Lý thuyết xác suất và thống kê toán Chương 7 BAI GIANG DIEN TU XSTK

Chương 7. Lý thuyết kiểm định
§1: Khái niệm chung về kiểm định
Việc dùng kết quả của mẫu để khẳng định hay bác bỏ
một giả thiết H nào đó được gọi là kiểm định giả thiết
H. Khi kiểm định ta có thể mắc 1 trong 2 loại sai lầm
sau:
1. Sai lầm loại1: Là sai lầm mắc phải nếu ta bác bỏ H
trong khi
α Ta ký hiệu xác suất để mắc sai lầm
α H đúng.
này là và gọi là mức ý nghĩa.
2. Sai lầm loại 2: Là sai lầm mắc phải nếu ta công nhận
H trong khi H sai. Ta ký hiệu xác suất để mắc sai lầm
loại nay là B và gọi 1-B là lực kiểm định.
Trong cácαbài toán kiểm định ta sẽ xét sau này mức ý
nghĩa
là cho trước.

1


Giả thiết

Η : Ρ = Ρ0

Giả thiết đối lập: Η
này)

Ρ < Ρ 0 (thiếu)
Ρ > Ρ0

(thừa)
Ρ ≠ Ρ 0 (đối xứng-ta chỉ xét bài

§2: Kiểm định giả thiết về tỉ lệ
1. Bài toán 1 mẫu:
Bài toán: Ký hiệu tỉ lệ của 1 tổng thể là P(chưa biết). Từ
α lấy 1 mẫu kích thước n, có tỉ lệ mẫu f. Với
tổng thể
mức ý nghĩa hãy kiểm định giả thiết:

Η : Ρ = Ρ0

2


Giải:
Bước 1: Tra Ζα
f − Ρ0 ) n
(
Bước 2: Tính giá trị quan sát: U qs =
Ρ0 ( 1 − Ρ0 )

Bước 3: Kết luận:

U qs ≤ Ζα ⇒ H đúng

⇒ Ρ = Ρ0

U qs > Ζα ⇒ H sai

⇒ Ρ ≠ Ρ0

Ρ ≠ Ρ0

U qs < −Ζα ⇒ Ρ < Ρ 0
U qs > Ζα ⇒ Ρ > Ρ 0
3


2. Bài toán 2 mẫu
Bài toán: kí hiệu tỉ lệ của tổng thể 1, 2 Ρlà1 , Ρ 2
(cả 2 chưa
n1 , n2 ,có
biết).Từ các tổng thể lấy các mẫu kích thước
tỉ lệf = m1 , f = m2
α
1
2
n1
n2 . Với mức ý nghĩa , hãy kiểm
mẫu
định Η : Ρ = Ρ
1
2
Ζα
m1 m2
giả thiết:
−
n1
n2

Bước 1: U =
qs

Bước 2:

m1 + m2
n1.n2


m1 + m2 
1 −
÷
n1 + n2 


4


• Bước 3: Kết luận:

U qs ≤ Ζα ⇒H đúng ⇒ Ρ1 = Ρ 2
U qs > Ζα ⇒H sai

Ρ1 ≠ Ρ 2

⇒ Ρ1 ≠ Ρ 2

U qs < −Ζα ⇒ Ρ1 < Ρ 2
U qs > Ζα ⇒ Ρ1 > Ρ 2
5

Ví dụ 2.1:Nếu áp dụng phương pháp I thì tỉ lệ phế phẩm
là 6%, còn nếu áp dụng phương pháp II thì trong 100
phế phẩm có 5 phế phẩm. Vậy có thể kết luận áp
dụng phương pháp thứ II thì tỉ lệ phế phẩm ít hơn
phương pháp thứ I không? Hãy kết luận với mứa ý
nghĩa 0,05.Ρ = 0,06
0
Giải: Ký hiệu
là tỉ lệ phế phẩm của phương
pháp I ;
Η : Ρ = Ρ 0 = 0, 06, f = 0, 05
P là tỉ lệ phế phẩm của phương pháp II ( chưa biết)

Ζα = 1, 96

Bước 1: U

qs

(
=

f − Ρ0 )

n

Ρ0 ( 1 − Ρ0 )

0, 05 − 0, 06 ) .10
(
=
= −0, 42
0, 06.0, 94

Bước 2:
6


Bước 3: U qs < Ζ 0,05 = 1,96 ⇒ Ρ = Ρ 0 .Vậy tỉ lệ phế phẩm của
phương pháp II bằng với tỉ lệ của phương pháp I
• Ví dụ 2.2.Thống kê số phế phẩm của 2 nhà máy cùng
sản xuất một loại sản phẩm có bảng số liệu :
Nhà máy Số sản phẩm

Số phế phẩm

I

1200

20

II

1400

60

Với mức ý nghĩa 0.05 ,hãy xét xem tỷ lệ phế phẩm ở 2
nhà máy trên có như nhau hay không ?

7


Ρ1 -tỷ lệ phế phẩm của nhà máy I
Ρ 2 -tỷ lệ phế phẩm của nhà máy II

Bước 1

H : Ρ1 = Ρ 2

α = 0, 05 ⇒ Zα = 1,96

20
60
+
Bước 2
1200 1400
Uqs =
= −3,855
20 + 60 
80 
1
−

÷
1200.1400  2600 
Bước 3

Uqs < − Zα = −1,96 ⇒ Ρ1 < Ρ 2

Vậy tỷ lệ phẩm của nhà máy 1 thấp hơn nhà máy 2
8


§ 3.Kiểm định giả thiết về giá trị trung bình
1.Bài toán 1 mẫu:
Ký hiệu trung bình của 1 tổng thể là a (chưa biết).Từ
x mẫu
tổng thể lấy 1 mẫu kích thước n có trung bình
S 2mẫu
, và phương sai điều chỉnh
. Với mứcαý
nghĩa
H = a = a0
,hãy kiểm định giả thiết:
Giải:
σ2
Trường hợp1:
Zα Đã biết phương sai tổng thể
x − a0
n
B1:
U qs =
B2:
σ

(

)

9


B3.

U qs ≤ ZαH đúng:
U qs > Zα

a ≠ a0 :

H sai :

a = a0
a ≠ a0

U qs < − Zα ⇒ a < a0
U qs > Zα ⇒ a > a0

TH 2: Chưa biết phương sai tổng thể
B1:
Zα
B2:
x−a
n

U qs

B3:

(
=

U qs ≤ Zα
U qs > Zα

0

σ 2 , n ≥ 30

)

S

H đúng:
H sai:

a = a0
a ≠ a0
10


a ≠ a0

U qs < − Zα ⇒ a < a0

U qs > Zα ⇒ a > a0
.

2
σ
, n < 30
TH3: Chưa biết phương sai tổng thể
n −1
B1. Tα ( )
x − a0
n
Tqs =
B2:
S

(

B3:Kết luận

)

Tqs ≤ Tα ( n −1) H đúng a = a0
Tqs > Tα

( n −1)

a ≠ a0

H sai

a ≠ a0

Tqs < −Tα ( n −1) ⇒ a < a0

Tqs > Tα ( n −1) ⇒ a > a0
11


.Ví

dụ 3.1. Trọng lượng (X) của một loại sản phẩm do nhà máy sản
xuất ra là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với độ lệch
chuẩn là
,trọng lượng trung bình là 50kg. Nghi ngờ hoạt
σ đổi
= 1kg
động không bình thường làm thay
trọng lượng trung bình của
sản phẩm người ta cân thử 100 sản phẩm và thu được kết quả
sau:

Trọng lượng sản phẩm(kg)

48

49

50

51

Với mức ý nghĩa 0.05,hãy kết luận về nghi ngờ nói trên.

Số lượng sản phẩm

10

60

20

5

52
5

12


. Giải.

Vì σ = 1 nên đây là trường hợp 1

x = 49,35
U qs = ( 49,35 − 50 ) 100 = −6,5 < Z 0,05 = −1,96
⇒ a < a0 = 50
Vậy máy đã hoat động không bình thường làm giảm
trọng lượng trung bình của sản phẩm.

13


Ví dụ 3.2.
.Mức

hao phí xăng(X) cho một loại xe ô tô chay trên
đoạn đường AB là một đại lượng ngẫu nhiên có phân
phối chuẩn có kỳ vọng là 50 lít. Nay do đường được
tu sửa lại, người ta cho rằng hao phí trung bình đã
giảm xuống. Quan sát 36 chuyến xe chạy trên đường
AB ta thu được bảng số liệu sau :

Mức hao phí(lít)
Số chuyến xe ni

48,5-49,0 49,0-49,5 49,5-500
10

Với mức ý nghĩaα = 0, 05

11

10

500-505

505-510

4

20

hãy cho kết luận về ý kiến trên.
14

a mức hao phí xăng khi sửa lại đường
a0 mức hao phí xăng khi chưa sửa lại đường

H : a = a0
Z 0,05 = 1,96
x = 49, 416
S = 0,573

U qs

x−a )
(
=
0

n

49, 416 − 50 )
(
=

36

S
0,573
= −6,115 < − Zα = −1,96

⇒ a < a0

Vậy mức hao phí xăng trung bình đã giảm .
15


.Ví dụ 3.3. Định mức để hòan thành 1 sản phẩm là 1,45
phút. Có nên thay đổi định mức không,nếu theo dõi thời
gian hoàn thành của 25 công nhân,ta có bảng số liệu
sau:
Thời gian sản xuất
một sản
phẩm(phút)
Số công nhân
tương ứng ( ni )

10-12

12-14

14-16

1-18

18-20

2

6

10

4

3

Hãy kết luận với mức ý nghĩa 0.05 biết rằng thời gian hoàn
thành một sản phẩm (X) là một đại lượng ngẫu nhiên có
phân phối chuẩn.

16


H : a = a0
a0 = 14, 25 là định mức cũ ,a là năng suất trung bình
mới
(24)

. Giải

T0.05 = 2, 064

Tqs =

( 15 − 14,5)
2, 226

25

= 1,118 < 2.046 ⇒ a = a0

Vậy không nên thay đổi định mức.

17


2. Bài toán 2 mẫu:
Kí hiệu trung bình của tổng thể 1,2 làa1, a2
( cả hai
chưa
n1 , n2
2
biết. Từ các tổng
có
x1 ,thể
x2 lấy các mẫu kích thước
S 21 , S
2
α và phương sai hiệu chỉnh
H : amẫu
trung bình mẫu
1 = a2
Với mức ý nghĩa
,hãy kiểm định giả thiết:
σ 12 , σ 2 2
Trường hợp1.
Zα Đã biết phương sai tổng thể
B1:
B2:

U qs =

x1 − x2

σ σ
−
n1 n2
2
1

2
2

18


B3. Kết luận
.

H đúng: a1 = a2
a1 ≠ a2
U qs > Zα ⇒ H sai
U qs ≤ Zα ⇒

U qs < − Zα ⇒ a1 < a2
U qs > Zα ⇒ a1 > a2
2
2
σ
,
σ

TH2: Chưa biết
1
2 , ( n1 & n2 ≥ 30 )

B1:

Zα

B2:

U qs =

x1 − x2
S12 S 22
+
n1 n2
19


2
2
σ
,
σ
TH3: Chưa biết 1 2 ,

B1.
B2.

Tα

( n1 + n2 − 2 )

Tqs =

n1 ∨ n2 < 30

x1 − x2
S12
S 22
+
n1
n2

Tqs ≤ Tα ⇒ H đúng

a1 = a2

Tqs > Tα ⇒ H sai

a1 ≠ a2

Tqs < −Tα ( ) ⇒ a1 < a2
Tqs > Tα ( ) ⇒ a1 > a2
20


( n1 + n2 − 2 )

n1 + n2 − 2 > 30 ⇒ T2

≈ Zα
Quy ước:Nếu
Ví dụ 3.4: Ngườì ta thí nghiệm 2 phương pháp chă nuôi
gà khác nhau, sau 1 tháng kết quả tăng trọng như sau:
Phương pháp Số gà được
theo dõi

Mức tăng trọng
trung bình (kg)

Độ lệch tiêu chuẩn

I

100

1,2

0,2

II

150

1,3

0.3

Với mức ý nghĩa 0.05 có thể kết luận phương pháp II
hiệu quả hơn phương pháp I không?

21


.
Giải:

a1 - Mức tăng trong trung bình của phương pháp I
a2 -Mức tăng trọng trung bình của phương pháp II

H : a1 = a2
zα = 1,96

1, 2 − 1,3
= −3,16 < − Zα ⇒ a1 < a2
0, 04 0, 09
+
100 150
Vậy phương pháp 2 hiệu quả hơn phương pháp 1
U qs =

22


.Ví dụ 3.5:Tương tự ví dụ trên nhưng thay bảng số liệu
sau
n1 = 10, n2 = 15, δ 2 = 0,3
x1 = 1, 2, x2 = 1,3
Tqs =

1, 2 − 1,3

0, 22 0,32
+
10
15
⇒ a1 = a2

= −1 < T0,05( 23) = 2, 069

Vậy hai phương pháp hiệu quả như nhau.

23


§4. Kiểm định giả thiết về phương sai
Bài toán: kí hiệu phương sai cuả tổng thểσlà ,từ tổng
thể lấy 1 mẫu kích thước n có phương sai hiệu chỉnh
S 2 mẫu
: σ 2 thiết:
= σ 02
, với mứcαý nghĩa ,hãy kiểm địnhHgiả
2
2
χ
(
n
−
1)
<
χ

B1:
α
α ( n − 1)
2

1−

B2:

χ qs2

2

2

n − 1) .S 2
(
=

σ 02

B3:Kết luận: χ12− α (n − 1) ≤ Χ qs 2 ≤ χ α2 (n − 1) ⇒ σ 2 = σ 2 0
2

2

Χ qs 2 < χ 2 α (n − 1) ⇒ σ 2 < σ 2 0
1−

2

χ qs2 > χ α2 (n − 1) ⇒ σ 2 > σ 2 0
2

24


Ví dụ 4.1.
Chọn ngẫu nhiên 27 vòng bi cùng loại thì thấy độ lệch
trung bình S=0.003. Theo số liệu quy định thì độ lệch
chuẩn cho phép không vượt quá 0.0025. Với mức ý
nghĩa 0.05, hãy cho kết luận?

25