ôn luyện thi Đại học

Bài tập luyện thi Đại học Giáo viên: Nguyễn Văn Minh
Một số bài tập lợng giác và giới hạn
I Bài toán về giới hạn
Bài 1 Tính các giới hạn sau
3 3 4 4 2
2
2 2
h 0 x a x a
3
x 1 x 2
x 1
2(x h) 2x x a x (a 1)x a
lim ;(6x ); lim lim ;( khi a 0)
h x a
x a
x 1 1 3
lim lim ;( 1) lim
x 1 1 x
1 x
3
a-1
;(4a ) ; khi a=0;
2a
; (-1) ; ;




+ + +

ữ



3 2
3 2
x 3x 4 3
;( )
5
x x 8x 12
+
+
Bài 2 Tính các giới hạn sau
3
2 2
3 3
2 2
2
x 1 x 1 x 1
3
4
3
x 0 x 1
3x 2 4x x 2 1 x 1 2 x 2 1 x x 1
lim ;( ) lim ;( ) lim ;( )
2 3 3

x 3x 2 x 1
x 3 2
1 x 1 x 5 1
lim ;( ); lim
x 6
x 1
; ;
x 3
;( ) ;
4


+ + +

+
+
+

3
x 0
3
2
4
3
2 2
x 1 x
1 x 1 x 6
lim ;
5
1 x 1 x

x 7 x 3 1 1 x 1 2x 1
lim ;( ) lim ;( )
6 2
x 3x 2 x x

;


+

ữ
+

+ + +
+ +
Bài 3 Tính các giới hạn sau
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2
x x x

3 3
3 2 2 2 3 2 2
x x x
1
lim x x 3 x ;( ) lim x 5x 6 x ; lim x x 1 x x 1 ;(1)
2
1
x
lim x x x ; lim x ax x ax ; lim x x x 1 ;
3
x
5
; (- ) ;
2
1
( ) ; (a);
3
+
+ +
+ + + + + +


+ =

ữ
+ + + +

ữ
ữ

=


Bài 4 Tính các giới hạn sau
2
x 0 x 0 x 0
2
2 2
x 1 x 0
1 cos x 1 1 sin x cos x x cos x x
lim ; ( ) lim ; lim ;(1);
x
x sin 2x 2 1 sin x cos x
2sin x cos
2
sin(x 1) 1 1 cos x cos 2x
lim ;( ); lim ;(
2
x 4x 3 x
; (-1);



+ +



+
x
4

2
2
x 0 x
x
3
2 sin x cos x
); lim ;(1)
4 4x
sin x
1 sin x cos x 3 2 3
3
lim ;(1); lim(x 4)sin ;(3); lim ;( )
x 1 cos x 3
sin x












ữ
+

+

Bài 5 (Sử dụng phơng pháp đặt ẩn phụ đổi biến)
3
x 0 x 0
x x
2 2
x
2
x
4
1 tgx sin x 1 1 cos3x 9
lim tgx ;(0) ;lim ;( ); lim x tgx;(1); lim ; ( )
cos x 2 2 sin xtgx 4
x
1 1 1
lim tg2xtg x ;( ); lim ;( );
x
4 2 tgx
sin
2

ữ ữ


ữ



ữ
ữ

ữ
ữ

( )
2
x 1
x
2
sin x 1 x 2
lim tgx ;( ); lim 1 x tg ;( )
2 2
cos x

ữ


Bài 6 Tính các giới hạn sau
( )
x x
1
h 2
x
x x x 0
h x 1
lim 1 ;(e ); lim ;(e ); lim 1 sin x ;(e)
x x 1





+ +
ữ ữ
+

II Hàm số liên tục
Bài 1 Xét tính liên tục của các hàm số sau trên toàn trục số
1
Bài tập luyện thi Đại học Giáo viên: Nguyễn Văn Minh

4
2
x 16

f (x)
x 2
2x khi 2
f (x) khi 2
2
2
0 khi x < 0
khi x 2
f(x)= x khi 0 x <1
16 khi x =2
-x -2x +1 khi x 1
x
5 x
3x-1






=






<
= =
2

2
2x 1 1
khi x x 0
x x
1 khi x 0
3 khi x 1
khi 2

f(x) =

x

+







=


=
>




Bài 2 Tìm giá trị của a để các hàm số sau liên tục trên toàn trục số

sin x
a
1
x
f (x) ; (a 0); f (x)
(
e
2
nếu x>0
khi x 3
a khi x 0
a=3
ax+b khi 3 < x < 5 ;( ); f(x) = 1 nếu x =0
1
b=-8
xsin khi x > 0
7 khi x 5
x
a






= = =

2
;(a 1)
1 x )
2
1
x
nếu x < 0




=



+


Bài 3 CMR các phơng trình
3
3 2
5x 4x 1 0
ax bx cx 1 0
3
5
4
2x - 6x +1 = 0 có 3 đúng nghiệm thực phân biệt
x có đúng 5 nghiệm thực phân biệt

x có ít nhất hai nghiệm thực phân biệt
+ =
+ + + =
III Ôn tập về lợng giác
Bài 1 Tìm các nghiệm thuộc
3
0;
2




thỏa mãn phơng trình

2
cos x(cos x 1)
2(1 sin x)
sin x cos x
3
ĐS x = ; x =
2

= +
+
Bài 2 Giải phơng trình sau
2
6
2 2
a) cos 2x cos x(2tg x 1) 2 2k b) cos3x 1 3 sin 3x
5 x cos x 1

c)sin 3x cos 2x 1 2sin x cos 2x k2 ; k2 tg2x
6 4
cos x sin x
sin 3x sin x
6
k
ĐS x =1+2k ; x = ĐS x=
3 3
sin
ĐS x = k ; d) ĐS VN
6
e)

+ = + =
+
+ = + + + =

+
2
2
2
sin 2x cos x - cos x
g) 3 sin 2x - 2 2 sin x 6 - 2 S VN
5x 9x
( ) 2 cos x k ; k ; k
4 2 2 12 6 4 8 2
i)3cos x 2cos 2x cos3x 2sin x sin 2x 1
2
7
ĐS x=- +k2 ; +k2 ; +k2

6 6 2
Đ
h)cos3x+sin7x=2sin ĐS


=
=

+ = + + +
+ =
x k ; k2
2
ĐS

= + +
Bài 3 Cho phơng trình

3
4cos x (m 3) cos x 1 cos 2x+ = (với m là tam số)
a) GPT khi m =1 ĐS
2
x k ; k2 ; k2
2 3

= + +
b) Tìm m để PT có đúng 4 phân biệt nghiệm thuộc khoảng
;
2

ữ

ĐS 1 < m <3
2