Rèn luyện kỹ năng khai thác bài toán thông qua chuyên đề cộng, trừ phân số theo quy luật toán 6

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
PHÒNG GD&ĐT THỌ XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG KHAI THÁC BÀI TOÁN
THÔNG QUA CHUYÊN ĐỀ CỘNG, TRỪ PHÂN SỐ
THEO QUY LUẬT TOÁN 6

Người thực hiện: Nguyễn Thị Thúy Loan
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Xuân Lập – Thọ Xuân
SKKN thuộc lĩnh vực môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2017


Mục lục
Trang
1
1. MỞ ĐẦU.
1
1.1. Lý do chọn đề tài.
2
1.2.Mục đích nghiên cứu.
2
1.3. Đối tượng nghiên cứu
2
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
2
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

2
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
3
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
4
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
5
I. Tính tổng các dãy số viết theo quy luật:
II. Ứng dụng cộng, trừ phân số theo quy luật vào giải các bài toán tìm 11
x, bất đẳng thức…
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với

16

bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
3. KẾT LUẬN, ĐỀ XUẤT.

17


1. MỞ ĐẦU.
1.1. Lý do chọn đề tài.
Toán học là một môn khoa học giữ vai trò rất quan trọng trong nền khoa học tự
nhiên. Toán học giúp học sinh phát triển năng lực tư duy, óc sáng tạo, có cái nhìn
tổng quát, chính xác, khoa học. Hình thành kỹ năng học toán nói riêng là một quá
trình phức tạp khó khăn, phải phối hợp , đan xen, lồng ghép các biện pháp sư phạm
hài hoà. Để có kỹ năng phải qua quá trình luyện tập. Việc luyện tập có hiệu quả,
nếu biết khai thác nội dung học tập từ kiến thức ban đầu sang một nội dung tương
tự, giúp học sinh lặp đi lặp lại nhiều lần trong nhiều tình huống khác nhau nhằm rèn
luyện cũng cố, khắc sâu kiến thức, phát triển năng lực tư duy và óc sáng tạo cho

học sinh.
Để thực hiện được mục tiêu đào tạo học sinh trở thành người lao động tự chủ,
năng động và sáng tạo, việc bồi dưỡng năng lực và sáng tạo cho học sinh là một
nhiệm vụ quan trọng của nhà trường. Từ việc học sinh giải các bài tập SGK, học
sinh có thể từng bước giải các bài tập nâng cao, những bài toán hay và khó. Để từ
đó phát triển năng lực, tư duy, óc sáng tạo, óc phân tích tổng hợp….Từng bước bồi
dưỡng đào tạo nhân tài cho đất nước, thực hiện tốt mục tiêu giáo dục của Đảng ta
trong thời kì công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước.
Là giáo viên dạy môn toán trong trường phổ thông, tôi ý thức được rằng. Toán
học là môn học tự nhiên, nó có vai trò vô cùng quan trọng trong sự phát triển tư
duy của con người, nó là chìa khoá để con người khám phá ra các lĩnh vực khác
như tin học, vật lý, hoá học, y học...
Sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy môn toán và bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi đã
không ngừng học hỏi nâng cao tay nghề, học hỏi đồng nghiệp và những người có
kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi. Đặc biệt qua các kỳ thi học sinh giỏi do
huyện tổ chức thì hầu như đề thi học sinh giỏi toán 7; 8; 9 các năm đều có dạng
toán cộng, trừ phân số theo quy luật. Mặc dù ở lớp 6 không tổ chức thi cấp huyện,
nhưng dạng toán này lại có từ lớp 6, nếu các em được học, được bồi dưỡng thì đây
lại là nền tảng quan trọng có ý nghĩa thiết thực trong việc dạy học môn toán, nhằm
nâng cao chất lượng dạy học, tạo nguồn học sinh khá giỏi trong những năm tiếp
theo. Bản thân tôi nhận thấy các bài toán về cộng, trừ phân số viết theo quy luật
nội dung xuyên suốt chương trình toán THCS. Đây là dạng bài toán tương đối khó
đối với học sinh lớp 6. Học sinh khó hiểu khi đứng trước dạng bài toán này, học
sinh còn lúng túng, chưa định ra phương pháp giải bài tập (chưa tìm ra quy luật của
dãy số). Trong khi đó dạng toán này trong sách giáo khoa lớp 6 chỉ đưa ra một vài
bài toán dạng sao (*), không đưa ra phương pháp giải cụ thể, bắt buộc học sinh tự
vận dụng kiến thức của mình. Dạng toán “Dãy phân số viết theo quy luật” là
dạng toán tương đối khó đối với học sinh lớp 6, tổng hợp nhiều kiến thức, đối với
học sinh phải phân tích, phán xét, nhận dạng nhanh bài toán để đưa ra quy luật của
dãy số. Đặc biệt là những bài tập nâng cao rất đa dạng, phong phú, mỗi bài có một

sắc thái riêng. Làm thế nào để học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề, khai thác
phát triển được những bài tập này là một việc làm không dễ chút nào, buộc học
1


sinh phải suy nghĩ, phát hiện vấn đề, nhưng làm thế nào để học sinh tự tìm tòi phát
hiện vấn đề? Nếu giáo viên làm thay cho học sinh thì coi như không giải quyết
được vấn đề gì, mà quan trọng nhất là tự học sinh định hướng đúng cách giải qua
mỗi bài tập khó.
Đây không chỉ là vấn đề trăn trở của riêng tôi mà còn là của tất cả đồng nghiệp
đang mang trên mình trách nhiệm to lớn của người Thầy. Qua thực tế nhiều năm
giảng dạy môn toán và bồi dưỡng học sinh giỏi, bản thân tôi đã đúc kết được nhiều
kinh nghiệm, trong đó nổi trội là kinh nghiệm rèn luyện kỹ năng khai thác bài toán
thông qua chuyên đề cộng, trừ phân số theo quy luật toán 6 là nền tảng có ý nghĩa
vô cùng quan trọng trong việc dạy và học môn toán. Vì vậy tôi đã mạnh dạn trình
bày kinh nghiệm của mình về “Rèn luyện kỹ năng khai thác bài toán thông qua
chuyên đề cộng, trừ phân số theo quy luật toán 6”, để nâng cao chất lượng bồi
dưỡng học sinh giỏi ở trường THCS.
1.2.Mục đích nghiên cứu.
- Đánh giá thực trạng kỹ năng khai thác bài toán thông qua chuyên đề cộng, trừ
phân số theo quy luật toán.
- Đề xuất một số kỹ năng giải toán cộng, trừ phân số theo quy luật nhằm nâng cao
chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi cho học sinh lớp 6 làm nền tảng cho những năm tiếp
theo.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Rèn luyện kỹ năng khai thác bài toán thông qua chuyên đề cộng, trừ phân số
theo quy luật cho học sinh khá giỏi khối 6, nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh
giỏi ở trường THCS.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Đúc kết kinh nghiệm qua nhiều năm giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi tôi

đưa ra phương pháp nghiên cứu như sau.
- Dự thảo nội dung nghiên cứu.
- Xây dựng đề cương nghiên cứu.
- Thu thập xử lý thông tin: Đọc và nghiên cứu tài liệu.
- Khảo sát thực tế.
- Tìm hiểu thái độ học sinh đối với việc học tập bộ môn.
- Hướng dẫn học sinh chủ động lĩnh hội và sử dụng tri thức toán học thông
qua chuyên đề “ Cộng, trừ phân số theo quy luật”.
- Học hỏi đồng nghiệp có kinh nghiệm.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Xuất phát từ mục tiêu Giáo dục trong giai đoạn hiện nay là phải đào tạo ra con
người có trí tuệ phát triển, giàu tính sáng tạo và có tính nhân văn cao. Định hướng
này đã được pháp chế hoá trong luật giáo dục điều 24 mục II đã nêu ''Phương pháp
giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động sáng tạo của học
sinh, phải phù hợp với đặc điểm của từng môn học, rèn luyện kỹ năng vận dụng
2


kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui hứng thú học tập
cho học sinh"
“Phương pháp giải các bài toán cộng, trừ dãy phân số viết theo quy luật” với
mục đích định ra hướng giải quyết bài toán, phương pháp nhận biết, nhận dạng,
phương pháp giải đối với một dãy số nhất định. Đặc biệt còn đưa ra cho học sinh
phương pháp phân tích bài toán một cách nhanh chóng, đọc ra được quy luật của
dãy số nhanh nhất, hợp lí nhất. Để bồi dưỡng học sinh giỏi đạt kết quả cao thì
không chỉ kiến thức sách giáo khoa, mà học sinh cần được học các chuyên đề nâng
cao, ở nhiều dạng toán với mỗi loại, nếu chúng ta chỉ dạy mà không đi sâu khai
thác phát triển bài toán thì chỉ sau một thời gian ngắn khi gặp lại đa số học sinh
quên cách giải, như vậy việc học sẽ không mang lại kết quả cao. Tuy nhiên trong

quá trình dạy toán và bồi dưỡng học sinh giỏi với mỗi chuyên đề mà giáo viên đi
sâu hướng dẫn học sinh biết khai thác phát triển bài toán sẽ mang lại kết quả cao.
Chính vì vậy cần phải khai thác phát triển bài toán đối với từng chuyên đề.
Nội dung đề tài này góp phần nâng cao kiến thức, tư duy toán học, khả năng
phân tích, tính toán cho học sinh, đồng thời giúp cho giáo viên lựa chọn phương
pháp hợp lí, phù hợp với từng bài, từng đối tượng học sinh góp phần nâng cao chất
lượng dạy và học, đào tạo nhân tài cho đất nước.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Là một giáo viên dạy môn Toán ở trường THCS, qua quá trình thực tế dạy toán
và nhiều năm bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi thấy với những năm chưa áp dụng cách
khai thác phát triển bài toán cho từng chuyên đề, thì kết quả thi học sinh giỏi cấp
huyện rất thấp, năm học 2012 – 2013 trong đề thi học sinh giỏi cấp huyện toán 8 có
một bài về phân số theo quy luật thì học sinh trường tôi chưa làm được, kết quả thi
học sinh giỏi còn hạn chế. Năm học 2014 – 2015 tôi được phân công dạy môn toán
6, bản thân tôi nghỉ rằng mình cần phải đổi mới cách dạy môn toán để nâng cao chất
lượng bồi dưỡng học sinh giỏi, mà nền tảng là các em phải nắm chắc kiến thức từ lớp
6. Thực tế đa số học sinh nhìn chung đều chưa khai thác được cách giải bài toán
cộng, trừ phân số theo quy luật, nhất là chứng minh những bài toán hay và khó.
Nhiều khi học sinh cứ mò mẫm, lúng túng, bế tắc trước các bài toán kể cả học sinh
khá giỏi. Thầy giáo thường giải mẫu sẵn các bài toán từ dễ đến khó cho học sinh
chứ chưa phân tích dẫn dắt học sinh phát hiện ra quy luật, hướng giải quyết bài
toán, không dẫn dắt các bước đi cần thiết, ngắn gọn, đơn giản mà có kết quả nhanh
và hấp dẫn. Đây cũng là một câu hỏi còn bỡ ngỡ.
Năm học 2014 – 2015 sau một một bài kiểm tra môn số học 6 (tiết 96 - kiểm
tra chương III) trong bài kiểm tra tôi có ra một bài tập khó dành cho 10 học sinh khá
giỏi của khối là
1
1
1
+

+ ... +
1.2 2.3
99.100
3
3
3
b, 10.11 + 11 .12 + ... + n( n + 1)

Tính tổng: a,

Kết quả bài kiểm tra thu được như sau:
3


Tổng số học sinh được kiểm tra: 10 học sinh.
* Đối với bài a.
+ Có 4 học sinh (chiếm 40,0 %) biết cách trình bày lời giải bài toán .
+ Có 3 học sinh (chiếm 30,0%) trình bày lời giải bài toán đó còn lúng túng.
+ Có 3 học sinh (chiếm 30,0%) không định hướng được cách làm
* Đối với bài b.
+ Có 0 học sinh (chiếm 0,0 %) phát hiện và giải quyết bài toán tổng quát từ bài
toán cụ thể và biết cách trình bày lời giải bài toán đó.
+ Có 1 học sinh (chiếm 10,0%) biết tìm ra bài toán tổng quát từ bài toán cụ thể
trình bày lời giải bài toán đó còn lúng túng.
+ Có 2 học sinh (chiếm 20,0%) biết tìm ra bài toán tổng quát từ bài toán cụ thể
nhưng không biết cách trình bày lời giải bài toán đó.
+ Có 7 học sinh (chiếm 70,0%) không định hướng được cách làm.
Kết quả trên cho thấy kỹ năng phát hiện vấn đề, khai thác tổng quát hóa bài toán
trong quá trình giải toán của học sinh còn rất hạn chế. Nhưng nếu có kỹ năng tổng
quát hóa bài toán sẽ giúp cho học sinh phát huy được tính tích cực, chủ động, sáng

tạo, năng lực tư duy của mình. Đồng thời sau khi chứng minh được bài toán tổng
quát, giúp học sinh có cái nhìn sâu rộng hơn, khái quát hơn và có phương pháp giải
một lớp các bài toán cùng dạng. Đứng trước thực trạng trên tôi quyết định chọn
nghiên cứu đề tài : “Rèn luyện kỹ năng khai thác bài toán thông qua chuyên đề
cộng, trừ phân số theo quy luật toán 6”, để củng cố thêm cho nghiệp vụ giảng
dạy của mình. Cũng qua đề tài này tôi có thể tự học, tự vươn lên góp phần nhỏ bé
về sức lực trong sự nghiệp trồng người.

2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
Khảo sát chất lượng, tìm hiểu nguyên nhân và biện pháp nâng cao chất lượng
dạy và học.
Ôn tập, củng cố các kiến thức cơ bản về thực hiện các phép tính và các kiến
thức bổ trợ.
Từ việc đưa ra những bài toán cụ thể, mang tính đơn lẻ, có tính chất dễ dàng
lĩnh hội giáo viên đặt học sinh vào tình huống bài toán tổng quát của những bài
toán đơn lẻ đó là gì. Từ đó giáo viên dẫn dắt để học sinh phát hiện bài toán, trong
trường hợp tổng quát hơn và có nhu cầu chứng minh bài toán tổng quát đó.
Người thầy phải tổ chức tốt các hoạt động dạy học trên lớp tạo cho học sinh
hứng thú học tập, say mê nghiên cứu khám phá ra những điều mới lạ về kiến thức,
giúp cho học sinh có niềm vui của sự khám phá.
Đề tài này trình bày đòi hỏi phải giải quyết một số vấn đề sau:
1. Khai thác đề bài, cách tìm lời giải bài toán dẫn đến việc nắm được quy luật
của dãy số.
2. Từ việc khai thác trên nêu ra được phương pháp giải một bài toán cụ thể.
3. Đưa ra bài toán tổng quát.
4. Nêu ứng dụng của phương pháp.
4


Trên cơ sở các bài toán cụ thể ở các dạng toán đó tôi hướng dẫn các em cách

giải bài toán, từ đó hướng dẫn các em tìm ra bài toán tổng quát và cách giải tổng
quát bài toán đó.
Ở đề tài này chỉ đề cập đến một chuyên đề dạng cộng, trừ phân số theo quy
luật gồm hai phần đó là tính tổng dãy số theo quy luật và ứng dụng tính tổng dãy số
theo quy luật vào toán tìm x, chứng minh đẳng thức, tính giá trị biểu thức... Đây là
những bài toán hay và khó trong chương trình lớp 6. Ứng với 10 bài toán điển hình
từ đơn giản đến phức tạp làm dẫn chứng cho dạng toán nêu trên.
Với mỗi bài toán tôi đều hướng dẫn tạo ra các tình huống có vấn đề để học sinh
suy nghĩ tự tìm ra cách giải quyết bài toán và từ đó có thể tổng quát hóa bài toán và
khắc sâu cách giải từ 1 đến 4 bài tập để học sinh tự luyện. Thông qua các bài toán
có các bước phân tích lí do: "tại sao lại nghĩ ra quy luật bài toán đó?". Thậm chí có
những bài toán phải tìm ra quy luật thì mới tìm ra lời giải bài toán. Tuy nhiên với
mỗi bài toán có lời giải ngắn gọn và hay là một vấn đề phải đầu tư suy nghĩ.
Tuỳ từng bài toán cụ thể chúng ta có những cách hướng dẫn, gợi cho học sinh
nghĩ đến quy luật nào, phải làm gì để tạo ra bài toán có quy luật, để có thể đ ưa đến
những cách giải hay và độc đáo. Song công việc sáng tạo này không thể tuỳ tiện.
Việc tìm ra quy luật, tạo ra quy luật phải luôn tuân theo các phép biến đổi đã học.
Với những bài toán này thì việc phát hiện và giải quyết vấn đề cũng như khai thác,
tổng quát bài toán là rất quan trọng và làm thế nào để học sinh tự làm được những
việc này? Đó là những hướng nghiên cứu của đề tài này.
Sau đây tôi sẽ đưa ra một số dạng bài tập để khai thác phát triển bài toán như sau.
I. Tính tổng các dãy số viết theo quy luật:
Loại toán tìm tổng của một dãy số viết theo quy luật, trong đó thường có 3 phân
số đầu là số cụ thể còn các phân số sau cùng cho ở dạng tổng quát. Để làm dạng
toán này ta cần nhận xét, so sánh giữa tử và mẫu, các tử (hay các mẫu) với nhau,
giữa phân số cụ thể và tổng quát để tìm ra cách viết quy luật của phân số rồi dần
dần tìm ra cách giải.
Để làm dạng toán này người ta dùng phương pháp khử liên tiếp các số hạng.
1. Bài toán 1 : Tính tổng sau:
S=

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.2 2.3 3.4
100.101

* Phân tích bài toán: Khi gặp bài toán này chúng ta có thể quy đồng rồi thực
hiện phép tính được không ? Cách giải này vô cùng khó khăn. Vậy có cách giải nào
khác chăng ? Chúng ta hãy quan sát tử và mẫu của bài toán. Bài toán này là tổng
của các phân số có tử là 1 còn mẫu của các phân số là 1.2; 2.3; 3.4; ...100.101.
Như vậy mẫu của các phân số là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp. Cách giải bài
toán này là biến đổi mỗi phân số đã cho thành hiệu của 2 phân số, biến dãy tính
cộng thành dãy tính cộng và trừ.
Chẳng hạn:

1
1
1
1 1
1
1
1
= − ; …. ;
−
= 1− ;

=
1.2
2 2.3 .2 3
100.101 100 101

5


Mục đích là ta đi triệt tiêu các số hạng đối nhau. Đây chính là chiếc chìa khóa
vàng để giải bài toán này đấy.
* Cách giải:
1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.2 2.3 3.4
100.101
1  1 1
100
1 1   1 1   1 1 
 1
−
=
= −
=  −  +  −  +  −  + ... + 
1 2   2 3   3 4 
 100 101  1 101 101

S=

* Từ bài toán trên GV có thể hướng dẫn HS đưa ra bài toán tổng quát sau:
1

1

1

1

Tính tổng: S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1)

 
 


=  −  +  −  +  −  + ... +  −
1
1

1
1
2 2

1
1
3 3

1
4

1
n

1  1
1
n
=
= −
n + 1 1 n + 1 n +1

*Bài tập áp dụng
Bài 1: Tính tổng A =

1
1
1
+
+ ... +
10.11 11 .12
49.50

Với bài tập 1 thì 100% các em làm được.
5

5

5

Bài 2: Tính tổng B = 1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1)
Với bài tập 2 này thì có 8 em làm tốt, 2 em còn lúng túng trong cách giải chưa
phát hiện ra quy luật. Vì vậy tôi đưa ra câu hỏi “làm thế nào để đưa bài toán 2 về
dạng bài toán 1”. Lúc này các em đã phát hiện ra cách làm: Đặt thừa số chung là 5.
Ngoài ra các em còn phát hiện ra cách làm khác là:
5 5 5 5
5
5
− + − + ... + −
1 2 2 3
n n +1
1 1 1
1
1
Bài 3: Tính tổng C = + + + + ... +
2 6 12 20
90
B=

Với bài tập 3 thì chỉ có 9 em phát hiện ra quy luật, còn 1 em chưa phát hiện ra
quy luật. Vì vậy tôi đã hướng dẫn các em tách 2 = 1.2; 6 = 2.3 ...
Trên đây là những bài toán có quy luật, mẫu là tích 2 số tự nhiên liên tiếp .
Vậy khi gặp các bài toán mà mẫu số là tích 2 số tự nhiên không liên tiếp nhưng
cách đều thì ta làm như thế nào?
2. Bài toán 2: Tính tổng: P =

2
2
2

2
+
+
+ ... +
1.3 3.5 5.7
99.101

* Phân tích bài toán :
Ta thấy P là tổng của các phân số có tử là 2, còn mẫu của các phân số là tích của
2 số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị, do đó ta có thể viết mỗi phân số đó là hiệu
của 2 phân số, phân số bị trừ có tử là 1 và mẫu là thừa số thứ nhất, phân số trừ có tử
là 1 và mẫu là thừa số thứ 2.
VD:

2 1 1
2
1 1
2
1 1
2
1
1
= − ;
= − ;
= − ; …;
=
−
1.3 1 3 3.5 3 5 5.7 5 7
99.101 99 101

Vậy là nốt thắt bài toán đã được mở, nên ta dễ dàng tính được tổng đã cho
* Cách giải:
6


P=

2
2
2
2
1 1 1 1 1 1
1
1
1
100
+
+
+ ... +
=
= − + − + − + ... + −
= 1−
1.3 3.5 5.7
99.101 1 3 3 5 5 7
99 101
101 101

+ Bài toán tổng quát:
2

2

2

2

2

Tính tổng: P= 1.3 + 3.5 + 5.7 + ... + 99.101 + ... + n.(n + 2)
1 1
1 3

1
3

1
5

1
5

1
7

1
n

= − + − + − + ... + −

1

1
n +1
=
= 1−
n+2
n+2 n+2

*Bài tập áp dụng
Bµi 1: TÝnh tæng:
1
1
1
1
A=
+
+
+ ...+
25.27 27.29 29.31
73.75
Với bài 1 có 9 học sinh làm đúng còn 1 học sinh chưa nghĩ ra cách giải, các
em chưa phát hiện ra khoảng cách giữa 2 số ở mẫu là 2 nhưng tử là 1. Vì vậy muốn
làm được thì phải nhân tử và mẫu của mỗi số hạng của A với 2 rồi đặt

1
ra ngoài.
2

Sau khi đã nắm được cách làm bài tập 1 rồi thì việc giải quyết các bài tập 2;
3; 4; 5 rất đơn giản, dễ dàng và 100% các em đã làm tốt các bài tập sau.
6

6
6
6
Bµi 2:
B=
+
+
+ ... +
15.18 18.21 21.24
87.90
2
2
2
3
3
3
32
Bµi 3:
C=
+
+
+ ... +
8.11 11 .14 14.17
197.200
15
15
15
15
Bµi 4:
D=

+
+
+ ... +
90.94 94.98 98.102
146.150
1 1
1
1
+
+ ... +
Bµi 5:
Tính tổng: S= +
(Với n ∈ N)
6 66 176
(5n + 1)(5n + 6)
Hướng dẫn giải
1 1
1
1
+
+ ... +
S= +
=
6 66 176
(5n + 1)(5n + 6)

1 5
5
5
5

.
+
+
+ ... +

5  1.6 6.11 11 .16
(5n + 1)(5n + 6) 
1 1 1 1 1 1
1
1 

= .1 − + - + - + ... +
5  6 6 11 11 16
5n + 1 5n + 6 
1
1  1  5(n + 1)  n + 1
 = .
=
= .1 −
5  5n + 6  5  5n + 6  5n + 6
Đối với những bài toán chưa cho trước quy luật mẫu số mà cần yêu cầu tư duy
cao hơn mới tìm ra quy luật thì sao?
3. Bài toán 3: TÝnh tæng
M=

1 1 1
1
+ + + ... +
10 15 21
120

7


* Phân tích bài toán: Ta nhận thấy mẫu các số hạng trong tổng kia phân tích
thành tích thì không có quy luật nào cả nên không áp dụng được công thức. Vậy
làm thế nào đưa bài toán này về bài toán có quy luật. Nếu nhân cả tử và mẫu của
mỗi số hạng trong tổng với 2 (không làm thay đổi giá trị của phân số) thì sẽ dễ
dàng viết viết được các mẫu theo quy luật. Đây chính là mấu chốt của bài toán.
Nhân cả tử và mẫu của M với 2, khi đó.
2
2
2
2
2
2
2
2
+ +
+ ... +
+
+
+ ... +
=
20 30 42
240
4 .5 5 .6 6 .7
15.16
1 1
3 3

1 1 
1 1 1 1 1 1
=2.  − + − + − + ... + −  = 2.  −  = 2. =
15 16 
16 8
4 5 5 6 6 7
 4 16 

M=

* Bài tập áp dụng:
Bài 1. Tính tổng

A=

7 7 7
7
+ + + ... +
3 6 10
45

Với bài tập này 100% làm được (nhân cả tử và mẫu của mỗi số hạng trong tổng
A với 2 thì sẽ dễ dàng viết được các mẫu theo quy luật).
Bài 2. Tính tổng

B=

1 1
1
1

+
+
+ ... +
6 30 70
198

Với bài tập này có 9 em làm tốt, còn 1 em chưa biết cách biến đổi và tìm ra
quy luật là đặt

1
ra ngoài (các mẫu đều chia hết cho 2) từ đó tìm ra quy luật dãy số.
2

Đối với những bài toán phức tạp hơn, việc đưa về bài toán có quy luật lại càng
khó. Vậy khi gặp bài toán đó thì giáo viên phải hướng dẫn như thế nào để học sinh
có thể tự tìm ra quy luật bài toán.
4. Bài toán 4: Tính tổng
E=

1
4
3
2
5
+
+
+
+
1.6 6.2 2.13 13.3 15.4

* Phân tích bài toán: Đây là bài toán lạ, hay và khó, học sinh rất khó khăn trong
việc xác định quy luật. Làm thế nào để đưa về bài toán có quy luật, đó chính là
hướng đi của bài toán. Học sinh biết nhân cả tử và mẫu của mỗi số hạng trong tổng
với 5 (không làm thay đổi giá trị của phân số ) thì sẽ dễ dàng đưa từ bài toán lạ về
bài toán quen thuộc. Vậy là cánh cửa bài toán đã mở ra.
Khi đó ta có.
1
4
3
2
5
5 1
4
3
2
5
+
+
+
+
+
+
+
= ( +
)
1.6 6.2 2.13 13.3 15.4
5 1.6 6.2 2.13 13.3 15.4
1 
1
4

3
2
5
1 1 1 1 1 1 1 1 1
+
+
+
= 5( +
) = 5 − + − + − + − + − 
5.6 6.10 10.13 13.15 15.20
 5 6 6 10 10 13 13 15 15 20 
3 3
1 1 
= 5 −  = 5. =
20 4
 5 20 

E=

* Bài tập áp dụng:
Bài 1. Tính tổng

M =

4
2
4
5
+
+

+
1.7 7.3 3.13 13.6

8


Khi cho học sinh làm bài này thì có 8 HS làm tốt còn 2 HS còn lúng túng chưa
biết nhân cả tử và mẫu của mỗi số hạng trong tổng M với 3 rồi đặt 3 ra ngoài.
Bài 2. Tính tổng

N=

3
4
5
7
+
+
+
1.1 1.8 2.13 13.5

Sau khi được định hướng hướng dẫn cách làm bài 1 thì 100% học sinh đã làm
tốt bài toán 2 đấy các em đã biết (nhân cả tử và mẫu của mỗi số hạng trong tổng N
với 4 rồi đặt 4 ra ngoài). Mấu chốt của bài toán là học sinh biết vận dụng chọn nhân
với số nào cho hợp lý.
Với những bài toán mà quy luật mẫu số là tích của 3 số liên tiếp ta làm như thế
nào?
5. Bài toán 5:
Tính tổng B =

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.2.3 2.3.4 3.4.5
37.38.39

* Phân tích bài toán: Ta thấy các phân số trong tổng B đều có tử là 1 còn mẫu
của các phân số là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp. Ta viết mỗi số hạng của tổng
thành hiệu của hai số sao cho số trừ của nhóm trước bằng số bị trừ của nhóm sau.
Ta tách phân số bị trừ có tử là 1 còn mẫu là tích 2 số tự nhiên liên tiếp đầu, phân số
trừ có tử cũng là 1 còn mẫu là tích 2 số tự nhiên liên tiếp sau ( có 1 số giữa trùng
nhau).Vậy là tia sáng giải bài toán đã lóe lên rồi đấy.
Ta thấy:

1
1
2
1 1
1 
1
−
=
=> 
−
=
1.2 2.3 1.2.3

2  1.2 2.3  1.2.3
1
1
2
1 1
1 
1
−
=
=> 
−
=
2.3 3.4 2.3.4
2  2.3 3.4  2.3.4

…
1 1
1 
1
=> 
−
=
2  37.38 38.39  37.38.39
1
1
2
Tổng quát ta có thể áp dụng: n(n + 1) − (n + 1)(n + 2) = n(n + 1)(n + 2)
1
1
2

−
=
37.38 38.39 37.38.39

* Cách giải:
1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.2.3 2.3.4 3.4.5
37.38.39
1 1
1  1 1
1 
1 1
1 
−

=  −  +  −  +…+ 
2  1.2 2.3  2  2.3 3.4 
2  37.38 38.39 
1 1
1
1
1
1
1 

+
−
+ ... +
−

=  −
2  1 .2 2 .3 2 .3 3 .4
37.38 38.39 
1 1
1  11
1 
1 741 − 1 1 740 1 370 185
=  −
 = .
=  −
= .
= .
=
2  1.2 38.39  2  2 38.39 
2 38.39 2 38.39 2 741 741

B=

* Bài toán tổng quát:
B=

1

1 1
1

1
1
1
. −
+
+
+ ... +
=
n(n + 1)(n + 2) 2  2 (n + 1).(n + 2) 
1.2.3 2.3.4 3.4.5

9


1  (n + 1).(n + 2) − 2  (n + 1).(n + 2) − 2
= 4(n + 1).(n + 2)
2  2(n + 1).(n + 2) 

= .

* Bài tập áp dụng:
Tính tổng

B=

7
7
7
+
+ ... +

3.4.5 4.5.6
98.99.100

Qua bài tập này đa số học sinh đã giải tốt và các em rất yêu thích môn toán.
6. Bài toán 6:
Tính tổng B=

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6
47.48.49.50

* Phân tích bài toán: Sau khi đã giải xong các bài toán trên, khi gặp bài toán
này, tôi nghĩ rằng học sinh không còn sợ khi gặp những bài toán tương đối phức tạp
như thế này nữa. Trái lại các em sẽ rất hăng say để khám phá ra cách giải bài toán
này đấy. Vậy mấu chốt giải bài toán này là gì ? Chỉ cần tìm ra quy luật của nó như
sau:
Ta thấy:

1
1
3
1 1
1 
1

−
=
=> 
−
=
1.2.3 2.3.4 1.2.3.4
3  1.2.3 2.3.4  1.2.3.4
1
1
3
1 1
1 
1
−
=
=> 
−
=
2.3.4 3.4.5 2.3.4.5
3  2.3.4 3.4.5  2.3.4.5
1
1
3
1
1
1
1

−
=

=> 
−
=
47.48.49 48.49.50 47.48.49.50
3  47.48.49 48.49.50  47.48.49.50

* Cách giải:
1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6
47.48.49.50
1 1
1  1 1
1 
1
1
1

−
−
−
+ 
 +…+ 

= 

3  1.2.3 2.3.4  3  2.3.4 3.4.5 
3  47.48.49 48.49.50 
1 1
1
1
1
1
1

−
+
−
+ ... +
−

= 
3  1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5
47.48.49 48.49.50 
1 1
1
1 
6533
 11
−
=  −
=
= 
3  1.2.3 48.49.50  3  6 117600  39200

B=

* Bài toán tổng quát:
B=

1

1 1
1
1
1
1
. −
+
+
+ ... +
=
n(n + 1)(n + 2)( n + 3) 3  6 (n + 1).(n + 2)( n + 3) 
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6

* Bài tập áp dụng.
Bài tập: Tính tổng.
M=

3
3
3
3
+
+
+ ... +

10.11 .12.13 11 .12.13.14 12.13.14.15
97.98.99.100

Với bài tập này thì 100% học sinh biết cách làm và các em rất hứng thú trong
học tập.
Sau khi đã làm các dạng bài tập trên thì chúng ta có thể ứng dụng cộng, trừ phân
số theo quy luật vào giải các bài toán tìm x, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức,
tính giá trị biểu thức…
10


II. Ứng dụng cộng, trừ phân số theo quy luật vào giải các bài toán tìm x, bất
đẳng thức, tính giá trị biểu thức …
Khi các em đã thành thạo trong việc tính tổng các phân số theo quy luật rồi
thì việc áp dụng nó vào các bài toán tìm x, chứng minh bất đẳng thức, tính giá trị
biểu thức… không còn là vấn đề nữa. Trái lại nó còn tạo niềm tin, sự hứng thú,
hăng say học tập, thích được khám phá quy luật để áp dụng vào giải toán.
1. Bài toán 1: Tìm x biết rằng
1
1
1
1
101
+
+
+…+ x( x + 3) =
5.8 8.11 11 .14
1540

*Phân tích bài toán:

Ta thấy vế bên trái của đẳng thức là các phân số có cùng tử số là 1 còn mẫu số
là tích của 2 số hơn kém nhau 3 đơn vị. Các em đã nhanh chóng tìm ra lời giải bài
toán như sau:
Ta xét
1 1
3
1 1 1
1
− =
=>  −  =
5 8 5.8
3  5 8  5.8
1 1
3
1 1 1 
1
− =
=>  −  =
8 11 8.11
3  8 11  8.11
1 1
3
11 1
1
− =
=>  −  =
11 14 11 .14
3  11 14  11 .14
3
1

1 
1 1
1
1
−
=
= x( x + 3) =>  −
x x+3
3  x x + 3  x.( x + 3)

Từ đó ta có cách giải bài toán
* Cách giải: Tìm x
1
1
1
1
101
+
+
+…+ x( x + 3) =
5.8 8.11 11 .14
1540

Ta có thể viết đẳng thức đã cho như sau:
1
3

1 1+ 1
 − 
5 8 3

 1 1  + 1  1 1  +…+ 1
 − 
 − 
3
 8 11  3  11 14 

1  = 101
1
 −

 x x + 3  1540

1
1  101
1 1 1 1 1 1 1
=
.  − + − + − + ... + −
x x + 3  1540
3  5 8 8 11 11 14
1  101
1 1
=
. −
3  5 x + 3  1540
1
1 303
5
= −
=

x + 3 5 1540 1540
1
1
=
x + 3 308

Ta có hai phân số bằng nhau với tử bằng nhau thì mẫu phải bằng nhau, tức là:
x+3 = 308 => x = 308 – 3 = 305
* Bài tập áp dụng.
Tìm x ∈ N biết:
11


20
20
20
20
3
−
−
− ... −
=
11 .13 13.15 15.17
53.55 11
Với bài tập này thì 100% học sinh làm tốt. Niềm vui đã thể hiện qua kết quả
làm bài của các em
2. Bài toán 2. Tìm số tự nhiên x biết rằng:
x-

1 1 1

2
1998
+ + + ... +
=
3 6 10
x( x + 1) 2000

* Phân tích bài toán:
2

Trước hết ta xét phân số x( x + 1) ta nhận thấy phân số này có tử là 2, có mẫu
là tích của 2 số liên tiếp, nên có thể viết:
2
1 
1
2. −

=
x( x + 1)
 x x + 1
1 1 1
;... về dạng phân số có
3 6 10

Vấn đề đặt ra là ta có thể biến đổi các phân số: ; ;

tử là 2 và mẫu là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp được không ? Đó chính là mấu chốt
của bài toán.
Để có tử là 2 cho các phân số trên, ta cần áp dụng tính chất cơ bản của phân số,
cụ thể là:

1 1.2
2
1 1.2
2.
1
1.2
2
=
=
=
=
=
; =
;
3 2.3 2.3 6 6.2 3.4 10 10.2 4.5

Như vậy vế trái của đẳng thức gồm các phân số có dạng tử là 2 còn mẫu là
tích của 2 số tự nhiên liên tiếp. Cần tính tổng của các phân số ở vế trái để đưa bài
toán về dạng tìm x đơn giản mà ta đã biết.
* Cách giải: Tìm x.
1

1

1

2

1998

biết 3 + 6 + 10 + ... + x( x + 1) = 2000
Ta có thể viết đẳng thức đã cho như sau:
2
2
2.
2
1998
+ +
+…+ x( x + 1) =
2.3 3.4 4.5
2000
 1
1
1
1  1998
+
+ ... +
2.  +
=
x ( x + 1)  2000
 2.3 3.4 4.5
1
1  1998
1 1 1 1 1
2.  − + − + − .... + −
=
x x + 1 2000
2 3 3 4 4
1  1998
1

=
2.  −
 2 x + 1  2000
1
1 999
= −
x + 1 2 2000
1
1000 − 999
1
=
=
x +1
2000
2000

x+1 = 2000 => x = 1999

12


* Bài tập áp dụng.

1
1
1
2
2
+
+

+ ... +
=
21 28 36
x( x + 1) 9
2
2
2
2
2
+
+
+ ... +
=
Giải.Ta có:
42 56 72
x( x + 1) 9
1
1  2
1 1 1 1 1 1
=
2.  − + − + − + ... + −
x x + 1 9
6 7 7 8 8 9
Từ đó tìm được
x = 17
Với bài tập này 100% học sinh đã làm tốt và rất hứng thú học tập. Vì các em
đã được học khai thác bài toán cộng, trừ phân số theo quy luật nên việc giải quyết
bài toán này rất nhanh và chính xác
Bài tập: Tìm x, biết.

3. Bài toán 3: Chứng minh rằng:

1
1
1
1
<1
2 + 2 + 2 +...+
2
3
4
100 2

* Phân tích bài toán.
Ta thấy các phân số trong tổng ở vế trái là các phân số có tử là 1 còn mẫu là
bình phương của một số tự nhiên n (n ≥ 2 ), gợi cho ta suy nghĩ đến điều gì. Ta có:
1
1 1 1
1
1 1 1
= − ;
= −
2 <
2 <
1.2 1 2
2.3 2 3
2
3
1
1 1 1

1
1
1
1
= − ; ...
= −
2 <
2 <
3.4 3 4
99.100 99 100
4
100
a < b
Sau đó áp dụng tính chất:
 => a+c < b+d
c < d

Vậy là nốt thắt của bài toán đã được mở rồi đấy. Từ đó ta có điều phải chứng
minh:
1
1
1
1
1
1
1
1
+ + +...+
2 + 2 + 2 +...+
2 <

99.100
2
3
4
100 1.2 2.3 3.4
1 1 1 1 1
1
1
=1 − + − + − +...+ −
2 2 3 3 4
99 100
1
99
=1 −
=
<1
100 100
1
1
1
1
Hay 2 + 2 + 2 +...+ 2 < 1 (Điều phải chứng minh)
2
3
4
100

* Bài toán tổng quát.
Chứng minh rằng:

1
1
1
1
2 + 2 + 2 +...+ 2 < 1
n
2
3
4

(n∈ N, n ≥ 2)

Khi gặp bài toán dạng này thì thông thường chúng ta cần phải áp dụng
1
1
1
< 2 <
a( a + 1) a
( a − 1) a

Tức là đưa bài toán có mẫu là tích hai số tự nhiên liên tiếp,

rồi giải tiếp.

13


* Bài tập áp dụng.
Bài 1: CMR: a,

1 1
1
1
1
1
1
< 2 + 2 + 2 + 2 + ... +
<
(trích đề thi HSG toán 7 Thọ
2
5 4
5
6
7
2013
3

Xuân năm học 2012-2013).
Mặc dù mới học lớp 6 nhưng tôi mạnh dạn đưa ra bài tập này, nhưng các em
lại rất hứng thú để khẳng định mình và kết quả là cả 10 em đã làm được bài tập này,
niềm vui của cô trò đã được nhân lên gấp bội.
Lời giải. Ta có
1
1
1
1
1
1
1
1

1
1
1
1
1
+ 2 + 2 + 2 + ... +
<
+
+
+
+ ... +
= −
<
2
2
4
5
6
7
2013
3.4 4.5 5.6 6.7
2012.2013 3 2013 3
1
1
1
1
1
1
1
1

1
1
1
1005 1005 1
+ 2 + 2 + 2 + ... +
>
+
+
+ ... +
= −
=
>
=
2
2
4
5
6
7
2013
4.5 5.6 6.7
2013.2014 4 2014 4028 5020 5
1 1
1
1
1
1
1
= > < 2 + 2 + 2 + 2 + ... +
<

2
5 4
5
6
7
2013
3

1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
<
1 .2 .3 2 .3 .4 3 .4 .5
18.19.20
4
Với bài tập 2 này 100% học sinh đã làm được
* Giải: Ta có:
1 2
2
2
2

+
+
+ ... +


A = .
2  1.2.3 2.3.4 3.4.5
18.19.20 
1 1
1
1
1
1
1 
−
+
−
+ ... +
−

A = .
2  1.2 2.3 2.3 3.4
18.19 19.20 
1 1
1  1 189 189
−
= .
A = .
=
2  1.2 19.20  2 380 760
189 189 1
1
<
=

Mà
=> A <
760 756 4
4
Bài 2: CMR:

A=

Bài 3: CMR:

B=

36
36
36
36
+
+
+ ... +
<3
1.3.5 3.5.7 5.7.9
25.27.29

Lời giải: Ta có:
4
4
4
 4

+

+
+ ... +

B = 9. 
25.27.29 
 1.3.5 3.5.7 5.7.9
1
1
1
1
1
1
1 
 1
−
+
−
+
−
+ ... +
−

B = 9. 
25.27 27.29 
 1 .3 3 .5 3 .5 5 .7 5 .7 7 .9
1 
260 260
260 261
1
=

<
= 3 => B < 3
 = 9.
B = 9.  −
Mà
783 87
87
87
 3 783 
Với bài tập này có 9 em làm tốt, 1 em chưa biết đặt 9 làm thừa số chung.
14


4. Bài toán 4. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc
1 1
1
1
+ + ... +
+
3 5
97 99
P= 1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
+

1.99 3.97 5.95
97.3 99.1
1+

* Phân tích bài toán.
Đây là một bài toán hay và khó. Làm thế nào để rút gọn biểu thức này. Chúng
ta hãy quan sát kỹ tử số và mẫu số của từng phân số nhé. Trước hết ta ghép các
phân số ở số bị chia thành từng cặp để làm xuất hiện mẫu chung giống với mẫu của
các phân số tương ứng ở số chia, từ đó việc giải bài toán sẽ trở nên dễ dàng và hấp
dẫn hơn. Ta có:
100 100 100
100
1  1 1 
1

 1
+
+
+ ... +
1 +  +  +  + ... +  + 
49.51
 49 51  = 1.99 3.97 5.95
P =  99   3 97 
1
1
1
1 

1
1

1
1
1
2
+
+
+ ... +

+
+
+ ... +
+
49.51 
 1.99 3.97 5.95
1.99 3.97 5.95
97.3 99.1
100
= 50
=
2

Vậy giá trị của biểu thức P = 50
* Bài tập áp dụng.
Cho 2 biểu thức.
1
1
1
+
+ ... +
1.2 3.4

37.38
M
Tính
N
M =

N=

Và

1
1
1
+
+ ... +
20.38 21.37
38.20

Với bài tập này đa số các em biết phân tích và phối hợp hợp lý các số hạng
thích hợp với nhau.
Lời giải:
1 1 1 1
1
1
−
1 2 3 4
37 38
1 1 1
1
1 

1 1 1
+ + + ... +
− 2 + + + ... + 
1 2 3
38  2 4 6
38 
1 1 1
1
1 1
1
1
1
1
1
+ + + ... +
− 1 − − − ... − =
+ +
+ ... +
1 2 3
38
2 3
19 20 21 22
38
1
1
1
1
1
1
1


 
 

 +  +  +  +  +  + ... +
29
 20 38   21 37   22 36 
2
1 
58
58
58
29
 2
+
+ ... + 2 
+
+ ... +
+
= 29 
29 
20.38 21.37
30.28 29.29
 20.38 21.37
1
1
1
2
2
2

1
+
+ ... +
+
+ ... +
+ 2
=
20.38 21.37
38.20
20.38 21.37
30.28 29

M = − + − + ... +
M=
M=
M=
M=
N=

M
= 29
N

15


Trên đây là 10 bài toán điển hình và các bài tập áp dụng cho từng dạng toán
mà tôi đã hướng dẫn học sinh cách khai thác phát triển bài toán làm cho tiết học
thêm sinh động và hấp dẫn hơn, góp phần nâng cao chất lượng đại trà, đặc biệt là
chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi.

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.
* Đối với hoạt động giáo dục.
Sau khi áp dụng đề tài vào thực tế giảng dạy bồi dưỡng học sinh khá, giỏi
khối 6 đã thu được những kết quả sau đây:
Học sinh đã hình thành kỹ năng khai thác phát triển bài toán nắm và hiểu
được phương pháp tổng quát hóa một bài toán để có những bài toán hay và lí thú.
Các em đã hiểu sâu hơn những bài toán cụ thể, đam mê, hứng thú hơn trong
học toán và có thói quen xét bài toán trong trường hợp tổng quát và có nhu cầu
chứng minh bài toán tổng quát đó.
Trong chuyên đề này tôi đã ra một đề kiểm tra tổng hợp có đủ các dạng toán
tương tự như 10 bài toán điển hình mà tôi đã bồi dưỡng học sinh khá, giỏi khối 6
trường THCS và thu được kết quả đáng mừng như sau:
Tổng số học sinh được kiểm tra: 10 học sinh.
Có 9 học sinh (chiếm 90,0%) biết tìm ra bài toán tổng quát và biết cách trình
bày lời giải bài toán đó.
Có 1 học sinh (chiếm 10,0%) biết tìm ra bài toán tổng quát nhưng trình bày
lời giải bài toán tổng quát còn lúng túng.
Có 0 học sinh (chiếm 0,0%) không phát hiện ra bài toán tổng quát.
Đặc biệt trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi đã áp dụng cách dạy này
cho các chuyên đề khác. Năm học 2015-2016 tôi được giao nhiệm vụ bồi dưỡng
học sinh giỏi môn toán khối 7 và đã thu được kết quả tương đối tốt, đó là có 4 em
tham gia thi học sinh giỏi môn toán cấp huyện đều đạt giải ( trong đó: 1 giải nhì; 2
giải 3; 1 giải khuyến khích) và 100% học sinh của tôi đã giải tốt bài toán tính tổng.
A=

1
1
1
1

+
+ ... +
+
10.11 .12 11 .12.13
27.28.29 28.29.30

(trích đề thi HSG cấp huyện toán 7 năm học 2015-2016 huyện Thọ Xuân)
Vì thế năm học 2016-2017 tôi lại tiếp tục áp dụng cách dạy này vào BDHSG
toán 8, kết quả bước đầu các em trong đội tuyển rất ham mê và có hứng thú học
môn toán. Đặc biệt khi học chuyên đề về phân thức thì các em đã nhanh chóng định
hướng được cách giải những bài toán hay và khó.
* Đối với bản thân đồng nghiệp và nhà trường.
Sau quá trình nghiên cứu thực trạng, áp dụng đề tài “Rèn luyện kỹ năng khai
thác bài toán thông qua chuyên đề cộng, trừ phân số theo quy luật toán 6” bản
thân tôi, đồng nghiệp, nhà trường đã rút ra được các bài học kinh nghiệm sau:
Mỗi giáo viên dạy môn toán THCS cần xác định việc nâng cao chất lượng bồi
dưỡng học sinh giỏi là một nhiệm vụ quan trọng, đòi hỏi phải có sự quan tâm, đầu
tư về trí tuệ và sự hợp lực của giáo viên và học sinh.
16


Công tác bồi dưỡng học sinh giỏi để đạt được kết quả cao không phải ngày
một ngày hai mà là cả một quá trình rèn luyện học tập.
Làm tốt công tác xã hội hoá giáo dục, thu hút sự quan tâm của nhà trường,
phụ huynh học sinh cùng tham gia trong việc nâng cao chất lượng dạy học.
Giáo viên cần sáng tạo trong công tác vận dụng linh hoạt phương pháp và
hình thức dạy học tích cực trong quá trình dạy học, tìm tòi học hỏi để nâng cao
nghiệp vụ chuyên môn.
Song song với việc kiểm tra, đôn đốc cần chú trọng đến công tác thi đua,
khen thưởng cho học sinh. Từ đó giao chỉ tiêu rõ ràng và điều kiện đi kèm với chỉ

tiêu đó để khuyến khích các em học sinh cố gắng đạt được mục tiêu đề ra. Đây là
giải pháp quan trọng mang tính đột phá trong việc thúc đẩy các em học sinh tìm
tòi, cố gắng, quyết tâm dành được thành tích cao trong học tập.
Việc nghiên cứu thực trạng, áp dụng đề tài: “Rèn luyện kỹ năng khai thác
bài toán thông qua chuyên đề cộng, trừ phân số theo quy luật toán 6” góp
phần tạo cho bản thân cá nhân tôi tự tin hơn trong công tác giảng dạy của mình.
Đặc biệt kích thích tinh thần ham học của học sinh và sự quan tâm, đầu tư của phụ
huynh và nhà trường. Từ đó tạo được “đòn bẩy” trong việc nâng cao chất lượng
giáo dục của nhà trường trong những năm học tiếp theo.
Sáng kiến “Rèn luyện kỹ năng khai thác bài toán thông qua chuyên đề
cộng, trừ phân số theo quy luật toán 6” có thể ứng dụng và triển khai tới các
trường THCS trong toàn huyện vào những năm học tiếp theo.
3. KẾT LUẬN, ĐỀ XUẤT.
* Kết luận: Sau khi áp dụng cách khai thác bài toán thông qua chuyên đề cộng,
trừ phân số theo quy luật thì học sinh đã làm tốt các bài tập dạng này và tôi đã áp
dụng cách dạy này cho các chuyên đề khác trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi,
bước đầu tôi đã thu được thành công đáng kể đó là có nhiều học sinh đạt giải trong
kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện và học sinh không còn cảm giác sợ môn toán nữa,
trái lại các em rất đam mê, hứng thú, hăng say khám phá toán học. Tích cực, chủ
động, sáng tạo trong việc giải các bài toán hay và khó. Đó chính là niềm vui lớn
nhất trong cuộc đời nhà giáo của tôi.
Qua thực tế nghiên cứu và giảng dạy môn toán và giảng dạy về các bài toán
“Cộng, trừ phân số viết theo quy luật” trong trường THCS, bằng những kinh
nghiệm của bản thân và đồng nghiệp với mục đính xây dựng một phương pháp
giảng dạy, tôi đã thể hiện vấn đề này qua đề tài “ Rèn luyện kỹ năng khai thác bài
toán thông qua chuyên đề cộng, trừ phân số theo quy luật toán 6” nhằm thể hiện
phương pháp giảng dạy cho giáo viên và nâng cao chất lượng học tập, đặc biệt là
nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán.

17

Trong nội dung của đề tài này tôi đã đưa ra các dạng bài toán “Cộng, trừ
phân số theo quy luật”, phương pháp tìm lời giảng của từng bài toán để đưa ra
cách giải cụ thể cho từng bài để có một bài toán tổng quát cho từng dạng bài.
Qua đề tài này tôi muốn đưa đến cho học sinh thói quen suy nghĩ và tìm tòi lời
giải một bài toán trên cơ sở kiến thức đã được học. Đề tài này nhằm nối giữa lý
thuyết với thực hành toán học.
Mỗi bài toán tôi đưa ra:
- Phân tích bài toán.
- Cách giải
- Bài toán tổng quát
- Các bài tập áp dụng (có tính chất tương tự)
Từ cách đưa ra như thế này, giáo viên, học sinh có thể nhận dạng bài toán thật
dễ dàng nếu nhanh có thể đọc được ngay đáp số với những bài toán thuộc quy luật.
Trên đây là toàn bộ phần trình bày nội dung của đề tài. Mong rằng những vấn
đề được đề cập đến trong đề tài này ít nhiều góp phần vào việc giảng dạy, bồi
dưỡng học sinh giỏi. Cũng qua chuyên đề này mở rộng cho các chuyên đề khác và
làm nền tảng cho những năm tiếp theo.
* Đề xuất.
Phòng Giáo Dục và Đào Tạo nên triển khai các sáng kiến kinh nghiệm đạt
giải cao, áp dụng vào trường THCS trong toàn huyện thông qua các lớp chuyên đề.
Với một vấn đề mang tính chất khoa học và sâu rộng như trên, nhưng trong
khuôn khổ có hạn của một sáng kiến kinh nghiệm. Vì thế, còn nhiều dạng toán,
nhiều bài toán điển hình, tổng quát chưa được đề cập ở đề tài này và quá trình
nghiên cứu thực hiện tôi không sao tránh được những thiếu sót. Rất mong nhận
được hội đồng khoa học và các bạn đồng nghiệp, xây dựng góp ý để cùng nhau trao
đổi thêm về vấn đề này. Tôi xin chân thành cảm ơn!
* Tài liệu tham khảo.
- Sách nâng cao và phát triển toán 6 tập 2 của Vũ Hữu Bình

- Sách tài liệu chuyên toán THCS toán 6 tập 1 của Vũ Hữu Bình.
- Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 6 của Bùi Văn Tuyên
- 450 bài toán 6 dành cho học sinh khá, giỏi.
- Toán tuổi thơ.
- Đề thi HSG các cấp các năm
- Khai thác mạng Internet…
Thọ Xuân, tháng 5 năm 2017
HIỆU TRƯỞNG
Tác giả

Đỗ Đình Toàn

Nguyễn Thị Thúy Loan
18