Giáo án Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

§3: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC
I. Mục tiêu bài học: Qua bài học, HS
1. Về kiến thức:
- Hiểu được định lý Cosin, hệ quả.
- Hiểu được các ứng dụng của định lí Cosin.
2. Về kỹ năng:
- Áp dụng định lý Cosin để giải quyết một số tình huống thực tiễn và tình
huống trong Toán học.
- Có được kĩ năng toán học hóa tình huống thực tiễn.
- Phát triển kĩ năng hợp tác nhóm, kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề, kĩ
năng thuyết trình, kĩ năng giao tiếp, kĩ năng tự đánh giá và đánh giá đồng đẳng.
3. Về tư duy, thái độ:
- Phát triển kĩ năng tư duy như: khái quát hóa, trừu tượng hóa, phân tích, tổng
hợp.
- Thấy được mối liên hệ giữa Toán học và thực tế.
- Tích cực, chủ động, sáng tạo trong học tập.
- Được rèn luyện tính cẩn thận, trách nhiệm trong học tập và làm việc nhóm.
4. Định hướng phát triển năng lực:
- Qua bài học góp phần phát triển ở người học các năng lực sau: năng lực phát
hiện và giải quyết vấn đề, năng lực tư duy, năng lực Toán học hóa tình huống thực
tiễn, năng lực hợp tác, năng lực đánh giá.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh
- Giáo viên: Đồ dùng dạy học, Computer và Projector, bảng phụ, các câu hỏi
gợi ý giúp học sinh tự tiếp cận kiến thức.
- Học sinh: Đồ dùng học tập, máy tính bỏ túi
III. Tổ chức hoạt động dạy và học
1. Ổn định: Ổn định tổ chức lớp và giới thiệu đại biểu.
2. Khởi động: Trò chơi hộp quà may mắn
Học sinh chọn các hộp quà. Ứng với mỗi hộp quà được chọn sẽ mở ra một
câu hỏi ôn tập các kiến thức cũ có liên quan đến việc hình thành kiến thức mới.

Hộp quà 1. Cho tam giác ABC vuông tại A .Hãy biểu thị mối liên hệ giữa các cạnh
của tam giác?

rr rr

Hộp quà 2. Nêu công thức tính a.b, a.a .
uuur

uuu
r uuur

Hộp quà 3. Biểu thị BC theo hai véctơ AB, AC .
3. Bài mới
Hoạt động
của giáo viên

Hoạt động
của học sinh

Ghi bảng - Trình chiếu

Hoạt động 1: Khám phá phát hiện định lí hàm số Cosin
HĐTP 1: Toán học hóa tình huống thực tế
- Ghi tiêu đề bài lên

§3: Các hệ thức lượng trong tam

bảng.

giác và giải tam giác
- HS phân tích, tổng - Chiếu hình ảnh nội dung bài toán

- Giới thiệu cho HS bài hợp để phát biểu bài thực tế.
toán thực thế.

toán Toán học.

Xét bài toán sau:

- Yêu cầu HS phát biểu

Bài toán: Hai chiếc tàu xuất phát

bài toán thực tế dưới

từ cùng một vị trí với vận tốc lần

dạng một bài toán Toán

lượt là 30 hải lí một giờ và 40 hải lí

học.

- HS suy nghĩ giải một giờ. Hỏi sau một giờ hai tàu

- Yêu cầu học sinh giải quyết ý a và dự cách nhau bao nhiêu hải lý, biết
quyết tình huống 1 và dự đoán kết quả ý b.

rằng:

đoán đối với kết quả tình

Tình huống 1: Hướng chuyển động

huống 2 (Trình bày lý do

của hai tàu hợp với nhau một góc

đưa ra dự đoán nếu có).

900.

- Với tình huống 2:

Tình huống 2: Hướng chuyển động

Phương án 1: Nếu HS
dựa vào hệ thức lượng
trong tam giác vuông
đưa được ra cách giải
quyết của tình huống 2
thì giáo viên gợi mở để
học sinh phát biểu định lí

của hai tàu hợp với nhau một góc
α.
Đáp án:
Gọi A là điểm hai tàu cùng xuất
phát, B và C lần lượt là hai vị trí

mà hai tàu sau một giờ.
Sau một giờ tàu 1 đi được 30 hải lí
nên AB = 30.


Cosin dựa vào kết quả
tình huống 2, sau đó gợi
ý cách chứng minh bằng
công cụ vectơ để HS
thấy được ưu thế của

Sau một giờ tàu 2 đi được 40 nên
-HS dùng hệ thức AC = 40.
lượng để đưa ra

công thức và kết quả phát biểu dưới dạng bài toán sau:
tính toán ý b)

biết:

với việc chứng minh các

Tình huống 1: µA = 900 .

hệ thức lượng.

Tình huống 2: µA = α

Phương án 2: Nếu HS
tình huống 2 thì GV sẽ

Bài toán: Cho tam giác ABC có
AB=30, AC=40. Tính độ dài BC,

phương pháp vectơ đối

không giải quyết được

Tình huống thực tế trên có thể

Đáp án:
- HS nhận xét.

Tình huống 1: Áp dụng định lí
Pitago cho tam giác ABC ta có

dẫn dắt:

BC 2 = AB 2 + AC 2 = 302 + 402 = 2500

- GV sử dụng phần mềm
hình học động tính toán
và so sánh các đại lượng
AB 2 + AC 2 − 2. AB. AC.cos A

BC 2 và AB 2 + AC 2

với

những trường hợp bất kỳ.

⇒ BC ≈ 50 (hải lý)

- HS dự đoán, trừu
tượng hóa và khái
quát hóa để rút ra
nhận xét

Qua đó cho HS dự đoán

I. Định lý Cosin

và GV xác nhận kiến

1. Định lý

thức.
- Ghi tiêu đề bài lên bảng
HĐTP 2: Phát biểu định lí và chứng minh định lí

- GV yêu cầu HS phát - HS phát biểu theo Định lý (SGK)
biểu định lí theo ý hiểu.
- GV chính xác hóa, phát

ý hiểu.

Cho tam giác ABC, AB=c, AC=b,
BC=a. Ta có:

biểu định lí và tóm tắt

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A

định lí.

b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B

- GV gợi động cơ chứng
minh:
uuur

c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C.

Chứng minh: Ta có
uuur

uuur uuu
r

+ Hãy biểu diễn BC qua - HS phân tích vectơ BC = AC − AB .


uuu
r uuur

vectơ AB, AC ?
+ Từ đẳng thức biểu thị

uuur
BC qua hai vectơ Bình phương hai vế ta có:

uuu
r uuur
uuur2 uuur 2 uuur2
uuuruuu
r
AB, AC .
BC = AC + AB − 2 AC AB

2
2
2
mối quan hệ về vectơ - HS suy nghĩ để ⇔ BC = AC + AB − 2 AB. AC cos A
2
2
2
hãy tìm đẳng thức biểu phát hiện ra cách hay a = b + c − 2bc cos A .

thị mối quan hệ về độ dài bình phương hai vế
các cạnh của tam giác.

để làm mất hướng
các vectơ.

HĐTP 3: Củng cố và vận dụng định lí
- GV yêu cầu HS phát - HS phát biểu.
biểu định lí bằng lời.
- GV yêu cầu HS quay - HS vận dụng định
trở lại giải quyết tình lí giải quyết.
huống 2 của bài toán
thực tế với góc α = 450 .

Với α = 450 ta có:
BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2. AB. AC.cos A
= 302 + 402 − 2.30.40.cos 45o
≈ 802,94
⇒ BC ≈ 28,34 (hải lý)

- Hãy cho biết ý nghĩa - HS rút ra ý nghĩa:
tính được độ dài
của định lí Cosin?
cạnh còn lại của tam
giác khi biết hai
cạnh và góc xen
giữa.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Tính

- GV gợi động cơ:

cạnh còn lại của tam giác biết

Khi biết hai cạnh và một

BC=6cm, AC=7cm, Bµ = 600 .

góc bất kỳ, ta có tính

Giải:

được

cạnh

còn

lại

AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2 AB.BC cos B

không?

⇔ 7 2 = AB 2 + 62 − 2. AB.6.cos 600

- GV đưa ra ví dụ.
(loại)

Hoạt động 2: Hệ quả
Hoạt động nhóm

- HS thực hiện ví
dụ.

⇔ AB 2 − 6 AB − 13 = 0
 AB ≈ 7, 7
⇔
 AB ≈ −1, 7
Vậy AB ≈ 7, 7 (cm)


- GV chia lớp thành 2

nhóm. Phát cho mỗi
nhóm một phiếu học tập,
trên đó có in sẵn 1 tam
giác. (Không ghi sẵn số - HS suy nghĩ và
đo các cạnh)

tính các góc của tam

Nhóm 1: Tam giác ABC giác.
có AB = 21 (cm),
AC = 18 (cm),
BC = 22,5 (cm)

- HS chấm chéo bài - Chiếu nội dung tiêu chí đánh giá

Nhóm 2: Tam giác MNP nhóm bạn.

bài làm:

có MN = 17 (cm)

+ Tìm ra hướng giải quyết đúng:

MP = 22 (cm)

2,5 điểm

NP = 25 (cm)

+ Tìm đúng mỗi góc trong tam

- GV yêu cầu HS chỉ

giác: 2,5 điểm.

dùng thước thẳng 2 lề có - HS phát biểu.

Tam giác ABC:

chia độ đo để đo đạc và

µA ≈ 69o59 '

tính toán để tìm ra các

Tam giác MNP:

µ ≈ 48o 44 '
B

¶ ≈ 78o35'
M

góc trong tam giác đó.

µ ≈ 61o17 '
C

o o
µP

µ ≈ 59o 36 ' P
µ≈
41
N
≈ 41
49 '49 '

- Sau khi hết thời gian
hoạt động nhóm, đề nghị
2 nhóm đổi phiếu học tập
để chấm chéo nhau dựa
theo các tiêu chí đánh giá
mà GV đã đưa ra.
- GV yêu cầu HS trình
bày cách giải quyết và
cách cho điểm nhóm bạn.
- GV nhận xét bài làm và
phần đánh giá của HS.
- GV dẫn dắt tới hệ quả:
Trong một tam giác khi

- HS phát biểu.
2. Hệ quả
Cho tam giác ABC, AB=c, AC=b,
BC=a. Ta có:


biết độ dài 3 cạnh, ta

b2 + c 2 − a 2

2bc
2
a + c 2 − b2
cos B =
2ac
2
a + b2 − c 2
cos C =
2ab
cos A =

hoàn toàn có thể tìm
được các góc của nó
bằng cách dựa vào định
lý Cosin.
– GV yêu cầu HS phát
biểu hệ quả và chính xác
hóa

- GV nhấn mạnh ý nghĩa
của định lí Cosin và hệ
quả.
Hoạt động 3: Củng cố toàn bài (Trò chơi ô chữ)
- GV chia lớp thành 2 - HS cùng nhau suy
đội. GV phổ biến cách nghĩ, bàn luận và trả
chơi.
Cách chơi: Ô chữ gồm 5
chữ cái, trên đó có đánh
số. Ô chữ đó là tên của
một nhà thiên văn học.

+ Ô số 1 là chướng ngại
vật, đội nào trả lời được
câu hỏi ở ô số 1 sẽ được
chọn ô số trước.

1

2

3

4

5

lời.
Ô 1: Cho tam giác ABC có AB=7,
CB=3, AC=5. Hỏi tam giác ABC là
tam giác gì?
ĐA: Tam giác tù
Ô 2: Cho tam giác ABC có
BC = 12, AB = 9, µA = 300 . Tính AC.

ĐA: AC ≈ 18,92

+ Khi lật một ô số, tương

Ô 3: Đường dây cao thế nối thẳng

ứng với mỗi ô số sẽ có

từ vị trí A đến vị trí B dài10km, từ

một câu hỏi. Có 20 giây

vị trí A đến vị trí C dài 8km, góc

để suy nghĩ và trả lời.

tạo bởi hai đường dây trên bằng

Nếu trả lời được câu hỏi

75o. Tính khoảng cách từ vị


thì ô chữ được mở ra.

trí B đến vị trí C .

Nếu đội không trả lời

ĐA: BC ≈ 11km

được sẽ dành quyền cho
đội còn lại. Nếu cả hai
đội cùng trả lời sai thì ô
chữ không được lật mở.
+ Đội nào đoán được
đúng nội dung ô chữ sẽ

là đội thắng cuộc và
được nhận quà.
+ Đáp án ô chữ: KASHI
- GV giới thiệu về nhà

Ô 4: Tam giác ABC có
µ = 360 . Tính
AC = 4, BC = 6, C

cạnh AB.

thiên văn học AL Kashi

ĐA: AB ≈ 3,63

và ứng dụng của định lí

Ô 5. Cho tam giác ABC. Biết a =

Cosin.

24 ; b = 13 ; c = 15. Tính các
góc A, B, C.
ĐA:

µA ≈ 1170 49'

ĐA ô chữ: KASHI
Định lí Cosin trong tam giác còn
được gọi là định lí AL Ka-si (AL

Kashi) – tên của nhà thiên văn học
và toán học Trung Á, một trong
những nhà bác học lớn cuối cùng
của trường phái Samarkand (đầu
thế kỉ XV).
Hoạt động 5: Dặn dò
- Bài tập về nhà: Bài 1, 2, 3 (Trang 59 - Sách giáo khoa)
- Sưu tầm các bài toán ứng dụng định lí Cosin và hệ quả.