Hình học 11 chương III

VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
§1: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
A. Kiến thức cần nhớ
I.Các định nghĩa
1. Vectơ- giá- độ dài vectơ
- Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.
+ Kí hiệu vectơ

chỉ vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B.

-

+ Vectơ còn được kí hiệu:
Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

-

Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

-

Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
Độ dài của vectơ là độ dài đoạn thẳng có hai đầu mút là điểm đầu và điểm cuối của vect ơ đó.

VD:
- Vectơ có độ dài bằng 1 được gọi là vectơ đơn vị.
2. Hai vectơ bằng nhau

-

Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau được gọi là vetơ- không. Kí hiệu:

có độ dài bằng 0 và cùng hướng với mọi vectơ.
3. Vectơ đối
Kí hiệu:
.
II.
Các phép toán vectơ
1. Tính chất

•

•

1


•

•

•

•

•

2

2. Một số qui tắc

+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có:
+ Qui tắc trừ: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có:

+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có:
+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′, ta có:
+ Hêï thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn
thẳng AB, O tuỳ ý.
Ta có:

;

+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác
ABC, O tuỳ ý. Ta có:

+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện
ABCD, O tuỳ ý. Ta có:

+

Điều

kiện

hai

vectơ

cùng

phương:

+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ≠ 1), O tuỳ ý. Ta có:

2. Sự đồng phẳng của ba vectơ
• Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song
song với một mặt phẳng.
• Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ
không cùng phương. Khi đó:

, trong đó

đồng phẳng ⇔ ∃! m, n ∈ R:


• Cho ba vectơ
Khi đó:

không đồng phẳng,

tuỳ ý.

∃! m, n, p ∈ R:

3. Tích vô hướng của hai vectơ
• Góc giữa hai vectơ trong không gian:

• Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:
+ Cho

. Khi đó:

+ Với

. Qui ước:

+

B. Bài tập

DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ CỦA VECTƠ VÀ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ
Phương pháp: Dựa vào các phép tốn, tính chất và các hệ thức vectơ.
Bài 1. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Hãy nêu tên các vectơ bằng nhau có đi ểm đầu và đi ểm cuối
là các đỉnh của lăng trụ.
Bài 2. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Hãy kể tên các vectơ có điểm đầu và đi ểm cuối là các đ ỉnh c ủa
hình hộp lần lượt bằng các vectơ

.

Bài 3. Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’. Mặt phẳng (P) cắt các cạnh bên AA’, BB’,CC;,DD’ l ần l ượt
tại I,K,L,M. Hãy chỉ ra các vectơ:
a) Cùng phương với
b) Cùng hướng với
c) Ngước hướng với

Bài 4. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. chứng minh rằng:
a)

b)
c)

Bài 5. Cho hình bình hành ABCD. Gọi S là một điểm nằm ngồi mặt phẳng chứa hình bình hành.
Chứng minh rằng:

.

Bài 6. Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD. Chứng minh rằng:

b)

a)

c)Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng:
Bài 7. Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD. Gọi I là trung đi ểm
của MN và P là một điểm bất kì trong khơng gian. Chứng minh rằng:

a)
b)
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Chứng minh r ằng:

Bài 9. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có P và R lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,A’D’. G ọi P’,Q,Q’,R’
lần lượt là tâm đối xứng của các hình bình hành ABCD,CDD’C’, A’B’C’D, ADD’A’.
a) Chứng minh rằng:
b) Chứng minh rằng hai tam giác PQR và P’Q’R’ có trọng tâm trùng nhau.

DẠNG 2: CHỨNG MINH BA VECTƠ ĐỒNG PHẲNG- PHÂN TÍCH MỘT VECTƠ QUA BA VECTƠ
KHƠNG ĐỒNG PHẲNG

• Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một
trong các cách:
+ Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt
phẳng.
+ Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng:
Nếu có m, n ∈ R:

thì

đồng phẳng


• Để phân tích một vectơ

theo ba vectơ

không đồng phẳng, ta tìm

các số m, n, p sao cho:
Bài 1. Cho tam giác ABC. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Trên đoạn SA

lấy điểm M sao cho

và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho

Chứng minh rằng ba vectơ

.

đồng phẳng.

Bài 2. Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi K là giao điểm của AH và DE, I là giao điểm của BH và DF.
Chứng minh ba vectơ

đồng phẳng.

Bài 3. Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi M, N, I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các
cạnh AE, CG, AD, DH, GH, FG; P và Q lần lượt là trung điểm của NG và JH.
a) Chứng minh ba vectơ

đồng phẳng.

b) Chứng minh ba vectơ

đồng phẳng.

Bài 4. Cho hình lăng trụ ABC.DEF. Gọi G, H, I, J, K lần lượt là trung điểm của AE,
EC, CD, BC, BE.
a) Chứng minh ba vectơ

đồng phẳng.

b) Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên AF và CE sao cho
. Các
đường thẳng vẽ từ M và N song song với CF lần lượt cắt DF và EF tại P
và Q. Chứng minh ba vectơ
Bài 5. Cho ba vectơ
a) Cho
đồng phẳng:

đồng phẳng.

không đồng phẳng và vectơ

với m và n ≠ 0. Chứng minh các bộ ba vectơ sau không

i)
b) Cho

.

ii)
với m, n và p ≠ 0. Chứng minh các bộ ba vectơ sau

không đồng phẳng:

i)

ii)

iii)


Bài 6. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có

. Hãy phân

tích các vectơ
theo các vectơ
.

Bài 7. Cho tứ diện OABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
a) Phân tích vectơ

theo các ba

.

b) Gọi D là trọng tâm của tứ diện OABC. Phân tích vectơ
vectơ

theo ba

.

Bài 7. Cho hình hộp OABC.DEFG. Gọi I là tâm của hình hộp.
a) Phân tích hai vectơ
b) Phân tích vectơ

theo ba vectơ
theo ba vectơ

.
.

Bài 8. Cho hình lập phương ABCD.EFGH.
a) Phân tích vectơ

theo ba vectơ

.

b) Phân tích vectơ

theo ba vectơ

.

DẠNG 3 : TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN
Bài 1. Cho tứ diện đều ABCD có H là trung điểm cạnh AB. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây:
a)

và

b)

và

Bài 2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
a) Chứng minh

vng góc với

b) Xác định góc giữa
và
,
và
,
và
c) Gọi O là tâm của hình vng ABCD và S là một điểm sao cho :

. Tính khoảng cách giữa O và S.
Bài 3. Cho tứ diện ABCD có

. Gọi P,Q là các điểm thuộc đường thẳng AB,CD sao cho

Chứng minh
Bài 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng


Bài 5. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA=SB=SC=AB=AC=a và

. Hãy tính góc giữa

.

§2: HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC
A. Kiến thức cần nhớ

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng:
của

là VTCP của d nếu giá

song song hoặc trùng với d.

2. Góc giữa hai đường thẳng:
• Giả sử

là VTCP của a,

là VTCP của b,

.

Khi đó:

• Nếu a//b hoặc a ≡ b thì

• a′//a, b′//b ⇒

Chú ý:
3. Hai đường thẳng vuông góc:

• a⊥b⇔
• Giả sử

là VTCP của a,

là VTCP của b. Khi đó

.

• Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc
chéo nhau.

Bài 1. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và
.
Chứng minh rằng SA ⊥ BC, SB ⊥ AC, SC ⊥ AB.
Bài 2. Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại
tiếp ∆BCD.

a) Chứng minh AO vuông góc với CD.
b) Gọi M là trung điểm của CD. Tính góc giữa AC và BM.


Bài 3. Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCD có

thì

Bài 4. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA=SB=SC và

Bài 5. Cho tứ diện ABCD có AB=AC=AD và

. Chứng minh rằng:

.

a) Chứng minh rằng:
b) Gọi M,N lần lượt là trung điểm AB,CD. Chứng minh:

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi có
a)
b)
c)
d)

. Gọi M,N,P là trung điểm của SA,SB,SC.

Tính góc giữa MN và AD.
Tính góc giữa MN và BD.
Chứng minh MP vuông góc với BD.

Tính góc giữa MN và BC.

Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều. Mặt bên SAB là tam giác có góc S bằng
B bằng

và góc

. Gọi M,N,P là trung điểm của SA,SB,AC.

a) Tính góc giữa MN và AC.
b) Tính góc giữa MN và BP.
c) Chứng minh MP vuông góc với BC.

Bài 8. Cho hình chóp S.ABC có hai mặt SAB,SAC với các cạnh bằng a và
điểm của SA,SB,AC.
a)
b)
c)
d)

. Gọi M,N,P là trung

Tính góc giữa MN và AC.
Tính sin của góc giữa MN và BP.
Tính góc giữa MP và BC.
Tính góc giữa AB và SC.

Bài 9. Cho tứ diện ABCD có AB=AC=AD và
a)

. Chứng minh rằng :

.

b) Nếu I,J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì

Bài 10. Cho tứ diện ABCD có

và

.

. Gọi I,J lần lượt là trung điểm của BC,AC,BD. Cho

, tính góc giữa đường thẳng CD với các đường thẳng IJ và AB.

§3 : ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
A. Kiến thức cần nhớ


1. Đònh nghóa
d ⊥ (P) ⇔ d ⊥ a, ∀a ⊂ (P)
2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

3. Tính chất
• Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông
góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó.
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều
hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

•

•

•

•

•
•
4. Đònh lí ba đường vuông góc
, a′ là hình chiếu của a trên (P). Khi đó b ⊥ a ⇔ b ⊥ a′

Cho

5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
• Nếu d ⊥ (P) thì

= 900.

• Nếu

=

Chú ý: 00 ≤

thì

với d′ là hình chiếu của d trên (P).

≤ 900.

B. Bài tập

DẠNG 1 : CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG.
Phương pháp :
* Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng


Để chứng minh d ⊥ (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách
sau:
• Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau nằm
trong (P).
• Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P).
• Chứng minh d // a và a ⊥ (P).
* Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Để chứng minh d ⊥ a, ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
• Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa a.
• Sử dụng đònh lí ba đường vuông góc.
• Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước.

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O và có cạnh SA vng góc với (ABCD).
Gọi H,I,K lần lượt là hình chiếu vng góc của điểm A trên các cạnh SB,SC,SD.
a) Chứng minh

.

b) Chứng minh

và điểm I thuộc (AHK).

c) Chứng minh

, suy ra HK vng góc với AI.

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA=SC,SB=SD.
a) Chứng minh SO vng góc (ABCD).
b) Gọi I,K lần lượt là trung điểm của cạnh BA,BC. Chứng minh

.

Bài 3. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC. Gọi I là
trung điểm của cạnh BC.
a) Chứng minh BC vng góc (ADI).
b) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI, chứng minh rằng AH vng góc với (BCD).

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD và SA=SB=SC=SD. Gọi O là giao điểm của AC
và BD. Chứng minh rằng:
a) SO vng góc với (ABCD).
b) AC vng góc với (SBD) và đường thẳng BD vng góc với (SAC).

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, SA=SC,SB=SD. Gọi O là giao điểm của
AC và BD.
a) Chứng minh SO vng góc (ABCD).
b) Gọi H là hình chiếu vng góc của S lên AB. Chứng minh

Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng tại B,

.
.

a) Chứng minh
.
b) Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh AH vng góc với SC.


Bài 7. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H
là hình chiếu vuông góc của điểm O trên mp(ABC). Chứng minh rằng:
a) BC ⊥ (OAH).
b) H là trực tâm của tam giác ABC.

c)
.
d) Các góc của tam giác ABC đều nhọn.

Bài 8. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là
tam giác đều; SAD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung
điểm của AB và CD.
a) Tính các cạnh của ∆SIJ và chứng minh rằng SI ⊥ (SCD), SJ ⊥ (SAB).
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. CMR: SH ⊥ AC.
c) Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho: BM ⊥ SA. Tính AM
theo a.
Bài 9. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam
giác đều và SC = a
AD.

. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và

a) CMR: SH ⊥ (ABCD).
b) Chứng minh: AC ⊥ SK và CK ⊥ SD.

Bài 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại A và có cạnh bên SA vng góc với
(ABC). Gọi D là điểm dối xứng của điểm B qua trung điểm O của AC. Chứng minh

.

Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy.
Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vng.
Bài 12. Cho tứ diện SABC có đáy ABC là tam giác vng ở A,
là trung điểm của SA, AB, BC. Chứng minh rằng:
a)

b)

. Gọi H,K, I lần lượt

c)

.

Bài 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,
các tam giác SAB và SAD. Chứng minh

d)

.

. Gọi AE, AF là đường cao

.

Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng a. mặt bên SAB là tam giác đều,
SCD là tam giác vng cân đỉnh S. gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tính các cạnh của tam giác SIJ và chứng minh rằng
b) Gọi H là hình chiếu của S lên IJ. Chứng minh rằng

.
.


c) Gọi N là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho

. Tính AN theo a.

Bài 15. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có tam giác ABC đều cạnh a, cạnh bên
a) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng

.

b) Gọi M là trung điểm của BB’. Chứng minh rằng

c) Lấy N trên A’B’ sao cho

và CC’=a.

.

và gọi J là trung điểm của B’C’. Chứng minh rằng

.

Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SB=SD.
a) Chứng minh (SAC) là mặt phẳng trung trực của đoạn BD.
b) Gọi H,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD. Chứng minh rằng: SH=SK,

OH=OK, HK//BD.
c) Chứng minh rằng (SAC) là mặt phẳng trung trực của HK.

DẠNG 2: GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Phương pháp:
Để xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) ta làm như sau:
+ Bước 1: Tìm giao điểm I của d với (P)

+ Bước 2: Chọn điểm

, tìm hình chiếu vuông góc H của A lên (P). Khi đó:

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, có cạnh
lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên các đường thẳng SB và SD.

. Gọi M,N

a) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (AMN).
b) Tính góc giữa SC và (ABCD).

Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Cho
AB=a,BC=2a,
a)
b)
c)
d)

.

Tính góc giữa SB và (ABC).
Tính góc giữa SC và (SAB).
Tính góc giữa SA và (SBC).
Tính tan của góc giữa SB và (SAC).


Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng với đường chéo bằng 2a, cạnh bên SA vng góc với
đáy. Cho
a)
b)
c)
d)

.

Tính sin của góc giữa SC và (ABCD).
Tính cosin của góc giữa SB và (SAC).
Tính góc giữa SA và (SBD).
Tính tan của góc giữa SA và (SCD).

Bài 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Cho AB=2a,

.

a) Tính góc giữa SA và (ABCD).
b) Chứng minh SB và AC vng góc với nhau.

Bài 5. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bằng a.
a) Gọi là góc giữa SA và (ABC) . Tính
.
b) Chứng minh AB và SC vng góc với nhau.

Bài 6. Cho lăng trụ ABC.A′B′C′, có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A; AA′ ⊥
(ABC). Đoạn nối trung điểm M của AB và trung điểm N của B′C′ có độ dài
bằng a, MN hợp với đáy góc α và mặt bên BCC′B′ góc β.
a) Tính các cạnh đáy và cạnh bên của lăng trụ theo a và α.
b) Chứng minh rằng: cosα =

sinβ.

DẠNG 3: THIẾT DIỆN QUA MỘT ĐIỂM CHO TRƯỚC VÀ VNG GĨC VỚI MỘT ĐIỂM CHO
TRƯỚC
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD cóa đáy ABCD là hình thang vng tại A và B với AB=BC=a,AD=2a,
và SA=2a. Gọi M là trung điểm cạnh AB,
Đặt

là mặt phẳng qua M và vng góc với AB.

.

a) Tìm thiết diện của hình chóp với
b) Tính diện tích thiết diện theo a và

. Thiết diện là hình gì ?
.

Bài 2. Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác đều cạnh a,

qua B và vng góc với SC. Tìm thiết diện của tứ diện SABC với

. Gọi

là mặt phẳng

và tính diện tích thiết diện đó.


Bài 3. Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông cân đỉnh B,AB=a.
điểm tùy ý trên cạnh AB, đặt . Gọi

, M là một

là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB.

a) Tìm thiết diện của tứ diện SABC với
b) Tính diện tích thiết diện theo a và

.

. Tìm giá trị của

để diện tích của thiết diện có giá trị lớn nhất.

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a,

a) Tính

và

.

và AH.

b) Gọi M là trung điểm của AB,

qua M và vuông góc với SB.
hình hình gì ? Tính diện tích thiết diện đó.

cắt hình chóp theo thiết diện là

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B,
một điểm trên cạnh AB.

. Gọi M là

là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB. Tìm thiết diện của hình chóp với

, thiết diện là hình gì ?
Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có
điểm BC.
a) Chứng minh

và

, tam giác ABC vuông tại A,AB=a, O là trung

.

b) Gọi M là điểm thuộc cạnh AB. Qua M dựng mặt phẳng

của hình chóp với
c) Đặt

vuông góc với AO. Xác định thiết diện

. Thiết diện là hình gì ?
. Tính diện tích thiết diện theo a và x. Tìm x để diện tích thiết diện là lớn

nhất.

HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
A. Lý thuyết


1. Góc giữa hai mặt phẳng

•

• Giả sử (P) ∩ (Q) = c. Từ I ∈ c, dựng

⇒

Chú ý:
2. Diện tích hình chiếu của một đa giác
Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S′ là diện tích của hình chiếu (H′)

của (H) trên (Q), ϕ =

. Khi đó:

S′ = S.cosϕ

3. Hai mặt phẳng vuông góc

• (P) ⊥ (Q) ⇔

• Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau:
4. Tính chất

•

•

•
5. Một số hình đa diện thường gặp
a) Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vng góc với các mặt đáy. Độ dài các cạnh bên được gọi là
chiều cao của hình lăng trụ.
- Hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều được gọi là lăng trụ đều
- Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp đứng
- Hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật được gọi là hình hộp chữ nhật
- Hình lăng trụ đứng có đáy là hình vng và các mặt đều là hình vng được gọi là hình lập phương


VD: Lăng trụ đứng tam giác

b) Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và chân đường cao của hình chóp trùng với tâm đường tròn
ngoại tiếp đa giác đáy

-Hình chóp cụt đều là phần hình chóp nằm giữa đáy là thiết diện song song với đáy cắt các cạnh bên của hình chóp
đều

B. Bài tập
Bài 1. Cho hình chóp SABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a; SA
⊥ (ABC) và SA = a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC.

a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).
b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SEF) và (SBC).

Đáp số: a)

= 600

b) cos

.

Bài 2. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O; SA ⊥ (ABCD). Tính SA theo a để số
đo của góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (SCD) bằng 600. Đáp số: SA=a
Bài 3. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp
đường tròn đường kính AB = 2a; SA ⊥ (ABCD) và SA = a
a) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC).
b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (SCD).

Đáp số: a) tan

b) cos

.

Bài 4. Cho hình vuông ABCD cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a
. Tính góc giữa
các cặp mặt phẳng sau:
a) (SBC) và (ABC)
b) (SBD) và (ABD)
c) (SAB) và (SCD)
Đáp số: a) 600

c) 300.

b) arctan

; SA ⊥ (ABCD) và SO =

Bài 5. Cho hình thoi ABCD cạnh a, tâm O, OB =
a) Chứng minh

.

vuông.

b) Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc.
c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC). (Đáp số: 600)
Bài 6. Cho hình chóp SABCD có SA ⊥ (ABCD) và SA = a
, đáy ABCD là hình
thang vuông tại A và D với AB = 2a, AD = DC = a. Tính góc giữa các cặp
mặt phẳng:
a) (SBC) và (ABC) b) (SAB) và (SBC)

c) (SBC) và (SCD)

Đáp số:

a) 450

b) 600

c) arccos

.

Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O, AB=a,
I,J lần lượt là trung điểm các đoạn AD,BC. Chứng minh rằng:
a)

b)

c)

Bài 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B và có
a)

. Gọi

. Chứng minh rằng:

b)

Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình cng tâm O, cạnh a;

. Gọi M,N lần

lượt là hia điểm trên hai cạnh BC,CD sao cho
. Chứng minh
.
Bài 10. Cho hình vng ABCD, I là trung điểm cạnh AB. Trên đường thẳng vng góc với (ABCD) tại I ta
lấy một điểm S ( S khác I). Chứng minh rằng:
a)
b) Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh rằng

.

Bài 11. Cho tứ diện ABCD có
. Gọi BE,DF là hia đường cao của tam giác BCD, DK là
đường cao tam giác ACD.
a) Chứng minh rằng: Hai mặt phẳng (ABE), (DFK) cùng vng góc với (ADC).
b) Gọi O, H lần lượt là trực tâm của hai tam giác BCD và ACD. Chứng minh rằng

Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA=SB=SC=a. chứng minh rằng:

.


b)

a)

vng tại S.

Bài 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều,

, I là trung điểm BC.

a) Chứng minh rằng
.
b) Gọi H là trực tâm tam giác ABC, K là trực tâm tam giác SBC. Chứng minh:
i)
AH,SK,BC đồng qui
ii)

và

.

iii)
.
Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt
phẳng vng góc với đáy, H là trung điểm AB. Chứng minh rằng:

b)
.
Bài 15. Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD cùng vuông góc với
đáy DBC. Vẽ các đường cao BE, DF của BCD, đường cao DK của ACD.
a) Chứng minh: AB  (BCD).
a)

b) Chứng minh 2 mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với
mp(ADC).
c) Gọi O và H lần lượt là trực tâm của 2 tam giác BCD và ADC. CMR: OH

 (ADC).
Bài 16. Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA  (ABCD).
a) Chứng minh (SAC)  (SBD).
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD).
c) Gọi BE, DF là hai đường cao của SBD. CMR: (ACF)  (SBC), (AEF)  (SAC).
Bài 17. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD).

Gọi M, N là 2 điểm lần lượt ở trên 2 cạnh BC, DC sao cho BM =
Chứng minh 2 mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau.

, DN =

.

Bài 18. Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB
là tam giác đều và vuông góc với đáy. Gọi I là trung điểm của AB.
a) Chứng minh rằng SI  (ABCD), AD  (SAB).
b) Tính góc giữa BD và mp(SAD).
c) Tính góc giữa SD và mp(SCI).
Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I cạnh a và có

góc A bằng 600, cạnh SC =

và SC ⊥ (ABCD).

a) Chứng minh (SBD) ⊥ (SAC).
b) Trong tam giác SCA kẻ IK ⊥ SA tại K. Tính độ dài IK.
c) Chứng minh (SAB) ⊥ (SAD).

HD:

b)

c ) Chöùng minh

Bài 20. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng

.

a) Tính góc giữa SA và (ABC).
b) Gọi

là góc giữa ( SBC) và (ABC). Tính

.

Bài 21. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình chữ nhật
. Tính :
a) Góc giữa BC và SD.
b) Góc giữa SB và (ABCD), SB và (SAD).
c) Góc giữa (SCD) và (ABCD).

Bài 22. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, có cạnh bằng 3a, cạnh bên 2a.
a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy.
b) Gọi

là góc giữa mặt bên và đáy. Tính

Bài 23. Trong mặt phẳng

chứng minh rằng:
a)
b)
c)

cho

.

vuông tại B. một đọan thẳng AD vuông góc với

tại A.

là góc giữa hai mặt phẳng (ABC), (DBC).
.
với H và K lần lượt là giao điểm của DB và DC với mặt phẳng (P) đi qua A và vuông
góc với DB.


KHOẢNG CÁCH
A. Lý thuyết

1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một
mặt phẳng
trong đó H là hình chiếu của M trên a hoặc (P).
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa
hai mặt phẳng song song
d(a,(P)) = d(M,(P))
trong đó M là điểm bất kì nằm trên a.
d((P),(Q) = d(M,(Q))

trong đó M là điểm bất kì nằm trên (P).
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
• Đường thẳng ∆ cắt cả a, b và cùng vuông góc với a, b được gọi là
đường vuông góc chung của a, b.
• Nếu ∆ cắt a, b tại A, B thì AB được gọi là đoạn vuông góc chung của a,
b.
• Độ dài đoạn AB được gọi là khoảng cách giữa a, b.
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách
giữa một trong hai đường thẳng đó với mặt phẳng chứa đường thẳng kia
và song song với nó.
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách
giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
B. Bài tập
a) Tìm khoảng cách từ điểm M đến một đường thẳng a
-

Cách 1:
Tìm mặt phẳng (P) chứa M và a

•

Vẽ
tại H. Khi đó d(M,a)=MH.
Cách 2: Dựng mặt phẳng (P) qua M và vng góc với a cắt a tại H. Khi đó d(M,a)=MH.

Chú ý: Nếu a//b thì d(a,b)=d(M,b) với
b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).

Dựng
c)

•
•
-

. Khi đó d(M,(P))=MH.

Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a,b:
Cách 1: Giả sử a ⊥ b:
Dựng mặt phẳng (P) chứa b và vuông góc với a tại A.
Dựng AB ⊥ b tại B. Khi đó AB là đoạn vuông góc chung của a và b.
Cách 2: Sử dụng mặt phẳng song song.
Dựng mặt phẳng (P) chứa b và song song với a.
Chọn M ∈ a, dựng MH ⊥ (P) tại H.
Từ H dựng đường thẳng a’// a, cắt b tại B.
Từ B dựng đường thẳng song song MH, cắt a tại A.

Khi đó AB là đoạn vuông góc chung của a và b.
Chú ý: d(a,b) = AB = MH = a(a,(P)).


•

Cách 3: Sử dụng mặt phẳng vuông góc.
-

Dựng mặt phẳng (P) a tại O.
Dựng hình chiếu b’của b trên (P).

-

Dựng OH b’ tại H.
Từ H, dựng đường thẳng song song với a, cắt b tại B.
Từ B, dựng đường thẳng song song với OH, cắt a tại A.

Khi đó AB là đoạn vuông góc chung của a và b.
Chú ý: d(a,b) = AB = OH.
Bài 1. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng ABCD tâm O cạnh a, SA vng góc với đáy và SA=a.
Gọi I là trung điểm của cạnh SC và M là trung điểm cạnh AB.
a) Chứng minh
b) Tính d(I,CM)

.

Bài 2. Cho tam giác ABC có AB=7, BC=5,CA=8. Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABC)
tại A lấy điểm O sao cho AO=4. Tính khoảng cách từ O đến BC.
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a. cạnh bên SA vng góc với đáy,
.
a) Tính khoảng cách từ C đến (SAB) và (SAD)
b) Tính khoảng cách từ A đến (SCD) và (SBD)
c) Tính khoảng cách từ B đến (SAC).

Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vng cân tại B. Cạnh bên SA vng góc v ới đáy. Cho
. Tính d(A,(SBC)).
Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a. M là trung đi ểm AB. C ạnh bên SA
vng góc vói đáy và

. Tính d(C,(SAB)), d(B,(SAC)),d(A,(SBC)).

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, mặt bên SAB vng góc v ới mặt
đáy và SA=SB=b. Gọi I, H lần lượt là trung điểm của CD và AB. Tính:

a) d( S,(ABCD)).
b) Tính d(I,(SHC)).
c) Tính khoảng cách từ AD đến (SBC).

Bài 7. Cho hình chóp SABCD, có SA  (ABCD) và SA = a
, đáy ABCD là nửa
lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kinh AD = 2a.


a) Tính các khoảng cách từ A và B đến mặt phẳng (SCD). ĐS: d(A,

(SCD)) = a

, d(B,(SCD)) =

b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC). (

)

c) Tính diện tích của thiết diện của hình chóp SABCD với mặt phẳng

(P) song song với mp(SAD) và cách (SAD) một khoảng bằng

.

(

)

Bài 8. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AA’ ⊥ (ABC) và AA’ = a, đáy ABC là tam

giác vuông tại A có BC = 2a, AB = a
.
a) Tính khoảng cách từ AA’ đến mặt phẳng (BCC’B’).
b) Tính khoảng cách từ A đến (A’BC).
c) Chứng minh rằng AB ⊥ (ACC’A’) và tính khoảng cách từ A’ đến mặt
phẳng (ABC’).

HD:

a)

b)

c)

Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và

.

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Đường thẳng SO ⊥ (ABCD) và SO =
Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm của BE.
a) Chứng minh (SOF) ⊥ (SBC).
b) Tính các khoảng cách từ O và A đến (SBC).

.

HD:

b) d(O,(SBC)) =

, d(A,(SBC)) =

.

Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ANCD là hình vng cạnh a, SA=h và SA vng góc với
(ABCD). Dựng và tính độ dài đoạn vng góc chung của
a) SB và CD

b) SC và BD

c) SC và AB

Bài 11. Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đơi một vng góc với nhau và OA=OB=OC=a. Gọi I là trung
điểm của BC. Hãy dựng và tính độ dài đoạn vng góc chung của:
a) OA và BC

b) AI và OC.

Bài 12. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Cho AB=2a,
a) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD).
b) Gọi H là hình chiếu vng góc của S lên (ABCD).

-Tính khoảng cách từ H đến (SBC).


- Tìm đoạn vuông góc chung của SH và BC. Tính khoảng cách giữa SH và BC.
- Tìm đoạn vuông góc chung giữa SA và BD. Tính khoảng cách giữa SA và BD.
Bài 13. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bằng a
a) Tính d(S,(ABC)).
b) Tìm đoạn vuông góc chung của SA và BC. Tính khoảng cách giữa SA và BC.

Bài 14. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B. SA vuông góc với đáy. Cho SA=AB=a.
a) Tìm đoạn vuông góc chung giữa SA và BC.
b) Gọi AH là đường cao của tam giác SAB.
- Tìm đoạn vuông góc chung của AH và BC. Tính d(AH,BC).
- Tìm đoạn vuông góc chung của AH và SC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng này.

Bài 15. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và đường cao
điểm của BC và K là hình chiếu vuông góc của O lên SI.

. Gọi I là trung

a) Tính khoảng cách từ O đến SA.
b) Chứng minh:
c) Tính d(O,(SBC)).

Bài 16. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a, đường cao

.

a) Tính khoảng cách từ O đến SD.
b) Gọi I là trung điểm của BC, K là hình chiếu vuông góc của O lên SI. Chứng minh

và tính d(O,

(SBC)).
c) Tính khoảng cách giữa SI và DC.
Bài 17. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.
a) Chứng minh rằng
.

b) Tính khoảng cách giữa ( BA’C’) và (ACD’).
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’.

Bài 18. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính khoảng ách giữa hai cạnh đối diện của tứ diện đó.
Bài 19. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a,BC=b, CC’=c.
a) Tính khoảng cách từ B đến (ACC’A’).
b) Tính khảng ách giữa hai đường thẳng BB’ và AC’.

Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB vuông góc với đáy và
SA=SB=a. Tính khoảng cách:
a) Từ S đến (ABCD).
b) Từ trung điểm I của CD đến (SHC), với H là trung điểm AB.
c) Từ AD đến (SBC).


Bài 21. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a,
và mặt phẳng đáy bằng

, góc của đường chéo A’C

.

a) Tính chiều cao của hình hộp đó.
b) Tìm đường vuông góc chung của A’C và BB’. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đó.

Bài 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và AB=2a, BC=a. Các cạnh bên của hình
chóp bằng nhau và bằng

.

a) Tính
.
b) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD, K là điểm bất kì thuộc đường thẳng AD.

Chứng minh rằng: khoảng cách giữa hai đường thẳng EF và SK không phụ thuộc vào K, hãy tính
khoảng cách đó theo a.
Bài 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, các cạnh bên bằng a.

a) Tính

b)

c) Gọi

là mặt phẳng qua AB và vuông góc với (SCD),
định các điểm M và N. Tính diện tích tứ giác ABMN.

cắt SC và SD tại M và N. Hãy xác

Bài 24. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a, đường cao

.

a) Tính khoảng cách từ O đến SD.
b) Gọi I là trung điểm của BC và K là hình chiếu vuông góc của O lên SI. Chứng minh:

.
c) Tính
d)

.
.

Bài 25. Chứng minh rằng nếu hai đường thẳng nối trung điểm hai cạnh AB và CD của tứ diện ABCD là
đường vuông góc của AB và CD thì AC=BD và AD=BC.

Bài 26. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a,
a) Chứng minh:
.
b) Xác định và tính đoạn vuông góc chung của SC và BD.
c) Tính sin của góc
d) Tính

.
.

.