giáo án đồ thị và hàm số (2)

Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ
thị hàm số

phần I
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài:
Toán học là môn khoa học cơ bản, có liên quan đến
nhiều ngành, nhiều lĩnh vực khác nhau. Các thành tựu của
toán học luôn góp phần to lớn vào việc cải tạo tự nhiên, đem
lại lợi ích phục vụ cho cuộc sống của loài ngời ngày một tốt
đẹp hơn.
Toán học là một môn khoa học rất cần sự logic và phân
tích giỏi, nó có ứng dụng rất rộng rãi trong đời sống xã hội.
Toán học giúp cho ngời học tính toán nhanh, t duy tốt, tính
chính xác cao lôgic hợp lí, tính khoa học. Dạy toán học
nhằm trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức khoa học
phổ thông cơ bản tạo điều kiện cho các em đợc hình thành
và phát triển các phẩm chất, năng lực trí tuệ, đồng thời
trang bị cho các em hệ thống tri thức đảm bảo đủ để
nghiên cứu và khám phá thế giới xung quanh, góp phần cải tạo
thế giới, cải tạo thiên nhiên mang lại cuộc sống ấm no hạnh
phúc cho mọi ngời.
Trong chơng trình toán bậc trung học cơ sở, hai chủ
đề lớn của môn đại số là "Số" và "Hàm số". Khái niệm "Hàm
số" xuyên suốt chơng trình môn đại số ở phổ thông, bắt
đầu từ lớp 7 và nó là kiến thức trọng tâm của môn đại số. Với
các khái niệm hàm bậc nhất, bậc hai và các dạng đồ thị tơng
ứng, phần hàm số đợc phân lợng thời gian không nhiều. Tuy
vậy bài tập về hàm số thì thật là nhiều dạng và không thể
1

Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ
thị hàm số

thiếu trong các kỳ kiểm tra, kỳ thi. Khái niệm hàm số là khái
niệm trừu tợng mà thời gian luyện tập lại không nhiều, nên
kết quả của học sinh không cao.
Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở bậc THCS và tìm
hiểu tâm lý của đối tợng học sinh tôi thấy các bài tập về đồ
thị và hàm số học sinh còn rất lúng túng chính vì vậy tôi đã
quyết định tiến hành nghiên cứu: "Một số dạng toán về
hàm số và đồ thị hàm số".

2. Mục đích nghiên cứu:

Trong đề tài này tôi cố gắng làm sáng tỏ khái niệm hàm
số, đồ thị và đa ra một số dạng bài tập về hàm số và các
bài tập có liên quan.
Bằng cách sắp xếp các dạng toán, phơng pháp truyền
thụ phù hợp với đối tợng học sinh, phát huy tính tích cực của học
sinh, chú ý sửa sai cho các em,
tôi đã giúp học sinh hiểu đây là phần bài tập có thuật giải
rõ ràng, chính xác, có nhiều nội dung ứng dụng phong phú.
Hàm số còn đợc coi là công cụ giải quyết một số bài toán
khác nh tìm cực trị, giải phơng trình, giải bất phơng trình.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Thông qua quá trình giảng dạy thực tiễn, hỏi han ý kiến
của các đồng nghiệm đi trớc có nhiều kinh nghiệm, tiếp xúc
và trò chuyện với học sinh, trực tiếp đánh giá sự tiếp thu

kiến thức của học sinh; tôi nhận thấy rằng đa số các em còn
sử dụng kiến thức về hàm số trong việc giải các bài tập có
2


Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ
thị hàm số

liên quan còn máy móc, cha linh hoạt; nhiều em cha hiểu kĩ
đợc kiến thức cơ bản của mảng kiến thức về hàm số. Chính
vì vậy, việc áp dụng cũng nh khai thác sâu kiến thức về
hàm số và đồ thị hàm số để giải các bài toán tìm cực trị,
giải phơng trình, bất phơng trình của học sinh còn gặp
nhiều khó khăn và đây cũng là một vấn đề môt nhiệm
vụ mà tôi mạnh dạn tìm hiểu, đi sâu để cuối cùng đa ra
một chuyên đề thực sự hữu ích cho các đồng nghiệp và các
em học sinh tham khảo. Trong quá trình nghiên cứu và viết
đề tài, tôi còn gặp nhiều thiếu sót mong các thầy cô góp ý
để đề tài này ngày càng hoàn thiện và đầy đủ hơn.

4. Đối tợng, phạm vi nghiên cứu:
- Đối tợng nghiên cứu: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị
hàm số trong chơng trình toán THCS (lớp 7 và 9)
- Phạm vi nghiên cứu: Đi sâu việc vận dụng kiến thức về hàm
số để giải một số dạng toán: tìm tập xác định, tìm giá trị
của hàm số; xác định công thức của hàm số; ....

5. Phơng pháp nghiên cứu:
- Phơng pháp quan sát s phạm: quan sát học sinh khi cho các
em làm bài tập, khi xét khả năng thực lực của các em đến

đâu, các em trao đổi nh thế nào? trao đổi những gì?
- Phơng pháp dạy thực nghiệm: giảng dạy trực tiếp trên lớp
để thấy đợc những vớng mắc của học sinh khi giải một số
dạng toán về hàm số.

3


Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ
thị hàm số

- Phơng pháp lấy ý kiến chuyên gia: Trực tiếp gặp gỡ và trò
chuyện với các giáo viên dạy trực tiếp hoặc các giáo viên có
nhiều kinh nghiệm.
- Phơng pháp nghiên cứu sản phẩm hoạt động của học sinh:
Vở bài tập và bài kiểm tra của học sinh.
- Phơng pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm giáo dục.

Phần II
Nội dung đề tài
Chơng I: lý thuyết cơ bản
Để làm tốt các bài tập về hàm số và đồ thị trớc hết
chúng ta và học sinh cần nắm vững khái niệm hàm số.
I. Khái niệm hàm số:
Khái niệm hàm số đợc định nghĩa theo quan điểm
hiện đại " Hàm số là một ánh xạ từ tập hợp số đến một tập
hợp số"
Trớc tiên ta làm quen với ánh xạ:
1. ánh xạ:
a. Định nghĩa:

Cho tập hợp X và Y : f là một ánh xạ từ tập hợp X
đến tập hợp Y là một quy tắc cho tơng ứng mỗi phần tử x X
với một và chỉ một y Y
Kí hiệu: f: X

Y

x a y = f(x)
Ta gọi X là tập nguồn của ánh xạ f
Y là tập đích của ánh xạ f
4


Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ
thị hàm số

Phần tử y = f(x) Y gọi là ảnh của x qua ánh xạ f
b. Các loại ánh xạ:

* Đơn ánh
ánh xạ: f: X

Y

x a y = f(x)
ánh xạ f là đơn ánh x1, x2 X: x1 x2 thì f(x1) f(x2)
Hoặc x1, x2 X: x1 x2 thì f(x1) = f(x2) thì x1= x2
Ví dụ: f: R
x a
* Toàn ánh:

R
y = f(x) = 3x

ánh xạ f: X

Y

x a

y = f(x)

ánh xạ f là toàn ánh y Y thì x X: (x) = y
Hoặc f là toàn ánh phơng trình f(x) = y luôn có nghiệm
với mỗi y Y cho trớc
Ví dụ:

f: R
x a

R

y = f(x) = 2x

Là một toàn ánh vì phơng trình 2x = y luôn có nghiệm x =
y
với y xác định.
2

* Song ánh:

ánh xạ f: X
Y
x a y = f(x)

ánh xạ f là song ánh f là đơn ánh và f là toàn ánh
2. Hàm số:
a. Theo quan điểm hiện đại, định nghĩa hàm số dựa
trên các khái niệm tập hợp và ánh xạ: Hàm số là một ánh xạ từ
tập hợp số X đến tập hợp số Y.
Trong chơng trình sách giáo khoa trung học cơ sở (1991
- 2001) Khái niệm hàm số đợc trình bày trong sách giáo khoa
lớp 7 (đợc nhắc lại trong sách giáo khoa lớp 9) nh sau:
5


Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ
thị hàm số

Một hàm số f đi từ tập hợp số X đến tập hợp số Y là một
quy tắc cho tơng ứng mỗi giá trị x X một và chỉ một giá
trị y Y mà kí hiệu là y = f(x)
Ngời ta viết:

f: X
Y
a
x
y = f(x)

X là tập xác định, x X là biến số, y = f(x) là giá trị của
hàm số f tại x.
Trong chơng trình sách giáo khoa mới (2001) định
nghĩa khái niệm hàm số ở toán 7 đã nêu rõ những thuộc tính
này: " Giả sử x và y là hai đại
lợng biến thiên và nhận các giá trị số. Nếu thay đổi phụ
thuộc vào x sao cho: Với mỗi giá trị của x ta xác định đợc
chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số của x
và x gọi là biến số"
* Chú ý: Nh vậy hàm số dù đợc định nghĩa bằng cách
nào cũng đều có thuộc tính bản chất:
+ X và Y là hai tập hợp số
+ Sự tơng ứng: ứng với mỗi số x X đều xác định duy
nhất một số y Y
+ Biến thiên: x và y là các đại lợng nhận giá trị biến đổi
+ Phụ thuộc: x là đại lợng biến thiên độc lập còn y là đại
lợng biến thiên phụ thuộc
b. Đồ thị hàm số: (Dựa trên khái niệm tập hợp)
+ Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm của
mặt phẳng toạ độ có toạ độ (x; f(x)) với x X
+ Chú ý:
6


Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ
thị hàm số

- Mỗi hàm số có một đồ thị xác định duy nhất và

ngợc lại

- Điểm M(xM; yM) đồ thị hàm số y = f(x) yM= f(xM)
c. Cách cho một hàm số:
Với định nghĩa hàm số, đồ thị hàm số ta thấy một
hàm số có thể cho bởi các cách:
+ Cách 1: Cho quy tắc tơng ứng thể hiện bởi công thức
y = f(x)
+ Cách 2: Cho quan hệ tơng ứng thể hiện bởi bảng giá
trị
+ Cách 3: Cho bằng đồ thị hàm số
II. Các hàm số trong chơng trình THCS:
1. Hàm số bậc nhất:
a. Định nghĩa:
Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax
+ b, trong đó a, b là các hằng số xác định a 0, x R
b. Tính chất:
+ Tập xác định: R
+ Tính biến thiên: a > 0 thì hàm số đồng biến trong R
a < 0 thì hàm số nghịch biến trong R
c. Đồ thị:
+ Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0, x R) là đờng thẳng
b
a

đi qua điểm A(0;b) và điểm B( ; 0)
+ Khi b = 0 thì đồ thị hàm số y = ax là đờng thẳng
đi qua gốc toạ độ
2. Hàm số bậc hai
7

Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ
thị hàm số

a. Định nghĩa:
Hàm số bậc hai là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax2 +

bx + c với a, b, c là các hằng số (a 0, x R)
b. Tính chất:
- Tập xác định: R
- Tính biến thiên:
a > 0: Hàm số đồng biến trong (
trong (- ;

b
; + ) và nghịch biến
2a

b
)
2a

a < 0: Hàm số nghịch biến trong (
trong (- ;

b
; + ) và đồng biến
2a

b
)

2a

c. Đồ thị:

Đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c (a 0, x R) là Parabol (P)
có đỉnh là D(

b

b
; - ); nhận đờng thẳng x =
là
2a 4a
2a

trục đối xứng

Chơng II: Một số dạng bài tập
Dạng 1: tìm tập xác định của hàm số

8


Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ
thị hàm số

1. Định nghĩa:
Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập các giá trị của
x để biểu thức f(x) có nghĩa
Vì vậy:

- Nếu f(x) là đa thức thì hàm số có tập xác định x R
- Nếu f(x) có dạng phân thức thì hàm số có tập xác
định: {x R/ mẫu thức 0}
- Nếu f(x) có dạng căn thức thì hàm số có tập xác định:
{x R/ biểu thức trong căn 0}
2. Ví dụ:
+ Ví dụ 1: Hàm số y = 5x- 70 có TXĐ: R
x2 + 2
+ Ví dụ 2: Hàm số y =
có TXĐ: {x R/ x 0}
x

+ Ví dụ 3: Hàm số y =

1

4 x + 1 có TXĐ: x R x
4


3. Bài tập: Tìm tập xác định của hàm số:
a. y = x 3
b. y =
c. y =

x +2

x2 + 1 2 x + 5

x- 3

x+3
x2 4 + 2 x

Dạng 2: tìm tập giá trị của hàm số

Tập giá trị của hàm số:

f: X Y
x a

y = f(x)

là tập giá trị y Y sao cho phơng trình f(x) = y có nghiệm x
X

1. Cách giải:

9


Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ
thị hàm số

+ Cách 1: Có thể dựa vào tính chất thứ tự trong Q để

đánh giá các giá trị của y.
+ Cách 2: Tìm điều kiện để phơng trình f(x) = y có
nghiệm trong tập xác định.
2. Ví dụ:
* Ví dụ 1: Tìm miền giá trị của hàm số y = 2x 5 với x

[-1; 1]

Giải
Ta có x -1 2x -2 2x 5 -7 hay y -7
x 1 2x 2 2x-5 -3 hay y -3
Vậy miền giá trị của hàm số y = 2x 5 với x [-1; 1] là y
[-7; -3]

* Ví dụ 2: Tìm miền giá trị của hàm số y = x 6 + 7 x
Giải
x 6 + 7 x x 6 + 7 x =1 hay y 1

Vậy miền giá trị của hàm số y = x 6 + 7 x với x R là y
R, y 1

* Ví dụ 3: Tìm miền giá trị của hàm số y = x2- 2x + 3
với x [2; 3]
Giải:
Hàm số y = x2+ 2x + 3 có a = 1 > 0 nên đồng biến với x
1
Vậy với x [2; 3] ta có y(2) y(3) 3 y 6
Vậy miền giá trị của hàm số y = x2 + 2x + 3 với x [2; 3]
là [3; 6]
*Ví dụ 4: Tìm miền giá trị của hàm số y = x2- 4 x + 3
10


Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ
thị hàm số

Giải:

TXĐ của hàm số là R
Xét phơng trình x2- 4 x +3 = y ( x - 2)2 = y + 1
Phơng trình có nghiệm khi y + 1 0 y -1
3. ứng dụng:
* ứng dụng 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm
số
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của y = 6x x2 2
Giải:
Ta có y = 2x x2- 4
= -(x2- 2x + 1) 3
= -(x 1)2- 3 - 3 dấu = xảy ra khi và
chỉ khi x = 1
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Max y = -3 tại x = 1
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =

x2 + x + 6
(1)
x2 + x + 2

Giải:
Hàm số có tập xác định: R vì x2 + x + 2 = (x +


1 2
7
) +
2
4

7
4

Giả sử y là một giá trị của hàm số phơng trình
x2 + x + 6
= y có nghiệm (y - 1)x2+ (y - 1)x + 2y 6 = 0 (2) có
x2 + x + 2

nghiệm
+Xét y = 1 phơng trình (2) vô nghiệm
+Xét y 1 phơng trình (2) có nghiệm 0
11


Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ
thị hàm số

(y -1)2- 4(y 1)(2y - 6) 0
(y - 1)(23 7y) 0
1< y

23
7

Vậy giá trị của hàm số là 1< y
+ Với y =

23
7

1
23
ta có x = vậy hàm số có giá trị lớn
7
2

nhất là
Max y =

1
23
tại x =
7
2

+ Chú ý: ở ví dụ 2 có thể ra dới dạng:
x2 + x + 6
Tìm x R để hàm số y = 2
nhận giá trị nguyên
x + x+ 2

Biến đổi: y =1 +

4
x + x+ 2
2

Khi đó học sinh hay chọn cách giải: nên y Z x2 + x +
2 nhận giá trị là ớc nguyên của 4.

Sai lầm trong lời giải ở chỗ x R nên x2 + x + 2 có thể
nhận giá trị không nguyên. Vì vậy lời giải trên làm mất
nghiệm của bài toán
+ Cách giải từ việc có miền giá trị 1< y

23
ta chỉ ra y
7

Z y = 2 hoặc y = 3
x2 + x + 6
Giải phơng trình 2
=2 x2 + x + 2 = 0 x = 1;
x + x+ 2

x = -2
x2 + x + 6
=3 2x2 + 2x = 0 x = 0; x =
x2 + x + 2

-1
12


Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ
thị hàm số

Vậy x {-2; -1; 0; 1} thì y Z

* ứng dụng 2: Giải phơng trình f(x) = g(x)

(1)

Nhiều phơng trình phức tạp có thể giải đơn giản hơn
bằng cách căn cứ vào miền giá trị của hai hàm số y = f(x) và
y = g(x) trên tập xác định D chung của chúng:
f ( x) m
với
g ( x) m

Nếu

x

f ( x) m
D thì f(x) = g(x)
(2)
g ( x) m

Nếu x0 D thoả mãn (2) thì x0 là nghiệm của phơng
trình (1)
Ví dụ 1: Giải phơng trình 6x x2 2=
x 1 + x 2 + 2 x 3 + 4 x 13 (1)

+Tập xác định: R
+Ta có VT = 6x x2 2 = 7 (x - 3)2 7 dấu bằng xảy ra khi
và chỉ khi x = 3
VP = x 1 + x 2 + 2 x 3 + 4 x 13 7
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 x

13
4

6x - x 2 2 = 7

+ Vậy phơng trình (1)
x 1 + x 2 + 2 x 3 + 4 x 13 = 7


x=3
Kết luận phơng trình (1) có nghiệm duy nhất x = 3
Ví dụ 2:
Giải phơng trình: 16x4+ 72x3 81x2 + 28 = 16(x
x 2 ) (3)

13




Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ
thị hàm số
2
7
9 2
Ta có VT = 16x + 72x 81x + 28 = 16 x x
4
4

4

3

2

28
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0 hoặc x =
Đặt

9
4

x 2 = t 0 x = t2 + 2 ta có VP = 16(t2 t + 2)
1 2 7
= 16 t + 28
4
2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi t =

1
1
x = +2 x =
2
4

9
4
VT = 28

9
x=
4
VP = 28

Vậy phơng trình (3)

Kết luận nghiệm của phơng trình là x =

9
4

4. Bài tập:
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của hàm
số y = x2- 3x + 1 trên đoạn:

a. [-3;1]

b. [0;2]

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3
a2 b2
2 + 2
a
b

a b
8 +
b a

Bài 3: Gọi x, y là nghiệm của hệ phơng trình
x + y = a + 1
2
2
2
x + y = 2a + 1

Tìm a để x, y có giá trị lớn nhất
Bài 4: Giải phơng trình
a. 3x 2 + 6 x + 7 + 5 x 2 + 10 x + 14 = 4 2 x x 2
14


Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ
thị hàm số

b.

x 2 + 4 x = x 2 6 x + 11

Dạng 3: xác định công thức hàm số

1. Khi biết tính chất đồ thị hàm số
Ta đã biết giữa hàm số và đồ thị có tơng ứng 1- 1 nên
ta sẽ xác định đợc công thức hàm số khi biết tính chất của
đồ thị tơng ứng
a. Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b biết đồ
thị là đờng thẳng d có tính chất: Đi qua điểm
A(x1;y1) và điểm B(x2;y2)
Giải:

Vì A(x1;y1) d nên ax1 + b = y1
B(x2;y2) d nên ax2 + b = y2
ax 1 + b = y1
giải hệ phơng trình ta
ax 2 + b = y 2

Ta có hệ phơng trình
có a, b

Kết luận công thức hàm số.
* Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị là đờng
thẳng d đi qua điểm A(1;1) và điểm B(-1;2)
Giải:
Vì A(1;1) d nên a.1 + b = 1
B(-1;2) d nên a(-1) + b = 2
1

a=
a + b = 1

2

Ta có hệ phơng trình:
a + b = 2
b = 3

2
1
3
Kết luận hàm số cần tìm là y = x +

2
2

15


Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ
thị hàm số

b. Đồ thị đi qua điểm A(x1;y1) và song song với đờng

thẳng d' có phơng trình y = a1x + b1

(a 0)

Giải:
Vì A(x1;y1) d nên ax1 + b = y1 b = y1 ax1
Vì d song song với d' nên a = a1
Kết luận hàm số cần tìm là y = a1x + y1 ax1
Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị đi qua
điểm A(1;

1
) và song song với đờng thẳng d' có phơng
2

trình y = 2x -

1
2

Giải:
Vì A(1;

1
1
) d nên a + b =
2
2

Vì d song song với d' nên a = 2 do đó: b =
Kết luận hàm số cần tìm là y = 2x

3
2

3
2

c. Đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1;y1) và vuông góc
với đờng thẳng d' có phơng trình y = a1x + b1

(a 0)

Giải:
Vì A(x1;y1) d nên ax1 + b = y1
-1

1

Vì d vuông góc với d' nên aa1 = -1 a = a nên b = y1+ a
1
1
x1
-1

1

Kết luận hàm số cần tìm là: y = a x + y1 + a x1
1
1

16


Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ
thị hàm số

Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị đi qua

điểm A(1;1) và vuông góc với đờng thẳng d có phơng trình
1
2

y = x+

3
2

Giải:

Vì A(1; 1) d nên a + b = 1(*)
Vì d vuông góc với d' nên aa1 = -1 a = 2 thay vào (*) ta
có: b = -1
Kết luận hàm số cần tìm là y = 2x 1
d. Đồ thị qua điểm A(x1;y1) và tiếp xúc với Parabol (P):
a'x2 + b'x + c' (a 0)
Giải:
Vì A(x1;y1) d nên ax1 + b = y1 (1)
Vì d tiếp xúc với Parabol (P): y = a'x2 + b'x + c' nên phơng
trình hoành độ giao điểm: ax + b = a'x2 + b'x + c' có
nghiệm kép
a'x2 + (b' a)x + c' b = 0 có nghiệm kép
=(b' - a)2- 4a'(c' b) = 0

(2)

Giải hai hệ phơng trình (1) và (2) để tìm a và b. Kết
luận công thức hàm số
Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị là đờng
thẳng d đi qua điểm A(-1;2) và tiếp xúc với Parabol
Lời giải: vì (d) đi qua điểm A(-1;2) d nên: a + b = 2 (1)
Vì (d) tiếp xúc với Parabol (P): y = x2 + 1 nên phơng trình
hoành độ giao điểm: ax + b = x2 + 1 có nghiệm kép
x2 ax + 1 b = 0 có nghiệm kép
= a2 - 4(1 b) = 0

17

(2)

Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ
thị hàm số

Ta có hệ phơng trình:
- a + b = 2

2
a + 4b = 4

b = a + 2
b = a + 2


2
2
a + 4(a + 2) = 4
(a + 2) = 0

b = 0

a = 2

Vậy hàm số cần tìm là y = -2x
2. Xác định hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c có đồ thị
là Parabol(P)
a. Đi qua 3 điểm phân biệt A(x1;y1), B(x2;y2) ,
C(x3;y3)
Giải:
Vì A(x1;y1) (P)nên ax12+ bx1+ c = y1

(1)

Vì B(x2;y2) (P)nên ax22+ bx2+ c = y2

(2)

Vì C(x3;y3) (P)nên ax32+ bx3+ c = y3

(3)

Giải hệ gồm 3 phơng trình (1), (2), (3) ta tìm đợc a, b, c
Kết luận công thức hàm số
Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c có đồ
thị là Parabol (P) đi qua 3 điểm phân biệt A(-1; 0), B(0; 3),
C(1; 0)
Giải:
Vì A(-1;0) (P) nên a- b+ c = 0

(1)

Vì B(0;3) (P) nên c = 3

(2)

Vì C(1;0) (P) nên a+ b+ c = 0

(3)

a b + c = 0

a = 3


b = 0
Ta có hệ phơng trình: c = 3
a + b + c = 0
c = 3



Vậy công thức hàm số cần tìm là: y = - 3x2 + 3
b. (P) có mặt phẳng toạ độ đỉnh D(x0, y0) và đi
qua điểm A(x1;y1)
18


Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ
thị hàm số

Giải:
Vì A(x1;y1) (P) nên ax12+ bx1+ c = y1
Vì (P) có toạ độ đỉnh D(x0, y0) nên

(1)

-b
= x0
2a

-

= y0
4a

(2)

(3)

Giải hệ gồm ba phơng trình (1), (2), (3) ta tìm đợc a,
b, c
Kết luận công thức hàm số
Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c có
đồ thị là Parabol (P) đi qua điểm A(-1; 2) và có đỉnh là D(1;
2)
Giải:
Vì A(-1;2) (P) nên a + b + c = 2
Vì (P) có toạ độ đỉnh D(1;-2) nên
-
b 2 4ac
= 2
= 2
4a
4a

(1)
-b
=1
2a

(2)

(3)


a b + c = 2
a b + c = 2

b

2 a + b = 0

Ta có hệ phơng trình = 1
2a
b 2 4ac 8a = 0

b 2 4ac
= 2

4a

a = 1

b = 2
c = 1


Vậy hàm số cần tìm có công thức y = x2- 2x 1
c. (P) có toạ độ đỉnh D(x0, y0) và tiếp xúc với đờng
thẳng d: y = a'x + b'
19

Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ
thị hàm số

Giải:

Vì (P) có toạ độ đỉnh D(x0, y0) nên

-b
= x0
2a
-
= y0
4a

(1)
(2)

Vì (P) có toạ độ đỉnh D(x0, y0) nên phơng trình
hoành độ:
ax2 + bx + c = a'x+b' có nghiệm kép
ax2 + (b a)x + c - b' = 0 có nghiệm kép
= (b - a' )2 4a(c - b' ) = 0

(3)

Giải hệ gồm 3 phơng trình (1), (2), (3) ta tìm đợc a, b,
c.
Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y =ax2 + bx + c có
đồ thị là Parabol (P) nhận D(1; 1) là đỉnh và tiếp xúc với đờng

thẳng d: y = 2x 2.
Giải:
Vì (P) có toạ độ đỉnh D(1;1) nên
-
b 2 4ac
=1
=1
4a
4a

-b
=1;
2a

(2)

Vì (P) tiếp xúc với đờng thẳng d: y = 2x 2 nên phơng
trình hoành độ

ax2 + bx + c = 2x 2 có

nghiệm kép
ax2 + (b 2)x + c 2 = 0 có nghiệm kép
= (b - 2 )2 4a(c - 2 ) = 0

Ta có hệ phơng trình:
20

(3)

Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ
thị hàm số


(b 2) 2 4a (c + 2) = 0
b 2 4ac 8a 4b + 4 = 0
2a + b = 0


b

2a + b = 0
12a + 4b 4 = 0
=1
2a
b 2 4ac + 4a = 0
b 2 4ac + 4a = 0


b 2 4ac
=1

4a


a = 1

b = 2
c = 2

Vậy hàm số cần tìm có công thức y = x2 - 2x + 2
3. Bài tập:
Bài 1: Cho đờng thẳng d có phơng trình y = -2x 1
a. Viết phơng trình đờng thẳng song song với d và đi qua
gốc toạ độ.

b. Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc với đờng
thẳng d và đi qua điểm N(-1;5)
Bài 2: Xác định a,b,c để Parabol (P): y = ax2 + bx + c đi
qua O(0; 0) và có đỉnh là D(1;-1)
1
2

Bài 3: Cho Parabol (P): Y = ax2 + bx + 1 (a )
a. Xác định a, b để đỉnh Parabol(P) nằm trên đờng
thẳng d: y = 2x + 1
b. Với a, b vừa tìm đợc vẽ Parabol(P) và đờng thẳng d trên
cùng một mặt phẳng toạ độ
4. Xác định công thức hàm số khi biết phơng trình hàm
1
x

Ví dụ 1: Tìm f(x) của hàm số biết f(1+ ) = x2 1 và f(0)
=0
Giải:
21

Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ
thị hàm số

+Với x 0 ta đặt 1+

1
1
= t rồi rút x theo t ta có: x =
x
t-1

Thay vào công thức ban đầu ta có f(t) = (

1 2
) 1 f(t) =
t-1

t(2- t)
(t - 1)2

Vì tơng ứng hàm số không phụ thuộc vào kí hiệu nên coi
f(x) =

x(2- x)
(x - 1)2

+Với x = 0 thay vào công thức vừa tìm đợc ta có f(0) =
0
Vậy hàm số cần tìm là f(x) =

x(2- x)
(x - 1)2

Ví dụ 2: Tìm biểu thức f(x) của hàm số biết: f(x) + 2f(
) = x2
Từ công thức ta thay x bởi
Ta có:

1
x


2
2
1
1
1
1
1
f + 2f = f + 2f( x) =
1 x
x
x
x

x

Ta có hệ điều kiện với f(x) nh sau:

1
1
2
2
f ( x) + 2 f x = x
f ( x) + 2 f x = x




2 x4


f
(
x
)
=


2
2
3x 2
f 1 + 2 f ( x) = 1
4 f ( x ) + 2 f 1 = 2


x

x2
x
x

Vậy công thức hàm số là f(x) =
Bài tập:
22

2 x4
3x 2

1
x


Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ
thị hàm số

Bài 1: Xác định biểu thức f(x) biết

a. f

x
2x
=
2 và f(1) = 0
x 1 ( x 1)


b. f

x
4 - 8x
=
với x 1 và f(1) = 0
2
3x 4 x + 1
x 1

10x- 4 - 5x2
x
=
c. f
và f(2) = -1
4 x ( x 2 + 4)
2 x

Bài 2: Xác định biểu thức f(x) và g(x) biết
f (2 x + 1) + 2 g ( 2 x + 1) = 2 x

a. x x
f 2 x + g x 1 = x




f (3 x 1) + g ( 6 x 1) = 3 x

b.

2
2
f ( x + 1) + x g ( 2 x + 3) = 2 x + x

DạNG 4: đồ THị HàM Số

1. Nhắc lại về đồ thị hàm số:
a. Định nghĩa: Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp các
điểm trên mặt phẳng toạ độ có toạ độ (x; f(x) ) với x TXĐ
b. Đồ thị: Hàm số bậc nhất y = ax + b (a 0) là một đờng
thẳng
Cách vẽ:
- Lấy 2 điểm có toạ độ thoả mãn công thức hàm số
Chẳng hạn A(0; b ) và B(-

b
; 0)
a

- Vẽ đờng thẳng đi qua A và B
c. Đồ thị hàm số bậc hai: y = ax2 + bx + c
Parabol(P) có:
b
;

2a 4a

+ Đỉnh D

23

(a 0) là


Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ
thị hàm số

+ Trục đối xứng: x =

b
2a

+ Bề lõm quay lên trên khi a > 0; Bề lõm quay xuống dới
khi a < 0
d. Đồ thị hàm giá trị tuyệt đối

(hình 1d)

y
x với x 0
- x với x 0

Chẳng hạn: y = x =

Đồ thị hàm số thuộc hai tia phân giác
của góc vuông I và II (hình1d)
0
x
e. Đồ thị phần nguyên: y = x trong đó x là ký hiệu
số nguyên lớn nhất không vợt quá x

+ Đồ thị hàm số y = x với 1 x < 3 có dạng bậc thang nh
y

(hình e1)
- 1 với - 1 x < 0
0 với 0 x < 1

y=
1 với 1 x < 2

2 với 2 x < 3

2
1

-1
x

0

1

2

3

4

-1

f. Nhận xét:
* Đồ thị hàm số y = f(x) và y = f(-x) đối xứng nhau qua
trục tung.
*Hàm số y = f( x ) có f(x) = f(-x) với mọi x nên có đồ thị
nhận trục tung làm trục đối xứng. Vì vậy khi vẽ chỉ cần:
+ Vẽ đồ thị y = f(x) với x 0
+ Lấy đối xứng phần vừa vẽ qua trục tung
24


Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ
thị hàm số

* y =x không phải là hàm số nên ta không yêu cầu học sinh vẽ
đồ thị hàm số mà chỉ cần vẽ đờng biểu diễn mối quan hệ.
2. Ví dụ:
*Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = x2 4x +3
+ TXĐ: x R
+ Tính biến thiên: Hàm số đồng biến với x > 2
Nghịch biến với x < 2
Có giá trị nhỏ nhất là y = -1 khi x = 2
+ Bảng giá trị:

y

x

...0

1

2

3

4...

3

y

...3

0

-1

0

3...

2
1
-1
x

0

1

2

3

4

-1

Nhận xét: Đồ thị hàm số là Parabol(P) có đỉnh D(2; -1)
đối xứng qua đờng thẳng x = 2, bề lõm quay lên trên
*Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y = 2x - x
+ Ta khử dấu giá trị tuyệt đối bằng cách xét các khoảng
giá trị của biến.

x với x 0
3x với x < 0

y = 2x - x =

y

+ Bảng giá trị:
x

...0

1

y

...3

1

1...
3...

-1

0

1
-1

+ Đồ thị:
25

x