Một số phương pháp giải các bài toán về modun số phức

MỤC LỤC
MỤC LỤC.............................................................................................................1
I. MỞ ĐẦU............................................................................................................2
1.1. Lí do chọn đề tài.........................................................................................2
1.2. Mục đích nghiên cứu..................................................................................2
1.3. Đối tượng nghiên cứu.................................................................................2
1.4. Phương pháp nghiên cứu............................................................................3
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM....................................................3
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm....................................................3
2.1.1. Những kiến thức cơ bản:.........................................................................3
2.1.2. Các dạng quỹ tích thường gặp đối với điểm biểu diễn của một số phức.4
2.1.2.1. Quỹ tích điểm biểu diễn là đường thẳng:.........................................4
2.1.2.2. Quỹ tích điểm biểu diễn là đường tròn:............................................5
2.1.2.3. Quỹ tích điểm biểu diễn là elip:.......................................................7
2.1.3. Tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất trong đó điểm biểu diễn của
số phức đó là đường tròn, đường thẳng hoặc elip.............................................7
2.1.3.1. Dạng 1: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng (5
cách giải )......................................................................................................7
2.1.3.2. Dạng 2: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn ( 5
cách giải).......................................................................................................9
2.1.3.3. Dạng 3: Cho số phức z thỏa mãn . Tìm z sao cho đạt min, max.. .12
2.1.3.4. Dạng 4: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường elíp (4
cách giải).....................................................................................................13
2.1.4. Sử dụng mối quan hệ của số phức và số phức liên hợp của nó.............14
2.1.5. Một số bài toán trắc nghiệm về modul của số phức..............................16
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi thực hiện SKKN...................................22
.........................................................................................................................22
2.3. Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề:.....................................22
2.4. Hiệu quả sau khi áp dụng SKKN vào giảng dạy.....................................23
III. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ................................................................23
1. Kết luận.......................................................................................................23

2. Kiến nghị.....................................................................................................23

1


I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
Với việc đổi mới hình thức thi tốt nghiệp THPT và xét tuyển Đại học như
hiện nay, môn Toán được kiểm tra đánh giá bằng hình thức thi trắc nghiệm.
Mảng kiến thức về số phức trước đây vốn được học và thi khá nhẹ nhàng, nhưng
hiện nay đã được khai thác khá sâu trong hệ thống các câu hỏi trắc nghiệm. Một
trong những dạng toán được hỏi khá nhiều đó là các bài toán về modul của số
phức. Để giải các bài toán này nhanh chóng, chính xác nhằm lựa chọn được
phương án trả lời đúng trong đề bài, chúng ta cần hướng dẫn cho học sinh có
một tư duy linh hoạt và nhạy bén. Ngoài yêu cầu đòi hỏi học sinh cần hiểu sâu
và rộng kiến thức, người thầy còn phải biết cách dạy học sinh các kĩ năng như
loại trừ, thử đáp án, chọn lựa...và đặc biệt là kĩ năng sử dụng máy tính cầm tay
để giải quyết. Đó là lí do tôi chọn đề tài này.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Mục đích nghiên cứu của SKKN này là nghiên cứu các phương pháp để
hướng dẫn học sinh nhanh chóng giải quyết được bài toán về modul của số
phức, đặc biệt là các bài toán về “tìm modul của số phức ’’, “tìm modul lớn
nhất, nhỏ nhất của số phức ’’, “tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu
diễn số phức z’’... Để giải quyết tốt các loại toán này, ta cần vận dụng thành
thạo các kiến thức về bất đẳng thức, hình học, lượng giác, hàm số, đánh
giá...Tuy nhiên phần lớn học sinh lại gặp rất nhiều khó khăn khi vận dụng. Với
thực trạng như vậy, tôi viết sáng kiến kinh nghiệm “Một số phương pháp giải
các bài toán về modul của số phức”. Sáng kiến kinh nghiệm này chứa đựng
những kĩ năng cơ bản quan trọng mà học sinh cần phải nắm được nếu muốn tiến
đến trình độ giải quyết tốt các bài toán số phức, đồng thời chứa đựng những kĩ

thuật, kĩ xảo, ý tưởng vận dụng các năng lực toán học tương đối cao, phức tạp
trong tư duy.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.

Đối tượng nghiên cứu là:
* Các quỹ tích quen thuộc của điểm biểu diễn của số phức như đường thẳng,
đường tròn, đường elíp.
* Cách vận dụng các phương pháp như bất đẳng thức, phương pháp hình học,
phương pháp hàm số. lượng giác hóa, đánh giá, mối quan hệ giữa số phức và số
phức liên hợp của nó để giải quyết các bài toán về modul của số phức.
* Một số phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo dùng để giải quyết một bài toán trắc
nghiệm.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.

Tự giải các bài toán về số phức bằng nhiều cách, kết hợp với thực tế giảng dạy
để đúc rút nên cách thức giảng dạy phù hợp nhất.

2


II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1. Những kiến thức cơ bản:

2.2.1.1. Một số phức là một biểu thức có dạng x + yi , trong đó
số thoả mãn i 2 = −1 . Ký hiệu số phức đó là z và viết z = x + yi .

, và i là

* i được gọi là đơn vị ảo

* x được gọi là phần thực, kí hiệu là Re(z).
* y được gọi là phần ảo, kí hiệu là Im(z).
* Tập hợp các số phức ký hiệu là

.

2.2.1.2. Hai số phức bằng nhau.
 x = x '
Cho 2 số phức z = x + yi và z’ = x’ + y’i khi đó z = z’ ⇔ 
 y = y '

2.2.1.3. Biểu diễn hình học của số phức.
Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(x; y) trên mặt phẳng toạ độ Oxy.
Ngược lại, mỗi điểm M(x;y) biểu diễn một số phức là z = x +ybi .
2.2.1.4. Modul của số phức: Cho số phức z = x + yi có điểm biểu diễn là M(x;
y), khi đó ta định nghĩa modul của số phức z là khoảng cách OM.
2.2.1.5. Phép cộng và phép trừ các số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:
 z + z ' = (a + a ') + (b + b ')i

 z − z ' = (a − a ') + (b − b ')i

2.2.1.6. Phép nhân số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:
zz ' = aa '− bb '+ (ab '− a ' b)i

2.2.1.7. Số phức liên hợp.
Cho số phức z = a + bi. Số phức z = a – bi gọi là số phức liên hợp với số phức
trên.
Tính chất của số phức liên hợp:

* z=z
* z + z'= z+ z'

3


* z. z ' = z. z '
*
2.2.1.8. Phép chia số phức khác 0.
Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a2+b2 > 0 )
Ta định nghĩa số nghịch đảo của số phức z ≠ 0 là số z-1 được xác định bởi
•
z-1=

1
1
. z = 2 .z
2
a +b
z
2

Thương z ' của phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ 0 được xác định như
•

z
z'

z '.z

−1
sau: z = z '.z = 2
z

Với các phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói trên nó cũng có đầy đủ
tính chất giao hoán, phân phối, kết hợp như các phép cộng, trừ, nhân, chia số
thực thông thường.
2.2.1.9. Các đẳng thức và bất đẳng thức về modul của số phức:
*

. Đặc biệt: Khi

.

*
là khoảng cách từ điểm M biểu diễn của số phức z đến gốc tọa độ O của
mặt phẳng phức.
*
là khoảng cách từ điểm M biểu diễn của số phức z đến điểm M’ biểu
diễn của số phức z’.
*

,

.

*

.

2.1.2. Các dạng quỹ tích thường gặp đối với điểm biểu diễn của một số

phức
2.1.2.1. Quỹ tích điểm biểu diễn là đường thẳng:
Ta xét một ví dụ mẫu như sau:
Ví dụ 1 : Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn
Giải:

4


Cách 1: (Tự luận) Đặt z = x + yi (x, y

, ta có

(3x + 1)2 + (3y – 1)2 = (-3x + 2)2 + (3y + 3)2 ⇔ 18x – 24y – 11 = 0
Vậy quỹ tích điểm M là đường thẳng: 18x – 24y – 11 = 0
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.
Dự đoán: Quỹ tích điểm M là đường thẳng có dạng ax + by + c = 0. Ta tìm a,
b, c như sau:
Vào môi trường tính toán của số phức bằng cách bấm tổ hợp phím
CALC X = 0
CALC X = 1
CALC X = i
Vậy quỹ tích điểm M là đường thẳng: 18x – 24y – 11 = 0
Nhận xét: Đây là một bài toán không khó đối với học sinh khá giỏi, nhưng với
học sinh trung bình và yếu thì nếu biến đổi theo kiểu tự luận một cách nhanh và
chính xác cũng mất vài ba phút, chưa kể nhầm lẫn. Bằng cách sử dụng máy tính
cầm tay, thì kể cả các học sinh yếu kém cũng có thể giải quyết bài toán trong
vòng trên dưới 20 giây.

Chú ý: Để có dự đoán trên ta cần chứng minh cho học sinh hiểu rằng nếu số
phức z thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
|m'. + a' + b'i|
|m'. + a' + b'i|
Mà m = m’ hoặc m = - m’ thì quỹ tích các điểm biểu diễn của z là một đường
thẳng.
2.1.2.2. Quỹ tích điểm biểu diễn là đường tròn:
Ta xét 2 ví dụ mẫu như sau:
Ví dụ 2: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn
Giải: Dễ thấy quỹ tích điểm M là đường tròn tâm I(a; b), bán kính R
Ví dụ 3: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn
Giải:

5


Cách 1: (Tự luận) Đặt z = x + yi (x, y

, ta có

(x + 1)2 + (y – 1)2 = (-3x + 2)2 + (3y + 3)2 ⇔ -8x2 – 8y2 +14x – 20y – 11 = 0

Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn:
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.
Dự đoán: Quỹ tích điểm M là đường tròn có dạng x 2 + y2+ ax + by + c = 0. Ta
tìm a, b, c như sau:
Vào môi trường tính toán của số phức bằng cách bấm tổ hợp phím
CALC X = 0

CALC X = 1

CALC X = i
Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn:
Nhận xét: Cũng như dạng toán có quỹ tích điểm biểu diễn là đường thẳng, đây
cũng là một bài toán không khó đối với học sinh khá giỏi, nhưng với học sinh
trung bình và yếu thì nếu biến đổi theo kiểu tự luận một cách nhanh và chính
xác cũng mất vài ba phút, chưa kể nhầm lẫn. Bằng cách sử dụng máy tính cầm
tay, thì kể cả các học sinh yếu kém cũng có thể giải quyết bài toán trong vòng
trên dưới 20 giây.
Chú ý: Để có dự đoán trên ta cần chứng minh cho học sinh hiểu rằng với số
phức z thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
|m'. + a' + b'i|
|m'. + a' + b'i|
Mà m

m’ và m

-m’ thì quỹ tích các điểm biểu diễn của z là một đường tròn

6


2.1.2.3. Quỹ tích điểm biểu diễn là elip:
Ta thường gặp bài toán:
Tìm quỹ tích điểm M biểu diễn cho số phức z
thỏa mãn
với a > c > 0.
Giải: Gọi F1(-c; 0), F2(c; 0). Từ điều kiện bài
toán, ta có MF1 + MF2 = 2a. Dựa vào định nghĩa
của elip, ta dễ dàng nhận thấy quỹ tích của M là elip có phương trình :

2.1.3. Tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất trong đó điểm biểu diễn

của số phức đó là đường tròn, đường thẳng hoặc elip.
Phương pháp chung:
Bước 1. Tìm tập hợp (G) các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện, đây
cũng là quá trình tìm biểu thức liên hệ giữa phần thực và phần ảo của số phức z.
Bước 2.
Sử dụng bất đẳng thức để đánh giá.
•
Phân tích biểu thức thành tổng bình phương để đánh giá.
•

Khảo sát hàm số để đánh giá.

•
Sử dụng phương pháp lượng giác hóa.
•

Dùng tính chất hình học để đánh giá bằng cách: Tìm số phức z tương ứng

•
với điểm biểu diễn M (G) sao cho khoảng cách tương ứng với điều kiện
bài toán có giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất).
2.1.3.1. Dạng 1: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng (5
cách giải )
Ví dụ 4: Tìm z sao cho z đạt giá trị nhỏ nhất. Biết số phức z thỏa mãn điều
kiện w = ( z + 3 − i )( z + 1 + 3i ) là số thực.
Giải: Giả sử z = x + yi (x, y

), khi đó

w = ( x + 3 + ( y − 1) i ).( x + 1 + ( 3 − y ) i ) = x 2 + y 2 + 4 x − 4 y + 6 + 2( x − y + 4 ) i

Ta có w ∈ R ⇔ x − y + 4 = 0 .

7


Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng (d): x − y + 4 = 0 .
Cách 1: (Hình học) Giả sử M(x; y) là điểm biểu diễn z thì
z min ⇔ OM min ⇔ OM ⊥ (d ) , ta được M(-2; 2) ⇔ z = −2 + 2i .
Cách 2. (Phân tích thành tổng bình phương). Ta có
2
2
z = x 2 + y 2 = x 2 + ( 4 + x ) = 2( x + 2 ) + 8 ≥ 2 2 .
Vậy z min = 2 2 ⇔ x = −2 ⇒ y = 2 ⇔ z = −2 + 2i
Cách 3. (Phương pháp hàm số) z = x 2 + y 2 = x 2 + ( 4 + x ) 2 = 2 x 2 + 8 x + 16
Xét hàm số f(x) = 2 x 2 + 8 x + 16 là hàm bậc 2 có a > 0 nên hàm số đạt min tại
⇒ min z = 2 2 ⇔ z = −2 + 2i

Cách 4: (Dùng BĐT Bunhiacopxki)
x − y + 4 = 0 ⇔ x − y = −4 ⇒ 16 = ( x − y ) ≤ 2( x 2 + y 2 )
2

⇒ x 2 + y 2 ≥ 8 ⇒ z = x 2 + y 2 ≥ 2 2 ⇒ z min = 2 2 ⇔ x = − y = −2 ⇔ z = −2 + 2i .

Cách 5:( Dùng máy tính cầm tay CASIO Fx 570 VN Plus)
Vào môi trường khảo sát hàm số bằng cách bấm tổ hợp phím

Nhận thấy

nhỏ nhất là

=

tại x = -2, nên y = 2

hay z = -2 + 2i
Ví dụ 5: Tìm modul nhỏ nhất của số phức z – 3 + 2i . Biết số phức z thỏa mãn
điều kiện
Giải:
Tập hợp các điểm M(x; y) biểu diễn của z là đường thẳng:
Cách 1: (Hình học) Ta thấy

x-y+2=0

nhỏ nhất có giá trị là khoảng cách từ

điểm I(3; -2) đến đường thẳng x – y + 2 = 0 và bằng
Cách 2. (Phân tích thành tổng bình phương). Ta có

8


=
Cách 3. (Phương pháp hàm số)
Xét hàm số

=
là hàm bậc 2 có a > 0 nên hàm số đạt min tại

⇒ min z =

7 2
2

Cách 4: (Dùng BĐT Bunhiacopxki)

x − y + 2 = 0 ⇔ ( x − 3) − ( y + 2) = −7 ⇒ 49 = (( x − 3) − ( y + 2)) 2 ≤ 2( ( x − 3) 2 + ( y − 2) 2 )

⇒ z − 3 + 2i ≥

7 2
.
2

Cách 5: (Dùng máy tính cầm tay CASIO Fx 570 VN Plus)
Vào môi trường khảo sát hàm số bằng cách bấm tổ hợp phím

Nhận thấy

nhỏ nhất là

nên

nhỏ nhất là

=

tại x = -2

2.1.3.2. Dạng 2: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn ( 5
cách giải)
Ví dụ 6: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z − 2 − 4i = 5 .Tìm số phức z
có môđun lớn nhất, nhỏ nhất.
Giải: Giả sử điểm M(x; y) biểu diễn số phức z=x+yi. Khi đó tập hợp điểm M là
đường tròn I(2;4), bán kính R = 5 , có phương trình: ( x − 2) 2 + ( y − 4) 2 = 5
Cách 1: (Sử dụng BĐT Bunhiacopxki) Ta có
z = OM 2 = x 2 + y 2 = ( x − 2) 2 + ( y − 4) 2 + 4 x + 8 y − 20 = 4 x + 8 y − 15 = 4 [ ( x − 2) + 2( y − 4) ] + 25 (2)
2

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
( x − 2) + 2( y − 4) ≤ (12 + 2 2 ) ( x − 2) 2 + ( y − 4) 2  = 5 ⇒ −5 ≤ ( x − 2) + 4( y − 4) ≤ 5 (3)

Từ (2), (3) ta suy ra:

5 ≤ z ≤3 5

.Vậy:

9


x = 1
z min = 5 ⇔ 
⇒ z = 1 + 2i
y = 2

x = 3
z max = 3 5 ⇔ 

⇒ z = 3 + 6i
y = 6

Cách 2: (Định lý về dấu của tam thức bậc 2)
Đặt t = x 2 + y 2 . Do ( x − 2) 2 + ( y − 4) 2 = 5 ⇔ x 2 + y 2 + 15 = 4( x + 2 y )
Ta có x + 2 y ≤ 5( x 2 + y 2 ) = 5.t , Suy ra t 2 + 15 ≤ 4 5t ⇔ 5 ≤ t ≤ 3 5
x = 1
⇒ z = 1 + 2i
y = 2

x = 3
z max = 3 5 ⇔ 
⇒ z = 3 + 6i
y = 6

Vậy z min = 5 ⇔ 

Cách 3: ( Phương pháp lượng giác hóa)
Đặt x − 2 = 5 sin t , y − 4 = 5 cos t
Ta có : x 2 + y 2 = ( 2 + 5. sin t ) + ( 4 + 5. cos t ) = 25 + 4 5 ( sin t + 2 cos t )
2

2

Do − 5 ≤ sin t + 2. cos t ≤ 5 ⇒ 5 ≤ x 2 + y 2 ≤ 45 ⇔ 5 ≤ z ≤ 3 5
x = 1
⇒ z = 1 + 2i
y = 2

Vậy z min = 5 ⇔ 

x = 3
z max = 3 5 ⇔ 
⇒ z = 3 + 6i
y = 6

Cách 4. (Phương pháp hình học)
Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z, khi đó z min ⇔ OM min , z max ⇔ OM max
Ta có phương trình đường thẳng OI là: 2 x − y = 0 .
Đường thẳng OI cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B có toạ độ là nghiệm của hệ
( x − 2) 2 + ( y − 4 ) 2 = 5
 x = 3, x = 1
⇔
⇒ A(1;2), B (3;6)
phương trình: 
 y = 6, y = 2
2 x − y = 0

Với mọi điểm M thuộc đường tròn (C) thì OA ≤ OM ≤ OB . Hay 5 ≤ z ≤ 3 5
x = 1
⇒ z = 1 + 2i
y = 2

Vậy: z min = 5 ⇔ 

x = 3
z max = 3 5 ⇔ 
⇒ z = 3 + 6i
y = 6

Cách 5. (Phương pháp hình học)
Đường thẳng OI cắt đường tròn (C) tại 2 điểm A, B như
hình vẽ.
Ta có z min ⇔ OM min ⇔ M trùng với điểm A trên (C) gần O
nhất
Ta có OI = 4 + 16 = 2 5
Kẻ AH ⊥ Ox theo định lý Ta lét ta có:
AH OA 2 5 − 5 1
=
=
= ⇒ AH = 2 ⇒ OH = 1 ⇒ z = 1 + 2i
4
OI
2
2 5

10


M trùng với điểm B trên (C) xa O nhất. Kẻ BK ⊥ Ox , theo định lý Ta lét ta có:
4
OI
2 5
2
=
=
= ⇒ BK = 6 ⇒ OK = 3 ⇒ z = 3 + 6i
BK OB 2 5 + 5 3

Ví dụ 7: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + 5 = 5, z2 + 1 − 3i = z2 − 3 − 6i . Tìm

giá trị nhỏ nhất của z1 − z2 .
Giải: Chúng ta có thể giải bằng 5 phương pháp đã nêu trên, ở đây tôi chọn
phương pháp hình học để trình bày lời giải
Ta có
Quỹ tích điểm biểu diễn của số phức z 1 là
•
đường tròn tâm I(-5; 0), bán kính R = 5
Quỹ tích điểm biểu diễn của số phức z 1 là
•
đường thẳng ∆ : 8 x + 6 y − 35 = 0 .
Dễ thấy đường thẳng ∆ không cắt (C ) do d(I; ∆ ) =
Min z1 − z2 = d − R =

2.1.3.3.

. Theo hình vẽ ta thấy

5
2

Dạng 3: Cho số phức z thỏa mãn

.

Tìm z sao cho
đạt min, max.
Hướng giải: Ngoài 5 phương pháp trên, ta còn có thể áp dụng tính chất sau:
Đặt T =
, khi đó ta có
Chứng minh: Gọi M là điểm biểu diễn của z, -A là

điểm biểu diễn của số phức –A, -B là điểm biểu diễn
của số phức –B. Khi đó M thuộc đường tròn tâm là –
A, bán kính k.
Ta
thấy
M1 B
M2B
Áp dụng tính chất trên ta dễ dàng giải được các bài toán sau:
Ví dụ 8: Cho

11


Đáp số:
Ví dụ 9:
Đáp số:
Ví dụ 10: Cho
Giải: Dễ thấy GTNN của

đạt GTNN
là

, để tìm z, ta xét hệ

Nhận xét: Từ dạng toán trên ta có ngay cách giải dạng toán sau: Cho số phức z
thỏa mãn
. Tìm z sao cho
đạt
min, max.
Giải:

, ta xem
, ta xem

,

= k’

,

Đặt T =
, ta quay về dạng toán trên
Ví dụ 11: Cho số phức z thỏa mãn
Giải:
Áp dụng ta có
,T=
Từ đó

12


2.1.3.4. Dạng 4: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường elíp (4
cách giải)
Ví dụ 12: Tìm số phức z sao cho môđun của z đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.
Biết số phức z thoả mãn điều kiện: z + 1 + z − 1 = 4
Giải: Ta thấy tập hợp các điểm M là elip có phương trình là:

x2 y 2
+
=1

4
3

Cách 1: (Phân tích thành bình phương) Ta có z = OM = x 2 + y 2 = 3 +
Do

x2
4

x2 y 2
x2
+
=1 ⇒ 0 ≤
≤1⇒ 3 ≤ z ≤ 2
4
3
4

Vậy : z min = 3 ⇔ z = ± 3i

z max = 2 ⇔ z = ±2

x2 y2
Cách 2:(Đánh giá) Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn z ⇒ + = 1
4
3
 x2 y2 
 x2 y2 



Khi đó: OM = x + y = 4 +  ≤ 4 +  = 4 ⇒ OM ≤ 2
4 
3 
 4
 4
2

2

2

 x2 y2   x2 y2 
 ≥ 3
 = 3 ⇒ OM ≥ 3
OM = x + y = 3
+
+
3
3
4
3

 

2

2

2

Từ đó, ta được 3 ≤ z ≤ 2 Vậy: z min = 3 ⇔ z = ± 3i
.

z max = 2 ⇔ z = ±2

Cách 3: (Lượng giác hóa) Đặt x = 2. sin t , y = 3 cos t , t ∈ [ 0;2π )
Ta có: OM 2 = x 2 + y 2 = 4 sin 2 t + 3 cos 2 t = 3 + sin 2 t
Do 0 ≤ sin 2 t ≤ 1, ∀t ⇒ 3 ≤ OM 2 ≤ 4 ⇒ 3 ≤ z ≤ 2 .
Vậy: z min = 3 ⇔ z = ± 3i

z max = 2 ⇔ z = ±2

Cách 4: (Hình học)
Theo hình vẽ ta thấy
⇔

•

. Vậy :
M ≡B

hoặc

B’ ⇔

z = ± 3i

⇔

•

M≡A

hoặc A’ ⇔ z = ±2

13


2.1.4.

Sử dụng mối quan hệ của số phức và số phức liên hợp của nó
Với mỗi số phức z, ngoài một số mối quan hệ quen thuộc ta nêu thêm một số
quan hệ sau với số phức liên hợp của nó:
•
•
• z là số thực
• z là số thuần ảo
Ví dụ 13: Cho số phức z
Giải:

thỏa mãn

là số thuần ảo. Tìm

là số thuần ảo

Ví dụ 14: Cho số phức z thỏa mãn

và i.z + 4 là số thuần ảo, tìm z?

Giải: Do i.z + 4 là số thuần ảo nên
. Vậy z =
Ví dụ 15: Cho số phức z

thỏa mãn

tìm phần thực của

Giải: Ta có: 2.Re(

Ví dụ 16: Cho số phức thỏa mãn

. Vậy Re(

có phần thực bằng 4. Tính

Giải: Từ giả thiết, ta có

14


Ví dụ 17: Cho 2 số phức z1, z2 thỏa mãn

Tìm phần

ảo của
Giải: Vì

. Ta có

. Vậy w là số thực
Ví dụ 18: Cho 3 số phức a, b, c thỏa mãn
Tính w = a2 + b2 + c2
Giải: Ta có w = a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 – 2(ab + bc + ca) = -2abc(
= -2abc(

) = -2abc.

=0

Ví dụ 19: Cho số phức z thỏa mãn: z 6 – z5 + z4 – z3 + z2 – z + 1 = 0. Tìm phần
thực của w = z3 – z2 + z
Giải: Ta có
Mặt khác: z6 – z5 + z4 – z3 + z2 – z + 1 = 0 nên (z3 - 1)(z3 – z + 1) + 1 = 0
. Dễ thấy
Ví dụ 19: Cho số phức z thỏa mãn:
nhất của

. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ

.

Giải: Ta có
Từ đó

Vậy:
• Giá trị lớn nhất của

là

, đạt được tại z = (

15


• Giá trị nhỏ nhất của

là

, đạt được tại z = (

2.1.5. Một số bài toán trắc nghiệm về modul của số phức

Trong phần này tôi đưa ra một số bài toán trắc nghiệm để minh họa cho tính
linh hoạt và đa dạng của tư duy nhằm chọn được đáp án đúng.
Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn
GTNN của

. Tổng các GTLN và

là

A. 10

B. 6

C. 9

D. 13

Hướng dẫn: Dựa vào định nghĩa về elip thì tập hợp điểm biểu diễn của z là
elip có bán trục lớn bằng 5, bán trục bé bằng 4 nên
. Đáp án C
Bài 2: Cho 3 số phức a, b, c thỏa mãn
Khi đó w = a2 + b2 + c2 có giá trị là
A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Hướng dẫn: Theo ví dụ 18 phía trên thì ta có đáp án D
Cách khác: Ta chọn 3 số a, b, c thỏa mãn 2 điều kiện trên, có thể nhận thấy các
nghiệm phức của phương trình z3 – 1 = 0 ( hoặc z3 + 1 = 0) sẽ thỏa mãn đủ 2
điều kiện đó. Thay các nghiệm vào biểu thức a 2 + b2 + c2 và bấm máy tính , ta sẽ
có kết quả bằng 0.
Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn
giá trị nhỏ nhất của
A.

=

. Tìm

với w = z – 2 + 2i
B.

C.

D.

Hướng dẫn:
=

• Với (1), ta có

16


• Với (2), ta có đường thẳng chứa các điểm biểu diễn của z có phương trình
là

. Do đó

có giá trị nhỏ nhất bằng với khoảng cách từ điểm

(2; -2) đến đường thẳng nên
Kết luận

Đáp án C

Bài 4: Nếu số phức z
A.

và

B.

thì phần thực của
C. 6

bằng

D. 3

Hướng dẫn:
Cách 1: Tự luận

Re

đáp án B

Cách 2: Chọn z = -3 thay vào ta có ngay kết quả
Bài 5: Cho 2 số phức a và b thỏa mãn a + b = 8 + 6i và
1. Tính
A. 52
B. 56
2. Tìm GTLN của M =
A.

C. 28
.

B.

.

D. 48

C.

D.

Hướng dẫn:
1.
Cộng các vế ta có:

Đáp án A

2. Theo câu 1, ta có
Cách khác: chọn a = 5 + 3i, b = 3 + 3i, thì a, b thỏa mãn 2 điều kiện trên
và
Bài 6: Cho số phức z thỏa mãn
GTNN của biểu thức

lớn hơn

.

Đáp án A

. Gọi M và m lần lượt là GTLN và
. Tính giá trị của M.m

17


A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn: Đặt z = x + yi, ta có x2 + y2 = 1 hay y2 = 1 – x2 và
=
Sử dụng máy tính cầm tay: chức năng

Ta thấy:

f(x) lớn nhất có giá trị xấp xỉ như hình bên

f(x) nhỏ nhất có giá trị xấp xỉ như hình bên
Nhân 2 giá trị này ta được đáp án A
Bài 7: Cho số phức z thỏa mãn

Gọi M và m lần lượt là

GTLN và GTNN của biểu thức

.

Tính modul của w = M + m.i
A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn: Dễ thấy tập hợp điểm biểu diễn của z là đường tròn
(x – 3)2 + (y – 4)2 = 5
Ta có: P = 4x + 2y + 3 = 4(x – 3) + 2(y – 4) + 23
⇔ P - 23 = 4(x – 3) + 2(y – 4)

. Đáp án B.
Bài 8: Cho số phức z thỏa mãn

Gọi M và m lần lượt là GTLN và

GTNN của biểu thức
A.

B.

. Tính M + m
C.

D.

18


Hướng dẫn: Ở bài này do bậc của z khá cao nên ta khéo léo giảm bậc của z
bằng biến đổi sau:
.

Ta

có
=

= 4x2 - 2
Dùng máy tính cầm tay

+1

, ta thấy

Vậy: Min P = 0.75

Vậy: Max P = 3
Vậy M + m =

Đáp án D

Bài 9: Cho các số phức a, b, c thỏa mãn a.b.c =

. Tính GTNN của biểu

thức
A. Pmin = 1 ` B. Pmin = 2

C. Pmin = 3

D. Pmin = 4

Hướng dẫn:
Đáp án C
Bài 10: Cho số phức z thỏa mãn

A. Pmin = 1 ` B. Pmin = 2

. Tìm GTNN của biểu thức

C. Pmin = 3

D. Pmin = 4

Hướng dẫn:

=
Dùng máy tính cầm tay

ta thấy

19


Min P = 2 khi z = -1. Đáp án B
Bài 11: Cho số phức z thỏa mãn
A.

. Tìm giá trị lớn nhất của

B.

C.

D.

Hướng dẫn:
Tập hợp các điểm biểu diễn của z là hình tròn:
nhất của

là .

. Dễ thấy giá trị lớn

Đáp án C.

Bài 12: Gọi z là số phức có phần thực lớn hơn 1 và thỏa mãn
sao cho biểu thức P =

đạt GTNN.

Tìm phần thực của z.
A. Re(z) =

B. Re(z) =

C. Re(z) =

D. Re(z) =

Hướng dẫn: Tập hợp các điểm biểu diễn của z là parabol: y = (x – 2)2, khi đó

P=

. Để P đạt GTNN thì

f(t) = t2 – 3t + 4 đạt GTNN

. Đáp án C

Bài 13: Giả sử z1 , z2 là các số phức khác không, thỏa mãn z12 − z1 z2 + z22 = 0. gọi
A, B là các điểm biểu diễn tương ứng của z1 , z2 . Khẳng định nào sau đây đúng
A.

C.

B.

D.

Hướng dẫn:
Ta có z13 + z23 = ( z1 + z2 )( z12 − z1z2 + z22 ) = 0 , suy ra:
3

3

z13 = − z 23 ⇒ z1 = z2 ⇒ z1 = z2 ⇒ OA = OB .

Lại có

20

2

( z1 − z2 ) 2 = ( z12 − z1 z2 + z22 ) − z1 z2 = − z1 z2 nên z1 − z2 = z1 z2 ⇒ AB 2 = OA.OB = OA2

Suy ra AB=OA=OB ⇒ ∆OAB đều. Đáp án C
Cách khác: Chọn

. Khi đó dễ thấy

z12 − z1 z2 + z22 = 0. OA = OB = AB = 1 nên
3
Bài 14: Cho số phức z ≠ 0 thỏa mãn z +

A. z +

2
≤3
z

B. z +

Hướng dẫn: Đặt a = z +

2
>3
z

. Đáp án C

8
= 9. Khẳng định nào sau đây đúng.
z3

C. z +

2
=9
z

D. z +

2
=3
z

2
2
8
2
(a ≥ 0) . Ta có: ( z + )3 = z 3 + 3 + 6( z + ) .
z
z
z
z

3

2
8

2
Suy ra: a = z + ≤ z 3 + 3 + 6 z + = 9 + 6a
z
z
z
3

Do đó a 3 − 6a − 9 ≤ 0 ⇔ (a − 3)(a 2 + 3a + 3) ≤ 0
Vì a 2 + 3a + 3 > 0 , nên a = z +

2
≤ 3 . Đáp án A
z

Bài 15: Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn

và

. Kí hiệu z1, z2 là hai số phức thuộc S và là những số phức có
modul lần lượt nhỏ nhất và lớn nhất. Tính giá trị của biểu thức P =
.
A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn:

Tập hợp các điểm biểu diễn của z thỏa mãn
là phần bên ngoài (kể cả biên) của đường tròn tâm I 1(0;
1) bán kính R1 = 3.
Tập hợp các điểm biểu diễn của z thỏa mãn
là phần bên trong (kể cả biên) đường
tròn tâm I2(2; 2) bán kính R1 = 5.
Theo hình vẽ ta nhận thấy
• z1 có modul nhỏ nhất nên điểm biểu diễn của z1 là B(0; -2) hay z1 = -2i
• z2 có modul lớn nhất nên điểm biểu diễn của z1 là

.

21


Vậy

. Đáp án A.

2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi thực hiện SKKN

Tháng 3/2017, trước khi thực hiện việc giảng dạy các phương pháp này tại
lớp 12A1, tôi đã cho học sinh thử làm một đề trắc nghiệm với nội dung sau:
Câu 1: Tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn

là

đường nào sau đây:
A. Đường thẳng

B. Đường tròn

C.Đường parabol

D. Đường elip

Câu 2: Trong các số phức z thỏa mãn

. Số phức z có

modul nhỏ nhất có dạng a + bi, khi đó a + b bằng:
A. 4

B. 0

C. -4

D. 2

Câu 3: Gọi D là tập hợp các số phức z thỏa mãn

z −i
= 1 . Khi đó D là:
z +i

A. Trục hoành C. Đường phân giác y = x
B. Trục tung

D. Đường phân giác y = x

Câu 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn
của các số phức z1 , z2 , z3 biết z1 = z2 + z3 . Đẳng thức nào sau đây đúng ?
uuu
r uuur uuur
uuu
r uuur uuur
uuur uuur uuu
r
uuu
r uuur uuur r
OA + OB = OC. B. OA + OC = OB. C. OB + OC = OA. D. OA + OB + OC = 0.

A.

Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn

A.

= 1. Tìm giá trị lớn nhất của

B.

C.

D.

Kết quả thống kê thu được như sau
Năm học
2016-2017

Sĩ

Điểm 9, 10

số
47

SL
0

%
0%

Điểm 7, 8
SL
5

%
10,6%

Điểm 5, 6
SL
25

%
53%

Dưới 5
SL
17

%
36,4%

2.3. Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề:

• Tổ chức cho học sinh học theo nhóm đối tượng, phân chia thành các
nhóm có trình độ tương đương để thiết kế giáo án phù hợp.

22


• Đối với các nhóm học sinh khá giỏi thì hướng dẫn, gợi ý để các em tìm ra
được nhiều cách giải nhất, sau đó giáo viên bổ sung và tổng hợp.
• Thực hiện trắc nghiệm khách quan để kiểm tra, đánh giá và điều chỉnh
phương pháp học của học sinh cũng như điều chỉnh nội dung bài giảng,
phương pháp dạy của giáo viên.
2.4. Hiệu quả sau khi áp dụng SKKN vào giảng dạy
Sau khi giảng dạy các kĩ năng và phương pháp trên tại lớp 12A1, cũng
kiểm tra với 1 đề bài có độ khó tương tự như đề bài đã nêu ở phần 1. thì kết quả
thực sự khả quan hơn nhiều, nó thể hiện qua thống kê sau:
Năm học
2016-2017

Sĩ

Điểm 9, 10

số
47

SL
7

%
15%

Điểm 7, 8
SL
30

%
64%

Điểm 5, 6
SL
10

Dưới 5

%
SL
21% 0

%
0%

III. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
1. Kết luận
SKKN được viết ra qua nhiều suy ngẫm, đúc rút từ thực tế giảng dạy của bản

thân nên nó mang tính thực tiễn cao. Ta có thể thấy rằng còn có thể mở rộng
phạm vi nghiên cứu của SKKN hơn nữa. Nhưng do sự hạn chế về số lượng trang
viết của một SKKN, nên tôi chưa thể truyền tải hết những kinh nghiệm còn ấp ủ,
thai nghén trong đó. Tuy vậy, bài viết nhỏ này cũng thể hiện được tương đối
nhiều những điều cần thiết nhất.
2. Kiến nghị
* SKKN này chỉ nên áp dụng đối với đối tượng học sinh khá giỏi.
* SKKN này có thể mở rộng hơn nữa về các dạng toán.
Trên đây tôi đã trình bày nội dung SKKN của mình, bài viết chắc chắn còn
nhiều thiếu sót, rất mong nhận được sự phê bình, góp ý hữu ích của quý vị.
Tôi xin chân thành cảm ơn và xin cam đoan đây là bài viết của chính
mình, không sao chép lại SKKN của ai !
Thanh Hóa, ngày 20/04/2017
NHẬN XÉT CỦA CƠ QUAN

NGƯỜI VIẾT

23


Trần Mạnh Tường

24