Chủ đề ôn thi tốt nghiệp THPT quốc gia môn toán hay

THPT Khánh Lâm
Tổ Toán - Tin

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Bài 1: Xét sự đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau:
1. y = x 4 − 2 x 2 + 3
2
4. y = x − x + 1
x −1
Bài 2: Chứng minh rằng:

2. y = 2 x 3 − 6 x + 2

3. y = 3x + 1
1− x

5. y = 2 x − 1 − x − 5

6. y = x + 1 − 4 − x 2

 π
x2
x
x
∈
0;
tan
x
>
sin
x

e
>
1
+
x
+
1.
với
2.
với x > 0

÷.
2
 2
x x2
x
x3
1
+
−
<
1
+
x
<
1
+
x
−
< sin x với x > 0.

3.
với x > 0.
4.
2 8
2
3!
Bài 3: Tìm m để các hàm số sau đây đồng biến trên R.
x3
3
2
1. y = + mx 2 + ( m + 6 ) x − ( 2m + 1) .
2. y = mx − ( 2m − 1) x + ( m − 2 ) x − 2
3
m −1 3
x + mx 2 + ( 3m − 2 ) x
3. y =
3
2
3
2
Bài 4: Tìm m để hàm số y = − m − 5m x + 6mx + 6 x − 6 đơn điệu trên R. Khi đó hàm số

(

)

đồng biến hay nghịch biến? Tại sao?
Bài 5: Tìm m để các hàm số sau nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.
1
mx + 4

1. y = ( m + 1) x3 − mx 2 + 2mx + 1
2. y =
3
x+m
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Bài 1: Tìm cực trị của các hàm số sau:
2
1. y = x3 ( 1 − x )
2. y = 2 x3 + 3 x 2 − 36 x − 10
3. y = x 4 − 5 x 2 + 4
4. y = x − 6 3 x 2

5. y = sin x + cos x, x ∈ ( −π ; π )

6. y = sin 2 x

x2 + 2 x
( 1)
x −1
1. Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
2. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó.
1
Bài 3: Cho hàm số y = x 3 − mx 2 + ( m 2 − m + 1) x + 1 . Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 1 .
3
1
3
Bài 5: Cho hàm số y = − x 4 − x 2 + .
2
2
1. Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số.

2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: x 4 + 2 x 2 + m = 0 .
Bài 6: Cho hàm số y = 2 x3 − 3 x 2 + 1
1. Tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số.
2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2 x3 − 3 x 2 − m = 0 .
1
1
Bài 7: Cho hàm số y = mx3 − ( m − 1) x 2 + 3 ( m − 2 ) x + . Tìm m để:
3
3
1. Hàm số có cực trị.
2. Hàm số có cực đại và cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn: x1 + 2 x2 = 1 .
3. Hàm số đạt cực đại tại x = 0.
Bài 2: Cho hàm số: y =

Đề cương ôn tập TN THPT – Dương Bảo Quốc

Page 1


THPT Khánh Lâm
Tổ Toán - Tin

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = 4 x3 − 3 x 4 .
2
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 2 + ( x > 0 ) .
x
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
1. y = x − 2 + 4 − x .
2. y = x ( 4 − x )

3. y = x + 2 − x 2
4. y = x − 1 + 9 − x trên [ 3;6]
cos x
x
 π π
trên  − ; 
5. f ( x) =
6. y =
trên [-1; 4]
2 + sin x
x+2
 2 2
2
2
Bài 4: Xác định a để GTNN của hàm số y = 4 x − 4ax + a − 2a trên [ −2;0] bằng 2.
Bài 5: Cho x, y thỏa mãn x ≥ 0, y ≥ 0 và x + y = 1. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
x
y
P=
+
y +1 x +1
2 − 2 xy
1
2 − 2t
HD: P =
. Đặt xy = t với 0 ≤ t ≤ . Tìm GTLN, GTNN của hàm số P =
trên
xy + 2
4
t+2

đoạn [0; ¼].
Bài 6: Cho hàm số y = x 2 − 2ax + 2a . Tìm a để GTNN của hàm số trên [-1; 0] bằng 3.
Bài 11: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
3
2
1. f ( x) = x + 3x − 9 x + 1 trên [ −4;4] .
2. y = 25 − x 2 trên [ −4;4]
4
2
3. f ( x ) = x − 8 x + 16 trên [ −1;3]
1
trên ( 1; +∞ )
5. f ( x ) = x + 2 +
x −1

4. f ( x ) = x 1 − x 2
x
trên [ −2; 4]
6. f ( x) =
x+2

CÁC BÀI TOÁN VỀ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Bài 1: Cho hàm số y = − x3 + 3mx − m có đồ thị (Cm).
1. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = -1.
2. Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m = - 1.
x
3. Viết PTTT với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = + 2 .
6
3
4. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình x + 3 x = k .

1
3
Bài 2: Cho hàm số y = x 4 − mx 2 + .
2
2
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3.
2. Dựa vào đồ thị (C) hãy tìm k để phương trình x 4 − 6 x 2 + 3 − k = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
3 − 2x
Bài 3: Cho hàm số y =
.
x −1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị của hàm số tại hai điểm
phân biệt.
Bài 4: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = x 3 + 3x 2 − 4 .
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
Đề cương ôn tập TN THPT – Dương Bảo Quốc

Page 2


THPT Khánh Lâm
Tổ Toán - Tin

2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
a. Tại điểm có tung độ triệt tiêu.
b. Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x.
c. Biết tiếp tuyến đi qua điểm A ( −3; −4 )
3. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số.
1

m
1
Bài 5: Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y = x 3 − x 2 + .
3
2
3
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.
2. Gọi M là điểm trên (Cm) có hoành độ bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến của (C m) tại M vuông
góc với đường thẳng x + 5 y = 0 .
Bài 6:
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2 x3 − 9 x 2 + 12 x − 4 .
3
2
2. Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 2 x − 9 x + 12 x = m .

2x
.
x +1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại hai
1
điểm A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng .
4
y
3. Xác định m để đồ thị (C) cắt đường thẳng = x − m tại hai điểm phân biệt thuộc hai
nhánh của đồ thị.
Bài 8: Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + 4 .
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1; 2) với hệ số góc k (k > -3) đều cắt
đồ thị hàm số nói trên tại 3 điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của AB.

3.Trong các tiếp tuyến của đồ thị hàm số nói trên. Hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
3
2
Bài 9: Cho hàm số y = − x − 3x − mx − m + 2 ( Cm ) .
1. Tìm tọa độ điểm cố định mà đồ thị (Cm) luôn đi qua với mọi m.
2. Tìm m để (Cm) có cực đại tại x = -1.
3. Với giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có 1 điểm cực đại, 1 điểm cực tiểu và các điểm cực
trị đó có hoành độ trái dấu?
x+2
Bài 10: Cho hàm số y =
.
x−2
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị và trục Ox.
3. Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục tọa độ.
4. Tìm trên đồ thị hàm số các điểm có tọa độ nguyên.
5. Tìm m để đồ thị hàm số và đường thẳng y = -x + m cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B
sao cho tam giác IAB có diện tích bằng 15/2. Với I là giao điểm của hai đường tiệm cận.
6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và hai tiếp tuyến với đồ thị tại điểm
có hoành độ bằng 3 và điểm có tung độ bằng 2.

Bài 7: Cho hàm số y =

Đề cương ôn tập TN THPT – Dương Bảo Quốc

Page 3


THPT Khánh Lâm
Tổ Toán - Tin

HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:
 14 − 12 log9 4

log 3 405 − log 3 75
+ 25log125 8 ÷.49log7 2
1. P =  81
2. Q =
log 2 14 − log 2 98


3. E = 3 3 9 27 3

(

5. Cho a = 2 + 3

)

4. C = 5 2 3 2 2
−1

(

,b = 2 − 3

)

−1

. Tính A = ( a + 1) + ( b + 1)
−1

−1

a 2 + b 2 = 7ab
a+b 1
= ( log 7 a + log 7 b ) .
Bài 2. Chứng minh rằng nếu 
thì log 7
3
2
a > 0, b > 0
Bài 3.
a. Cho log 2 3 = a,log 3 7 = b . Tính log 21 98 .
b. Cho log 2 5 = a,log 3 16 = b . Tính log 45 50 .
c. Cho log 3 50 = a,log 3 60 = b . Tính log 25 80 .

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARÍT.
PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ.
Bài 1: Giải phương trình:
1. 2 x

2

− x +8
x −1

3. 2 .5 = 0.2.10

5. 2 x.3x −1.5 x −2 = 12
x

2. 2 x

= 41−3 x

x +5

Bài 2:Giải phương trình:
1. 34 x +8 − 4.32 x +5 + 27 = 0
3 . (2 + 3) x + (2 − 3) x − 4 = 0

2. 22 x +6 + 2 x + 7 − 17 = 0
4. 2.16 x − 15.4 x − 8 = 0

5. (3 + 5) x + 16(3 − 5) x = 2 x+3

6. (7 + 4 3) x − 3(2 − 3) x + 2 = 0

3 x +3

1

7. 8 x − 2 x + 12 = 0
9. 3.16 x + 2.8 x = 5.36 x

(
) (
)

13, ( 3 + 5 ) + 16 ( 3 − 5 )
x

+ 5 − 24

x

5
2

x −1

x

x +17

11, 5 + 24

−6 x −

= 16 2
4. 2 + 2 + 2 x −2 = 3x − 3x −1 + 3x −2
2
6. 2009 x −7 x +12 = 1
x −3
x
 1 
x 1
8. 5 .  ÷ = 
÷

5
 125 

2− x

7. 32 x −7 = 0, 25.128 x −3

2

2

1

1

8. 2.4 x + 6 x = 9 x
10. 5x + 5 x +1 + 5 x + 2 = 3x + 3x +1 + 3x + 2
x

x

(

) (
14. ( 3 ) + ( 3 )

= 10

12, 7 + 4 3

= 2 x+3

5

15. 32 x + 4 + 45.6 x − 9.2 2 x +2 = 0
Bài 3: Giải các phương trình sau:
1. 4 x + 3x = 5 x
x
x
3. 3.4 + ( 3 x − 10 ) 2 + 3 − x = 0

16. 4 x −

x

x 2 −5

x

10

−3 2− 3
x−10

)

x

+2=0

= 84

− 12.2 x −1−

x 2 −5

+8 = 0

2. 3x = 4 − x
x2 −4
+ ( x 2 − 4 ) 2 x −2 = 1
4. 4

Bài 3: Giải các bất phương trình sau:
6

1. 9 x < 3 x+ 2
4. 9 x − 3x+ 2 > 3x − 9

2.

1
2 x −1

1
3 x +1

2
≥2
x

5. 3 + 9.3− x − 10 < 0

Đề cương ôn tập TN THPT – Dương Bảo Quốc

3.1 < 5 x

2

−x

< 25

6. 5.4 x + 2.25x − 7.10 x ≤ 0
Page 4


THPT Khánh Lâm
Tổ Toán - Tin

7.

1
3

x +1

1
− 1 1 − 3x
≥

8. 52

x

+5<5

x +1

+5

9. 25.2 x − 10 x + 5 x > 25

x

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARÍT.
Bài 4: Giải các phương trình:
1. log 5 x = log 5 ( x + 6 ) − log5 ( x + 2 )
2. log 5 x + log 25 x = log 0,2 3
3. lg( x 2 + 2 x − 3) + lg
5. log3 ( x − 2) + log 1

x+3
=0
x −1
2x −1 = 0

3

x−3
x −3

+ 1 = log 3
x−1
x−7
Bài 5: Giải các phương trình sau:
1
2
+
=1
1.
4 − lg x 2 + lg x
3. log 2 x + 3log 2 x + log 1 x = 2
2

7. 2log3

4. log 2 ( x 2 − 4 x + 7) = 2
6.

)

2 x + 1 = log 6

2. log 2 x + 10log 2 x + 6 = 0
4.
6.

Bài 6: Giải bất phương trình:

(

2
8. log ( x + 12 x + 19 ) − log ( 3 x + 4 ) = 1

2

5. 4 − log x = 3 log x

1
( log x + log 2 ) + log
2

lg(lg x) + lg(lg x 3 − 2) = 0

log ( 6 − x )
1
=
2
3log ( 6 − x ) − 1

(

)

2
1. log8 ( x − 4 x + 3) ≤ 1

2
2. log 1 x − 6 x + 8 + 2log 5 ( x − 4 ) < 0

2



3. log 1  log 4 ( x − 5 )  > 0

4. log 1

5

3

3

4x + 6
≥0
x

5. log 2 ( x + 3) ≥ 1 + log 2 ( x − 1)

6. 2log8 ( x − 2) + log 1 ( x − 3) > 2
3
8

7. log  log x  ≥ 0
÷
3
1
2



8.

log 22 x + log 2 x ≤ 0

NGUYÊN HÀM
Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số.
1
2x4 + 3
2
1. f(x) = x – 3x +
2. f(x) =
x
x2
4. f(x) = ex(ex – 1)

5. f(x) =

x+3 x+4x

x −1
x2
1
2
−3
6. f(x) =
x
x

3. f(x) =

x
( x − 1) 2
7. f(x) =
8. f(x) = 2sin 2
9. f(x) = e3x+1
2
x
Bài 2: Tìm hàm số f(x) biết rằng
1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5
2. f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3
1
3. f’(x) = 4 x − x và f(4) = 0
4. f’(x) = x - 2 + 2 và f(1) = 2
x

Đề cương ôn tập TN THPT – Dương Bảo Quốc

Page 5


THPT Khánh Lâm
Tổ Toán - Tin

5. f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3

6. f’(x) = ax +

b
, f '(1) = 0, f (1) = 4, f ( −1) = 2
x2

Bài 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.
Tính I = ∫ f [u ( x)].u '( x)dx bằng cách đặt t = u(x)

Đặt t = u(x) ⇒ dt = u '( x ) dx
I = ∫ f [u ( x)].u '( x)dx = ∫ f (t )dt
BÀI TẬP

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
dx
1. ∫ (5 x − 1)dx
2. ∫
(3 − 2 x)5
5.

∫ (2 x

9.

∫ sin

17.
21.

+ 1)7 xdx

6.

x cos xdx

10.

2

4

3

+ 5) 4 x 2 dx

sin x
dx
5
x
dx
18. ∫
cos x

dx

∫ sin x
e x dx

∫

∫ (x

∫ cos

22. ∫ x 2 1 − x 2 .dx

3.

∫

5 − 2xdx

7.

∫

x 2 + 1.xdx

11.

∫ cot gxdx

19.

∫ tgxdx

23.

∫

e −3
Bài 4: Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
x

dx
∫ 2x − 1

x
dx
8. ∫ 2
x +5
tgxdx
12. ∫
cos 2 x
dx
20. ∫
4 − x2
dx
24. ∫
1 + x2
4.

1 − x 2 .dx

Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
∫ u ( x).v '( x)dx = u ( x).v( x) − ∫ v( x).u '( x)dx
Hay

∫ udv = uv − ∫ vdu ( với du = u’(x)dx,

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
2
1. ∫ x sin 2 xdx
2 ∫ ( x + 2 x + 3) cos xdx

ln xdx
∫ x

5.

∫ x ln xdx

6.

9.

∫ e .cos xdx

10.

x

∫x e

3 x2

dx

3.

∫ x.e dx

7.

∫ cos

là

2
4. ∫ ln xdx

x

11.

Bài 5: Chứng minh rằng:
3
2
x
1. Hàm số F ( x ) = ( x + x + x + 1) e

dv = v’(x)dx)

x
2

x

dx

∫ x ln(1 + x )dx
2

một

nguyên

8.

∫ ln( x

12.

∫2

hàm

x

2

+ 1)dx

xdx

của

hàm

số

f ( x ) = ( x3 + 4 x 2 + 3x + 2 ) e x + 2010 trên ¡ .
2. Hàm số F ( x ) =
3. Hàm số
f ( x) =

1

x2 + a2

1
2 2

ln

x2 − 2x + 1
x2 + 2 x + 1

(

là một nguyên hàm của hs f ( x ) =

)

F ( x ) = ln x + x 2 + a 2 , ( a ≠ 0 )

x2 − 1
trên ¡ .
x4 + 1

là một nguyên hàm của hàm số

trên ¡ .

Đề cương ôn tập TN THPT – Dương Bảo Quốc

Page 6

THPT Khánh Lâm
Tổ Toán - Tin

TÍCH PHÂN _ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
A. Lý thuyết :
1. Định nghĩa các tính chất của tích phân.
2. 4 phương pháp tính tích phân.
3. Các công thức tính S, Vox bằng phương pháp tích phân.
B. Bài tập:
Bài 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản:
1

e

2

1 1
2
2. ∫ ( x + + 2 + x )dx
x x
1

1. ∫ ( x + x + 1)dx
3

0

π
2

3.

1

x
5. ∫ (e + x) dx

π
3

3
6. ∫ ( x + x x )dx

0

0

π
2

2

2

1
8. ∫ (3sin x + 2cosx + )dx
x
π

7. ∫ ( x + 1)( x − x + 1)dx
1

x + 1dx

1

1

4. ∫ (2sin x + 3cosx + x)dx

∫

9.

x.dx
2
+2

∫x

-1

3

Bài 2. Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến:
1

1, ∫ x 1 − x dx
2

0

π
2

5. ∫ sin xcos xdx
3

2

π
3
1

1
dx
9. ∫
2
1
+
x
0
π
2

sin x
13. ∫ e cosxdx

π

4
e

17.

∫
1

1 + ln x
dx
x

3

2

2, ∫ x 1 + x dx
3

3, ∫

2

0

π
2

6. ∫ sin xcos xdx
2

3

π
3

1

7.

π
2

1 + x3

1
2

dx

4, 2 x 1 − 2 xdx
∫
0

π
4

sin x

∫ 1 + 3cosx dx

8. tgxdx
∫

0

1

1

1
dx
10. ∫ 2
x
+
2
x
+
2
−1
π
2

cosx
14. ∫ e sin xdx

π
4
e

18.

x2

∫
1

11.

∫
0

1

x
15. ∫ e

1 + 3ln x ln x
dx 19.
x

1

1
x2 + 1
2

+2

0

dx

12.

1

∫ (1 + 3x ) dx
2 2

0

π
2

3
2
16. ∫ sin xcos xdx

xdx

π
3

0

e2

e

e 2 ln x +1
∫1 x dx

1 + ln 2 x
dx
20. ∫
x ln x
e

Bài 3. Tính các tích phân sau bằng cách sử dụng phương pháp tích phân từng phần:
π
2

1, ∫ sin 5 xdx
0

π
3

2, ∫ tan 5 xdx
π
4

Đề cương ôn tập TN THPT – Dương Bảo Quốc

3π
8

3, ∫
π

8

dx
sin x.cos 2 x
2

Page 7


THPT Khánh Lâm
Tổ Toán - Tin
π
4

π
2

cos 2 x
dx
1
+
2sin
2
x
0

4, ∫
π
4

sin 2 x
dx
2
4
−
cos
x
0

5, ∫ sin 2 x.cos 3 xdx

6, ∫

0

4

cos x
dx
sin x + cos 4 x
0

7, ∫

π
2

4

π

8

π
2

sin 2 x
dx
sin 2 x + cos 2 x
0

8, ∫

9,

∫

−

π
2

sin 2 x cos x
dx
1 + cos x

Bài 4. Tính các tích phân sau:
π

1, ∫ ( x + e

3

cos 2 x

1

2, ∫ x ln( x + 1) dx

3, ∫ x.e − x dx

2

)sin 2 xdx

0
e

0
2

0
2

2 + ln x
ln( x 2 + 1)
4, ∫
dx
5, ∫ (2 x − 1) ln xdx
6, ∫
dx

x
x2
1
1
1
Bài 5. Tínhdiện tích hình phẳng giới hạn bởi miền hình phẳng (D) trong các trường hợp sau đây:

ln x

 y = (2 + cos x)sin x; y = 0
3
2
 y = x − 3x + x + 1
y = 2 ; y = 0

1, 
2, 
3, 
x
π
3π
x = ;x =
y = x +1

 x = 1; x = e

2
2

2


x + y2 = 5
 y = 4 − x2
 y = x − 3x + 2
4, 
5, 
6, 
2
 x+ y =3
 y = x − 2x

 y = x+2
Bài 6. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra do miền (D) quay quanh trục Ox, trong các trường
hợp sau:
 y = sin 4 x + cos 4 x
 y = sin 2 x
4


 y=

1, 
2, 
3, 
x
π
π
 y = 0; x = 4
 y = − x + 5
 y = 0; x = ; x = π


2


 y2 = 2x
4, 
x − 2 y + 2 = 0

 y = x
6, 
 y = x

 y = 2x2
5, 
3
 y=x

SỐ PHỨC
Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo, môđun và số phức liên hợp của các số phức z biết rằng:
1
2
+1
1. z = 2 ( 1 − i ) + 3 ( 5 − 2i )
2. z = ( 1 − 3i ) 1 + 3i −
5 − 4i
−2 + 3i
3
3
+ 5i − 2
3. z =

4. z = 3 + i − 1 + i 3
3
( 1 − 2i )

(

(

(

1− i 3

)

2

2

1+ i 3 
5. z =
+
÷
( 3 − 2i ) ( 1 − i )  1 + i 
Bài 2: Tìm các số thực x, y thỏa mãn:
1. 2 x + 1 − 5 ( y + 2 ) i = 2 − 3i

6.

) (

)

)

( 2 − 3i ) ( 3 + 2i )
1
=
z − 2i
3 + 4i

2. − x + 2 + ( 1 + 2i ) ( 1 + yi ) = 2 ( 1 + 2i )

2

2
3. ( x + yi ) = 1 − i
4. 2x ( 2 − 5i ) + ( x − 3 y ) ( 2 + i ) = 3i
Bài 3: Tìm số phức z thỏa mãn
1. z có mô đun bằng 2 và tích của phần thực và phần ảo của z cũng bằng 2.

Đề cương ôn tập TN THPT – Dương Bảo Quốc

Page 8


THPT Khánh Lâm
Tổ Toán - Tin

2. Bình phương của số phức z bằng liên hợp của số phức z.
3. Điểm biểu diễn của số phức z thuộc đường tròn đơn vị và điểm biểu diễn của số phức z

nằm trên đường thẳng y = x.
4. z = 16 và phần ảo của z bằng 3 lần phần thực của nó.
5. z = z − 2i và z − i = z − 1 .
Bài 4: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
3
2
1. ( 1 − 2i ) z + 2 = 3 z + 10 − 2i + i
2. ( 2 + 3i ) z − 3 − i = ( −1 + 2i ) z − 4
3. z 2 + z + 1 = 0
5. 2 z 2 − z + 3 = 0

2
2
7. ( 2 z + 5 ) ( z + 2 z + 3) = 0

4. z 3 + 8 = 0
6. 2 z 4 − 5 z 2 − 3 = 0
5
4
=1
8. −
z z +1

Bài 5:
1. Trong tập hợp số phức, cho phương trình 3 x 2 − 2 x + 1 = 0 có các nghiệm x1 và x2. Tính:
1 1
A= 3 + 3
x1 x2
2. Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: z 2 − 2iz + i − 3 = 0
Bài 6: Tìm hai số phức biết tổng của chúng bằng 2 và tổng các bình phương của chúng bằng -2.

Bài 7: Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 - 2az + b = 0 (a, b ∈ R). Hai điểm A, B
là hai điểm biểu diễn của z1, z2 trên mặt phẳng tọa độ. Tìm a, b để tam giác OAB vuông.
z −i
= 1.
Bài 8: Cho số phức z ≠ 0. Chứng minh rằng
z +i
Bài 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z thỏa mãn:
1. z − 1 = 2
2. z − ( 3 − 2i ) ≤ 3
3. z − 1 = z + 1
HÌNH ĐA DIỆN – KHỐI ĐA DIỆN
Bài 1. Tính thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết rằng AA’B’D’ là tứ diện đều cạnh a
Bài 2. Các cạnh của lăng trụ xiên lần lượt bằng 18; 20; 34 cm cạnh bên hợp với mặt đáy góc 30 0
và có độ dài bằng 12 cm. Tính thể tích lăng trụ
Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có AB = 12 cm; BC = 20 cm; CA = 28 cm; Các cạnh SA;AB;AC
đều hợp với đáy góc 450. Tính thể tích hình chóp
Bài 4. Tính thể tích tứ diện đều cạnh a
Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có hai mặt ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a và nằm trong
hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tính thể tích hình chóp
Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ AB; SA ⊥ BC; BC ⊥ AB; BA = a 3 ; BC = a 3 ; SA = a.
Tính thể tích hình chóp
Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên hợp với mặt đáy một góc bằng 60 0. Tính thể tích
hình chóp
Bài 8. Tính thể tích hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy
một góc băng 600. Tính thể tích hình chóp
Bài 9. Một lăng trụ có đáy là ngũ giác đều nội tiếp đường tròn có bán kính r và độ cao lăng trụ
là r. Tính thể tích hình lăng trụ
Bài 10. Nếu một lăng trụ tam giác đều có đáy là a và có chiều co là 2a thì thể tích là bao nhiêu?
Bài 11. Cho S.ABC đều có AB = a; góc ASB bằng 600..
Bài 12. Cho lăng trụ đứng có SA ⊥ (ABC); SA = a. Tam giác SBC có diện tích là S; góc giữa

hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng α . Tính thể tích hình chóp
Đề cương ôn tập TN THPT – Dương Bảo Quốc

Page 9


THPT Khánh Lâm
Tổ Toán - Tin

Bài 13. Cho S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Hai mặt (SAB) và (SAD) cùng vuông góc
với đáy (ABCD), biết SA = 2a; AB = a; BC = 3a. Tính thể tích hình chóp
Bài 14. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại A; mặt bên BB ’C’C là
hình vuông có diện tích là 2a2. Tính thể tích lăng trụ
Bài 15. Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD; IJ là đoạn vuông góc chung của AB và CD; biết AB =
5; CD = 7; IJ = 12. Tính thể tích tứ diện
Bài 16. Cho hình lập phương ABCD.A ’B’C’D’ có cạnh bằng a. Lấy E; F là trung điểm của C ’D’
và C’B’. Tính thể tích hình lập phương
Bài 17. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a; CA = BD = b; AD = BC = c. Tính thể tích tứ diện
Bài 18. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tính tỷ số thể tích của tứ diện ACBB’ và hình hộp
Bài 19. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A ’B’C’ có các cạnh bằng a. AA’ ⊥ (ABC). Tính thể tích
hình chóp A’BB’C
Bài 20. Cho hình lập phương ABCD.A ’B’C’D’ cạnh a. Gọi M là trung điểm của CD; N là trung
điểm của A’D’. Tính thể tích MNB’C
Bài 21. Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M;N là trung điểm của CD và BD. Gọi V1;V2 là thể tích
V1
của ADMN và ADCMN. Tính tỷ số
V2
Bài 22. Cho lăng trụ tam giác ABC.A ’B’C’; một mặt phẳng qua A’B’ và trung điểm của AB chia
lăng trụ làm hai phần. Tình tỷ số thể tích của hai phần đó
Bài 23. Cho hình chóp S.ABC; gọi G là trọng tâm tam giác SBC, mặt phẳng (P) qua G và song

V ' ' '
song với (ABC) cắt SA, SB, SC tại A’; B’; C’. Tìm k = S . A B C
VS . ABC
MẶT TRÒN XOAY – KHỐI TRÒN XOAY
Mặt trụ:
Bài 1. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy là a, chiều cao 2a. Gọi O và O’ lần
lượt là trọng tâm các tam giác ABC và A’B’C’.
a. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ tròn xoay tạo thành khi quay
đường gấp khúc OAA’O’ quanh OO’.
b. Tính tỉ số thể tích của lăng trụ và hình trụ nói trên.
Bài 2. Cắt một hình trụ tròn xoay bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là một hình
vuông cạnh a.
a. Tính diện tích xung quanh và thể tích khối trụ đó.
b. Một thiết diện song song với trục của hình trụ có diện tích bằng nửa thiết diện đi qua
trục. Tính khoảng cách từ tâm mặt đáy của hình trụ đến thiết diện đó.
Bài 3. Cho một hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’) bán kính R. AB và CD
lần lượt là hai dây cung song song và bằng nhau của hai đường tròn (O) và (O’). Mặt phẳng
(ABCD) không song song và không chứa OO’.
a. Chứng minh rằng ABCD là một hình chữ nhật.
b. Cho AB = CD = R 2 và góc giữa mp(ABCD) và đáy bằng 300. Tính diện tích xung
quanh và thể tích của hình trụ nói trên.
R
c. Cho OO ' =
và ABCD là hình vuông. Tính diện tích của hình vuông ABCD.
2
Bài 4. Cho một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’) bán kính R. Điểm A nằm trên
đường tròn (O), điểm B nằm trên đường tròn (O’) sao cho OA ⊥ OB, chiều cao của hình trụ là
R 2 . Chứng minh rằng tứ diện OABO’ có các mặt là các tam giác vuông. Tính tỉ số thể tích
của tứ diện OABO’ và hình trụ đã cho.
Đề cương ôn tập TN THPT – Dương Bảo Quốc

Page 10


THPT Khánh Lâm
Tổ Toán - Tin

Mặt nón:
Bài 1. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và
(ABCD) bằng 600. Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và đáy là đường tròn ngoại
tiếp hình vuông ABCD.
Bài 2. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều có cạnh bằng 2a.
a. Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón giới hạn bởi hình nón đó.
b. Mặt phẳng (P) qua đỉnh của khối nón và cắt khối nón theo thiết diện là một tam giác, biết
khoảng cách từ tâm của đáy khối nón đến (P) là a/2. Tính diện tích của thiết diện đó.
·
Bài 3. Cho tam giác SAB vuông tại A, SBA
= 300 , SB = a. Quay tam giác SAB quanh trục SA,
đường gấp khúc SBA tạo thành một hình nón.
a. Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình nón.
a2
b. Một mặt phẳng qua S cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác có diện tích là
.
2
Tính góc hợp bởi thiết diện và đáy của hình nón.
Mặt cầu:
Bài 1. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 2a ngoại tiếp đường tròn (I), M là trung điểm của
BC. Khi quay tam giác ABC quanh trục là đường thẳng AM thì đường gấp khúc ABM tạo thành
một hình nón tròn xoay, đường tròn (I) tạo thành một mặt cầu.
a. Tính diện tích xung quanh của hình nón và diện tích mặt cầu nói trên.

b. Tính tỉ số thể tích của khối nón và khối cầu được tạo bởi hình nón và mặt cầu nói trên.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), SA = a 3 , tam giác ABC vuông tại B có BC = a
và ·ACB = 600 . Tính thể tích khối chóp và diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Bài 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc
600. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho và thể tích khối cầu tương ứng .
(Tham khảo bài 2/98/HD_OTTNTHPT )
Bài 4. Cho mặt cầu tâm O bán kính R, một hình trụ có hai đường tròn đáy nằm trên mặt cầu nói
trên. Gọi a là khoảng cách từ O đến đáy của hình trụ. Tính thể tích của khối trụ giới hạn bởi hình
trụ nêu trên theo R và a. Tìm a để diện tích xung quanh của hình trụ đạt giá trị lớn nhất.
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Phương trình mặt phẳng:
Bài 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(2;1;-1), B(-1;0;-4), C(0;-2;-1).
1. Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm A, B, C.
2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC.
Bài 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2;1;-1) và B(-1;3;-5). Viết
phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Bài 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Ox và
đi qua điểm P(4;-1;2).
Bài 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng song song với
mặt phẳng (P): 3x – 4y + 1 = 0 và đi qua điểm A(3; 2; -1).
Bài 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 3x − 4 y + z − 1 = 0 . Viết
phương trình mặt phẳng chứa Oy và vuông góc với mặt phẳng (P).
Bài 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x − y + z − 2 = 0 và hai điểm
A(1;2;-3), B(5;-1;0). Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (P).
Bài 7: Xét vị trí tương đối giữa các mặt phẳng sau:
1. 2 x − 3 y + 5 z + 1 = 0 và 3 x − 3 y + z + 2 = 0
2. 2 x + 3 y − 4 z + 1 = 0 và 4 x + 6 y − 8 z + 3 = 0
Đề cương ôn tập TN THPT – Dương Bảo Quốc

Page 11

THPT Khánh Lâm
Tổ Toán - Tin

Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng (P): mx − 2 y + 3z − 1 = 0 và (Q):
2 x + ny − 4 z + 3 = 0 . Tìm m và n để (P)//(Q). Khi đó tính khoảng cách giữa (P) và (Q).
Bài 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 2 y + 4 z − 7 = 0
và mặt phẳng (P): 3 x − 4 y + 5 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với (S) và song song với
(P).
Bài 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 4 z = 0 .
Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại O(0;0;0).
Bài 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2 x − 2 y + z − 5 = 0 và điểm
I(2;0;-1). Viết phương trình mặt phẳng đối xứng với (P) qua I.
Bài 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(5;0;0) và M(1;1;1). Viết phương trình
mặt phẳng đi qua M và cắt Ox tại điểm A, cắt Oy tại điểm B, cắt Oz tại điểm C sao cho tam giác
ABC có diện tích bằng 5 (đvdt).
Phương trình đường thẳng:
Bài 1: Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc (nếu có) của đường thẳng a:
1. Đi qua hai điểm A(1;2;5) và B(2;3;7).
r
2. Đi qua điểm A(-2;1;3) và có vectơ chỉ phương u = ( 3; −2;4 ) .
3. Đi qua điểm A(-1;0;2) và vuông góc với mặt phẳng (P): 3x − 2 y + 5 z − 3 = 0 .
Bài 2: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:
 x = 1 − 2t
 x = 2 + 3t '


và d 2 :  y = −1 − 2t '
1. d1 :  y = 2 + t

 z = −2 + 2t
 z = 3 + 4t '


x −1 y − 2 z +1
x +1 y − 2 z − 3
=
=
và d 2 :
=
=
2. d1 :
2
3
1
−2
1
−3
Bài 3: Cho hai mặt phẳng (P): x − 3 y + 2 z − 1 = 0 và (Q): x + 2 y − z − 3 = 0 . Chứng minh rằng
(P) và (Q) cắt nhau. Viết phương trình đường giao tuyến chung của (P) và (Q).
Bài 4: Cho điểm M(2;-1;2) và hai mặt phẳng (P): 2 x − 3 y + z − 1 = 0 và (Q): x + 2 y − 2 z + 3 = 0 .
Chứng minh rằng (P) và (Q) chéo nhau. Viết phương trình đường thẳng đi qua M và song song
với hai mặt phẳng (P) và (Q).
Bài 5: Cho điểm M(2;-1;0) và mặt phẳng (P): x − y + z + 1 = 0 . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc
của M trên mặt phẳng (P).
 x = −2 − 2t

Bài 6: Cho điểm M(0;-1;0) và đường thẳng (d):  y = −3 + t . Tìm hình chiếu của M trên (d).
z = 1+ t


 x = 2 − 2t

Bài 7: Viết phương trình mặt phẳng đi qua đường thẳng (d):  y = 3 + 2t và vuông góc với mặt
 z = −2 + t

2
x
−
y
+
z
+
1
=
0
phẳng (P):
.
Bài 8: Viết phương trình đường thẳng (∆) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d):
 x = −1 + t

 y = 1 − 2t trên mặt phẳng (P): x − y + 2 z − 1 = 0 .
 z = 3 + 4t


Đề cương ôn tập TN THPT – Dương Bảo Quốc

Page 12


THPT Khánh Lâm

Tổ Toán - Tin

 x = 2t
 x = 1 + 2s


Bài 9: Cho hai đường thẳng d1 :  y = 1 − t và d 2 :  y = 1 + s .
 z = −2 + t
z = 3


1. Chứng minh hai đường thẳng trên chéo nhau.
2. Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P): 7 x + y − 4 z = 0 và cắt
cả hai đường thẳng trên.
x − 2 y + 3 z +1
=
=
Bài 10: Cho đường thẳng (d):
và điểm M(1;0;-1). Viết phương trình mặt
2
3
−1
phẳng (M, d).
Bài 11: Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1;2;3), cắt và vuông góc với đường thẳng
 x = 1 + 2t

d :  y = 1 − 3t .
z = t

Bài 12: Viết phương trình đường thẳng đi qua A(2;0;1), song song với (P): x − y + z + 3 = 0 và

x = 1+ t

cắt đường thẳng (d):  y = 2 − t .
z = t

Bài tập tổng hợp:
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2 x + y − z = 0 .
1. Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua O và song song với (P).
2. Viết phương trình tham số của đường thẳng (∆) qua O và vuông góc với (P).
3. Tính khoảng cách từ điểm A(1;2;3) đến (P).
Bài 2: Trong không gian Oxyz cho điểm A(-2;0;1), B(0;10;3), C(2;0;-1) và D(5;3;-1).
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A, B, C.
2. Viết phương trình đường thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng (P).
3. Viết phương trình mặt cầu tâm D và tiếp xúc với (P).
Bài 3: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(1;0;0), B(0;-2;0) và C(0;0;3).
1. Xác định tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
2. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A, B, C.
3. Hãy lấy một điểm M ∈ (P) và khác A, B, C. Viết phương trình đường thẳng qua M và
vuông góc với (P).
Bài 4: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho 4 điểm A(3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D(-1;1;2).
1. Chứng minh rằng ABCD là một tứ diện.
2. Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD). Tìm tọa độ tiếp điểm
của chúng.
Bài 5: Trong không gian Oxyz cho điểm I(1;2;3) và mặt phẳng (P): 2 x − 2 y − z − 4 = 0 .
1. Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với (P).
2. Tìm tọa độ tiếp điểm của chúng.
Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(2;0;0), B(0;4;0), C(0;0;4).
1. Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm O, A, B, C. Tìm tọa độ tâm I và bán kính của
mặt cầu ấy.
2. Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

3. Viết phương trình tham số của đường thẳng qua I và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(0;0;1), B(-1;0;2) và C(3;1;0).
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với BC.
Đề cương ôn tập TN THPT – Dương Bảo Quốc

Page 13


THPT Khánh Lâm
Tổ Toán - Tin

2. Tìm tọa độ giao điểm của mặt phẳng (P) với đường thẳng BC.
Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp chữ nhật có các đỉnh là A(3;0;0),
B(0;4;0), C(0;0;5), O(0;0;0) và đỉnh D là đỉnh đối diện của đỉnh O.
1. Tìm tọa độ đỉnh D và viết phương trình mặt phẳng (ABD).
2. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABD).
3. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABD).
Bài 9: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2 x − 3 y + 4 z − 5 = 0 và mặt cầu (S):
x 2 + y 2 + z 2 + 3x + 4 y − 5 z + 6 = 0 .
1. Tìm tọa độ tâm I và bán kính của mặt cầu (S).
2. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn (C). Hãy xác
định tâm và bán kính r của đường tròn ấy.
1 1 1
Bài 10: Trong không gian Oxyz cho A(1;0;0), B(1;1;1) và C  ; ; ÷.
3 3 3
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với OC tại C.
2. Chứng minh rằng O, B, C thẳng hàng.
3. Viết phương trình mặt cầu (S) tâm B bán kính r = 2 . Xét VTTĐ của (S) và (P).
4. Viết phương trình đường thẳng (d) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên mặt
phẳng (P).

x = 1− t

Bài 11: Cho A(1;4;2), B(-1;2;4) và đường thẳng ∆ :  y = −2 + t . Gọi G là trọng tâm ∆ABO.
 z = 2t

1. Lập phương trình đường thẳng (d) qua G và vuông góc với mặt phẳng (ABO).
2. Tìm điểm M thuộc ∆ sao cho MA2 + MB 2 nhỏ nhất.
 x = 2 + 2t
x = 1 − t '


Bài 12: Cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng d1 :  y = −2 − t và d 2 :  y = 1 + 2t ' .
z = 3 + t
 z = −1 + t '


1. Tìm điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng d1.
2. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A vuông góc với d1 và cắt d2.
x = 1− t

Bài 13: Cho mặt phẳng (P): 2 x + y − 2 z + 9 = 0 và đường thẳng d :  y = −3 + 2t .
z = 3 + t

1. Tìm tọa độ điểm I thuộc đường thẳng d sao cho khoảng cách từ I đến (P) bằng 2.
2. Tìm tọa độ giao điểm A của d và (P). Viết phương trình đường thẳng nằm trong (P), đi
qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d.
Bài 14: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có A(0;-3;0), B(4;0;0), C(0;3;0) và B’(4;0;4).
1. Tìm tọa độ các đỉnh A’ và C’. Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với mặt
phẳng (BCC’B’).
2. Gọi M là trung điểm của A’B’. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M và

song song với đường thẳng BC’.
3. Gọi N là giao điểm của (P) và đường thẳng A’C’. Tính MN.
 x = 1 + 2t
x = 2 − t '


Bài 15: Cho hai đường thẳng d:  y = 2 − t , d’:  y = 1 + t ' , điểm A(1; 1; 2) và mặt phẳng (P)
 z = −3t
 z = 3 + 2t '


có phương trình: x - 2y + z - 1 = 0.
Đề cương ôn tập TN THPT – Dương Bảo Quốc

Page 14


THPT Khánh Lâm
Tổ Toán - Tin

1. Chứng minh rằng d và d’ chéo nhau. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và song song
với hai đường thẳng d và d’.
2. Chứng minh A nằm trên (P), tìm tọa độ giao điểm B của đường thẳng d và (P).
3. Viết phương trình đường thẳng a cắt và vuông góc với cả hai đường thẳng d và d’.
4. Viết phương trình đường thẳng d1 là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên (P).
5. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên (P), ∆ song song với d1 và cách d1 một khoảng
bằng 83 .
6. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm D(2; -7; -15), (Q) vuông góc với (P) và
cách đều hai điểm A, B.

Đề cương ôn tập TN THPT – Dương Bảo Quốc

Page 15