Dạy học giải toán chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cho học sinh trung học phổ thông

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
––––––––––––––––––––––––

NGUYỄN NGỌC HOA

DẠY HỌC GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ
PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
––––––––––––––––––––––––

NGUYỄN NGỌC HOA

DẠY HỌC GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ
PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Cán bộ hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Trung

THÁI NGUYÊN - 2017


LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu riêng của tôi. Các số liệu, kết
quả nêu trong luận văn là trung thực và chƣa từng đƣợc ai công bố trong bất kỳ
công trình nào khác.

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017
Tác giả luận văn

Nguyễn Ngọc Hoa

i


LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới PGS.TS Trần Trung đã tận tình
hƣớng dẫn em hoàn thành luận văn này.
Em xin trân trọng cảm ơn:
- Phòng đào tạo sau đại học trƣờng ĐHSP Thái Nguyên, Khoa Toán trƣờng
ĐHSP Thái Nguyên.
- Các thầy cô giáo ở trƣờng ĐHSP Thái Nguyên đã hƣớng dẫn em học tập
trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
- Bạn bè và gia đình đã động viên em trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.
Dù đã rất cố gắng nhƣng luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, em
mong nhận đƣợc sự góp ý chân thành của quý thầy, cô giáo và các bạn.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017
Tác giả luận văn

Nguyễn Ngọc Hoa

ii


MỤC LỤC
Lời cam đoan .................................................................................................................. i
Lời cảm ơn .....................................................................................................................ii
Mục lục ........................................................................................................................ iii
Danh mục các chữ viết viết tắt trong luận văn ............................................................. iv
Danh mục các bảng ........................................................................................................ v
Danh mục các hình ....................................................................................................... vi
MỞ ĐẦU .......................................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài .......................................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................................2
3. Đối tƣợng và khách thể nghiên cứu ...........................................................................2
4. Giả thuyết khoa học ...................................................................................................2
5. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................................3
6. Phƣơng pháp nghiên cứu ...........................................................................................3
7. Đóng góp của luận văn, kết quả đạt đƣợc..................................................................3
8. Cấu trúc của luận văn.................................................................................................3
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.......................................................4
1.1. Tổng quan lịch sử nghiên cứu vấn đề .....................................................................4
1.1.1. Lịch sử nghiên cứu năng lực toán học .................................................................4
1.1.2. Lịch sử hình thành Phƣơng pháp tọa độ ..............................................................5
1.2. Dạy học giải toán ....................................................................................................6
1.2.1. Vị trí chức năng của bài tập toán .........................................................................6
1.2.2. Phân loại bài tập toán.............................................................................................9
1.2.3. Phƣơng pháp tìm lời giải các bài toán ...............................................................10
1.2.4. Các yêu cầu của việc giải bài toán .....................................................................13

1.3. Năng lực và năng lực toán học .............................................................................14
1.3.1. Năng lực .............................................................................................................14
1.3.2. Năng lực toán học ..............................................................................................15
1.4. Năng lực giải toán của học sinh ............................................................................16

iii


1.4.1. Quan niệm về năng lực giải toán .......................................................................16
1.4.2. Một số thành tố năng lực giải toán của học sinh ...............................................18
1.4.3. Các yếu tố ảnh hƣởng đến năng lực giải toán của học sinh...............................30
1.5. Thực trạng bồi dƣỡng năng lực giải toán trong dạy học giải toán cho học sinh
ở trƣờng Trung học phổ thông hiện nay ......................................................................34
1.6. Kết luận chƣơng 1 .................................................................................................35
Chƣơng 2: CÁC BIỆN PHÁP SƢ PHẠM BỒI DƢỠNG NĂNG LỰC GIẢI
TOÁN TRONG DẠY HỌC GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ PHƢƠNG PHÁP TỌA
ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG....36
2.1. Khái quát chủ đề Phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng ở trƣờng Trung học
phổ thông .....................................................................................................................36
2.1.1. Vị trí và mục tiêu dạy học nội dung chủ đề Phƣơng pháp tọa độ trong mặt
phẳng ở trƣờng Trung học phổ thông ..........................................................................36
2.1.2. Yêu cầu về kiến thức, kỹ năng của chủ đề Phƣơng pháp tọa độ trong mặt
phẳng trong chƣơng trình môn Toán Trung học phổ thông ........................................36
2.1.3. Nội dung chủ đề Phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng ở trƣờng Trung học
phổ thông .....................................................................................................................39
2.1.4. Đặc điểm dạy học chủ đề Phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng ở trƣờng
Trung học phổ thông ....................................................................................................41
2.2. Định hƣớng đề xuất các biện pháp sƣ phạm bồi dƣỡng năng lực giải toán
trong dạy học giải toán chủ đề Phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng ........................46
2.3. Các biện pháp sƣ phạm bồi dƣỡng năng lực giải toán trong dạy học giải toán

chủ đề Phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng ..............................................................48
2.3.1. Biện pháp 1: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng thực hiện lƣợc đồ G.Polya
trong giải toán các bài toán về tọa độ trong mặt phẳng ...............................................48
2.3.2. Biện pháp 2: Rèn luyện cho học sinh giải toán các bài toán tọa độ trong
mặt phẳng bằng nhiều cách khác nhau ........................................................................59
2.3.3. Biện pháp 3: Bồi dƣỡng cho học sinh khả năng chuyển đổi các bài toán đại
số sang bài toán tọa độ trong mặt phẳng thông qua hoạt động biến đổi đối tƣợng
để nhận thức mối liên hệ ẩn chứa trong bài toán .........................................................80

iv


2.3.4. Biện pháp 4: Rèn luyện kỹ năng tọa độ hóa để giải các bài toàn hình học .......85
2.4. Kết luận chƣơng 2 .................................................................................................94
Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .................................................................95
3.1. Mục đích, nội dung thực nghiệm sƣ phạm ...........................................................95
3.1.1. Mục đích của thực nghiệm sƣ phạm ..................................................................95
3.1.2. Nội dung của thực nghiệm sƣ phạm ..................................................................95
3.2. Tổ chức thực nghiệm ............................................................................................95
3.2.1. Đối tƣợng và địa bàn thực nghiệm ....................................................................95
3.2.2. Kế hoạch thực nghiệm .......................................................................................95
3.2.3. Đề kiểm tra thực nghiệm ...................................................................................96
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm ..............................................................................96
3.4. Kết luận chƣơng 3 .................................................................................................98
KẾT LUẬN .................................................................................................................99
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................100
PHỤ LỤC

v

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

Viết tắt

Viết đầy đủ

[!]

: Dự kiến câu trả lời của học sinh

[?]

: Câu hỏi gợi ý của giáo viên

DH

: Dạy học

GV

: Giáo viên

HĐ

: Hoạt động

HS

: Học sinh

PPTĐ

: Phƣơng pháp tọa độ

Pttq

: Phƣơng trình tổng quát

THPT

: Trung học phổ thông

Tr

: Trang

Vtcp

: vec-tơ chỉ phƣơng

Vtpt

: vec-tơ pháp tuyến

iv


DANH MỤC BẢNG

Bảng 1.1: Bảng khảo sát thực trạng DH giải toán .......................................................34
Bảng 3.1: Bảng phân phối tần suất điểm của bài kiểm tra ..........................................97
Bảng 3.2: Bảng phân phối tần suất điểm tính theo % ..................................................97

v


DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình 1.1 .......................................................................................................................19
Hình 1.2 .......................................................................................................................21
Hình 1.3 .......................................................................................................................23
Hình 1.4 .......................................................................................................................25
Hình 2.1 .....................................................................................................................43
Hình 2.2 ......................................................................................................................43
Hình 2.3 .......................................................................................................................43
Hình 2.4 .......................................................................................................................51
Hình 2.5 .......................................................................................................................52
Hình 2.6 .......................................................................................................................54
Hình 2.7 .......................................................................................................................55
Hình 2.8 .......................................................................................................................57
Hình 2.9 .......................................................................................................................58
Hình 2.10 .....................................................................................................................60
Hình 2.11 .....................................................................................................................62
Hình 2.12 .....................................................................................................................63
Hình 2.13 .....................................................................................................................64
Hình 2.14 .....................................................................................................................65
Hình 2.15 .....................................................................................................................66
Hình 2.16 .....................................................................................................................67
Hình 2.17 .....................................................................................................................68

Hình 2.18 .....................................................................................................................70
Hình 2.19 .....................................................................................................................71
Hình 2.20 .....................................................................................................................72
Hình 2.21 .....................................................................................................................72
Hình 2.22 .....................................................................................................................73
Hình 2.23 .....................................................................................................................74
Hình 2.24 .....................................................................................................................75

vi


Hình 2.25 .....................................................................................................................76
Hình 2.26 .....................................................................................................................76
Hình 2.27 .....................................................................................................................77
Hình 2.28 .....................................................................................................................78
Hình 2.29 .....................................................................................................................78
Hình 2.30 .....................................................................................................................79
Hình 2.31 .....................................................................................................................82
Hình 2.32 .....................................................................................................................86
Hình 2.33 .....................................................................................................................87
Hình 2.34 .....................................................................................................................88
Hình 2.35 .....................................................................................................................90
Hình 2.36 .....................................................................................................................91
Hình 2.37 .....................................................................................................................93
Hình 3.1: Biểu đồ phân phối tần suất điểm tính theo % ..............................................97

vii


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Giáo dục Việt Nam đang tiến hành đổi mới căn bản, toàn diện từ mục tiêu giáo
dục, nội dung đến phƣơng pháp, phƣơng tiện DH. Nâng cao chất lƣợng DH nói
chung, chất lƣợng DH môn Toán nói riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với
ngành giáo dục nƣớc ta hiện nay GV phải thiết kế các HĐ, tổ chức DH một cách
thuận lợi đồng thời giúp HS nắm bắt, vận dụng đƣợc kiến thức trong thời gian ngắn
nhất vào thực tiễn một cách có hiệu quả và do vậy đặt ra những yêu cầu cấp thiết
trong việc nâng cao chất lƣợng và hiệu quả giảng dạy. Trong đó phƣơng pháp giảng
dạy là một trong những yếu tố quyết định để GV và HS hoàn thành nhiệm vụ dạy và
học của mình, nhằm đáp ứng những thay đổi nhanh chóng của khoa học, công nghệ,
truyền thông.
Toán học có liên quan chặt chẽ với thực tế và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều
lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội hiện đại, nó
thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hóa sản xuất, trở thành công cụ thiết yếu cho
mọi ngành khoa học và đƣợc coi là chìa khóa của sự phát triển. DH giải toán có vai
trò quan trọng trong việc phát triển khả năng tƣ duy của HS, vì để giải bài toán HS
phải suy luận phải tƣ duy, phải liên hệ với các bài toán khác để tìm ra lời giải; phải
biết huy động kiến thức, biết chuyển đổi ngôn ngữ, biến đổi đối tƣợng. Mối liên hệ,
dấu hiệu trong bài toán chỉ có thể đƣợc phát hiện thông qua quá trình phân tích, tổng
hợp, khái quát hoá, so sánh... Nguồn gốc sức mạnh của Toán học là ở tính chất trừu
tƣợng cao độ của nó. Nhờ trừu tƣợng hoá mà Toán học đi sâu vào bản chất của nhiều
sự vật, hiện tƣợng và có ứng dụng rộng rãi. Nhờ có khái quát hoá, xét tƣơng tự mà
khả năng suy đoán và tƣởng tƣợng của HS đƣợc phát triển, và có những suy đoán có
thể rất táo bạo, có căn cứ dựa trên những quy tắc, kinh nghiệm qua việc rèn luyện các
thao tác tƣ duy. Cũng qua thao tác khái quát hoá và trừu tƣợng hoá mà tƣ duy độc lập,
tƣ duy sáng tạo, tƣ duy phê phán của HS cũng đƣợc hình thành và phát triển. Bởi qua
các thao tác tƣ duy đó HS tự mình phát hiện vấn đề, tự mình xác định đƣợc phƣơng
hƣớng, tìm ra cách giải quyết và cũng tự mình kiểm tra, hoàn thiện kết quả đạt đƣợc
của bản thân cũng nhƣ những ý nghĩ và tƣ tƣởng của ngƣời khác. Một mặt các em
cũng phát hiện ra đƣợc những vấn đề mới, tìm ra hƣớng đi mới, tạo ra kết quả mới.

1


Bài tập toán học là một công cụ cần thiết giúp HS thực hiện các HĐ toán học
trong và ngoài giờ lên lớp. Đã có nhiều công trình nghiên cứu các chức năng của
bài tập toán. Trong các chức năng đƣợc nói đến, chức năng DH, chức năng phát
triển, chức năng kiểm tra và chức năng giáo dục đƣợc khai thác nhiều trong DH.
Thực chất HĐ giải toán là HĐ trung tâm trong học tập môn toán của HS. Thông qua
số lƣợng và chất lƣợng hoàn thành công việc giải toán về căn bản có thể đánh giá
đƣợc trình độ nhận thức môn toán của ngƣời học. Chính vì lẽ đó, bài tập toán tham
gia vào mọi khâu của quá trình DH môn toán.
Chƣơng “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” có vai trò quan trọng trong
môn Toán ở trƣờng THPT, đây là một nội dung luôn gắn với HS trong suốt quá
trình học tập cũng nhƣ trong nhiều bài toán thực tế.
Đã có nhiều công trình nghiên cứu về việc DH giải toán cho HS nhƣng đây
vẫn là vấn đề cần đƣợc tiếp tục nghiên cứu cả về phƣơng diện lý luận và triển khai
trong thực tiễn DH, vì vậy với tất cả những lý do trên tôi chọn đề tài nghiên cứu của
luận văn này là: “Dạy học giải toán chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
cho học sinh Trung học phổ thông”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một số vấn đề về cơ sở lí luận và thực tiễn về DH giải toán, năng
lực giải toán PPTĐ trong mặt phẳng cho HS THPT. Đề xuất các biện pháp sƣ phạm
trong DH giải toán PPTĐ nhằm bồi dƣỡng năng lực giải toán góp phần nâng cao chất
lƣợng DH môn Toán ở trƣờng phổ thông.
3. Đối tƣợng và khách thể nghiên cứu
- Đối tƣợng nghiên cứu: Quá trình DH giải toán PPTĐ trong mặt phẳng ở
trƣờng THPT.
- Khách thể nghiên cứu: Các biện pháp bồi dƣỡng năng lực giải toán trong DH
giải toán chủ đề PPTĐ trong mặt phẳng cho HS ở trƣờng THPT.

4. Giả thuyết khoa học
Nếu xây dựng đƣợc các biện pháp sƣ phạm và sử dụng các biện pháp trong
DH giải toán nói chung cũng nhƣ bồi dƣỡng năng lực giải toán PPTĐ trong mặt
phẳng nói riêng trong quá trình DH sẽ góp phần nâng cao chất lƣợng DH môn toán và
đổi mới phƣơng pháp DH trong giai đoạn hiện nay.

2


5. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lí luận có liên quan đến vấn đề DH giải toán, năng lực giải
toán cho HS.
- Nghiên cứu về nội dung chủ đề PPTĐ trong mặt phẳng trong chƣơng trình
toán THPT.
- Điều tra, khảo sát để làm rõ cơ sở thực tiễn về vấn đề DH giải toán, bồi
dƣỡng năng lực giải toán cho HS ở trƣờng THPT hiện nay.
- Đề xuất các biện pháp sƣ phạm bồi dƣỡng năng lực giải toán trong DH giải
toán chủ đề PPTĐ trong mặt phẳng cho HS THPT.
- Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm để đánh giá tính khả thi, hiệu quả của các biện
pháp sƣ phạm đã đề xuất.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu về các
vấn đề liên quan đến đề tài của luận văn.
- Phƣơng pháp nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát thực trạng việc DH nội dung
PPTĐ trong mặt phẳng cho HS ở trƣờng THPT qua các hình thức dự giờ, quan sát,
điều tra.
- Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm: Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm và xử lý
số liệu thống kê để đánh giá kết quả định tính, định lƣợng.
7. Đóng góp của luận văn, kết quả đạt đƣợc
- Góp phần làm sáng tỏ một số thành tố năng lực giải toán của HS.

- Làm rõ vị trí, chức năng của bài tập toán.
- Đề xuất những định hƣớng và các biện pháp sƣ phạm trong quá trình DH giải
toán chủ đề PPTĐ trong mặt phẳng nhằm góp phần bồi dƣỡng năng lực giải toán cho HS.
8. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần Mở đầu và Kết luận cùng Phụ lục, nội dung luận văn gồm ba
chƣơng nhƣ sau:
Chƣơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chƣơng 2: Các biện pháp sƣ phạm bồi dƣỡng năng lực giải toán trong DH giải
toán chủ đề PPTĐ trong mặt phẳng cho HS THPT
Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm.

3


Chƣơng 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Tổng quan lịch sử nghiên cứu vấn đề
1.1.1. Lịch sử nghiên cứu năng lực toán học
Nhà Toán học Pháp H. Poincaré là một trong những ngƣời đầu tiên đề xƣớng
việc nghiên cứu cấu trúc năng lực toán học của HS. Ông công nhận có tính đặc thù
của các năng lực sáng tạo Toán học và đã chỉ ra những thành phần quan trọng nhất
của chúng là trực giác Toán học. Trong các bài của Viện sĩ B.V. Gơnheđencô (dẫn
theo [16, tr.15 viết về giáo dục học ở trƣờng phổ thông, ông đƣa ra các yêu cầu đối
với tƣ duy Toán học của HS là: Năng lực nhìn thấy sự không r ràng của quá trình
suy luận, thấy đƣợc sự thiếu sót của những điều cần thiết trong chứng minh; Sự cô
đọng; Sự chính xác của các kí hiệu; Phân chia r tiến trình suy luận; Thói quen lí lẽ
đầy đủ về logic.
A.N. Kôlmôgôrôv (dẫn theo [20, tr.18]) xem xét năng lực toán học trên cơ sở 3
thành tố có liên quan đến: Năng lực biến đổi thành thạo các biểu thức chữ phức tạp,
năng lực tìm kiếm các phƣơng pháp xa lạ với các qui tắc thông thƣờng để giải

phƣơng trình; Trí tƣởng tƣợng hình học hay “trực giác hình học”; Nghệ thuật suy
luận lôgíc đƣợc phân nhỏ hợp lí, tuần tự.
V. A. Cruchetxki (dẫn theo [20, tr.24]) lại nhìn nhận dƣới góc độ thu nhận và
xử lí thông tin đã phân chia năng lực Toán học bao gồm các thành tố cơ bản là:
- Thu nhận thông tin toán học: Năng lực tri giác hình thức hóa tài liệu Toán
học, năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán;
- Chế biến thông tin Toán học: Năng lực tƣ duy lôgic trong lĩnh vực các quan
hệ số lƣợng và hình dạng không gian, hệ thống kí hiệu số và dấu. Năng lực tƣ duy
bằng các kí hiệu Toán học; Năng lực khái quát hóa nhanh chóng và rộng các đối
tƣợng, quan hệ Toán học và phép toán; Năng lực rút gọn quá trình suy luận Toán học
và hệ thống các phép toán tƣơng ứng. Năng lực tƣ duy bằng cấu trúc rút gọn; Tính
linh hoạt trong quá trình tƣ duy trong HĐ Toán học; Năng lực nhanh chóng và dễ
dàng sửa sai lại phƣơng hƣớng của tiến trình tƣ duy thuận sang tiến trình tƣ duy đảo
(trong suy luận Toán học);

4


- Lƣu trữ thông tin toán học: Trí nhớ Toán học (trí nhớ khái quát về hệ thống
Toán học; đặc điểm về loại; sơ đồ suy luận và chứng minh; phƣơng pháp giải Toán;
nguyên tắc đƣờng lối giải Toán);
- Thành phần tổng hợp khái quát: khuynh hƣớng Toán học của trí tuệ.
Theo hƣớng bồi dƣỡng năng lực Toán học cho HS trung học cơ sở, Trần Đình
Châu tập trung vào bốn yếu tố của nó trong DH Số học [3, tr.38]. Nghiên cứu rèn
luyện năng lực giải Toán, Lê Thống Nhất đã đi theo hƣớng tìm hiểu, phân loại các sai
lầm và biện pháp sửa chữa cho HS THPT [12]...
Từ những nghiên cứu trên, có thể thấy: Năng lực Toán học là những đặc điểm
tâm lí về HĐ trí tuệ của HS, giúp họ nắm vững và vận dụng tƣơng đối nhanh, dễ
dàng, sâu sắc, những kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong môn Toán. Năng lực Toán học
đƣợc hình thành, phát triển, thể hiện thông qua (và gắn liền với) các HĐ của HS

nhằm giải quyết những nhiệm vụ học tập trong môn Toán: xây dựng và vận dụng
khái niệm, chứng minh và vận dụng định lí, giải bài toán,…
1.1.2. Lịch sử hình thành Phương pháp tọa độ
Theo [17], từ xa xƣa những ngƣời Ai Cập và La Mã cổ đại đã sử dụng PPTĐ
trong việc trắc địa. Tiếp đó, ngƣời Hy Lạp đã sử dụng PPTĐ trong việc vẽ bản đồ.
Đến thế kỉ thứ XVII, Réné Descartes và Pierre de Fermat đã đồng thời cống
hiến cho khoa học một phƣơng pháp mới mới đó là PPTĐ. PPTĐ là cơ sở cho hình
học giải tích do hai ông xây dựng nên. Một điều nói thêm rằng, khi Desargues và
Pascal mở ra một lĩnh vực mới là hình học xạ ảnh thì hình học xạ ảnh khác với hình
học giải tích do các ông Fermat và Descartes phát minh ra. Sự khác biệt đƣợc thể hiện
nhƣ sau, hình học xạ ảnh là một nhánh của hình học nói chung còn hình học giải tích
lại là một phương pháp của hình học.
Việc ứng dụng PPTĐ trong không gian ba chiều đƣợc thực hiện vào cuối thế
kỉ XVII và trong thế kỉ XVIII do công rất lớn của Clairot và Euler.
Vào thế kỉ thứ XIX, do sự phát triển nhƣ vũ bão của các ngành kĩ thuật, đặc
biệt là vật lý, toán học đã có nhiều bƣớc tiến mới nhƣ các khái niệm về vectơ,
tenxơ,… đã xuất hiện trong hình học. Wessel (1745 – 1818), J. R. Argent (1768 –
1822), C.F. Gauss (1777 – 1855) có các công trình về lý thuyết số phức đã thiết lập

5


mối liên hệ giữa các phép toán số học trên các số phức với các phép toán hình học
trên các vectơ trong không gian hai chiều.
Vào thế kỉ thứ XIX, các ông W.R. Hamilton, A.F. Mobiles đã sử dụng khái
niệm vectơ để nghiên cứu không gian ba chiều và nhiều chiều.
Cuối thế kỉ thứ XIX, đầu thế kỉ thứ XX, phép tính vectơ đƣợc phát triển và ứng
dụng rộng rãi. Xuất hiện các ngành mới nhƣ đại số vectơ, giải tích vectơ, lý thuyết
trƣờng, lý thuyết tổng quát về không gian nhiều chiều. Các lý thuyết này có ứng dụng rất
lớn trong vật lý hiện đại, chẳng hạn nhƣ thuyết tƣơng đối của Albert Einstein.

Nói tóm lại, sự ra đời của vectơ và tọa độ đã góp phần không nhỏ trong việc thúc
đẩy sự phát triển của toán học và ứng dụng của toán học trong các bài toán thực tế.
1.2. Dạy học giải toán
1.2.1. Vị trí chức năng của bài tập toán
Ở trƣờng phổ thông, dạy toán là dạy HĐ toán học. Đối với HS có thể xem
việc giải toán là HĐ chủ yếu của HĐ toán học. Các bài toán ở trƣờng phổ thông là
một phƣơng tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế đƣợc trong việc giúp HS nắm
vững tri thức, phát triển tƣ duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, ứng dụng toán học vào
thực tiễn. Thông qua giải bài tập, HS phải thực hiện những HĐ nhất định bao gồm
cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phƣơng pháp, những HĐ
Toán học phức hợp, những HĐ trí tuệ phổ biến trong Toán học, những HĐ trí tuệ
chung và những HĐ ngôn ngữ. HĐ giải bài tập Toán học là điều kiện để thực
hiện tốt các mục đích DH. Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc giải bài tập Toán
học có vai trò quyết định đối với chất lƣợng DH môn Toán.
Trong thực tiễn, bài tập toán đƣợc sử dụng với nhiều dụng ý khác nhau. Mỗi
bài tập có thể đƣợc dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với
nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra... Tất nhiên, việc giải một bài tập cụ thể
thƣờng không chỉ nhằm vào một dụng ý đơn nhất nào đó mà thƣờng bao hàm những
ý đồ nhiều mặt đã nêu. HĐ học của HS liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và
PPDH. Vai trò của bài tập Toán học đƣợc thể hiện trên ba bình diện sau:
Thứ nhất, trên bình diện mục tiêu DH, bài tập Toán học ở trƣờng phổ thông là
giá mang những HĐ mà việc thực hiện các HĐ đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu.

6


Mặt khác, những bài tập lại thể hiện những chức năng khác nhau hƣớng đến việc
thực hiện các mục tiêu DH môn Toán, cụ thể là:
- Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau
của quá trình DH, kể cả khả năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn.

- Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những HĐ tƣ duy, hình thành những
phẩm chất trí tuệ.
- Bồi dƣỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm
chất đạo đức của ngƣời lao động mới.
Thứ hai, trên bình diện nội dung DH, những bài tập Toán học là giá mang HĐ
liên hệ với những nội dung nhất định, một phƣơng tiện cài đặt nội dung để hoàn
chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã đƣợc trình bày trong phần lí thuyết.
Thứ ba, trên bình diện phương pháp DH, bài tập Toán học là giá mang HĐ để
ngƣời học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu DH
khác. Khai thác tốt các bài tập nhƣ vậy sẽ góp phần tổ chức cho HS học tập trong HĐ
và bằng HĐ tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo đƣợc thực hiện độc lập hoặc trong
giao lƣu [8, tr.388].
Theo Vũ Dƣơng Thụy [9], bài tập có các chức năng sau:
 Chức năng dạy học: GV có thể dùng bài tập toán để hình thành, củng cố cho HS

những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình DH.
Ví dụ 1.1. Để hình thành cho HS khái niệm của dãy số, GV có thể cho HS giải bài tập
sau: Cho dãy số (

)

. Biểu diễn (

a Em có nhận xét gì về khoảng cách từ

) trên trục số.
đến 0 khi n lớn?

b Bắt đầu từ số hạng nào của dãy số

thì khoẳng cách từ

đến 0 nhỏ hơn

0,01? 0,001?
Bằng việc giải bài tập này HS sẽ nhận ra 2 điều:
- Khi n càng lớn thì khoảng cách từ

đến 0 càng nhỏ, tức là

càng dần đến 0 khi

n càng lớn.
- Ta luôn tìm đƣợc số n để khoảng cách |

| nhỏ hơn một số dƣơng tùy ý cho trƣớc.

Trên cơ sở đó, GV dẫn dắt HS vào khái niệm của dãy số.

7


 Chức năng giáo dục: HĐ giải bài tập toán giúp HS hình thành thế giới quan duy

vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin khám phá và phẩm chất đạo đức. Trong quá
trình giải bài tập HS phải thƣờng xuyên sử dụng các quy tắc, định lí, mệnh đề logic,...
Các em dần làm quen với luận chứng, luận cứ khao học và lối tƣ duy khoa học.
Việc giải các bài tập liên môn nhƣ ứng dụng Toán học vào giải các bài toán vật
lí, hóa học, sinh học, địa lí... đã cho thấy đƣợc tầm quan trọng và ý nghĩa của
môn toán, học tốt môn toán là nền tảng để học tốt các môn khoa học tự nhiên khác.

Cũng chính vẽ đẹp của các bài tập toán học và những ứng dụng thực tiễn của nó sẽ
tạo nên niềm hứng thú, niềm tin và lòng say mê học tập.
Ví dụ 1.2. Để nhấn mạnh tầm quan trọng của việc phân biệt các hình hộp, GV có
thể cho tình huống nhƣ sau: Một công ty A đến kí hợp đồng để công ti B sản xuất
các hình hộp bằng kim loại quí với ba kích thƣớc là a, b, c cho trƣớc. Nhƣng do
hợp đồng không ghi rõ là hình hộp gì, nên để “dạy” cho bên A một bài học, bên
B đã sản xuất những hình hộp rất dẹt với 3 kích thƣớc nhƣ đã kí kết. Bên B không
dùng đƣợc những sản phẩm này nhƣng
vẫn phải thanh lí hợp đồng. Thiệt hại này của cơ quan là do khái niệm “hình
hộp” trong văn bản kí kết.
 Chức năng phát triển: Thông qua HĐ giải bài tập HS đƣợc phát triển năng lực

tƣ duy và các thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tƣ duy khoa học. Các
HĐ thƣờng xuyên diễn ra trong DH giải toán là: phân tích, so sánh, tổng hợp, khái
quát hóa, trừu tƣợng hóa...
Trong khi DH, GV nên tạo điều kiện cho HS đƣợc rèn luyện các HĐ trí
tuệ. Cho HS thực hiện các thao tác phân tích và tổng hợp, phân tích trong khi đi
tìm lời giải và tổng hợp để trình bày lời giải. Việc tìm nhiều lời giải cho một bài
toán và phân tích, so sánh để tìm ra lời giải hay nhất là một HĐ phát huy đƣợc
năng lực tƣ duy của HS, đó là một HĐ rất đáng lƣu ý trong DH.
Ví dụ 1.3. Khi giải bài toán: “Chứng minh rằng nếu
đã tìm ra đƣợc nhiều cách giải. Sau đây là một số cách giải:
*Cách 1: Đặt

thì

(

. Ta có :

)(

)

8

thì

”, các em


Dấu “=” xảy ra khi
Xét hiệu:

*Cách 2: Từ

(

)

(
Do đó :

*Cách 3: Ta có

(

)

)

(

*Cách 4: Ta có (

)(

)

)

(

)

hay

( )

(2). Cộng (1) với (2 ta đƣợc :
*Cách 5 : Không mất tính tổng quát ta giả sử
Từ đó : (

)(

, ta có :

)

*Cách 6 : Giả sử

. Từ giả thiết

và do

nên ta có:

(vô lý). Vậy
Sở dĩ tìm được nhiều cách giải như vậy là vì các em biết khai thác giả thiết theo
nhiều cách khác nhau, có nhiều cách “nhìn’ khác nhau.
 Chức năng kiểm tra: Bài tập là phƣơng tiện tốt để đánh giá mức độ, chất lƣợng, kết quả

giảng dạy và học tập, đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của HS.
1.2.2. Phân loại bài tập toán
Ngƣời ta có thể phân loại bài tập toán theo nhiều cách khác nhau tùy thuộc
vào mục đích khai thác của nó.
Theo tài liệu bồi dƣỡng GV, phân chia theo cấp độ kiến thức thì bài tập
đƣợc phân thành ba loại: bài tập nhận biết, bài tập thông hiểu và bài tập vận dụng.
 Bài tập nhận biết: là loại bài tập chỉ yêu cầu HS nhớ khái niệm, định nghĩa, định

lí, hệ quả... là giải đƣợc.
Ví dụ 1.4. Tìm tâm và bán kính của đƣờng tròn
 Bài tập thông hiểu: là loại bài tập yêu cầu HS phải hiểu đƣợc ý nghĩa, kí hiệu

toán học trong định nghĩa, định lí, quy tắc, công thức mới giải đƣợc.
Ví dụ 1.5. Viết phƣơng trình chính tắc của elip (E có tiêu điểm trùng với tiêu điểm
của Hypebol (H):

và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H .

9


- Bài tập vận dụng: là loại bài tập đòi hỏi HS phải vận dụng các định lí, định
nghĩa, quy tắc, suy luận, khái quát hóa, trừu tƣợng hóa kiến thức mới giải đƣợc.
Ví dụ 1.6. Tìm quỹ tích các điểm biểu diễn trên mặt phẳng biểu diễn số phức

|

|

Gọi

(

|

|

.

) biểu diễn số phức z, ta có

Ta có |

|

|

|

√

|
(

(
)

)|

√

(

|

(
)

)|
( )

Đặt A(0 ;1), B(0 ;-1) ta có (2)
Vậy quỹ tích các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức z là elip(E :

Theo G. Polya, ông chia bài toán thành hai dạng : Bài toán tìm tòi và bài toán
chứng minh.
- Bài toán tìm tòi: là bài toán yêu cầu HS phải tìm ra một đối tƣợng nào đó, hay nói
cách khác là tìm ra ẩn số của bài toán.
Ví dụ 1.7. Các bài toán dựng hình, quỹ tích, bài toán xác định, giải phƣơng trình,

bất phƣơng trình, hệ phƣơng trình, bài toán tìm max, min,...là các bài toán tìm tòi.
- Bài toán chứng minh: là bài toán xác định xem một kết luận nào đó đúng hay sai,
là xác nhận hay bác bỏ kết quả đó.
Ví dụ 1.8. Các bài toán chứng minh về hình học, đại số, lƣợng giác... đều thuộc loại
bài toán chứng minh.
1.2.3. Phương pháp tìm lời giải các bài toán
Không thể có một phƣơng pháp chung để giải mọi bài toán. Ngay cả đối với
những lớp bài toán riêng biệt cũng có trƣờng hợp có, trƣờng hợp không có thuật
giải. Tuy nhiên, trang bị những hƣớng dẫn chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tòi, phát
hiện cách giải bài toán lại là điều có thể và cần thiết.
Bài tập toán rất đa dạng và phong phú. Việc giải bài tập là một yêu cầu quan
trọng đối với HS. Có thể chia bài tập toán ra làm hai loại:
a) Loại có sẵn thuật toán.

10


Để giải loại này HS phải nắm vững các quy tắc giải đã học và rèn luyện kỹ
năng, kỹ xảo. Đây là cơ sở quan trọng để giải các bài toán phức tạp hơn. Yêu cầu cho
HS là:
- Nắm vững quy tắc giải đã học.
- Nhận dạng đúng bài toán
- Giải theo quy tắc đã học một cách thành thạo.
b) Loại chƣa có sẵn thuật toán.
Loại bài tập này chiếm số lƣợng khá lớn trong sách giáo khoa và gây cho HS
không ít khó khăn dẫn đến tâm lý sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng của mình. Đây
là một trở ngại lớn cho ý chí tiến thủ vƣơn lên trong học tập của HS. Do vậy khi dạy
HS giải bài tập, không chỉ đơn thuần cung cấp lời giải mà quan trọng hơn là: Dạy cho
HS biết cách suy nghĩ tìm ra con đƣờng hợp lý để giải bài toán.
Trong DH giải toán, kỹ năng tìm kiếm lời giải là một trong các kỹ năng quan

trọng nhất, mà việc rèn luyện các thao tác tƣ duy là một thành phần không thể thiếu
trong DH giải toán.
Dựa trên những tƣ tƣởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của G.
Polya về cách thức giải bài toán đã đƣợc kiểm nghiệm trong thực tiễn DH, có thể
nêu lên phƣơng pháp chung để giải bài toán nhƣ sau:
 Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
- Phát biểu đề bài dƣới những dạng khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán;
- Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh;
- Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.

Bước 2: Tìm cách giải
- Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán, biến đổi
cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho và cái phải
tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán tƣơng tự, một
trƣờng hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan,
sử dụng những phƣơng pháp đặc thù với từng dạng toán nhƣ chứng minh phản chứng,
quy nạp toán học, giải toán dựng hình, quỹ tích...
- Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bƣớc thực hiện hoặc đặc biệt
hóa kết quả tìm đƣợc hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức liên quan.
- Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn đƣợc cách giải hợp lí nhất.

11


 Bước 3: Trình bày lời giải
- Từ các cách giải đã đƣợc phát hiện, sắp xếp các việc làm thành một
chƣơng trình gồm các bƣớc theo một trình tự thích hợp và thực hiện mạch lạc các
bƣớc đó.

 Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
- Nghiên cứu giải những bài toán tƣơng tự, mở rộng, khái quát hóa hay lật
ngƣợc vấn đề.

√

Ví dụ 1.9. Giải phƣơng trình:

 Bước 1: Tìm hiểu bài toán: Bài toán yêu cầu giải phƣơng trình có chứa một căn
thức bậc 2.
 Bước 2: Tìm cách giải:
- Với bài toán trên ta có thể giải nhƣ thế nào?
- Cách giải thông thƣờng của các phƣơng trình chứa căn thức?
- Hãy nêu các hƣớng để giải bài toán trên?
Cách 1: Đặt điều kiện sau đó bình phƣơng hai vế.

√

Cách 2: Đặt

và chuyển phƣơng trình đã cho về biến

Cách 3: Phân tích (1) thành (

)(

)

√

có nhân tử chung là √

,…
 Bước 3: Trình bày lời giải:

{

√

Ta có:

0

{

(

0

{

)
0

{

(

0

{
0

)
0

0
[
(

√
)(

)
√

{

{[
12

[

√


 Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải:
Với phƣơng trình trên thì các cách giải ở bƣớc 2 đều thực hiện vì phƣơng trình đã
cho có nghiệm nguyên là x=-1. Một câu hỏi rất tự nhiên là nếu phƣơng trình không có

√

nghiệm nguyên thì sao? Chẳng hạn với phƣơng trình

thì cách giải ở

trên rất khó giải vì phƣơng trình bậc 4 sau khi bình phƣơng không có nghiệm nguyên.
GV khuyến khích HS tìm ra cách giải khác:
√

Đặt

. Từ đó ta có hệ phƣơng trình:

{
Đây là hệ đối xứng loại 2 mà HS đã biết cách giải bằng cách trừ vế với về của
hai phƣơng trình.
- GV nên cho HS khái quát bài toán và giải phƣơng trình tổng quát hơn:

√
√

- Nếu GV chỉ dừng lại ở dạng

thì HS sẽ gặp khó khăn khi

giải các bài toán tổng quát hơn. GV có thể cho HS nghiên cứu thêm bài toán:
1.

√

√

2.
3.

√

Từ các tình huống mà GV đặt ra, HS có thể tìm đƣợc dạng tổng quát của
phƣơng trình trên là:

√

.

1.2.4. Các yêu cầu của việc giải bài toán
Để phát huy tác dụng của bài tập toán học cần nắm vững các yêu cầu của lời
giải. Nói một cách tóm tắt, lời giải phải đúng và phải tốt. Để thuận tiện cho việc
thực hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình DH và đánh giá HS, có thể cụ thể
hóa các yêu cầu, đƣơng nhiên phải chấp nhận những yếu tố trùng lặp nhất định
trong các yêu cầu chi tiết :
 Kết quả phải đúng

Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng, một biểu thức, một hàm số,
một hình vẽ,... thỏa mãn các yêu cầu đề ra. Kết quả các bƣớc trung gian cũng phải

13


đúng. Nhƣ vậy lời giải không thể chứa những sai lầm tính toán, vẽ hình, biến đổi
biểu thức,...

 Lập luận phải chặt chẽ: Lời giải phải tuân thủ các yêu cầu sau:

- Luận đề phải nhất quán;
- Luận cứ phải đúng;
- Luận chứng phải hợp lôgic.
 Lời giải phải đầy đủ: Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không đƣợc bỏ sót một

trƣờng hơp, một chi tiết cần thiết nào. Cụ thể là giải phƣơng trình không đƣợc thiếu
nghiệm, phân chia trƣờng hợp không đƣợc thiếu một khả năng nào,...
1.3. Năng lực và năng lực toán học
1.3.1. Năng lực
Năng lực là những đặc điểm tâm lí cá nhân của con ngƣời, đáp ứng đƣợc yêu
cầu của một loại HĐ nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành tốt HĐ đó.
Thông thƣờng, một ngƣời đƣợc coi là có năng lực nếu ngƣời đó nắm vững tri
thức, kĩ năng, kĩ xảo của một loại HĐ nào đó và đạt đƣợc kết quả tốt hơn, cao hơn so
với trình độ trung bình của những ngƣời khác cũng tiến hành HĐ đó trong những
điều kiện hoàn cảnh tƣơng đƣơng.
Khi nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong loại HĐ nhất định của con
ngƣời. Năng lực chỉ nảy sinh và quan sát đƣợc trong HĐ giải quyết những yêu cầu
đặt ra.
Kết quả nghiên cứu của các công trình tâm lý học và giáo dục học cho thấy, từ
nền tảng là các khả năng ban đầu, trẻ em bƣớc vào HĐ. Qua quá trình HĐ mà dần
hình thành cho mình những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo cần thiết và ngày càng phong
phú, rồi từ đó nảy sinh những khả năng mới với mức độ mới cao hơn. Đến một lúc
nào đó, trẻ em đủ khả năng bên trong để giải quyết những HĐ ở những yêu cầu khác
xuất hiện trong học tập và cuộc sống thì lúc đó HS sẽ có đƣợc một năng lực nhất
định. Dƣới đây là một số cách hiểu về năng lực:
+ Định nghĩa 1: Năng lực là phẩm chất tâm lý tạo ra cho con ngƣời khả năng
hoàn thành một loại HĐ nào đó với chất lƣợng cao [24].
+ Định nghĩa 2: Năng lực là một tổ hợp những đặc điểm tâm lý của con

ngƣời, đáp ứng đƣợc yêu cầu của một HĐ nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn
thành có kết quả một số HĐ nào đó [2].

14