ĐỀ ĐỀ XUẤT HSG TOÁN 6,7 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 2017

MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN HƯNG HÀ
Năm học: 2016 – 2017
Môn kiểm tra: Toán 6
Nội dung kiến thức
Chữ số, dãy số trên tập
hợp số tự nhiên. Cộng,
trừ số nguyên
Số câu:
Số điểm:
Tỉ lệ:
Dạng toán về tập hợp,
ƯC, ƯCLN, BC, BCNN
Số câu:
Số điểm:
Tỉ lệ:
Kiến thức về lũy thừa
Số câu:
Số điểm:
Tỉ lệ:
Phép chia hết, phép chia
có dư
Số câu: 2
Số điểm: 2
Tỉ lệ
Số nguyên tố, số chính
phương
Số câu
Số điểm
Tỉ lệ
Đoạn thẳng
Số câu

Số điểm
Tỉ lệ
Tổng số câu
Tổng số điểm
Tỉ lệ

Mức độ câu hỏi
Thông hiểu
Vận dụng
thấp
Thực hiện tốt phép Vận dụng kiến thức về
toán cộng trừ trên
chữ số để làm toán
tập số nguyên
1
1
2
2
10%
10%
Thông hiểu cách viết Vận dụng kiến thức , ƯC
tập hợp
ƯCLN, BC, BCNN để
tìm số chưa biết
1
1
2
2
10%
10%

Thông hiểu kiến thức
lũy thừa để làm các
bài toán liên quan
2
2
10%
Vận dụng kiến thức chia
hết để chứng tỏ tổng hay
hiệu chia hết một số
1
1
5%

Tổng
Vận dụng
cao
Vận dụng
dãy số quy luật
để tính nhanh
1
3
2
6
10%
30%

2
4
20%

2
2
10%
Vận dụng kiến
thức phép chia
có dư để tìm
số chưa biết
1
2
1
2
5%
10%
Chứng tỏ một số là
số nguyên tố, hay
hợp số
1
2
2
2
10%
10%

Thông hiểu cách tính Vận dụng kiến thức điểm
đoạn thẳng
nằm giữa để tính đoạn
thẳng
1
1
2

2
10%
10%
5
4
3
8
7
40%
35%

5
25%

2
4
20%
12
20
100%


KỲ KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN HƯNG HÀ
Năm học 2016 - 2017
Môn kiểm tra: Toán 6
Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề
(Đề này gồm 1 trang)
Bài 1: (6 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu một số có 3 chữ số mà chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị giống
nhau có tổng các chữ số chia hết cho 7 thì số đó chia hết cho 7.

b) Tính S, biết S = 1.99 + 2.98 + 3.97 + 4.96+ … + 98.2 + 99.1
c) Tìm các số nguyên a, b, c biết: a + b = 11; b + c = 3; c + a = 2
Bài 2: (4 điểm)
a) Cho dãy số 0, 1, 4, 9, 16, …, 2500. Viết tập hợp D gồm các số hạng của dãy số bằng cách
chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó. Tập hợp D có bao nhiêu phần tử ?
b) Tìm hai số nguyên dương a và b biết a + b = 128 và (a, b) = 16.
Bài 3: (2 điểm)
a) Cho A = 1 + 3 1 + 3 2 + 3 3 + … + 3 30 ;B = 331 : 2
Tính B - A
b) Cho A = 2 + 2 2 + 2 3 + … + 2 29 + 2 30 . Chứng minh rằng A chia hết cho 3.
Bài 4: (2 điểm)
a) Hai số tự nhiên a và 2a đều có tổng các chữ số bằng k. Chứng minh a M 9.
b) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 3, cho 4, cho 5 có số dư theo thứ tự là 1, 3, 1
Bài 5: (2 điểm)
Tìm số tự nhiên n để n 2 + 12n là số nguyên tố.
Bài 6: (4 điểm)
Gọi A, B là hai điểm trên tia Ox, sao cho OA = 4 cm, OB = 6 cm.
a) Trên tia BA lấy điểm C sao cho BC = 3 cm. Tính độ dài CA?
b) Nếu lấy điểm C không thuộc đoạn thẳng AB nhưng thuộc tia Ox có CA= a (cm) (2 < a ).
Gọi I là trung điểm của AB. Tính độ dài IC?
---------- Hết ---------Họ và tên: …………..………..…………………………… Số báo danh: ………………..…..….
Chữ kí giám thị số 1: ………………………… Chữ kí giám thị số 2: …………………………..


HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN HƯNG HÀ
Năm học 2016 - 2017
Môn kiểm tra: Toán 6

Bài ý

a

Đáp án
Gọi số đó là abb , tổng các chữ số của số đó là:
a + b + b = a + 2b
Có abb = 100a + 10b + b
= 98a + 7b +2 (a + 2b)
Mà 98a M 7, 7b M 7 và a + 2b M 7 nên abb M 7
S = (1 + 2 + 3 + … + 99) + (1 + 2 + … + 98) + (1 + 2 +…+97) +
… + (1 + 2 + 3) + (1 +2) + 1
S = (1 + 99).99: 2 + (1 + 98).98: 2 + … + (1 + 2).2: 2 + 2:2
S=

b
1

1
(1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 98.99 + 99.100)
2

Đặt A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 98.99 + 99.100
3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + 98.99.3 + 99.100.3
3A = 1.2.3 + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 - 2) + … + 99.100(101 - 98)

Điểm
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5

0,5
0,5

3A = 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + … + 99.100.101
- 99.100.98
3A = 99.100.101
S=

c

2
a

1
A = 166 650
2

Có a + b = 11; b + c = 3; c + a = 2
a + b + b + c + c + a = 11 + 3 + 2
2 (a + b + c) = 16
a+b+c=8
(a + b + c) - (a + b) = 8 - 11
c = -3
(a + b + c) - (b + c) = 8 - 3
a=5
(a + b + c) - (a + c) = 8 - 2
b=6
0 = 0 . 0; 1 = 1 . 1; 4 = 2 . 2; 9 = 3 . 3
2500 = 50 . 50
Vậy D = { x ∈ N/ x = a . a với a = 0; 1; 2; 3; …; 50 }

Vậy tập hợp D có 51 phần tử.
b, Giả sử a ≤ b ta có a = 16m; b = 16n với m ∈ N * , n ∈ N *
(m, n) = 1; m ≤ n
Vậy a + b = 128 hay 16(m + n) = 128 suy ra m + n = 8

0,5

0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
1
0,5
0,5
0,75


b
Ta có bảng giá trị sau:
m
n
a
b

1
7
16
112

0,5

3
5
48
80

Vậy
Nếu a = 16 thì b = 112
Nếu a = 48 thì b = 80
A = 1 + 3 1 + 3 2 + 3 3 + … + 3 30
3A = 3+ 3 2 + 3 3 + … + 3 30 + 3 31
3A - A = 3+ 3 2 + 3 3 + … + 3 30 + 3 31 - 1 - 3 1 - 3 2 - … - 3 30
2A = 3 31 - 1
A=

3 −1
2

4

0,25
0,25

31

Vậy B - A =

a

0,25

1
3
3 −1
=
2
2
2
31

31

A = 2 + 2 2 + 2 3 + … + 2 29 + 2 30
A = 2(1 + 2) + 2 3 (1 + 2) + … + + 2 29 (1 + 2)
A = 2.3 + 2 3 .3 + … + + 2 29 .3
A = 3.(2 + 2 3 + … + 2 29 )
3 M 3 nên 3.(2 + 2 3 + … + 2 29 ) M 3 . Hay A M 3
Ta biết rằng một số và tổng các chữ số của nó có cùng số dư khi chia
cho 9, do đó hiệu của chúng chia hết cho 9
Như vậy 2a - k M9
a - k M9
nên[ 2a - k - (a - k)] M 9 Nên a M 9
Gọi a là số phải tìm, a - 1 chia hết 3, a - 3 chia hết chia hết 4,
a - 1 chia hết 5
2a - 2 chia hết 3;
2a - 6 chia hết 4 nên 2a - 6 + 4 chia hết 4 hay 2a - 2 chia hết 4
2a - 2 chia hết 5
Vậy 2a - 2 là BCNN(3, 4, 5)
BCNN(3, 4, 5) = 60

2a - 2 = 60
2a = 60 + 2
a = 31
Đặt A = n 2 + 12n = n (n + 12)
Nếu n = 0 thì A = 0 (loại)
Nếu n = 1 thì A = 13 (chọn)

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,5
0,5
0,5


Nếu n ≥ 2 thì A = n (n + 12) là tích hai thừa số lớn hơn 1 nên A là
hợp số
Vậy n = 1.

C

O

a

x

B

Trên tia OB có OA = 4cm, OB = 6cm mà 4 < 6 nên OA < OB, nên
điểm A nằm giữa điểm O và điểm B
Suy ra OA + AB = OB từ đó tính được AB = 2cm
Trên tia BO có BA = 2cm, BC = 3cm mà 2 < 3 nên BA < BC suy ra
điểm A nằm giữa điểm B và điểm C
nên BA + AC = BC, từ đó tính được AC = 1cm
C

O

6

A

A

B

I

b

0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25

x

Trường hợp 1: Điểm C thuộc tia đối của tia AB.
IC = CA + AI = a +

0,5

0,75

AB
=a+1
2

Trường hợp 2:
O

A

I

B

C

x

Điểm C thuộc tia đối của tia BA . Ta tính được AI = 1cm
IC = AC - AI = a – 1
Vậy IC = a -1

0,25
0,5
0,25


KÌ KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN HƯNG HÀ
Năm học 2016 - 2017
Môn kiểm tra: Toán 7
Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề
(Đề kiểm tra này gồm 01 trang)
Câu 1 (4,0 điểm). Thực hiện phép tính:
1 1 1
1
1
+ + + ... + +
3 4
99 100
a) A = 992 98
97
2
1

+ + + ... + +
1
2
3
98 99

b) So sánh:

2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 và 24

Câu 2 (6,0 điểm).
1. Tìm x, y, z biết:
a ) x + 3 x 2 + 4 + x 2016 = 6 − x 2
b)4(2016 − x) 4 + 3 y − 3 = 42
c)

( x, y ∈ Z )

3 y − 4 z 5z − 3x 4 x − 5 y
=
=
và x + y − 2 z = 15
6
7
3

2. Nhà trường dự định chia vở viết cho ba lớp 6A, 6B, 6C tỉ lệ với các số 7; 6; 5 nhưng sau đó
vì có học sinh thuyên chuyển giữa ba lớp nên phải chia lại theo tỉ lệ 6; 5; 4. Như vậy so với dự
định có một lớp nhận được ít hơn dự định là 12 quển vở. Tính tổng số vở mà nhà trường dùng
để chia cho cả ba lớp.

Câu 3 (3,0 điểm).
a) Vẽ đồ thị của hàm số y = −2 x .
b) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y = 3x + 1 và đồ thị hàm số y =

4
x

Câu 4 (6,0 điểm). Cho tam giác ABC có các góc nhỏ hơn 1200. Vẽ ra phía ngoài tam giác ABC
các tam giác đều ABD và ACE. Gọi M là giao điểm của CD và BE. Chứng minh rằng:
a) BE = CD
b)

·
=
BMC

1200

c)

·AMB =

1200.

Câu 5 (1,0 điểm). Chứng minh không tồn tại các số nguyên a, b, c, d thỏa mãn:
a − b + b − c + c − d + d − a = 2017

Hết
Họ và tên: ………………………………………………………….… Số báo danh: ….……

Chữ kí giám thị số 1: ………………..…………… Chữ kí giám thị số 2: …………………………..

Kiến thức phần
Tính toán trên
tập hợp số thực
Số câu
Số điểm
Tỉ lệ
Lũy thừa, tỉ lệ
thức-dãy tỉ số
bằng nhau, giá
trị tuyệt đối, căn
bậc hai

Số
bài

1

1

Số câu
Số điểm
Tỉ lệ
Hàm số và đồ thị
1
Số câu
Số điểm
Tỉ lệ

Hình học tổng
hợp
1
Số câu
Số điểm
Tỉ lệ
Chứng minh
đẳng thức, bất
đẳng thức;
Số câu
Số điểm
Tỉ lệ

1

CẤU TRÚC ĐỀ KIỂM TRA
CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN
Môn: Toán 7
Thời gian làm bài: 120 phút
Hình thức: 100% tự luận
Mức độ câu hỏi
Số
Thông hiểu (TH), vận dụng thấp (VD thấp), vận dụng cao (VD
điểm
cao)
TH
VD thấp
VD cao
Biết tính và áp dụng
Vận dụng được kiến

4,0 tính chất các phép
thức về căn bậc hai
tính trên tập số thực
1
1
2,5
1,5
25%
15%
Hiểu được lũy thừa
Vận dụng tính chất
Vận dụng tính chất
bậc chẵnvà giá trị
của lũy thừa và giá trị của dãy tỉ số bằng
tuyệt đối của các
tuyệt đối của để đánh nhau
6,0
biểu thức luôn không giá giá trị của biểu
âm, vận dụng tính
thức
chất chia hết.
1
2
1
1,5
2,5
2,0
15%
25%
20%

Hiểu và vẽ được đồ
Vận dụng quan hệ
thị hàm số y = ax (a điểm thuộc đồ thị
3,0
≠ 0) ứng với khoảng hàm số để tìm tọa độ
giá trị của biến.
giao điểm 2 đồ thị.
1
1
1,5
1,5
15%
15%
Vẽ hình chính xác,
Vận dụng kiến thức
Vận dụng tính chất
biết chứng minh hai định lí góc ngoài của tám giác cân, tam
6,0 tam giác bằng nhau
tam giác
giác đều, chứng
suy ra hai cạnh
minh tam giác bằng
tương ứng bằng nhau
nhau
1
1
1
2,5
1,5
2,0

25%
15%
20%
Biết vận dụng kiến
2,0
thức, phương pháp
để cm đẳng thức.
1
1,0
10%

Ghi
chú


Tổng số câu
Tổng số điểm
Tỉ lệ

4
5

20,0

5
8,0

3
7,0

40%

5,0
35%

25%

HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN HƯNG HÀ
Năm học 2016 - 2017
Môn kiểm tra: Toán 7


Câu

Ý

1

a
2,5
điểm

Nội dung

Điểm

Biến đổi mẫu số ta được:
99 98 97
2
1

+ + + ... + +
1
2
3
98 99
100 − 1 100 − 2 100 − 3
100 − 98 100 − 99
=
+
+
+ ... +
+
1
2
3
98
99
100
100
100
100
= 100 − 1 +
−1+
− 1 + ... +
−1+
−1
2
3
98
99

1 1
1
1
= 100 − (1 + 1 + 1 + ... + 1) + 100( + + ... + + )
2 3
98 99
1 1
1
1
1 1
1
1
= 100 − 99 + 100( + + ... + + ) = 1 + 100( + + ... + + )
2 3
98 99
2 3
98 99
1 1
1
1
100
1 1
1
1
1
= 100( + + ... + + ) +
= 100( + + ... + + +
)
2 3
98 99 100

2 3
98 99 100
Do đó A =

1
= 0, 01
100

0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5

b
1,5
điểm

Ta có:

0,5

0 < 2 < 2, 25 ⇒ 2 < 2, 25 ⇒ 2 < 1,5
0 < 6 < 6, 25 ⇒ 6 < 6, 25 ⇒ 6 < 2,5

0,5

Chứng minh tương tự ta được:

0,25
0,25

12 < 3,5; 20 < 4,5; 30 < 5, 5; 42 < 6,5
⇒ 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 < 1,5 + 2,5 + 3,5 + 4,5 + 5,5 + 6,5
⇒ 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 < 24

2

a
1,0
điểm

x + 3 x 2 + 4 + x 2016 = 6 − x 2 (1)
0,5
0,25

Vì x ≥ 0; x 2016 ≥ 0∀x
x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 4 ≥ 4 ⇒ x 2 + 4 ≥ 2 ⇒ 3 x 2 + 4 ≥ 6∀x
⇒ x + 3 x 2 + 4 + x 2016 ≥ 6∀x

0,25

Vì x ≥ 0 ⇒ 6 − x ≤ 6∀x
2

2

Dấu “=” xảy ra ⇔x=0

y

Do đó (1) xảy ra⇔x=0
b

4(2016 − x) + 3 y − 3 = 42(*) ∀x, y ∈ Z

1,5
điểm

E

4

Ta có

D

A3

0,5

2
-1 2
1
4
4(2016 − x) + 3 y − 3 =F 42 ⇒ 4(2016
− x) 4 = 42 − 3 y − 3 x
1
O 1

-3 -2
2 3
2
1

0,25

Vì 42 M 3; 3 y − 3 M3 => 42 − 3 y − 3 M3 ∀y ∈ Z
M
4
4
2
1
=> 4(2016 − x) M3 => (2016 − x) M3 =>
-12016 − xM34ƯCLC (3; 4) = 1 (1)
y0 =
Vậy
4≥
nếu
x
4
 5là 12
= 4vở
 5y số
 lớp 6C 1nhận
Ta
thấy
nên
được
ítxdự

hơn
dự là
định
0 định
-2
− ÷quyển
a
−
a
⇒
a
=
12
⇒
Mà
số
quyển
vở
lớp
6C
nhận
được
ít
hơn
4= 12
4 a = 1080
B
C
x
Do

đó
ta
có:


÷
B
A
nếu
x
<
0 > − x) ≤ 42 ⇒ (2016 − x) ≤ 10,5 ⇒ 2016 − x ∈ { 0;1} (2)
Vậy
3 y − 3 ≥ 0 ⇒ 4(2016
 18 15 

90-3

 18 15 

0,25
0,25
0,25