Phát triển năng lực giải toán ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI
----------

ĐÀM THỊ THU DUNG

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN ỨNG
DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ
THỊ HÀM SỐ CHO HỌC SINH LỚP 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

HÀ NỘI, NĂM 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI
----------

ĐÀM THỊ THU DUNG

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN ỨNG
DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ
THỊ HÀM SỐ CHO HỌC SINH LỚP 12

Chuyên ngành: Lý luận và Phƣơng pháp dạy học môn Toán
Mã số: 60140111

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:
TS. BÙI DUY HƢNG

HÀ NỘI, NĂM 2017


LỜI CẢM ƠN
Để luận văn này đạt kết quả tốt đẹp, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy
cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là các thầy cô trong tổ bộ môn Phương pháp
dạy học môn Toán Trường Đại học sư phạm Hà Nội, đã nhiệt tình giảng dạy
trong suốt thời gian tôi học tập và hoàn thành luận văn.
Đặc biệt tôi xin bày tỏ lòng kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc và lời cảm ơn
chân thành nhất tới thầy giáo – TS. BÙI DUY HƢNG đã quan tâm giúp đỡ,
hướng dẫn tôi thực hiện và hoàn thành tốt luận văn tốt nghiệp.
Đồng thời tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn tới tập thể các thầy cô giáo
trong tổ Toán – Tin và các em học sinh của Trường THPT Quỳnh Thọ – Quỳnh
Phụ – Thái Bình đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi trong thời gian tham gia khóa
học và trong đợt thực nghiệm sư phạm.
Qua đây, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới toàn thể người thân
trong gia đình và bạn bè đã luôn quan tâm, giúp đỡ, động viên khích lệ tôi trong
suốt thời gian học tập.
Với điều kiện thời gian cũng như kinh nghiệm còn hạn chế của một học
viên, luận văn này không thể tránh được những thiếu sót cần được góp ý và sửa
chữa. Tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo, nhận xét, đóng góp ý kiến của các thầy
cô và bạn đọc.
Hà Nội, tháng 6 năm 2017
Tác giả

Đàm Thị Thu Dung


QUY ƢỚC VỀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT

SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN

Viết tắt

Viết đầy đủ

PTNL

Phát triển năng lực

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

NLGT

Năng lực giải toán

NXB

Nhà xuất bản

THPT

Trung học phổ thông

HĐ

Hoạt động

NX

Nhận xét

CĐ

Cực đại

CT

Cực tiểu


MỤC LỤC
Trang
PHẦN MỞ ĐẦU ................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài ............................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ........................................................................................ 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ....................................................................................... 2
4. Phƣơng pháp nghiên cứu................................................................................. 2
6. Cấu trúc luận văn ............................................................................................. 3
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .......................................... 4
1.1. NĂNG LỰC VÀ NĂNG LỰC GIẢI TOÁN ............................................... 4
1.1.1.Khái niệm năng lực .................................................................................. 4
1.1.2. Năng lực toán học ................................................................................... 4
1.1.3. Năng lực giải toán ................................................................................... 6

1.1.4. Phát triển năng lực giải toán cho học sinh phổ thông. ........................ 8
1.2. THỰC TRẠNG DẠY HỌC ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT
VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ LỚP 12 ..................................................................... 9
1.2.1. Nội dung, mục tiêu dạy học ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ
thị hàm số ........................................................................................................... 9
1.2.2. Phƣơng pháp nghiên cứu điều tra ....................................................... 10
1.2.3. Đánh giá dạy học ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
cho học sinh lớp 12 .......................................................................................... 13
KẾT LUẬN CHƢƠNG 1 ................................................................................... 15
CHƢƠNG 2: CÁC BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHO
HỌC SINH LỚP 12. ........................................................................................... 16
2.1. Định hƣớng xây dựng các biện pháp ......................................................... 16
2.2. Các biện pháp phát triển năng lực giải toán ứng dụng đạo hàm để khảo
sát và vẽ đồ thị hàm số cho học sinh. ................................................................ 16
2.2.1. Củng cố và hoàn thiện những kiến thức cơ bản về ứng dụng đạo
hàm cho học sinh. ............................................................................................ 16


2.2.2. Rèn luyện cho học sinh kĩ năng cơ bản giải một số bài toán liên quan
tới ứng dụng đạo hàm. .................................................................................... 21
2.2.3. Trang bị cho học sinh phƣơng pháp giải các dạng toán ứng dụng đạo
hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. ............................................................ 36
2.2.4. Rèn luyện cho học sinh giải bài toán bằng nhiều cách ...................... 41
2.2.5. Rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh trong việc giải và khai
thác các bài toán về ứng dụng đạo hàm ........................................................ 43
2.2.6. Rèn luyện cho học sinh giải toán trắc nghiệm chƣơng “ Ứng dụng
đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số”. .................................................. 45
2.3. Thiết kế các tình huống dạy học nhằm bồi dƣỡng năng lực giải toán cho
học sinh. ............................................................................................................... 51

KẾT LUẬN CHƢƠNG 2 ................................................................................... 73
CHƢƠNG III. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .................................................. 74
3.1 MỤC ĐÍCH THỰC NGHIỆM .................................................................... 74
3.1.1. Mục đích ................................................................................................ 74
3.1.2. Nhiệm vụ ................................................................................................ 74
3.2. TỔ CHỨC VÀ NỘI DUNG THỰC NGHIỆM ........................................ 74
3.2.1. Đối tƣợng thực nghiệm ......................................................................... 74
3.2.2. Giáo viên dạy thực nghiệm .................................................................. 75
3.2.3. Tiến hành dạy thực nghiệm ................................................................. 75
3.3.1. Khả năng lĩnh hội sử dụng kiến thức về dạy học giải toán và các mức
độ khả thi của từng biện pháp rèn luyện năng lực giải toán trong thực
nghiệm sƣ phạm .............................................................................................. 78
3.3.2. Về nội dung thực nghiệm sƣ phạm ..................................................... 78
3.4 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN QUAN TÂM ....................................................... 80
KẾT LUẬN CHƢƠNG III ................................................................................ 82
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 84
PHỤ LỤC


PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Sự phát triển của xã hội và công cuộc đổi mới của đất nước trong bối cảnh
toàn cầu hóa đang đặt ra yêu cầu cấp bách cần phải nâng cao chất lượng đội ngũ
nguồn nhân lực. Giáo dục cần đào tạo ra đội ngũ người lao động có đủ năng lực
đáp ứng được những đòi hỏi mới của xã hội và thị trường lao động.
Trong Nghị quyết Hội nghị lần thứ 8, Ban Chấp hành Trung ương khóa XI
với nội dung đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu
công nghiệp hóa – hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã
hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế. Đảng và Nhà nước xác định mục tiêu của đổi
mới lần này là: “Tạo chuyển biến căn bản, mạnh mẽ về chất lượng, hiệu quả giáo

dục, đào tạo; đáp ứng ngày càng tốt hơn công cuộc xây dựng, bảo vệ Tổ quốc và
nhu cầu học tập của nhân dân. Giáo dục con người Việt Nam phát triển toàn
diện và phát huy tốt nhất tiềm năng, khả năng sáng tạo của mỗi cá nhân; yêu gia
đình, yêu Tổ quốc, yêu đồng bào; sống tốt và làm việc hiệu quả”.
Để đáp ứng nhiệm vụ và mục tiêu trên, nhà trường phải là nơi đào tạo,
rèn luyện phẩm chất và trí tuệ của con người mới phát triển toàn diện về mọi
mặt vì vậy nhiệm vụ của dạy học ngoài việc dạy kiến thức còn dạy cho học
sinh cách suy nghĩ, hiểu một cách sâu sắc một vấn đề nói chung hay một lĩnh
vực nói riêng (ví dụ hiểu một cách sâu sắc một bài toán chẳng hạn).
Hiện nay một thực trạng cần khắc phục là việc giải quyết mâu thuẫn
giữa kiến thức cơ bản phổ thông còn quá ít ỏi so với kiến thức đa dạng
phong phú của các kì tuyển sinh, chính vì vậy phát triển và rèn luyện năng
lực giải toán cho học sinh phổ thông lại càng là việc quan trọng và cần thiết.
Nội dung Ứng dụng đạo hàm để kháo sát và vẽ đồ thị hàm số nằm trong
chương trình Đại số và giải tích lớp 12 THPT, đây là một nội dung khó, và trừu
tượng đối với học sinh trung học phổ thông. Phân phối thời gian giảng dạy và
học tập chiếm thời gian rất ít. Vì vậy, việc phát triển năng lực giải toán trong
chương này như nào vẫn còn là một vấn đề đặt ra cho giáo viên. Do đó cần tìm ra

1


các biện pháp nhằm PTNL giải toán phù hợp với HS của nhà trường góp phần
nâng cao hiệu quả trong dạy học chủ đề này.
Phương pháp dạy học PTNL giải toán ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ
đồ thị hàm số đã được nhiều GV quan tâm nhưng thực tế khi chuyển từ thi tự
luận sang thi trắc nghiệm đòi hỏi học sinh nắm vững kiến thức, kĩ năng thì mới
có thể vận dụng tốt vào bài thi.
Vì những lí do trên tôi chọn đề tài: “ Phát triển năng lực giải toán Ứng
dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 ”.

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu đề xuất các biện pháp sư phạm nhằm PTNL giải toán cho HS
lớp 12 trong dạy học ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn giải quyết các vấn đề:
- Cơ sở lý luận về năng lực, năng lực toán học và năng lực giải toán.
- Điều tra thực tiễn dạy và học Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị
hàm số lớp 12 ở một số trường THPT tỉnh Thái Bình.
- Đề xuất các biện pháp nhằm phát triển năng lực giải toán Ứng dụng đạo
hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12.
- Tổ chức thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả
của các biện pháp đã đề xuất.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về tâm lý học,
giáo dục học, các sách, tạp chí, các luận văn cao học...có liên quan đến đề tài.
- Phương pháp điều tra, quan sát.
- Thực nghiệm sư phạm: Nhằm kiểm định tính khả thi và hiệu quả của các
đề xuất trong đề tài luận văn.

2


5. Giả thuyết khoa học
Nếu vận dụng biện pháp sư phạm được trình bày trong luận văn sẽ góp
phần nâng cao năng lực giải toán ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm
số cho HS, cũng như chất lượng dạy học môn toán cho học sinh THPT.
6. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung luận văn gồm
3 chương.
Chương 1: Cơ sở lý luận thực tiễn.

Chương 2: Các biện pháp phát triển năng lực ứng dụng đạo hàm để khảo sát
và vẽ đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12.
Chương 3 : Thực nghiệm sư phạm.

3


CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. NĂNG LỰC VÀ NĂNG LỰC GIẢI TOÁN
1.1.1.Khái niệm năng lực
Thông thường, trong cuộc sống ta thường quan niệm rằng: Một người được
gọi là có năng lực nếu người đó nắm vững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của một loại
hoạt động nào đó và đạt được kết quả tốt hơn, cao hơn người khác cùng tiến hành
hoạt động đó trong những điều kiện và hoàn cảnh tương đương. Sau đây là một
số cách tiếp cận và diễn đạt về khái niệm năng lực:
 Theo từ điển Tiếng Việt thì: “ Năng lực là điều kiện chủ quan hoặc tự
nhiên có sẵn để thực hiện một hoạt động nào đó với chất lượng cao”.
 Năng lực là một loại tổ hợp những đặc điểm tâm lý của con người, đáp
ứng được yêu cầu của một hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để
hoàn thành có kết quả một số hoạt động nào đó [7].
 Theo nhà tâm lí học nổi tiếng V. A Cruchetxki, người Nga cho rằng: “
Năng lực được hiểu như là một phức hợp các đặc điểm tâm lí cá nhân của
con người đáp ứng những yêu cầu của một hoạt động nào đó và là điều
kiện để thực hiện thành công hoạt động đó” [6- Tr.15].
Qua các khái niệm trên ta thấy được chúng đều có điểm chung là: năng lực
là tổ hợp những đặc điểm tâm lý và khả năng của con người thực hiện tốt một nội
dung công việc nào đó.
1.1.2. Năng lực toán học
Theo V. A Cruchetxki [6, tr.13] năng lực toán học được hiểu theo hai ý
nghĩa, hai mức độ:

Một là, theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với việc
học Toán, đối với việc nắm giáo trình Toán học ở trường phổ thông, nắm một
cách nhanh và tốt các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng.
Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng lực hoạt động
sáng tạo Toán học, tạo ra những kết quả mới, khách quan có giá trị lớn đối với xã
hội loài người.

4


Giữa hai mức độ hoạt động toán học đó không có một sự ngăn cách tuyệt
đối. Nói đến năng lực học tập Toán không phải là không đề cập tới năng lực sáng
tạo. Có nhiều em học sinh có năng lực, đã nắm giáo trình Toán học một cách độc
lập và sáng tạo, đã tự đặt và giải các bài toán không phức tạp lắm; đã tự tìm ra
các con đường, các phương pháp sáng tạo để chứng minh các định lý, độc lập suy
ra các công thức, tự tìm ra các phương pháp giải độc đáo những bài toán không
mẫu mực…
Với mức độ học sinh trung bình, Luận văn chỉ chủ yếu tiếp cận năng lực
toán học theo góc độ thứ nhất (năng lực toán học). Sau đây là một số quan niệm
về năng lực toán học :
Quan niệm 1: Năng lực học tập toán học là các đặc điểm tâm lý cá nhân
(trước hết là các đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu hoạt động toán học
và giúp cho việc nắm giáo trình Toán một cách sáng tạo, giúp cho việc nắm một
cách tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo toán học
[3, tr.14].
Quan niệm 2: Những năng lực toán học được hiểu là những đặc điểm tâm
lý cá nhân (trước hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu của
hoạt động toán học, và trong những điều kiện vững chắc như nhau thì là nguyên
nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạo Toán học với tư
cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc

kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực toán học [2, tr. 126].
Nói đến HS có năng lực toán học là nói đến HS có trí thông minh trong việc
học Toán. Tất cả mọi HS đều có khả năng và phải nắm được chương trình trung
học, nhưng các khả năng đó khác nhau từ HS này qua HS khác. Các khả năng
này không phải cố định, không thay đổi: Các năng lực này không phải nhất thành
bất biến mà hình thành và phát triển trong quá trình học tập, luyện tập để nắm
được hoạt động tương ứng; vì vậy, cần nghiên cứu để nắm được bản chất của
năng lực và các con đường hình thành, phát triển, hoàn thiện năng lực.

5


Tuy nhiên, ở mỗi người cũng có khác nhau về mức độ năng lực toán học.
Do vậy, trong dạy học toán, vấn đề quan trọng là chọn lựa nội dung và phương
pháp thích hợp để sao cho mọi đối tượng học sinh đều được nâng cao dần về mặt
năng lực toán học.
1.1.3. Năng lực giải toán
a. Năng lực giải toán
Năng lực giải toán là khả năng áp dụng tiến trình thực hiện việc giải
quyết một bài toán cụ thể có tính hướng đích cao, đòi hỏi huy động khả năng
tư duy tích cực và sáng tạo, nhằm đạt kết quả cao sau một số bước thực hiện.
Như vậy, một người được coi là có năng lực giải toán nếu người đó nắm
vững tri thức, kỹ năng, kỹ xảo của hoạt động giải toán và đạt được kết quả trong
hoạt động đó.
Năng lực giải toán là một thành phần trong năng lực toán học, các yếu tố
cấu thành của năng lực giải toán được cụ thể hóa từ các yếu tố đó là:
- Nền kiến thức chắc chắn có được qua quá trình thu thập thông tin toán học.
- Có tính độc lập và độc đáo cao trong khi giải toán và sự phát triển của
năng lực giải quyết vấn đề.
- Có tính tích cực, kiên trì về mặt ý chí và khả năng huy động trí óc cao

trong lao động giải toán.
- Khả năng huy động kiến thức để giải quyết một số vấn đề cụ thể, khả năng
vận dụng thao tác tư duy, phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, đặc biệt hóa, trừu
tượng hóa để chế biến lượng thông tin toán học đã nhận.
- Khả năng suy luận, lập luận có lý sau khi lĩnh hội kiến thức thu được.
- Khả năng tự giác toán học, tổng hợp, khái quát một hiện tượng toán học.
Các yếu tố trên quan hệ mật thiết lẫn nhau, ảnh hưởng lẫn nhau và hợp thành một
hệ thống duy nhất, một cấu trúc trọn vẹn của năng lực giải toán.
b. Các thành phần của năng lực giải toán
 Năng lực dự đoán vấn đề
 Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ

6


 Năng lực quy lạ về quen nhờ biến đổi về dạng tương tự
 Năng lực nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau
 Năng lực phân chia trường hợp

mx 2  x  1  m
Ví dụ 1.1: Cho hàm số y 
. Tìm giá trị của tham số m để hàm số
x 1
đạt cực trị.
Giải
+) m = 0: f ( x) 

x 1
đây là hàm nhất biến nên không có cực trị.
x 1

mx 2  2mx  m  2
+) m  0: f '( x) 
, (m  1)
( x  1) 2

Hàm số có cực trị khi phương trình sau có hai nghiệm phân biệt khác 1

 '  0
2m  0

m0
g ( x)  mx2  2mx  m  2  0  
 g (1)  0
2  0
Vậy khi m > 0 hàm số có cực trị.
Qua ví dụ này, đứng trước 1 bài toán chứa tham số HS sẽ biết phân chia
trường hợp để giải quyết triệt để bài toán.
 Năng lực suy luận logic
 Năng lực khái quát hóa
Ví dụ 1.2: Cho (C) : y  x3  3x  2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) tại
điểm M 0 (0;2) .
GV yêu cầu 1 HS trình bày lời giải.
Ta có: y '  3x 2  3  f '(0)  3
Vậy phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm M 0 (0;2) có dạng:

y  3( x  0)  2
 y  3x  2
Sau khi giải xong bài toán, GV nhận xét và hướng dẫn HS khái quát hóa
phương pháp giải toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm.

7


Cho (C ) : y  f ( x) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm

M 0 ( x0 ; y0 ) ?
Bước 1: Tính f '( x)  f '( x0 ) .
Bước 2: Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại M 0 ( x0 ; y0 ) có dạng:

y  f '( x0 )( x  x0 )  y0 .
 Năng lực diễn đạt bài toán theo những cách khác nhau
1.1.4. Phát triển năng lực giải toán cho học sinh phổ thông.
Bài tập toán nhằm phát triển tư duy cho HS, đặc biệt là rèn luyện các thao
tác trí tuệ. Vì vậy, trong quá trình dạy học người thầy giáo phải chú trọng việc
phát triển năng lực giải toán cho HS.
Năng lực giải toán là khả năng thực hiện 4 bước trong phương pháp chung
để giải toán của Polya. Phát triển năng lực giải toán cho HS chính là rèn luyện
cho họ có ý thức, thói quen và thực hiện có hiệu quả các bước giải đó.
Để phát triển năng lực giải toán cho học sinh GV cần:
+) Trang bị cho HS những tri thức cơ bản liên quan tới bài toán.
+) Rèn luyện cho HS kĩ năng vận dụng kiến thức đã được học vào giải bài tập.
+) Trang bị cho HS phương pháp giải các dạng toán phù hợp với chương
trình học.
+) Chú trọng phát triển các hoạt động trí tuệ cho HS trong giải toán.
Để làm được việc đó GV cần hướng dẫn HS giải một số lượng cần thiết các
bài toán theo quy trình 4 bước của Polya:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán.
Bước 2: Xây dựng chương trình giải.
Bước 3:Thực hiện chương trình giải.

Bước 4: Kiểm tra, nghiên cứu sâu lời giải.

8


1.2. THỰC TRẠNG DẠY HỌC ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT
VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ LỚP 12
1.2.1. Nội dung, mục tiêu dạy học ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị
hàm số
a. Nội dung
Nội dung Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trong chương
trình lớp 12 THPT gồm 5 bài dự kiến được thực hiện trong 21 tiết, phân phối cụ
thể như sau:
§ 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (3 tiết)
§ 2. Cực trị của hàm số (3 tiết)
§ 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (3 tiết)
§ 4. Đường tiệm cận (2 tiết)
§ 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (7 tiết)
Ôn tập chương (2 tiết)
Kiểm tra (1 tiết).
b. Mục tiêu
Nội dung Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số là một
phần quan trọng, chiếm phần lớn số tiết trong chương trình Toán lớp 12. Là
một công cụ rất “ mạnh” để giải quyết hầu hết những bài toán trong các đề
thi tốt nghiệp THPT cũng như trong các đề thi thi tuyển sinh Đại học, Cao
đẳng. Vì vậy, để học tốt nội dung này GV cần đạt được những mục tiêu sau:
Về kiến thức:
Giúp học sinh:
- Học sinh hiểu và phát biểu được quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.
- Học sinh hiểu và phát biểu được quy tắc tìm cực trị.

- Học sinh hiểu và phát biểu định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và
nắm vững quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên
một đoạn.
- Học sinh hiểu và phát biểu định nghĩa tiệm cận ngang, tiệm cận đứng.

9


- Học sinh hiểu, nắm vững và phát biểu được sơ đồ khảo sát hàm số.
- Học sinh hiểu và phát biểu được phương pháp giải một số bài toán liên
quan đến khảo sát.
Về kĩ năng:
Giúp học sinh:
- Học sinh biết sử dụng công cụ đạo hàm để xét tính đồng biến, nghịch biến
của một hàm số trên một khoảng.
- Biết cách tìm điểm cực trị của hàm số.
- Biết cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ( nếu có) của hàm số trên
một khoảng, một đoạn.
- Tìm được đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
- Biết khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số y  ax3  bx2  cx  d ,(a  0) ;

y  ax4  bx2  c,(a  0) ; y 

ax  b 
d 
, x 

cx  d 
c .

- Biết cách sử dụng đạo hàm để biện luận số nghiệm của một phương trình
theo giá trị của tham số m.
- Biết giải các bài toán: viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại một điểm
thuộc đồ thị hàm số; khoảng cách; quỹ tích;....
1.2.2. Phƣơng pháp nghiên cứu điều tra
Kết quả điều tra là cơ sở đề ra các biện pháp phù hợp trang bị cho GV khả
năng dạy học phát triển năng lực Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm
số và rèn luyện cho HS năng lực giải toán ứng dụng đạo hàm trong chương trình
Đại số và giải tích lớp 12 THPT.
a) Khảo sát phiếu điều tra GV và HS
Để đánh giá thực trạng dạy học phát triển năng lực Ứng dụng đạo hàm để
khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 chúng tôi đã tiến hành điều tra
khảo sát thực tế và lập ra các phiếu điều tra từ GV và HS (xem phụ lục 1, 2).
Kết quả điều tra từ 30 GV toán và 120 HS tại các trường THPT Quỳnh Thọ,
THPT Quỳnh Côi, THPT Phụ Dực như sau:

10


+ Đối với giáo viên, kết quả trả lời các câu hỏi là:
Kết quả khảo sát

Câu

1

2

3

4

5

A

B

C

D

Số người chọn

0

20

6

4

Tỉ lệ (%)

0

66,7%

20%

13,3%

Số người chọn

9

1

17

3

30%

3,3%

56,7%

10%

5

2

23

0

16,7%

6,6%

76,7%

0%

19

0

10

1

63,4%

0%

33,3%

3,3%

26

0

0

4

86,7%

0%

0%

13,3%

Tỉ lệ (%)
Số người chọn
Tỉ lệ (%)
Số người chọn
Tỉ lệ (%)
Số người chọn
Tỉ lệ (%)

+ Đối với HS, kết quả trả lời các câu hỏi là:
Kết quả khảo sát

Câu

1

2

3

4

5

Số người chọn
Tỉ lệ (%)
Số người chọn
Tỉ lệ (%)
Số người chọn
Tỉ lệ (%)
Số người chọn
Tỉ lệ (%)
Số người chọn
Tỉ lệ (%)

A

B

C

D

20

11

85

4

16,7%

9,2%

70,8%

3,9%

105

10

5

0

87,5%

8,3%

4,2%

0%

95

3

2

20

79,2%

2,5%

1,6%

16,7%

100

9

3

8

83,3%

7,5%

2,5%

6,7%

110

2

4

4

91,7%

1,7%

3,3%

3,3%

11


Từ kết quả khảo sát ở trên cho phép rút ra một số kết luận về thực trạng dạy
học PTNL Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số như sau:
- Mặc dù đa số HS đã có ý thức về tầm quan trọng của môn Toán, tuy nhiên
chất lượng học tập môn Toán chưa thật sự cao, vẫn chưa đồng đều. Còn đa số các
lớp thuộc chương trình chuẩn chất lượng thường rất thấp. Theo suy nghĩ của
chúng tôi, có những nguyên nhân sau:
+) Năng lực của HS trong các lớp không đồng đều, trong khi đó các bài tập
trên lớp và trong sách giáo khoa chưa thực sự phù hợp với các đối tượng HS.
+) HS thường mắc phải những sai sót rất cơ bản trong quá trình học tập,
chẳng hạn làm sai từ các phép biến đổi đơn giản, cách giải phương trình, bất
phương trình cơ bản…
+) Có nhiều lỗ hổng kiến thức vì vậy HS dễ chán nản và không thích học
Toán. Khả năng tiếp thu của HS còn hạn chế và chưa linh động trong việc xử lý
các tình huống Toán học đơn giản nên kết quả học tập chưa cao.
+) Chưa thấy được ý nghĩa của việc học Toán, khả năng liên hệ đến thực
tiễn rất hạn chế, rất ít HS thuần thục và sáng tạo khi vận dụng các phương pháp
vào giải toán. HS chưa biết được đạo hàm được ứng dụng vào việc gì.

+) GV chưa có bài tập phù hợp để HS yếu, kém hiểu hơn về khái niệm được
học. Các bài tập ở mức độ nhận biết, thông hiểu rất ít khi xuất hiện trong các ví
dụ minh họa cho bài giảng và trong bài tập về nhà.
+) Nhiều GV chưa thực sự quan tâm đến và đầu tư vào dạy học ứng dụng
đạo hàm. Trong quá trình giảng dạy chưa khơi dậy được niềm say mê và hứng
thú học tập, chưa góp phần tích cực việc xác lập động cơ học tập đúng đắn cho
học sinh.
b) Các điều tra khác
- Tìm hiểu qua hiệu trưởng Nhà trường về tình hình cơ sở vật chất, trang
thiết bị phục vụ cho quá trình dạy học, tham khảo chất lượng HS các năm trước
qua sổ điểm và các bài kiểm tra về ứng dụng đạo hàm.

12


- Tìm hiểu và đàm thoại với các GV dạy toán để nắm được thực trạng việc
học tập của HS và phương pháp giảng dạy của GV.
- Tham khảo giáo án và dự giờ thăm lớp một số tiết của GV khi dạy học nội
dung ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho HS lớp 12 ở các
trường để biết thực trạng dạy học ứng dụng đạo hàm cho HS.
Dựa trên các số liệu điều tra như trên, chúng tôi đi đến một số đánh giá về
thực tiễn dạy học ứng dụng đạo hàm và việc dạy học PTNL giải toán ứng dụng
đạo hàm cho HS như sau:
1.2.3. Đánh giá dạy học ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
cho học sinh lớp 12
*) Về phía HS
- Một số HS còn tư duy chậm, kĩ năng tính đạo hàm, xét dấu nhị thức bậc
nhất, tam thức bậc hai… còn kém; chưa phân biệt được các dạng toán về ứng
dụng đạo hàm cũng như áp dụng cách giải còn dập khuôn, chưa linh hoạt.
- Một số HS đã nắm được cách giải tuy nhiên chỉ dừng lại ở mức độ áp

dụng máy móc cách làm, đến khi gặp những bài toán cần biến đổi nhiều thì đa số
chưa giải được, hoặc biến đổi còn chậm, hay nhầm lẫn.
- Kết quả dạy học nội dung ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm
số lớp 12 qua bài kiểm tra một tiết trong những năm vừa qua còn thấp.
- Trong tiết luyện tập về ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số,
nhiều em chưa tìm được sự hứng thú, thậm chí còn căng thẳng, tính tích cực, chủ
động hay các ý tưởng độc đáo, tìm ra hướng giải mới, phát hiện vấn đề mới là
chưa có đối với các em HS.
*) Về phía GV
- Nhìn chung các GV giảng dạy đều nắm vững nội dung kiến thức, có kinh
nghiệm và phương pháp dạy học, truyền tải đầy đủ nội dung kiến thức cho HS.
- Trong quá trình giảng dạy GV chủ yếu chú ý đến trang bị kiến thức đầy
đủ, tập dượt cho HS bắt chước và thực hành theo các thuật toán giải hay quy tắc
tựa thuật toán khi giải các dạng toán ứng dụng đạo hàm.

13


Từ những đánh giá nêu trên cho thấy người GV cần đưa ra những biện pháp
PTNL thích hợp để giải toán ứng dụng đạo hàm cho HS lớp 12 như sau:
- Trang bị cho HS đầy đủ các kiến thức cơ bản, đảm bảo cho HS nắm chắc,
có hệ thống các kiến thức được quy định trong chương trình.
- Cho HS được va chạm để từ đó nhận thấy những lỗi hay mắc phải trong
giải toán ứng dụng đạo hàm để các em khắc ghi và củng cố phương pháp giải.
- Chú trọng trang bị phương pháp giải toán đạo hàm cho HS với sự hướng
dẫn, dạy HS cách phân tích, các thao tác tư duy khi đứng trước một bài toán
thông qua hệ thống các bài tập theo từng chủ đề đảm bảo sự phát triển bền vững
trong tiếp thu kiến thức giải toán ứng dụng đạo hàm cho HS.

14

KẾT LUẬN CHƢƠNG 1
Trong chương 1, luận văn đã trình bày một số hiểu biết về năng lực, năng
lực toán học làm cơ sở lí luận cho việc nghiên cứu đề tài đồng thời làm tài liệu
tham khảo cung cấp cho người đọc kiến thức về nội dung liên quan.
Chúng tôi đã tiến hành điều tra thực tiễn việc dạy học PTNL Ứng dụng đạo
hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ở một số trường THPT tỉnh Thái Bình. Qua
đó chúng tôi thấy việc PTNL Ứng dụng đạo hàm là cần thiết, giúp các em học
tập tích cực, kích thích sự sáng tạo trong học tập và trong cuộc sống.

15


CHƢƠNG 2
CÁC BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN ỨNG DỤNG
ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
CHO HỌC SINH LỚP 12.
2.1. Định hƣớng xây dựng các biện pháp
- Các biện pháp xây dựng trên cơ sở tôn trọng nội dung chương trình, SGK
Toán THPT và tuân theo các nguyên tắc dạy học.
- Các biện pháp xây dựng phải dựa trên định hướng đổi mới phương pháp
dạy học hiện nay.
- Các biện pháp phải mang tính khả thi, có thể thực hiện được trong điều
kiện thực tế của quá trình dạy học.
- Các biện pháp phải hỗ trợ cho quá trình tự học, tự phát hiện, tự chiếm
lĩnh tri thức mới và thực hành theo năng lực của người học.
2.2. Các biện pháp phát triển năng lực giải toán ứng dụng đạo hàm để khảo
sát và vẽ đồ thị hàm số cho học sinh.
2.2.1. Củng cố và hoàn thiện những kiến thức cơ bản về ứng dụng đạo hàm

cho học sinh.
a. Kiến thức cơ bản về ứng dụng đạo hàm
Những kiến thức cơ bản về ứng dụng đạo hàm có vai trò rất quan trọng
trong việc giải các dạng bài toán liên quan. Nó là yêu cầu bắt buộc đầu tiên đối
với HS khi bắt đầu học giải toán ứng dụng đạo hàm. Đồng thời qua đó HS sẽ có
công cụ để làm việc với các dạng toán về ứng dụng đạo hàm.
 . Tính đơn điệu của hàm số:
*) Điều kiện để hàm số đơn điệu
Giả sử hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên khoảng D.
+) Nếu f ( x) đồng biến ( tăng) trên D thì f '( x)  0 ,x  D .
+) Nếu f ( x) nghịch biến ( giảm) trên D thì f '( x)  0, x  D .
*) Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu
Hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) .

16


+) Nếu f '( x)  0 x  (a; b) thì f(x) đồng biến ( tăng) trên (a; b) .
+) Nếu f '( x)  0 x  (a; b) thì f ( x) nghịch biến ( giảm) trên (a; b) .
+) Nếu f '( x)  0 x  (a; b) thì f ( x) không đổi ( hàm hằng) trên (a; b) .
 Cực trị của hàm số
*) Điều kiện cần để hàm số có cực trị
Giả sử hàm số y  f ( x) đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó, nếu f có đạo hàm tại

x0 thì f '( x0 )  0 .
*) Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
Dấu hiệu 1:
Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên (a;b) chứa x0 và có đạo hàm trên các
khoảng (a; x0 ) và ( x0 ; b) .
+) Nếu f '( x0 )  0 với mọi x  ( a, x0 ) và f '( x)  0 với mọi x  ( x0 ; b) thì

f đạt cực đại tại điểm x0 .
+) Nếu f '( x0 )  0 với mọi x  (a, x0 ) và f '( x)  0 với mọi x  ( x0 ; b) thì

f đạt cực tiểu tại điểm x0 .
Dấu hiệu 2:
Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm cấp 1 trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 ,

f '( x0 )  0 và f(x) có đạo hàm cấp 2 khác 0 tại x0 .
+) Nếu f ''( x0 )  0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0 .
+) Nếu f ''( x0 )  0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0 .
 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Quy tắc tìm giá trị lớn nhất ( GTLN) và giá trị nhỏ nhất ( GTNN) của hàm
số trên một đoạn
- Tìm các điểm x1 , x2 ,..., xm  (a, b) tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc
không có đạo hàm.
- Tính f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xm ), f (a) và f (b) .

17


- So sánh các giá trị tìm được. Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn
nhất của f trên đoạn [a; b] , số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất
của f trên đoạn [a; b] .
 Khảo sát hàm số và một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số
*) Sơ đồ khảo sát hàm số:
- Tập xác định:
+) Tìm tập xác định của hàm số.
+) Xét tính chẵn, lẻ, tính tuần hoàn ( nếu có).
- Sự biến thiên

+) Xét chiều biến thiên của hàm số.
Tính đạo hàm
Tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Xét dấu đạo hàm và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
+) Tìm cực trị.
+) Tìm các giới hạn tại ,  và tìm tiệm cận ( nếu có).
+) Lập bảng biến thiên.
- Đồ thị
+) Vẽ các đường tiệm cận ( nếu có), các điểm đặc biệt ( cực trị, điểm uốn).
+) Tìm giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ.
+) Nhận xét về đồ thị: chỉ ra tâm và trục đối xứng.
*) Một số bài toán liên quan tới đồ thị hàm số
Bài toán 1: Tìm giao điểm của hai đồ thị
Cho hai hàm số f và g có hai đồ thị tương ứng là (C) và (C’). Điểm

M 0 ( x0 , y0 ) là giao điểm của (C) và (C’) khi và chỉ khi ( x0 ; y0 ) là một nghiệm của
hệ phương trình

 y  f ( x)

 y  g ( x)

18


Do đó hoành độ giao điểm của (C) và (C’) là nghiệm của phương
trình f ( x)  g ( x)
Số nghiệm của phương trình trên chính là số giao điểm của hai đồ thị.
Bài toán 2: Giải( biện luận) phương trình dựa vào đồ thị
Cho phương trình : f ( x)  g ( x)

(1)

Vẽ đồ thị (C) của hàm số y  f ( x) và đồ thị (C’) của hàm số y  g ( x) .Số
giao điểm của (C) và (C’) là số nghiệm của phương trình (1).
( Đây là bài toán ngược của bài toán 1).
Bài toán 3: Sự tiếp xúc của hai đường cong
Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị (C) và hàm số y  g ( x) có đồ thị (C’) cùng
xác định trên D. Giả sử f và g có đạo hàm trên D .
(C) và (C’) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ :

 f ( x)  g ( x)

 f '( x)  g '( x)
Có nghiệm và nghiệm của hệ phương trình trên là hoành độ tiếp điểm của
hai đường cong đó.
b. Cách thức thực hiện
- GV nhắc lại kiến thức cơ bản về ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ
thị hàm số cho HS.
- GV cho HS làm những bài tập cơ bản vận dụng những kiến thức cơ
bản vừa được nhắc lại.
- Cho HS làm những dạng bài tập ở mức độ thông hiểu, vận dụng và
vận dụng cao.
- GV phối hợp phát hiện sai lầm và sửa chữa sai lầm cho HS.
Ví dụ 2.1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

1
1
trên tập D  [0; 2 ]  R .
y  f ( x)  cos x  cos 2 x 

2
2
Giải

19