các bước khảo sát hàm số

BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ
I/ CÁC BƯỚC KHẢO SÁT :
1. MXĐ .
2. Tính y’ . Cho y’ = 0 tìm nghiệm ( Tính giá trò y tương ứng )
3. BBT : x -
∞
x
1
x
2
+
∞
y’ + 0 - 0 +
y y
1
y
2 +
∞
-
∞
CĐ CT
( Lưu ý : Trên BBT ghi đầy đủ
∞±
của x & y ; chiều biến thiên ; ghi rõ điểm cực trò )
4. Tính y’’.Cho y’’ = 0 tìm nghiệm, xét dấu y’’ tìm đ/u ( Hs bậc 3 và trùng phương) .
Tìm tiệm cận ( Đ/v Hs Phân thức )
5. Điểm đặc biệt : Tìm (C )
∩
Oy : cho x = 0 ; (C )
∩
Ox : cho y = 0 giải pt .

 Giải pt : ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0
Nếu : a + b + c + d = 0 Thì pt có 1 n
o
là x = 1 , chia đa thức để tìm n
o
còn lại .
Nếu : a – b + c – d = 0 Thì pt có 1 n
o
là x = – 1 , chia đa thức để tìm n
o
còn lại .
 Giải pt : ax
4
+ bx
2
+ c = 0 Đặt x
2
= t > 0 ; và đưa về pt bậc 2 : at
2
+ bt + c = 0 .
6. Vẽ đồ thò : ( Nhìn BBT để vẽ đồ thò )
II/ KHẢO SÁT CÁC HS THƯỜNG GẶP :
Hs b3
y = ax
3
+ bx

2
+ cx + d
Hs trùng phương
y = ax
4
+ bx
2
+ c
Hs y =
''
2
bxa
cbxax
+
++
Hs y =
'' bxa
bax
+
+
* MXĐ : R
* Tính y’
y’=0
⇒



→
→
CTkkepnhayvn

CTripb
o
o
2n2
o
* BBT : ( chú ý ctrò ;
∞±
)
Ghi rõ điểm CTrò ( nếu có)
* Tính y’’
y’’=0
⇒
x =
a
b
3
có 1 đ/u
Lập bảng xét dấu y’’
( không xét tiệm cận )
* ĐĐB : (Lưu ý điểm tựa)
* Vẽ đồ thò :
* MXĐ : R
* Tính y’
y’= 0
⇒



→
→

CTri
CTripb
1n1
3n3
o
o
* BBT :
Ghi rõ điểm CTrò
* Tính y’’
y’’=0
⇒



→
→
o
k
pb
o
o
nv
2n2
Đ
/u
Lập bảng xét dấu y’’
( không xét tiệm cận )
* ĐĐB :
* Vẽ đồ thò :
* MXĐ :R







−
'
'
a
b
* Tính y’
y’= 0
⇒



→
→
CTrik
CTripb
o
o
o
nv
2n2
* BBT ( chú ý
'
'
a

b
−
)
Ghi rõ CTrò ( nếu có)
* 2T/c : Đứng : x =
'
'
a
b
−
Xiên : y = ax + b
(không có điểm uốn )
* ĐĐB :
* Vẽ đồ thò :
* MXĐ : R






−
'
'
a
b
*Tính y’>0( hay y’<0 )
hs k
o
có cực trò

* BBT : ( chú ý
'
'
a
b
−
)
*2T/c :Đứng: x =
'
'
a
b
−
Ngang : y =
'a
a
(không có điểm uốn )
* ĐĐB :
* Vẽ đồ thò :
III/ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HS :
BÀI TOÁN 1 : XÉT SỰ TƯƠNG GIAO CỦA đ/cong ( C) : y= f(x) và đ/t d : y = ax + b .
a) Hoành độ giao điểm của ( C ) và d là nghiệm của pt : f( x) = ax + b .
b) Số giao điểm của ( C) và d là số nghiệm của pt : f( x) = ax + b .
BÀI TOÁN 2 : VIẾT PTTT VỚI ĐƯỜNG CONG ( C ) . PTTT có dạng : y = k( x – x
o
) + y
o
a) PTTT với ( C) TẠI M
o
( x

o
;y
o
) là : y = k( x – x
o
) + y
o
; với k = f’(x
o
) .
b) PTTT với ( C) ĐI QUA M
o
( x
o
;y
o
) : Gọi D ∋ M
o
và có hệ số góc là k ptđt D là : y = k( x – x
o
) + y
o
.
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ pt :



=
+−=
)('

)()(
0
xfk
yxxkxf
o
oo
yxxxfxf
+−=⇔
)()(')(

c) PTTT với ( C ) biết hệ số góc là k : Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của pt : f’(x) = k .
BÀI TOÁN 3 : TÌM ĐIỂM CỐ ĐỊNH MÀ ĐỒ THỊ ( C ) LUÔN ĐI QUA .
Cho hs : y = f(x,m) có đồ thò là ( C
m
) . Và M
o
( x
o
;y
o
)
M
o
( x
o
;y
o
) là điểm cố đònh của họ ( C
m
)

⇔
pt : y
o
= f(x
0
,m) ẩn m nghiệm đúng với mọi m .
(M
o
( x
o
;y
o
) là điểm mà không có đồ thò nào của họ ( C
m
) qua
⇔
pt : y
o
= f(x
0
,m) ẩn m vô n
0
.)
CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM
ĐẠO HÀM CÁC HS SƠ CẤP CƠ BẢN ĐẠO HÀM HS HP
(
α
x
)’ =
1

.
−
α
α
x
; ( C )’ = 0
(
x
1
)’ =
2
1
x
−
; ( x )’ = 1.

( )
x
x
2
1
'
=

[( ax + b )
n
]’ = na.(ax + b)
n – 1

(

α
u
)’ =
1
.
−
α
α
u
.u’
(
u
1
)’ =
2
'
u
u
−

( )
u
u
u
2
'
'
=

( sinx )’ = cosx

( cosx )’ = – sinx
( tgx )’ =
x
2
cos
1
= 1 + tg
2
x .
( cotgx) =
x
2
sin
1
−
= – (1 + cotg
2
x )
(sin(nx))’= ncos(nx) ; (cos(nx))’= – nsin(nx)
[sin(ax + b)]’ = a.cos(ax + b)
[cos(ax + b)]’ = – a.sin(ax + b)
( sinu )’ = cosu . u’
( cosu )’ = – sinu .u’
( tgu )’ =
u
u
2
cos
'
= (1 + tg

2
u ).u’.
( cotgu) =
u
u
2
sin
'
−
= – (1 + cotg
2
u ).u’
( e
x
)’ = e
x

( )
baxbax
eae
++
=
.'
( a
x
)’ = a
x
.lna

( )

x
x
1
'ln
=

( )
ax
x
a
ln
1
'
log
=
( e
u
)’ = e
u
. u’
( a
u
)’ = a
u
.lna .u’

( )
u
u
u

'
'ln
=

( )
au
u
u
a
ln
'
'
log
=
CÁC QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM .
 (
'')' vuvu
±=±
. 
1
.)'(
−
=
αα
α
uu
.u’
 ( ku ) ’ = k.u’ 
2
'

'
1
v
v
v
−=






 ( u.v) ‘ = u’.v + v’.u

2
'.'.
'
v
uvvu
v
u
−
=






 y = f(u) thì y’ = f’.u’ .