khai thác bài toán tỉ số

Khai thác tỉ số
trong hình học không gian cổ điển
GV: Trần Lê Quyền1, Bùi Hùng Vương2
Một trong những hướng tiếp cận và xử lí nhanh bài toán hình không gian
chính là việc chú ý đến tỉ số giữa các đối tượng cùng loại. Thông qua việc
lập tỉ số, chúng ta chuyển bài toán ban đầu về giải quyết một bài toán đơn
giản và quen thuộc hơn. Ngoài ra, một số thao tác sử dụng MTCT cũng
đôi lần được nhắc đến.
Để tính tỉ số diện tích của hai tam giác, ta chuyển về tính tỉ số giữa độ
dài của các cạnh đáy và đường cao. Ý tưởng tương tự được áp dụng cho tỉ
số thể tích của hai khối chóp. Sau đây là một số nhận xét đơn giản:
(1) Nếu M là trung điểm cạnh BC của ∆ABC thì ta có
1
SABM = SACM = .SABC
2
(2) Nếu ABCD là một hình bình hành thì ta có
1
SABC = SBCD = SCDA = SDAB = .SABCD
2
(3) Đối với hình thang ABCD mà AB
(4) Đối với hình thang ABCD mà AB
1
3 .SABCD .

CD, ta có SACD = SBCD .
CD, AB = 2CD, ta có SACD =

(5) Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số

đồng dạng.
(6) Xét ∆ABC với B , C lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB, AC . Khi

đó ta có

SABC
AB AC
=
.
.
SAB C
AB AC

(7) Xét hình chóp S.ABC với A , B , C lần lượt là các điểm thuộc các cạnh
SA, SB, SC . Khi đó ta có
VABC
SA SB SC
=
.
.
.
VAB C
SA SB SC
1
2

TP HCM - 0122 667 8435
TP HCM - 0908 939 004
Luyện giải nhanh tự luận, trắc nghiệm Toán - Casio & tư duy là mạnh nhất!

1

(8) Giả sử đường thẳng qua hai điểm A, B cắt mặt phẳng (P ) tại I . Khi

đó ta có

AI
d(A; (P ))
=
.
d(B; (P ))
BI

Riêng với trường hợp AB

(P ) thì ta có d(A; (P )) = d(B; (P )).

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang nội tiếp đường
tròn (C) tâm I, cho biết AB CD, CD = 2AB, ∠CDA = 60◦ . Giả sử thể tích
khối chóp S.ABCD bằng v , tính thể tích khối nón có đỉnh S và đáy là hình
tròn (C).

Giải. Do hình chóp và hình nón đã cho có cùng đường cao nên tỉ số thể tích
của khối chóp và khối nón bằng tỉ số diện tích của hai đáy, tức là bằng
k=

1
2 .(AB

+ AC).AH
π.r2

Dễ thấy tâm I là trung điểm CD, để cho đơn giản cho AB = 1 ta có
√

(1 + 2).
k=
2π.12
2

3
2

√
3 3
=
.
4π


4π
3 3

Vậy thể tích khối nón bằng √ .v
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA =
√
a, SB = a 3 và (SAB) ⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh
AB, BC . Tính thể tích của khối chóp S.BM DN .

Giải. Độ dài ba cạnh cho thấy ∆SAB vuông tại S . Kẻ SH ⊥ AB tại H ta có
SH ⊥ (ABCD). Trong ∆SAB ta có

√

3a
.
2
√
1 3a
.(2a)2 .
= .
3 2

SH.AB = SA.SB ⇒ SH =

Theo (1), VBM DN = 12 .VABCD , trong khi VABCD

Ví dụ 3 (Câu 40 ĐMH). Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50 cm ×
240 cm, người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm,
theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây):
• Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
• Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi

tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.
Kí hiệu V1 là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V2 là tổng thể
tích của hai thùng gò được theo cách 2. Tính tỉ số

V1
V2

Giải. Vì hai thùng có cùng chiều cao nên tỉ số thể tích bằng tỉ số của diện
tích đáy, do đó bằng bình phương tỉ số của hai bán kính. Ta có

r1 =

240
120
V1
r1
, r2 =
⇒
= ( )2 = 4.
2π
2π
V2
r2

3


Ví dụ 4. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a. Gọi H
là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh SC. Tính thể tích của khối chóp
S.ABH theo a.

Giải. Vì AB ⊥ (SM C) nên thu được SC ⊥ (AHB). Ta có theo (8)
k=

VH.SAB
HS
d(H, (SAB))
=
=
VC.SAB

d(C, (SAB))
CS
√

√

√

2 =
Xem a = 1, nhờ AH.CS = 2.S
= 215 nên AH = 415 ⇒ SH = SA2 − AH
√SAC
√
11
7
hợp với k = 78 thu được VS.ABH = 7 1611 .
4 . Dễ tính được VS.ABC = 12 , kết
√
Kết quả tính theo a là VS.ABH = 7 1611 .a3

Ví dụ 5 (Câu 38 ĐMH). Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình
√
vuông cạnh bằng 2a . Tam giác SAD cân tại S và mặt bên (SAD) vuông
góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng

4 3
.a . Tính
3

khoảng cách h từ B đến mặt phẳng (SCD).

Giải. Gọi H là trung điểm AD, ta có SH ⊥ AD ⇒ SH ⊥ (ABCD). Khi đó
h = d(B, (SCD)) = d(A, (SCD)) = 2.d(H, SCD).

4


Để ý rằng d(H, (SCD)) được cho bởi công thức1
1
1
1
=
+
2
2
d(H, (SCD))
d(H, CD)
SH 2
√
2
3. 34
và X = d(H, SCD)2
Xem a = 1, ta có SH = √ 2 = 2, d(H, CD) = HD =
2
2

là nghiệm pt
1
1
4

solve
= + 2 −−−→ X = .
X
4
9
4
3

Vậy h = .a.
Ví dụ 6. Cho lăng trụ ABCD.A B C D có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên
tạo với mặt phẳng đáy một góc 60◦ . Biết A .ABD là hình chóp đều, tính
theo a thể tích của khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ A đến mặt phẳng
(BB D D).

Giải. Gọi H là trọng tâm của tam giác đều ABD thì ta có A H ⊥ (ABD)
do A .ABD là hình chóp đều. Gọi E = AC ∩ BD và lấy K ∈ AC sao cho
1

Có thể tổng quát công thức này như sau: Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt
phẳng (P ). Với ∆ là đường thẳng chứa trong (P ) sao cho H ∈ ∆, khoảng cách từ H đến mặt
phẳng (S; ∆) được cho bởi:
1
1
1
=
+
d(H, (S; ∆))2
d(H, ∆)2
SH 2
trong đó (S; ∆) là mặt phẳng đi qua S và chứa ∆, và chỉ có những mặt phẳng có đặc điểm như

vậy mới có thể áp dụng công thức trên.

5


A EKH là hình chữ nhật, ta có AO = 32 .KO và EK ⊥ (ABCD). Ta có
d(A, (BB D D)) = d(A , (BB D D)) do AA (BB D D). Mà theo (8),
AO
3
d(A, (BB D D)
=
= .
d(K, (BB D D)
KO
2

Tương tự bài trên, xem a = 1 và để tính d(K, (BB D D) ta cần có
√
2
2 3 store
d(K, BD) = KO = AH = .AO = .
−−−−→ Y
3
3 2
store

Tiếp tục EK = A H = Y. tan 60◦ −−−−→ M , solve pt
1
1 2 12
=

+
X
M
Y
3
4

thu được X = 14 . Khoảng cách cần tìm tính theo a bằng .a
Ví dụ 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với BC = a. Tam
giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Cạnh bên
SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 30◦ . Tính theo a khoảng cách giữa hai
đường thẳng SA và BD.

Giải. Gọi H là trung điểm AB , ta có SH ⊥ (ABCD). Xem a = 1 và đặt
BH = x ta có
√
√
3
x 3
1 store
SH
⇒ x = √ −−−−→ A
tan 30 =
⇔
=√
CH
3
2 2
1 + x2
◦

Với E là điểm sao cho AEBO là hình bình hành, ta có
d(SA, BD) = d(B, (SAE)) = 2.d(H, (SAE))
√
SABD
3 store
Ta có d(H, AE) = d(H, BD) =
=
−−−−→ B , vậy d(H, (SAE))2 = X
BD
3

cho bởi

Vậy d(SA, BD) = 2

1
12
1 2 solve
3
=
+√
−−−→ X =
X
B
17
3A
3
.a.
17

6


Ví dụ 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm
O. Cạnh bên SA ⊥ (ABCD), SA = a và M là trung điểm của cạnh SD. Tính
theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và BC.

Giải. Gọi N là trung điểm CD, ta có BC

(OM N ) nên

d(BC, OM ) = d(BC, (M N O)) = d(C, (M N O)) =

3.VM.ON C
SM N O

Trong đó, VS.ABCD = 16.VM ON C do
SD SABCD
1 1
VS.ABCD
=
.
= .
VM ON C
M D SON C
2 8

và SM N O = 14 .SSBC do ∆M N O ∼ ∆CSB với tỉ số đồng dạng bằng 2. Bạn đọc
hãy tự tính lấy VS.ABCD và SSBC để kết thúc bài toán.

Bài tập
BT 1. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang cân với BC AD. Biết
√
SA = a 2, AD = 2a, AB = BC = CD = a. Hình chiếu vuông góc của S trên
mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm cạnh AD. Tính theo a thể tích
khối chóp S.ABCD.
√
3 3
A.
.a
2

√
3 3
B.
.a
3

√
3 3 3
C.
.a
4

√
3 3
D.
.a
4

BT 2. Cho hình chóp S.ABCD có (SAC) ⊥ (ABCD). Biết B và D cách đều
(SAC) và thể tích khối chóp S.ABCD bằng 2. Tính thể tích V của khối tứ
diện SABC.
A. V = 1

B. V =

1
2

C. V =

3
4

D. V =

2
3

BT 3. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông
cân tại B. Biết thể tích khối lăng trụ ABC.A B C bằng 1. Tính thể tích
khối tứ diện B ABC .
7


A.

2
5

B.

1
4

C.

1
3

D.

1
2

BT 4. Nếu tăng chiều dài tất cả các cạnh của một tứ diện lên 2 lần thì thể
tích tứ diện tăng mấy lần?
A. 4 lần

B. 8 lần

C. 16 lần

D. 24 lần

BT 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA = SC = a
và SA ⊥ (ABC). Gọi M là trung điểm SC, tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng MB và AC.
A.

√

3.a

√
3
B.
.a
2

C.

√

2.a

√
2
D.
.a
2

BT 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang nội tiếp đường
tròn (C) tâm I. Cho biết AB CD, AB = 2CD và ∠BAD = 45◦ . Gọi V là
thể tích của khối chóp S.ABCD, V là thể tích khối nón có đỉnh S và đáy là
hình tròn (C). Tính tỉ số
A.

1

5π

B.

V
.
V

2
5π

C.

3
5π

D.

4
5π

BT 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ∠BAD =
60◦ . Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên (ABCD) trùng với hình chiếu
vuông góc của C lên đường thẳng AD. Góc giữa SA và (ABCD) bằng 60◦ ,
tính thể tích V của khối chóp S.AHCB .
3
4

A. .a3

3
8

9
4

B. .a3

C. .a3

9
8

D. .a3

BT 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với BC = a. Tam
giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Cạnh bên
SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 30◦ . Tính theo a thể tích V của khối
chóp S.ABCD.
√
3 3
.a
A. V =
8

√
2 3 3
B. V =
.a
5

√
4 3 3
C. V =
.a
5

√
3 3
D. V =
.a
4

BT 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA =
√
a, SB = a 3 và (SAB) ⊥ (ABCD). Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng
(SAD).
√
3 5
A.
.a
5

√
4 5
B.
.a
5

C.

a
2

D. a

BT 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a.
Các mặt bên là các tam giác cân tại đỉnh S. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC)
8


cùng tạo với mặt phẳng đáy một góc 60◦ . Tính khoảng cách d giữa hai đường
thẳng SA và BC .
A. d =

3
.a
10

√
2 3
B. d =
.a
5

√

C. d =

3

.a
2

D. d =

√

3.a

BT 11. Cho hình trụ (T ) và mặt phẳng (P ) cố định, hỏi có bao nhiêu mặt
phẳng (Q) thõa mãn:
• (Q) song song hoặc trùng với (P ) và
• (Q) chia hình trụ (T ) thành hai phần có thể tích bằng nhau,

A. 1 mặt phẳng

B. 2 mặt phẳng

C. 3 mặt phẳng

D. 4 mặt phẳng

BT 12. Cho hình nón (N ) và đường thẳng ∆ không cùng phương với trục
của hình nón (N ). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng (P ) thỏa mãn:
• (P ) song song hoặc chứa ∆ và
• (P ) chia hình nón (N ) thành hai phần có thể tích bằng nhau.

A. 1 mặt phẳng

B. 2 mặt phẳng

C. 3 mặt phẳng

D. 4 mặt phẳng

BT 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông có độ dài cạnh bằng 2a.
Tam giác SAB vuông tại S và (SAB) ⊥ (ABCD). Biết ∠(SC, (ABCD)) =
∠(SD, (ABCD)). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
A. 4.a3

4
3

C. .a3

B. 2.a3

D. a3

BT 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Tam giác
SAB cân tại S và (SAB) ⊥ (ABCD). Cho biết góc giữa SC và mặt phẳng
(ABCD) bằng 60◦ , tính góc giữa (SCD) và (ABCD).
√
15
A. arctan
2

B. arctan

√

15
2

C. arctan 6

9

D. arctan

3
4