NỘI DUNG SKKN TAM THUC BAC 2

A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÝ DO VÀ MỤC ĐÍCH CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong quá trình giảng dạy học sinh THPT chúng tôi thấy việc giải một số
phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình trong chương trình học lớp 10
nói riêng và lớp 11,12, ôn thi đại học nói chung rất hay và có những bài toán khó,
tuy nhiên để giải quyết một số bài toán dạng trên ta có thể đưa về tam thức bậc hai
và sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai để giải bài toán sẽ đơn giản hơn
nhiều, vì những lí do đó chúng tôi chọn chuyên đề “Dấu tam thức bậc hai và ứng
dụng giải bất phương trình”.
Để giúp các em học sinh có thể xét dấu được tam thức bậc hai, giải được
một số phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình bằng cách sử dụng
định lý về dấu của tam thức bậc hai để giải bài toán.
II. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
1. Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 10 trường THPT
2. Phạm vi nghiên cứu:
- Đại số và giải tích 10 cơ bản: Chương IV bài 5,
- Đại số và giải tích 10 nâng cao: Chương IV- bài 6, 7, 8

B. PHẦN NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN:
1. Định nghĩa tam thức bậc hai:
Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức dạng ax2+bx+c trong đó a, b, c là
những số cho trước với a ≠ 0.
2. Định lí về dấu của tam thức bậc hai:

(

)

2
'

' 2
Cho tam thức bậc hai f(x)=ax2+bx+c (a ≠ 0) và ∆ = b − 4ac ∆ = (b ) − ac

( )
b
- Nếu ∆ = 0 ( ∆ = 0) thì f(x) cùng dấu với a với mọi x ≠ − .
2a
- Nếu ∆ > 0 ( ∆ > 0) thì f(x) có hai nghiệm x và x (x '
- Nếu ∆ < 0 ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với a với mọi x thuộc ¡ .
'

'

1

2

1

2

dấu với hệ số a với mọi x nằm trong khoảng (x1;x2) ( tức là x1 < x < x2) và f(x) cùng
dấu với a với mọi x nằm ngoài đoạn  x1; x2  ( tức là x < x1 hoặc x < x2).
Ví dụ 1: Xét dấu tam thức f(x)= 2x2 + 2x +5
Vì tam thức f(x) có a = 2 > 0 và ∆' = - 9 < 0
Có thể ghi kết quả trong bảng xét dấu sau:
x
-∞
x2-x+1

+
1

+∞


Vậy f(x) < 0 với mọi x ∈ ¡ .
Ví dụ 2: Xét dấu tam thức bậc hai f(x)= -x2 + 5x -6.
Giải:
Vì a= -1<0 và ∆ =1, tam thức f(x) có hai nghiệm x1=2 ; x2= 3 ( dễ thấy x1 < x2)
nên

f(x) < 0 (cùng dấu với a) khi x ∈ ( −∞;2) ∪ ( 3;+∞ ) và f(x) > 0 (trái dấu với a) khi

x∈ ( 2;3) .

Có thể ghi kết quả trong bảng xét dấu sau:
x
-∞
2
2
-x +5x -6
0
+

+∞

3
0

-

Ví dụ 3: Xét dấu tam thức bậc hai f(x)= 4x2-4x+1
Giải:
f(x)= 4x2-4x+1 > 0, ∀x ≠

1
vì tam thức f(x) có a = 4 > 0, ∆ ' = 0 tam thức có
2

1
,
2
Có thể ghi kết quả trong bảng xét dấu sau:
nghiệm kép x =

x

1
2

-∞

x2-2x+1

+

0

Bài tập áp dụng:

Xét dấu các tam thức sau:
1. f(x)= -3x2 - 2x + 1;
2. f(x)= 9x2 - 12x + 4;
3. f(x)= x2 - 2x + 3;
4. f(x)= - x2 + 3x;
5. f(x)= x2 – 9;
6. f(x)= - x2 + 1;
7. f(x)= 2x2 + 5x.
3. Một số ứng dụng:

2

+∞
+


a) Tìm điều kiện để tam thức bậc hai f ( x) = ax 2 + bx + c,(a ≠ 0) không
đổi dấu trên ¡ .
Cách giải: Dựa vào nhân xét:
a > 0
ax2 + bx + c > 0, ∀x∈ ¡ ⇔ 
∆ < 0
a < 0
ax2 + bx + c < 0, ∀x∈ ¡ ⇔ 
∆ < 0
Ví dụ 1: Với những giá trị nào của m thì đa thức f(x) = mx2 - 2x + 1 luôn
dương với mọi x thuộc ¡ .
Giải:
Trường hợp 1: Với m = 0 thì f(x)= -2x+1 lấy cả giá trị âm và dương. Do đó
m = 0 không thỏa mãn điều kiện đề bài.

Trường hợp 2: Với m ≠ 0, f(x) là tam thức bậc hai với ∆ ' = 1− m. Do đó:
a > 0
m> 0
m> 0
f ( x) > 0,∀x∈ ¡ ⇔  '
⇔
⇔
⇔ m> 1
1
−
m
<
0
m
>
1
∆
<
0



Vậy với m > 1 thì tam thức luôn dương.
Bài tập áp dụng:
Bài 1. Với những giá trị nào của m thì các đa thức sau luôn âm với mọi x thuộc
¡

a) f(x) = (m-4)x2 + (m+1)x – 2m – 1;
b) f(x) = - x2 + 4(m + 1)x +1-m;
c) f(x) = (m+2)x2 + 5x – 4.

Bài 2. Với những giá trị nào của m thì các đa thức sau luôn dương với mọi x
thuộc ¡
a) f(x) = (2m2+1)x2 – 4mx + 2;
b) f(x) = (3m+1)x2 – (3m+2)x + m + 4.
b) Giải bất phương trình bậc hai, bất phương trình tích và bất phương trình
chứa ẩn dưới mẫu.
Cách giải:
- Đối với bất phương trình bậc hai ta xét dấu vế trái và dựa vào dấu bất
phương trình kết luận nghiệm
- Đối với bất phương trình tích xét dấu các nhân tử rồi nhân các dấu đó lại
với nhau, dựa vào dấu của bất phương trình rồi kết luận nghiệm.
- Đối với bất phương trình chứa ẩn dưới mẫu ta phải đưa về dạng
3


P ( x)

 P ( x)

P ( x)
P ( x)
< 0;
> 0;
≤ 0;
≥ 0÷ , rồi mới xét dấu vế trái và dựa vào
 Q ( x)
÷
Q ( x)
Q ( x)
Q ( x)




dấu bất phương trình kết luận nghiệm.
Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau:
a)
b)
c)
d)

x2 + 2x - 3 < 0 ;
-x2 + 2x - 1 > 0 ;
- x2 + 2x – 6 > 0 ;
(5 - x)(x2 + 7x + 12) ≤ 0;

4x2 − 7
e) 2
≤ 3.
x + x+ 1
Giải :
a) x2 + 2x - 3 < 0
Tam thức f(x) = x2 + 2x - 3 có hai nghiệm x1=1, x2=-3, a=1 > 0
Bảng xét dấu tam thức :
x
f(x)

−∞

-3
0

+

-

+∞

1
0

+

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: N= [-3 ; 1].
b) -x2 + 2x - 1 < 0
Tam thức f(x) = -x2 + 2x - 1 có nghiệm kép x = -1, a=-1<0
Bảng xét dấu:
x
f(x)

-∞

1
0

+

+∞
+

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: N= ¡ \{1}.

c) 3x2 - 2x + 6 < 0
Xét tam thức f(x) = 3x2 - 2x + 6, ta có: a= -1<0, ∆ <0.
Bảng xét dấu:
x
f(x)

-∞

+∞
-

Vậy bất phương trình vô nghiệm N = ∅ .
d) (5 - x)(x2 + 7x + 12) ≤ 0
4


Xét vế trái của BPT ta có bảng xét dấu:
x
5-x
2
x +7x+12
VT

-∞

-4
|
0
0

+
+
+

-3
|
0
0

+
-

5
0
0
0

+
+
+

+∞
+
-

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: N = [-4;-3] ∪ [5;+∞) .
4x2 − 7
e)
≤3
x2 + x + 1

Vì tam thức x2 + x + 1có a = 1> 0, ∆ =-3 <0 nên x2 + x + 1> 0, ∀x ∈ ¡
4x2 − 7
4x2 − 7
4x2 − 7 − 3(x2 + x + 1)
≤ 3⇔ 2
− 3≤ 0 ⇔
≤0
x2 + x + 1
x + x+ 1
x2 + x + 1
x2 − 3x − 10
⇔ 2
≤0
x + x+1
⇔ x2 − 3x − 10 ≤ 0
Xét tam thức f(x) = x2 − 3x − 10,tam thức có hai nghiệm x1 = −2; x2 = 5
Bảng xét dấu:
x
f(x)

-∞
+

-2
0

-

Vậy f ( x) ≤ 0 ⇔ x ∈ [-2;5] .
Bài tập áp dụng:

Giải các bất phương trình sau:
1. - 3x2 + 2x + 3 < 0;
2. 9x2 + 12x + 4 > 0;
3. - 2x2 + x – 1 > 0;
4. - 3x2 + 2x < 0;
5. x2 – 4 > 0;
6. - 2x2 – 1 > 0;
x2 − 16x − 27
7.
≤ 0;
x2 − 7x + 1
8. (4 + x)(- x2 + 7x + 6) < 0;
x2 − 1x − 7
9.
≤ 3;
x2 − x + 1
5

5
0

+∞
+


10.

1
1
≤

.
x2 − x + 1 x2 − 7x + 10

c) Giải hê bất phương trình.
Cách giải:
Giải từng bất phương trình sau đó giao nghiệm lại.
3x2 − 7x + 2 > 0
Ví dụ 3: Giải hệ bất phương trình sau: 
2
−2x + x + 3 > 0
Giải
Xét tam thức: f (x) = 3x2 − 7x + 2, ta có: a = 3 > 0, ∆ = 25 tam thức có hai
1
nghiệm x1 = , x2 = 2 .
3
Bảng xét dấu:
1
3

-∞

x
3x2 -7x+2

+

+∞

2

0

-

0

+


1
Bất phương trình thứ nhất có tập nghiệm là S =  −∞; ÷∪ ( 2;+∞ )
3


3
Tương tự, ta xét bất phương trình thứ hai. Ta có, tập nghiệm là T =  −1; ÷
2

 1
Tập nghiệm của hệ là N = S ∩ T =  −1; ÷.
 3
Ví dụ 4: Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau vô nghiệm
(m-2)x2+2(m+1)x+2m > 0.
Giải:
2
Đặt f(x)=(m-2)x +2(m+1)x+2m
Bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi f(x) ≤ 0, ∀x∈ ¡
Trường hợp 1: Với m = 2 ta có f(x)=6x+4. Khi đó với mọi x∈ ¡ , f(x)
nhận cả giá trị âm và dương. Vậy m=2 không thỏa mãn điều kiện đề bài.
Trường hợp 2: Với m≠ 2 ta có:

6


a < 0
f ( x) ≤ 0,∀x∈ R ⇔  '
∆ ≤ 0
m< 2

m− 2 < 0
⇔ 2
⇔   m≤ 3− 10
−m + 6m+ 1≤ 0  
  m≥ 3+ 10
⇔ m≤ 3− 10
Vậy bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi m≤ 3− 10 .
Bài tập áp dụng
Bài 1: Giải các hệ bất phương trình sau
3x − 3 < 3x + 4
a)  2
 x − 7x + 10 ≤ 0
3x2 − 3 > 0
b)  2
 x − 7x + 10 ≤ 0
 x2 − 3 < 0
c)  2
(x − 7x + 10)( 2x − 1) ≤ 0
Bài 2: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm
a) (m-5)x2 - 4mx + m – 2 = 0;
b) (m+1)x2 + 2(m-1)x + 2m – 3 = 0;

c) x2 + (m-2)x - 2m + 3 = 0.
Bài 3: Chứng minh rằng các phương trình sau vô nghiệm dù m lấy bất kì giá
trị nào
a) x2 - 2(m+1)x + 2m2 + m + 3 = 0;
b) (m2 + 1)x2 + 2(m+2)mx + 6 = 0.
Bài 4: Tìm các giá trị thực của tham số m để bất phương trình: (m-1)x2 2(m+1)x + 3(m-2)> 0, nghiệm đúng ∀x∈ ¡ .
Bài 5: Tìm các giá trị của m để hệ bất phương trình sau có nghiệm

( m+ 1) x ≥ 3
 2
 x + 2x − 15 < 0
7


d) Giải một số phương trình và bất phương trình quy về bậc hai
 Phương trình và bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt
đối

 g( x) ≥ 0
 g( x) ≥ 0
hoaë
c 
Dạng 1: |f(x)|=g(x) ⇔ 
 f ( x) = g( x)
 f ( x) = − g( x)
 f ( x) ≥ 0
 f ( x) < 0
hoaë
c 
Dạng 2: |f(x)|>g(x) ⇔ 

 f ( x) > g( x)
− f ( x) > g( x)
 f ( x) ≥ 0
 f ( x) < 0
hoaë
c
Dạng 3: |f(x)| f ( x) < g( x)
− f ( x) < g( x)

 Phương trình và bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn bậc
hai

 g( x) ≥ 0
Dạng 4: f ( x) = g( x) ⇔ 
2
 f ( x) = g ( x)
 f ( x) ≥ 0

Dạng 5: f ( x) ≤ g( x) ⇔  g( x) ≥ 0

2
 f ( x) ≤ g ( x)
 f ( x) ≥ 0
 g( x) ≥ 0
hoaë
c
Dạng : f ( x) ≥ g( x) ⇔ 
2
g

x
≤
0
 ( )
 f ( x) ≥ g ( x)
Ví dụ 5: Giải các phương trình sau:
a)
| x2 - 5x - 2| = 3 – x;

b)

3x2 + 24x + 22 = 2x + 1.
Giải:

a) |x2 - 8x + 7| = 3 - x
3− x ≥ 0
3− x ≥ 0
⇔ 2
(I) hoặc  2
(II)
x
5
x
2
=
3x
x
5
x
2

=
-3
+
x


8


x ≤ 3
x ≤ 3

⇔   x = −1⇔ x = −1
Hệ (I ) ⇔  2
x -4x-5=0   x = 5

x ≤ 3

x ≤ 3
⇔   x = 3− 2 2 ⇔ 3− 2 2
Hệ (II) ⇔  2
 x - 6x + 1= 0  
  x = 3+ 2 2
Vậy phương trình có tập nghiệm N = {−1; 3 − 2} .

b) 3x2 + 24x + 22 = 2x + 1
2x + 1≥ 0
⇔  2
2
3x + 24x + 22 = 4x + 4x + 1


1
x
≥
−

1

2
x ≥ −

⇔
⇔
⇔ x = 21
2

x
=
−
1
 x2 − 20x − 21= 0  

  x = 21
Vậy phương trình có nghiệm: x = 21.
Ví dụ 6: Giải các bất phương trình sau:
a) | x2 + 3x - 4| > x – 8;
b)

x2 − 4x > x − 3;

c)

x2 − 2x − 15 < x − 3.
Giải:

a) | x2 + 3x - 4| ≥ x – 8
2
2
 x + 3x − 4 ≥ 0
 x + 3x − 4 < 0
⇔ 2
(I)  2
(II)
 x + 3x − 4 ≥ x − 8
− x − 3x + 4 ≥ x − 8

9


  x ≤ −4
 x ≤ −4

⇔  x ≥ 1
⇔
Hệ bpt (I)
 x≥1
 2
x
+
2

x
+
4
≥
0,
∀
x

⇒ S = ( −∞;−4 ∪ 1;+∞ )
−4< x < 1
−4 < x < 1
⇔
⇔ −4 < x < 1⇒ T = ( −4;1)
Hệ (II) ⇔  2
−
6
≤
x
≤
2
x
+
4
x
−
12
≤
0



Vậy hệ bpt N = S ∪ T = ¡ .
b)

x2 − 4x > x − 3
 x2 − 4x ≥ 0
⇔
(I) hoặc
x
−
3
<
0


 x − 3≥ 0
(II)
 2
2
x
−
4
x
>
x
−
6
x
+
9


x≤ 0 ∨ x≥ 4
⇔ x ≤ 0 ⇒ S = ( −∞;0
Hệ bpt (I) ⇔ 
x
<
3

x ≥ 3
9

9

Hệ bpt (II) ⇔ 
9 ⇔ x > ⇒ T =  ;+∞ ÷
2
2

 x > 2
9

Vậy bpt đã cho có tập nghiệm: N = S ∪ T = ( −∞;0 ∪  ; +∞ ÷.
2

c)

x2 − 2x − 15 < x − 3

  x ≤ −3


 x2 − 2x − 15 ≥ 0
 x ≥ 5


⇔ x − 3> 0
⇔  x > 3 ⇔ 5 ≤ x < 6.
 x2 − 2x − 15 < x2 − 6x + 9  x < 6



Vậy bpt đã cho có tập nghiệm: N = [ 5;6 ) .
Bài tập áp dụng
Bài 1: Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a)|x2 + x - 5| = |x - 1|
b) |x - 1| = 2x - 1
10


c) |x2 + 2x - 1| > x2 - 1
d) |- x2 + 2x + 4| < 2x2 - 3x + 1;
e) 2x2 − 1 > 1− x;
f)

x2 − 5x − 14 ≥ 2x − 1;

g) 2x − 1 ≤ 2x − 3.
Bài 2: Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:
a) y = | x2 + 3x − 4| − x + 8
b)

x2 + x + 1
|2x − 1| − x − 2

c)

1
1
−
x2 − 7x + 5 x2 + 2x + 5

d) y =

x2 − 5x −14 − x + 3

Bài 3: Tìm m sao cho phương trình: x4 + (1-2m)x2 + m2 – 1 = 0
a) Vô nghiệm
b) Có hai nghiệm phân biệt
c) Có bốn nghiệm phân biệt
Bài 4: Tìm các giá trị của a sao cho phương trình: (a-1)x4 - ax2 + a2 – 1 = 0 có
ba nghiệm phân biệt.
Bài 5: Cho phương trình x4 + 4x3 + (3m+4)x2 + 2(3m+4)x + 6(m+1) = 0
a) Tìm m để phương trình vô nghiệm
b) Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt
c) Tìm m để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt
d) Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt
e) Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm .
III.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ:
Trong quá trình thực hành ứng dụng để giải toán các em học sinh đã gặp khó
khăn, lúng túng nên xét dấu sai các tam thức bậc hai. Do đó dẫn đến kết luận sai

tập nghiệm của bất phương trình.
IV. ĐỀ XUẤT GIẢI PHÁP:

11


Để các em học sinh dễ hiểu, dễ nhớ ứng dụng được dấu của tam thức bậc
hai một cách thành thạo khi dạy phần này chúng tôi đã nêu ra một số lỗi mà các em
thường mắc phải khi giải toán. Cụ thể như sau:
1. Đối với các bất phương trình có vế trái là tam thức bậc hai vô nghiệm, các
em thường kết luận sai nghiệm.
VD: Giải bất phương trình 2x2+x+2>0
Sai: 2x2+x+2>0
Ta có 2x2+x+2=0 vô nghiệm nên bất phương trình vô nghiệm S= ∅ .
Đúng: Ta có 2x2+x+2=0 vô nghiệm và a=2>0 và nên 2x2+x+2>0 với mọi x
thuộc ¡
Vậy bất phương trình vô số nghiệm N= ¡
Hướng khắc phục: Sau khi tìm nghiệm vế trái các em lập bảng xét dấu và
so sánh với dấu của bất phương trình nếu giống nhau thì kết luận vô số nghiệm,
còn nếu khác nhau thì bất phương trình mới vô nghiệm.
2. Đối với các bất phương trình chứa ẩn dưới mẫu các em thường xét dấu
khi chưa đưa bất phương trình về dạng :
P ( x)

 P ( x)

P ( x)
P ( x)
< 0,
> 0,

≤ 0,
≥ 0÷
 Q ( x)
÷
Q( x)
Q
x
Q
x
(
)
(
)



x2 − 3x − 4
Ví dụ: Giải bất phương trình 2
<1
x − 5x + 6
x2 − 3x − 4
Sai: 2
< 1⇔ x2 − 3x − 4 < x2 − 5x + 6 ⇔ 2x − 10 < 0 ⇒ x < 5
x − 5x + 6
x2 − 3x − 4
<1
x2 − 5x + 6
Bảng xét dấu vế trái của bpt:
Sai:

x
2
x -3x-4
x2-5x+6
VT

-∞
+
+
+

- 1
0
|
0

2
|
0
||

+
-

+

Vậy nghiệm của bất phương trình là N = (-1;2) ∪ (3;4).
12

3

|
0
||

+
-

4
0
|
0

+∞
+
+
+


Đúng

(

)

x2 − 3x − 4 − x2 − 5x + 6
x2 − 3x − 4
x2 − 3x − 4
< 1⇔ 2
− 1< 0 ⇔
<0

x2 − 5x + 6
x − 5x + 6
x2 − 5x + 6
2x − 10
⇔ 2
<0
x − 5x + 6
Bảng xét dấu vế trái của bpt:
x
2x-10
x2-5x+6
VT

-∞
-

2
|
0

-

||

-

3
|
0

+

||

+∞

+

5
0
|

+
+

-

0

+

Vậy nghiệm của bất phương trình là N = ( −∞;2) ∪ ( 3;5) .
Hướng khắc phục: Các bất phương trình chứa ẩn ở mẫu số ta phải chuyển
vế sao cho vế phải bằng 0 tức là có dạng

P ( x)

Q ( x)

= 0 rồi mới xét dấu vế trái.

3. Khi giải các phương trình chứa ẩn trong dấu căn bậc hai các em thường
đặt sai điều kiện.
Ví dụ: Giải phương trình:

x2 + 3x − 4 = x − 2

Sai:
 x ≤ −4 ∨ x ≥ 1
 x2 + 3x − 4 ≥ 0

x + 3x − 4 = x − 2 ⇔  2
⇔
8
2
 x + 3x − 4 = x − 4x + 4  x =
7

8
Vậy phương trình có nghiệm x = .
7
Đúng:
2

 x≥ 2
x− 2≥ 0

x + 3x − 4 = x − 2 ⇔  2
⇔
8

2
 x + 3x − 4 = x − 4x + 4  x = ( loaïi )
7

Vậy phương trình vô nghiệm
2

Hướng khắc phục: Các em cần nhớ định lí dấu tam thức bậc hai và các
phương pháp giải bất phương trình, nếu không nhớ điều kiện thì ta giải bằng
phương trình hệ quả, sau khi tìm được nghiệm ta phải thử lại phương trình ban đầu
rồi mới kết luận nghiệm.
13


C. KẾT QUẢ THỰC HIỆN
Đề tài được thực hiện trong năm học 20… - 201… ở các lớp 10, chúng tôi thấy
kết quả khả quan, các em học sinh nắm được bài và biết cách giải những bài toán
tương tự.
Trên đây là chuyên đề: “Dấu tam thức bậc hai và ứng dụng giải bất phương
trình” của chúng tôi. Tuy nhiên, do tính chất đa dạng của môn học nên không tránh
khỏi những thiếu sót, mong quý đồng nghiệp góp ý để chuyên đề của chúng tôi
ngày càng hoàn thiện hơn.
Đề tài này được hoàn thành bởi nhóm giáo viên trường THPT

Tài liệu tham khảo
1. SGK Đại số 10, cơ bản; Tác giả: Trần Văn Hạo,Vũ Tuấn, Doãn Minh
Cường, Đỗ Mạnh Hùng, Nguyễn Tiến Tài,NXB Giáo dục
2. SGK Đại số 10, nâng cao; Tác giả: Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan,
Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, Trần Văn Vuông,NXB Giáo dục
14

3. Bài tập Đại số 10, cơ bản; Tác giả: Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường, Trần Văn
Hạo, Đỗ Mạnh Hùng, Phạm Thu, Nguyễn Tiến Tài, NXB Giáo dục
4. Bài tập Đại số 10, nâng cao; Tác giả: Nguyễn Huy Đoan, Phạm Thị Bạch
Ngọc, Đoàn Quỳnh, Đặng Hùng Thắng, Lưu Xuân Tình, NXB Giáo dục
5. Sách Giáo Viên Đại số 10, cơ bản; Tác giả: Trần Văn Hạo,Vũ Tuấn, Doãn
Minh Cường, Đỗ Mạnh Hùng, Nguyễn Tiến Tài,NXB Giáo dục
6. SGV đại số 10, nâng cao; Tác giả: Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan,
Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, Trần Văn Vuông,NXB Giáo dục

15