Trạng thái cơ bản ngưng tụ bose einstein hai thành phần phân tách mạnh với điều kiện biên robin

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

TRẦN THỊ THANH NGA

TRẠNG THÁI CƠ BẢN NGƢNG TỤ BOSE - EINSTEIN
HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH MẠNH
VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN

KHÓA LUẬN TÔT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2017


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

TRẦN THỊ THANH NGA

TRẠNG THÁI CƠ BẢN NGƢNG TỤ BOSE - EINSTEIN
HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH MẠNH
VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TÔT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:
TS.Nguyễn Văn Thụ

HÀ NỘI, 2017

LỜI CẢM ƠN
Trước tiên em xin dành lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến
TS.Nguyễn Văn Thụ - người thầy hướng dẫn đã tận tình chỉ bảo và tạo mọi điều
kiện thuận lợi nhất giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện khoá luận này.
Em cũng xin bày tỏ lời lòng biết ơn chân thành đến những thầy cô giáo đã
giảng dạy em trong bốn năm qua, đặc biệt là các thầy cô trong Khoa Vật lý cùng
các bạn sinh viên trong quá trình học tập và trau dồi kiến thức tại trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và cho em nhiều kiến thức trong học tập, nghiên
cứu khoá luận cũng như công việc sau này.
Trong quá trình nghiên cứu vì thời gian có hạn và bước đầu làm quen với
phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót.
Vì vậy em rất mong nhận được sự đóng góp của các quý thầy cô và các bạn để
đề tài này được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội, ngày 17 tháng 04 năm 2017
Sinh viên

Trần Thị Thanh Nga


LỜI CAM ĐOAN
Khoá luận tốt nghiệp “Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose-Einsstein hai
thành phần phân tách mạnh với điều kiên biên Robin” được hoàn thành dưới sự
hướng dẫn tận tình của TS.Nguyễn Văn Thụ.
Tôi xin cam đoan đề tài này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi và không
trùng với bất kì khoá luận nào khác.
Hà Nội, ngày 17 tháng 04 năm 2017
Sinh viên

Trần Thị Thanh Nga


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1
1.

Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1

2.

Mục đ ch nghiên cứu ..................................................................................... 2

3.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ................................................................. 2

4.

Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2

5.

Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 2

6.

Đóng góp của đề tài....................................................................................... 2

CHƢƠNG 1. LÝ THUYẾT CHUNG VỀ NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN ... 3
1.1. Hệ hạt đồng nhất ............................................................................................. 3
1.1.1. Nguyên lí đồng nhất................................................................................... 3
1.1.2. Các trạng thái đối xứng và phản đối xứng ................................................ 4
1.1.3. Nguyên lí Pauli và hàm sóng của hệ tương tác yếu. ................................. 6
1.2 Thống kê Bose-Einsstein .............................................................................. 7
1.3 Tình hình nghiên cứu về ngưng tụ Bose-Einsstein ..................................... 17
1.4 Thực nghiệm về ngưng tụ Bose-Einstein .................................................... 21
1.4.1. Ngưng tụ Bose- Einstein đầu tiên của nguyên tố erbium. ....................... 21
1.4.2. Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý. ................................................ 22
1.4.3. Các nhà vật lý khẳng định sự tồn tại của trạng thái ngưng tụ
polartion...............................................................................................................24
CHƢƠNG 2. TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN
HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH MẠNH VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN
.............................................................................................................................. 28
2.1. Phương trình Gross-Pitaevskii .................................................................... 28
2.1.1

Phương trình Gross- Pitaevskii phụ thuộc vào thời gian. ...................... 28


2.1.2

Phương trình Gross- Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian............. 29

2.2. Gần đúng parabol kép (Double parabola approximation - DPA). .............. 32
2.3. Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách
mạnh trong gần đúng parabol kép, giải phương trình với điều kiện biên Robin. 34
KẾT LUẬN ......................................................................................................... 40
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 41

MỞ ĐẦU
1.

Lý do chọn đề tài
Trước đây, t ai nghĩ rằng có thể tạo ra được ngưng tụ Bose - Einstein và chất

ngưng tụ này lại hứa hẹn có nhiều ứng dụng trong khoa học và công nghệ.
Ngưng tụ Bose – Einstein là một công trình khoa học nổi tiếng của Einstein được
tạo ra đầu tiên trên thế giới (BEC- Bose- Einstein Condensation) từ những
nguyên tử lạnh năm 1995.
Ngưng tụ Bose- Einstein là một trạng thái vật chất của kh boson loãng bị
làm lạnh đến nhiệt độ rất gần độ 0oK tuyệt đối (hay rất gần giá trị 0oK hay 273oC). Dưới những điều kiện này, một tỉ lệ lớn các boson cùng tồn tại ở trạng
thái lượng tử trở lên rõ rệt ở mức vĩ mô. Những hiệu ứng này được gọi là hiện
tượng lượng tử mức vĩ mô.
Trạng thái vật chất này lần đầu tiên được Bose- Einsstein tiên đoán về sự tồn
tại trong những năm 1924- 1925. Bose đầu tiên gửi một bài báo đến Einstein về
thống kê lượng tử của lượng tử ánh sáng. Einstein sau đó mở rộng ý tưởng của
Bose cho hệ hạt vật chất và chứng minh được rằng khi làm lạnh các nguyên tử
boson đến nhiệt độ rất thấp thì hệ này t ch tụ lại (hay ngưng tụ) trong trạng thái
lượng tử thấp nhất có thể và tạo nên trạng thái mới của vật chất.
Với việc tạo ra trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein, có ý nghĩa lớn trong vật
lý như giải th ch được nhiều hiện tượng vật lý siêu dẫn, siêu chảy,... Với mong
muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về trạng thái ngưng tụ Bose –
Einstein tôi chọn đề tài “ Trạng thái cơ bản của ngƣng tụ Bose – Einstein hai
thành phần phân tách mạnh với điều kiện biên Robin“ làm đề tài nghiên cứu
của mình.

1

2.

Mục đ ch nghiên c u
Trên cơ sở lý thuyết về ngưng tụ Bose – Einstein nghiên cứu trạng thái cơ bản

của ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần phân tách mạnh và điều kiện biên
Robin trong vật lý thống kê và cơ học lượng tử.
3.

Đối tƣợng và phạm vi nghiên c u

- Các phương trình Gross-Pitavskii.
- Nghiên cứu trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân
tách mạnh dưới ảnh hưởng của điều kiện biên Robin.
4.

Nhiệm vụ nghiên c u

Tìm hiểu “ Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần phân
tách mạnh với điều kiện biên Robin“ xuất phát từ các hệ hạt đồng chất, thống kê
Bose-Einstein đối với các boson là những hạt có spin nguyên, phương trình
Gross-Pitaevskii phụ thuộc vào thời gian và không phụ thuộc vào thời gian.
5.

Phƣơng pháp nghiên c u

- Đọc sách và tra cứu tài liệu.
- T nh số và vẽ hình bằng phần mềm Mathematica.

- Sử dụng gần đúng parabol kép.
- Sử dụng các kiến thức trong Vật lý thống kê, cơ học lượng tử và các phương
pháp giải t ch toán học.
6.

Đóng góp của đề tài
Làm tài liệu tham khảo cho sinh viên.

2


CHƢƠNG 1
LÝ THUYẾT CHUNG VỀ NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN
1.1. Hệ hạt đồng nhất
1.1.1. Nguyên lí đồng nhất
Chúng ta hãy nghiên cứu một hệ N hạt chuyển động phi tương đối t nh. Trong
trường hợp này toán tử Hamilton có thể viết dưới dạng:
(1.1)

trong đó

là toán tử tương tác giữa các hạt, nó là hàm toạ độ của tất cả các hạt;

là toán tử đặc trưng cho tương tác spin-quỹ đạo, tương tác giữa các spin của
các hạt và thế năng của trường ngoài;

là toán tử xung lượng; m là khối lượng

của hạt.
Hàm sóng của phương trình Schrodinger

(1.2)
với toán tử Hamilton (1.1) là hàm của thời gian, của tọa độ không gian và spin
của các hạt 1, 2, 3,…, N .
Nếu các hạt có các đặc trưng như điện tích, khối lượng, spin,…không phân
biệt được với nhau thì chúng ta có một hệ N hạt đồng nhất. Trong một hệ như
thế, làm thế nào có thể phân biệt được hai hạt với nhau? Trong vật lý học cổ điển
đối với trường hợp tương tự người ta có thể phân biệt các hạt theo các trạng thái
của chúng, nghĩa là nêu ra các tọa độ và xung lượng của từng hạt. Nhưng biện
pháp này không thể áp dụng được trong cơ học lượng tử. Chẳng hạn hai electron
3


ở thời điểm đầu có thể phân biệt được bằng cách đặt chúng ở hai hố thế khác
nhau, cách nhau bởi một “rào thế”, thì do hiệu ứng đường hầm, theo thời gian,
các electron có thể trao đổi các trạng thái cho nhau và việc phân biệt hai electron
với nhau sẽ mất hết ý nghĩa.
Tính không phân biệt được các hạt đồng nhất theo các trạng thái trong cơ học
lượng tử dẫn tới nguyên lý về t nh đồng nhất:
Trong hệ các hạt đồng nhất chỉ tồn tại những trạng thái không thay đổi khi đổi
chỗ các hạt đồng nhất cho nhau.
1.1.2. Các trạng thái đối xứng và phản đối xứng
Ta k hiệu toán tử hoán vị hạt i và j với nhau là
hạt đồng chất là

(1,…,i,…,j,…,N,t) ≡

ij

và k hiệu trạng thái của hệ N

(i,j). Nếu thế
;

(1.3)

;

Phương trình cho hàm riêng và trị riêng của toán tử

ij

(1.4)

.
Chú ý đến (1.4)
.
Từ đây suy ra trị riêng của toán tử là

là λ=

Thành thử các hàm riêng của toán tử hoán vị
a)

.
được chia làm hai lớp:

Lớp các hàm đổi dấu khi hoán vị một cặp hạt bất kì

4

=-

ij

tương ứng với trị riêng λ=
b)

(1.5)

,

.

Lớp các hàm không đổi dấu khi hoán vị một cặp hạt bất kì
(1.6)

,
tương ứng với trị riêng λ= .

Các hàm (1.5) được gọi là các hàm phản đối xứng, các hàm (1.6) được gọi là các
hàm đối xứng.
T nh đối xứng và phản đối xứng của một hệ hạt là t ch phân chuyển động. Thật
vậy, vì

không phụ thuộc tường minh vào thời gian (

, nên:
,

Từ đây

(đpcm).

Các th nghiệm đã chứng tỏ rằng, t nh chất đối xứng và phản đối xứng của các
hàm sóng liên quan đến t nh chất nội tại của các hạt. Các hạt có các hàm sóng
đối xứng được gọi là các hạt Bose hay các Boson, chúng tuân theo thống kê
Bose-Einstein. Các hạt có hàm sóng

phản đối xứng được gọi là các hạt Fermi

hay các Fermion, tuân theo thống kê Fermi-Dirac. Các boson là các hạt có spin
nguyên (photon,

-meson, K-meson,…). Các fermion là các hạt có spin bán

nguyên (electron, các nucleon,…).

5


1.1.3. Nguyên lí Pauli và hàm sóng của hệ tương tác yếu.
Đối với các fermion có một nguyên l cấm do Pauli đưa ra. Nguyên l này
được phát biểu như sau:
Nếu có một bộ 4 đại lượng động lực (L1,L2,L3,Sz) bất kì đủ để đặc trưng cho
trạng thái của một hạt, thì trong hệ fermion không thể có hai hạt có trạng thái
được đặc trưng bởi 4 số (L1,L2,L3,Sz) giống nhau.
Nguyên l này được rút ra từ t nh phản đối xứng của hàm sóng của các
fermion. Thật vậy, giả sử trong hệ có hai hạt i và j ở trong hai trạng thái giống
nhau

.
Theo giả thiết
,
cho nên
.
Từ đây

, nghĩa là một trạng thái của hệ như thế

và

không có.
Bây giờ chúng ta xét một hệ đồng chất mà các hạt trong hệ tương tác yếu với
nhau. Trong một phép gần đúng nào đó ta coi các hạt không tương tác với nhau.
Giả sử hàm

là nghiệm của phương trình
.

6


Ở đây

là toán tử Hamilton cho hạt thứ Ɩ (Ɩ=1,2,…,N),

là tập hợp các số

lượng tử đủ để đặc trưng cho trạng thái của hạt l. Khi đó các hàm riêng của toán
tử

của cả hệ (tương ứng với năng lượng

sẽ là các tổ hợp tuyến

t nh của các t ch dạng
Đối với hệ các boson, hàm sóng phải có dạng của t ch đã đối xứng hóa
(1.7)

Ở đây,

là tất cả các hoán vị khả dĩ để cho tất cả các t ch
khác nhau từng đôi một, N1, N2,…, Ns là số các hạt ở

trong các trạng thái lượng tử n1, n2, ..., ns tương ứng khác nhau từng đôi một và
N1+ N2+…+Ns=N.
Đối với hệ các fermion, hàm sóng có dạng phản đối xứng

.

(1.8)

Từ (1.8) chúng ta có thể suy ra nguyên l Pauli. Thật vậy, nếu hai hạt có trạng
thái giống nhau, hai dòng định thức sẽ giống nhau, như vậy định thức sẽ bằng 0.
1.2 Thống kê Bose-Einsstein
Đối với các hệ hạt đồng nhất, chúng ta không cần biết cụ thể hạt nào ở trạng thái
nào mà chỉ cần biết trong mỗi trạng thái đơn hạt có bao nhiêu hạt.
Xuất phát từ công thức chính tắc lượng tử [2],

7

(1.9)
trong đó g k là độ suy biến, Ek là năng lượng ở trạng thái k, N là số hạt đồng
nhất, θ và Ѱ là các thông số của phân bố.
Nếu hệ gồm các hạt không tương tác thì ta có

Ek 



 nl l ,

(1.10)

l 0

ở đây,  l là năng lượng của một hạt riêng lẻ, nl là số chứa đầy tức là số hạt có
cùng năng lượng  l .
Số hạt trong hệ có thể nhận giá trị từ 0   với xác suất khác nhau. Độ suy
biến g k trong (1.9) sẽ tìm được bằng cách tính số các trạng thái khác nhau về
phương diện vật lý ứng với cùng một giá trị Ek đó ch nh là số mới vì số hạt
trong hệ không phải là bất biến nên tương tự như trường hợp thống kê cổ điển
thay thế cho phân bố chính tắc lượng tử ta có thể áp dụng phân bố chính tắc lớn
lượng tử hay phân bố Gibbs suy rộng.
Phân bố chính tắc lớn lượng tử có dạng
(1.11)

trong đó

Sở dĩ có thừa số

, Ω là thế nhiệt động chính tắc lớn,  là thế hóa.
xuất hiện trong công thức (1.11) là vì có kể đến t nh đồng

nhất của các hạt và t nh không phân biệt của các trạng thái mà ta thu được do
hoán vị các hạt.
8


Ta k hiệu
(1.12)
Khi đó (1.11) được viết lại như sau
(1.13)

Từ đây ta có hai nhận xét về công thức (1.13) như sau:
Một là vế phải của (1.13) có thể coi là hàm của các nl nên ta có thể đoán
nhận công thức đó như là xác suất để cho có n0 hạt nằm trên mức  0 , nl hạt nằm
trên mức  l , nghĩa là, đó là xác suất chứa đầy. Do đó nhờ công thức này ta có
thể tìm được số hạt trung bình nằm trên các mức năng lượng

(1.14)

Hai là đại lượng

xuất hiện vì ta kể đến khả năng xuất hiện các

trạng thái vật lý mới hoán vị (về tọa độ) các hạt. Đối với hệ boson và hệ fermion,
tức là hệ được mô tả bằng hàm sóng đối xứng và phản đối xứng, thì các phép hoán
vị đều không đưa đến một trạng thái vật lý mới nào cả, bởi vì khi đó hàm sóng của

hệ sẽ chỉ hoặc không đổi dấu, hoặc đổi dấu nghĩa là diễn tả cùng một trạng thái
lượng tử. Do đó đối với các hạt boson và hạt fermion ta có
.
Nhưng trong thống kê Maxwell-Boltzmann, khi mà các hạt là khác biệt nhau về
9


phương diện hoán vị tọa độ (tức là khi các hạt hoán vị có thể xuất hiện trạng thái
mới), ta có
(1.15)

Trong phân bố Maxwell – Boltzmann tất cả các phép hoán vị khả dĩ của tọa độ
của các hạt (tức

) đều sẽ cho các trang thái mới, trừ các phép hoán vị của các

tọa độ của các hạt có cùng một năng lượng  l . Do đó số tổng cộng các trạng thái
khác nhau về phương diện Vật lý sẽ bằng số hoán vị tổng cộng N ! chia cho số
hoán vị trong các nhóm có cùng năng lượng tức là chia cho n0 !n1!... Khi đó:
(1.16)

thay giá trị của

vào (1.12) ta thu được (1.15). Để t nh trị trung bình của các số

lấp đầy (số hạt trung bình nằm trên mức năng lượng khác nhau) ta gắn cho đại
lượng

trong công thức (1.13) chỉ số l, tức là ta sẽ coi hệ ta xét hình như không

phải chỉ có một thế hóa học
phép tính ta cho

mà ta có cả một tập hợp thế hóa học

. Và cuối

.

Tiến hành phép thay thế như trên ta có thể viết điều kiện chuẩn hóa
như sau
(1.17)

với

10




n







l
l

l 
 l 0

Z   ...exp 
 G  n0 , n1,...,

n0 n1





(1.18)

nghĩa là
(1.19)
Khi đó đạo hàm của

theo

dựa vào (1.12) và (1.13)
(1.20)

Nếu trong biểu thức (1.20) ta đặt

thì theo (1.14) vế phải của công thức

(1.20) có nghĩa là giá trị trung bình của số chứa đầy

tức là ta thu được

(1.21)

.
Đối với hệ hạt boson, số hạt trên các mức có thể có trị số bất kì (từ

) và

do đó theo (1.18) ta có



  nl  l   l    
 l   l


Z   ...exp  l 0
    exp 

 
n0 n1

 l 0 n 0




 
l 0

1

,
 l   l 
1  exp 

  

 
 n
 

(1.22)

11


khi đó



    
    ln 1  exp  l l .
  
l 0 

(1.23)

Theo (1.21) ta tìm được phân bố của các số chứa đầy trung bình

nl 

1
,
l   
exp 
 1
  

ta có (1.24) là công thức của thống kê Bose – Einstein. Thế hóa học

(1.24)

trong công

thức (1.24) được xác định từ điều kiện


 nl  N .

(1.25)

l 0

Đối với khí bose l tưởng, theo công thức của thống kê Bose – Einstein, số
hạt trung bình có năng lượng trong khoảng từ     d bằng

dn    

dN   
,
   

exp 
1
  

(1.26)

trong đó dN   là số các mức năng lượng trong khoảng     d .
Tìm dN   .
Theo quan điểm lượng tử, các hạt boson chứa trong thể t ch V có thể xem như
các sóng dừng de Broglie. Vì vậy có thể xác định dN   bằng cách áp dụng
công thức

dN  k  

k 2dk
2 2

V.

Theo hệ thức de Broglie giữa xung lượng p và véc tơ sóng k

12

(1.27)


p  k,

(1.28)

khi đó (1.21) có thể được viết dưới dạng

dN  p  

p 2dp
2 2

3

V.

Đối với các hạt phi tương đối t nh tức là hạt có vận tốc

(1.29)

p2
thì  
suy
2m

ra
p 2  2m ,

p 2dp  2m3 d ,
do đó (1.29) có dạng
dN    

2m3V
2 2

3

 d .

Vì các hạt có thể có các định hướng spin khác nhau nên số trạng thái khả dĩ ứng
với cùng một giá trị của spin s của hạt g  2s  1 . Do đó, số các mức năng lượng
trong khoảng     d là
dN    

2m3Vg
2 2

3

 d .

(1.30)

Theo (1.26) số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng     d là

dn    

2m3Vg
2 2

3

 d
.
   

exp
1
  

Vì số hạt toàn phần là N nên ta có phương trình sau

13

(1.31)




N   dn    
0

2m3Vg 
2 2

3





0

 

e

kT

d .

(1.32)

1

Phương trình này về nguyên tắc cho ta xác định thế hóa học  . Ta xét một số
tính chất tổng quát của thế hóa học  đối với khí bose l tưởng. Đầu tiên ta
chứng minh rằng

  0.

(1.33)

Thực vậy, số hạt trung bình dn    chỉ có thể là một số dương, do đó, theo
(1.31), điều kiện đó chỉ thỏa mãn khi mẫu số ở (1.31) luôn luôn dương (nghĩa là
   
khi   0, để cho exp 
 luôn luôn lớn hơn 1 với mọi giá trị của  ).
  

Tiếp theo chúng ta có thể chứng minh rằng,  giảm dần khi nhiệt độ tăng
lên. Thực vậy, áp dụng qui tắc lấy đạo hàm các hàm ẩn vào (1.32) ta có:

N

  T

N
T





 
 
 

d
 T      d
T 0   
 kT

0
1
e
e kT  1  



 


d






 0   

  
 d


kT
e
1
 kT

0
1
e

14




 

    e kT

1

 kT 2


e



0




 
kT


 1



2

 

    e kT



 d




e



0



 

1
T

1
e kT
 d
 kT   
2


0
 e kT  1









0

 
kT

 d

.

 
kT

e

e




 1



2

 
kT


 1



2

(1.34)

 d

Nhưng do (1.32) nên     0, do đó biểu thức dưới dấu tích phân ở vế phải
(1.34) luôn luôn dương với mọi giá trị của  , vì vậy

  0 và


 0 . Từ các tính chất
T


 0 của hàm  ta thấy khi nhiệt độ giảm thì  tăng (từ giá trị âm
T

tăng đến giá trị lớn hơn “nhưng vẫn là âm”) và tới nhiệt độ T0 nào đó  sẽ đạt
giá trị cực đại bằng không  max  0  .
Xác định nhiệt độ T0
Chọn   0 và T  T0 . Khi đó phương trình (1.32) trở thành


N   dn    
0

Đặt x 


kT0

N

2m3Vg 
2

2 3

suy ra
m3/2Vg
2 2



kT kT0 
3 0

x

dx
x
e


1
0

15



0




d .

e kT0  1





Mà ta biết

m3/2Vg  kT0 

3/2
mkT0  Vg  x

 e x  1dx 
 e x  1dx.
2 2 3

3/2 

2 2

3

x

0

(1.35)

0

x

 e x  1dx  2.31, nên từ (1.35) và 0  kT0 , ta được

0

 2 4 

1/3 2

0

N
T0  
 

k  2.31g 2/3 mk  V 

2/3

(1.36)

.

Đối với tất cả các kh bose quen thuộc thì nhiệt độ đó là rất nhỏ. Chẳng hạn
như đối với 4He [2], ngay cả với khối lượng riêng của chất lỏng hêli vào cỡ
120kg/m3 ta được T0  2,190 K . Tuy nhiên, sự tồn tại nhiệt độ T0  0 có ý nghĩa
rất quan trọng. Để hiểu ý nghĩa của nó ta xét khoảng nhiệt độ 0  T  T0 . Khi
giảm nhiệt độ xuống tới T0 thì thế hóa học  tăng tới giá trị max  0 , mà

 0 nên  không thể giảm nữa, do đó trong khoảng nhiệt độ 0  T  T0 thì
T

  0.
Với nhiệt độ T  T0 số hạt có năng lượng là
N   0  

2m3Vg 
2 2

3






0 kT
e

3/2
mkT  Vg  x

d 
dx  N 

2 3
x
2
e 1

(1.37)

0

1

So sánh (1.35) và (1.37) ta thấy
3/2

T 
N   0   N  
 T0 

3/2

N  T 
hay
 
N  T0 

.

Vì số hạt toàn phần trong hệ là không đổi, nên kết quả trên phải được đoán nhận
vật lý một cách đặc biệt. Khi T  T0 thì N   N chỉ ra rằng số hạt toàn phần N

16


chỉ có một phần số hạt N  có thể phân bố theo các mức năng lượng một cách
tương ứng với công thức (1.26), tức là
dn    

 d
N
 d

.
3
3/2

 


2.31




0 exp    1
exp   1
 
 

m3/2Vg
2 2

(1.38)

Các hạt còn lại N  N  , cần phải được phân bố như thế nào đó khác đi, chẳng hạn
như tất cả số đó nằm trên mức năng lượng thấp nhất, nghĩa là chúng hình như nằm
ở một pha khác mà người ta quy ước gọi là pha ngưng tụ.
Như vậy ở các nhiệt độ thấp hơn T0 , một phần các hạt của khí bose sẽ nằm ở
mức năng lượng thấp nhất (năng lượng không) và các hạt còn lại sẽ được phân

1
bố trên các mức khác theo định luật  /
. Hiện tượng mà ta vừa mô tả, trong
e 1
đó một số hạt của khí bose chuyển xuống mức “năng lượng không” và hai phần
của khí bose phân bố khác nhau theo năng lượng được gọi là sự ngưng tụ Bose.
Ở nhiệt độ không tuyệt đối ( T  0 ) tất cả các hạt bose sẽ nằm ở mức không.
1.3 Tình hình nghiên c u về ngƣng tụ Bose-Einsstein
Ngưng tụ Bose-Einstein là một hiện tượng lượng tử kì lạ đã được quan sát
thấy ở khí loãng lần đầu tiên vào năm 1995. Einstein đã tổng quát hóa lý thuyết
của Bose thành kh l tưởng của hệ hạt đồng chất nguyên tử hay phân tử, mà số
lượng được bảo toàn. Cùng thời gian đó, dự đoán với nhiệt độ đủ thấp, các hạt sẽ

nằm trong cùng trạng thái lượng tử thấp nhất của hệ. Hiện tượng đó gọi là ngưng
tụ Bose-Einsstein (BEC), xảy ra với các hạt có tổng spin nguyên.
Cho đến nay, trên khắp thế giới có tổng cộng 13 nguyên tố đã được làm cho
ngưng tụ. Mười trong số những ngưng tụ này đã được tạo ra bởi mười nhóm
nghiên cứu quốc tế khác nhau [3].
17


Năm 1938, Fritz London đề xuất trạng thái BEC như là một cơ chế giải thích
cho tính siêu chảy của 4He cũng như t nh siêu dẫn ở nhiệt độ thấp của một số vật
liệu.
Năm 1995, kh ngưng tụ đầu tiên đã được tạo ra bởi nhóm của Eric Cornell và
Carl Wieman ở phòng thí nghiệm JILA thuộc Viện Công nghệ Tiêu chuẩn Quốc
gia (NIST) tại Đại học Colorada ở Boulder, khi họ làm lạnh khí nguyên tử Rubidi
đến nhiệt độ 170 nanokelvin (nK). Cũng trong thời gian này, Wolfgang Ketterle ở
Học viện Công nghệ Massachusetts tạo ra được ngưng tụ Bose – Einstein đối với
nguyên tử natri và duy trì được hệ 2000 nguyên tử này trong thời gian lâu cho
phép nghiên cứu những tính chất của hệ. Vì vậy mà Cornell, Wieman, Ketterle
được nhận giải Nobel Vật lý năm 2001.
Đầu những năm 1970 tại phòng thí nghiệm nhiệt độ thấp ở Đại học Cornell,
Lee, Osheroff và Richardron đã phát hiện thấy rằng một đồng vị của hêli (He) là
hêli-3 có thể trở thành siêu lỏng tại một nhiệt độ chỉ khoảng hai phần nghìn độ
trên không độ tuyệt đối. Chất lỏng lượng tử siêu lỏng này khác hẳn với chất lỏng
lượng tử siêu lỏng mà người ta đã phát hiện thấy vào những năm 1930 ở nhiệt độ
khoảng hai độ (cao hơn một nghìn lần) trong một đồng vị khác của hêli là hêli-4.
Chất lỏng lượng tử mới (hêli-3) có những tính chất đặc biệt chẳng hạn như các
định luật lượng tử của vật lý vi mô thi thoảng cũng trực tiếp chi phối dáng điệu
của vật lý vĩ mô. Nguyên tử hêli-4 là một Bose và chúng tuân theo thống kê BoseEinsstein. Trong điều kiện nào đó, chúng ngưng tụ ở trạng thái có năng lượng nhỏ
nhất. quá trình chuyển pha trong đó xảy ra và được gọi là sự ngưng tụ BoseEinsstein. Các nguyên tử hêli-3 tuân theo thống kê Fermi-Dirac và thực ttees
không bị ngưng tụ ở trạng thái năng lượng thấp nhất. Do đó, sự siêu lỏng không

xảy ra trong hêli-3 giống như hêli-4, nghĩa là hêli-3 không thể hóa lỏng ở nhiệt độ

18


khoảng một vài độ trên độ không tuyệt đối. Nhưng các fermion thực tế có thể bị
ngưng tụ nhưng theo cách phức tạp hơn. Bằng cách thay đổi áp suất, nhiệt độ và
thể tích của hêli-3 lỏng và theo dõi cẩn thận sự phụ thuộc lẫn nhau của các biến số
đó. David Lee, Douglas Osheroff và Robert Richardson đã sử dụng một vài cm3
hêli-3 lỏng để tiến hành các thực nghiệm mà chúng dẫn đến phát minh được trao
giải thưởng Nobel Vật lý năm 1996 về “tính siêu lỏng của hêli-3”.
Về mặt lý thuyết các hạt trong vật lý được chia làm hai lớp cơ bản: lớp các
boson và lớp các fermion. Boson là những hạt với “spin nguyên” (0, 1, 2,...),
fermion là các hạt với “spin bán nguyên” (1/2, 3/2,...). Các hạt boson tuân theo
thống kê Bose – Einstein, còn các hạt fermion tuân theo thống kê Fermi – Dirac.
Ngoài ra các hạt fermion còn tuân theo nguyên lí ngoại trừ Pauli, “hai hạt
fermion không thể cùng tồn tại trên một trạng thái lượng tử”.
Ở nhiệt độ phòng kh boson và kh fermi đều phản ứng rất giống nhau, giống
hạt cổ điển tuân thủ theo gần đúng thống kê Maxwell-Boltzman (bởi cả thống kê
Bose–Einstein và thống kê Fermi–Dirac đều tiệm cận đến thống kê MaxwellBoltzman). Có thể khẳng định rằng ở nhiệt độ thấp khí bose có tính chất khác
hẳn khí fermi (chẳng hạn như kh điện tử tự do trong kim loại). Thật vậy, vì các
hạt boson không chịu sự chi phối của nguyên lý cấm Pauli nên ở nhiệt độ không
tuyệt đối tất cả các hạt đều có năng lượng   0 , do đó trạng thái cơ bản của tất
cả chất khí là trạng thái có E  0 . Còn đối với khí fermi thì khác, ở nhiệt độ
T  00 K các hạt lần lượt chiếm các trạng thái có năng lượng từ 0 đến mức fermi,

do đó năng lượng của cả hệ khác không ( E  0 ).
Việc áp dụng thống kê Bose – Einstein vào hệ hạt có spin nguyên hay spin
bằng không (ví dụ như các photon, các mezon, các nguyên tử trong đó các
electron và nucleon là chẵn, …) được gọi là các hạt boson hay khí bose.

19