Đề thi HSG Toán 7- NBK - Đề số 3

Phòng GD&DT Vĩnh Bảo
Trờng THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
Đề thi học sinh giỏi
Môn Toán 7
Thời gian: 120 phút
Đề số 3
Bài 1: (3 điểm)
a) Giải phơng trình:
713
22
+=+
xxx
b) Tìm x, a, b nguyên dơng biết x + 3 = 2
a
và 3x + 1 = 4
b
.
c) Tìm a, b, c biết 8a = 5b ; 7b = 12c ; a + b + c = -318.
d) Tìm a, b, c biết:
27
3
15
2
9
1
+
=
+
=
+
bcacab

và ab + ac + bc =11
Bài 2: (2 điểm)
a) Cho a, b, c, x, y, z nguyên dơng và a, b, c
1

thoả mãn:
a
x
= bc ; b
y
= ac ; c
z
= ab
Chứng minh: xyz - x - y - z =2
b) Cho a, b, c khác 0,
022
+
cba
,
022
+
acb
,
022
+
bac
thoả mãn:
c
zyx
b

yxz
a
xzy +
=
+
=
+ 222222
Chứng minh:
cba
z
bac
y
aca
x
+
=
+
=
+
222222
Bài 3: (2 điểm) Cho 23 số nguyên khác 0: a
1
,

a
2
, a
3
, ., a
23

có tính chất:
* a
1
dơng.
* Tổng 3 số liên tiếp bất kì dơng.
* Tổng của cả 23 số là âm.
Chứng minh: a
2
âm và a
1
dơng.
Bài 4: (3 điểm)
Cho ABC vuông tại A và AB < AC. Vẽ đờng cao AH, trên đoạn HC lấy điểm
M sao cho BM = AB. Tia phân giác của góc ABC cắt AH tại N và AM tại E.
a) Chứng minh AM là tia phân giác của góc HAC.
b) Chứng minh MN vuông góc với AB.