File a chuyên đề 3 nguyên hàm tích phân ứng dụng

3A. Nguyên hàm

 

3A. NGUYÊN HÀM
 

 Dạng 39. Nguyên hàm hàm đa thức, phân thức
Câu 1. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   3 x 2 
x2
 C . 
4
x2
C.   f  x  dx x3 
 C . 
2
A.   f  x  dx x3 

x
. 
2

x3 x 2

 C .  
3
4
x2
D.   f  x  dx x3 
 C . 
2

Lời giải tham khảo 
B.   f  x  dx 

Chọn đáp án A.
 2 x
x2
3
3
x

dx

x

 C . 
 
2 
4
5

 x3

Câu 2. Tìm nguyên hàm của hàm số   f  x   x   1  . 
 18

2

6

A.



6

 x3

f  x  dx    1   C . 
 18


 x3

B.   f  x  dx  6   1   C . 
 18


6

6


1  x3
C.   f  x  dx    1   C . 
6  18



1  x3
D.   f  x  dx    1   C . 

2  18

Lời giải tham khảo 

Chọn đáp án A.
x3
Đặt  t 
 1.  
18
2

Câu 3. Cho  f   x   3  x  2  , f  0   8.  Hàm số  y  f  x   là hàm số nào trong các hàm sau 
đây? 
3

2

A.  f  x   2  x  2   8.  

B.  f  x    x  2   4 . 

C.  f  x   6  x  2   4 . 

D.  f  x    x  2  . 

 

3

Lời giải tham khảo 

Chọn đáp án D.
Sử dụng  f  x    f   x  dx , giả thiết  f  0   8  giúp ta tìm được hằng số C . 
Câu 4. Tìm  giá  trị  của  tham  số  m   để  hàm  số  F  x   mx 3   3m  2  x 2  4 x  3   là  một 
nguyên hàm của hàm số  f ( x)  3x 2  10 x  4 . 
A.  m  3 . 

B.  m  0 . 
C.  m  1 . 
Lời giải tham khảo 

D.  m  2 . 

Chọn đáp án C.
File word liên hệ qua

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ]

|1


3A. Nguyên hàm

Áp dụng  F ’  x   f  x   và đồng nhất hệ số ta có  m  1.  
Câu 5. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x  

1
. 
x3

1
 C . 
2x2
1
C.   f  x  dx   x 2  C . 
2

A.   f  x  dx  

B.   f  x  dx 

1
 C . 
x4

 

D.   f  x  dx  ln 3 x  C . 
Lời giải tham khảo 

Chọn đáp án A.
1
x 2
1 2
1
I   3 dx   x 3 dx 
C 
x  C  2  C . 
2

2
x
2x
 
 

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
x2  x  1
Câu 6. Tìm nguyên hàm của hàm số  f ( x) 
. 
x 1
1
1
 C . 
 C .    
A.   f ( x)dx  x 
 
B.   f ( x)dx  1 
x 1
( x  1)2
x2
C.   f ( x)dx   ln x  1  C .  
2

D.   f ( x)dx  x 2  ln x  1  C . 

 

Câu 7. Tìm nguyên hàm của hàm số  f ( x) 

1
. 
x  3x  2
2

 f ( x)dx  ln

x2
 C .    
x1

 

B.   f ( x)dx  ln

x2
 C . 
x1

C.   f ( x)dx  ln

x1
 C .    
x2

 

D.   f ( x)dx  ln

x1

 C . 
x2

A.

x 4  2 x3  1
 thoả mãn  F  1  2 . 
x2
x3
1 5
B.   x2   .  
3
x 3
3
x
1
D.   x2   9 . 
3
x

Câu 8. Tìm nguyên hàm  F  x   của hàm số  f  x  
x3
1 5
 x 2   .  
3
x 3
3
x
1 5
C.   x 2   .  

3
x 3
A.

 

 

 

 

 

 

Câu 9. Hàm số nào sau đây không là một nguyên hàm của hàm số  y 
A.  y 

x2  x  1
.  
x1

B.  y 

x2  x  1
.  
x1

C.  y 

x2
.   
x1

x(2  x)
? 
( x  1)2

D.  y 

Câu 10. Tìm nguyên hàm  F  x   của hàm số  f  x    thoả mãn  f '  x   ax+

x2  x  1
. 
x1
b
, f '  1  0,
x2

f  1  4, f  1  2 .  

A. 

x2 1 5
  .   
2 x 2

File word liên hệ qua

B. 

x2 1 5
  .
2 x 2   

C. 
 

x2 1 5
  .  
2 x 2

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

D. Kết quả khác. 
[ Nguyễn Văn Lực ]

|2


3A. Nguyên hàm

Câu 11. Tìm giá trị  của tham số  a  để  hàm số  F( x) 
hàm số  f ( x) 

6

 x  2

A.  a  1 .  
C.  a  3 .  

2

. 

 
 

 
 

 
 

 
 

Câu 12. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x  
A.   f  x  dx   ln x 
C.

ax  a 2  3
 là một nguyên hàm của 
x2

1
 C .  
x

1

 f  x  dx  ln x  x  C .  

 

 
 

B.  a  1  hoặc  a  3 . 
D.  a  1  hoặc  a  3 . 
x 1
. 
x2
1
 C . 
x
1
D.   f  x  dx   ln x   C . 
x

B.   f  x  dx  ln x 

5

Câu 13. Tìm nguyên hàm của hàm số   f ( x)   3 x  1 . 
6
1
3 x  1  C .   


3
5
1
3 x  1  C .  
C.   f ( x)dx 

18

A.   f ( x)dx 

 
 

6
1
3 x  1  C . 

18
6
1
D.   f ( x)dx   3 x  1  C . 
6

B.   f ( x)dx 

 

 Dạng 40. Nguyên hàm hàm căn thức
Câu 14. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   x 2 

3
 2 x . 
x

x3
4 3
x3
4 3

3
ln
x

x

C
. 
B. 
f
x
dx

 3 ln x 
x . 




3

3
3
3
x3
4 3
x3
4 3
C.   f  x  dx   3 ln x 
x  C . 
D.   f  x  dx   3 ln x 
x  C . 
3
3
3
3
Lời giải tham khảo 
Chọn đáp án A.
 2 3

3
2
  x  x  2 x  dx   x dx   x dx  2 xdx
 
1
3
1
1
4
  x2 dx  3 dx  2  x 2 dx  x 3  3 ln x  x 2  C
x

3
3
A.

f  x  dx 

Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   x 1  x 2 .  
3
A.   f  x dx  1  x 2
2
2
C.   f  x dx  1  x2
3








3
2

3
2

1
 C . 
B.   f  x dx  1  x 2

3
1
 C . 
D.   f  x dx  1  x2
3
Lời giải tham khảo 







3
2



3
2

 C . 
 C . 

Chọn đáp án B.





1

f  x    1  x 2 xdx   1  x 2 2 xdx 
File word liên hệ qua

1

1
1
1  x 2 2 d 1  x2  1  x 2

2
3



 





Facebook: www.facebook.com/VanLuc168



3
2

C

 

[ Nguyễn Văn Lực ]

|3


3A. Nguyên hàm

Câu 16. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   3x+2 . 
A.

2

 f  x  dx  9  3x  2 

C.   f ( x)dx 

9
 3x  2 
2

2
 3x  2  3x+2  C . 
3
3
3x+2  C . 
D.   f ( x)dx   3 x  2  3x+2  C . 
2

Lời giải tham khảo 

B.   f  x  dx 

3x+2  C . 

Chọn đáp án A.
1
2

Ta có   f ( x)dx   3x+2dx    3x+2  dx 

2
 3x  2  3x  2  C . 
9

Câu 17. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   x 1  x 2 . 
2
1
1
1  x 2  C . 
B.   f  x  dx 
2
3
2
2
1
x
C.   f  x  dx 
1  x2  C . 

D.   f  x  dx 
3
2
Lời giải tham khảo 
Chọn đáp án C.
2
1
x2
2
2
2
2
x
1

x
dx

1

x
d
1

x

1

x
 C . 


2
2

A.   f  x  dx 











3

  C . 
1  x   C . 
2

2










1  x2

Câu 18. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   3 3x  1 . 
A.   f  x  dx (3x  1) 3 3x  1  C . 

B.   f  x  dx 

13
3 x  1  C . 
3

1
C.   f  x  dx  (3 x  1) 3 3 x  1  C . 
D.   f  x  dx  3 3x  1  C . 
4
Lời giải tham khảo 
Chọn đáp án C.

 f  x dx  

3

  f  x dx 

3 x  1dx    3 x  1

1

3

d  3 x  1
3

4

1
1
1  3 x  1 3
   3 x  1  3 d  3 x  1 
C 
4
3
3
3

1
3 x  1 3 3 x  1  C .  

4

Câu 19. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   3 x 2 

14
. 
1 x

53 5
3

x  14 ln 1  x  C . 
B.   f  x  dx   3 x 5  14 ln 1  x  C . 
3
5
3
3
C.   f  x  dx  3 x 5  14 ln 1  x  C . 
D.   f  x  dx  3 x 5  14 ln 1  x  C . 
5
5
Lời giải tham khảo 
Chọn đáp án C.
 23
3 2
14 
1 
33 5
x

dx

x

14.
x  14 ln 1  x  C .

dx 

 



1 x
1 x
5

 

A.   f  x  dx 

File word liên hệ qua

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ]

|4


3A. Nguyên hàm
 

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Câu 20. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x  
A.   f  x  dx  2 x  C.   

 

C.   f  x  dx  2 x  2 ln

B.   f  x  dx  2 x  1  ln






2 x  1  4   C.  

2 x  1  4  C.   



x  1  C.   

C.   f  x  dx  

xx
2

 C .    

x  x1

 C .   

.  

x x

1

x 1

 C.  

D.   f  x  dx  2 ln x  x  C.  

Câu 23. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x  

2

1

B.   f  x  dx  2 ln

 


1 
C.   f  x  dx  2 ln  x 
  C.     
x


A.   f  x  dx  

. nào sau đây là đúng? 





2 x  1  ln 

 f  x  dx 2 ln 

2x  1  4

2 x  1  4  C.   

Câu 22. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x  
A.

1

x  1  C.  

2 x  1  4  C.  

C.   f  x  dx  2 x  1  4 ln
D.   f  x  dx  2

x  1  C.  

D.   f  x  dx  2 x  2 ln

Câu 21. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x  



. 

1 x

B.   f  x  dx 2 ln

 

x  1  C.    

A.   f  x  dx  2 x  1  2 ln

1

1
2x  x x  x

. 

 

B.   f  x  dx  

 

D.   f  x  dx  

2
x 1
2

 C .  

2 xx

 C . 

Câu 24. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   x 2  k  với  k  0 .  
k
ln x  x 2  k  C .  
2
1 2
x
x  k  ln x  x 2  k  C . 
B.   f  x  dx 
2
2
k
C.   f  x  dx  ln x  x 2  k  C .  
2
1
D.   f  x  dx 
 C . 
2
x k

A.

x

 f  x  dx  2

x2  k 



Câu 25. Cho  F  x   3 x  1  ax 2  bx  c
f  x 

10 x 2 - 7 x  2

2x - 1
A.  S  3 .  

File word liên hệ qua



2 x - 1  là một nguyên hàm của hàm số 

1

 trên khoảng   ;   . Tính  S  a  b  c . 
2

 
B.  S  0 .  
 
C.  S  4 .  
 
Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

D.  S  2 . 
[ Nguyễn Văn Lực ]

|5


3A. Nguyên hàm

Câu 26. Tìm các giá trị của tham số  a , b , c  để  F  x   ( ax 2  bx  c ) 2 x - 3  là một nguyên 
hàm của hàm số  f  x  

20 x2 - 30 x  7

2x - 3
A.  a  4, b  2, c  2 .    
 
C.  a  2, b  1, c  4 .   

3

 trong khoảng   ;   .  
2

 
B.  a  1, b  2, c  4 . 

 

D.  a  4, b  2, c  1 . 

 

Câu 27. Trong các hàm số sau: 
   I       f  x   x2  1      II      f  x   x 2  1  5  
   III    f  x  

1
x2  1

     IV     f  x  

1
x2  1

- 2 

Hỏi hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số  F( x)  ln x  x 2  1 ? 
A.Chỉ   I  .  

 

B. Chỉ   III  .   

C. Chỉ  II  .    

D. Chỉ   III   và (IV). 

2



1 
Câu 28. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x    3 x 
 . 
x

3

1
1 
3
12 6 5
x  ln x  C .   B.   f  x  dx   3 x 
A.  f  x  dx  x 3 x 2 
  C . 
3
5
5
x
2
3
12 5 6
x  C . 
C.   f  x  dx  x 3 x  x  C .  
 
D.   f  x  dx  x 3 x 2  ln x 
5
5





Câu 29. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x  

x
a2  x 2

. 

 

 

B.   f  x  dx  ln a  x 2  C .  

C.   f  x  dx  a2  x 2  C .    

 

D.   f  x  dx  ln a 2  x 2  C . 

A.   f  x  dx  1  x2  C .  
 

 Dạng 41. Nguyên hàm hàm lượng giác
Câu 30. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   sin 2 x . 
x sin 2 x

 C . 
2

2
x sin 2 x
 C . 
C.   f  x  dx  
2
4

A.   f  x  dx 

x sin 2 x

 C . 
2
4
x sin 2 x
 C . 
D.   f  x  dx  
2
2
Lời giải tham khảo 

B.   f  x  dx 

 

Chọn đáp án C.

 sin

2

xdx  

1  cos 2 x
x sin 2 x
dx  
 C . 
2
2
4

Câu 31. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   sin  2 x  1 . 
1
cos(2 x  1)  C . 
2

A.   f  x  dx  cos(2 x  1)  C . 

B.   f  x  dx 

1
C.   f  x  dx  cos(2 x  1)  C . 
2

D.   f  x  dx   cos(2 x  1)  C . 

File word liên hệ qua

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ]

|6


3A. Nguyên hàm

Lời giải tham khảo 
Chọn đáp án B.
1

1

 sin  2x  1 dx  2  sin  2x  1 d  2x  1   2 cos  2x  1  C . 
 
Câu 32. Tìm nguyên hàm  F  x   của hàm số  f  x   1  sin 3 x  thoả mãn  F    0 . 
6
1

1

A.  F( x)  x  cos 3 x  . 
B.  F( x)   cos 3 x  . 
3
6
3
6
1

1


C.  F( x)  x  cos 3 x  . 
D.  F( x)  x  cos 3 x  . 
3
6
3
6
Lời giải tham khảo 
Chọn đáp án B.
1

F  x   x  cos 3 x  .
3
6  
Câu 33.  Tìm  nguyên  hàm  F  x    của  hàm  số  f  x   2 x 3  3 x 2  1  sin 2 x   thoả  mãn 
F  0   1 . 

x4
x3
1
1
x4
x3
1
1
 3  x  . cos 2 x  . 
B.  F  x   2  3  x  . cos 2 x  . 
4
3
2

2
4
3
2
2
4
3
4
3
x
x
1
1
x
x
1
1
C.  F  x   2  3  x  . cos 2 x  . 
D.  F  x   2  3  x  . cos 2 x  . 
4
3
2
2
4
3
2
2
Lời giải tham khảo 
Chọn đáp án A.
x4

x3
1
F  x    2 x 3  3 x2  1  sin 2 x dx  2  3  x  . cos 2 x  C
4
3
2
1
1
 
Vì  F  0   1  nên  cos 0  C  1  C  .
2
2   
A. F  x   2





Câu 34. Cho  f   x   3  5 sin x  và  f  0   10 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 
A.  f  x   3 x  5 cos x  2 . 

B.  f    3 . 

   3
C.  f   
. 
2 2

D.  f  x   3 x  5 cos x . 
Lời giải tham khảo 

Chọn đáp án B.
f  x    f '  x dx  3 x  5 cos x  C ;  f (0)  10  C  5  

Vậy  f  x   3 x  5 cos x  5  f     3 . 
Câu 35. Mệnh đề nào dưới đây là sai? 
A.   cos x dx  sin x  C . 

B.   sin x dx   cos x  C . 

C.   e x dx  e x  C . 

D.  

1
dx   tan x  C . 
sin 2 x

Lời giải tham khảo 
File word liên hệ qua

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ]

|7


3A. Nguyên hàm

Chọn đáp án D.
1
 sin 2 x dx   cot x  C . 
Câu 36. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   1  cot 2 x .  
A.   f  x  dx  tan x  C . 

B.   f  x  dx   tan x  C .   

C.   f  x  dx  cot x  C . 

D.   f  x  dx   cot x  C . 
Lời giải tham khảo 

Chọn đáp án D.
1

 1  cot x dx   sin
2

2

x

dx   cot x  C  

Câu 37. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   x cos x . 

 f  x  dx x sin x – cos x  C . 
C.   f  x  dx x sin x  cos x  C . 

B.   f  x  dx   x sin x – cos x  C .     

A.

D.   f  x  dx   x sin x  cos x  C . 

Lời giải tham khảo 
Chọn đáp án A.
Đặt  u  x , dv  cos xdx;  ta chọn  du  dx , v  sin x.   
Do đó  I  x sin x    sin xdx  x sin x  cos x  C .
Câu 38. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   sin 3 x.cos5 x . 
1
1
B.   f  x  dx  sin 2 x  cos8 x  C . 
4
16
1
1
1
1
C.   f  x  dx  cos2 x  sin 8 x  C . 
D.   f  x  dx   cos2 x  cos8 x  C . 
4
16
4
16
Lời giải tham khảo
Chọn đáp án A.
1
1

1
 f ( x)dx  2   sin 8x  sin 2 x dx  4 cos2x  16 cos8 x  C .

A.

1

1

 f  x  dx  4 cos2x  16 cos8 x  C .

Câu 39. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x  
1
2
A.   f  x  dx  cos  C.  
4
x
1
1
C.   f  x  dx  cos  C.  
4
x

1
1
1
sin cos .  
2
x
x

x

1
1
B.   f  x  dx  sin  C.    
4
x
1
2
D.   f  x  dx  sin  C.  
4
x
Lời giải tham khảo 

Chọn đáp án A.
1
Đặt  t  . 
x
1
 thoả mãn  F  0   1.  
cos 2 x
B.  1 – tan x . 
C.  1  tan x . 
D.  tan x  1 . 
Lời giải tham khảo 

Câu 40. Tìm nguyên hàm  F  x   của hàm số  f  x   
A.  – tan x . 

File word liên hệ qua

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ]

|8


3A. Nguyên hàm

Chọn đáp án B.
F( x)   

1
dx   tan x  C. F  0   1  nên   C  1.
cos 2 x

 
 

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 

 

x
. 
cos 2 x
B.   f  x  dx x tan x+ ln sin x  C . 

 

D.   f  x  dx x tan x- ln cosx  C . 

Câu 41. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x  

 f  x  dx x tan x+ ln cosx  C .  
C.   f  x  dx x tan x- ln sin x  C .  
A.

Câu 42. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x  
1
1

 C .    
3
3 cos x cos x
1
1

 C .    
C.   f  x  dx 
3
3 cos x cos x

A.   f  x  dx 

sin 3 x
. 
cos 4 x
1

1

 C . 
3
3 cos x cos x
1
1

 C . 
D.   f  x  dx 
3
3 cos x cos 2 x

B.   f  x  dx  

A.   f  x  dx  cot x  tan x  C.   

 

1
. 
sin x cos2 x
B.   f  x  dx   cot x  tan x  C.  

C.   f  x  dx   cot x  tan x  C.   

 

D.   f  x  dx  cot x  tan x  C.  

Câu 43. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x  

Câu 44. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x  
A.   f  x  dx  

1


tan  x    C.     
2
4


C.   f  x  dx  

1


tan  x    C.     
2
4


Câu 45. Cho  I  

2

1

 cos x  sin x 

2

. 

1


B.   f  x  dx  tan  x    C.  
2
4

1


D.   f  x  dx  tan  x    C.  
2
4



s inx
 cos x  s inx  
dx    A  B 
 dx . Tính giá trị  A , B . 
cos x  s inx
 cos x  s inx  


1

.     
2
1
1
C.  A   , B  .   
2
2

A.  A  B 

 

 

 

 

 

 

1
B.  A  B   .   
2
1
1
D.  A  , B   .  
2
2

Câu 46. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   x sin 1  x2 . 
A.   f  x  dx   1  x 2 cos 1  x 2  sin 1  x 2  C.   
B.   f  x  dx   1  x 2 cos 1  x 2  sin 1  x 2  C.  
C.   f  x  dx  1  x 2 cos 1  x 2  sin 1  x 2  C.   
D.   f  x  dx  1  x 2 cos 1  x 2  sin 1  x 2  C .  
File word liên hệ qua

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ]

|9


3A. Nguyên hàm

Câu 47. Xét các mệnh sau đây: 
2


x
x
 I     F  x  x  cos x  là một nguyên hàm của  f  x    sin - cos   
2
2

3
x4
   II    F  x  

 
 6 x  là một nguyên hàm của  f  x  x3 
4
x
   III  F  x  tan x  là một nguyên hàm của  f  x    ln cos x  
Mệnh đề nào sai? 
A.  I   và   II  .   

B. Chỉ   III  .    

C.Chỉ   II  .    

D. Chỉ   I   và   III  . 

Câu 48. Cho  hàm  số  F  x   e x 2 ( a tan 2 x  b tan x  c )   là  một  nguyên  hàm  của 
  
tan 3 x  trên khoản    ;  . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 
 2 2
1
2
2
A.  F  x   e x 2  tan 2 x 
tan x 
 . 
2
2
2


1

2
1
B.  F  x   e x 2  tan 2 x 
tan x   . 
2
2
2 

1
2
1
C.  F  x   e x 2  tan 2 x 
tan x   .  
2
2
2 

1
2
2
D.  F  x   e x 2  tan 2 x 
tan x 
 . 
2
2
2 


f  x  ex

2

Câu 49. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   tan 2 x . 
A.   f  x  dx  tan x  x  C .         

 

B.   f  x  dx  tan x  x  C .  

C.   f  x  dx   tan x  x  C .  

 

D.   f  x  dx   tan x  x  C . 

 

Câu 50. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   xcos x2 . 
1
A.   f  x  dx  s inx  C .    
2
1
C.  f  x  dx   s in x 2  C .  
2

 

 
 

1
B.   f  x  dx   s inx  C . 
2
1
D.   f  x  dx  s in x 2  C . 
2

 

Câu 51. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   x sin 2 x .  
1 2
1
1
1
x  x sin 2 x  cos 2 x  C .   B.   f  x  dx  x 2  x sin 2 x  cos 2 x  C . 
2
2
4
2
1
1
1
1

C.  f  x  dx  x 2   x   cos 2 x C .   
D.   f  x  dx  x 2  x sin 2 x  cos 2 x  C . 
4
2
4
2



A.   f  x  dx 

Câu 52. Cho  a  0 ,  C  là hằng số. Mệnh đề nào dưới đây sai? 
1
1
A.   sin  ax  b dx   cos  ax  b   C .   B.   cos  ax  b dx   sin  ax  b   C . 
a
a

 1
1
1
C.   ax  b  dx 
ax  b   C .   D.    e axb dx  e axb  C . 

a
   1

File word liên hệ qua

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ] | 10


3A. Nguyên hàm

Câu 53. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   sin 2 x  cos x . 

A.   f  x  dx  cos 2 x  sin x  C .  

 

C.   f  x  dx   cos 2 x  sin x  C .    

1
cos 2 x  sin x  C . 
2
D.   f  x  dx  sin 2 x  sin x  C . 

B.   f  x  dx  

1
 sin 2 x . 
x

Câu 54. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   x 2 

x3
1
x3
1
A.  f  x  dx   ln | x |  cos 2 x  C .   B.   f  x  dx   ln | x |  cos 2 x  C . 
3
2
3
2
3
3

x
1
x
1
C.   f  x  dx   ln | x |  cos 2 x  C .   D.   f  x  dx   ln | x |  cos 2 x . 
3
2
3
2
 

 Dạng 42. Nguyên hàm hàm mũ – lôgarit
Câu 55. Mệnh đề nào sau đây là sai? 
1
 F  x    e  x  C . 
x
e
1
D.  y   x  F  x    e  x  C . 
 C . 
e
Lời giải tham khảo 

A.  y  e  x  F  x    e  x  C . 
C.  y  e  x  F  x   e  x

B.  y 

Chọn đáp án D.
x

x
 e dx   e  C   Đáp án A đúng. 
1

x

x

 e dx   e dx  e
 e dx    e dx e

 C   Đáp án B đúng. 

x

x

1

e

x

x

dx   

x

 C   Đáp án C đúng. 

1
dx    e  x dx  e  x  C   Đáp án D sai. 
x
e

Câu 56. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   x.e x .  
A.   f  x  dx x.e x – e x  C . 

B.   f  x  dx xe x  e x  C . 

C.   f  x  dx   x.e x – e x  C . 

D.   f  x  dx e x  x.e x  C . 
Lời giải tham khảo 

Chọn đáp án A.
+  f ( x).dx   x.e x .dx   

 

+ Đặt  u  x  du  dx   và  dv  e x .dx  v  e x   

+ Vậy    f ( x).dx  x.e x   e x .dx  x.e x  e x  C  
2

Câu 57. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   2 xe x . 
2

A.   f  x  dx  2e x  C . 

2

C.   f  x  dx e x  C . 

2

B.   f  x  dx 2 x2 e x  C . 
2

D.   f  x  dx  2 xe x  C . 
Lời giải tham khảo 

Chọn đáp án C.
Đặt  t  x2 .  
File word liên hệ qua

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ] | 11


3A. Nguyên hàm

Câu 58. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x  
A.   f  x  dx  x  ln  e x  1  C . 

1
. 
e 1
B.   f  x  dx   x  ln  e x  1  C . 

x

C.   f  x  dx   x  ln  e x  1  C . 

D.   f  x  dx  x  ln  e x  1  C . 

Lời giải tham khảo 
Chọn đáp án D.
Đặt  t  e x  1 . 
Câu 59. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x  
A.

 f  x  dx 2e

C.   f  x  dx 

x

 C . 

e x
 C . 
2

e

x

x

. 
B.   f  x  dx e2

x

 C . 

D.   f  x  dx e

x

 C . 

Lời giải tham khảo 
Chọn đáp án A.
Đặt  t  x  . 
Câu 60. Mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng? 
1
xdx
1
 
 ln  x 2  4  C                 II     cot xdx  - 2  C  
 I       2
sin x
x 4 2
1
 
 III     e2cos x sin xdx  - e2cos x  C  
2
A.Chỉ   I  . 

B. Chỉ   III  .                   C.Chỉ   I   và   II  .  D. Chỉ   I   và   III  . 
Lời giải tham khảo 
Chọn đáp án D.
2
xdx
1 d x 4
1
 2
 
 ln x 2  4  C
2
2
x 4 2
x 4
1
1
  e 2 cos x sin xdx    e 2 cos x d  cos x    e 2 cos x  C .
2
2
 
 









 

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Câu 61. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x  
A.  f  x  dx 

ln 2  ln 2 x 

C.  f  x  dx  

2

 C .   

ln 2  ln 2 x 
2

 C .  

 
 

ln  ln x 
x ln x

. 

B.   f  x  dx 

ln 2  ln x 

D.   f  x  dx 

2



ln 2 ln 2 x
2

 C . 

  C . 

Câu 62. Tìm giá trị của tham số  a , b  để  F  x    ax  b  e x  là một nguyên hàm của hàm số 
f  x    xe x . 

A.  a  1, b  1 .   

File word liên hệ qua

B.  a  1, b  2 .  

C.  a  2, b  1 .  

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

D.  a  1, b  1 . 

[ Nguyễn Văn Lực ] | 12

3A. Nguyên hàm

Câu 63. Tìm nguyên hàm  F  x   của hàm số  f  x   xe x
2

e x 1
 e .  
A. 
2

2

 

e x 1
 e .    
B. 
2

2

1

 thoả mãn  F  0  

2

e x 1

 e .    
C. 
4

3e
. 
2

2

e x 1
 e . 
D. 
4

Câu 64. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   e x (2 x  e 3 x ) .  
1 4x
e  C .   
4
1
C.   f  x  dx  2 xe x  2 e x  e 4 x  C .   
4

A.   f  x  dx  2 xe x  2e x 

1 4x
e  C . 
4
1
D.   f  x  dx  2 xe x  2e x  e 4 x  C . 

4

B.   f  x  dx  2 xe x  2 e x 

Câu 65. Cho  a  0  và  a  1 .  C  là hằng số. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 
a2 x
A.   a x dx  a x . ln a  C .  
 
 
B.   a2 x dx 
 C . 
2 ln a
C.   a2 x dx  a2 x  C .    
 
 
D.   a2 x dx  a2 x . ln a  C .
 
 

File word liên hệ qua

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ] | 13


3A. Nguyên hàm
 

 Dạng 43. Bài tập tổng hợp về nguyên hàm

 
 

Câu 66. Nguyên hàm nào dưới đây không tồn tại? 
x2  x  1
A.  
dx . 
B.    x 2  2 x  2dx . 
x 1
C.   sin 3 xdx . 
D.   e 3 x xdx . 
Lời giải tham khảo 
Chọn đáp án B.
Trong ý B biểu thức trong căn luôn âm nên hàm không liên tục dẫn đến không có nguyên 
hàm. 
Câu 67. Cho    F  x    là  một  nguyên  hàm  của  hàm  số  f  x    trên  khoảng   a; b  .   Giả  sử 
G( x) cũng  là  một  nguyên  hàm  của  f  x    trên  khoảng   a; b  .   Mệnh  đề  nào  dưới  đây  là 

đúng? 
A. F  x   G  x  trên khoảng   a; b  .
B. G  x   F  x  – M  trên khoảng   a; b   với  M   là một hằng số nào đó.
C. F  x   G  x   C  với mọi x thuộc giao của hai miền xác định.
D.  F  x   và  G  x   là hai hàm số không có sự liên quan. 
 
Chọn đáp án B.
 
Câu 68. Nguyên hàm nào dưới đây không tồn tại? 

x2  x  2
. 

A.  f  x  
x3
C.  f  x   s in3x.  

B.  f  x    x 2  2 x  2.  
D.  f  x   xe3 x .  
Lời giải tham khảo 

Chọn đáp án B.
2
Ta có:   x  2 x  2  0 x    Vậy không tồn tại   x 2  2 x  2  
 
                                                              nên không nguyên hàm   x 2  2 x  2dx



 

2

Mặt khác:biểu thức : 

x  x 1
có nghĩa  x ≠ 1, biểu thức:  sin 3x ;  e3x x  có nghĩa x. 
x 1  

 

File word liên hệ qua

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ] | 14


3B. Tích phân

 
 
 
 

3B. TÍCH PHÂN

 Dạng 44. Tích phân hàm đa thức, phân thức
b

Câu 1. Tìm các giá trị của  b  sao cho    (2 x  4)dx  5 . 
0

A.  5 . 

B.  1;5 . 

C.  1 . 

D.  1;4 . 

Lời giải tham khảo 
Chọn đáp án B.

b

b

b  1
2
(2
x

4)
dx

5

(
x

4
x
)

5

b

4
b

5


0

 b  5 . 
0

0
2

1

Câu 2. Cho  I  3 x 2  2 x  ln(2 x  1) dx . Tìm giá trị của  a  biết  I  b ln a  c  với  a , b , c  


0

là các số hữu tỉ. 
A.  a  3 . 

C.  a 

B.  a  3 . 

2
. 
3

D.  a  

2
. 

3

Lời giải tham khảo 
Chọn đáp án A.
1

1

1

I   3 x 2  2 x  ln(2 x  1) dx   3 x 2  2 x  dx    ln(2 x  1) dx  I1  I 2  
0

0

0

u  ln(2 x  1)

Giải  I 2  bằng phương pháp từng phần 

dv  dx

 

3
I  ln3  1  a  3 . 
2
 
 

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
0

Câu 3. Tính tích phân  I 

2

3

 x ( x  1) dx . 

1

7
A.  I 
.  
70

 

B.  I 

1
.  
60

 

C.  I 

2
.  
15

 

D.  I 

1
. 
60

 

1
C.  I   .    
6

D.  I 

1
. 
6

1

Câu 4. Tính tích phân  I  x(1  x)5 dx . 



0

A.  I  

1
.  
42

File word liên hệ qua

 

B.  I 

1
.  
42

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ]  | 15   


3B. Tích phân
1

Câu 5. Tính tích phân  I 

x

3

 3x

1000



.( x 2  1)dx . 

0

1001

A.  I 

4
.    
3003

31001
.   
3000

B.  I 

C.  I 

41000
.   

3000

D.  I 

31001
. 
3003

11
. 
2

D.  I 

29
. 
2

 
2

x2  4 x
dx . 
Câu 6. Tính tích phân  I  
x
1

A.  I 

29

. 
2

B.  I 

11
. 
2

C.  I 

Lời giải tham khảo 
Chọn đáp án B.
2

I
1

2

x2  4 x
11
dx   ( x  4)dx  .
x
2
1
5

Câu 7. Cho  
1

dx
 ln a . Tính giá trị của  a . 
2x  1

A. 2. 

B. 3. 

C. 4. 
Lời giải tham khảo 

D. 5. 

Chọn đáp án B.
5

dx

1

 2x  1  2 ln(2 x  1)
1

5
1



1

ln 9  ln 3.  
2

Câu 8. Tính tích phân  I  

1

0

A.  I 


4

. 

1
. 
1  x2

B.  I  



. 

C.  I 



4
2
Lời giải tham khảo 

. 

D.  I 


6

. 

Chọn đáp án A.


  
Đặt  x  tan t , t    ;  ,  viết tích phân theo biến  t  và các cận mới  t  0, t   rồi tính 
4
 2 2
tích phân mới nhận được. 
1
dt  1  tan 2 t dt  
Từ  x  tan t  ta có:  dx 
2
cos t



1

1
1

2
4
4
4
dx

.
1

tan
t
dt

dt

t
|
 .
Do đó:  I  
0


2
2
0 1 x
0 1  tan t
0

4
1
2
2 x  3x  6
dx  a  b ln 3 . Tính  P  a.b . 
Câu 9. Cho  
2x  1
0
 







A. P  

21
. 
4

B. P 



21
4
. 
C. P   . 

4
21
Lời giải tham khảo 

D.  P 

4
. 
21

 Chọn đáp án A.
1
2 x 2  3x  6
3 7
 
0 2 x  1 dx  2  2 ln 3 .  
 
 

File word liên hệ qua

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ]  | 16   


3B. Tích phân

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
1

1016
dx . 
2x
0 1 e

Câu 10. Tính tích phân  I  

1 16
1 16
2e 2
A.  I  10 ln e .  
 
 
 
B.  I  10 ln 2
.  
2
2
e 1
1
2e 2
1
e2
C.  I  1015 ln 2
.   
 
 
D.  I  1016 ln 2
. 

2
2
e 1
e 1
2
1
15
Câu 11. Cho   2
dx  ln . Tính giá trị của  k . 
7
0 x  2x  k

A. k  1 .   

 

B. k  4 .  

 

C. k  2 .  

 

D.  k 

3
. 
4

 x  38
dx . 
Câu 12. Tính tích phân  I  
10
2
x

1

0
1

A. I 

318  29
63.39

.   

B.  I 
e2

Câu 13. Tính tích phân   I 


1

A. I  4 e  7e  8 .  
C. I  8 e  7e  4 .  

318  29
63.39

.  

C. I 

318  29
63.39

.  

D.  I  

318  29
63.39

. 

2 x  5  7x
dx . 
x

 
 

 
 

 

 

B.  I  7 e  4e  8 .  
D.  I  4 e  7e  8 . 

2
5

Câu 14. Tính tích phân  I  x. 1  x  dx . 


1

42
A.  I  
.    
13

B.  I 

13
.  
42

 

C.  I  

13
.    

42

D.  I 

42
. 
13

 Dạng 45. Tích phân hàm căn thức
1

Câu 15. Tính tích phân  I  x 2 1  x 2 dx . 


0

A.  I 


2

. 

B.  I 


8

. 

C.  I 


4

. 

D.  I 


16

. 

Lời giải tham khảo 
Chọn đáp án D.

t  0
x  0 
Đổi biến số:  đặt  x   sin t , đổi cận  

   
t 
x  1

2
 

File word liên hệ qua

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ]  | 17   


3B. Tích phân
4

2 x2  4 x  1
Câu 16. Tính tích phân  I  
dx . 
2x  1
0
478
448
A.  I 
. 
B.  I 
. 
15
15

408
. 
15

C.  I 

D.  I 

378
. 
15

D.  I 

1 
 . 
4 8

Lời giải tham khảo 
Chọn đáp án A.

t 2 1
 tdt  dx
Đặt  t  2 x  1    t  2 x  1  x 
2
2

x  4   t=3
                                 x=0    t=1

2x 2  4 x  1  2(

 

t2 1 2
t 2 1
t 4  2t 2  1
)  4.

1 
2
2 
2

t 4  2t 2  1
3
3
1
2
I 
.t.dt    t 4  2t 2  1.dt 
t
21
1
2
2

Câu 17. Tính tích phân  I 
A. I 



1
 . 
4 2

 3 478
1  t 5 2t 2
t 

 
  
2 5
3
 1 15

x2

dx.  
2
1

x
0
 1
B.  I   .  
8 4



C.  I 



1
 . 
8 4

Lời giải tham khảo 
Chọn đáp án C.

Đặt  x  sin t  khi đó  dx  cos tdt  
Đổi cận: với  x  0  t  0;    x 

4

Ta có: I 



2

t   
2
4


2

sin tcost

0

1  sin 2 t

4

dt  


2

sin tcost
cos 2 t

0

3

Câu 18. Tính tích phân  I 


0

A. I 

5
. 
3

x3
x2  1



4

dt 

1
1 1

4  1
(1

c
os2t)
dt

t

sin
2
t

    
2 0
2 2
0 8 4

dx . 

5
3

B.  I   . 

C.  I 

4
. 
3

4
3

D.  I   . 

Lời giải tham khảo 
Chọn đáp án C.
Đặt  u=

x 2  1  u2  x2  1 udu  xdx

x=0  u= 1 ; x=
3


0

3  u= 2

 u3
2 4
dx =  (u2  1)du =   u  =
x2  1
 3
1 3
1
x3

2

File word liên hệ qua

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ]  | 18   


3B. Tích phân
 

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
7

Câu 19. Tính tích phân  I 



x3 dx
2

3

. 

1 x
141
B.  I 
.     
10

0

141
.     
10

A. I  

2



C.  I 

141
.     
20

D.  I  

47
. 
10



Câu 20. Tính tích phân  I   min x; 3 2  x dx . 
0

A. I 

4
.  
5

 

B. I  

4
.  
5

 

C. I  

5
.  
4

 

D.  I 

5
. 
4

5

Câu 21. Tính tích phân  I 

x

x 2  4dx.  

0

A.  I 

19
.  
3

 

B.  I  1 .  

 

19
.    
3

D.  I  

.  

 

D.  I   . 

7
.  
9

 

D.  I  1 . 

C.  I  

28
. 
3

2

Câu 22. Tính tích phân  I   4  x 2 dx.  
0

2

A.  I 

 1
2

.    

B.  I 

 2 1
2

.   

C.  I 


2

1

Câu 23. Tính tích phân  I  x 3x 2  1dx.  


0

7
A.  I  .  
3

B.  I 

 

8
.  

9

 

C.  I 

 

 Dạng 46. Tích phân hàm lượng giác

6

Câu 24. Tính tích phân  I   tanxdx . 
0

3
A.  I  ln . 
2

B.  I  ln

3
2 3
. 
C.  I  ln
. 
2
3
Lời giải tham khảo 

D.  I  ln 2 . 

Chọn đáp án C.




6

6





6
sin x
1
3
tan
xdx

dx


0
0 cos x
0 cos x d  cos x    ln cos x 6   ln 2  
0



Câu 25. Tính tích phân  I  x.sin xdx . 


0

A.  I 


2

. 

B.  I  0 .  

C.  I   . 

D.  I  1 . 

Lời giải tham khảo 
File word liên hệ qua

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ]  | 19   


3B. Tích phân

Chọn đáp án C.










I   x.sin xdx    xd(cos x)   x cos x 0   cos xdx  (  cos x  s inx) 0    
0

0

0


2

3

Câu 26. Tính tích phân  I    cosx  1 sin xdx . 
0

15

A. I  .  
4

 

B.  I  

15
. 
4

C.  I 

15
. 
2

D.  I  

15
. 
2

Lời giải tham khảo 
Chọn đáp án A.



Đặt   t  cosx  1  dt   s inxdx . Đổi cận x  0  t  2; x 
1

t4
I    t dt  

4
2

1

3


2

15
4

2

 t  1;  

 


Câu 27. Tính tích phân  I   4  2 x  3  . sin 4 x.dx . 
0

A.  I 





8

3
. 
2

B.  I 



3
 3
. 
C.  I   . 
2 8
8 2
Lời giải tham khảo 

D.  I 





 3 . 

8

Chọn đáp án C.


I

4
0

du  2.dx
u  2 x  3
 2 x  3  . sin 4x.dx. Đăt : dv  sin 4x.dx ta có : 
1

v   4 cos 4 x.dx


 




 1
4 1
 1
1 1
4  3
 I     2 x  3  cos 4 x    4 cos 4 x.dx     2 x  3  cos 4 x  . . sin 4 x   
2 4
 4
0 2 0
 4
0 8 2


2

Câu 28. Tính tích phân  I  x cos xdx.  


0

A. I 


2

 1.  

B.  I  1 


2

C.  I 

. 


2

. 

D.  I 


2

 1.  

Lời giải tham khảo 
Chọn đáp án D.

2

u  x
du  dx



Đặt  
 I  x sin x 02   sin xdx   cos x 02   1
2
2
dv  cosxdx v  s inx
0
 




4

Câu 29. Tính tích phân  I   e s inx cos xdx . 
0

A.  I  e

2
2

. 

B.  I  e

2
2

 1 . 
C.  I  e
Lời giải tham khảo 

2
2

 1 . 

D.  I  e

2
1
2

. 

Chọn đáp án C.

File word liên hệ qua

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ]  | 20   


3B. Tích phân



4

Ta có  I   e s inx d  s inx   e s inx
0

4
0

e

2
2

 1 


2

Câu 30. Tính tích phân  I 

 sin 2x cos xdx . 


2

A.  I  0 . 

C.  I 

B.  I  1 . 

1
. 
3

D.  I 

1
. 
6

Lời giải tham khảo 
Chọn đáp án A.

2

I

 sin 2x cos xdx  0 . 


2



Câu 31. Tính tích phân  I   sin 2 x.cos 2 xdx . 
0

A. I 


6

B.  I 

. 


3

C.  I 

. 


8

D.  I 

. 


4

. 

Lời giải tham khảo 
Chọn đáp án C.








1
1
1
1

I   sin x.cos xdx   sin 2 2 xdx   (1  cos 4 x)dx  ( x  sin 4 x)   
40
80
8
4
8

0
0
2

2


2

Câu 32. Tính tích phân  I   sin 2 x cos 3 xdx . 
0

A. I 

2
. 
15

B.  I 

3
. 
15

C.  I 

2
. 
13

D.  I  

2
. 
15

Lời giải tham khảo 
Chọn đáp án A.




2

2

I   sin 2 x cos 3 xdx   sin 2 x cos 2 x cos xdx  
0

0

Đặt  t  sin x  dt  cos xdx ;  Đổi cận  x  0  t  0 ;  x 


2

 t  1 

1
 t3 t5  1 2

2
Do đó  I   t 2  1  t  dt     
. 
 3 5  0 15
0
 

File word liên hệ qua

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ]  | 21   


3B. Tích phân
 

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 


Câu 33. Tính tích phân  I   ( x  sin x) 2 dx . 
0

A.  I 

3
3




2

.   

B.  I 


2
3




2

.  

C.  I 

3
3



5
.  
2

D.  I 

2
3



5
. 
2

sin x

Câu 34. Tính tích phân  I   3

.dx . 
1  6 cos x
1
7  2 .  
B.  I 
3
0

A.  I 

1
3







7  2 .  



C.  I 

1
2





7  2 .   D.  I 





7  2 . 


3

Câu 35. Để tính  I   tan 2 x  cot 2 x  2dx . Một bạn giải như sau:  


6


3

      Bước 1:  I  



 tan x  cot x 



2

3

dx                       Bước 2:  I   tan x  cot x dx  


6

6





3

3





      Bước 3:  I    tan x  cot x  dx                           Bước 4:  I   2
6

6



      Bước 5:  I  ln sin 2 x

3



 2 ln

6

A. 2.  

 

cos2x
dx  
sin2x

 

3
. Bạn này làm sai từ bước nào? 
2

B. 3.    

 



C. 4.    

 

D. 5. 



cos 2 x
cos 2 x
dx

m
I

dx . 
Câu 36. Biết  

. Tính giá trị của 
x
x

 1  3
 1  3
A.  I    m .    

B.  I 


4

 m .   



C.  I    m .   

D.  I 

C.  I  5 ln 3.    

D.  I  3 ln 5 . 

4

 m . 



Câu 37. Tính tích phân  I 

5
3

A.  I  ln .  

 

2 cos x
dx . 
3  2sin x
3
B.  I  ln .    
5
2
0





1  sin 3 x
 sin 2 x dx . 

4

Câu 38. Tính tích phân  I 

6

32
.   
2
3 2
C.  I 
.  
2
A.  I 

File word liên hệ qua

 

 

 

 

 

 

3 2 2
.  
2
32 2 2
D.  I 

. 
2
B.  I 

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ]  | 22   


3B. Tích phân

3

Câu 39. Tính tích phân  I  
0

3

A. I  .   
2
 

s inx
dx . 
cos3 x

3
2

B.  I   .     

 



sin  x  
4

Câu 40. Cho  
dx  m.
3
cos
x
0
1
A. P   .  
 
B. P 
4

3
2

3
2

C.  I   .     

D.  I   .  



4

1

 . Tính  P  m 

2
1
.  
4

 

1
. 
2

C. P  0 .  

 

D.  P  1 . 

 

D.  I  2 . 

 

D. 


2

Câu 41. Tính tích phân  I   max sin x; cosxdx . 
0

A.  I  1 .  

 

B.  I  2 .  

 

C.  I   .  

 

C. 


2

Câu 42. Tính tích phân   cos 2 xdx . 
0

A. 


2

.    

 

B. 


4

.   

2
3

.  


3

. 

 
 

 Dạng 47. Tích phân hàm mũ – lôgarit
2

Câu 43. Tính tích phân   2e 2 x dx . 
0

4

B.  e 4  1 . 
C.  4e 4 . 
Lời giải tham khảo 

A. e . 

D.  3e 4 . 

Chọn đáp án B.
2

 2e

2x

dx  e 4  1  

0

1

2

Câu 44. Cho  I   e  x xdx . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 

0

A. I 

e 1
. 
2

B.  I 

2e  1
e 1
. 
. 
C.  I  
2e
2
Lời giải tham khảo 

D.  I 

e 1
. 
2e

D.  I 

1
 1 . 
e2

Chọn đáp án D.
1
0
2
1
1
1 e 1
1
Đặt  t  x 2   dt  xdx   e  x xdx   e t dt   1   
 
2 1
2
e
2e
2
0
Câu 45. Tính tích phân  I  

0

2

A.  I  3e 2  1 . 

File word liên hệ qua

 x  2  e dx . 
x

5
 3 . 
e2
Lời giải tham khảo 

B.  I  2(1  e 2 ) . 

C.  I 

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ]  | 23   


3B. Tích phân

Chọn đáp án C.
u  x  2  du  dx
Đặt  
/ 
x
x
dv  e dx  v  e

I

0

2

 x  2  e dx   x  2  e
x

  x  2 e

x 0
2

e

x 0
2

x 0
2

0

  e x dx
2

5
5
 3  2  2  3
e
e

 

e

Câu 46. Tính tích phân  I   ln xdx . 
1

A.  I  4 . 

B.  I  3 . 
C.  I  2 . 
Lời giải tham khảo 

D.  I  1 . 

Chọn đáp án D.

1

u  ln x
 du  dx
I   ln xdx ; Đặt  
 ta có  
x , khi đó 
 dv  dx
1
v  x
e

e
e

e

e

I  x.ln x 1   dx  x.ln x 1  x 1  e  (e  1)  1  
1

e

Câu 47. Tính tích phân  I   x. ln x.dx . 
1

2

e2  1
B.  I 
. 
4

1 e
A. I 
. 
4
 

e2  3
C. I 
.   
4
 

3  e2
D.  I 
. 
4

Lời giải tham khảo 
Chọn đáp án D.

1
e
du  dx
e
u  ln x
1 2
1
3  e2

x
Ta có:  

 I  x ln x   xdx 
 
2
21
4
dv  xdx v  1 x2
1

2
e

Câu 48. Tính tích phân  I 



x ln xdx .  

1

2
2
e e  2 .  B.  I  e e  2 . 
A.  I 
3
6









C.  I 

2
2
e e  2 .  D.  I  e e  2 . 
9

7









Lời giải tham khảo 
Chọn đáp án C.
1

u  ln x
du  x dx

.....  
Tích phân từng phần : 
1
3
dv  x 2 dx v  2 x 2

3
e

Câu 49. Tính tích phân  I   x 2 ln xdx . 
1

3

A.  I 

2e  1
. 
9

File word liên hệ qua

B.  I 

2e 3  1
e3  2
. 
C.  I 
. 
9
9
Lời giải tham khảo 

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

D.  I 

e3  2
. 
9

[ Nguyễn Văn Lực ]  | 24   

3B. Tích phân

Chọn đáp án A.
e

e

e
 x3

1
2e 3  1
Tính  I   x ln xdx   ln x    x 2 dx 
. 
9
 3
1 3 1
1
2

e

Câu 50. Tính tích phân  I   ( x  1) ln x d x . 
1

2

e 3
A.  I 

. 
2

e2  3
B.  I 
. 
3

e2  3
C.  I 
. 
4

e2  3
D.  I 
. 
6

Lời giải tham khảo 
Chọn đáp án C.
Sử dụng công thức tính tích phân từng phần ta có: 
e

e

e

e
 x2


 x2
 1
 x2

e2
e2  3
I   ( x  1) ln x d x    x  ln x     x . dx   e    x  
. 
2
2
x
2
4
4




1
1
1
1
e

Câu 51. Cho  I   x 2 . ln( x  1)dx . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 
1
  
5 2
5 3
5 2

 ln 2.
A.  I    ln 2. B.  I    ln 2.
C.  I 
18 3
18 2
18 3
Lời giải tham khảo
 Chọn đáp án D.

D.  I  

5 2
 ln 2.  
18 3

1

du   
dx

x 1
u  ln    x  1   

Đặt 
3
2
d
v

x

d
x

v  x

3
1

1

e

I   x 2 . ln( x  1)dx 
1

1

Tính  
0

1

1
x3
1
x3
1
x3
dx  ln 2  
dx  

ln( x  1)  
3 0 x1
3
x

1
3
3
0
0

1

1

x3
x3  1  1

1 
5
dx  
dx       x 2  x  1 
dx   ln 2  

x1
x1
x  1
6
0
0

e

I   x 2 . ln( x  1)dx 
1





1
5 2
15

ln 2    ln 2     ln 2
3
18 3
36

 
4

Câu 52. Tính tích phân  I   2 x.ln  3x  6  .dx . 
3

11
. 
2
11
C.  I  12 ln 6  5 ln 3  . 

2

A.  I  12 ln 6  5 ln 3 

11
. 
2
11
D.  I  12 ln 6  5 ln 3  . 
2
Lời giải tham khảo

B.  I  12 ln 6  5 ln 3 

Chọn đáp án D.
I

4

3


1
u  ln  3 x  6 
.dx
du 
2 x. ln  3 x  6  .dx. Đăt : 
ta có : 
 
x2

v  x 2  4
dv  2 x.dx


File word liên hệ qua

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ]  | 25