skkn phương trình mặt phẳng và đường thẳng trong không gian

BM 01-Bìa SKKN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT XUÂN HƯNG

Mã số: ................................

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN

Người thực hiện: DƯƠNG THỊ YẾN
Lĩnh vực nghiên cứu:
Quản lý giáo dục



Phương pháp dạy học bộ môn: Toán học
Phương pháp giáo dục





Lĩnh vực khác: ......................................................... 
Có đính kèm:
 Mô hình

 Phần mềm

 Phim ảnh

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

Năm học: 2016-2017

1

 Hiện vật khác


BM02-LLKHSKKN

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
––––––––––––––––––
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên : DƯƠNG THỊ YẾN.
2. Ngày tháng năm sinh : 25 / 01 / 1987.
3. Nam, nữ : Nữ.
4. Địa chỉ : Tổ 6 khu 2 thị Trấn Gia Ray – Xuân Lộc – Đồng Nai.
5. Điện thoại : 0987171650.
6. Fax :
7. Chức vụ :

Emai :
Giáo viên.

8. Nhiệm vụ được giao: giảng dạy môn Toán khối lớp 11, khối lớp 12, chủ nhiệm
lớp 12B11.
9. Đơn vị công tác: Trường THPT Xuân Hưng.

II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất :Cử nhân .
- Năm nhận bằng : 2010.
- Chuyên ngành đào tạo : Sư Phạm Toán học.
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy môn Toán.
- Số năm có kinh nghiệm: 6 năm.
- Sáng kiến kinh nghiệm kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: “ Phép
dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng”.

2


BM03-TMSKKN

Tên sáng kiến kinh nghiệm:
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
- Đối với học sinh ở bậc THCS,THPT các em đều rất ngại học các tiết học hình
học. Học sinh luôn cảm thấy khó khăn khi làm bài tập và nhiều khi muốn bỏ qua
những tiết hình học.Trong đó có nội dung thuộc kiến thức lớp 12 : “ Phương trình
mặt phẳng và đường thẳng trong không gian” cũng là một nội dung các em thấy
khó và nhầm lẫn trong quá trình giải toán.
- Tuy là các em đã làm quen với đường thẳng trong chương trình ở bậc học THCS
và sau đó đến chương trình hình học 10 các em cũng đã được làm quen với cách
viết phương trình đường thẳng trong hệ trục Oxy. Nhưng khi các em học nội dung
viết phương trình đường thẳng và phương trình mặt phẳng trong không gian thì các
em lúng túng và sai sót nhiều. Lý do thường là các em không nắm lý thuyết, nhầm
lẫn nội dụng này sang nội dung kia. Các em chưa phân biệt được các dạng bài toán,

những yếu tố cần để có thể làm được bài toán.
- Để học sinh tự tin và hứng thú tiếp thu nội dung học này và cũng để chuẩn bị cho
kỳ thi tốt nghiệp THPTQG sắp tới.Tôi chọn đề tài “ Phương trình mặt phẳng và
đường thẳng trong không gian”
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN
a, Cơ sở thực tiễn
* Thuận lợi
- Trong sách giáo khoa các nội dung đã trình bày đã kĩ lưỡng và có nhiều hoạt
động dành cho học sinh tạo hứng thú cho học sinh tiếp thu kiến thức mới.
- Sách bài tập có tóm tắt bài học và đưa ra nhiều bài tập sau đó hướng dẫn giải để
các em tham khảo.
* Khó khăn
- Đa số học sinh khi trước khi tới trường chỉ học bài cũ mà không xem trước nội
dung bài mới.
- Chủ yếu là các em thu những kiến thức này khi giáo viên truyền đạt mà sau khi
học ít bản thân các em ít khi so sánh các dữ kiện khác nhau giữa các bài toán . Mặt
khác sau khi học xong chương trình toán ở lớp dưới các em thường quên và không
xem lại những kiến thức đã được học.
- Ý thức học tập của nhiều học sinh còn chưa cao, và chưa có phương pháp học tập
hiệu quả vẫn còn nhiều học sinh học thuộc lòng.
- Học sinh trong một lớp đa số là không đồng đều về học lực.
3


b, Cơ sở lý luận
Toán học trong chương trình phổ thông là môn học có rất nhiều ứng dụng trong
thực tế và cả các bộ môn khác. Nhưng do học sinh học toán một cách rất máy móc
chỉ biết học trên lý thuyết chứ ít khi đặt ra vấn đề: nội dung này học để làm gì, có
áp dụng vào thực tế không? Thông thường các em thường học với mục đích là
hoàn thành nội dung thầy cô dạy trên lớp, kiểm tra và thi. Chính vì vậy nên việc

học của các em thường không tự giác dẫn đến các em không có hứng thú và đương
nhiên là luôn cảm thấy khó hiểu. Nội dung “Phương trình mặt phẳng và đường
thẳng trong không gian” trong chương trình hình học lớp 12 cũng gây rất nhiều
khó khăn cho các em. Nguyên nhân chính là các em thường không tự tổng hợp
được các nội dung kiến thức các bài gây nhẫm lẫn giữa nội dung bài học này với
bài học kia. Và thấy khó khăn khi áp dụng từ lý thuyết đi đến thực hành và làm
các bài tập liên quan. Đặc biệt là chuẩn bị đến các kỳ thi quan trong cùng với việc
đổi mới trong kiểm tra và thi gây cho các em rất hoang mang .Vì vậy giáo viên
cần chỉ rõ, cụ thể và hướng dẫn cho học sinh biết tổng hợp lý thuyết và áp dụng
chúng vào các dạng toán cụ thể.
- Chính vì vậy tôi chọn đề tài “ Phương trình mặt phẳng và đường thẳng trong
không gian”. Nội dung đề tài gồm có tóm tắt lý thuyết và đưa ra các một số dạng
toán cơ bản liên quan đến phương trình đường thẳng và phương trình mặt phẳng
trong không gian.
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
A. LÝ THUYẾT
I. Hệ tọa độ trong không gian
1. Hệ trục tọa độ Oxyz
- Baurtrục Ox, Oy,Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung gốc tọa độ O. Gọi
ru
r
i, j, k là các vec tơ đơn vị tương ứng trên các trục Ox,Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy
gọi là hệ tọa độ Oxyz.
- Chú ý
r2

u
r2

ur2

* i = j = k =1
ru
r r ur

u
r ur

* i. j = i.k = j.k = 0
2.Tọa độ Véctơ

u
r

u
r

r

u
r

ur

a, Định Nghĩa: u = (x; y;z) ⇔ u = x.i + y j + zk
ur

r

b,Tính chất : Cho a = (a1; a2 ; a3 ), b = (b1; b2 ; b3 ),k ∈ R

ur r

• a ± b = (a1 ± b1; a2 ± b2 ; a3 ± b3 )
4


ur

• ka = (k a1;k a2 ;k a3 )
•

a1 = b1

a = b ⇔ a2 = b2
a = b
3
 3
r
r
ur

r

ur

u
r

• 0 = (0;0;0), i = (1;0;0), j = (0;1;0), k = (0;0;1)
r r

ur

r

ur

r

• a cùng phương b(b ≠ 0) ⇔ a = kb
a1 = kb1
a a a

⇔ a = kb ⇔ a2 = kb2 (k ∈ R ) ⇔ 1 = 2 = 3 (b1 , b2 , b3 ≠ 0)
b1 b2 b3
a = kb
3
 3
ur r
r

ur

• a.b = a1.b1 + a2 .b2 + a3.b3
ur

r

• a ⊥ b ⇔ a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3 = 0
ur2

ur

• a = a12 + a2 2 + a32 ⇒ a = a12 + a2 2 + a32
ur r

ur r

ur r r
a1.b1 + a2 .b2 + a3.b3
a.b
(
a
, b ≠ 0)
• cos(a, b) = ur r =
a12 + a2 2 + a32 . b12 + b2 2 + b32
a.b

3. Tọa độ điểm

uuuuu
r

r

u
r

ur

a, Định nghĩa: M = ( x; y; z ) ⇔ OM = x.i + y j + zk ( x: hoành độ, y: tung độ, z: cao
độ).
chú ý
• M ∈ (Oxy ) ⇒ z = 0; M ∈ (Oxz ) ⇒ y = 0; M ∈ (Oyz ) ⇒ x = 0 .
• M ∈ Ox ⇒ y = z = 0; M ∈ Oy ⇒ x = z = 0; M ∈ Oz ⇒ x = y = 0 .
b, Tính chất: Cho A(x A ; y A ; z A ); B(x B ; yB ; z B ); C (x C ; yC ; zC ); D(x D ; yD ; zD )
•
•

uuur

AB = (x B − x A ; yB − y A ; zB − z A ) .
uuur

AB = (x B − x A )2 + ( yB − y A )2 + ( zB − z A )2 .

• Tọa độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k ≠ 1)
M =(

x A − k x B y A − kyB z A − kzB
;
;
).
1− k
1− k
1− k

• Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB :
I =(

x A + x B y A + yB z A + z B
;
;
).
2

2

2

5


• Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
G =(

x A + x B + xC y A + yB + yC z A + zB + zC
;
;
).
3

3

3

• Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD
G=(

x A + x B + xC + xD y A + yB + yC + yD z A + z B + zC + z D

;
;
).
4
4
4

4. Tích có hướng của hai véc tơ:
ur

r

a, Định nghĩa : Cho a = (a1; a2 ; a3 ), b = (b1; b2 ; b3 )
ur r
ur r


a
,
b
=
a
∧ b = (a2 .b3 − a3.b 2 ; a3.b1 − a1.b3 ; a1.b 2 − a2 .b1 )
Khi đó:  

b, Tính chất
ur r

r
ur r

 a, b  ⊥ b .


r
ur

ur

•  a, b  ⊥ a;
ur r

•  a, b  = 0

thì a và b cùng phương.

5. Phương trình mặt cầu
• Phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a, b, c) và bán kính R :
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 + ( z − c ) 2 = R 2 .
• Phương trình x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 là phương trình mặt cầu
khi a 2 + b 2 + c 2 − d > 0 . Khi đó mặt cầu có tâm I (a, b, c) và bán kính
R = a 2 + b2 + c 2 − d .
II. Phương trình mặt phẳng
1. Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng
u
r
u
r r
• Vectơ n ≠ 0 là VTPT của mặt phẳng (α ) nếu giá của n vuông góc với (α ) .
ur r

• Hai vectơ a, b là một cặp VTCP của (α ) nếu giá của chúng song song hoặc
nằm trên (α ) .
Chú ý :

u
r

u
r

+ Nếu n là một VTPT thì kn(k ≠ 0) cũng là VTPT của (α ) .
ur r

u
r

ur r

+ Nếu a, b là một cặp VTCP của (α ) thì n = [a, b] là một VTPT của (α ) .
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

u
r

• Phương trình mặt phẳng đi qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có một VTPT n = ( A; B; C ) là
A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 .
• Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn đi qua A(a;0;0) , B( 0;b;0),
6

C (0;0;c) với a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 .Khi đó :
x y z
(ABC) : + + = 1 .
a b c
3. Các trường hợp đặc biệt
• (Oxy) có phương trình z =0.
• (Oyz) có phương trình x = 0.
• (Oxz) có phương trình y = 0.
4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho (α1 ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0;(α 2 ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 .
uu
r

uu
r

• (α1 ) cắt (α 2 ) ⇔ n1 ≠ kn2
•
•

uu
r
uu
r
 n1 = kn2
(α1 ) / /(α 2 ) ⇔ 
 D1 ≠ kD2
uu
r
uu

r
 n1 = kn2
(α1 ) ≡ (α 2 ) ⇔ 
 D1 = kD2

• (α1 ) ⊥ (α 2 ) ⇔ A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = 0
5. Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = 0
d (M ,(α )) =

Ax0 + By0 + Cz0 + D
A2 + B 2 + C 2

.

III. Phương trình đường thẳng
1. Phương trình tham số của đường thẳng
• Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP
u
r
u = (a; b; c)
 x = x0 + at

d:  y = y0 + bt ( t là tham số)
 z = z + ct
0


• Nếu a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 khi đó d có phương trình chính tắc là
d:

x − x0 y − y0 z − z 0
=
=
.
a
b
c

2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
7


Cho hai đường thẳng d ; d ' có phương trình tham số là
 x = x0 '+ a ' t '
 x = x0 + at

d :  y = y0 + bt và d ':  y = y0 '+ b ' t ' ( t và t’ là tham số)
 z = z + ct
 z = z '+ c ' t '
0
0


u
r
u
r

Với d có VTCP u = (a; b; c) và d’ có VTCP u ' = (a '; b '; c ')
•

 x0 + at = x0 '+ a ' t '

d / / d ' khi và chỉ khi u = ku ' và  y0 + bt = y0 '+ b ' t ' ẩn t ; t ' vô nghiệm.
 z + ct = z '+ c ' t '
0
 0

•

 x0 + at = x0 '+ a ' t '

d ≡ d ' khi và chỉ khi  y0 + bt = y0 '+ b ' t ' ẩn t ; t ' vô số nghiệm.
 z + ct = z '+ c ' t '
0
 0

•

u
r

uu
r

 x0 + at = x0 '+ a ' t '

d ; d ' cắt nhau khi và chỉ khi  y0 + bt = y0 '+ b ' t ' ẩn t ; t ' có đúng một nghiệm.
 z + ct = z '+ c ' t '
0

 0
r
u
r uu

• d ; d ' chéo nhau khi và chỉ khi u, u ' không cùng phương và
 x0 + at = x0 '+ a ' t '

 y0 + bt = y0 '+ b ' t ' ẩn t ; t ' vô nghiệm.
 z + ct = z '+ c ' t '
0
 0
r
u
r uu

• d ⊥ d ' ⇔ u.u ' = 0 .

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Vấn đề 1: Lập phương trình mặt phẳng
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (α ) đi qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTPT
u
r
n = ( A; B; C ) . Khi đó (α ) : A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 .
Ví dụ 1: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phương trình mặt phẳng (α )
u
r
đi qua M (1;2;3) và có VTPT n = (2;1;1) .
Giải:

u
r

Vì (α ) đi qua M (1; 2;3) và có VTPT n = (2;1;1) nên (α ) có phương trình :
2( x −1) + 1( y − 2) + 1( z − 3) = 0
⇔ 2x + y + z − 7 = 0 .
Ví dụ 2:Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;2;2). Viết phương
trình mặt phẳng (α ) đi qua M sao cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng (α ) là lớn
nhất.
Giải:
8


* Gọi H là hình chiếu của O lên mặt phẳng (α ) . Khi đó ta có OH ≤ OM .
uuuuu
r

* Để d (O,(α )) là lớn nhất thì OM ⊥ (α ) hay OM là VTPT.
uuuuu
r

* Mặt phẳng (α ) đi qua M và có VTPT OM = (1;2;2) nên phương trình
(α ) : x −1 + 2(y− 2) + 2(z− 2) = 0 ⇔ x + 2 y+ 2z − 9 = 0 .
Ví dụ 3: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng (α )
đi qua M (3;2;1) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B,C sao cho M là trực
tâm của tam giác ABC.
Giải:
* Vì A, B, C lần lượt thuộc Ox, Oy, Oz và M là trực tâm của tam giác ABC nên
OM ⊥ ( ABC ) hay OM ⊥ (α ) .
uuuuu

r

* Mặt phẳng (α ) đi qua M (3;2;1) và có VTPT OM = (3;2;1)
* Vậy phương trình mặt phẳng (α ) là
3(x − 3) + 2(y− 2) + z −1 = 0 ⇔ 3x + 2 y+ z −14 = 0 .
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng (α ) đi qua 3 điểm không thẳng hàng
A( xA ; y A ; z A ); B( xB ; yB ; zB );C( xC ; yC ; zC ) .
Cách làm:

uuur uuuu
r

*Tìm tọa độ AB; AC .
u
r

uuur uuuu
r

*Tính n =  AB, AC  .

u
r

* Vì (α ) đi qua A,B,C nên nhận n làm VTPT.

u
r

* Viết phương trình mặt phẳng (α ) đi qua A và có VTPT n .

Ví dụ 4: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phương trình mặt phẳng (α )
đi qua A (1;-2;1); B( 0;2;1); C(3;1;2).
Giải:
*Ta có
uuur

AB = (−1;4;0)

uuuu
r

AC = (2;3;1)
u
r

uuur uuuu
r

* n =  AB, AC  = (4;1; −11) .

u
r

*Vì mặt phẳng (α ) đi qua A, B,C nên nhận n làm VTPT.
* Vậy phương trình mặt phẳng (α ) là
4( x −1) + y + 2 −11( z −1) = 0 ⇔ 4 x + y −11z + 9 = 0 .
9


Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (α ) đi qua 3 điểm không thẳng hàng và cắt

các trục Ox,Oy,Oz lần lượt là A(a;0;0); B(0; b;0);C(0;0; c) , a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 .
Cách làm:
Cách 1: Trình bày tương tự như ở dạng 2.
Cách 2: Do 3 điểm A;B;C lần lượt thuộc Ox, Oy, Oz nên sử dụng phương trình
mặt phẳng theo đoạn chắn.
x y z
*Ta có phương trình mặt phẳng (α ) theo đoạn chắn: + + = 1 .
a b c
Ví dụ 5: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phương trình mặt phẳng (α )
đi qua A (2;0;0); B( 0;3;0); C(0;0;6).
Giải:
Cách 1:
Ta có
uuur

* AB = (−2;3;0)
uuuu
r

* AC = (−2;0;6) .
u
r

uuur uuuu
r

* n =  AB, AC  = (18;12;6) .

u
r

*Vì mặt phẳng (α ) đi qua A, B,C nên nhận n làm VTPT.
* Vậy phương trình mặt phẳng (α ) là
18( x − 2) + 12 y + 6 z = 0 ⇔ 3x + 2 y + z − 6 = 0 .
Cách 2:
*Ta có mặt phẳng (ABC) theo đoạn chắn là
x y z
+ + = 1 ⇔ 3x + 2 y + z − 6 = 0 .
2 3 6
Ví dụ 6 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (2;-3;1). Gọi A, B,C
lần lượt là hình chiếu của điểm M lên các trục Ox,Oy, Oz. Viết phương trình mặt
phẳng ( ABC).
Giải:
* Hình chiếu của M lên trục Ox là điểm A (2;0;0).
* Hình chiếu của M lên trục Oy là B ( 0;-3;0).
* Hình chiếu của M lên trục Oz là C (0;0;1).
* Ta có phương trình (ABC) theo đoạn chắn là
x y z
+ + = 1 ⇔ −3x + 2 y − 6 z + 6 = 0 .
2 −3 1
10


Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng (α ) đi qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) và song song với mặt
phẳng ( β ) : Ax + By + Cz + D = 0 .
Cách làm:
Cách 1:

u
r

*Ta có VTPT của mặt phẳng ( β ) : n = ( A; B; C ) .
β

u
r

*Vì (α ) đi qua điểm M và (α ) / /( β ) nên (α ) nhận n làm VTPT.
β

*Vậy phương trình mặt phẳng (α ) : A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 .
Cách 2:

u
r

* Ta có VTPT của mặt phẳng ( β ) : n β = ( A; B; C ) .
*Vì (α ) / /( β ) nên phương trình mặt phẳng (α ) có dạng Ax + By + Cz + D ' = 0( D ' ≠ D)
*Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng (α ) ta tìm được D ' .
*Kết luận.
Ví dụ 7: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phương trình mặt phẳng (α ) đi
qua A (0;-3;5) và song song ( β ) 2x+5y-3z+1=0.
Giải:
Cách 1:

uur

*Ta có nβ = (2,5, −3)

uur

* Vì (α ) đi qua điểm A và (α ) / /( β ) nên (α ) nhận nβ làm VTPT.
*Vậy phương trình mặt phẳng (α ) :
2( x − 0) + 5( y + 3) − 3(z− 5) = 0 ⇔ 2 x + 5 y− 3z + 30 = 0 .
Cách 2:

uur

*Ta có nβ = (2,5, −3) .
*Vì (α ) / /( β ) nên phương trình mặt phẳng (α ) có dạng 2 x + 5 y − 3z + D ' = 0( D ' ≠ 1)
*Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng (α ) :
2.0 + 5(−3) − 3.5 + D ' = 0 ⇒ D' = 30 .
*Vậy phương trình (α ) : 2 x + 5 y − 3z + 30 = 0 .
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (α ) đi qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) và vuông góc với
 x = x0 + at

đường thẳng d:  y = y0 + bt ( t là tham số).
 z = z + ct
0

Cách làm:
11


u
r

*Ta có VTCP của đường thẳng d: u = (a; b;c) .
d

u
r

*Vì (α ) đi qua M và vuông góc với d nên (α ) nhận u = (a; b;c) làm VTPT.
d

*Viết phương trình mặt phẳng (α ) .
Ví dụ 8: Trong không gian hệ trục Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α ) đi qua
 x = 2 + 3t

A (-2;0;3) và vuông góc với đường thẳng d:  y = −5 − t
 z = 1 + 2t

Giải:

u
r

*Ta có VTCP của đường thẳng d: u d = (3; −1;2) .

u
r

*Vì (α ) đi qua A và (α ) vuông góc với d nên (α ) nhận u d = (3; −1;2) làm VTPT.
*Vậy phương trình mặt phẳng (α ) là
3( x + 2) − ( y − 0) + 2( z − 3) = 0 ⇔ 3x − y + 2 z = 0 .
Ví dụ 9: Trong không gian hệ trục Oxyz, cho ba điểm A (-1;0;2), B (-2;0;1),
C(-5;1;3). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng
BC.
Giải:

uuuu
r

*Ta có BC = (−3;1;2) .
uuur

*Vì (α ) đi qua A và (α ) vuông góc với BC nên (α ) nhận BC làm VTPT.
*Vậy phương trình mặt phẳng (α ) là
−3( x + 1) + ( y − 0) + 2( z − 2) = 0 ⇔ −3x + y + 2 z − 7 = 0
Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng (α ) đi qua A( x A ; yA ; z A ) , B(x B ; y B ; zB )
và vuông góc với ( β ) : Ax + By + Cz + D = 0 .
Cách làm:
uuur

*Tính AB .

u
r

*Mặt phẳng ( β ) có VTPT n β = ( A; B; C ) .
u
r

uuur u
r

*Tính n =  AB, n β  .

u

r

*Vì (α ) đi qua A,B và vuông góc với ( β ) nên nhận n làm VTPT.
u
r

* Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua A và VTPT n .
Ví dụ 10: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α )
đi qua A (-1;2;2) ,B (0;1;1) và vuông góc với mp ( β ) : 2x-y- 2z - 6=0.
12


Giải:
uuur

* AB = (1; −1; −1) .

uur
*VTPT của mặt phẳng ( β ) ; nβ = (2; −1; −2) .
u
r

uuur u
r

*Ta có n =  AB, n β  = (1;0;1) .

u
r

* Vì (α ) đi qua A,B và vuông góc với ( β ) nên nhận n làm VTPT.
* Vậy phương trình mặt phẳng (α ) là

x + 1 + 0( y − 2) + z − 2 = 0 ⇔ x + z − 1 = 0 .
 x = x0 + at

Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng d:  y = y0 + bt ( t là
 z = z + ct
0


tham số) và vuông góc với mặt phẳng ( β ) : Ax + By + Cz + D = 0 .
Cách giải:
*Lấy điểm M thuộc d.

u
r

* Ta có VTCP của đường thẳng d: u d = (a; b; c) .
u
r

*Mặt phẳng ( β ) có VTPT n = ( A; B; C ) .
β

u
r

u
r u

r

*Tính n = u d , n β  .

u
r

*Vì (α ) chứa d và (α ) vuông góc với ( β ) nên nhận n làm VTPT.
u
r

* Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M và VTPT n .
Ví dụ 11: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phương trình mặt phẳng (α )
 x = 1 + 2t

chứa đường thẳng d:  y = 3 − t ,và vuông góc với mặt phẳng
z = t

( β ) : −3x + 2 y − 6 z + 1 = 0 .
Giải:
*Lấy điểm M (1;3;0) thuộc d.

u
r

*Ta có VTCP của đường thẳng d: u d = (2; −1;1) .
u
r

*Mặt phẳng ( β ) có VTPT n = (−3;2; −6) .

β

u
r

u
r u
r

*Tính n = u d , n β  = (4;9;1) .

u
r

*Vì (α ) chứa d và vuông góc với ( β ) nên nhận n làm VTPT.
* Vậy phương trình mặt phẳng (α ) :
13


4( x −1) + 9( y − 3) + ( z − 0) = 0 ⇔ 4 x + 9 y + z − 31 = 0 .
Ví dụ 12: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phương trình mặt phẳng (α )
x y −1 z
= và vuông góc với mặt phẳng
chứa đường thẳng d : =
−2
1
1
( P) : x − 3 y + z − 2 = 0 .
Giải:

u
r

*Đường thẳng d có điểm M (0;1;0) và VTCP u = (−2;1;1) .
u
r

*Mặt phẳng (P) có VTPT n = (2; −1;2) .
*Vì (α ) chứa d và vuông góc mặt phẳng (P) nên (α ) có VTPT .
u
r

u
r u
r

nα = u, n  = (3;6;0) .

u
r

*Vậy phương trình mp (α ) đi qua điểm M và có VTPT nα là x + 2 y − 2 = 0 .
Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (α ) song song với mặt phẳng
( β ) : Ax + By + Cz + D = 0 và cách ( β ) một đoạn bằng k (k>0).
Cách làm:

uur
*Mặt phẳng ( β ) có VTPT nβ = ( A; B; C ) .

*Vì (α ) song song với ( β ) nên phương trình mặt phẳng (α ) có dạng là

Ax + By + Cz + D ' = 0( D ' ≠ D) .
* Lấy M bất kỳ thuộc ( β ) khi đó d ( M ,(α )) = d (( β ),(α )) = k (*) .
*Giải phương trình (*) ta tìm được D’.
*Kết luận.
Ví dụ 13 : Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng
(α ) đi qua song song ( β ) : 2x-y- 2z - 6=0 và cách ( β ) một đoạn bằng 3.

Giải:

uur
(
β
)
n
* Mặt phẳng
có VTPT β = (2; −1; −2) .

* Vì (α ) // ( β ) nên phương trình mặt phẳng (α ) : 2x-y- 2z +D’=0 (D' ≠ −6) .
* Lấy M ( 0,0, −3) ∈ ( β ) .
* Ta có d (M ,(α )) = d (( β ),(α )) .

14


| 6 + D '|
=3
3
6 + D ' = 9
⇔
 6 + D ' = −9

D ' = 3
⇔
 D ' = −15
⇔

*Vậy phương trình (α ) : 2 x − y− 2z + 3 = 0 hay (α ) : 2 x − y− 2z −15 = 0 .
Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng (α ) tiếp xúc với (S):
( x − a)2 + ( y − b)2 + ( z − c)2 = R 2 tại điểm M ( x0 ; y 0 ; z0 ) .
Cách làm:
*Mặt cầu (S) có tâm I (a;b;c) và bán kính R.
uuur
*Vì (α ) tiếp xúc với (S) tại M nên VTPT của (α ) là IM .
uuur
* Viết phương trình mặt phẳng (α ) đi qua M và có VTPT IM .
Ví dụ 14: Viết phương trình mặt phẳng (α ) tiếp xúc với (S):
( x −1)2 + ( y − 2)2 + ( z − 3)2 = 9 tại điểm M (3;0;4) .
Giải:
*Mặt cầu (S) có tâm I (1;2;3) và bán kính R= 3.

uuur

*Vì (α ) tiếp xúc với (S) tại M nên VTPT của (α ) là IM = (2; −2;1) .
uuur

*Vậy phương trình mặt phẳng (α ) đi qua M và có VTPT IM = (2; −2;1) là
2 x − 2 y + z − 10 = 0 .
Ví dụ 15: Viết phương trình mặt phẳng (α ) tiếp xúc với (S):
x 2 + y 2 + z 2 + 4 x − 2 y − 1 = 0 tại điểm A (-1;2;2).
Giải:
*Mặt cầu (S) có tâm I (-2;1;0) và bán kính R=

6.

uuu
r

*Vì (α ) tiếp xúc với (S) tại A nên VTPT của (α ) là IA = (1;1;2) .
uuu
r

*Vậy phương trình mặt phẳng (α ) đi qua M và có VTPT IA = (1;1;2) là (α ) :
x + y + 2z − 5 = 0 .
Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng (α ) song song với
( β ) : Ax + By + Cz + D = 0 tiếp xúc với (S): ( x − a)2 + ( y − b)2 + ( z − c)2 = R 2 .
Cách làm:

uur
* Mặt phẳng ( β ) có VTPT nβ = ( A; B; C ) .

* Mặt cầu (S) có tâm I (a;b;c) và bán kính R.
15


* Vì (α ) song song với ( β ) nên phương trình mặt phẳng (α ) có dạng
Ax + By + Cz + D ' = 0( D ' ≠ D) .
*Vì (α ) tiếp xúc với (S) nên d ( I ,(α )) = R (*).
* Giải phương trình (*) ta tìm được D’.
*Kết luận.
Ví dụ 16: Viết phương trình mặt phẳng (α ) song song với ( β ) : x + 2 y − 2 z − 6 = 0
tiếp xúc với (S): ( x −1)2 + ( y − 2)2 + z 2 = 25 .

Giải:

uur
(
β
)
* Mặt phẳng
có VTPT nβ = (1; 2; −2) .

* Mặt cầu (S) có tâm I (1;2;0) và bán kính 5.
* Vì (α ) song song với ( β ) nên phương trình mặt phẳng (α ) có dạng
x + 2 y − 2 z + D ' = 0( D ' ≠ −6) .
*Vì (α ) tiếp xúc với (S) nên d ( I ,(α )) = 5 (*).
|1 + 2.2 − 2.0 + D '|
| 5 + D '|
=5⇔
=5
3
3
5 + D ' = 15
⇔
.
5 + D ' = −15
 D ' = 10
⇔
( n)
 D ' = −20

(*) ⇔

* Vậy phương trình
(α ) : x + 2 y − 2 z + 10 = 0.
(α ) : x + 2 y − 2 z − 20 = 0.
Ví dụ 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α )
vuông góc với trục Oy tiếp xúc với (S): ( x −1)2 + ( y − 2)2 + ( z − 3)2 = 9 .
Giải:

u
r
* Trục Oy có VTCP j = (0;1;0) .

* Mặt cầu (S) có tâm I (1;2;3) và bán kính 3.
* Vì (α ) vuông góc với Oy nên phương trình mặt phẳng (α ) có dạng y + D = 0 .
*Vì (α ) tiếp xúc với (S) nên d ( I ,(α )) = 3 (*).
(*) ⇔

2 + D = 3
D =1
|2+ D|
=3⇔ 
⇔
1
 D = −5
 2 + D = −3
16


* Vậy phương trình (α ) : y + 1 = 0 hay (α ) : y − 5 = 0 .
Dạng 11: Viết phương trình mặt phẳng (α ) đi qua M ( x0 ; y 0 ; z0 ) và vuông góc với
hai mặt phẳng ( P) : Ax + By + Cz + D = 0 và (Q) : A ' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 .

Cách làm:

uu
r

*Mặt phẳng (P) có VTPT n1 = ( A; B; C ) .
uu
r

*Mặt phẳng (Q) có VTPT n2 = ( A '; B '; C ') .
u
r

uu
r uu
r

* (α ) vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q) nên (α ) có VTPT n =  n1 , n2  .
u
r

*Vậy phương trình mp (α ) đi qua điểm M và có VTPT n .
Ví dụ 18: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,cho mặt phẳng (α ) đi qua điểm
A(-3;0;1) vuông góc với hai mặt phẳng ( P) : 2 x + 3 y − z + 2 = 0 và
(Q) : x + 5 y − 2 z + 1 = 0 .
Giải:

uu
r

*Mặt phẳng (P) có VTPT n1 = (2;3; −1) .
uu
r

*Mặt phẳng (Q) có VTPT n2 = (1;5; −2) .
u
r

uu
r uu
r

* (α ) vuông góc với (P) và (Q) nên (α ) có VTPT n =  n1 , n2  = (1;3;7) .
u
r

*Vậy mp (α ) đi qua điểm A(-3;0;1) và có VTPT n = (1;3;7) là nên phương trình
(α ) : x + 3 y + 7 z − 4 = 0 .
Ví dụ 19: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α ) vuông góc
với hai mặt phẳng ( P) : x + y + z − 3 = 0 và (Q) : x − y + z −1 = 0 sao cho khoảng cách
từ O đến (α ) bằng 2.
Giải:

uu
r

*Mặt phẳng (P) có VTPT n1 = (1;1;1) .
uu
r

*Mặt phẳng (Q) có VTPT n2 = (1; −1;1) .
uur

uu
r uu
r

* (α ) vuông góc với (P) và (Q) nên (α ) có VTPT nα =  n1 , n2  = (2;0; −2)
u
r

hay n = (1;0; −1) .

u
r

u
r

*Mặt phẳng (α ) VTPT n = (1;0; −1) là nên phương trình n = (1;0; −1) : x − z + D = 0 .
* d (O,(α )) = 2 ⇔

D = 2 2
D
=2⇔ 
2
 D = −2 2

Vậy phương trình (α ) : x − z + 2 2 = 0 hay (α ) : x − z − 2 2 = 0 .

17


Dạng 12: Viết phương trình mặt phẳng (α ) đi qua điểm M và chứa một đường
thẳng d không chứa M.
Cách làm:

u
r

* Trên d lấy điểm A và d có VTCP u .
uuuuu
r

* Tìm AM .

r
u
r uuuuu

u
r

*Mặt phẳng (α ) đi qua M và chứa d nên VTPT nα = u, AM  .
u
r

*Viết phương trình mặt phẳng (α ) đi qua M và VTPT nα .
Ví dụ 20: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,cho mặt phẳng (α ) đi qua điểm
 x = 1 + 2t


M(1;2;3) và chứa đường thẳng d:  y = 2 − t ( t là tham số).
 z = 0 + 3t

Giải:

u
r

* Trên d lấy điểm A(1;2;0) và d có VTCP u = (2; −1;3) .
uuuuu
r

* AM = (0;0; −3) .
r
u
r uuuuu

u
r

* Mặt phẳng (α ) đi qua M và chứa d nên VTPT nα = u, AM  = (3;6;0) .
uur

* Vậy mặt phẳng (α ) đi qua M (1;2;3) và VTPT nα = (3;6;0) nên phương trình
(α ) : 3( x −1) + 6( y − 2) = 0 ⇔ x + 2 y − 5 = 0 .
Dạng 13: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB biết
A(x A ; y A ; z A ); B(x B ; yB ; zB ) .
Cách làm:
* Gọi (α ) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

* Gọi I là trung điểm đoạn AB. Tìm tọa độ điểm I.
uuur

* Tìm AB .

uuur

*Mặt phẳng (α ) đi qua I và VTPT AB .
uuur
*Viết phương trình mặt phẳng (α ) đi qua I và VTPT AB .
Ví dụ 21: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phương trình mặt phẳng
trung trực của đoạn thẳng AB biết A (2;3;-1) và B (4;-1;1).
Giải:
* Gọi (α ) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
* Gọi I là trung điểm đoạn AB. Suy ra tọa độ điểm I (3;1;0).
uuur

* Tìm AB = (2; −4;2) = 2(1; −2;1) .
18


u
r

*Mặt phẳng (α ) đi qua I và VTPT n = (2; −1;1) .

u
r

*Viết mặt phẳng (α ) đi qua I (3;1;0) và VTPT n = (2; −1;1) nên phương trình

(α ) : 2( x − 3) − ( y −1) + 1( z − 0) = 0 ⇔ 2 x − y + z − 5 = 0 .
Dạng 14: Viết phương trình mặt phẳng (α ) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) , song song
 x = x0 + at

với đường thẳng d :  y = y0 + bt ( t là tham số) và vuông góc với mặt phẳng
 z = z + ct
0

( β ) : Ax + By+ Cz + D = 0 .
Cách làm:

u
r

* Đường thẳng d có VTCP u = (a, b, c) .
u
r

* Mặt phẳng ( β ) có VTPT n = ( A, B,C) .
*Mặt phẳng (α ) song song với đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng ( β )
r
u
r
u
r uu
có VTPT nα = [u, n] .
u
r

* Viết phương trình mặt phẳng (α ) đi qua M và có VTPT nα .

Ví dụ 22: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phương trình mặt phẳng (α )
 x = −1 + t

đi qua điểm M (2;3;0) , song song với đường thẳng d :  y = 0 + 2t và vuông góc
 z = 2 + 3t

với mặt phẳng ( β ) : x − 2 y+ z − 5 = 0 .
Giải:

u
r

* Đường thẳng d có VTCP u = (1;2;3) .
u
r

* Mặt phẳng ( β ) có VTPT n = (1; −2;1) .
*Mặt phẳng (α ) song song với đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng ( β )
r
u
r
u
r uu
có VTPT nα = [u, n] = (8;2; −4) .
u
r

* Vậy mặt phẳng (α ) đi qua M (2;3;0) và có VTPT nα = (8;2; −4) nên phương trình
8( x − 2) + 2( y − 3) − 4(z − 0) = 0 ⇔ 4 x + y − 2 z −11 = 0 .
Dạng 15: Viết phương trình mặt phẳng (α ) đi qua điểm M , song song với đường

 x = x '0 + a ' t '
 x = x0 + at


thẳng d :  y = y0 + bt và d’:  y = y '0 + b ' t ' ( t ,t’ là tham số).
 z = z + ct
 z = z '+ c ' t '
0
0


Cách làm:

u
r

* Đường thẳng d có VTCP u = (a, b, c) .
19


uu
r

* Mặt phẳng d’ có VTPT u ' = (a ', b ', c ') .
u
r

r
u
r uu

*Mặt phẳng (α ) song song với đường thẳng d và d’có VTPT nα = [u, u '] .
u
r

* Viết phương trình mặt phẳng (α ) đi qua M và có VTPT nα .
Ví dụ 23: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phương trình mặt phẳng (α )
 x = 2 + 2t

đi qua điểm M (1; 2;3) , song song với đường thẳng d :  y = −2 − t và
z = 3+ t

 x = 1− t '

d’:  y = 1 + 2t '
 z = −1 + t '


Giải:

u
r

* Đường thẳng d có VTCP u = (2; −1;1) .
uu
r

* Mặt phẳng d’ có VTPT u ' = (−1;2;1) .
*Mặt phẳng (α ) song song với đường thẳng d và d’có VTPT

u
r

r
u
r uu

nα = [u, u '] = (−3; −3;3) .

u
r

* Mặt phẳng (α ) đi qua M (1;2;3) và có VTPT nα = (−3; −3;3) .
* Vậy phương trình (α ) : −3( x −1) − 3( y − 2) + 3(z − 3) = 0 ⇔ x + y − z = 0 .

 x = x0 + at

Dạng 16: Viết phương trình mặt phẳng (α ) đi qua điểm chứa d :  y = y0 + bt
 z = z + ct
0

 x = x '0 + a ' t '

và song song với d’:  y = y '0 + b ' t ' ( t , t’ là tham số).
 z = z '+ c ' t '
0


Cách làm:
* (α ) chứa d nên (α ) đi qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) .

u
r

* Đường thẳng d có VTCP u = (a, b, c) .
uu
r

* Mặt phẳng d’ có VTPT u ' = (a ', b ', c ') .
*Mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d’nên có
r
u
r
u
r uu
VTPT nα = [u, u '] .
20


u
r

* Viết phương trình mặt phẳng (α ) đi qua M và có VTPT nα .
Ví dụ 24: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phương trình mặt phẳng (α )
 x = 3 + 7t

x −8 y −5 z −8
=
=
chứa đường thẳng d :
và song song với d’:  y = 1 + 2t .

1
2
−1
 z = 1 + 3t

Giải:
* (α ) chứa d nên (α ) đi qua M (8;5;8) .
u
r

* Đường thẳng d có VTCP u = (1;2; −1) .
uu
r

* Mặt phẳng d’ có VTPT u ' = (7;2;3) .
*Mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng d và song song với d’có VTPT
u
r

r
u
r uu

nα = [u, u '] = (8; −10; −12) = 2(4; −5; −6) .

u
r

* Mặt phẳng (α ) đi qua M (8;5;8) và có VTPT n = (4; −5; −6) .
* Vậy phương trình (α ) : 4( x − 8) − 5(y− 5) − 6(z − 8) = 0 ⇔ 4 x − 5 y − 6 z + 41 = 0 .

Vấn đề 2: Viết phương trình đường thẳng ( phương trình tham số)
Để viết phương trình đường thẳng d ta cần một điểm thuộc đường thẳng d và một
VTCP.
u
r

Dạng 1: Đường thẳng d đi qua một điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và một VTCP u = (a; b; c) .
Cách làm :
 x = x0 + at

* Phương trình tham số của đường thẳng d:  y = y0 + bt ( t là tham số)
 z = z + ct
0


Ví dụ 25: Trong không urgian hệ trục tọa độ Oxyz ,đường thẳng d đi qua một điểm
M (1;2;3) và một VTCP u = (−2;1;3) .
Giải:
 x = 1 − 2t

Phương trình tham số của đường thẳng d:  y = 2 + t
 z = 3 + 3t


Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A và B.
Cách làm:
uuur

*Tính AB .

uuur

*Viết phương trình đường thẳng d đi qua A ( hoặc B) và có VTCP AB .
21


Ví dụ 26: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phương trình đường thẳng d
đi qua hai điểm A (1;2;4) và B(-2;3;5).
Giải:

uuur

*Ta có AB = (−31;1) .
uuur

*Vậy đường thẳng d đi qua A (1;2;4) và có VTCP AB nên phương trình
 x = 1 − 3t

d:  y = 2 + t
z = 4 + t

 x = 1 + 2t

Ví dụ 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng ∆ :  y = t
,
z = 2 + t


mặt phẳng ( P) : x + y − 2 z + 5 = 0 và điểm A ( 1;-1;2) . Viết phương trình đường
thẳng d cắt ∆,( P) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN.

Giải:
* Ta có M ∈∆ ⇒ M (−1 + 2t; t;2 + t ) .
* Vì A là trung điểm của MN nên ta có :
 xN = 2 xA − xM
 xN = 3 − 2t


 yN = 2 y A − yM ⇔  yN = −2 − t ⇒ N (3 − 2t; −2 − t;2 − t) .
 z = 2z − z
z = 2 − t
A
M
 N
 N

*Vì N ∈ ( P) ⇔ (3 − 2t ) + (−2 − t ) − 2(2 − t ) + 5 = 0 ⇔ t = 2 ⇒ N (−1; −4;0) .
uuuur

* Vậy đường thẳng d đi qua A và có VTCP AN = (2;3;2) nên phương trình
 x = 1 + 2t

d:  y = −1 + 3t
 z = 2 + 2t


Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và song song với đường thẳng
 x = x0 + at

∆ :  y = y0 + bt (t là tham số).
 z = z + ct

0

Cách làm:

u
r

*Đường thẳng ∆ có VTCP u = (a; b; c) .
u
r

*Vì d song song với ∆ nên d nhận u = (a; b; c) làm VTCP.
u
r

*Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và VTCP u = (a; b; c) .
22


Ví dụ 28: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phương trình đường thẳng d
 x = −4 + 3t

đi qua M (2; −1;0) và song song với đường thẳng ∆ :  y = 1 + 5t .
 z = −7 − t

Giải:

u
r

*Đường thẳng ∆ có VTCP u = (3;5; −1) .
u
r

*Vì d song song với ∆ nên d nhận u làm VTCP.

u
r

*Vậy đường thẳng d đi qua M (2;-1;0) và VTCP u = (3;5; −1) có phương trình
 x = 2 − 3t

d:  y = −1 + 5t .
 z = −t


Ví dụ 29: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phương trình đường thẳng d
x −3 y z +5
= =
đi qua M (5; −1;3) và song song với đường thẳng ∆ :
.
2
−1
3
Giải:

u
r

*Đường thẳng ∆ có VTCP u = (2; −1;3) .

u
r

*Vì d song song với ∆ nên d nhận u làm VTCP.

u
r

*Vậy phương trình đường thẳng d đi qua M (5;-1;3) và VTCP u = (2; −1;3) :
 x = 5 + 2t

d:  y = −1 − t .
 z = 3 + 3t


Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt
phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 .
Cách làm:

u
r

*Mặt phẳng (P) có VTPT n = ( A; B; C ) .
u
r

*Vì d song song với (P) nên d nhận n = ( A; B; C ) làm VTCP.
u
r

*Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và có VTCP n .
Ví dụ 30: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phương trình đường thẳng d
đi qua điểm M (-3;1;2) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2 x − y + 4 z + 3 = 0 .
Giải:

u
r

*Mặt phẳng (P) có VTPT n = (2; −1;4) .
u
r

*Vì d song song với (P) nên d nhận n làm VTCP.
23


u
r

*Vậy phương trình đường thẳng d đi qua M (-3;1;2) và có VTCP n = (2; −1;4) là
 x =−3+ 2t


d:  y=1−t

 z =2+4t


.

Ví dụ 31: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,cho tam giác ABC có A(1;1;0),
B(0;2;1) trọng tâm G(0;2;-1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua C và vuông
góc với mặt phẳng (ABC).
Giải:
* G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:
 xC = 3xG − xA − xB
 xC = −1


 yC = 3 yG − y A − yB ⇔  yC = 3 ⇒ C − 1;3;4) .
 z = 3z − z − z
 z = −4
G
A
B
 C
 C
uuur
uuuu
r

* Ta có AB = (−1;1;1), AC = (−2;2; −4) .
 d ⊥ AB

*Vì d ⊥ (ABC) ⇒ 

 d ⊥ AC

uuuur uuuu
r

nên d có VTCP [ AB, AC ] = (−6; −6;0) = −6(1;1;0) .
u
r

*Vậy phương trình đường thẳng d đi qua C (-1;3;-4) và có VTCP u = (1;1;0) là
 x = −1 + t

d:  y = 3 + t .
 z = −4


Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với hai
đường thẳng
 x = x0 '+ a ' t '
 x = x0 + at


∆ :  y = y0 + bt và ∆ ’:  y = y0 '+ b ' t ' ( t,t’ là tham số)
 z = z + ct
 z = z '+ c ' t '
0
0



Cách làm:

u
r

*Đường thẳng ∆ có VTCP u = (a; b; c)
u
r

* Đường thẳng ∆ ’có VTCP u ' = (a '; b '; c ')

u
r

r
u
r uu

*Vì d vuông góc với ∆ và ∆ ’nên d nhận u d = [u, u '] làm VTCP
uur

*Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và VTCP ud

24


Ví dụ 32: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phương trình đường thẳng d
 x = 1 + 2t

đi qua điểm M (1;0;5) và vuông góc với hai đường thẳng ∆ :  y = 3 − 2t và ∆ ’:
 z = 1+ t

 x = 1− t '


y = 2+t' .
 z = 1 − 3t '

Giải:

u
r

*Đường thẳng ∆ có VTCP u = (2; −2;1) .
u
r

* Đường thẳng ∆ ’có VTCP u ' = (−1;1; −3) .

u
r

r
u
r uu

*Vì d vuông góc với ∆ và ∆ ’nên d nhận u d = [u, u '] = (5;5;0) làm VTCP.
u
r

*Vậy đường thẳng d đi qua M và VTCP u d = (5;5;0) nên phương trình
 x = 1 + 5t
 x = 1+ t



d:  y = 0 + 5t hoặc d:  y = 0 + t .
z = 5
z = 5



Ví dụ 33: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho các điểm A(1;-1;1) và B(-1;2;3)
x +1 y − 2 z − 3
=
=
và đường thẳng ∆ :
. Viết phương trinh đường thẳng đi qua A và
−2
1
3
vuông góc với đường AB và ∆ .
Giải:

uuur

*Đường thẳng ABcó VTCP AB = (−2;3;2) .
u
r

* Đường thẳng ∆ có VTCP u = (−2;1;3) .

u
r

uuur u

r

*Vì d vuông góc với AB và ∆ nên d nhận u d = [ AB, u ] = (7;2;4) làm VTCP.
u
r

*Vậy đường thẳng d đi qua A và VTCP u d = (7;2;4) nên phương trình d:
 x = 1 + 7t

 y = −1 + 2t .
 z = 1 + 4t

Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng chéo
nhau ( Viết phương trình đường vuông góc chung).
 x = x0 '+ a ' t '
 x = x0 + at


∆ :  y = y0 + bt và ∆ ’:  y = y0 '+ b ' t ' ( t, t’ là tham số).
 z = z + ct
 z = z '+ c ' t '
0
0



Cách làm:
25