03 ham so bac hai p2 BG

Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

03. HÀM SỐ BẬC HAI – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
DẠNG 2. ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC 2
Ví dụ 1: [ĐVH]. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
a) y = x 2 − 6 x
…
Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho ( P ) : y = −2 x 2 − 4 x + 6

b) y = − x 2 + 4 x + 5

a) Tìm tọa độ đỉnh, trục đối xứng vẽ ( P )
b) Tìm x sao cho y ≥ 0 .
...
1
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho ( P ) : y = x 2 + x − 4 .
2
a) Vẽ đồ thị.
1
b) Biện luận số nghiệm phương trình: x 2 + x − m = 0 .
2
...
Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho ( P ) : y = 2 x 2 − 3 x + 1
a) Vẽ đồ thị ( P ) .

b) Xác định m để phương trình 2 x 2 − 3 x + 1 = m không có nghiệm; có hai nghiệm; có 3 nghiệm; có 4 nghiệm.
khi x ≤ 0
− x

Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho hàm số y = f ( x ) =  2
− x + 2 x khi x > 0
a) Vẽ đồ thị hàm số.
b) Xác định m để phương trình f ( x ) = m có 3 nghiệm phân biệt.
...
Ví dụ 6: [ĐVH]. Vẽ đồ thị và lập bảng biến thiên của hàm số :

a) y = x 2 + 2 x

b) y = 0,5 x 2 − x − 1 + 1

...
Ví dụ 7: [ĐVH]. Cho ( P ) : y = x 2 − 4 x + 3

a) Vẽ đồ thị ( P ) . Suy ra đồ thị y = g ( x ) = x 2 − 4 x + 3
b) Tìm m để phương trình x 2 − 4 x + 3 = m có 8 nghiệm phân biệt.
…
Ví dụ 8: [ĐVH]. Cho parabol ( P ) : y = ax 2 + bx + c, a ≠ 0 . Xét dấu hệ số a và biệt thức ∆ khi:

a) ( P ) hoàn toàn nằm phía trên trục hoành

b) ( P ) hoàn toàn nằm phía dưới trục hoành

c) ( P ) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt và có đỉnh nằm phía trên trục hoành.
DẠNG 3. BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO – TIẾP TUYẾN
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số :
a) y = x − 1 và y = x 2 − 2 x − 1

b) y = 2 x − 5 và y = x 2 − 4 x − 1
Lời giải:

a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:
x 2 − 2 x − 1 = x − 1 ⇔ x 2 − 3 x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 3
Khi x = 0 thì y = −1 ; x = 3 thì y = 2
Vậy có 2 giao điểm A ( 0; − 1) và A ( 3; 2 ) .
b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

Tham gia khóa TOÁN 10 tại www.Moon.vn để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi TSĐH!


Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

x2 − 4x − 1 = 2x − 5 ⇔ x2 − 6 x + 4 = 0
∆ ' = 9 − 4 = 5 nên x1 = 3 − 5 , x2 = 3 + 5

Khi x1 = 3 − 5 thì y1 = 1 − 2 5 , khi x2 = 3 + 5 thì y2 = 1 + 2 5 .

(

) (

)

Vậy có 2 giao điểm M 3 − 5;1 − 2 5 , N 3 + 5;1 + 2 5 .

Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường parabol:
a) y = x 2 − 4 và y = 4 − x 2

b) y =

x2
+ x + 1 và y = x 2 − 2 x + 1
4

Lời giải:
a) Phương trình hoành độ giao điểm: x − 4 = 4 − x ⇔ 2 x 2 = 8 ⇔ x 2 = 4 ⇔ x = ±2
Khi x = −2 thì y = 0 ; x = 2 thì y = 0 . Vậy có 2 giao điểm A ( −2; 0 ) và B ( 2; 0 ) .
2

2

x2
+ x + 1 = x 2 − 2 x + 1 ⇔ 3 x 2 − 4 x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 4
4
Khi x = 0 thì y = 1 ; x = 4 thì y = 9 . Vậy có 2 giao điểm I ( 0;1) và J ( 4; 9 ) .
Ví dụ 3: [ĐVH]. Chứng minh đường thẳng:
a) y = − x + 3 cắt ( P ) : y = − x 2 − 4 x + 1

b) Phương trình hoành độ giaod điểm:

b) y = 2 x − 5 tiếp xúc với ( P ) : y = x 2 − 4 x + 4

Lời giải:
a) Phương trình hoành độ giao điểm: − x + 3 = − x − 4 x + 1 ⇔ x 2 + 3x + 2 = 0
Vì ∆ = 9 − 8 > 0 nên đường thẳng cắt ( P ) tại 2 điểm phân biệt.
2

b) Phương trình hoành độ giao điểm: x 2 − 4 x + 4 = 2 x − 5 ⇔ x 2 − 6 x + 9 = 0

Vì ∆ = 9 − 9 = 0 nên đường thẳng tiếp xúc với ( P ) .
Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 2 − 2 x + m − 1. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số:
a) Không cắt trục Ox
b) Tiếp xúc với trục Ox
c) Cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt ở về bên phải gốc O.
Lời giải:
2
Cho y = 0 ⇔ x − 2 x + m − 1 = 0; ∆ ' = 1 − ( m − 1) = 2 − m
a) Đồ thị không cắt trục Ox khi ∆ ' < 0 ⇔ 2 − m < 0 ⇔ m > 2 .
b) Đồ thị tiếp xúc trục Ox khi ∆ ' = 0 ⇔ 2 − m = 0 ⇔ m = 2 .
c) Đồ thị cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt ở về bên phải gốc O khi phương trình có nghiệm dương phân biệt
∆ ' > 0
2 − m > 0
m < 2


⇔1< m < 2 .
 P > 0 ⇔ m − 1 > 0 ⇔ 
m > 1
S > 0
1 > 0


Ví dụ 5: [ĐVH]. Biện luận số giao điểm của đường thẳng ( d ) : y = 2 x + m với ( P ) : y = x 2 + x − 6. Khi cắt 2 điểm A,
B, tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn AB.
Lời giải:
2
Phương trình hoành độ giao điểm: x + x − 6. = 2 x + m ⇔ x 2 − x − 6 − m = 0
∆ = 1 + 4 ( 6 + m ) = 4m + 25. Do đó:
Nếu m < −

25
thì ∆ < 0 : phương trình vô nghiệm nên ( d ) và ( P ) không có điểm chung.
4

25
thì ∆ = 0 : phương trình có nghiệm kép nên ( d ) tiếp xúc với ( P ) .
4
25
Nếu m > −
thì ∆ > 0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt nên ( d ) và ( P ) có hai điểm chung phân biệt.
4
Giả sử ( P ) và ( d ) cắt nhau tại hai điểm A và B phân biệt thì A, B có tọa độ: A ( x1 ; 2 x1 + m ) và B ( x2 ; 2 x2 + m ) .
Nếu m = −

x +x

Do đó trung điểm của đoạn thẳng AB là I  1 2 ; x1 + x2 + m 
 2


Tham gia khóa TOÁN 10 tại www.Moon.vn để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi TSĐH!


Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

1


x =
Theo định lí Vi-ét, ta có x1 + x2 = 1 nên điểm I : 
2
 y = 1 + m
25
19
1
19
Vì điều kiện m > −
nên y > − . Vậy quỹ tích của trung điểm I là phần đường thẳng: x = , giới hạn y > − .
4
5
2
5
2
Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho parabol ( P ) : y = x − 4 x + 3
Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A ( 4;1) biết rằng:

a) d cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt

b) d tiếp xúc với ( P ) .
Lời giải:
Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua A, phương trình của d là:
y − 1 = k ( x − 4 ) ⇔ y = kx − 4k + 1

Phương trình hoành độ giao điểm: x 2 − 4 x + 3 = kx − 4k + 1 ⇔ x 2 − ( k + 4 ) x + 4k + 2 = 0

∆ = ( k + 4 ) − 4 ( 4 k + 2 ) = k 2 − 8k + 4 .
2

a) d cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt khi ∆ > 0
⇔ k 2 − 8k + 4 > 0 ⇔ ( k − 4 ) > 8 ⇔ k − 4 > 2 2 ⇔ k < 4 − 2 2 hoặc k > 4 − 2 2 .
Phương trình d : y = kx − 4k + 1 .
2

b) d tiếp xúc với ( P ) khi ∆ = 0 ⇔ k 2 − 8k + 4 = 0 ⇔ k = 4 ± 2 2

(

)

(

)

Vậy d : y = 4 + 2 2 x − 15 − 8 2; y = 4 − 2 2 x − 15 + 8 2 .

Ví dụ 7: [ĐVH]. Lập phương trình tiếp tuyến với ( P ) : y = x 2 + x − 1
a) Tại điểm A ( −2;1)

b) đi qua B ( −1; − 5 )
Lời giải:

a) Đường thẳng d đi qua A ( −2;1) có hệ số góc k:
y − 1 = k ( x + 2 ) ⇔ y = kx + 2k + 1

Phương trình hoành độ giao điểm: x 2 + x − 1 = kx + 2k + 1 ⇔ x 2 + (1 − k ) x − 2 − 2k = 0

Điều kiện tiếp xúc: ∆ = 0 ⇔ (1 − k ) + 4 ( 2k + 2 ) = 0 ⇔ k 2 + 6k + 9 = 0 ⇔ k = −3. Vậy tiếp tuyến d : y = −3x − 5 .
2

b) Đường thẳng d đi qua B ( −1; 5 ) có hệ số góc k ' :

Phương trình hoành độ giao điểm: x 2 + x − 1 = kx + k − 5 ⇔ x 2 + (1 − k ) x + 4 − k = 0

Điều kiện tiếp xúc: ∆ = 0 ⇔ (1 − k ) − 4 ( 4 − k ) = 0 ⇔ k 2 + 2k − 15 = 0 ⇔ k = 3 hoặc k = −5 .
2

Khi k = 3 , phương trình tiếp tuyến d1 : y = 3 x − 2
Khi k = −5 , phương trình tiếp tuyến d 2 : y = −5 x − 10 .

Ví dụ 8: [ĐVH]. Cho parabol ( P ) : y = x 2 − 3 x + 2 . Lập phương trình tiếp tuyến của ( P ) biết rằng:
a) Tiếp tuyến đó tạo với tia Ox một góc bằng 450
b) Tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 2 x + 1
1
c) Tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y = − x + 2
3
Lời giải:
a) Theo giả thiết tiếp tuyến d tạo với tia Ox một góc bằng 450 nên hệ số góc của đường thẳng d là d = tan 450 = 1 , do
đó d : y = x + b.
Phương trình hoành độ giao điểm: x 2 − 3x + 2 = x + b ⇔ x 2 − 4 x + ( 2 − b ) = 0

Điều kiện tiếp xúc: ∆ ' = 4 − ( 2 − b ) = 0 ⇔ b = −2
Vậy phương trình đường thẳng d là y = x − 2 .
b) Tiếp tuyến d song song với đường thẳng y = 2 x + 1 nên hệ số góc của d bằng 2, do đó d : y = 2 x + b, b ≠ 1.
Phương trình hoành độ giao điểm: x 2 − 3x + 2 = 2 x + b ⇔ x 2 − 5 x + ( 2 − b ) = 0

Điều kiện tiếp xúc: ∆ ' = 25 − 4 ( 2 − b ) = 0 ⇔ b = −

17

.
4

Tham gia khóa TOÁN 10 tại www.Moon.vn để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi TSĐH!


Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Vậy phương trình tiếp tuyến d là y = 2 x −

Facebook: LyHung95

17
.
4

1
c) Tiếp tuyến d vuông góc với đường thẳng y = − x + 2 nên có hệ số góc của d bằng 3, do đó d : y = 3x + b
3
2
Phương trình hoành độ giao điểm: x − 3x + 2 = 3x + b ⇔ x 2 − 6 x + 2 − b = 0
Điều kiện tiếp xúc: ∆ ' = 9 − ( 2 − b ) = 0 ⇔ b = −7 .
Vậy phương trình tiếp tuyến d là y = 3 x − 7.

Ví dụ 9: [ĐVH]. Tìm m để đường thẳng d : y = x − 1 cắt parabol ( P ) : y = x 2 + mx + 1 tại hai điểm P, Q mà đoạn
PQ = 3 .
Lời giải:
2
Phương trình hoành độ giao điểm: x + mx + 1 = x − 1 ⇔ x 2 + ( m − 1) x + 2 = 0
Điều kiện cắt tại 2 điểm P, Q : ∆ > 0 ⇔ m 2 − 2m − 7 > 0
Ta có PQ = 3 ⇔ ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) = 9

2

2

⇔ ( x2 − x1 ) + ( x2 − 1 − x1 + 1) = 9 ⇔ 2 ( x2 − x1 ) = 9
2

2

(

2

)

⇔ 2 x12 − x22 − 2 x1 x2 = 9 ⇔ S 2 − 4 P =

9
2

b
c
= 1 − m, P = x1 x2 = = 2
a
a
25
=
2

Theo định lí Vi-ét: S = x1 + x2 = −

9
2
⇔ (1 − m )
2
5
5 2
⇔ m −1 = ±
⇔ m =1±
(chọn).
2
2

nên: (1 − m ) − 8 =
2

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị hàm số y = x 2 − 2mx + m2 − 1 luôn cắt trục hoành tại hai
điểm phân biệt và đỉnh I của đồ thị hàm số luôn chạy trên một đường thẳng cố định.
Bài 2: [ĐVH]. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
a) x 2 + x x + 2 = m .

b) − x 2 + 3 x − 2 = m.

c) ( x + 2 ) ( x − 1) − m = 0 .

d) x 2 − 2 x − 3 − m = 0 .

Bài 3: [ĐVH]. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
a) x x − 3 − 4 − m2 = 0

b) x 2 + 3 x − x − 2 − m3 + 5 = 0

c) ( x + 1) (1 − x ) − 2m = 0

d) 2 x 2 − 3 x + 1 − m = 0

Bài 4: [ĐVH]. Tìm tham số m để phương trình sau có k nghiệm phân biệt
a) ( m − x 2 − x − 1)( m − x 2 + x ) = 0 ,
(Với k = 4)
b) ( x 2 − 2 x − m )( x 2 + 4 x + 2 − m ) = 0,

(Với k = 4)

Bài 5: [ĐVH]. Cho hàm số ( P ) : y = ( 2 − m ) x 2 + ( 3m + 1) x − 2m, ( Cm ) .

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( P ) khi m = 1 , gọi là ( Cm ) .

b) Chứng minh rằng họ đồ thị ( Cm ) luôn đi qua điểm cố định.
c) Định tham số m để đồ thị hàm số ( Cm ) nhận đường thẳng y = 2 x + 1 làm tiếp tuyến.
d) Dựa và đồ thị ( C1 ) , biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x 2 − 2 x + 3 − 2 ( m + 1) = 0.
Bài 6: [ĐVH]. Tìm điểm cố định của họ đồ thị các hàm số.
Tham gia khóa TOÁN 10 tại www.Moon.vn để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi TSĐH!


Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

a) y = ( m − 1) x 2 + 2mx − 3m + 1 .

b) y = ( m − 2 ) x 2 − ( m − 1) x + 3m − 4.
c) y = mx 2 − 2mx + 1 .
Bài 7: [ĐVH]. Tìm điểm cố định của họ đồ thị các hàm số.
a) y = m2 x 2 + 2 ( m − 1) x + m2 − 1 .
b) y = ( m − 1) x3 − m + 2 .
c) y = mx3 − mx + 2 .
Bài 8: [ĐVH]. Định tham số m để các cặp đồ thị sau không cắt nhau; cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
a) ( P1 ) : y = x 2 − 2 x + 4 và ( P2 ) : y = − x 2 + 2 x + m .
b) ( P1 ) : y = mx 2 − mx + m và ( P2 ) : y = x 2 + (2 − m) x + 3 .
Bài 9: [ĐVH]. Định tham số m để các cặp đồ thị sau tiếp xúc với nhau (có duy nhất một điểm chung).
1
a) ( P1 ) : y = − x 2 + x + 1 và ( P2 ) : y = x 2 − x + m .
2

b) ( P1 ) : y = x 2 + mx − m2 và ( P2 ) : y = x 2 − 5mx − 6 .
Bài 10: [ĐVH]. Cho Paranbol ( P ) : y = x 2 − x + 2 .
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số ( P ) .
b) Tìm tham số m để phương trình x 2 − x − m 2 = 0 có nghiệm duy nhất.

Tham gia khóa TOÁN 10 tại www.Moon.vn để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi TSĐH!