Trạng thái cơ bản ngưng tụ bose einstein hai thành phần phân tách yếu với điều kiện biên robin

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

HÀ THỊ LY

TRẠNG THÁI CƠ BẢN NGƯNG TỤ
BOSE-EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH YẾU
VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2017


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

HÀ THỊ LY

TRẠNG THÁI CƠ BẢN NGƯNG TỤ
BOSE-EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH YẾU
VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. Nguyễn Văn Thụ

HÀ NỘI, 2017

LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc nhất tới TS. Nguyễn Văn Thụ, người đã định hướng chọn đề tài và tận
tình hướng dẫn em để em có thể hoàn thành khóa luận này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô đã giảng dạy
em trong suốt bốn năm qua, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên nghành Vật lý lý
thuyết và Vật lý toán cùng toàn thể các thầy cô trong Khoa Vật lý Trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2, đã giảng dạy và trang bị cho em những kiến thức cơ bản
trong học tập, nghiên cứu khóa luận cũng như công việc sau này.
Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã động
viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá trình học tập để em hoàn
thành khóa luận này. Trong quá trình nghiên cứu vì thời gian có hạn và bước đầu
làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không thể tránh khỏi
những thiếu xót. Vì vậy, em rất mong nhận được sự đóng góp của các quý thầy
cô và các bạn để đề tài này được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017
Sinh viên

HÀ THỊ LY


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp “Trạng thái cơ bản ngưng tụ Bose – Einstein hai
thành phần phân tách yếu với điều kiện biên Robin” được hoàn thành dưới sự
hướng dẫn nhiệt tình và nghiêm khắc của TS. Nguyễn Văn Thụ.
Tôi xin cam đoan đề tài này là kết quả nghiên cứu của tôi và không trùng
với bất kì kết quả nghiên cứu của tác giả nào khác. Trong khi nghiên cứu tôi đã

kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017
Sinh viên

HÀ THỊ LY


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ................................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu .......................................................................................... 2
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ...................................................................... 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ......................................................................................... 2
5. Phương pháp nghiên cứu .................................................................................... 2
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƯNG TỤ BOSE –
EINSTEIN ............................................................................................................. 4
1.1. Hệ hạt đồng nhất ........................................................................................... 4
1.2. Thống kê Bose - Einstein.............................................................................. 5
1.3. Tình hình nghiên cứu về ngưng tụ Bose - Einstein .................................... 14
1.4. Thực nghiệm về ngưng tụ Bose – Einstein................................................. 17
1.4.1. Ngưng tụ Bose – Einstein đầu tiên của nguyên tố erbium ......................... 17
1.4.2. Loại ánh sáng đột phá về vật lý ................................................................. 19
1.4.3. Các nhà Vật lý khẳng định sự tồn tại của trạng thái ngưng tụ polartion .. 21
1.4.4. Chất siêu dẫn mới ...................................................................................... 24
CHƯƠNG 2. TRẠNG THÁI CƠ BẢN NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN
HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH YẾU VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN 26
2.1. Phương trình Gross – Pitaevskii ................................................................. 26
2.1.1. Phương trình Gross – Pitaevskii phụ thuộc vào thời gian ...................... 26
2.1.2. Phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian ................ 27
2.2. Gần đúng parabol kép (Double parabola approximation - DPA) ................. 30

2.3. Trạng thái cơ bản trong gần đúng parabol kép, giải phương trình với điều
kiện biên Robin .................................................................................................... 32


KẾT LUẬN ......................................................................................................... 37
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 38


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Albert Einstein là nhà vật lý lý thuyết người Đức, người đã phát triển
thuyết tương đối tổng quát một trong hai trụ cột của vật lý hiện đại. Mặc dù
ông được biết đến nhiều nhất qua phương trình về sự tương đương giữa năng
lượng - khối lượng E = mc2 nhưng ông lại được trao giải Noben vật lý năm
1921 cho những cống hiến của ông đối với vật lý lý thuyết, và đặc biệt cho sự
khám phá ra định luật của hiệu ứng quang điện.
Khi bước vào sự nghiệp của mình Einstein đã nhận ra được cơ học
Newton không còn có thể thống nhất các định luật của cơ học cổ điển với các
định luật của trường điện từ. Từ đó ông đã phát triển thuyết tương đối đặc
biệt, mở rộng nguyên lí tương đối cho cả trường hấp dẫn. Ông tiếp tục nghiên
cứu các bài toán của cơ học thống kê và lý thuyết nguyên tử, trong đó đưa ra
những giải thích về lý thuyết và sự chuyển động của các hạt.
Ý tưởng về BEC (Bose - Einstein condesation) bắt đầu từ năm 1924 khi
nhà lý thuyết người Ấn Độ Satyendra Nath Bose suy ra định luật Planck cho
bức xạ của vật đen khi coi photon như một chất khí của nhiều hạt đồng nhất.
Satyendra Nath Bose chia sẻ ý tưởng của mình với Einstein và hai nhà khoa
học đã tổng quát hóa lý thuyết của Bose cho một khí lý tưởng các nguyên tử
và tiên đoán rằng các nguyên tử bị làm đủ lạnh, bước sóng của chúng trở
thành lớn đến mức chồng lên nhau. Các nguyên tử mất nhận dạng các hạt
nhân và tạo nên một trạng thái lượng tử vĩ mô hay nói cách khác là một siêu

nguyên tử- tức là BEC. Mãi đến năm 1980 khi kỹ thuật laser đã đủ phát triển
để làm siêu lạnh các nguyên tử đến nhiệt độ rất thấp thì BEC mới được thực
hiện.

1


Năm 1995 trạng thái ngưng tụ Bose- Einstein được tạo ra đầu tiên trên
thế giới tại phòng thí nghiệm JILA (Đại học Colorado cùng Viện Tiêu Chuẩn
và Công nghệ Quốc Gia NTST) từ những nguyên tử lạnh được làm siêu lạnh
trong một bẫy từ sử dụng laser. Điểu này có ý nghĩa lớn là tạo nên một dạng
vật chất mới trong đó các hạt bị giam chung trong trạng thái ở năng lượng
thấp nhất, mở ra nhiều triển vọng trong nghiên cứu vật lý. Những nghiên cứu
này đã và đang thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà Vật lý trên thế giới.
Chính vì lý do này mà em chọn đề tài “ Trạng thái cơ bản của ngưng
tụ Bose- Einstein hai thành phần phân tách yếu với điều kiện biên
Robin” làm đề tài nghiên cứu của mình.

2. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở lý thuyết về ngưng tụ Bose - Einstein nghiên cứu các trạng
thái cơ bản của của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần phân tách yếu với
điều kiện biên Robin.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
 Các phương trình Gross- Pitaevskii.
 Nghiên cứu các trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành
phần phân tách yếu với điều kiện biên Robin.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các trạng thái cơ bản trong ngưng tụ Bose Einstein hai thành

phần phân tách yếu với điều kiện biên Robin trên cơ sở thống kê BoseEinstein, phương trình Gross- Pitaevskii.

5. Phương pháp nghiên cứu
 Đọc tài liệu có liên quan.

2


 Sử dụng các kiến thức trong Vật lý thống kê, cơ học lượng tử và các
phương pháp giải tích toán học.
 Sử dụng gần đúng parabol kép.
 Giải phương trình và về hình bằng phần mềm Mathematica.
 Phương pháp đàm thoại trao đổi với giáo viên.

3


CHƯƠNG 1
TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN
1.1. Hệ hạt đồng nhất
Xét một hệ N hạt chuyển động phi tương đối tính. Trong trường hợp
này toán tử Hamilton có thể viết dưới dạng
N p
ˆ i2
ˆ
ˆ
H 
 Vˆ  r1, r2 ,..., rN   W,
i 1 2mi

(1.1)

trong đó Vˆ là toán tử thế năng tương tác giữa các hạt, nó là hàm của tọa độ
của tất cả các hạt,

là toán tử đặc trưng cho tương tác spin – quỹ đạo, tương

tác giữa các spin của các hạt và thế năng của trường ngoài,

là toán tử xung

lượng, m là khối lượng của hạt.
Hàm sóng của phương trình Schrodinger
 

 Hˆ  1,2,..., N , t   0,
i
 t


(1.2)

với toán tử Hamilton (1.1) là hàm của thời gian, của tọa độ không gian và spin
của các hạt 1, 2, 3,…, N .
Nếu các hạt có các đặc trưng như điện tích, khối lượng, spin,…không
phân biệt được với nhau thì chúng ta có một hệ N hạt đồng nhất. Trong một
hệ như thế, làm thế nào có thể phân biệt được hai hạt với nhau? Trong vật lý
học cổ điển đối với trường hợp tương tự người ta có thể phân biệt các hạt theo
các trạng thái của chúng, nghĩa là nêu ra các tọa độ và xung lượng của từng
hạt. Nhưng biện pháp này không thể áp dụng được trong cơ học lượng tử.

Chẳng hạn hai electron ở thời điểm đầu có thể phân biệt được bằng cách đặt
chúng ở hai hố thế khác nhau, cách nhau bởi một rào thế, thì do hiệu ứng
đường hầm, theo thời gian, các electron có thể trao đổi các trạng thái cho
nhau và việc phân biệt hai electron với nhau sẽ mất hết ý nghĩa.
Tính không phân biệt được các hạt đồng nhất theo các trạng thái trong cơ
4


học lượng tử dẫn tới nguyên lý về tính đồng nhất:
“Trong hệ các hạt đồng nhất chỉ tồn tại những trạng thái không thay đổi
khi đổi chỗ các hạt đồng nhất cho nhau”[1].
Dựa vào tính chất nội tại của các hạt người ta chia hệ hạt đồng nhất
thành hai nhóm cụ thể là:
+ Hệ fermion: hệ này bao gồm các hạt fermi, đó là các hạt có spin bán
1 3
nguyên ( , ,... ); ví dụ như electron, các nucleon,… Hệ này bị chi phối bởi
2 2

nguyên lý loại trừ Pauli: “Hai fermion cùng loại không bao giờ được tìm thấy
ở tại cùng một trạng thái lượng tử”. Nguyên lý này được rút ra từ tính phản
đối xứng của hàm sóng trên các fermion.
+ Hệ boson: hệ này bao gồm các hạt bose, đó là các hạt có spin nguyên;
ví dụ như photon,

 - meson, K – meson… Hệ này không bị chi phối bởi

nguyên lý loại trừ Pauli, các boson có thể tìm thấy ở cùng một trạng thái
lượng tử.
Do hệ boson tuân theo thống kê Bose – Einstein nên người ta đã áp dụng
thống kê Bose – Einstein tìm được tính chất điển hình của boson là ngưng tụ

Bose – Einstein trong đó nhiều hạt giống nhau đóng vai trò như nhau như một
hạt, điều mà các fermion nằm tại các vị trí khác nhau không làm được.
1.2. Thống kê Bose - Einstein
Đối với các hệ hạt đồng nhất, chúng ta không cần biết cụ thể hạt nào ở
trạng thái nào mà chỉ cần biết trong mỗi trạng thái đơn hạt có bao nhiêu hạt.
Xuất phát từ công thức chính tắc lượng tử [2],
Wk 

1
  Ek 
exp 
 gk ,
N!
  

trong đó gk là độ suy biến.
Nếu hệ gồm các hạt không tương tác thì ta có

5

(1.3)


Ek 



 nl l ,

(1.4)

l 0

ở đây,  l là năng lượng (trị riêng của toán tử Haminton) của một hạt riêng lẻ
của hệ, nl là số chứa đầy tức là số hạt có cùng năng lượng  l (số hạt nằm trên
cùng mức năng lượng

.

Số hạt trong hệ có thể nhận giá trị từ 0   với xác suất khác nhau. Độ
suy biến gk trong (1.3) sẽ tìm được bằng cách tính số các trạng thái khác
nhau về phương diện Vật lý ứng với cùng một giá trị Ek , đó chính là số các
hoán vị (về phương diện tọa độ) của hạt tương ứng với các trạng thái mới (về
phương diện vật lí). Vì số hạt trong hệ không phải là bất biến nên tương tự
như trường hợp thống kê cổ điển thay thế cho phân bố chính tắc lượng tử ta
có thể áp dụng phân bố chính tắc lớn lượng tử hay phân bố Gibbs suy rộng.
Phân bố chính tắc lớn lượng tử có dạng



1
W  n0 , n1,... 
exp    N   nl  l  g k ,
N!
l 0



trong đó N 



 nl ,

(1.5)

 là thế nhiệt động chính tắc lớn,  là thế hóa.

l 0

Sở dĩ có thừa số

1
xuất hiện trong công thức (1.5) là vì có kể đến tính
N!

đồng nhất của các hạt và tính không phân biệt của các trạng thái mà ta thu
được do hoán vị các hạt.
Kí hiệu
(1.6)
khi đó (1.5) được viết lại như sau



    nl     l  


l 0
W  n0 , n1,...  exp 
 G  n0 , n1,... .







6

(1.7)


Từ đây ta có hai nhận xét về công thức (1.7) như sau:
Một là vế phải của (1.7) có thể coi là hàm của các nl nên ta có thể đoán
nhận công thức đó như là xác suất để cho có n0 hạt nằm trên mức  0 , nl hạt
nằm trên mức  l , nghĩa là, đó là xác suất chứa đầy. Do đó nhờ công thức này
ta có thể tìm được số hạt trung bình nằm trên các mức năng lượng

(1.8)
Hai là, sở dĩ đại lượng G  n0 , n1,... xuất hiện vì ta kể đến khả năng xuất
hiện các trạng thái vật lý mới hoán vị (về tọa độ) các hạt. Đối với hệ boson và hệ
fermion, tức là hệ được mô tả bằng hàm sóng đối xứng và phản đối xứng, thì các
phép hoán vị đều không đưa đến một trạng thái vật lý mới nào cả, bởi vì khi đó
hàm sóng của hệ sẽ chỉ hoặc không đổi dấu, hoặc đổi dấu nghĩa là diễn tả cùng
một trạng thái lượng tử. Do đó đối với các hạt boson và hạt fermion ta có

Nhưng trong thống kê Macxoen – Bonxoman, khi mà các hạt là khác biệt
nhau về phương diện hoán vị tọa độ (tức là khi các hạt hoán vị có thể xuất hiện
trạng thái mới) ta có
1
.

n0 !n1!...

G  n0 , n1,... 



(1.9)

Tìm gk
Trong phân bố Maxwell – Boltzmann tất cả các phép hoán vị khả dĩ của

tọa độ của các hạt có cùng một năng lượng  l . Do đó số tổng cộng các trạng
thái khác nhau về phương diện vật lý sẽ bằng số hoán vị tổng cộng N ! chia

7


cho số hoán vị trong các nhóm có cùng năng lượng tức là chia cho n0 !n1!...
Khi đó
gk 

N!
,
n0 !n1!...

(1.10)

thay giá trị của gk vào (1.6) ta thu được (1.9). Để tính trị trung bình của các
số chứa đầy (số hạt trung bình nằm trên mức năng lượng khác nhau) ta gắn
cho đại lượng  trong công thức (1.7) chỉ số l , tức là ta sẽ coi hệ ta xét hình

như không phải chỉ có một thế hóa học  mà ta có cả một tập hợp thế hóa
học l . Và cuối phép tính ta cho l   .
Tiến hành phép thay thế như trên ta có thể viết điều kiện chuẩn hóa
như sau
 
 

 ...W  n0 , n1,...  exp    Z  1,
n0 n1

(1.11)

với


  nl  l   l  


Z   ...exp  l 0
 G  n0 , n1,...,

n0 n1





(1.12)

   ln Z .

(1.13)

nghĩa là
Ta xét đạo hàm của  theo l dựa vào (1.12) và (1.13)





n







l
l
l 

1 Z


l

0
 
  ...nk .exp 

 G  n0 , n1,....
l
Z l

n0 n1





(1.14)

Nếu trong biểu thức (1.14) ta đặt l   thì theo (1.8) vế phải của công

8


thức (1.14) có nghĩa là giá trị trung bình của số chứa đầy nl tức là ta thu được
(1.15)
Đối với hệ hạt Boson, số hạt trên các mức có thể có trị số bất kì (từ

0   ) và G  n0 , n1,...  1 do đó theo (1.11) ta có


  nl  l   l    
 l   l


Z   ...exp  l 0
    exp 


 
n0 n1

 l 0 n 0




 
l 0

 
 n
 

1
,
 l   l 
1  exp 

  

(1.16)

khi đó


    l 
    ln 1  exp  l

.



l 0 

(1.17)

Theo (1.15) ta tìm được phân bố của các số chứa đầy trung bình
nl 

1
,
l   
exp 
 1
  

(1.18)

ta có (1.18) là công thức của thống kê Bose – Einstein. Thế hóa học  trong
công thức (1.18) được xác định từ điều kiện


 nl  N .

(1.19)

l 0

Đối với khí lí tưởng, theo công thức của thống kê Bose – Einstein, số hạt
trung bình có năng lượng trong khoảng từ     d  bằng

9


dn    

dN   
,
   
exp 
1
  

(1.20)

trong đó dN   là số các mức năng lượng trong khoảng     d  .
 Tìm dN  
Theo quan điểm lượng tử, các hạt boson chứa trong thể tích V có thể
xem như các sóng dừng de Broglie. Vì vậy có thể xác định dN   bằng cách
áp dụng công thức

dN  k  

k 2V
2 2

dk ,

cho ta số các sóng dừng có chiều dài (mô đun) của véctơ k từ k  k  dk

dN  k  

k 2dk
2 2

V.

(1.21)

Theo hệ thức De Broglie giữa xung lượng p và véc tơ sóng k

p  k,

(1.22)

khi đó (1.21) có thể được viết dưới dạng

dN  p  

p 2dp
2

2 3

V.

Đối với các hạt phi tương đối tính tức là hạt có vận tốc
suy ra

p 2  2m ,
p 2dp  2m3 d  ,

do đó (1.23) có dạng

10

(1.23)

p2
thì  
2m


dN    

2m3V
2

2 3

 d .

Vì các hạt có thể có các định hướng spin khác nhau nên số trạng thái khả
dĩ ứng với cùng một giá trị của spin s của hạt g  2s  1 . Do đó, số các mức
năng lượng trong khoảng     d  là
dN   

2m3Vg
2 2

3

 d .

(1.24)

Theo (1.20) số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng     d  là

dn    

2m3Vg
2 2

3

 d
.
   
exp 
1
  

(1.25)

Vì số hạt toàn phần là N nên ta có phương trình sau


N   dn    
0

2m3Vg 
2

2 3





0

 

e

kT

d .

(1.26)

1

Phương trình này về nguyên tắc cho ta xác định thế hóa học  . Ta xét
một số tính chất tổng quát của thế hóa học  đối với khí Bose lí tưởng. Đầu
tiên ta chứng minh rằng

  0.

(1.27)

Thực vậy, số hạt trung bình dn    chỉ có thể là một số dương, do đó, theo
(1.25), điều kiện đó chỉ thỏa mãn khi mẫu số ở (1.25) luôn luôn dương (nghĩa

 
là khi   0, để cho exp 
 luôn luôn lớn hơn 1 với mọi giá trị của  ).
  
Tiếp theo, chúng ta có thể chứng minh rằng,  giảm dần khi nhiệt độ tăng
lên. Thực vậy, áp dụng qui tắc lấy đạo hàm các hàm ẩn vào (1.26) ta có:

11


N

  T
N
T




 

1

 kT 2

0






 
 
 

d
 T      d
T 0   
 kT

0
kT  1
e

1


e









d






 0   


 d





e kT  1
 kT

0
1
e

    e kT
  

kT
e

 1





2

 d



0



 





1
T

 

    e kT
  


kT
e
 1







0

 d

.

 



1
e kT
 d
 kT   
2


0
 e kT  1






2

e

e



kT

 


 1



kT

2

(1.28)

 d

Nhưng do (1.26) nên     0, do đó biểu thức dưới dấu tích phân ở vế

phải (1.28) luôn luôn dương với mọi giá trị của  , vì vậy
chất   0 và


 0 . Từ các tính
T


 0 của hàm  ta thấy khi nhiệt độ giảm thì  tăng (từ giá
T

trị âm tăng đến giá trị lớn hơn “nhưng vẫn là âm”) và tới nhiệt độ T0 nào đó

 sẽ đạt giá trị cực đại bằng không  max  0  .
 Xác định nhiệt độ T0
Chọn   0 và T  T0 . Khi đó phương trình (1.26) trở thành


N   dn    
0

Đặt x 


kT0

2m3Vg 
2 2

suy ra

12

3



0




d .

e kT0  1


N



m3/2Vg
2

x

kT0 kT0 

dx
e


1
0

m3/2Vg  kT0 

x

3/2
mkT0  Vg  x

 e x  1dx 
 e x  1dx.
2 2 3

3/2 

2 2



Mà ta biết

2 3



3

x

0

(1.29)

0

x

 e x  1dx  2.31, nên từ (1.29) và 0  kT0 , ta được

0

 2 4 

1/3 2

0

N
T0 

 
k  2.31g 2/3 mk  V 

2/3

(1.30)

.

Đối với tất cả các khí bose quen thuộc thì nhiệt độ đó là rất nhỏ. Chẳng
hạn như đối với 4He [2], ngay cả với khối lượng riêng của chất lỏng Hêli vào
cỡ 120kg/m3 ta được T0  2,190 K . Tuy nhiên, sự tồn tại nhiệt độ T0  0 có ý
nghĩa rất quan trọng. Để hiểu ý nghĩa của nó ta xét khoảng nhiệt độ 0  T  T0 .
Khi giảm nhiệt độ xuống tới T0 thì thế hóa học  tăng tới giá trị max  0 ,
mà


 0 nên  không thể giảm nữa, do đó trong khoảng nhiệt độ
T

0  T  T0 thì   0 .

Với nhiệt độ T  T0 số hạt có năng lượng là
N   0 

2m3Vg 
2

2 3



0




3/2
mkT  Vg  x


d 
dx  N 

2 3
x
2
e 1

(1.31)

0

e kT  1

So sánh (1.29) và (1.31) ta thấy
T 
N   0   N  
 T0 

3/2

N  T 
hay
 
N  T0 

3/2

.

Vì số hạt toàn phần trong hệ là không đổi, nên kết quả trên phải được đoán
13


nhận vật lý một cách đặc biệt. Khi T  T0 thì N   N chỉ ra rằng số hạt toàn
phần N chỉ có một phần số hạt N  có thể phân bố theo các mức năng lượng
một cách tương ứng với công thức (1.20), tức là
dn    

 d
N
 d

.
3
3/2

 


exp    1  2.310 exp    1
 
 

m3/2Vg
2

2

(1.32)

Các hạt còn lại N  N  , cần phải được phân bố như thế nào đó khác đi,
chẳng hạn như tất cả số đó nằm trên mức năng lượng thấp nhất, nghĩa là chúng
hình như nằm ở một pha khác mà người ta quy ước gọi là pha ngưng tụ.
Như vậy ở các nhiệt độ thấp hơn T0 , một phần các hạt của khí bose sẽ
nằm ở mức năng lượng thấp nhất (năng lượng không) và các hạt còn lại sẽ

1
được phân bố trên các mức khác theo định luật  /
. Hiện tượng mà ta
e 1
vừa mô tả, trong đó một số hạt của khí bose chuyển xuống mức “năng lượng
không” và hai phần của khí bose phân bố khác nhau theo năng lượng được gọi
là sự ngưng tụ Bose. Ở nhiệt độ không tuyệt đối ( T  0 ) tất cả các hạt bose sẽ
nằm ở mức không.
1.3. Tình hình nghiên cứu về ngưng tụ Bose - Einstein
Ngưng tụ Bose – Einstein là một trạng thái vật chất của khí boson loãng
bị làm lạnh đến nhiệt độ rất gần độ không tuyệt đối (hay rất gần giá trị 0 K
hay -2730C). Dưới những điều kiện này, một tỉ lệ lớn các boson tồn tại ở trạng
thái lượng tử thấp nhất, tại điểm mà các hiệu ứng lượng tử trở lên rõ rệt ở
mức vĩ mô. Những hiệu ứng này được gọi là hiện tượng lượng tử mức vĩ mô.
Hiện tượng này được dự đoán bởi Einstein vào năm 1925 cho các nguyên tử
với spin toàn phần có những giá trị nguyên. Dự đoán này dựa trên ý tưởng về
một phân bố lượng tử cho các photon được đưa ra bởi Bose trước đó một năm
để giải thích phổ phát xạ và hấp thụ của các vật đen tuyệt đối. Einstein sau đó

14

mở rộng ý tưởng của Bose cho hệ hạt vật chất. Những nỗ lực của Bose và
Einstein cho kết quả về khái niệm khí bose trong khuôn khổ lý thuyết thống
kê Bose – Einstein, miêu tả phân bố thống kê của những hạt đồng nhất với
spin nguyên, mà sau này Paul Dirac gọi là các boson. Các hạt boson bao gồm
photon cũng như các nguyên tử Heli-4

được phép tồn tại ở cùng trạng

thái lượng tử như nhau. Einstein chứng minh rằng khi làm lạnh các nguyên tử
boson đến nhiệt độ rất thấp thì hệ này tích tụ lại (hay ngưng tụ) trong trạng
thái lượng tử thấp nhất có thể và tạo lên trạng thái mới của vật chất.
Cho đến nay, trên khắp thế giới có tổng cộng 13 nguyên tố đã được làm
cho ngưng tụ. Mười trong số những ngưng tụ này đã được tạo ra bởi mười
nhóm nghiên cứu quốc tế khác nhau [4].
Năm 1938, Fritz London đề xuất trạng thái BEC như là một cơ chế giải
thích cho tính siêu chảy của

cũng như tính siêu dẫn ở nhiệt độ thấp của

một số vật liệu.
Năm 1995, khí ngưng tụ đầu tiên đã được tạo ra bởi nhóm của Eric
Cornell và Carl Wieman ở phòng thí nghiệm JILA thuộc Viện Công nghệ Tiêu
chuẩn Quốc gia (NIST) tại Đại học Colorada ở Boulder, khi họ làm lạnh khí
nguyên tử Rubidi đến nhiệt độ 170 nanokelvin (nK). Cũng trong thời gian này,
Wolfgang Ketterle ở Học viện Công nghệ Massachusetts tạo ra được ngưng tụ
Bose – Einstein đối với nguyên tử natri và duy trì được hệ 2000 nguyên tử này
trong thời gian lâu cho phép nghiên cứu những tính chất của hệ. Vì vậy mà
Cornell, Wieman, Ketterle được nhận giải Nobel Vật lý năm 2001.
Ở nhiệt độ phòng khí boson và khí fermi đều phản ứng rất giống nhau,
giống hạt cổ điển tuân thủ theo gần đúng thống kê Maxwell - Boltzman (bởi

cả thống kê Bose – Einstein và thống kê Fermi – Dirac đều tiệm cận đến
thống kê Maxwell - Boltzman). Có thể khẳng định rằng ở nhiệt độ thấp khí
bose có tính chất khác hẳn khí fermi (chẳng hạn như khí điện tử tự do trong
15


kim loại). Thật vậy, vì các hạt boson không chịu sự chi phối của nguyên lý
cấm Pauli nên ở nhiệt độ không tuyệt đối tất cả các hạt đều có năng lượng

  0 , do đó trạng thái cơ bản của tất cả chất khí là trạng thái có E  0 . Còn
đối với khí fermi thì khác, ở nhiệt độ T  00 K các hạt lần lượt chiếm các
trạng thái có năng lượng từ 0 đến mức fermi, do đó năng lượng của cả hệ khác
không ( E  0 ).
Việc áp dụng thống kê Bose – Einstein vào hệ hạt có spin nguyên hay
spin bằng không (ví dụ như các photon, các mezon, các nguyên tử trong đó
các electron và nucleon là chẵn, …) được gọi là các hạt boson hay khí bose.

Hình 1.1: Trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein của các boson, trong trường hợp này là các
nguyên tử Rubidi. Hình vẽ là phân bố tốc độ chuyển động của các nguyên tử theo từng vị
trí. Màu đỏ chỉ nguyên tử chuyển động nhanh, màu xanh và trắng chỉ nguyên tử chuyển
động chậm. Bên trái là trước khi xuất hiện ngưng tụ Bose – Einstein. Ở giữa là ngay sau
khi ngưng tụ. Bên phải là trạng thái ngưng tụ xuất hiện rõ hơn. Ở trạng thái ngưng tụ, rất
nhiều nguyên tử có cùng vận tốc và vị trí (cùng trạng thái lượng tử) nằm ở đỉnh màu trắng.
(Ảnh: Wikipedia)

Ngưng tụ Bose – Einstein theo quan điểm vĩ mô là tập hợp các hạt có
spin nguyên (các boson) trong trạng thái cơ bản tại nhiệt độ thấp và mật độ
cao, đã được quan sát trong một vài hệ vật lý. Bao gồm khí nguyên tử lạnh và

16

vật lý chất rắn chuẩn hạt. Tuy nhiên, đối với khí bose là phổ biến nhất. Bức xạ
của vật đen (bức xạ trong trạng thái cân bằng nhiệt trong một hố thế) không
diễn ra sự chuyển pha, bởi vì thế hóa của các photon bị triệt tiêu và khi nhiệt
độ giảm, các photon không xuất hiện trong hố thế. Các nghiên cứu về mặt lý
thuyết đã coi số photon bảo toàn trong các quá trình nhiệt, tiếp theo sử dụng
tán xạ Compton cho khí điện tử, hoặc tán xạ photon – photon trong mô hình
cộng hưởng phi tuyến để tìm điều kiện tạo thành ngưng tụ Bose – Einstein.
Trong một số thí nghiệm gần đây, người ta đã tiến hành nghiên cứu với khí
photon hai chiều trong trạng thái lấp đầy của các vi hốc. Ở đây, người ta đã
mô tả lại ngưng tụ Bose – Einstein cho các photon. Dạng của vi hốc quyết
định cả thế giam cầm và sự không ảnh hưởng bởi khối lượng các photon, làm
cho hệ tương đương với một hệ khí hai chiều. Khi tăng mật độ của photon, ta
thấy dấu hiệu của ngưng tụ Bose – Einstein, năng lượng photon phân bố chủ
yếu ở trạng thái cơ bản, chuyển pha xuất hiện phụ thuộc vào cả giá trị khả dĩ
và dạng hình học của hốc thế được dự đoán từ trước.
1.4. Thực nghiệm về ngưng tụ Bose – Einstein
1.4.1. Ngưng tụ Bose – Einstein đầu tiên của nguyên tố erbium
Đội nghiên cứu của Francesca Ferlaino tại trường Đại học Innsbruck là
nhóm đầu tiên tạo ra thành công một ngưng tụ của nguyên tố lạ erbium.
Các chất khí lượng tử siêu lạnh có những tính chất đặc biệt mang lại một
hệ lí tưởng để nghiên cứu những hiện tượng vật lý cơ bản. Với việc chọn
erbium, đội nghiên cứu đứng đầu là Francesca Ferlaino thuộc Viện Vật lý
thực nghiệm, Đại học Innsbruck, đã chọn một nguyên tố rất lạ, đó là vì những
tính chất đặc biệt của nó mang lại những khả năng mới và hấp dẫn để nghiên
cứu những câu hỏi cơ bản trong lĩnh vực vật lý lượng tử.
“Erbium tương đối nặng và có từ tính mạnh. Những tính chất này dẫn tới
một trạng thái lưỡng cực cực độ của các hệ lượng tử”, Ferlaino cho biết.
17

Cùng với nhóm nghiên cứu của mình, bà đã tìm ra một phương pháp đơn
giản đến bất ngờ để làm lạnh nguyên tố phức tạp này bằng phương tiện laser
và kĩ thuật làm lạnh bay hơi. Ở những nhiệt độ gần độ không tuyệt đối, một
đám mây gồm khoảng 70.000 nguyên tử erbium tạo ra một ngưng tụ Bose –
Einstein từ tính. Trong một ngưng tụ, các hạt mất đi tính chất cá lẻ của chúng
và đồng bộ hóa thành trạng thái của chúng. “Những thí nghiệm với erbium
cho phép chúng tôi thu được kiến thức sâu sắc mới về những quá trình tương
tác phức tạp của những hệ tương quan mạnh và, đặc biệt, chúng mang lại
những điểm xuất phát mới để nghiên cứu từ tính lượng tử với những nguyên
tử lạnh”, Ferancesca Ferlaino nói.
Cesium, strontium và erbium là ba nguyên tố hóa học mà các nhà vật lý
ở Innsbruck đã cho ngưng tụ thành công trong vài năm trở lại đây. Một đột
phá quan trọng đã được thực hiện bởi Rudolf Grimm và nhóm nghiên cứu của
ông hồi năm 2002 khi họ thu được sự ngưng tụ của Sesium, dẫn tới vô số
những kết quả khoa học trong những năm sau đó. Một người nhận tài trợ
START khác, Florian Schreck, một thành viên thuộc nhóm nghiên cứu của
Rudolf Grimm, là người đầu tiên hiện thực hóa một ngưng tụ của Strontium
hồi năm 2009. Và nay Francesca Ferlaino lập tiếp kì công này với nguyên tố
Erbium.
Cho đến nay, trên khắp thế giới có tổng cộng 13 nguyên tố đã được làm
cho ngưng tụ. Mười trong số những ngưng tụ này đã được tạo ra bởi mười
nhóm nghiên cứu quốc tế khác nhau. Vào năm 2001, Eric Cornell, Wolfgang
Ketterle và Carl Wieman đã giành giải Nobel Vật lý cho việc tạo ra ngưng tụ
Bose – Einstein đầu tiên. Ngưng tụ mới của erbium, lần đầu tiên được tạo ra ở
Innsbruck, là một mẫu tuyệt vời để bắt chước những hiệu ứng phát sinh từ sự
tương tác tầm xa. Loại tương tác này là cơ sở của cơ chế động lực học phức
tạp có trong tự nhiên, ví dụ như xảy ra trong các xoáy địa vật lý, trong các
18

chất lỏng sắt từ hay trong protein khi gấp nếp.
1.4.2. Loại ánh sáng đột phá về vật lý
Các nhà khoa học Đức đã tạo ra bước đột phá trong lĩnh vực vật lý khi
cho ra đời một loại ánh sáng mới bằng cách làm lạnh các phân tử photon sang
trạng thái đốm màu.
Cũng giống như các chất rắn, lỏng và khí, khám phá mới thể hiện một
trạng thái của vật chất. Với tên gọi “trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein”, nó
từng được tạo ra vào năm 1995 thông qua các nguyên tử siêu lạnh của một
chất khí, nhưng các nhà khoa học từng nghĩ không thể tạo ra nó bằng các hạt
photon (quang tử) – những đơn vị cơ bản của ánh sáng.

Hình 1.2: Một “siêu phonon” được tạo ra khi các hạt photon bị làm lạnh tới một trạng thái
vật chất được gọi tên là “trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein” .
(Ảnh: LiveScience)

Tuy nhiên, bốn nhà vật lý Jan Klars, Julian Schmitt, Frank Vewinger và
Martin Weitz thuộc Đại học Bonn ở Đức mới đây thông báo đã hoàn thành
“nhiệm vụ bất khả thi” trên. Họ đặt tên cho các hạt mới là “các siêu photon”.
Các hạt trong một trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein truyền thống được
làm lạnh tới độ không tuyệt đối, cho tới khi chúng hòa vào nhau và trở nên
19