Rèn luyện cho học sinh lớp 11 các kỹ năng giải toán lượng giác bằng phương pháp xây dựng chuỗi các bài toán

1. MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài:
Chuyên đề lượng giác có một vai trò quan trọng trong chương trình toán học
phổ thông- nó là một thành phần không thể thiếu trong đề thi đại học, cao đẳng.
Nhưng có một bộ phận không nhỏ học sinh rất sợ hoặc là không mấy hứng thú
với phân môn này bởi bản thân các em chưa biết cách học, nhìn thấy công thức
lượng giác nhiều còn ngại. Và cũng có bộ phận học sinh chưa thành thục kỷ
năng ứng dụng lượng giác vào các phân môn khác như tính đạo hàm, tích phân
đã gây trở ngại cho việc học toán tiếp theo. Thực tiễn đó một phần trước đây do
phân phối chương trình của Bộ phải đúng tuần tự theo bài, theo mục không được
tự ý tinh giản mà thời lượng trên lớp thì có hạn dẫn đến học sinh không được rèn
luyện, khắc sâu nhiều.
Từ năm học 2016-2017 Bộ đã định hướng mở cho giáo viên trong giảng dạy
đó là việc dạy học theo chuyên đề trong tiết học chính khóa. Với việc dạy này
giáo viên hoàn toàn chủ động trong phân phối thời gian để tự điều chỉnh giáo án
sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh. Và hơn thế nữa là tạo ra phương
pháp học, sự đam mê của học sinh để vận dụng ý tưởng đó cho các chuyên đề
toán học khác.
Trước thực trạng đó tôi thấy cần thiết phải biết tăng cường thiết lập một
chuỗi các bài toán gốc, đưa ra bài toán có cách giải đúng và cách giải sai để học
sinh biết cách sữa chữa, rút kinh nghiệm rồi thông qua đó rèn luyện cách nhớ hệ
thống các công thức lượng giác. Vấn đề này không phải là mới nhưng hiện tại
vẫn chưa có tài liệu nghiên cứu nào bàn sâu vào để làm tài liệu cũng như kinh
nghiệm giảng dạy cho giáo viên. Bởi vậy để công việc dạy và học đạt hiệu quả
tốt hơn tôi đã mạnh dạn đề xuất đề tài kinh nghiệm của mình là:"Rèn luyện cho
học sinh lớp 11 các kỹ năng giải toán lượng giác bằng phương pháp xây dựng
chuỗi các bài toán".
1.2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn của vấn đề một số biện pháp nhằm
phát huy tính tích cực của học sinh trong học tập thông qua giải bài tập lượng
giác ở lớp 11; đề xuất các quan điểm xây dựng chuỗi bài toán gốc, đồng thời,

đưa ra những giải pháp về phương pháp dạy học. Học sinh có thể liên hệ vận
dụng vào kiến thức liên môn cho môn vật lý, địa lý.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài này nghiên cứu về chuyên đề lượng giác trong chương trình THPT do
nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam ấn hành và sẽ đưa ra một số các giải pháp hữu
ích trong việc giảng dạy của giáo viên.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
4.1. Nghiên cứu lý luận;
4.2. Điều tra thực tế;
-1-


4.3. Thực nghiệm sư phạm.
2. PHẦN NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận và thực tiễn:
Để phát huy được tính tích cực của học sinh thì hệ thống tri thức về phương
thức hành động, biện pháp học tập và kinh nghiệm hoạt động cần phải dạy cho
học sinh, chứ không nên chỉ chờ chúng hình thành một cách tự phát.
Tuy nhiên để đảm bảo giúp học sinh lĩnh hội được đầy đủ lượng kiến thức
quy định trong một đơn vị thời gian (giờ học) thì không thể chỉ vận dụng máy
móc một cách dạy học nào mà phải kết hợp nhuần nhuyễn chúng với nhau. Một
trong những mặt năng động của phương pháp, đó là tính vận động và phát triển
của dạy học, tính tích cực của người dạy và đặc biệt là tính tích cực của người
học.
Ở trường phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh trong
đó giải toán là hình thức chủ yếu. Do vậy dạy bài tập toán có vị trí quan trọng
trong dạy học Toán nhằm đạt nhiều mục đích khác nhau thể hiện ở các chức
năng:
1) Chức năng dạy học:
- Bài tập nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo những vấn đề lý thuyết đã

học. Qua đó học sinh hiểu sâu hơn và biết vận dụng những kiến thức đã học vào
việc giải quyết các tình huống cụ thể.
- Có khi bài tập lại là một định lý, mà vì lý do nào đó không đưa vào lý thuyết.
Cho nên qua việc giải bài tập học sinh mở rộng được tầm hiểu biết của mình.
2) Chức năng giáo dục:
Qua việc giải bài tập mà hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện
chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động
mới.
3) Chức năng phát triển:
Bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh, đặc biệt là rèn luyện
những thao tác trí tụê, hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học.
4) Chức năng kiểm tra:
Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy học, đánh giá khả năng độc lập
học toán và trình độ phát trển của học sinh.
Bài tập toán học rất đa dạng và phong phú. Việc giải bài tập là một yêu cầu
quan trọng đối với mọi học sinh. Có thể chia bài tập toán học ra làm hai loại:
a) Loại có sẵn thuật toán.
Để giải loại này học sinh phải nắm vững các quy tắc giải đã học rèn luyện kỹ
năng, kỹ xảo. Đây là cơ sở quan trọng để giải các bài toán phức tạp hơn. Yêu
cầu cho học sinh là:
- Nắm vững quy tắc giải đã học.
- Nhận dạng đúng bài toán
-2-


- Giải theo quy tắc đã học một cách thành thạo
b) Loại chưa có sẵn thuật toán.
Loại bài tập này chiếm số lượng khá lớn trong sách giáo khoa và gây cho
học sinh không ít khó khăn dẫn đến tâm lý sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng
của mình. Đây là một trở ngại lớn cho ý chí tiến thủ vươn lên trong học tập của

học sinh. Do vậy khi dạy học sinh giải bài tập, không chỉ đơn thuần cung cấp lời
giải mà quan trọng hơn là: Dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ tìm ra con đường
hợp lý để giải bài toán.
2.2 Thực trạng của vấn đề
a) Thực trạng của học sinh
- Đa số học sinh ngại học lượng giác vì phải nhớ rất nhiều công thức hoặc
không biết cách để thuộc công thức. Các em phụ thuộc hoặc ỷ lại vào máy tính
cầm tay nên không cần nhớ dẫn đến khi giải các phương trình lượng giác thường
không linh hoạt, lời giải có thể sai hoặc quá dài.
- Do tự rèn luyện các bài tập không nhiều nên các em học xong thường nhanh
quên thậm chí đến cuối năm học nhiều em quên hết cách giải những bài toán cơ
bản.
- Một số học sinh lười học do thích chơi bời, hổng kiến thức nghiêm trọng.
b) Thực trạng của giáo viên
- Một số giáo viên còn dạy học mang nặng tính hàn lâm, tiết học nặng nề, lê thê
với nhiều lý thuyết mà ít rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo.
- Dạy học chưa phân loại theo đối tượng học sinh để học sinh cảm thấy khó
quá hoặc dễ quá.
- Chưa linh hoạt trong việc sử dụng các phương pháp dạy học để phát huy tính
tích cực và hợp tác làm việc của học sinh.
2.3 Khảo sát, thực nghiệm
Trước khi dạy phần lượng giác của lớp 11 tôi đã tiến hành khảo sát thực
nghiệm ở 2 lớp đó là lớp 11A7, lớp 11A8 với nội dung: Tìm hiểu số học sinh
thuộc công thức lượng giác, số học sinh viết đúng cách lấy nghiệm của phương
trình lượng giác cơ bản, số học sinh nhớ cách giải một phương trình lượng giác
thường gặp. Kết quả điều tra:

STT

1

2

Lớp

11A7
11A8

Sĩ
số

43
45

HS thuộc
công thức
LG

SL
35
25

%
81,4
55,
6

HS lấy ghiêm HS nhớ cách
PTLG cơ bản giải PTLG
đúng
thường gặp

HS giải quyết
tốt phần LG

SL

%

SL

%

SL

%

30

66,7

23

51,1

10

22,2

Từ cơ sở lý luận và thực tiễn, qua thực tế giảng dạy và qua việc phân tích
những thực trạng trên tôi mạnh dạn đề xuất một số kinh nghiệm, giải pháp hay

để dạy học sinh yêu thích và học tốt hơn phân môn lượng giác.
-3-


2.4. Các giải pháp thực hiện
Giải pháp1. Giới thiệu bài toán với tư cách là một tình huống gợi vấn đề.
a) Tính huống gợi vấn đề là một tình huống gợi ra cho học sinh những khó
khăn về lý luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng vượt qua,
nhưng không phải là ngay tức khắc nhờ một quy tắc có tính chất thuật toán, mà
phải trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi đối tượng
hoạt động hoặc điểu chỉnh kiến thức sẵn có. Cần làm cho học sinh thấy rõ tuy họ
chưa có ngay lời giải, nhưng đã có một số kiến thức, kỹ năng liên quan đến vấn
đề đặt ra và họ tin rằng nếu tích cực suy nghĩ thì sẽ giải quyết được.
b) Giới thiệu bài toán với tư cách là một tình huống gợi vấn đề với mục đích
làm cho vấn đề trở nên hấp dẫn tạo khả năng kích thích hoạt động tích cực của
học sinh.
c) Ví dụ:
1) Sau khi học công thức cộng, yêu cầu học sinh tính giá trị các hàm số
lượng giác của các cung không đặc biệt, chẳng hạn tính cos 150.
Tình huống trở thành có vấn đề khi học sinh nhận thấy 15 0 không phải là số
đo của một cung đặc biệt và chưa biết thuật giải để trực tiếp giải bài toán đó.
Học sinh tích cực suy nghĩ, huy động tri thức, kỹ năng của mình để tìm ra lời
giải bài tập trên bằng cách: Biểu thị 15 0 qua hai cung có số đo đặc biệt (15 0 =
600 - 450), từ đó áp dụng trực tiếp công thức cộng
cos150 = cos(600 - 450) = cos600 cos450 + sin600 sin450

1
1 2
3 2
+

.
= ... = ( 6 + 2 )
4
2 2
2 2

= .

Để củng cố có thể cho học sinh giải các bài toán sau:
1. Tính:
P = sin 120. sin 480
2. Không sử dụng bảng, hãy tính
A=

1
− 2 sin 70 0
2 sin 10 0

3. Dựa vào các kết quả đã biết sau:
1
sinx cosx = sin 2 x
2

1
1
sin 2 x cos 2 x = sin 4 x
2
4
1
1

sin x cos x cos 2 x cos 4 x = sin 4 x cos 4 x = sin 8x
4
8
sin x cos x cos 2 x =

Hãy nêu bài toán tổng quát và áp dụng tính:
π
3π
5π
A = cos cos cos
7
7
7

-4-


Tình huống gợi vấn đề sẽ không xảy ra nếu ngay từ đầu giáo viên yêu cầu
học sinh tính giá trị của biểu thức A bởi nó không tạo điều kiện để học sinh có
thể vượt qua được sau khi đã tích cực suy nghĩ.
Dự đoán nhờ nhận xét trực quan, học sinh dễ dàng nêu được bài toán tổng quát.
Chứng minh rằng:

sin x cos x cos 2 x... cos 2 n x =

1
sin 2 n +1 x
n +1
2

Như vậy ta đã biết công thức tính: sinx cosx cos2x.....cos 2 nx bây giờ để tính
biểu thức A ta làm như thế nào?
Có thể yêu cầu học sinh: Quan sát biểu thức A, hãy tìm cách biến đổi để đưa
nó về dạng của bài toán tổng quát:

3π
4π
5π
2π
= − cos ; cos
= − cos
7
7
7
7
π
π
2π
4π
sin cos . cos
. cos
π
2π
4π
7
7
7
7
. cos
=

Suy ra: A = cos . cos
π
7
7
7
sin
7
1 8π 1
π
π
sin
sin( π + )
sin
8
7 =8
7 =1
7 =1
=
π
π
π 8
8
sin
sin
sin
7
7
7
Ta có: cos

d) Bài tập tương tự:
Giải các phương trình sau:
2
1) cos x = cos (

sin 2 x − 2
2)

3x
)
4

sin 2 x − 4 cos 2

x
2

= tg 2

x
2

Giải pháp 2. Vận dụng lý thuyết định hướng tìm tòi lời giải bài toán.
a) Việc giải toán là một yêu cầu rất quan trọng đối với học sinh. Do vậy. khi
dạy học sinh giải toán, giáo viên không chỉ đơn thuần cung cấp lời giải mà quan
trọng hơn là dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ tìm ra con đường hợp lý để giải
toán.
b) Ví dụ1: Sau khi học bài "Công thức lượng giác" có thể yêu cầu học sinh
giải các bài tập sau:
1. Chứng minh:

sinx sin(

π
π
1
− x ) sin( + x ) = sin 3x
3
3
4

2, Chứng minh rằng: Trong ∆ABC có:

-5-


cosA + cosB + cosC = 1 - 4sin

3A
3B
3C
sin
sin
2
2
2

3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C
M=
cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C

Trong đó: A,B,C là ba góc của một tam giác.
Nhận xét:
1. Đối với câu 1 thì đây là một bài toán chứng minh đẳng thức lượng giác.
Trước khi chứng minh giáo viên có thể kiểm tra lại kiến thức cũ bằng những câu
hỏi.
H1> Để chứng minh một đẳng thức ta làm như thế nào?
H2> Nhắc lại công thức biến đổi tích thành tổng?
H3> Mối quan hệ giữa các hàm số lượng giác của hai góc đối nhau?
Với những "tri thức cũ" vừa "tái hiện", học sinh dễ dàng chứng minh bài
toán trên như sau:

1
2

Vế trái = sinx{ (cos(−2 x ) − cos
= ................
=

2π
)}
3

1
1
1
1
sin 3x − sin x + sin x = sin 3x = vế phải.
4
4
4

4

2. Đối với câu 2 thì đây là một bài toán chứng minh đẳng thức lượng giác
trong tam giác. Học sinh có thể sẽ biến đổi như sau:
3(A + B)
3(A − B)
3x
cos
+ (1 − 2sin2 )
Vế trái = 2cos
2
2
2
Với A+B+C = π => A+B = π - C, ta có:
3(A+B) = 3(π- C) = 3π - 3C = 2π +(π-3C)
3(A + B)
2π + (π − 3C)
π 3C
= cos[
] = cos[π + ( − )]
=> cos
2
2
2 2
π 3C
3C
=- cos ( − ) = − sin
2 2
2
3C

3(A − B)
3C
cos
+ 1− 2sin2
Vậy,vế trái = - 2sin
2
2
2
= ....................
3A
3B
3C
sin sin = vế phải
= 1- 4 sin
2
2
2
3. Đối với câu 3, có thể hỏi học sinh:
H1> Cách tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M?
H2> Hãy quan sát biểu thức M xem có gì đặc biệt? (Tử số + mẫu số = 3)
H3> Nhận xét M lớn nhất khi nào? (<=> M +1 lớn nhất),hãy tính M +1?
sin2 A + sin2 B + sin2 C
3
+
1
=
M+1 =
(*)
cos2 A + cos2 B + cos2 C
cos2 A + cos2 B + cos2 C

-6-


H4 > Biểu thức M +1 đạt giá trị lớn nhất khi nào?
(Khi cos2A+ cos2B + cos2C đạt giá trị nhỏ nhất)
H5> Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức cos2A + cos2B + cos2C?
Ta có: cos2A + cos2B + cos2C = 1 - 2 cosA cosB cosC
1
Mà cosA cosB cosC ≤ (Áp dụng bất đẳng thức Côsi)
8
Dấu "=" xẩy ra <=> A = B = C =

π
3

1
8

Do đó: cos2 A + cos2 B + cos2 C ≥ 1 - 2. =

3
4

3
3
≤
= 4 = >M ≤ 3
Suy ra: M+1 = cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C 3
4

Vậy maxM = 3 khi ∆ABC đều.
Có thể yêu cầu học sinh thực hiện theo cách khác giáo viên đặt các câu hỏi:
H1>Biến đổi (*) để đưa về phương trình bậc hai đối với cosC?
(*) <=> cos2A + cos2B + cos2C =

3
M +1

<=> f (cosC) = cos2C - cos (A-B) cosC + 1

3
= 0 (**)
M +1

H2> Để tìm giá trị lớn nhất của M ta làm như thế nào?
(Tìm điều kiện để (**) có nghiệm)
(**) có nghiệm <=> ∆ = cos2 (A-B) - 4(1-

3
) ≥ 0 <=> M ≤ 3
M +1

H3>Dấu bằng xảy ra khi nào?
<=> ∆ ABC đều
c) Tương tự:
Sau khi dạy bài "Phương trình lượng giác cơ bản" yêu cầu học sinh giải các
phương trình sau:

π
3

π
2

1) cos (x+ ) + sin( + 2 x ) = 0
2) tg (

π
π
+ 3x ) tg ( + 2 x ) = 1
3
3

Giải pháp 3. Tuần tự nâng cao yêu cầu, tạm thời hạ thấp yêu cầu khi cần
thiết.
a) Nhờ việc tổ chức hoạt động, đặc biệt là phân bậc hoạt động trong dạy học
mà người giáo viên có thể điều khiển quá trình dạy học trên lớp, có thể tuần tự
nâng cao yêu cầu.
b) Ví dụ: Sau khi dạy bài:"Dấu của các giá trị lượng giác" cho học sinh lần
lượt làm các bài tập sau:
-7-


3
π
và < α < π . Tính cosα ?
5
2
3
b) Biết: sin α = . Tính cosα?

5
a) Biết: sin α =

Nhận xét:
1. Câu a, học sinh phải tính cosα khi đã biết sinα và điểm ngọn cung α
thuộc góc phần tư thứ hai. Do đó, dấu của cosα hoàn toàn được xác định
(cosα<0). Học sinh sẽ sử dụng hằng đẳng thức sin2α + cos2α =1
=>cos2α =1- sin2α = 1 −

9 16
4
π
=>cosα= −
(Vì < α < π)
=
5
25 25
2

2. Câu b, yêu cầu được nâng cao hơn khi học sinh chỉ biết một yếu tố là

3
5

sinα= . Do đó, từ cos2α=

4
16
=> cosα = ±
25

5

Vấn đề đặt ra là mỗi giá trị góc lượng giác chỉ có duy nhất một giá trị cos.
H1> Để biết cosα = −

4
4
hay cosα= + thì phải thêm giả thiết nào? (Biết
5
5

điểm ngọn của cung α thuộc vào góc phần tư nào?)

3
5

H2> Từ giả thiết sinα= > 0 , hãy cho biết điểm ngọn của cung α thuộc vào
góc phần tư nào? (Góc phần tư thứ nhất hoặc thứ hai)
Như vậy, một hoạt động tính cosα được tiến hành ở hai phương diện nhận
thức khác nhau, trong đó tính trừu tượng của đối tượng ngày càng tăng.
c) Tương tự:
Sau khi học bài "Công thức biến đổi tích thành tổng" có thể yêu cầu học sinh
giải bài tập sau:
Tính:

7π
5π
cos
12
12

π
3π
5π
+ cos
b) B = cos + cos
7
7
7
c) C = sin x + sin( x + a ) + sin( x + 2a ) + ... + sin [ x + (n − 1)a ]
a) A = sin

Tuần tự nâng cao yêu cầu đối với học sinh trong dạy học sẽ phát huy được
tính tích cực, tính sẵn sàng học tập và sự phát triển trí tuệ của học sinh.
Trong trường hợp học sinh gặp khó khăn trong khi hoạt động, ta có thể tạm
thời hạ thấp yêu cầu. Sau khi họ đã đạt được nấc thấp này, yêu cầu lại được tuần
tự nâng cao.
Giải pháp 4. Sử dụng phương pháp dạy học phân hoá.
a) Việc kết hợp giữa giáo dục diện" đại trà" với giáo dục diện "mũi nhọn",
giữa "phổ cập" với" nâng cao" trong dạy học Toán học ở trường phổ thông cần
được tiến hành theo các tư tưởng chủ đạo sau:
1) Lấy trình độ phát triển chung của học sinh trong lớp làm nền tảng.
-8-


2) Sử dụng những biện pháp phân hoá đưa hs yếu kém lên trình độ chung.
3) Có những nội dung bổ sung và biện pháp phân hóa giúp học sinh khá,
giỏi đạt những yêu cầu nâng cao trên cơ sở đã đạt được những yêu cầu cơ bản.
b) Phương pháp dạy học phân hóa .
1) Đối xử cá biệt ngay trong những pha dạy học đồng loạt.
2) Tổ chức những pha phân hóa trên lớp.

- Ra bài tập phân hoá:
- Điều khiển phân hoá của thầy giáo:
- Tác động qua lại giữa những người học:
3) Phân hóa bài tập về nhà.
- Phân hoá về số lượng bài tập cùng loại phù hợp với từng loại đối tượng để
cùng đạt một yêu cầu;
- Phân hoá về nội dung bài tập để tránh đòi hỏi qúa cao đối với học sinh yếu
kém và quá thấp đối với học sinh giỏi;
- Phân hoá yêu cầu về mặt tính độc lập: Bài tập cho diện yếu kém chứa nhiều
yếu tố dẫn dắt hơn là bài tập diện khá, giỏi;
- Ra riêng những bài tập nhằm đảm bảo trình độ xuất phát cho những học
sinh yếu kém để chuẩn bị cho những bài học sau;
- Ra riêng những bài tập nâng cao cho học sinh giỏi.
Ví dụ 1: Bài tập phân hoá nhằm củng cố công thức biến đổi tổng thành tích:
1) Biến đổi tổng thành tích các biểu thức sau:
A = cos 2 x +cos x
B = sin 2a − sin 4b
C = sin x sin 2 x + sin 3 x
2) Chứng minh rằng: Trong mọi tam giác ABC, ta có:

cos A + cos B + cos C = 4 cos

A
B
C
cos cos
2
2
2

π
5π
7π
+ cos + cos
9
9
9
π
3π
5π
17 π
B = cos + cos + cos + ... + cos
19
19
19
19

3) Tính: A =cos

Đối với học sinh yếu và trung bình có thể yêu cầu các em tuần tự làm hai
bài 1,2. Trong khi những học sinh khá giỏi có thể bỏ qua bài 1, và sử dụng thời
gian dôi ra để làm bài tập 3.
Ví dụ 2: Bài tập phân hoá nhằm cũng cố bài " Phương trình lượng giác cơ bản".
1) Giải các phương trình sau:
a) sin x =

3
2

b) cos 3x = −

2
2

2) Giải các phương trình sau:
-9-


a) sin( 2 x − 15 0 ) =

2
với -1200< x < 900
2

3
tgx − sin x = 0
2
2π
x
2
) = cos 2 ( + π)
c) sin (5x +
5
4
b)

3) Giải và biện luận:
a) (m - 1) sin x + 2 - m = 0
b) sin α cos x = 1
c) (m - 4) tg 2x - m = 0

Yêu cầu học sinh yếu và trung bình tuần tự làm các bài tập 1 và bài tập 2.
Học sinh khá giỏi có thể bỏ qua bài tập 1.
Trong khi học sinh giải bài tập, giáo viên cần chú ý đến hoạt động của từng
loại học sinh và có sự giúp đỡ, động viên chỉ bảo cần thiết và cụ thể.
Giải pháp 5. Xây dựng hệ thống bài toán gốc như là một cơ sở của kiến
thức và kỹ năng để giải các bài toán.
a) Theo quan điểm của tác giả, bài toán gốc là bài toán thoả mãn một trong
ba điều kiện sau:
i) Kết quả của bài toán được sử dụng nhiều trong việc tìm tòi lời giải bài
toán khác.
ii) Phương pháp giải bài toán được sử dụng trong việc tìm tòi lời giải bài
toán khác.
iii) Nếu thay đổi giả thiết hoặc kết luận thì được bài toán mới.
Nhận xét:
Hệ thống các bài toán gốc sẽ giúp học sinh tìm được chìa khóa để giải quyết
vấn đề trong quá trình giải toán.
b) Các phương pháp xây dựng bài toán gốc.
1. Xây dựng các bài toán gốc nhờ khai thác đẳng thức: sin2a+cos2a=1, ∀a.
Bài toán 1: Chứng minh đẳng thức: sin4a + cos4a =

1
3
cos 4a +
4
4

Giải:
sin 4 a + cos 4 a = [ (sin 2 a ) 2 +(cos 2 a ) 2 +2 sin 2 a cos 2 a ] − 2 sin 2 a cos 2 a
=.................
=

1
3
cos 4a +
4
4

Bài toán 2: Chứng minh đẳng thức: sin6a + cos6a =
Giải:

3
8

cos 4a +

5
8

-10-


sin 6 a + cos 6 a = (sin 2 a + cos 2 a)(sin 4 a + cos 4 a − sin 2 a cos 2 a)
3
5
= cos 4a +
8
8
Bài toán3: Chứng minh đẳng thức:
sin8a+cos8a=

1
7
35
cos 8a + cos 4a +
64
16
64

Giải:
sin8a +cos8 a = (sin4 a +cos4 a)2 − 2sin4 acos4 a
=..........................
=

1
7
35
cos 8a + cos 4a +
64
16
64

Ví dụ 1: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc α
sin 6 α + cos 6 α −1

a) A = sin α+cos α−1
6
4
2
6
4

2
b) B = (2 sin α − 3 sin α − 4 sin α) + (2 cos α − 3 cos α − 4 cos α)
Đối với câu a, học sinh có thể vận dụng trực tiếp kết quả của bài toán 1 và
bài toán 2.
Đối với câu b, học sinh dễ dàng nhận thấy rằng có thể biến đổi biểu thức B
để xuất hiện kết quả của bài toán 1 và bài toán 2.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
sin 6 x + cos 6 x = 2(sin 8 x + cos 8 x ) (*)
Gặp bài toán này, vận dụng kết quả của bài toán 2 và bài toán 3 phương trình
được đưa về dạng quen thuộc đã có cách giải.
4

4

3
5
cos 4 x +
8
8
3
5 1
7
35
cos 8x + cos 4x +
Do đó (*) ⇔ cos 4 x + =
8
8 32
8
32

6
6
Giải. Ta có: sin x + cos x =

..........................................
⇔ cos 4x = -1 ⇔ 4x = π + k 2π

⇔x=

π kπ
+
(k∈ z )
4 2

Ví dụ 3: a) Chứng minh đẳng thức:

sin10 x + cos10 x =

63 15
5
+ cos4 x +
cos8 x
128 32
128

b) Giải phương trình: sin10x + cos10x =

29 4
cos 2x
16

Nhận xét:
1. Đối với câu a, phương pháp chứng minh đẳng thức này hoàn toàn tương
tự như việc chứng minh bài toán 2.
-11-


2. Đối với câu b, việc giải phương trình này trở nên dễ dàng đối với học sinh
khi các em đã chứng minh được câu a.
c) Bài tập tương tự:
1) Giải phương trình: sin4x+ cos4x =

7
π
π
cotg(x+ )cotg( − x )
8
3
6

cos6 x + sin6 x
= mtg 2 x
2) Cho phương trình
cos2 x − sin2 x
1
a) Giải phương trình khi m =
4

b) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm

3) Giải phương trình: sin8x+ cos8x =

17
cos2 2 x
16

4) Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
sin6 + cos6x = m (sin4x + cos4x)
2. Hệ thống bài toán gốc để giải các bài toán về hệ thức lượng trong tam giác.
Bài toán 1: Chứng minh rằng: Trong tam giác ABC ta có:
A
B
C
a) sinA + sinB + sinC = 4 cos cos cos
2
2
2
A
B C
b) cosA + cosB + cosC = 1+ 4 sin sin sin
2
2
2
c) tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC
( ∆ ABC không vuông)
Bài toán 2: Chứng minh rằng: Trong tam giác ABC ta luôn có:
a) sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC.
b) cos2A + cos2B +cos2C = -1- 4cosA.cossB.cosC.
c) sin2A + sin2B + sin2C = 2 + 2cosAcosBcosC.
d) cos2A +cos2B + cos2C = 1- 2cossAcosBcosC.

Bài tập tương tự:
1) Chứng minh rằng: cos A +cosB +cosC >1
2) Chứng minh rằng: trong ∆ABC nhọn ta có:
a) tgA + tgB + tgC ≥ 3 3
b) tg2A + tg2B + tg2 C ≥ 9
Giải pháp 6. Khắc phục sai lầm của học sinh khi học và giải toán.
a) Ở trường phổ thông, trong môn Toán có nhiều tình huống dạy học điển
hình, nhưng có thể xem rằng giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán
học. Bởi vậy, bản chất của vấn đề là chúng ta cho học sinh được thử thách với
những bài toán dễ mắc sai lầm. Cần phải tập cho học sinh phát hiện chỗ sai
trong lời giải, tìm nguyên nhân và đề xuất cách giải đúng.
b) Để giúp học sinh có phương pháp nhận biết lời giải sai, chúng ta cần
trang bị cho học sinh những dấu hiệu quan trọng sau:
- Kết quả lời giải của bài toán mâu thuẫn với kết quả trong trường hợp riêng.
- Trường hợp riêng của kết quả không thoả mãn bài toán.
-12-


- Kết quả lời giải không chứa kết quả trong trường hợp riêng.
- Kết quả tìm được mâu thuẫn với thực tế.
- Kết quả không bình đẳng giữa các yếu tố bình đẳng ở giả thiết.
- Kết quả của lời giải này khác kết quả của lời giải khác.
- Đơn vị đo ở hai vế của một đẳng thức khác nhau.
Cuối cùng chúng ta phải nói rằng khi thấy học sinh mắc sai lầm nói chung
không nên bác bỏ ngay sai lầm đó mà cố gắng dẫn dắt khích lệ để học sinh tự
nhận thức được sai lầm của mình.
c) Một số Sai lầm trong việc giải toán lượng giác:
1. Sai lầm trong việc biến đổi biểu thức lượng giác
Ví dụ 1: Giản ước biểu thức
b−a

.sinx
1
a
. a + btg 2 x
A=
(Với
b−a
b−a
1+ (
.sin2 x )
a

x≠

π
+ kπ, k ∈ z;0 < a < b)
2

Học sinh thường biến đổi như sau:
A=

sin x. a + btg 2 x
a + (b − a ) sin 2 x

=

sin x. a + btg 2 x
a (1 − sin 2 x ) + b sin 2 x

=.........................

=

sin x
= tgx
cos x

Sai lầm ở đây là đã viết cos 2 x = cos x
Nguyên nhân của sự sai lầm là nằm ở chỗ học sinh không nắm vững ý
nghĩa của ký hiệu
.
Ví dụ 2: Biết cos α =

4
π
và − < α < 0 . Tính sin α .
5
2

Cách giải sai:
Từ sin2x + cos2x = 1 <=> sin2x = 1 - cos2x
<=> sinx= 1 − cos 2 x =

3
5

Phân tích sai lầm:
Nguyên nhân đầu tiên của việc dẫn đến sai lầm là không nắm vững các quy
tắc của phép toán đại số đã cho rằng a 2 =a.
Mặt khác, một nguyên nhân có thể kể tới đó là không nắm vững cách xác
định dấu của giá trị lượng giác.

Muốn sửa chữa những sai lầm liên quan đến việc tìm các giá trị lượng giác
thì phải cho học sinh thấy rõ: khi thực hiện các phép biến đổi lượng giác cần
-13-


tuân thủ một cách nghiêm ngặt tất cả các quy tắc cuả phép toán đại số. Ngoài ra,
muốn xác định dấu của các giá trị lượng giác thì phải xem điểm cuối của cung
thuộc cung phần thứ tư nào.
Cách giải đúng:
sin2 α = 1- cos2 α ⇔ | sin α | = 1 − cos 2 α

π
2

Với - < α <0 thì sin α < 0 nên |sin α | = -sin α
3
5
2. Sai lầm trong việc giải phương trình và hệ phương trình.
Khi giải phương trình và hệ phương trình, học sinh thường gặp phải những
sai lầm liên quan tới việc lấy nghiệm, kết hợp nghiệm và sử dụng những phép
biến đổi không tương đương.
Ví dụ1: Giải phương trình tg7x=tg5x
Vậy: -sin α = 1 − cos 2 α ⇔ sin α = - 1 − cos 2 α = −

Ta có:

tg7x = tg5x ⇔ 7x=5x+kπ ⇔ x=k

π
(k∈ z)

2

π
lại không phải là nghiệm, bởi vì các giá trị này
2
không thoả mãn điều kiện cos 5x ≠ 0, cos7x ≠ 0.
Rõ ràng, nếu k=1 thì x=

Sai lầm ở đây là học sinh đã quên tìm tập xác định của phương trình. Để
khắc phục sai lầm này giáo viên cần nhắc nhở học sinh rằng:
Nếu α là một số tuỳ ý thì phương trình tgx = tg α có nghiệm x= α + k π .
Kết luận đó bao hàm cả khẳng định rằng các số x = α +k π thoã mãn điều
kiện cosx ≠ 0. Nhưng đối với phương trình dạng tgf(x) = tg g(x) thì vấn đề không
đơn giản như vậy.

f ( x ) = g ( x ) + kπ
f ( x ) = g( x ) + kπ

⇔
tgf(x) =tg g(x) ⇔ 
π
cos f ( x ). cos g ( x ) ≠ 0 f ( x ) ≠ + lπ

2

(k,l ∈z)

x + y = −75 0

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: 

3
tgxtgy =
3


tg ( x + y ) = −(2 + 3)

Giải: Hệ trên tương đương với: 
3
tgx.tgy =
3

 tgx + tgy
1 − tgx.tgy = −( 2 + 3 )

<=> 
tgx.tgy = 3

3


-14-



( 3 + 3)
1
tgx + tgy = (2 + 3 )( 3 − 3) =
3
3

<=> 
tgx.tgy = 3

3

Do đó, tgx, tgy là các nghiệm của phương trình bậc hai:
1
3
X 2 + (3 + 3 ) X +
=0
3
3
tgx = −1


− 3
− 3
X
=
tgx
=


<=> 
Hoặc 
3 <= >
3
− 3
tgy =



X = −1
3

tgy = −1

π

x
=
−
+ kπ

6
<=> 
 y = − π + lπ

4
( m, n ∈ z )

(k , l ∈ z ) hoặc


x =

x =


−π
+ mπ

4
−π
+ nπ
6

Phân tích sai lầm:
- Sai lầm thứ nhất: học sinh đã không tìm điều kiện của x và y.
- Sai lầm thứ hai: học sinh cho rằng: x + y = − 75 0 <= > tg ( x + y) = − (2 + 3 )
Thực ra hai phương trình này không tương đương với nhau, phương trình
tg ( x + y) = −(2 + 3 ) là hệ quả của phương trình x + y = −75 0 , do đó sai lầm
này dẫn tới các nghiệm ngoại lai.
3) Sai lầm khi giải các bài toán lượng giác trong tam giác
Một số sai lầm khi giải các bài toán lượng giác trong tam giác là không biện
luận hết các khả năng hoặc không để ý điều kiện của các góc trong một tam
giác. Ngoài ra sai lầm còn có thể xuất hiện khi biến đổi các biểu thức lượng
giác, chứng minh đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của các đại
lượng, xác định các yếu tố nào đó trong tam giác.
Ví dụ : Cho tam giác không nhọn ABC.
Tìm giá trị lớn nhất của: F = sinA + sinB + sinC
Nhiều học sinh lập luận như sau:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có:
F = sinA + sinB + sinC ≤ 3(sin2 A + sin2 B + sin2 C )
9
9 3 3
Mà: sin2 A + sin2 B + sin2 C ≤ , do đó: F ≤ 3. =
4
4
2
Vậy giá trị lớn nhất của F là
Phân tích sai lầm:

3 3
2

-15-


Nguyên nhân đầu tiên của việc dẫn đến sai lầm là không nằm vững khái
niệm về GTLN, GTNN.
Mặt khác, một nguyên nhân có thể kể tới đó là không nắm vững phép toán
lôgic, nói cụ thể hơn chẳng hạn A=3 thì học sinh không thể chấp nhận cách viết
A≤ 3.

3 3
thì dường như trong ý thức
2
3 3
của học sinh ngầm thừa nhận rằng việc F =
là hoàn toàn có thể xẩy ra, bởi
2
Chính vì vậy khi đã chứng minh được F ≤

vì nếu không xẩy ra thì tại sao lại viết cả dấu ‘’=’’.
Muốn sửa chữa những sai lầm liên quan đến việc tìm GTLN, GTNN thì cần
phải làm cho học sinh thấy rõ: một biểu thức A luôn có giá trị lớn hơn hoặc
bằng c với mọi giá trị thích hợp của biến thì không nhất thiết rằng tồn tại bộ giá
trị thích hợp để A= c. Dù cho A > c thì cách viết A ≥ c vẫn hoàn toàn đúng về
mặt lôgic.
3. Kết quả thực nghiệm
3.1.Tổ chức thực nghiệm

Thực nghiệm được tiến hành tại trường THPT thông qua một số tiết theo
phân phối chương trình.
Lớp thực nghiệm là lớp 11A10 có 44 học sinh. (Được dạy theo các giải
pháp trên)
Lớp đối chứng là lớp 11A5 có 45 học sinh.
3.2. Một số kết quả định lượng
Trong quá trình thực nghiệm, tôi tiến hành một bài kiểm tra gồm hai bài
tập để đánh giá.
a) Nội dung bài kiểm tra (thời gian làm bài 45 phút)
Câu 1: Giải các phương trình sau:
a) 4 sin 2 2 x + 8cos 2 x − 9 = 0 ; b) cos2 x + 3cos x + 2 = 0 ;
c) 2 tan 2 x + cot 2 x = 3
Câu 2: Giải các phương trình sau:
a) 2sin 2  x − π ÷ = 2sin 2 x − t anx


b) sin 2 x − cos2 x + 3sin x − cos x − 1 = 0

4

b) Kết quả bài kiểm tra
Điểm
Lớ
pLớp TN
11A7
Lớp ĐC
11A8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tổng
số bài

0

0

0

0

7

8

8

9

7

4

1

44

0

0

0

3

11

11

8

7

4

1

0

45

-16-


Lớp Thực nghiệm: Yếu15,9%; Trung bình 36,4%; Khá 36,4%; Giỏi 11,3%.
Lớp Đối chứng: Yếu 31,1%; trung bình 42,2%; Khá 24,4%; Giỏi 2,3%.
Căn cứ vào kết quả kiểm tra, có thể bước đầu thấy được hiệu quả của giải
pháp phát huy tính tích cực của học sinh trong học tập thông qua giải bài tập
lượng giác ở lớp 11 mà chúng tôi đã đề xuất và thực hiện trong quá trình thực
nghiệm.
4. KẾT LUẬN
a) Những bài học kinh nghiệm
Từ những biện pháp, giải pháp mà tôi đã thực hiện trong quá trình dạy học nói
chung và dạy giải bài tập lượng giác ở lớp 11 nói riêng bản thân tôi nhận thấy
rằng để đạt được hiệu quả cao thì người giáo viên còn cần:
- Thường xuyên theo dõi khi học sinh làm bài để HS nhận thấy lỗi sai của
mình.
- Tìm nguyên nhân dẫn đến sai sót của HS.
- Tìm ra cách giải quyết thông dụng mà HS dễ hiểu nhất.
- Trong giảng dạy giáo viên phải vận dụng linh hoạt các phương pháp và

hình thức tổ chức dạy học phù hợp cho từng đối tượng HS.
- Tạo ra môi trường thân thiện, gần gũi với HS.
- Tuyên dương HS kịp thời dù tiến bộ nhỏ nhất, tránh chê bai, gò ép HS.
- Phát huy tính tích cực, tự giác của HS.
- Giáo viên phải yêu nghề, tận tâm với nghề, tận tụy với HS, quan tâm đến
các em trong cả quá trình học.
b) Kiến nghị, đề xuất
1) Kiến nghị với Sở GD&ĐT Thanh Hoá sau khi chấm SKKN; Những sáng
kiến nào chất lượng, mang tính thực tiễn đổi mới phương pháp dạy và học, nên
phát hành rộng rãi cho giáo viên học tập và học sinh tham khảo.
2) Tôi cũng mạnh dạn đưa ra những kinh nghiệm mà mình đúc rút được, hy
vọng ít nhiều có tác dụng đối với đồng nghiệp và học sinh. Vì điều kiện thời
gian, khuôn khổ bài viết, cũng như năng lực còn hạn chế nên bài viết không thể
tránh được thiếu sót. Rất mong được quí thầy cô góp ý.
Tôi xin trân thành cám ơn!

-17-


XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2017
CAM KẾT KHÔNG COPY.
Người viết SKKN :

Lê Thị Ngọc

-18-