Ôn thi học sinh giỏi toán lớp 9 phần số học

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

ÔN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 PHẦN SỐ HỌC

Câu 1: So sánh

20172  1  20162  1 và

2.2016
20172  1  20162  1

.

Hướng dẫn giải:
Ta có





20152  1  20142  1 

(20152  1)  (20142  1)
20172  1  20162  1
2017  2016
2017  1  2016  1
2

2





( 20172  1  20162  1)( 20172  1  20162  1)
20172  1  20162  1
2017 2  20162

2017 2  1  20162  1



(2017  2016)(2017  2016)
2017 2  1  2016 2  1

2.2016
2017  1  20162  1

Vậy 20172  1  20162  1 >

2

2.2016
20172  1  20162  1

Câu 2: Biết 5 là số vô tỉ, hãy tìm các số nguyên a, b thỏa mãn:

2
3

 9  20 5.

ab 5 ab 5
Hướng dẫn giải:
ĐK: a  b 5 (*)
2
3

 9  20 5
a b 5 a b 5
 2(a  b 5)  3(a  b 5)  (9  20 5)(a  b 5)(a  b 5)
 9a 2  45b2  a  5(20a 2  100b2  5b) (*)

Ta thấy (*) có dạng A  B 5 trong đó A, B Q , nếu B  0 thi 5 

A
 I vô lí
B

vậy B = 0 => A= 0.
9a 2  45b2  a  0
9a 2  45b 2  a  0
9a 2  45b 2  a  0



Do đó (*)  
 2
 9
9
2
2

2

20a  100b  5b  0 9a  45b  b  0 a  b

4
 4

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 1


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

 9
a  9
a  0
a  b
(không t/m ĐK (*)). Vậy a = 9; b = 4
 4

hoac 
b

4
b


0
2


b  4b  0


Câu 3: Chứng minh rằng n3 - n chia hết cho 6 với mọi n  Z.
Hướng dẫn giải:
P= n3 - n = n(n2 -1)
= n(n+1)(n-1)
Ta có n(n+1) 2 => P 2
n(n+1)(n-1) 3=> P 3
Mà (2,3) = 1 => P 6
Câu 4: Tìm số tự nhiên n sao cho n chỉ thỏa mãn hai trong ba tính chất sau:
1) n  8 là số chính phương.
2) n  3 là số chính phương.
3) n chia hết cho 9.
Hướng dẫn giải:
Giả sử tìm được n thỏa tc3 ta đi chứng minh n không thỏa tính chất 1; 2.
n 9  n 3  n  8 chia cho 3 dư 2,

mà một số chính phương chỉ chia cho 3 dư 0 hoặc 1(*)

 n  8 không phải là số chính phương. vậy n không thỏa tc1
n 9  n 3 n 3 3

n 9 mà 3 không chia hết cho 9  n  3 không chia hết cho 9

Mà mọi số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9(**)
nên n  3 không là số chính phương vậy n không thỏa tc2.
n không thỏa tc 1,2 nên trái giả thiết.
(hs cần chứng minh (*) và (**) nếu không chứng minh thì trừ
0,25 đ cho cả hai phần này)
Ta đi tìm n thỏa mãn tc 1,2 (cho hs 0,75đ nếu làm được phần này mà không lập luận
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 2


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

phần trên)
n  8  p 2

(p; k  N)  p2  k 2  11  ( p  k )( p  k )  11
2

n  3  k

Đặt 

Do p,k  N  p  k  N ; p  k  Z ; p  k  p  k ;
 p  k  11  p  6


p  k 1
k  5

Kết hợp với (1)  

Câu 5: Giả sử N = 1.3.5.7…2007.
Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2N-1, 2N và 2N+1 không có số nào là số chính
phương.
Hướng dẫn giải:
2N-1 = 2.1.3.5.7…2007 – 1
Có 2N  3  2N-1 không chia hết cho 3 và 2N-1 = 3k+2 (k  N)
 2N-1 không là số chính phương.

Câu 6: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số 28 + 211 + 2n là số chính phương .
Hướng dẫn giải:
Giả sử 28

211

a2 (a N ) thì

2n

2n  a2 – 482   a  48 a  48
2p.2q   a  48 a  48

Với p, q N ; p q
q

5à p q

n và p > q
2

p

7

n

5 7

12

p

a  48  2
 2p – 2q  96 2q 2pq  1  25.3

q
a  48  2






Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 3


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Website Hoc247.vn cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về
kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh tiếng.
I. Luyện Thi Online

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
- Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng.
- H2 khóa nền tảng kiến thức luyên thi 6 môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.
- H99 khóa kỹ năng làm bài và luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội.
II. Lớp Học Ảo VCLASS

Học Online như Học ở lớp Offline
- Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh không phải đưa đón con và có thể học cùng con.
- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.
- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.
- Mỗi lớp chỉ từ 5 đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, được hỗ trợ kịp thời và đảm bảo chất lượng học tập.
Các chương trình VCLASS:
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần Nam

Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành
tích cao HSG Quốc Gia.
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng
TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.
- Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao,
Toán Chuyên và Toán Tiếng Anh danh cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9.
III. Uber Toán Học

Học Toán Gia Sư 1 Kèm 1 Online
- Gia sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Giáo viên Toán và Giảng viên ĐH.
Day kèm Toán mọi câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay các chương trình Toán Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,…
- Học sinh có thể lựa chọn bất kỳ GV nào mình yêu thích, có thành tích, chuyên môn giỏi và phù hợp nhất.
- Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS và PH có thể đánh giá năng lực khách quan qua các bài kiểm tra độc
lập.
- Tiết kiệm chi phí và thời gian hoc linh động hơn giải pháp mời gia sư đến nhà.

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 4