Một số ứng dụng của tích phân hàm một biến số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

****************

NGUYỄN THỊ NHUNG

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA
TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

HÀ NỘI - Năm 2017


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN
****************

NGUYỄN THỊ NHUNG

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA
TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học

ThS. TRẦN THỊ THU

HÀ NỘI - Năm 2017


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ NHUNG

LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô Trần Thị Thu
- giảng viên khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Cô đã
dành nhiều thời gian đáng quý tận tình hướng dẫn và truyền những
kinh nghiệm quý báu cho em trong quá trình em thực hiện khóa
luận này.
Qua đây, em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc các
thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán, tới gia đình, bạn bè là những
người luôn sát cánh bên em, đã nhiệt tình giúp đỡ, chia sẻ, động
viên trong quá trình học tập cũng như khi em thực hiện và hoàn
chỉnh khóa luận này.
Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng để thực hiện đề tài một cách
hoàn chỉnh nhất, song do mới bước đầu em làm quen với công tác
nghiên cứu khoa học, tiếp cận với nó nên hạn chế về kiến thức và
kinh nghiệm cũng không thể tránh khỏi những thiếu sót nhất định
mà bản thân chưa thấy được. Vì vậy, em rất mong nhận được sự
góp ý của các bạn sinh viên và đặc biệt là của các thầy giáo, cô giáo
đang giảng dạy bộ môn Toán để khóa luận của em được hoàn chỉnh
hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 22 tháng 4 năm 2017

Sinh viên
Nguyễn Thị Nhung.
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ NHUNG

LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan đề tài do chính em nghiên cứu và tìm hiểu dưới
sự hướng dẫn của Ths. Trần Thị Thu - giảng viên khoa Toán.
Đề tài được em nghiên cứu và hoàn thành trên cơ sở kế thừa và
phát huy những công trình nghiên cứu có liên quan. Kết quả đề tài
này là trung thực, không trùng lặp với đề tài nào khác. Nếu sai em
xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, ngày 22 tháng 4 năm 2017
Sinh viên
Nguyễn Thị Nhung.

2


Mục lục

LỜI MỞ ĐẦU

5

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

8

1.1

Định nghĩa tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2

Các tính chất cơ bản của tích phân . . . . . . . . . . 13

1.3

Tổng Darboux và các tính chất . . . . . . . . . . . . 14

1.4

Các điều kiện khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5

Một số kiến thức liên quan . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN HÀM
MỘT BIẾN SỐ
2.1

20

Ứng dụng của tích phân trong bài toán sơ cấp . . . . 20

2.1.1

Ứng dụng để giải các bài toán về dãy số . . . 21

2.1.2

Ứng dụng để giải các bài toán tổ hợp . . . . . 24

2.1.3

Ứng dụng để giải các bài toán phương trình
đại số hoặc phương trình lượng giác . . . . . . 28

2.1.4

Ứng dụng để tìm độ dài đường cong . . . . . . 38

2.1.5

Ứng dụng để giải các bài toán tìm diện tích,
thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2

Ứng dụng của tích phân trong bài toán vật lý . . . . 54
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.2.1

NGUYỄN THỊ NHUNG

Ứng dụng của tích phân trong bài toán chuyển
động của chất điểm . . . . . . . . . . . . . . . 54

Kết luận

58

Tài liệu tham khảo

59

4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ NHUNG

LỜI MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Giải tích là ngành Toán học nghiên cứu các khái niệm giới hạn,
đạo hàm, tích phân,. . . Một trong số đó thì tích phân là một trong
những kiến thức khá quen thuộc đối với học sinh Trung học phổ
thông cũng như sinh viên các trường Đại học, Cao đẳng. Mặc dù
vậy, để nắm vững khái niệm, tính chất của tích phân đồng thời ứng

dụng được tích phân vào các bài toán trong Giải tích, Vật lý,. . . lại
là một vấn đề hoàn toàn không đơn giản.
Trong những năm học Trung học phổ thông, học sinh đã làm
quen với khái niệm tích phân, bước đầu đã biết vận dụng để tính
diện tích hình phẳng, thể tích vật thể và ứng dụng trong vật lí tìm
công, lực tác dụng của một vật nhưng mới chỉ là những bài toán
đơn giản. Lên học Toán Đại học, tích phân và ứng dụng của nó ngày
càng được mở rộng trong các bài toán tìm nghiệm phương trình,
chứng minh bất đẳng thức,. . . Lúc này để giải quyết các vấn đề đó
lại là một bài toán khó. Nó yêu cầu người học không chỉ nắm vững
vàng về kiến thức cơ bản như định nghĩa, định lí, tính chất mà còn
đòi hỏi người học phải có tư duy Toán học phát triển đồng thời biết
sử dụng và kết hợp một cách khéo léo các công cụ trong đại số và
hình học giải tích để giải toán. Và do nhiều học sinh vẫn còn mắc
sai lầm trong việc giải các bài toán ứng dụng của tích phân, chưa
5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ NHUNG

biết cách làm một bài toán ứng dụng tích phân,. . .
Vì vậy, với mong muốn hệ thống tập chung, phân loại kiến thức
đặc biệt là bài tập ứng dụng của tích phân nhằm đem lại cho học
sinh, sinh viên trong quá trình học tập và nghiên cứu về tích phân
hàm một biến số, em đã lựa chọn đề tài: "Một số ứng dụng của tích
phân hàm một biến số" cho khóa luận tốt nghiệp của mình.

2. Mục đích nghiên cứu

- Bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu và thực hiện khóa
luận tốt nghiệp.
- Nghiên cứu ứng dụng của tích phân hàm một biến trong lĩnh
vực Toán học cũng như liên môn Toán - Lý.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu những tài liệu, giáo trình liên quan đến khái niệm,
tính chất và một số định lí liên quan để rút ra phương pháp
giải cho một số bài về tích phân.
- Phân loại kiến thức và nêu các dạng bài tập liên quan đến ứng
dụng tích phân hàm một biến.

4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc các giáo trình, tài liệu
liên quan tới ứng dụng của tích phân hàm một biến để phân
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ NHUNG

loại và hệ thống hóa kiến thức.
- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: lấy ý kiến giảng viên trực
tiếp hướng dẫn và các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt
nội dung cũng như hình thức của khóa luận.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Khóa luận có thể là tài liệu tham khảo cho những sinh viên ngành
Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 có mong muốn và tìm hiểu

ứng dụng của tích phân hàm một biến.

6. Cấu trúc của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung
chính của khóa luận gồm hai chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương này trình bày cơ sở lí thuyết về định nghĩa, tính chất
tích phân và một số định lí liên quan.
Chương 2: Một số ứng dụng của tích phân hàm một biến số
Chương này đưa ra hệ thống, phân loại các dạng bài tập giúp
cho việc giải quyết các bài tập thuận lợi hơn và từ đó nhằm phát
triển tư duy giải quyết các bài toán phức tạp hơn liên quan đến tích
phân và ứng dụng của tích phân xác định.

7


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này em hệ thống lại một số kiến thức cơ bản có liên
quan về định nghĩa, định lí, tính chất . . . của tích phân để phục vụ
cho chương sau. Như đã biết, hình học sơ cấp chỉ dạy ta cách tính
diện tích của những hình phẳng đơn giản như hình chữ nhật, hình
thang, . . . . Vậy với một hình phẳng bất kì thì công thức diện tích
được tính như thế nào? Để giải quyết vấn đề này ta xét bài toán:
Cho hàm số y = f (x) liên tục và
lấy giá trị dương trên đoạn [a, b].
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số y = f (x), trục hoành và hai
đường thẳng x = a, x = b được gọi

là hình thang cong (phần tô đậm
trong hình bên).
Vậy diện tích hình thang cong ABba bằng bao nhiêu?
Lời giải. Để giải quyết bài toán này ta phải:
1. Định nghĩa diện tích hình thang cong.
2. Tìm cách tính diện tích đó.
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ NHUNG

Để định nghĩa diện tích hình thang cong, ta làm như sau:
Chia đoạn [a, b], đáy của hình thang, thành một số hữu hạn đoạn
nhỏ bởi các điểm
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b.

(1.1)

Ta sẽ gọi mỗi phép chia này là một phép phân hoạch kí hiệu là π.
Trên mỗi đoạn ∆k = [xk−1 , xk ], k = 1, 2, . . . , n ta lấy một điểm bất
kì ξk .
Khi hàm số f (x) không đổi trên đoạn ∆k thì trong suốt đoạn này
giá trị của hàm số sẽ là f (ξk ) và lúc đó diện tích hình thang cong
con sẽ là
f (ξk )(xk − xk−1 ).
Trong trường hợp tổng quát, nếu đoạn ∆k rất nhỏ, ta sẽ coi rằng
f (ξk )(xk − xk−1 ) là giá trị gần đúng của "diện tích" Sk hình thang
cong P QSR, nghĩa là

Sk ≈ f (ξk )(xk − xk−1 ).

9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ NHUNG

Khi đó, nếu kí hiệu S là diện tích của hình thang cong ABba thì
n

n

f (ξk )(xk − xk−1 ) = S ∗ .

Sk ≈

S=

(1.2)

k=1

k=1

Rõ ràng, nếu ta chọn phép phân hoạch π sao cho
d(π) = max(xk − xk−1 )
càng nhỏ thì mỗi hình thang cong con P QSR càng gần trùng với
hình chữ nhật có đáy là ∆k và chiều cao là f (ξk ).

Vì vậy, đương nhiên ta đi đến định nghĩa sau đây:
Diện tích S của hình thang cong ABba là giới hạn của tổng (1.2)
khi d(π) → 0 hay
n
∗

f (ξk )(xk − xk−1 ).

S = lim S = lim
d(π)→0

d(π)→0

(1.3)

k=1

Nhận xét 1.1. Quá trình giải bài toán trên ta có
n

f (ξk )(xk − xk−1 ).

SABba = lim S = lim
d(π)→0

d(π)→0

k=1

Trong thực tế có rất nhiều tài liệu được xây dựng thì định nghĩa

tương tự như trên như công một lực biến thiên, độ dài đường cong
và tích phân xác định. Nội dung cụ thể hơn sẽ được trình bày ở các
mục tiếp theo.

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.1

NGUYỄN THỊ NHUNG

Định nghĩa tích phân

Cho hàm số y = f (x), xác định trên đoạn [a, b].
Để xây dựng định nghĩa tích phân của một hàm số trên một đoạn
ta tiến hành như sau:

Định nghĩa 1.1. Chia đoạn [a, b] thành những đoạn nhỏ bởi các
điểm
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b.
Mỗi phép chia như thế gọi là một phép phân hoạch đoạn [a, b] và
được kí hiệu bởi chữ π: các điểm x0 , x1 , . . . , xn được gọi là các điểm
chia.
Trong mỗi đoạn [xk−1 , xk ] ta lấy một điểm bất kì ξk (xk−1 ≤ ξk ≤ xk )
rồi lập tổng:

n

f (ξk )(xk − xk−1 ).

σπ =

(1.4)

k=1

Tổng (1.4) được gọi là tổng tích phân của hàm số f (x) ứng với phép
phân hoạch π.
Ta sẽ kí hiệu d(π) = max(xk − xk−1 ) là đường kính của phép phân
hoạch π.
11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ NHUNG

Ta sẽ nói rằng tổng σπ dần tới giới hạn I khi d(π) → 0 nếu:
Với mỗi số ε > 0 cho trước nhỏ tùy ý, bao giờ cũng tồn tại số δ > 0
sao cho với mọi phép phân hoạch π mà d(π) < δ và với mọi cách
chọn các điểm ξk ta đều có:
n

f (ξk )(xk − xk−1 ) − I < ε

|σπ − I| =
k=1

hay

n

f (ξk )(xk − xk−1 ).

I = lim σπ = lim
d(π)→0

d(π)→0

k=1
b

Khi đó, ta nói f (x) khả tích trên [a, b] và

f (x)dx = I = lim σπ ,
a

d(π)→0

trong đó hàm f (x) là hàm số dưới dấu tích phân; f (x)dx là biểu
thức dưới dấu tích phân; các số a, b là cận của tích phân; b là cận
trên, a là cận dưới.
Nhận xét 1.2. Cách xây dựng định nghĩa tích phân như trên hoàn
toàn độc lập với khái niệm nguyên hàm đã biết và sau này hai nhà
toán học Newton - Leibniz đã đưa ra công thức liên hệ giữa tích
phân xác định và nguyên hàm đó là công thức Newton - Leibniz.
Công thức này không những là công thức chính để tính tích phân
xác định mà còn được dùng làm định nghĩa trong sách giáo khoa

Đại số 12 để cho đơn giản và gần gũi với học sinh.
Định nghĩa 1.2. (Công thức Newton - Leibniz)
Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc K.
Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số F (b) − F (a)

12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ NHUNG
b

được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là

f (x)dx hay
a

b

f (x)dx = F (b) − F (a).
a

1.2

Các tính chất cơ bản của tích phân

Giả sử hàm số f (x), g(x) xác định, liên tục trên đoạn [a, b]. Khi
đó, theo định nghĩa tích phân ta chứng minh được các tính chất
sau:

a

f (x)dx = 0, ∀a ∈ R.

i)
a

b

a

f (x)dx = −

ii)

f (x)dx.

a

b
b

f (x)dx, ta quy ước a ≤ b).

(vì vậy sau này viết
a
b

b

[f (x) ± g(x)]dx =

iii)
a

b

f (x)dx ±
a

g(x)dx.
a

(tính chất cộng tính của tích phân).
b

b

f (x)dx, ∀k ∈ R.

kf (x)dx = k

iv)
a

a

(tính chất thuần nhất của tích phân).
Kết hợp iii) và iv) ta có tính chất tuyến tính của tích phân
b

b

[αf (x) ± βg(x)]dx = α
a

b

f (x)dx ± β
a

b
a

a

c

f (x)dx +

v)

c

f (x)dx =
b

g(x)dx, ∀α, β ∈ R.

f (x)dx.

a

13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ NHUNG
b

vi) Nếu f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] ta có:

f (x)dx ≥ 0.
a
b

vii) Nếu f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b] ta có:

b

f (x)dx ≤
a

g(x)dx.
a

(tính chất vi) và vii) là hai tính chất liên quan đến thứ tự).
viii) Nếu f là hàm khả tích trên đoạn [a, b], (a ≤ b), thì |f | cũng
khả tích trên đoạn đó và
b

b

f (x)dx ≤
a

a

1.3

f (x) dx.

Tổng Darboux và các tính chất

Định nghĩa 1.3. (Tổng Darboux)
Giả sử f : [a, b] → R là một hàm bị chặn. Với mỗi phân hoạch
π chia [a, b] thành các đoạn con ∆i = [xi−1 , xi ] đặt Mi = sup f (x),
x∈∆xi

mi = inf f (x), ωi = Mi − mi , i = 1, n.
x∈∆xi

n

Lập tổng S(π) =

n

Mi ∆xi , s(π) =
i=1

mi ∆xi .
i=1

Ở đó S(π) và s(π) lần lượt được gọi tổng Darboux trên và tổng
Darboux dưới của hàm f trên [a, b].
Thông qua cách xây dựng tổng Darboux trên và tổng Darboux
dưới, ta dễ dàng chứng minh được các tính chất sau
Giả sử f : [a, b] → R là hàm bị chặn.
Tính chất 1.3.1. s(π) ≤ σf (π, ξ) ≤ S(π), với ξ lấy bất kỳ và với
mọi π ∈ P([a, b]), với P([a, b]) là tập tất cả các phân hoạch đoạn
[a, b].
14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ NHUNG

Tính chất 1.3.2. Với mọi phân hoạch π xác định ta có
s(π) = inf{σf (π, ξ)}

S(π) = sup{σf (π, ξ)}

trong đó cận dưới đúng và cận trên đúng lấy theo mọi cách chọn
điểm ξ = (ξ1 , ξ2 , . . . , xn ) với ξi thuộc đoạn con ∆i (i = 1, 2, . . . , n).
Tính chất 1.3.3. Với bất kỳ π1 , π2 ∈ P([a, b]) và π1 ≤ π2 ta luôn
có s(π1 ) ≤ s(π2 ) và S(π1 ) ≥ S(π2 ).
Tính chất 1.3.4. Với hai phân hoạch bất kì π và π của đoạn [a, b]
ta luôn có s(π) ≤ S(π ).

Tính chất 1.3.5. Tập hợp {s(π)|π ∈ P([a, b])} luôn luôn có một
cận trên đúng I0 , tập hợp {S(π)|π ∈ P([a, b])} có một cận dưới đúng
I 0 và s(π) ≤ I0 ≤ I 0 ≤ S(π), ∀π ∈ P([a, b]).
Ở phần trên em đã nêu tính chất của tích phân, vậy khi nào tích
phân tồn tại, ở mục tiếp theo em sẽ sử dụng đến định nghĩa tích
phân và tổng Darboux để nghiên cứu một số điều kiện cần, điều
kiện đủ, điều kiện cần và đủ để tích phân tồn tại.

1.4

Các điều kiện khả tích

Định lý 1.1. Điều kiện cần.
Giả sử f là một hàm xác định và khả tích trên [a, b]. Khi đó f bị
chặn trên đoạn đó.
Nhận xét 1.3. Định lý trên chỉ là điều kiện cần mà không phải
là điều kiện đủ, nghĩa là có những hàm bị chặn trên [a, b] nhưng
15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ NHUNG

b

f (x)dx không tồn tại.
a

Định lý 1.2. Điều kiện đủ.

Cho hàm f (x) xác định trên [a, b]. Nếu f (x) liên tục trên [a, b]
hoặc có không quá một số hữu hạn các điểm gián đoạn loại một trên
đoạn đó thì hàm là khả tích trên [a, b].
Định lý 1.3. Điều kiện cần và đủ.
Giả sử f : [a, b] → R là một hàm bị chặn, khi đó điều kiện cần
và đủ để f khả tích trên [a, b] là:
n

lim

S(t) − s(T ) = lim

d(T )→0

d(T )→0

ωi ∆xi = 0.
i=1

Điều này tương đương với điều kiện
b

I0 = I 0 = I =

f (x)dx.
a

Tiếp theo em xin trình bày một vài định lý quan trọng của lý
thuyết tích phân mà sau này em sử dụng.

1.5

Một số kiến thức liên quan

Định lý 1.4. Bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopski-Schwarz(C-B-S).
a) Cho f (x), g(x) là hai hàm liên tục từng khúc trên [a, b], khi đó
b

b

2

f (x)g(x) dx ≤
a

b
2

g 2 (x)dx.

f (x)dx
a

(1.5)

a

b) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi có hai số α, β ∈ R không đồng thời
16

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ NHUNG

bằng 0 để cho αf (x) + βg(x) = 0 hay f (x), g(x) phụ thuộc tuyến
tính trên [a, b].
Chứng minh. ∀t ∈ R ta luôn có:
b

2

tf (x) + g(x) dx ≥ 0.
a
b

b
2

⇔ k(t) =

2

f (x)dx t + 2

b

a

a

∀t ∈ R.

g 2 (x) ≥ 0,

f (x)g(x)dx t +
a

b

f (x)g(x)dx > 0 thì

+) Giả sử: Nếu
a
b

h(t) = 2

b

g 2 (x)dx → ∞, (t → −∞),

f (x)g(x)dx t +
a

a

(mâu thuẫn).
b

f (x)g(x)dx < 0 thì h(t) → ∞, (t → +∞),

Tương tự, nếu
a

(mâu thuẫn).
b

f (x)g(x)dx = 0 và khẳng định hiển nhiên đúng.

Vậy
a

b

f 2 (x)dx > 0.

+) Giả sử: Nếu
a

Khi đó biệt thức ∆ của tam thức k(t) phải âm, tức là
b

b

2

f (x)g(x) dx −
a

b
2

g 2 (x)dx ≤ 0 (đpcm).

f (x)dx
a

a

Định lý 1.5. (Định lí Rolle)
Nếu hàm số thực y = f (x) liên tục trên đoạn [a, b], (a < b) có đạo
hàm liên tục trên khoảng (a, b) và f (a) = f (b) thì tồn tại c ∈ (a, b)
sao cho f (c) = 0.
17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ NHUNG

Chứng minh. Giả sử không tồn tại c ∈ (a, b) để f (c) = 0 tức
f (x) = 0, ∀x ∈ (a, b). Khi đó do f (x) liên tục trên khoảng (a, b)
nên f (x) không đổi dấu trên (a, b). Không giảm tính tổng quát, giả
sử f (x) > 0, ∀x ∈ (a, b). Mà f (x) liên tục trên [a, b] nên f (x) đồng
biến trên [a, b], suy ra f (a) < f (b) (trái với giả thiết f (a) = f (b)).
Vậy điều giả sử là sai. Chứng tỏ rằng tồn tại c ∈ (a, b) sao cho
f (c) = 0.
Định lý 1.6. (Tính dương của tích phân)
Cho f (x) không âm và khả tích trên [a, b]. Giả sử có x0 ∈ [a, b]

sao cho f (x) liên tục tại x0 và f (x0 ) > 0. Khi đó
b

f (x)dx > 0.
a

Chứng minh. Vì lim f (x) = f (x0 ) > 0.
x→x0

Suy ra có 2 số α, β: a ≤ α ≤ x0 ≤ β ≤ b; α < β sao cho
f (x) ≥
b

f (x)dx ≥

Từ đó
a

f (x0 )
> 0, ∀x ∈ [a, b].
2

f (x0 )
(β − α) > 0.
2

Hệ quả 1.1. Cho f (x) không âm, liên tục trên [a; b] và
b

f (x)dx = 0. Khi đó f (x) = 0.

a
b

f 2 (x)dx = 0

Hệ quả 1.2. Cho f (x) liên tục trên [a; b] và
a

thì f (x) = 0.
b

|f (x)|dx = 0

Hệ quả 1.3. Cho f (x) liên tục trên [a; b] và
a

thì f (x) = 0.
18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ NHUNG

Ngoài ra trong khóa luận còn sử dụng các định nghĩa, tính chất
và định lý liên quan đến hàm số, đạo hàm và một số kiến thức hình
học vật lý. Các kiến thức này em xin phép không trình bày, độc giả
quan tâm có thể tìm đọc trong các tài liệu: [1], [2], [3], . . .

19

Chương 2
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA
TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
SỐ
Sau khi đã hệ thống lại một số kiến thức liên quan thì trong
chương này em đi sâu tìm hiểu ứng dụng của tích phân hàm một
biến số trong một số lĩnh vực như Toán học, Vật lý, . . .

2.1

Ứng dụng của tích phân trong bài toán sơ
cấp

Đầu tiên, em quan tâm đến ứng dụng của tích phân trong các
bài toán dãy số. Dãy số, đặc biệt là phần tính tổng dãy số là phần
kiến thức khá khó, chủ yếu để bồi dưỡng học sinh giỏi trung học
phổ thông hay thi Olympic. Đã có rất nhiều phương pháp tính tổng
dãy số, và trong mục đầu tiên em sẽ trình bày cách sử dụng định
nghĩa tích phân vào tính tổng dãy số.

20


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.1.1

NGUYỄN THỊ NHUNG

Ứng dụng để giải các bài toán về dãy số

Bài toán. Cho Sn = u1 + u2 + · · · + un . Tính lim Sn .
Phương pháp. Ngoài cách tính trực tiếp tổng Sn thông qua các
công thức về dãy số như cấp số cộng, cấp số nhân, ta có thể tính
giới hạn trên nhờ tích phân sau:
Bước 1: Biến đổi Sn về dạng
Sn =

b−a
b−a
f a+1
n
n

b−a
=
n

n

f a+i
i=1

+f a+2

b−a
n

+ ··· + f a + n

b−a
.
n

Bước 2: Chỉ ra hàm f và chứng minh f liên tục trên [a, b].
b

Bước 3: Kết luận lim Sn =

f (x)dx.
a

Ví dụ 2.1. Tính lim Sn với
Sn =

1
1
1
+
+ ··· +
.
n+1 n+2
n+n

Lời giải. Ta có
1
1
1

Sn =
+
+ ··· +
=
n+1 n+2
n+n
n

=
i=1

1
n

1
i
1+
n

n

=

f a+i
i=1

Nên ta chọn f (x) =

n

=

f (ξi )∆xi
i=1

b−a b−a
.
n
n

1
liên tục trên [0; 1].
x+1
21

n

i=1

1
n+i

b−a
n


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ NHUNG

Khi đó tổng Sn là tổng tích phân của hàm f (x) =

1
trên [0, 1]
x+1

với các điểm chia
0 = x0 < x1 < · · · < xn = 1
1
sao cho ∆xi = xi − xi−1 = , ∀i = 1, n.
n
1
i
Ta có λ = , chọn ξi = ∈ [xi−1 , xi ].
n
n
Vậy theo định nghĩa tích phân xác định, ta có:
n

lim Sn = lim
1

n →0

i=1

1
=
n+i

1

1

f (x)dx =
0

0

dx
= ln 2.
1+x

Ví dụ 2.2. Tính lim Sn với
Sn =

1
π
2π
(n − 1)π
sin + sin
+ · · · + sin
.
n
n
n
n

Lời giải. Ta có:
Sn =

π
2π
(n − 1)π
1
sin + sin
+ · · · + sin
n
n
n
n
n−1

=
i=1
n−1

=
i=1

1
iπ
sin + 0
n
n
iπ
nπ
1
sin + sin
=

n
n
n

n

i=1

iπ
1
sin .
n
n

Xét hàm số f (x) = sin πx trên đoạn [0, 1].
Chia đoạn [0, 1] thành n phần nhỏ bằng nhau và bằng

1
, giới hạn
n

bởi (n + 1) điểm chia
x0 = 0 < x1 =

1
i
< x2 < · · · < xi = < · · · < xn = 1
n
n
22

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ NHUNG

1
sao cho ∆xi = xi − xi−1 = , ∀i = 1, n.
n
1
i
Ta có λ = , chọn ξi = ∈ [xi−1 , xi ].
n
n
Vậy theo định nghĩa tích phân xác định, ta có
n

lim Sn = lim
1

n→∞

n →0

i=1

Vậy lim Sn =
n→∞

1

iπ
1
sin
=
n
n

0

1
1
1
2
sin πxdx = − cos πx = − (−1−1) = .
0
π
π
π

2
.
π

Ví dụ 2.3. Tính lim Sn với
Sn = √

1
1
1

+√
+ ··· + √
.
4n2 − 1
4n2 − 22
4n2 − n2

Lời giải. Ta có:




1

Sn = 
n
n

=
i=1

1
1
4− 2
n
1
n

1

+

2
4−
n

1
i
4−
n

2

2

+ ··· +

1




n 2
4−
n

.

1
trên đoạn thì f (x) liên tục trên đoạn [0, 1].

4 − x2
Chia đoạn [0, 1] thành n đoạn nhỏ bằng nhau, bởi các điểm chia
i
xi = (i = 0, n).
n
Sao cho
1
∆xi = xi − xi−1 = , ∀i = 1, n.
n
1
i
Ta có λ = , chọn ξi = ∈ [xi−1 , xi ].
n
n
Xét f (x) = √

23