Ôn thi vào lớp 10

ƠN THI VÀO LỚP 10
ĐẠI SỐ.
VẤN ĐỀ I: CĂN THỨC BẬC HAI.
I/ LÝ THUYẾT:
1/ Định nghĩa:
a
0³
, x =
Û
x 0
2
x = a
³
ì
ï
ï
í
ï
ï
ỵ
2/ So sánh:
a 0, b 0, a > b a > b³ ³ Û
3/ Điều kiện tồn tại:
A
tồn tại
Û
A
³
0
4/ Hằng đẳng thức
2

A A=
5/ Các định lý:
+
A.B = A. B (A 0, B 0)³ ³
+
A A
= (A 0, B > 0)
B
B
³
6/ Các phép biến đổi đơn giản:
+
2
A .B = A . B (B 0)³
+
2
A . B = A .B (B 0)³
+
A 1
= . A.B (A.B 0; B 0)
B B
³ ¹
+
1 A B
=
A - B
A ± B
m
7/ Căn bậc ba:
+ Đ/n:

3
3
x = a x =
+ Tính chất:
3 3 3
a.b = a. b


3
a a
3
= (b 0)
3
b
b
¹
II/ BÀI TẬP:
1/ Rút gọn các biểu thức sau:
a/
2 5 125 80 605- - +
; b/
10 2 10 8
5 5 1 5
+
+
+ -
;
c/
15 216 33 12 6- + -
; d/

2 18 12 5 27
18 48 30 162
- +
-
- +
e/
2 3 2 3
2 3 2 3
- +
+
+ -
; f/
16 1 4
2 3 6
3 27 75
- -
g/
3 5 3 5- + +
; h/
4 10 2 5 4 10 2 5+ + + - +
i/
3 2 2 6 4 2; N = 2 3 2 3M = - - + - - -
(Hướng dẫn (g, h i): Bình phương mỗi biểu thức rồi khai phương)
2/ Rút gọn các biểu thức sau:
Tổ: Toán – Lý Trường THCS Nguyễn Huệ TP Tam Kỳ
1
Người soạn: Nguyễn Tha
a/
( )
2

x - 4
4
.
2
2
x - 4x + 4
với
x 2¹
b/
a a + b b a b - b a a - b
- :
a + b a - b a + b
ỉ ưỉ ư
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è øè ø
(với a; b ≥ 0; a ≠ b)
c/
2 + x x - 2 x x + x - x - 1
- .
x - 1
x + 2 x + 1 x
ỉ ư
÷
ç
÷

ç
÷
ç
è ø
3/ Chứng minh đẳng thức:
a/
a a 4 a - 1 1
- + : = -1
a - 4 a - 4
a + 2 a - 2
ỉ ư
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
với a ≥ 0, a ≠ 4
b/
a a - 1 1 a + 1 a
. - =
a
a - 1 a a + a + 1
ỉ ư
÷
ç
÷
ç
÷

ç
è ø
với a > 0 và a ≠ 1
4/ Tính giá trị biểu thức:
a/
( )
a - 1 3
A =
2
a - a + 1
khi
a 2 3= +
; b/
2
B = 15a - 8a 15 + 16
khi
3 5
a
5 3
= +
.
b/
( )
( )
1
4x + 4 +
x
M = khi x = 10 6 4 15
2
x 2x - x - 1

- +
4/ 4.1/ Cho A =
x - 2 x + 1 x - 5 x - 12
+ +
9 - x
x - 3 x + 3
a / Tìm điều kiện xác định của A.
b / Chứng minh
x + 1
A =
x - 3
c/ Tìm các giá trị ngun của x để A nhận giá trị ngun.
4.2/ Cho biểu thức:
3 3
a - b a - b
A = -
a - b a + b + ab
.
a/ Tìm điều kiện của a, b để A xác định.
b/ Rút gọn A.
c/ Tìm điều kiện của a, b để A = 0.
4.3/ Cho biểu thức:
1 1 a + 1 a + 2
B = - : -
a - 1 a a - 2 a - 1
ỉ ư
ỉ ư
÷
ç
÷

ç
÷
֍
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
è ø
.
a/ Tìm điều kiện xác định của B.
b/ Chứng minh
a - 2
B =
3 a
.
c/ Tìm a để B < 0.
4.4/ Cho biểu thức:
x 2 1 10 - x
C = + + : x - 2 +
x - 4
2 - x x + 2 x + 2
ỉ ư
ỉ ư
÷
ç
÷
ç
÷

֍
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
è ø
.
a/ Rút gọn C.
b/ Tìm giá trị của x để C > 0
Tổ: Toán – Lý Trường THCS Nguyễn Huệ TP Tam Kỳ
2
Người soạn: Nguyễn Tha
4.5/ Cho biểu thức
a a b
Q = - 1 + :
2 2 2 2 2 2
a - b a - b a - a - b
ỉ ư
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
với a > b > 0.
a/ Rút gọn Q.
b/ Xác định giá trị của Q khi a = 3b.

VẤN ĐỀ II: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ.
I/ LÝ THUYẾT:
1/ + Tập xác định D của hàm số y = f(x): D = {x
Ỵ
R/ f(x) có nghĩa}
+ Đồ thị (C) của hàm số y = f(x): Tập hợp các điểm (x, y = f(x)) trên mặt phẳng tọa độ Oxy
+ Tính chất biến thiên của hàm số y = f(x) có tập xác định D
* Hàm số y = f(x) đồng biến trên D
Û
"
x
1
; x
2

Ỵ
D: x
1
< x
2

Û
f(x
1
) < f(x
2
)
* Hàm số y = f(x) nghịch biến trên D
Û
"

x
1
; x
2

Ỵ
D: x
1
< x
2

Û
f(x
1
) > f(x
2
)
2/ Hàm số bậc nhất y = ax + b ( a ≠ 0)
+ Tập xác định: R
+ Tính chất biến thiên:
* a > 0: Hàm số đồng biến
* a < 0: Hàm số nghịch biến
+ Đồ thị của hàm số là đường thẳng:
* Qua gốc tọa độ O(0; 0) và điểm (1; a) nếu b = 0.
* Qua hai diểm (0; b) và (
-b
a
; 0) nếu b ≠ 0
+ Tương giao của hai đường thẳng: (d
1

) y = a
1
x + b
1
và (d
2
) y = a
2
x + b
2
.(a
1;
a
2
là hệ số góc của hai
đường thẳng, b
1
, b
2
là tung độ gốc của hai đường thẳng)
* (d
1
) // (d
2
)
Û
a
1
= a
2

; b
1
≠ b
2
* (d
1
) cắt (d
2
)
Û
a
1
≠ a
2
. Nếu b
1
= b
2
= b thì (d
1
) cắt (d
2
) tại điểm (0; b)
* (d
1
)
º
(d
2
)

Û
a
1
= a
2
, b
1
= b
2
3/ Hàm số y = ax
2
(a ≠ 0)
+ Tập xác đinh: R
+ Tính chất biến thiên:
* a > 0: Hàm số nghịch biến trên R
_
và đồng biển trên R
+.

* a < 0: Hàm số đồng biến trên R
_
và nghịch biển trên R
+.

+ Đồ thị là một đường cong Parabol:
* Đi qua gốc tọa độ O (0; 0), nhận O làm đỉnh.
* Nhận Oy làm trục đối xứng.
* Nằm phía trên trục Ox nếu a > 0, nằm dưới trục Ox nếu a < 0.
4/ 4.1/ Tương giao giữa đường thẳng (d) y = a
1

x + b và Parabol (P) y = ax
2
+ Phương trình hồnh độ giao điểm của (d) và (P):
ax
2
= a
1
x + b hay ax
2
– a
1
x – b = 0 (1)
+* (d) cắt (P) tại hai điểm khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
* (d) tiếp xúc (P) khi phương trình (1) có nghiệm kép.
* (d) khơng cắt (P) khi phương trình (1) vơ nghiệm.
4.2/ Tương giao của đường thẳng (d) y = m (m là hằng số) và Parabol (P):
* Nếu m = 0: (d) tiếp xúc (P) tại điểm O(0; 0)
* Nếu m > 0 và a > 0 (hoặc m < 0 và a < 0): (d) cắt (P) tai hai điểm đối xứng qua Oy.
* Nếu m > 0 và a < 0 (hoặc m < 0 và a > 0): (d) khơng cắt (P).
4.3/ Tương giao của đường thẳng (d) x = n (n là hằng số) và Parabol (P)
(d) ln cắt (P) tại một điểm duy nhất có tọa độ (n; an
2
)
II/ BÀI TẬP:
1/ Cho hai đường thẳng: (d
1
) y = (m +1)x + 5 và (d
2
) y = 2x + n. Với giá trị nào của m và n thì:
Tổ: Toán – Lý Trường THCS Nguyễn Huệ TP Tam Kỳ

3
Người soạn: Nguyễn Tha
a/ d
1
trùng với d
2
? b/ d
1
cắt d
2
? c/ d
1
song song với d
2
?
2/ Cho hàm số y = ax + b. Tìm a và b, biết rằng đồ thị của hàm số đã cho thỏa mãn một trong các
điều kiện sau:
a/ Đi qua hai điểm A(1; 3) và B(-1; -1)
b/ Song song với đường thẳng y = x + 5 và đi qua điểm C(1; 2)
3/ Chứng minh rằng khi k thay đổi, các đường thẳng (k + 1)x – 2y = 1 ln đi qua một điểm cố
định. Tìm điểm cố định đó.
4/ Xác định hàm số y = ax
2
, biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm A(-2; 1). Vẽ đồ thị của hàm số vừa
xác định.
5/ Cho Parabol (P) y = x
2
và đường thẳng (D) y = -x + 2
a/ Vẽ (P) và (D) trên cùng mặt phẳng tọa độ.
b/ Tìm tọa độ giao điểm A, B của (P) và (D) bằng phép tính.

c/ Tính diện tích ∆AOB (đơn vị trên hai trục là cm).
6/ Cho (P)
2
-x
y =
2
và (D) y = 2x
a/ Vẽ (P) và (D) trên cùng mặt phẳng tọa độ.
b/ Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D) bằng phép tính.
c/ Viết ph/trình đường thẳng (D’) biết (D’) // (D) và (D’) tiếp xúc với (P).
7/ Cho (P)
2
x
y =
4
và (D) y = -x – 1
a/ Vẽ (P) và (D) trên cùng mặt phẳng tọa độ.
b/ Chứng tỏ (D) tiếp xúc (P), tìm tọa độ tiếp điểm bằng phép tốn.
8/ Cho parabol (P)
2
x
y =
2
và đường thẳng (D):
1
y = - x + m
2
(m là tham số)
a/ Vẽ (P).
b/ Tìm điều kiện của m để (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B.

c/ Cho m = 1. Tính diện tích của ∆AOB (đơn vị trên hai trục là cm).
9/ Cho Parabol (P)y = ax
2
(a ≠ 0) và điểm A(4; 4).
a/ Tìm a, biết (P) đi qua A. Vẽ (P) với a vừa tìm được.
b/ Biện luận số điểm chung của (P) y = ax
2
với đường thẳng (D) y = x + 1 theo a.
10/ Cho parabol (P)
2
2
y = - x
3
và điểm A(-1; 2).
a/ Vẽ (P). Điểm A có thuộc (P) khơng?
b/ Tìm đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0)đi qua A và tiếp xúc với (P)
11/ Trên mặt phẳng tọa độ cho Parabol (P)
2
1
y = - x
4
và đường thẳng (D)y = mx–2m–1 (m ≠ 0).
a/ Vẽ (P)
b/ Tìm m sao cho (D) tiếp xúc (P).
c/ Chứng tỏ (D) ln đi qua một điểm cố định thuộc (P)
12/ Cho Parabol (P)
2
1
y = - x
4

và hai điểm A, B thuộc (P) có hồnh độ lần lượt là -4; 2.
a/ Vẽ parabol (P).
b/ Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua A và B.
13/ Cho hàm số y = ax
2
(a ≠ 0) có đồ thị là Parabol (P) và hàm số y = - x + 1 có đồ thị là đường
thẳng (D).
a/ Tìm a biết (D) tiếp xúc với (P). Vẽ (P) với a vừa tìm được
b/ Viết phương trình đường thẳng (D’), biết (D’)//(D) và cắt (P) tại điểm có tung độ là-4
VẤN ĐỀ III: PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I/ LÝ THUYẾT:
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn:
Tổ: Toán – Lý Trường THCS Nguyễn Huệ TP Tam Kỳ
4
Người soạn: Nguyễn Tha
a. Định nghĩa: Có dạng ax + by = c, trong đó x, y là ẩn; a, b, c là các số cho trước, a và b
khơng đồng thời bằng 0.
b. Nghiệm và số nghiệm: Có vơ số nghiệm
+ P/ trình ax + by = c (a, b ≠ 0) có tập nghiệm S = {(x; y)/ x
Ỵ
R,
-a c
y = x +
b b
}
Biểu diễn tập nghiệm lên mặt phẳng tọa độ là đồ thị hàm số
-a c
y = x +
b b
+ Phương trình by = c ( a = 0; b ≠ 0 ) có tập nghiệm S = {(x; y)/ x

Ỵ
R,
c
y =
b
}
Biểu diễn tập nghiệm lên mặt phẳng tọa độ là đường thẳng
c
y =
b
.
+ Phương trình ax = c (a ≠ 0; b = 0) có tập nghiệm S = {(x; y)/
c
x =
a
, y
Ỵ
R}
Biểu diễn tập nghiệm lên mặt phẳng tọa độ là đường thẳng
c
x =
a
2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
a. Định nghĩa: (I)
{
1 1 1
2 2 2
(1)
(2)
a x + b y = c

a x + b y = c
b. Nghiệm và số nghiệm:
+ Nghiệm của hệ (I) là nghiệm chung của hai phương trình (1) và (2)
+ * Hệ (I) có duy nhất một nghiệm
a b
1 1
a b
2 2
Û ¹
* Hệ (I) vơ nghiệm
1 1 1
2 2 2
a b
a b
c
c
= ¹Û
* Hệ (I) có vơ số nghiệm
1 1 1
2 2 2
a b
a b
c
c
= =Û
c. Giải hệ phương trình: Có ba phương pháp:
+ Phương pháp hình học: Tọa độ điểm chung (nếu có) của hai đường thẳng có
phương trình là hai phương trình thuộc hệ là nghiệm của hệ.
+ Phương pháp đại số: - Phương pháp thế (Dùng quy tắc thế)
- Phương pháp cộng đại số (Dùng quy tắc cộng )

+ Phương pháp dùng MTBT Casio FX (570MS; …)
Ấn MODE MODE MODE 1 2 rồi nhập các hệ số của hai phương trình.
3. Phương trình bậc hai một ẩn:
3.1/ a/ Định nghĩa: Dạng ax
2
+ bx + c = 0, trong đó a, b, c là số cho trước; a ≠ 0
b/ Giải phương trình bậc hai đủ ax
2
+ bx + c = 0 (1) (a ≠ 0):
+ Nhẩm nghiệm:- Nếu a + b + c = 0 thì x
1
= 1; x
2
=
c
a
- Nếu a – b + c = 0 thì x
1
= - 1; x
2
= -
c
a
+ Cơng thức nghiệm:
- Tổng qt: ∆ = b
2
– 4ac
* Nếu ∆ > 0: Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:
-b + Δ -b - Δ
x = ; x =

1 2
2a 2a
Tổ: Toán – Lý Trường THCS Nguyễn Huệ TP Tam Kỳ
5
Người soạn: Nguyễn Tha