bởi hai đường dây trên bằng 75
0

.
Tính khoảng cách từ vị trí B đến vị trí C.
A
75
0
10 8
……………
B . . . . .. . . . C
Ví dụ 9: Giả thiết (SGK). Tính khoảng cách từ ga
A đến tháp C. C
60
0
8 45
0
A B
Bài tập 33(66): Giải tam giác biết:
a) c = 14; A = 60
0
; B = 40
0
.
b) b = 4,5; A = 30
0
; C = 75
0
.
c) c = 3,5; A = 40
0
; C = 120
0

.
d) a = 137,5; B = 83
0
; C = 57
0
.
Bài tập 34(66): Giải tam giác, biết:
a) a = 6,3; b = 6,3; C = 54
0
.
b) a = 7; b = 23; C = 130
0
.
c) b = 32; c = 45; A = 87
0
.
+ Áp dụng hệ quả của định lý côsin, ta có:
49'.117 A 0,4667 -
2bc
a - c b
cosA
0
222
≈⇒≈
+
=
38'.28 B 0,8778
2ac
b - c a
cosB

0
222
≈⇒≈
+
=
C = 180
0
– (A + B) ≈ 33
0
33’.
+ Học sinh:
Áp dụng định lý côsin vào ∆ABC, ta có:
a
2
= b
2
+ c
2
– 2bccosA
≈ 8
2
+ 10
2
– 2.8.10cos75
0
≈ 123.
Suy ra a ≈ 11 (km).
+Học sinh:
C = 180
0

= (A + B) = 75
0
Áp dụng định lý sin vào ∆ABC, ta được:
(km). 6
sin75
sin45
8. b :raSuy
sinC
c

sinB
b
0
0
≈==
Vậy khoảng cách từ A đến C xấp xỉ 6 km.
+ Học sinh vận dụng định lý sin, côsin vào tính
toán.
a) C = 180
0
– (A + B) = 80
0
.

12,3.
sinC
csinA
a 9,1;
sinC
csinB

b
≈=≈=
b) B = 75
0
; a ≈ 2,3; Do B = C ⇒ c = b ≈ 4,5.
c) B = 20
0
; a ≈ 26; b ≈ 13,8.
d) A = 40
0
; b ≈ 212,3; c ≈ 179,4.
+ Học sinh:
a) A = B = (180
0
– C):2 = 63
0
;
5,7
sinA
asinC
c
≈=
b) a
2
= b
2
+ c
2
– 2bccosA ≈ 2898,27 ⇒ a ≈ 53,8.
0,5940

a
bsinA
sinB
≈=
mà B nhọn ⇒ B ≈ 36
0
;
56