Đề thi học sinh giỏi môn toán 7 năm học 2015 2016 trường chu mạnh chinh

tr−êng thcs
chu m¹nh Trinh

§Ò thi häc sinh giái cÊp tr−êng
n¨m häc 2015 - 2016
M«n: To¸n 7
Ngµy thi: 12 th¸ng 05 n¨m 2016
Thêi gian lµm bµi: 120 phót
------------------------------------------------------

Câu 1: (2.5 ñiểm)
2
10  131313 131313 131313 131313 
.x − 70 : 
+
+
+
 = −5
3
11  151515 353535 636363 999999 

a) Tìm x biết

b) Chứng minh rằng nếu a + 5b chia hết cho 7 với a; b ∈ Z thì 10a + b cũng
chia hết cho 7
Câu 2: (2.0 ñiểm)
a) Cho

x y
y z
2x + 3 y + 4z

=
và = . Tính giá trị biểu thức A =
(giả thiết A có
3 4
5 6
3x + 4 y + 5 z

nghĩa)
3
4

8 15 24
2499
+
+ ... +
. Chứng tỏ rằng B không phải là số
9 16 25
2500

b) Cho B = + +

nguyên
Câu 3: (2.0 ñiểm)
a) Cho hàm số f (x) xác ñịnh với mọi x ∈ R . Biết rằng với mọi x ≠ 0 ta ñều
1
có f (x) + 2.f   = x 2 . Tính f (2)
x

b) Cho hai ña thức : f ( x) = ( x − 1)( x + 3) và g ( x) = x3 − ax 2 + bx − 3
Xác ñịnh hệ số a, b của ña thức g(x) biết nghiệm của ña thức f(x) cũng là

nghiệm của ña thức g(x).
Câu 4: (2.5 ñiểm)
a) Cho tam giác ABC, gọi D là trung ñiểm của cạnh BC. Chứng minh rằng
AD <

AB + AC
2

b) Tam giác HIK có HIK = HKI = 360 . Trên tia phân giác của HIK lấy ñiểm N
sao cho IKN = 120 . Hãy so sánh ñộ dài của KN và KH
Câu 5: (1.0 ñiểm)
2

Cho biểu thức: C =

2 ( x − 1) + 1
x 2 − 2x+3

. Với giá trị nào của x thì biểu thức C có giá

trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ñó.
----------------------- Hết ----------------------* Ghi chú: Học sinh không ñược sử dụng máy tính cầm tay


tr−êng thcs
chu m¹nh Trinh

Câu

H−íng dÉn chÊm

§Ò thi häc sinh giái cÊp tr−êng
n¨m häc 2015 - 2016
M«n: To¸n 7
Ngµy thi: 12 th¸ng 05 n¨m 2016
-----------------------------------------------------Nội dung trình bày

2
10  131313 131313 131313 131313 
.x − 70 : 
+
+
+
 = −5
3
11  151515 353535 636363 999999 
2
780  13 13 13 13 
.x −
:  + + +  = −5
3
11  15 35 63 99 
2
780 13  2
2
2
2 
.x −
:  .
+
+

+
 = −5
3
11  2  3.5 5.7 7.9 9.11  

Thang
ñiểm

a) Ta có

2
780 13  1 1 1 1 1 1 1 1  
.x −
:
.  − + − + − + −  = −5
3
11  2  3 5 5 7 7 9 9 11  
2
780 13  1 1  
.x −
:
.  −  = −5
3
11  2  3 11  

1

2
780  13 8 
.x −

:  .  = −5
3
11  2 33 
2
.x − 45 = −5
3
x = 60

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

Vậy x=60

0,25

b) Ta thấy 5(10a + b) − (a + 5 b) = 50a + 5b − a − 5b = 49a ⋮ 7
mà a + 5b ⋮ 7 ⇒ 5(10a + b)⋮ 7 (*)
Do (5;7)=1 nên từ (*) suy ra 10a + b⋮ 7 (ñpcm)

0,25
0,25
0,5

a) Ta có

x y
x

y y z
y
z
x
y
z
= ⇒
=
; = ⇒
=
⇒
=
=
3 4
15 20 5 6
20 24
15 20 24

0,25

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
x
y
z 2x + 3 y + 4z 3x + 4 y + 5z
=
=
=
=
15 20 24 30 + 60 + 96 45 + 80 + 120
2 x + 3 y + 4 z 30 + 60 + 96 186

⇒ A=
=
=
3 x + 4 y + 5 z 45 + 80 + 120 245
⇒

2

0,25
0,5

b) Ta có
3 8 15 24
2499
+ + +
+ ... +
4 9 16 25
2500
1
1
1
1
1
= 1 − + 1 − + 1 − + 1 − + ... + 1 −
4
9
16
25
2500
1 

1 1 1 1
= 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 −  + + + + ... +

2500 
 4 9 16 25
49 SH
B=

0,25


1 1 1 1
1
+ 2 + 2 + 2 + ... + 2
2
2 3 4 5
50
1 1 1
1
1
1
1
1
1
Ta thấy 2 + 2 + 2 + ... + 2 <
+
+
+ ... +
= 1−
<1

2 3 4
50 1.2 2.3 3.4
49.50
50

Đặt C =

Mặt khác ta lại có

3

1 1 1
1
1
1
1
1
1 1
49
49 1
+ 2 + 2 + ... + 2 >
+
+
+ ... +
= − =
>
=
2
2 3 4
50

2.3 3.4 4.5
50.51 2 51 102 147 3
1
⇒ < C < 1 ⇒ 48 < B < 49 ⇒ B không phải là số nguyên (ñpcm)
3
1
a) Do với mọi x ≠ 0 ta ñều có f (x) + 2.f   = x 2 nên
x
1
+ Tại x=2 ta có: f (2 ) + 2 f   = 4
(1)
2
1
1
1
1
1
(2)
+ Tại x = ta có f   + 2 f ( 2 ) = ⇒ 2 f   + 4 f (2) =
2
4
2
2
2
−7
−7
Trừ vế với vế của (2) cho (1) ta có 3 f ( 2 ) =
⇒ f (2) =
2
6

0,25

0,25
0,25

0,25
0,25
0,5

b) Nghiệm của ña thức f ( x) = ( x − 1)( x + 3) là x = 1 và x = -3
Vì x = 1 và x = -3 cũng là nghiệm của ña thức g ( x) = x3 − ax 2 + bx − 3
Nên b – a = 2 (1) và 3a + b = -10 (2)
Từ (1) và (2) suy ra a = -3, b = -1

4

a) Trên tia ñối của tia DA lấy ñiểm E
sao cho DA=DE.
Ta có ∆ABD = ∆ECD(c.g.c) ⇒ AB = CE
Tam giác ACE có AE < CE + CA (BĐT tam giác)
⇔ AE < AB + AC (Do AB=CE)
⇔ 2.AD < AB + AC (Do AE=2AD)
⇔ AD <

AB + AC
2

(ñpcm)

0, 5
0,25
0,25

0,25
0,25
0,5


0,25
Trên tia IH lấy ñiểm M sao cho IM=IK . Dễ thấy IHsuy ra H nằm giữa I và M
∆IKM cân tại I có MIK = 360 ⇒ IKM = IMK =

1800 − 360
= 720
2

Ta lại có MHK = MIK + IKH = 360 + 360 = 720 (T/c góc ngoài tam giác)
⇒ IMK = MHK (= 720 ) ⇒ ∆HMK cân tại K ⇒ KH = KM
(1)
Xét ∆IMN và ∆IKN có


MIN = KIN ( gt )  ⇒ ∆IMN = ∆IKN (c.g.c)

IN : chung

⇒ MN = KN ⇒ ∆KNM cân tại N
(*)

0,25
0,25

IM = IK

Lại có NKM = IKM − IKN = 720 − 120 = 600 (**)
Từ (*) và (**) suy ra ∆NKM ñều ⇒ KN = KM
Từ (1) và (2) suy ra KN=KH (=KM)
Vậy KN=KH
2 ( x − 1) + 2  − 3
3

C= 
= 2−
2
2
( x − 1) + 2
( x − 1) + 2

0,25
0,5
(2)

2

C nhỏ nhất khi

5

3

( x − 1)

2

+2

⇒2–

3

( x − 1)

2

+2

( x − 1)

≥2–

Vậy, C nhỏ nhất bằng

lớn nhất
3

Vì (x – 1)2 + 2 ≥ 2 nên

0,25

2

+2

≤

0,25
3
2

3
1
Hay C ≥
2
3

1
tại x = 1
3

----------------------- Hết -----------------------

0,5