Ứng dụng của tích phân lê bá bảo
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.6 MB, 31 trang )
Lê Bá B o
Giáo viên chuyên luy n thi THPT qu c gia TP Hu
TÍCH PHÂN
CHUYÊN Đ :
Ch đ 3:
NG D NG
NG D NG C A TÍNH PHÂN TRONG HÌNH H C
ng d ng 1:
TÍNH DI N TÍCH HÌNH PH NG
I. LÝ THUY T
f x liên t c trên đo n
Bài toán 1: Di n tích S c a hình ph ng gi i h n b i đ th c a hàm s
a; b , tr c hoành và hai đ
ng th ng x a , x b đ
b
c tính theo công th c:
S f x dx
a
(1)
Minh h a các d ng th
ng g p:
f x không mang 1 d u trên
f x 0, x a; b .
f x 0, x a; b .
a; b .
y
f(x)
y
y
x
O
a
(H)
(H)
b
c
a
x
(H)
f(x)
b
a
b
O
x
O
f(x)
b
S f x dx
b
S f x dx
c
b
a
c
S f x dx f x dx
a
a
L u
B ng cách xem x là hàm c a bi n y , t c là x g y , di n tích S
y
c a hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s x g y liên t c trên
đo n a; b , tr c tung và hai đ
ng th ng y a, y b đ
b
g(y)
c tính
b
theo công th c:
S g y dy
(H)
(2)
a
a
x
O
f x , g x liên t c
Bài toán 2: Di n tích S c a hình ph ng gi i h n b i các đ th c a hàm s
trên a; b và hai đ
ng th ng x a , x b đ
b
c tính theo công th c:
S f x g x dx
(3)
a
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115...
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên đ tích phân ng d ng
Minh h a các d ng th
Lê Bá B o
ng g p:
f x g x , x a; b .
f x g x , x a; b .
f x g x , x a; c ;
f x g x , x c ; b ; a c b .
y
y
f(x)
(H)
(H)
g(x)
x
x
a
O
a
(H)
f(x)
g(x)
O
f(x)
y
g(x)
x
b
b
a
O
c
b
b
S g x f x dx
b
S f x g x dx
c
b
a
c
S f x g x dx g x f x dx
a
a
L u
B ng cách xem x là hàm c a bi n y , di n tích S c a hình ph ng
y
x f y , x g y liên t c trên
b
gi i h n b i các đ th hàm s
đo n a; b và hai đ
ng th ng y a, y b đ
c tính theo công
g(y)
f(y)
(H)
b
th c:
S f y g y dy
(4)
a
a
O
Hình ph ng gi i h n b i nhi u h n hai đ
Bài toán 3:
Di n tích S c a hình ph ng gi i h n b i các đ th đ
x
ng cong
c chia thành nhi u ph n di n tích, mà m i
ph n ta có th tích theo công th c (1), (2), (3) và (4).
Minh h a các d ng th
ng g p:
f x h x , x a; c ;
f y g y , y a; c ;
g x h x , x c ; b ; a c b .
f y h y , y c ; b ; a c b .
g(x)
y
y
b
f(x)
g(y)
(H 1 )
f(y)
c
(H 1 )
(H 2 )
h(x)
h(y)
(H 2 )
O
O
a
c
c
b
a
c
b
S f x h x dx g x h x dx
Biên t p: Ng c Huy n LB (facebook.com/huyenvu2405)
x
a
x
c
b
a
c
S f y g y dy f y h y dy
The best or nothing
Lê Bá B o
Giáo viên chuyên luy n thi THPT qu c gia TP Hu
II. PH
NG PHÁP
Ph ng pháp: S d ng tính ch t c b n c a tích phân (thêm c n trung gian đ tính tích phân
ch a d u giá tr tuy t đ i GTTĐ .
+) Tính ch t: Hàm s y f x liên t c trên K (kho ng đo n, n a kho ng) và a , b , c là ba s b t
kì thu c K Khi đó ta có
b
c
a
a
b
f x dx f x dx f x dx
c
b
Chú ý: Khi áp d ng công th c (3):
S f x g x dx
, ngoài vi c kh
d u GTTĐ nh
a
ph
ng pháp đã trình bày trên, ta có th kh d u GTTĐ theo ph ng pháp sau
B c 1: Gi i ph ng trình f x g x 0 trên a; b , gi s có các nghi m
c , d a; b ; a c d b . Khi đó f x g x không đ i d u trên các đo n a; c ; c; d ; d; b .
T c là:
B
b
c
d
b
a
a
c
d
c 2: S f x g x dx f x g x dx f x g x dx f x g x dx
c
d
b
a
c
d
f x g x dx f x g x dx f x g x dx .
Ph
ng pháp 2: Phác th o d ng đ th và đ a ra k t qu .
III. BÀI T P TR C NGHI M MINH H A
Câu 1: Kí hi u S là di n tích hình ph ng gi i
h n b i đ th hàm s
và hai đ
y
y f x , tr c hoành
f(x)
ng th ng x a , x b nh hình v
bên. Kh ng đ nh nào sau đây đúng
a
(H)
x
b
A. S f x dx.
B. S f x dx.
b
O
b
a
a
b
a
D. S f x dx.
C. S f x dx.
a
b
L i gi i:
b
nghĩa c a tích phân ta có k t qu : S f x dx.
D a vào n i dung
a
Ch n đáp án D.
Câu 2: Kí hi u S là di n tích hình ph ng gi i h n b i đ
th hàm s y f x , tr c hoành và hai đ ng th ng
y
f(x)
x a , x b nh hình v bên. Kh ng đ nh nào sau đây
đúng
b
A. S f x dx.
B. S
f x dx .
b
c
b
O
a
x
(H)
a
a
c
b
c
b
a
c
a
c
C. S f x dx f x dx. D. S f x dx f x dx.
L i gi i:
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115...
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên đ tích phân ng d ng
D a vào n i dung
Lê Bá B o
nghĩa c a tích phân và chia đo n a; b
c
b
a
c
thành hai đo n thành ph n
a; c ; c ; b , ta có k t qu : S f x dx f x dx.
Ch n đáp án C.
Câu 3: Kí hi u S là di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ
th hàm s y f x , y g x và hai đ ng th ng x a , x b
y
f(x)
nh hình v bên. Kh ng đ nh nào sau đây đúng
A. S
b
b
g x dx f x dx .
a
a
b
b
a
a
b
(H)
b
B. S f x dx g x dx.
a
a
b
b
a
a
g(x)
x
D. S f x dx g x dx.
C. S g x dx f x dx.
L i gi i: (Ch n B)
G i S1 là di n tích hình ph ng đ
a
O
b
c gi i h n b i y f x , Ox và hai đ
ng th ng
c gi i h n b i y g x , Ox và hai đ
ng th ng
b
x a; x b S1 f x dx.
a
G i S2 là di n tích hình ph ng đ
b
x a; x b S2 g x dx.
a
b
b
a
a
V y S S1 S2 f x dx g x dx.
Câu 4: Kí hi u S là di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ th hàm s y f x , y g x và
ng th ng x a , x b nh hình v bên. Kh ng đ nh nào sau đây đúng
hai đ
c
b
a
c
A. S g x f x dx f x g x dx.
f(x)
y
g(x)
b
B. S f x g x dx .
a
c
(H)
b
C. S f x g x dx g x f x dx.
a
D. S
c
c
a
x
b
f x dx g x dx .
O
c
L i gi i:
G i S1 là di n tích hình ph ng đ
a
c
b
c gi i h n b i y f x , y g x và hai đ
ng th ng
c gi i h n b i y f x , y g x và hai đ
ng th ng
c
x a; x c S1 f x g x dx.
a
G i S2 là di n tích hình ph ng đ
b
x c; x b S2 g x f x dx.
c
c
b
a
c
V y S S1 S2 f x g x dx g x f x dx.
Biên t p: Ng c Huy n LB (facebook.com/huyenvu2405)
The best or nothing
Lê Bá B o
Giáo viên chuyên luy n thi THPT qu c gia TP Hu
Ch n đáp án C.
Câu 5: Kí hi u S là di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ th hàm s y f x x 4 2 x 2 và
tr c hoành nh hình v bên. Kh ng đ nh nào sau đây sai?
2
y
B. S 2 f x dx.
f x dx.
A. S
2
2
f(x)
0
2
C. S 2 f x dx.
D. S
0
2
0
f x dx
2
O
- 2
f x dx.
2
x
0
L i gi i:
Hình ph ng đ i x ng qua Oy nên S
2
f x dx 2
2
0
2
2
f x dx 2 f x dx.
0
Ch n đáp án B.
Câu 6: Kí hi u S là di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s
y
x g y , tr c tung và hai đ
b
ng th ng y a, y b nh hình v bên.
Kh ng đ nh nào sau đây đúng
g(y)
(H)
b
a
b
a
b
a
A. S g y dx. B. S g y dy. C. S g y dy. D. S
b
g y dx .
a
a
x
O
L i gi i:
D a vào n i dung
b
nghĩa c a tích phân ta có k t qu : S g y dy.
a
Ch n đáp án C.
Câu 7: Kí hi u S là di n tích hình ph ng gi i
x f y , x g y
h n b i các đ th hàm s
và hai đ
ng th ng y a, y b nh
b
a
c
b
hình v
bên. Kh ng đ nh nào sau đây đúng
c
y
A. S g y f y dx f y g y dx.
g(y)
f(y)
c
a
x
O
b
B. S f y g y dy .
a
c
b
a
c
C. S g y f y dy f y g y dy.
b
D. S f y g y dy .
a
L i gi i:
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115...
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên đ tích phân ng d ng
Lê Bá B o
G i S1 là di n tích hình ph ng đ
c gi i h n b i x f y , x g y và hai đ
ng th ng
c gi i h n b i x f y , x g y và hai đ
ng th ng
c
y a; y c S1 g y f y dy.
a
G i S2 là di n tích hình ph ng đ
b
y c; y b S2 f y g y dy.
c
c
b
a
c
V y S S1 S2 g y f y dy f y g y dy.
Ch n đáp án C.
x
x
Câu 8: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ ng y e ; y e ; x 1.
e 2 2e 1
e 2 2e 1
e 2 2e 1
e 2 2e 1
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
e
e
e
e
L i gi i:
Ph ng trình hoành đ giao đi m: e x e x x 0.
1
S e e
x
x
dx
0
1
e
x
e x dx e x e x
0
1
0
e e 1 2
e 2 2e 1
.
e
Ch n đáp án B.
Câu 9: Di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ
ng y x2 4x 1 , y m, (m 3) , x 0, x 3 là:
B. 3m 6 .
A. 3m 6 .
C. 3m 6 .
D. 3m 6 .
L i gi i:
Ta có: x2 4x 1 x 2 3 3, x
2
3
x3
Do đó S x 4 x 1 m dx 2 x2 x mx 6 3m .
3
0
0
Ch n đáp án D.
3
2
Câu 10: G i S là di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ
ng y x2 2x 1 , y m, (m 2) ,
x 0, x 1 . Tìm m sao cho S 48 :
A. m 4 .
B. m 6 .
C. m 8 .
D. m 10 .
L i gi i:
Ta có: x2 2x 1 x 1 2 2, x
2
3
x3
Do đó S m x 2x 1 dx mx x2 x 3m 24 .
3
0
0
S 48 3m 24 48 m 8
Ch n đáp án C.
3
2
Câu 11: Di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ
x m , 0 m 3 b ng:
A.
m 3 3m 2
.
3
2
B.
m 3 3m 2
.
3
2
C.
ng y x2 2x 1 , y x 1 , x 0,
m3 m2
2m .
3
2
D.
m3 m2
2m .
3
2
L i gi i:
Ta có: x 2 3x 0, x 0; m . Vì 0 m 3
Biên t p: Ng c Huy n LB (facebook.com/huyenvu2405)
The best or nothing
Lê Bá B o
Giáo viên chuyên luy n thi THPT qu c gia TP Hu
m
m
Do đó S x 3x dx
2
0
0
m
x 3 3x 2
3m2 m3
.
x 3x dx
2 0
2
3
3
2
Ch n đáp án B.
Câu 12: Di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ
x m , m 0 b ng
A. 3 .
5
Khi đó giá tr m b ng:
6
B. 2 .
ng y x2 2x 1 , y x 1 , x 0,
D. 4 .
C. 1 .
L i gi i:
Ta có: x 2 x 0, x m; 0 .
0
0
Do đó S x x dx
2
m
m
0
x3 x2
m2 m3
.
x x dx
2
3
3 2 m
2
m2 m3 5
5
m 1
6
2
3
6
Ch n đáp án C.
S
Câu 13: Hình ph ng gi i h n b i đ
A.
ng elip ( E) : x2 16 y2 16 có di n b ng.
B. 2
D. 4
C. 3
L i gi i:
4
S 4
0
y
16 x 2 dx
16 x 2 dx
4
0
4
Đ t x 4 sin t , t ; dx 4 cos tdt .
2 2
Đ i c n: x 0 t 0; x 4 t
2
S
0
4
16 x2
y
1
4
x
4
1
2
1
2
16 16 sin t .4 cos tdt 16 cos tdt 8 1 cos 2 t dt 8 t sin 2t 4 .
2
0
0
0
2
2
2
2
Ch n đáp án C.
Câu 14: Hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s
y x3 , tr c Ox và đ
ng th ng x 2 có di n
tích là
C. S 4 .
A. S 1 .
B. S 16 .
L i gi i:
Ph ng trình x3 0 x 0 .
0
Di n tích hình ph ng: S
2
0
x dx x 3dx
3
2
D. S 4 .
x4 0
4.
4 2
Ch n đáp án C.
Câu 15: Hình ph ng gi i h n b i đ
x
th hàm s
y 1
1
, tr c Ox và hai đ
x2
ng th ng
1
, x 2 có di n tích là
2
A. S 5 .
B. S
5
.
2
C. S 2 .
D. S 1 .
L i gi i:
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115...
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên đ tích phân ng d ng
Lê Bá B o
2 x2 1
1 2
2 2
x 1
x 1
1
d
d
dx
x
x
Di n tích hình ph ng: S 1 2 dx
2
2
x
x
x
x2
1
1
1
1
2
2
2
2
1
2
1
1
1
1 2
1 2 dx 1 2 dx x 1 x 1 .
x
x 1
x
x
1
1
2
2
Ch n đáp án D.
1
Câu 16: Hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s y x3 2x và đ
ng th ng 2x y 0 có di n tích
là
A. S 8 .
B. S 4 .
C. S 2 .
L i gi i:
Gi i ph ng trình x3 2x 2x x 0 x 2 x 2.
2
Di n tích hình ph ng: S
x
3
2
4 x dx
0
x
3
2
D. S 16 .
2
4 x dx 4 x x3 dx 4 4 8 .
0
Ch n đáp án A.
Câu 17: Hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s y
x khi x 1
10
x x 2 và y
, có di n tích
3
x 2 khi x 1
là
A. S 13 .
B. S
15
.
2
C. S
13
.
2
D. S 7 .
L i gi i:
Tìm hoành đ các giao đi m:
10
10
x x 2 x x 0;
x x 2 x 2 x 3.
3
3
D a vào đ th (hình bên) di n tích hình ph ng c n tìm
1
3
10
10
2
là S x x x dx x x 2 x 2 dx
3
3
0
1
13
(đ v d t)
2
Ch n đáp án C.
3x 1
, Ox , Oy là
x 1
4
4
C. S 4 ln 1 .
D. S 4 ln 2 .
3
3
Câu 18: Di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ
4
4
A. S 4 ln 1 .
B. S 4 ln .
3
3
L i gi i:
3x 1
1
0x . V y S
Xét ph ng trình
x 1
3
ng y
0
1
3
3 x 1
4
dx 4 ln 1 (đ v d t).
x 1
3
Ch n đáp án C.
Câu 19: Di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ
a; b
a
ng y x2 4 x 3 , y x 3 là S ;
b
; a 0 ;
a
là phân s t i gi n. Kh ng đ nh nào sau đây là đúng
b
b2
25
A. b a 103 0.
B. ba 654 0.
C.
D. b a3 107 0.
a 109
Biên t p: Ng c Huy n LB (facebook.com/huyenvu2405)
The best or nothing
Lê Bá B o
Giáo viên chuyên luy n thi THPT qu c gia TP Hu
L i gi i:
x 3 0
ng trình x 4 x 3 x 3 x 2 4 x 3 x 3 x 0 x 5.
x2 4x 3 x 3
Xét ph
2
5
V y S x 2 4 x 3 x 3 dx
0
x
5
2
4 x 3 x 3 dx
0
109
a 109; b 6 b a 3 107 0.
6
Ch n đáp án D.
x2
x2
Câu 20: Hình ph ng (H) gi i h n b i các đ th y 4 , y
(hình v bên). Kh ng đ nh nào sau
4
4 2
đây đúng
y
x
x
x
x
dx.
B.
d
2
S
4
4
.
x
0 4 2
4 2
4
4
2
2
2 2
2 2
2
2
2
2
x
x
x
x
dx.
C. S
4 dx. D. S 4
4
4 4 2
2
2
2 2 4 2
A. S 2
2 2
2
0
2
2
(P)
2
2
2
(E)
x
-4
O
-2 2
2 2
L i gi i:
Ta có:
4
2 2
x2
x2
x2
x2
dx.
; x 2 2; 2 2 S 4
4 4 2
4
4
2
2 2
Ch n đáp án D.
Câu 21: (Đ th nghi m 2017) Ông An có m t m nh v n hình
elip có đ dài tr c l n b ng 16m và đ dài tr c bé b ng 10m .
Ông mu n tr ng hoa trên m t d i đ t r ng 8m và nh n tr c bé c a
elip làm tr c đ i x ng nh hình v ). Bi t kinh phí đ tr ng hoa
là 100.000 đ ng/ 1m2 . H i ông An c n bao nhiêu ti n đ tr ng
8m
hoa trên d i đ t đó S ti n đ c làm tròn đ n hàng nghìn).
A. 7.862.000 đ ng.
B. 7.653.000 đ ng. C. 7.128.000 đ ng. D. 7.826.000 đ ng.
L i gi i: (Ch n B)
x2 y 2
Gi s elip có ph ng trình 2 2 1 . T gi thi t ta có 2a 16 a 8 và 2b 10 b 5
a
b
5
y
64 y 2 E1
2
2
y
x
8
1
V y ph ng trình c a elip là
64 25
y 5 64 y 2 E
1
8
Khi đó di n tích d i v n đ c gi i h n b i các đ ng E1 ; E2 ; x 4; x 4 và di n tích c a
d iv
4
4
5
5
64 x2 dx 64 x2 dx.
8
20
4
n là S 2
Tính tích phân này b ng phép đ i bi n x 8 sin t ta đ
3
c S 80
.
6 4
3
Khi đó s ti n là T 80
.100000 7652891,82 7.653.000 .
6 4
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115...
CLB Giáo viên tr TP Hu
4
Chuyên đ tích phân ng d ng
Lê Bá B o
IV. BÀI T P TR C NGHI M T
LUY N Đăng k
ngochuyenlb.gr8.com đ nh n Đáp án
Câu 1: Cho hai hàm s y f x , y g x liên t c trên đo n a; b có đ th l n l t là C1 , C 2
Di n tích S c a hình ph ng gi i h n b i hai đ th C1 , C 2 và hai đ ng th ng
x a , x b a b b ng
b
b
a
b
b
a
a
a
C. S g x dx f x dx .
Câu 2: Cho hai hàm s
b
B. S f x dx g x dx .
A. S f x g x dx .
D. S
a
b
1
f x g x dx .
2 a
y f x , y g x liên t c trên đo n a; b , c a; b . G i S là di n tích
c a hình ph ng gi i h n b i đ th hai hàm s y f x , y g x và hai đ
ng th ng x a , x b
Công th c nào sau đây sai?
b
A. S g x f x dx .
B. S
b
f x g x dx .
a
a
b
c
b
a
c
D. S f x g( x) dx f x g( x) dx .
C. S f ( x) g( x) dx .
a
Câu 3: Di n tích S c a hình ph ng gi i h n b i đ th 3 bàm s hàm s y f x , y g x , y h x
ph n g ch chéo hình bên d
b
iđ
c tính b i công th c là:
c
A. S g x f x dx h x f x dx .
a
b
b
c
y g x
y
a
O
y f x
B. S f x h x dx f x g x dx .
a
b
b
c
C. S g x h( x) dx g x f ( x) dx .
a
b
b
c
a
b
b
c
x
y h x
D. S f x g( x) dx f x h( x) dx .
Câu 4: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ
ng y ln x, y 0, x e
1
1
1
(đ v d t).
B. (đ v d t).
C. (đ v d t).
D. 1 (đ v d t).
2
3
4
Câu 5: Di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ ng y x2 2x 2 , y m, m 1 , x 0, x 3 là
A.
A. 3m 6 (đ v d t).
B. 3m 6 (đ v d t).
Câu 6: Hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s
C. 3m 6 (đ v d t).
D. 3m 6 (đ v d t).
2
y x , tr c Oy , tr c Ox và đ ng th ng x 3
có di n tích là
A. S 1 (đ v d t).
B. S 16 (đ v d t).
C. S 9 (đ v d t).
D. S 4 (đ v d t).
Câu 7: Cho Parabol P : y x 2 và ti p tuy n c a P t i đi m
A 1;1 có ph
ng trình y 2x 1. Di n tích c a ph n bôi đ m
nh hình v là
1
5
A.
đ v d t B.
đvdt
3
3
C. 2 đ v d t D.
8
đvdt
3
Biên t p: Ng c Huy n LB (facebook.com/huyenvu2405)
The best or nothing
Lê Bá B o
Giáo viên chuyên luy n thi THPT qu c gia TP Hu
f x liên t c trên đo n a; b . Di n tích c a hình thang cong gi i h n b i đ
f x , tr c hoành và hai đ ng th ng x a , x b a b b ng
Câu 8: Cho hàm s
th hàm s
b
A.
b
f x dx.
B.
b
a
a
b
C. f 2 x dx.
f x dx .
D.
Câu 9: Hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s
f x dx.
a
a
y x , tr c Oy , tr c Ox và đ
ng th ng x 2
3
có di n tích là
A. S 1 (đ v d t).
B. S 16 (đ v d t).
C. S 4 (đ v d t).
D. S 4 (đ v d t).
Câu 10: Cho hình ph ng H gi i h n b i đ th hàm s y x 2 x và tr c Ox . Kh i tròn xoay
t o thành khi quay hình ph ng H quanh tr c Ox có th tích là
16
4
512
đvtt
B. V
đvtt
C. V
đ v t t D. V
đvtt
15
3
15
5
Câu 11: Di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hai hàm s y x3 6x và
A. V
y x2 (hình bên) b ng
0
x
A. S
3
2
C. S
3
6x x dx. B. S
2
Câu 12: Cho hàm s
x
3
6x x2 dx.
2
x2 x3 6x dx. D. S
2
3
0
x 3 6 x x 2 dx
2
3
x
6 x x 2 dx .
3
0
f x liên t c trên đo n a; b , f x 0, x a; b . G i
S là di n tích c a hình thang cong gi i h n b i đ th hàm s
f x , tr c hoành
ng th ng x a , x b a b . Kh ng đ nh nào sau đây sai?
và hai đ
b
A. S f x dx.
b
B.
f x dx .
a
a
b
b
C. S f x dx.
D.
a
f x dx.
a
Câu 13: Di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ th hàm s y x x 3 và y 2 x 1 là
2
1
1
5
3
(đ v d t).
B. S (đ v d t).
C. S (đ v d t).
D. S (đ v d t).
7
6
8
6
Câu 14: Di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ th hàm s y sin x, y 0, x 0 và x là
A. S
A. S 4 (đ v d t).
B. S 2 (đ v d t).
C. S 4 (đ v d t).
D. S (đ v d t).
Câu 15: Cho hàm s f x liên t c trên đo n a; b . Di n tích c a hình thang cong gi i h n b i đ
th hàm s f x , tr c hoành và hai đ ng th ng x a , x b a b b ng
b
A.
b
f x dx.
B.
f x dx .
a
a
b
C. f
2
x dx.
D.
f x dx.
a
a
Câu 16: Di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hai hàm s
hình bên đ
b
1
y ln x , x , x e và tr c hoành
e
c tính theo công th c
e
1
e
1
e
1
B. ln xdx ln xdx.
A. ln xdx.
1
e
1
e
1
e
1
C. ln xdx ln xdx.
e
D.
ln xdx .
1
e
Câu 17: Di n tích c a hình ph ng ph n g ch chéo trong hình d
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115...
iđ
c tính b i công th c:
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên đ tích phân ng d ng
c
A.
a
d
b
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx.
c
B.
Lê Bá B o
c
d
d
b
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx.
a
c
d
c
d
b
a
c
d
C. f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx.
b
D.
f ( x)dx.
a
Câu 18: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ
ng y e x , y e x , x 1 .
e 2 2e 1
e 2 2e 1
e 2 2e 1
e 2 2e 1
.
.
.
.
B.
C.
D.
e
e
e
e
Câu 19: Di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ ng y x2 2x 1 , y x 1 , x 0, x k , k 0
A.
5
Khi đó giá tr k b ng:
6
A. 3 .
B. 2 .
Câu 20: Hình ph ng gi i h n b i đ
b ng
C. 1 .
D. 4 .
2
2
ng elip ( E) : x 4 y 4 có di n b ng.
A. .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Câu 21: Di n tích hình thang cong gi i h n b i đ th hàm s y x2 2, tr c hoành và hai đ
ng
th ng x 0 và x 1 là
2
A.
x
2
2 dx .
0
B.
0
x
2
1
2 dx .
C.
x
2
2 dx .
D. 2.
0
1
Câu 22: Hình ph ng gi i h n b i đ th hai hàm s y 2x x2 , y x khi quay quanh tr c Ox t o
thành kh i tròn xoay có th tích là
1
1
B. 2x x
A. x dx .
2
0
2
2
1
dx .
C. x x
2
2
1
dx .
0
0
0
D. 2 x x
2
1
dx x dx.
2
2
0
Câu 23: Di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hai hàm s y x 2 và y 3x là:
2
7
.
2
Câu 24: Di n tích c a hình ph ng gi i h n b i y ln x, y 0, x e là
A. 2 .
B. 3 .
C.
A. 2
B. 1 .
Câu 25: Gi s hình ph ng t o b i các đ
S1 . Còn hình ph ng t o b i các đ
D.
1
.
6
C. 5 .
D. 4 .
ng cong y f ( x), y g( x), x a, x b có di n tích là
ng cong y 2 f ( x), y 2 g( x), x a, x b có di n tích là S2 .
Trong các kh ng đ nh sau, kh ng đ nh nào đúng
A. S2 4S1 .
B. S2 S1 .
C. 2S2 S1 .
Câu 26: Cho đ th hàm s y f x . Di n tích hình ph ng
D. S2 2S1 .
(ph n tô đ m trong hình bên) là
4
A.
1
f x dx .
B.
0
C.
3
3
3
0
3
4
0
f x dx f x dx . D.
4
f x dx f x dx .
1
4
f x dx f x dx .
0
Câu 27: Di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ
Biên t p: Ng c Huy n LB (facebook.com/huyenvu2405)
ng cong y x3 và y x5 b ng
The best or nothing
Lê Bá B o
Giáo viên chuyên luy n thi THPT qu c gia TP Hu
1
.
6
Câu 28: Di n tích hình ph ng n m trong góc ph n t th nh t, gi i h n b i đ
B. 4 .
A. 0.
C.
D. 2.
ng th ng y 4 x
và đ th hàm s y x3 là:
A. 4.
B. 5.
Câu 29: Cho đ
C. 3.
D. 3,5.
ng cong C : y x . G i d là ti p tuy n c a C t i đi m M 4, 2 Khi đó di n
tích c a hình ph ng gi i h n b i C ; d và Ox là
22
8
2
16
.
B. .
C.
.
D.
.
3
3
3
3
Câu 30: Vi t công th c tính di n tích S c a hình ph ng gi i h n b i đ th c a hai hàm s
y f ( x), y g( x) và các đ ng th ng x a, x b là
A.
b
b
B. S f ( x) g( x) dx.
A. S f ( x) g( x) dx.
a
a
b
b
C. S f ( x) g( x) dx.
D. S f ( x) g( x) dx.
a
2
a
Câu 31: Di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s y x2 và đ
ng th ng y 2 x là:
4
3
5
23
.
.
B. .
C. .
D.
2
3
3
15
Câu 32: Di n tích mi n D đ c gi i h n b i hai đ ng: y 2x2 và y 2 x 4 là
A.
3
.
B. 9.
13
Câu 33: Di n tích hình ph ng đ
A.
1
13
.
D. .
9
3
2
c gi i h n b i đ th c a hàm s y x , tr c hoành và hai đ
C.
ng
th ng x 1, x 3 là
28
28
1
1
dvdt .
dvdt .
A.
B.
C. dvdt .
D. dvdt .
9
3
3
5
2
Câu 34: Di n tích hình ph ng đ c gi i h n b i đ ng y x x 3 và đ ng th ng y 2 x 1 là
7
1
1
dvdt .
B. dvdt .
C. dvdt .
D. 5 dvdt .
6
6
6
Câu 35: Di n tích c a hình ph ng gi i h n b i C : y x 2 và d : x y 2 b ng
A.
7
9
11
13
.
.
.
B. .
C.
D.
2
2
2
2
Câu 36: Di n tích c a hình ph ng gi i h n b i C1 : y x 2 và C2 : y x b ng
A.
2
4
5
.
B. .
C. .
3
3
3
Câu 37: Tính di n tích hình ph ng S gi i h n b i đ th hàm s
A.
1
.
3
y x3 3x 2 và đ th hàm s
D.
y x 2 .
A. S 8
B. S 4
C. S 16
D. S 2
Câu 38: Xét hai phát bi u:
(1) cho y1 f1 x và y2 f2 x là hai hàm s liên t c trên đo n a; b . Gi s :
và , v i a b , là các nghi m c a ph ng trình f1 x f2 x 0 Khi đó di n tích c a
hình ph ng gi i h n b i đ
ng th ng và đ th đ
b
a
c cho b i công th c:
S f1 x f2 x dx f1 x f 2 x dx f1 x f 2 x dx
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115...
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên đ tích phân ng d ng
Lê Bá B o
C)ng v i gi thi t nh
S
nh ng
b
f x f x dx f x f x dx f x f x dx
1
2
1
2
1
2
a
Ch n đáp án đúng
A.
đúng nh ng
sai.
B.
đúng nh ng
sai.
C. C
và
đ u đúng.
D. C
và
đ u sai.
Câu 39: Tính di n tích hình ph ng S gi i h n b i đ th hàm s y x3 3x 2 và đ th hàm s
y x 2 .
A. S 8
B. S 4
C. S 16
D. S 2
Câu 40: Vi t công th c tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s y x2 1 , tr c hoành,
tr c tung và đ
ng th ng x 2 .
2
A. S x 2 1 dx .
B. S
0
x
2
0
2
1 dx .
2
C. S x 2 1 dx .
1
1
D. S x 2 1 dx .
1
Câu 41: Di n tích gi i h n b i đ th hai hàm s : y x2 1, y x 3 b ng:
A. 3.
B. 4.
C.
9
.
2
D. 5.
Câu 42: G i là di n tích c a hình ph ng gi i h n b i các đ
ng y
cos x sin x
3 sin 2 x
; x 0; x
2
và
tr c Ox. Tìm giá tr c a cos .
3
2
.
C. 0.
D.
.
2
2
nghĩa hình h c c a tích phân, hãy tìm kh ng đ nh sai trong các kh ng đ nh
1
.
2
Câu 43: D a vào
sau:
A.
B.
1
1
0
0
A. ln 1 x dx
x 1
dx
e 1
4
4
0
0
B. sin 2 xdx sin 2 xdx .
2
2
3
1 x
dx .
C. e x dx
D. e x dx e x dx .
1 x
0
0
0
0
Câu 44: Kí hi u S là di n tích hình thang cong gi i h n b i đ th c a
hàm s liên t c y f x , tr c hoành và hai đ ng th ng x a , x b
1
1
1
1
nh trong hình v bên. Kh ng đ nh nào sai?
b
A. S f x dx.
a
b
C. S f x dx.
a
b
B. S f x dx.
a
D. S
b
f x dx .
a
Câu 45: Hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s
y x3 , tr c Oy , tr c Ox và đ
ng th ng x 2
có di n tích là S . Kh ng đ nh nào sau đây đúng
1
A. tan 1.
B. sin .
C. tan 1.
D. tan 3.
S
S
S
S 2
Câu 46: Kí hi u S là di n tích hình thang cong gi i h n b i đ th c a hàm s liên t c y f x ,
tr c hoành và hai đ
ng th ng x a , x b nh trong hình v bên. Kh ng đ nh nào đúng
Biên t p: Ng c Huy n LB (facebook.com/huyenvu2405)
The best or nothing
Lê Bá B o
Giáo viên chuyên luy n thi THPT qu c gia TP Hu
b
b
b
C. S f x dx.
B. S f x dx.
A. S f x dx.
a
a
a
Câu 47: Di n tích S c a hình ph ng H gi i h n b i đ th c a hàm s
t c và hai đ
ng th ng x a , x b đ
b
A. S f x g x dx .
B. S
b
a
a
b
f x dx .
D. S
a
y f x , y g x liên
c tính theo công th c
b
b
b
a
a
a
f x g x dx .C. S f x g x dx . D. S f x dx g x dx .
Câu 48: Di n tích hình ph ng H gi i h n b i đ th hàm s
y
1
, tr c hoành và hai đ
x2
ng
th ng x 1, x 2 b ng
1
1
A. .
B. 4 .
C. .
D. 2 .
6
2
Câu 49: Di n tích hình ph ng H gi i h n b i các đ ng y x2 ; y x 2 b ng
9
15
9
15
.
B.
.
C. .
D. .
2
2
2
2
x
Câu 50: Hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s y e , tr c Oy , tr c Ox và đ ng th ng x 1
A.
có di n tích là
A. S 1 . B. S e 1 .
C. S e .
D. S e 1 .
Câu 51: Hình ph ng B gi i h n b i đ th hàm s đ c cho b i hình bên d
ph ng B b ng
A. S
1
2x
2
B. S
1
2
2
3
4
i. Di n tích hình
4 x 6 dx 2 x 4 x 6 dx 2 x 2 4 x 6 dx.
1
3
2
3
4
2 x2 4 x 6 dx 2 x 2 4 x 6 dx 2 x 2 4 x 6 dx.
1
1
3
3
4
C. S 2 x 4 x 6 dx 2 x 4 x 6 dx 2 x 2 4 x 6 dx.
2
D. S
1
2
2
1
3
2
3
4
2 x2 4 x 6 dx 2 x 2 4 x 6 dx 2 x 2 4 x 6 dx.
1
3
Câu 52: Hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s y x3 3x 2 , tr c Oy , tr c Ox và đ
x 1 có di n tích là
7
A. S .
4
B. S
1
.
4
C. S
5
.
4
D. S
ng th ng
7
.
4
Câu 53: Di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th (hình bên) b ng
9
3
9
9
A. S 1.
B. S ln 3 . C. S ln 3 4. D. S ln 3 2.
2
2
2
2
Câu 54: Di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s y x sin x và y x 0 x 2 b ng
A. 4.
B. 4.
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115...
C. 0.
D. 1.
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên đ tích phân ng d ng
Lê Bá B o
Câu 55: Di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s
y x2 4x 3 và y x 3 có k t qu
a
(là phân s t i gi n Khi đó a 2b b ng
b
A. 67.
B. 121.
C. 136.
D. 217.
Câu 56: (Đ th nghi m 2017) Cho hình thang cong H gi i h n b i các
d ng
đ
H
ng y e x , y 0 , x 0 , x ln 4 Đ
y
ng th ng x k (0 k ln 4) chia
thành hai ph n có di n tích là S1 và S2 nh hình v bên. Tìm k đ
S1 2S2 .
2
8
ln 4 .
B. k ln 2 .
C. k ln .
D. k ln 3 .
3
3
Câu 57: (Chuyên Qu c H c_Hu L n 1) Trong m t ph ng t a đ Oxy xét
A. k
hai hình H 1 , H 2 đ
c xác đ nh:
S2
S1
x
O
k
ln 4
H1 M( x; y )|log 1 x 2 y 2 1 log( x y) , H 2 N ( x; y )|log 2 x 2 y 2 2 log( x y) .
G i S1 , S2 l n l
t là di n tích c a các hình H 1 , H 2 . Tính t s
S2
.
S1
A. 99.
B. 101.
C. 102.
D. 100.
Câu 58: (Đ minh h a 2017) Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s
y x3 x và
đ th hàm s y x x2 .
37
9
81
.
B. .
C.
.
D. 13 .
12
12
4
Câu 59: (T p chí THTT Đ 04/2017) Di n tích c a hình ph ng gi i h n b i các đ
ln x
x 1, x e , y 0, y
b ng:
2 x
A.
ng
A. 3 e .
B. 2 e .
C. 2 e .
D. e 3 .
Câu 60: (T p chí THTT Đ 03/2017) Di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s y 2x2 x4
và tr c hoành là:
A.
8 2
.
15
Đáp án s đ
B.
c g i vào
16 2
.
15
h ngày
C. 4 2.
D. 2 2.
các em vui lòng đăng k t i đ nh n)
Biên t p: Ng c Huy n LB (facebook.com/huyenvu2405)
The best or nothing
Lê Bá B o
Giáo viên chuyên luy n thi THPT qu c gia TP Hu
ng d ng 2:
TÍNH TH TÍCH V T TH
I. LÝ THUY T
Bài toán 1: Tính th tích c a v t th
Cho m t v t th trong không gian v i h t a đ Oxyz
G i B là ph n c a v t th gi i h n b i hai m t ph ng
vuông góc v i tr c Ox t i các đi m a và b . G i S x
là di n tích thi t di n c a v t th b c t b i m t ph ng
vuông góc v i tr c Ox t i đi m có hoành đ
x a x b (hình bên). Gi s S S x là m t hàm
liên t c trên a; b .
b
V S x dx
Khi đó th tích V c a B là
(5)
a
* S d ng công th c
ta tìm đ c công th c m t s v t th quen thu c trong hình h c nh
1) Th tích kh i chóp c t: Cho kh i chóp c t có chi u cao h , di n tích đáy nh và đáy l n theo th
h
t là S0 , S1 . Th tích V là: V S0 S0S1 S1
.
3
2) Nh n xét: Kh i chóp đ c coi là kh i chóp c t có S0 0. Vì v y, th tích kh i chóp có chi u cao
hS
.
3
3) Th tích kh i lăng tr : Kh i lăng tr có chi u cao h và di n tích đáy S có th tích là: V hS
.
Bài toán 2: Tính th tích kh i tròn xoay
M t hình ph ng quay quanh m t tr c nào đó t o nên m t kh i tròn xoay.
D ng 1: (Hình ph ng quay quanh Ox) Cho hình ph ng đ c
y
f(x)
gi i h n b i đ th hàm s y f x liên t c trên a; b , tr c
h và di n tích đáy S là:
Ox và hai đ
V
ng th ng x a , x b quanh tr c Ox ta đ
b
kh i tròn xoay có th tích là:
Vx f
2
x dx
c
x
O
(6)
a
b
a
D ng 2: (Hình ph ng quay quanh Oy) Cho hình ph ng đ
gi i h n b i đ th hàm s
Oy và hai đ
c
x g y liên t c trên a; b , tr c
ng th ng y a, y b quanh tr c Oy ta đ
y
b
c
g(y)
b
kh i tròn xoay có th tích là:
Vy g 2 y dy
(7)
a
a
x
O
D ng 3: Th tích kh i tròn xoay có đ
c khi quay nhi u đ th hàm s quanh m t tr c.
Ta ti n hành chia ph n th tích V thành các ph n th tích thành ph n V1 , V2 ,... mà m i
ph n đ
c tính b ng các công th c (6), (7).
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115...
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên đ tích phân ng d ng
Lê Bá B o
Minh h a các d ng th
ng g p:
g x f x , x a; b .
f x g x , x a; b .
y
y
f(x)
g(x)
g(x)
O
f(x)
x
a
O
b
x
a
b
b
x g x dx
V g 2 x f 2 x dx
f y g y , y a; b .
g y f y , y a; b .
b
V f
2
2
a
a
y
y
b
b
f(y)
f(y)
g(y)
g(y)
a
a
x
x
O
O
b
y g y dy
V g 2 y f 2 y dy
f x g x , x a; c ;
f x h x , x a; c ;
g x f x , x c ; b .
g x h x , x c ; b .
b
V f
2
2
a
a
y
y
f(x)
g(x)
f(x)
g(x)
h(x)
x
O a
c
x
b
O
a
c
b
c
b
c
b
a
c
a
c
V f 2 x g 2 x dx g 2 x f 2 x dx V f 2 x h 2 x dx g 2 x h 2 x dx
Biên t p: Ng c Huy n LB (facebook.com/huyenvu2405)
The best or nothing
Lê Bá B o
Giáo viên chuyên luy n thi THPT qu c gia TP Hu
II. BÀI T P TR C NGHI M MINH H A:
Câu 1: Th tích kh i tròn xoay do ph n hình ph ng S trong hình v d
b ng công th c:
i quanh tr c Ox đ
b
c tính
A. V f1 ( x) f2 ( x) dx
2
a
b
B. V f1 ( x) f2 ( x) dx
2
a
b
C. V f12 ( x) f22 ( x)dx
a
b
D. V f1 ( x) f2 ( x)dx
a
L i gi i
b
Ta có: f1 x f2 x 0; x a; b V f12 ( x) f22 ( x) dx.
a
Ch n đáp án C.
Câu 2: Cho hình ph ng gi i h n (H nh hình v bên. Th tích kh i tròn xoay sinh ra khi quay
hình ph ng (H) quanh tr c Ox là
b
A. V f
2
b
B. V g 2 x f 2 x dx.
x g x dx.
2
f(x)
y
a
a
(H)
g(x)
c
b
C. V f 2 x g 2 x dx g 2 x f 2 x dx.
a
x
O
c
c
D. V g x f
2
a
c
b
b
2
a
x dx f x g x dx.
2
2
c
L i gi i
Ta có: f x g x 0; x a; c ; g x f x 0; x c ; b
c
b
a
c
V f 2 x g 2 x dx g 2 x f 2 x dx.
Ch n đáp án C.
Câu 3: Cho hình ph ng gi i h n (H nh hình v bên. Th tích kh i tròn xoay sinh ra khi quay
hình ph ng (H) quanh tr c Oy là
b
A. V g 2 y f 2 y dx.
a
b
B. V f 2 y g 2 y dy.
y
b
f(y)
a
g(y)
a
C. V g y f
2
2
y dy.
b
b
D. V f
2
y g y dy.
a
x
2
O
a
L i gi i
a
Ta có: g y f y 0; y a; b V g 2 y f 2 y dy.
b
Ch n đáp án C.
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115...
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên đ tích phân ng d ng
Lê Bá B o
Câu 4: Cho hình ph ng H gi i h n b i đ th hàm s
y x 2 x và tr c Ox . Kh i tròn xoay
t o thành khi quay hình ph ng H quanh tr c Ox có th tích là
A. V
4
.
3
B. V
16
.
15
512
.
15
C. V
D. V
5
.
L i gi i
Ph ng trình x 2 x 0 x 0 ho c x 2 .
2
2
Th tích kh i tròn xoay: V x 2 x dx x2 x 2 4x 4 dx
2
2
0
0
2
x5
4 x 3 2 16
.
x 4 4 x 3 4 x 2 dx x 4
3 0 15
5
0
Ch n đáp án B.
Câu 5: Cho hình ph ng H gi i h n b i đ th hàm s
1
, tr c Ox và hai đ ng th ng
x
x 1, x 2 . Kh i tròn xoay t o thành khi quay hình ph ng H quanh tr c Ox có th tích là
A. V
7
.
3
C. V
B. V ln 2 .
2
y
D. V .ln 2 .
.
L i gi i
2
Th tích kh i tròn xoay: V
1
Ch n đáp án C.
Câu 6: Cho hàm s
1
2
dx
.
2
x1
2
2
x
C , kh
y 4 x4 có đ th
i tròn xoay t o thành khi quay hình ph ng gi i
h n b i C và tr c Ox , quanh tr c Oy có th tích là
A. V
C. V
32
.
3
16
.
3
16 2 4 2
V
D.
3
B. V
1024 2
.
45
3
2
.
L i gi i:
Do tính đ i x ng nên th tích c n tìm b ng th tích kh i tròn xoay t o
thành khi quay hình ph ng gi i h n b i đ
tr c Oy và hai đ
ng cong x 4 4 y ,
ng th ng y 0, y 4 quanh tr c Oy .
4
4
0
0
1
V 4 y dy 4 y 2 dy
3
4 16
2
4 y2
.
0
3
3
Ch n đáp án B.
Câu 7: Cho hàm s y x 2 có đ th
2
h n b i C , tr c Ox , tr c Oy và đ
33
.
5
32
C. V
.
5
A. V
C , kh
i tròn xoay t o thành khi quay hình ph ng gi i
ng th ng x 3 có th tích là
34
.
5
33
D. V
.
5
B. V
Biên t p: Ng c Huy n LB (facebook.com/huyenvu2405)
The best or nothing
Lê Bá B o
Giáo viên chuyên luy n thi THPT qu c gia TP Hu
L i gi i:
Ta có:
2
33
đvtt
V x 2 dx
5
0
3
2
Ch n đáp án D.
Câu 8: Th tích kh i tròn xoay sinh b i khi quay hình ph ng gi i h n b i các đ th hàm s
y 2x x2 , y x quanh tr c Ox là
A. V
1
.
5
B. V
5
C. V
.
1
.
6
D. V
6
.
L i gi i:
x 0
ng trình 2 x x2 x x 2 x 0
; 2 x x 2 x , x 0;1 .
x 1
Xét ph
1
V 2x x2
0
2
x2 dx
đvtt
5
Ch n đáp án B.
Câu 9: Cho hình thang cong H gi i h n b i các đ
y e x , y 0 , x 0 , x ln 4 Đ
ng
ng th ng x k; (0 k ln 4)
chia H thành hai hình ph ng là S1 và S2 nh hình v bên.
Quay S1 , S2 quanh quanh tr c Ox đ
th tích l n l
c các kh i tròn xoay có
t là V1 và V2 . V i giá tr nào c a k thì V1 2V2 ?
1 32
A. k ln .
2
3
L i gi i:
k
Ta có: V1 e
x
1
ln 11.
2
B. k
C. k
k
2
0
1 11
ln .
2
3
ln 4
e2x
e2k
và V2 e x
dx
2
2
2 0
k
Theo gi thi t: V1 2V2
e2k
2
D. k ln
32
.
3
ln 4
2
e2x
e2k
.
dx
8
2
2 k
e2k
1
2k
2 8
e 11 2 k ln11 k ln11.
2
2
2
Ch n đáp án B.
Câu 10: Th tích kh i tròn xoay khi cho hình ph ng gi i h n b i đ
quanh Ox b ng
A. .
ng elip ( E) : x2 9 y2 9 quay
C. 3 .
B. 2 .
D. 4 .
L i gi i:
Ta có: x2 9 y 2 9 y 2
9 x2
9 x2
V y 2 dx
dx 4 .
9
9
3
3
3
3
Ch n đáp án D.
Câu 11: Th tích c a kh i tròn xoay khi quay hình ph ng D gi i h n b i các đ
ng y x và
y x quanh tr c Ox b ng
1
A.
0
x x dx.
1
B. x x dx.
0
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115...
1
C. x x 2 dx.
0
1
D. x 2 x dx.
0
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên đ tích phân ng d ng
Lê Bá B o
L i gi i:
Xét ph
x 0
x 0; x 1
x x
2
x x
ng trình
1
và
1
2
x x x 0;1 V x x 2 dx. x x 2 dx.
0
0
Ch n đáp án C.
Câu 12: Trên m t ph ng Oxy , cho hình ph ng ( H) gi i h n b i các đ
ng y 3x x2 và tr c
hoành. Th tích c a kh i tròn xoay khi quay ( H) quanh tr c Ox b ng
9
81
7
A.
B.
C.
D. 9 .
.
.
.
2
10
6
L i gi i:
3
2
x 0
81
Xét ph ng trình 3x x2 0
V 3x x2 dx
.
10
x 3
0
Ch n đáp án B.
Câu 13: Kh i tròn xoay do hình gi i h n b i các đ ng y f ( x), y 0, x a, x b,(a b) quay
quanh tr c Ox có th tích là V1 . Kh i tròn xoay do hình gi i h n b i các đ
x a, x b,(a b) quay quanh tr c Ox có th tích là V2 . Ch n ph
B. 6.V1 V2 .
A. V1 9V2 .
ng y 3 f ( x), y 0,
ng án đúng
D. 9.V1 V2 .
C. V1 V2 .
L i gi i:
b
b
a
a
b
Ta có: V1 f 2 x dx; V2 3 f x dx 9 f 2 x dx 9V1 .
2
a
Ch n đáp án D.
Câu 14: Th tích v t th tròn xoay khi quay hình ph ng gi i h n b i các đ
a
; a; b
b
B. 17.
;
quanh tr c Ox có k t qu d ng
A. 11.
L i gi i:
1
a
là phân s t i gi n Khi đó a b có k t qu là:
b
C. 31.
D. 25.
2
Ta có: 1 x 0 x 1 x 1. V y V 1 x2 dx
2
1
16
a 16; b 15 a b 31.
15
Ch n đáp án C.
Câu 15: M t Bác th g m làm m t cái l có d ng kh i tròn xoay đ
ph ng gi i h n b i các đ
có đ
ng kính l n l
A. 8 dm 3 .
3
t là dm và dm khi đó th tích c a l là:
14
15
B. dm 3 .
C. dm 3 .
3
2
2
x 1 dx
0
c t o thành khi quay hình
ng y x 1 và tr c Ox quay quanh tr c Ox bi t đáy l và mi ng l
L i gi i:
Do đ ng kính đáy l là 2 dm bán kính đáy l là 1 dm. T
y 1 x 0; y 2 x 3.
V y V
ng y 1 x2 , y 0
D.
15
dm 3 .
2
ng t , bán kính mi ng l là 2 dm.
15
dm3 .
2
Ch n đáp án B.
Biên t p: Ng c Huy n LB (facebook.com/huyenvu2405)
The best or nothing
Lê Bá B o
Giáo viên chuyên luy n thi THPT qu c gia TP Hu
Câu 16: Cho hình ph ng H gi i h n b i đ th hàm s y 2x 5 , y x2 2 . Tính th tích kh i
tròn xoay t o thành khi quay hình ph ng H quanh tr c Ox . M t h c sinh trình bày bài gi i
nh sau
x 1
c 1: x2 2 2 x 5
x 3
2
3
2
c 2: VOx x 2 2 2 x 5 dx
1
B
B
3
x5
576
B c 3: VOx 10 x2 21x
đvtt
5
5
1
H i l i gi i trên đúng hay sai, n u sai thì sai t b c nào?
A. L i gi i đúng
B. Sai t b c 1.
C. Sai t b c 2.
D. Sai t b c 3.
L i gi i:
3
2 x 5 2 x 2 2 2 dx.
1;
3
V
Ta có: 2 x 5 x 2 2; x
Ox
1
Ch n đáp án C.
Câu 17: Quay hình ph ng H nh hình đ c tô đ m
trong hình v bên quanh tr c Ox ta đ
có th tích là
y
c kh i tròn xoay
y=1
A. V 4 3 .
B. V 6 3 .
1
C. V 5 3 .
D. V 2 3 .
O
1
2
x
L i gi i:
x 2 y 2 4
x 2 3
x 3 x 3.
ng trình
y 1
y 1
Do H đ i x ng nhau qua Oy nên
Xét h ph
V 2
3
3
4 x 1 dx 2
2
0
2
0
y=1
1
2
3
x3
3 x 2 dx 2 3 x 4 3 .
3 0
y
O
x
Ch n đáp án A.
Câu 18: Quay hình ph ng H nh hình đ
c tô đ m trong hình
v bên quanh tr c Ox ta đ c kh i tròn xoay có th tích là
46
46
.
.
A. V
B. V
9
15
23
.
C. V
D. V 13 .
9
y
y= 3x2
2
x
1
L i gi i:
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115...
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên đ tích phân ng d ng
Xét h ph
H
Do
V 2
3
x 2 y 2 4
ng trình
x 1 x 1.
y 3x
đ i
x ng
3 x dx 2
2
4 x
0
Lê Bá B o
nhau
2
y
qua
3
4 x
2
Oy
y= 3x2
nên
3 x 4 dx
2
1
x
0
3
x3 3x5
46
.
2 4 x
3
5 0
15
Ch n đáp án B.
Câu 19: Quay hình ph ng H nh hình đ
c tô đ m trong
y
3
hình v bên quanh tr c Ox ta đ c kh i tròn xoay có th
tích là
A. V 3 2 .
B. V 2 .
2 2
.
C. V
D. V 2 2 .
3
2
1
1
x
O
L i gi i:
y 1 1 x2
Ta có: x y 1 1 y 1 1 x
.
y 1 1 x2
2
2
2
2
Ta có: V 2 1 1 x2 1 1 x2
0
Đ t x sin t ; t ;
2 2
1
y
2
2
3
2
2
dx 8 1 x dx .
0
1
1
O
1
sin 2t 2
V 8 cos2 tdt 4 1 cos 2t dt 4 t
2 2 .
2 0
0
0
2
2
Ch n đáp án D.
Câu 20: Trên m t ph ng Oxy , cho hình ph ng ( H) gi i h n b i các đ
ng
( P) : y x , ( P ) : y 4x và (d): y 4 . Th tích c a kh i tròn xoay khi quay ( H) quanh tr c
2
/
2
Ox b ng
A.
9
.
5
B.
4
5
C.
7
.
5
D. 2 .
L i gi i:
Biên t p: Ng c Huy n LB (facebook.com/huyenvu2405)
The best or nothing
x
Lê Bá B o
Giáo viên chuyên luy n thi THPT qu c gia TP Hu
Xét ph
ng trình hoành đ giao đi m c a (P) và (d):
x 2
x2 4
x 2
Xét ph ng trình hoành đ giao đi m c a (P ) và (d):
x 1
4x2 4
x 1
Đ t V là th tích c n tìm.
(P)
(P') y A
-1
VOAC
VOAB
y 4x2
là th tích kh i tròn xoay sinh b i khi quay H'' : y 4 quanh Ox.
Oy
2
d
C
x
1
-2
y x2
là th tích kh i tròn xoay sinh b i khi quay H' : y 4 quanh Ox.
Oy
2
B
4
2
O
1
2
2
2
Lúc đó V VOAC VOAB 4 x2 dx 4 4 x2 dx 4 x4 dx 4 16 x4 dx
0
0
0
0
32
16 4
x5 2
x5 1
4 x 4 x 16. 8 4
5 0
5 0
5
5 5
®.v.t.t .
Ch n đáp án B.
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115...
CLB Giáo viên tr TP Hu
