HSG Toán cấp huyện toán 9 2014 2015

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH

KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2014-2015
Khóa ngày 17 tháng 3 năm 2015

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN LỚP 9

SỐ BÁO DANH:……………..

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề gồm có 01 trang

Câu 1:(2.0 điểm)
a)

Rút gọn P =

x x − 2 x + 28
x −4
x +8
−
+
x−3 x −4
x +1 4 − x

(x ≥ 0, x ≠ 16)

b) Không sử dụng máy tính, chứng minh Q = 20142 + 20142.20152 + 20152 là số
nguyên.

Câu 2:(2.0 điểm)
a) Giải phương trình: x + 2 + 3 2 x − 5 + x − 2 − 2 x − 5 = 2 2
b) Cho phương trình x 2 + ax + b = 0 có hai nghiệm nguyên dương biết a, b là hai
số thỏa mãn 5a + b = 22.Tìm hai nghiệm đó.
Câu 3:(3,5 điểm)
Cho đường tròn (O; R) cố định có đường kính AB cố định và CD là một đường
kính thay đổi không trùng với AB. Tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại B cắt AC và
AD lần lượt tại E,F.
a) Chứng minh CA.CE + DA.DF = 4 R 2 .
b) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp trong một đường tròn.
c) Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD. Chứng minh điểm I nằm
trên một đường thẳng cố định.
Câu 4:(1,5 điểm)
Cho các số dương a, b, c thoả mãn a + b + c =2015. Chứng minh rằng:
a
b
c
+
+
≤ 1.
a + 2015a + bc b + 2015b + ca c + 2015c + ab
Dấu bằng xảy ra khi nào?
Câu 5:(1,0 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD có độ dài các cạnh là các số nguyên và bình phương độ
dài đường chéo chia hết cho diện tích của nó. Chứng minh ABCD là hình vuông.
--------------------HẾT----------------------


SỞ GD&ĐT
QUẢNG BÌNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2014 - 2015

Môn thi: Toán
(Khóa ngày 17 tháng 3 năm 2015)
HƯỚNG DẪN CHẤM
(Đáp án, hướng dẫn này có 4 trang)
Yêu cầu chung
* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yêu
cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.
* Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với
những bước giải sau có liên quan. Ở câu 3 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ
hình sai thì cho điểm 0.
* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm. Đối với điểm
thành phần là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25
điểm.
* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức
điểm của từng bài.
* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài.
Câu
1
a)

Nội dung

x x − 2 x + 28 − ( x − 4) 2 − ( x + 1)( x + 8)
Ta có: P =
( x + 1)( x − 4)
x x − 2 x + 28 − x + 8 x − 16 − x − x − 8 x − 8

=
( x + 1)( x − 4)
=

x x − 4x − x + 4
( x − 1)( x − 4)
=
= x −1
( x + 1)( x − 4)
( x + 1)( x − 4)

b)

Điểm
1,0 điểm
0,25
0,25
0,5
1,0 điểm

Q = 20142 + 2014 2.20152 + 20152
= 20142 + 20152 − 2.2014.2015 + 20142.20152 + 2.2014.2015
= (2014 − 2015) 2 + 20142.20152 + 2.2014.2015
= 20142.20152 + 2.2014.2015 + 1 = (1 + 2014.2015) 2 = 1 + 2014.2015

Vậy Q là số nguyên.

Trang: 2 - Đáp án Toán 9

0,5

0,25
0,25


2

1,0 điểm
0,25

5
a) ĐK: x ≥
2
x + 2 + 3 2x − 5 + x − 2 − 2x − 5 = 2 2
⇔ 2x + 4 + 6 2x − 5 + 2x − 4 − 2 2x − 5 = 4
⇔ 2x − 5 + 6 2x − 5 + 9 + 2x − 5 − 2 2x − 5 +1 = 4
⇔ ( 2 x − 5 + 3) 2 + (1 − 2 x − 5) 2 = 4
⇔| 2 x − 5 + 3 | + |1 − 2 x − 5 |= 4 ⇔ 2 x − 5 + 3+ |1 − 2 x − 5 |= 4
⇔|1 − 2 x − 5 |= 1 − 2 x − 5 ⇔ 1 − 2 x − 5 ≥ 0
5
2x − 5 ≤ 1 ⇔ ≤ x ≤ 3
2

0,25
0,25

a) Gọi x1 , x2 (x1 ≤ x2 ) là hai nghiệm nguyên dương của phương trình.
Ta có: x1 + x2 = −a; x1 x2 = b .
Khi đó : 5(− x1 − x2 ) + x1 x2 = 22 ⇔ x1 x2 − 5x1 − 5 x2 + 25 = 47

 x1



 x2
⇔ ( x1 − 5)( x2 − 5) = 47 ⇔ 
 x1

 x
 2


0,25

1,0 điểm
0,25

− 5 =1
− 5 = 47

 x1 = 6
⇔
− 5 = −47
 x2 = 52
− 5 = −1

0,5

Khi đó: a = – 58 và b = 312 thoả 5a + b = 22. Và phương trình có nghiệm
là x1 = 6; x2 = 52.

0,25

F

3,5 điểm

3

D

O

A

C

B

M

I

Trang: 3 - Đáp án Toán 9
E

0,5


Hình vẽ chỉ cần dùng để giải được câu a cho điểm tối đa.
a) Trong tam giác vuông ABE có: CA.CE = CB 2
Trong tam giác vuông ABF có: DA.DF = DB 2

Ta có:

CA.CE + DA.DF = CB 2 + DB 2 = CD 2 = 4 R 2

b) Ta có: ·ACD = ·ABD
·
·
·
·
= 900 ; DFB
+ DBF
= 900 ⇒ ·ABD = DFB
Mặt khác: ·ABD + DBF
.
·
·
·
Suy ra: ·ACD = DFB
⇒ ECD
+ DFE
= 1800
Vậy tứ giác CDFE nội tiếp.
c) I là giao điểm của trung trực CD và trung trực của EF, I là tâm đường
tròn ngoại tiếp tứ giác CDFE. Gọi M là trung điểm của EF. MI vuông
góc với EF nên MI song song với AB.
·
Ta có CAM
+ ·ACD = ·AEM + ·AFM = 900
Suy ra: AM vuông góc với CD nên AM song song với OI.

Do đó AOIM là hình bình hành nên IM=AO=R (không đổi).
Vậy I thuộc đường thẳng d cố định là đường thẳng song song với tiếp
tuyến tại B và cách tiếp tuyến này một khoảng bằng R.
4

Ta có:

0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25

1,5 điểm

2015a + bc = (a + b + c )a + bc = a(b + c ) + a 2 + bc

0,5

≥ a(b+c)+2a bc = a ( b + c ) 2 = a ( b + c )
Suy ra:
a +

a
≤
2015a + bc a +

a
a
a
=
=
a( b + c)
a( a + b + c)
a+ b+ c

Tương tự:
b
b
c
c
≤
;
≤
b + 2015b + ca
a + b + c c + 2015c + ab
a+ b+ c
Do đó:
a
b
c
+
+

≤1
a + 2015a + bc b + 2015 + ca c + 2015c + ab
2015
3
Trang: 4 - Đáp án Toán 9

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c =

0,5

0,25

0,25


5

1,0 điểm
Gọi a, b là hai cạnh của hình chử nhật ⇒ a, b ∈ N

(

*

)

2
2
Theo giả thiết ta có: a + b Mab

0,25

Đặt d=(a,b), ta có: a = xd ; b = yd với (x,y)=1, x, y ∈ N *

(

)

(

)

2 2
2 2
2
2
2
2
2
*
Suy ra: d x + d y Md xy ⇒ x + y Mxy ⇒ x + y = kxy , k ∈ N

Ta có: x 2 Mx, kxy Mx ⇒ y 2 Mx ⇒ y Mx (do ( x, y ) = 1) ⇒ y ≥ x
Tương tự: x ≥ y , suy ra x=y nên a=b.
Vậy ABCD là hình vuông.

Trang: 5 - Đáp án Toán 9

0,25
0,25

0,25