BÀI tập CHUYÊN đề PHÂN TÍCH đa THỨC THÀNH NHÂN tử

BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ.
I.

Kiến thức cần nhớ.

Một số phương pháp cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử
1. Phương pháp đặt nhân tử chung
2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Vận dụng các hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử hoặc luỹ thừa của một đa
thức đơn giản.
3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
Dùng các tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng các đa thức, ta kếp hợp những hạng tử của
đa thức thành từng nhóm thích hợp rồi dùng các phương pháp khác phân tích nhân tử theo từng
nhóm rồi phân tích chung đối với các nhóm.
4. Phương pháp tách
Ta có thể tách 1 hạng tử nào đó của đa thức thành hai hay nhiều hạng tử thích hợp để làm xuất
hiện những nhóm hạng tử mà ta có thể dùng các phương pháp khác để phân tích được
Ví dụ:

5. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
Ta có thể thêm bớt 1 hạng tử nào đó của đa thức để làm xuất hiện những nhóm hạng tử mà ta có
thể dùng các phương pháp khác để phân tích được.
Ví dụ:

6. Phương pháp đặt biến phụ
Trong một số trường hợp, để việc phân tích đa thức thành nhân tử được thuận lợi, ta phải đặt biến
phụ thích hợp.
Ví dụ: Phân tích thành nhân tử
Đặt

ta có

7. Phương pháp giảm dần số mũ của lũy thừa
Phương pháp này chỉ áp dụng được cho các đa thức như
là những
đa thức có dạng
. Khi phân tích các đa thức có dạng như trên thì biểu thức sau
khi phân tích đều có 1 nhân tử là
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử

8. Phương pháp hệ số bất định:
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a. 3x3 – 7x2 + 17x – 5;
b. 2x4 – 19x3 + 2002x2 – 9779x + 11670;
2
2
c. 2x – 7xy + 6y + 9x – 13y – 5.
Giải.
a. Nếu đa thức 3x3 – 7x2 + 17x – 5 phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng
(ax + b)(cx2 + dx + e) = acx3 +(ad + bc)x2 + (ae +bd)x + be. Đồng nhất đa thức này với đa thức
3x3 – 7x2 + 17x – 5, ta có: ac = 3; ad + bc = -7; ae + bd = 17; be = -5.
Từ ac = 3 = 3.1 =1.3 = -1.(-3) = -3. (-1). Ta xét a = 3 thì c = 1, thay vào các hệ thức còn lại và tìm ra
được b = -1, e = 5, d = 2. Từ đó ta có phân tích: 3x3 – 7x2 + 17x – 5 = (3x-1)(x2 – 2x + 5)
b. Nếu đa thức trên phân tích được thành nhân tử thì có thể có dạng sau:

(

)

(2x2 + ax+ b) x2 + cx + d = 2x4 + ( a + 2c) x3 + ( 2d + ac + b) x2 + ( bc + ad) x + bd . Đồng nhất với đa thức
4

3

2

2x – 19x + 2002x – 9779x + 11670, ta có: a + 2c = -19; 2d + ac + b = 2002; bc + ad = -9779;
bd = 11670. Từ bd = 11670 = 30.389 = 389.30 = 1945.6= 6.1945 = 1167.10 = 10.1167 = 2334.5=…
Thử một số trường hợp, ta có b = 1945, d = 6; a = -9; c = -5. Và có phân tích sau:


2x4 – 19x3 + 2002x2 – 9779x + 11670 = (2x2 – 9x + 1945)(x2 -5x + 6).
Chú ý: với ý (b), chúng ta có thể phân tích theo hướng nhẩm được hai nghiệm của đa thức trên.
c. Nếu đa thức trên phân tích được thành nhân tử thì có dạng:
ax + by + c mx + ny + d = max2 + na + mb xy + nby2 + ad + mc x + bd + nc y + cd . Đồng nhất với

(

)(

)

2

(

)

(

)

(

)

2

đa thức 2x – 7xy + 6y + 9x – 13y – 5, ta có: ma = 2; na + mb = -7; nb = 6; ad + mc = 9;
bd + nc = -13 và cd = -5. Từ hệ thức cd = -5 => c = -1; d = 5; a = 2; b = -3; m = 1; n= -2. Do đó ta có
phân tích sau: 2x2 – 7xy + 6y2 + 9x – 13y – 5 = (2x – 3y - 1)(x – 2y + 5).
Chú ý : có thể coi đa thức trên là đa thức bậc hai với ẩn x, tính biệt thức delta theo y và tìm được
nghiệm của x theo y, sau đó tiến hành phân tích thành nhân tử.

Khi phân tích đa thức thành nhân tử phải biết vận dụng linh hoạt nhiều phương pháp và phối hợp 1 cách
hợp lí
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a. (ax + by)2 – (ay + bx)2;
d. (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x + 2) – 6;
g.

b. (a2 + b2 - 5)2 – 4(ab + 2)2; c. x2 – x – 12;
e.
;
f. x4 – 7x3 + 14x2 – 7x + 1;
h.
i.
.

Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a. (a + b + c)(ab + bc + ca) – abc;

d. a3 + b3 + c3 – 3abc;

b. a(a + 2b)3 – b(b + 2a)3;

c. x3 – 7x + 6;

e. (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3;

f. (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 ;

Bài 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a. x4 + 64 ;

b. x4 + x2 + 1 ;

d. x7 + x5 + 1 ;

e. x8 + 98x4 + 1 ;

c. x5 + x + 1 ;
f. x8 + 14x4 + 1

Bài 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a. 2 ( x 2 + x + 1) − ( 2 x + 1) − ( x 2 + 2 x ) ;

b. x8 + x 6 + x 4 + x 2 + 1 ;

d. x 3 − 6 x 2 + 11x − 6 ;

e. x8 + 2 x 5 − 2 x 4 + x 2 − 2 x − 100 + 10 x(x 4 + x) + ( 5 x − 1) ;

f. 3 x 3 − 7 x 2 + 17 x − 5 ;

g. ( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 3) ( x − 4 ) + 1 ;

2

2

2

c. (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) – 80.
2

Bài 5. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a. ab(a + b) – bc(b + c) + ac(a - c);
d. x12 + x6 + 1; e. x16 + x8 + 1;

b. a5 – a + 1;
f. x8 + 7x4 + 16;

h. x4n + x2n + 1 ( n là số tự nhiên)

i. x4n + 4x2n + 16 ;

l. x5 – x4 – 1 ;

n. x10 + x5 + 1.

m. x7 + x2 + 1 ;

c. x9 + x8 + x7 – x3 + 1;
g. x40 + 2x20 + 9;
k. x4n + 5x2n + 9 ( n ∈ N )

Bài 6. a. Cho (x + y + z)(xy + yz + zx) = xyz. Chứng minh rằng : x 2017 + y 2017 + z 2017 = ( x + y + z )

2017

;

b. chứng minh rằng nếu x + y + z chia hết cho 6 thì A = ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) − 2 xyz chia hết cho 6.
(HD: chứng minh rằng: ( x + y + z ) ( xy + yz + xz ) − xyz = ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) )
Bài 7. a. Cho a 3 + b3 + c 3 = 3abc . Chứng minh rằng: a + b + c = 0 hoặc a = b = c.
b. Cho a 4 + b 4 + c 4 + d 4 = 4abc và a, b, c, d > 0 . Chứng minh rằng a = b = c = d.
4
c. Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì ( x + y ) ( x + 2 y ) ( x + 3 y ) ( x + 4 y ) + y là số chính phương.

d. Cho T = ( t − 1) ( t − 3) ( t − 4 ) ( t − 6 ) + 9 , Chứng minh rằng T là số chính phương với mọi t ∈ Z .
e. Chứng minh rằng tổng của tích bốn số tự nhiên chẵn liên tiếp với 16 là số chính phương.


f. Tìm các số nguyên a, b, c sao cho ( x + a ) ( x − 2 ) − 7 = ( x + b ) ( x + c ) .
Bài 8. a. Tìm điều kiện của a và m để M = ( x − a ) ( x − 2a ) ( x − 3a ) ( x − 4a ) + m phân tích được thành
nhân tử. Đa thức M = ( x − 2 ) ( x − 4 ) ( x − 6 ) ( x − 8 ) + 4 có phân tích được thành nhân tử không?
b. Tìm điều kiện của a, b, n là số hữu tỉ sao cho N = ( x + a ) ( x + b ) ( x + a + n ) ( x + b + n ) + k
1) phân tích được thành nhân tử;

2) Trở thành bình phương đúng.

(

)

3
2
2
3
3
3
Bài 9. a. Tìm x, biết x + 3ax + 3 a − bc x + a + b + c − 3abc = 0

b. Tìm bộ ba số nguyên dương (x, y, z) thỏa mãn: x 3 + y 3 + 3xyz = z 3 = ( 2 x + 2 y ) .
2

c. Cho a,b, c là các số thực khác 0 sao cho a 3b 3 + b3c 3 + c 3a 3 = 3a 2b 2 c 2 . Hãy tính giá trị cảu biểu thức:

 a  b  c 
M =  1 + ÷1 + ÷ 1 + ÷ .
 b  c  a 
Bài 10. Cho xy + yz + zx = 0 và xyz ≠ 0 . Hãy tính A =
Bài 11. Tìm x, biết:

3

yz zx xy
+
+ .
x2 y2 z 2

x +1 + 3 x + 2 + 3 x + 3 = 0 .

Bài 12. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a. 4x4 + 1;

b. 4x4 + y4;

c. x4 + 324;

d. 4x4 -32x2 + 1 ;

e. x6 + 27 ;

f. x8 + x4 + 1.

Bài 13. Phân tích thành nhân tử :
a. x6 + x4 + x2y2 + y4 – y6 ;

c. x3 + 3xy + y3 – 1 ;

d. 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1 ; e. x4 – 8x + 63

f. (x + 1)4 + (x2 + x + 1)2

g. Tìm các số hữu tỉ a, b, c sao cho khi phân tích đa thức

x3 + ax2 + bx + c thành nhân tử được (x + a)(x + b)(x + c).
Bài 14. a. Sô tự nhiên n có thể nhận bao nhiêu giá trị, biết rằng khi phân tích đa thức x2 + x – n thành
nhân tử ta được (x - a)(x + b) với a, b là các số tự nhiên và 1< n < 100.
b. Cho A = a2 + b2 + c2 với a, b là hai số tự nhiên liên tiếp, c = ab. Chứng minh rằng

nhiên lẻ.

A là một số tự

Bài 15. Chứng minh rằng số (n + 1)4 + n4 + 1 chia hết cho một số chính phương khác 1 với mọi số
nguyên dương n.
Bài 16. Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì:
a. a2 - a chia hết cho 2;

b. a3 – a chia hết cho 3;

d. a7 – a chia hết cho 7;

e. a11 – a chia hết cho 11.

c. a5 – a chia hết cho 5

TỔNG QUÁT: Ta có định lý fermat nhỏ: với mọi số nguyên tố p, ta có ap – a chia hết cho p.
Bài 17. a. Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên chẵn thì 16n – 1 chia hết cho 15 và 17.
b. Chứng minh rằng tồn tại một bội số của 2017 có dạng: 20182018…2018
Bài 18. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có:
a. n3 + 3n2 2n chia hết cho 6;

b. (n2 + n - 1)2 – 1 chia hết cho 24.

Bài 19. Chứng minh rằng:
a. n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48 với mọi số chẵn n;
b. n4 – 10n2 + 9 chia hết cho 384 với mọi số lẻ n.
c. n6 + n4 – 2n2 chia hết cho 72 với mọi số nguyên n.
d. 32n – 9 chia hết cho 72 với mọi số nguyên dương n.

Bài 20. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:


( x + y + z)

a.

(

3

) (

) (

3

)

3

(

2

2

3

) (

3

) (

3

3

)

3

(

)

5

d. x + y − x5 − y5 ;

) +( z − x ) −( y + z )
3

) (

b. a + b + c − a + b − c − b + c − a − c + a − b ;

3

c. b − c + c − a + a − b
e. x2 + y2

(

− x3 − y3 − z3 ;

2

2

3

(Đề thi vô địch toán lớp 8, vòng I, Belarutsia 1957).

Bài 21. (Đề thi vào chuyên Toán Miền Bắc, 1979)
Cho A = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 − a4 − b4 − c4 .
a. Phân tích A thành nhân tử;
thì A > 0.

b. Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác

Bài 22. Phân tích thành nhân tử:

A = 3abc + a2 ( a − b − c) + b2 ( b − a − c) + c2 ( c − a − b) − c ( b − c) ( a − c) .
Bài 23. Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c, ta có:

a2 ( −a + b + c) + b2 ( − b + a + c) + c2 ( −c + a + b) ≤ 3abc (thi vô địch Toán Úc năm 1971.)
Bài 24. Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp xét giá trị riêng:

(

)

(

)

(

)

a( b + c) b2 − c2 + b( c + a) c2 − a2 + c( a + b) a2 − b2 .
Bài 25. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2
2 2
2 2
a. a b a − b − c b c − b + a c c − a

(

)

(

)

b. 2bc b + 2c + 2ca c − 2a − 2ab a + 2b − 7abc ;
c.

ab( b − a) − bc( b − c) − ac( c − a)

(

)

(

)

(

)

d. 3bc 3b − c − 3ac 3c − a − 3ab 3a + b + 28abc ;

(

) (

) (

)

2
2
2
2
2
2
e. a b + c + b a + c + c a + b + 2abc .

Bài 26. a. Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức A = n3 + 2n2 – 3;
* Là hợp số;

* Bằng 2013.

b. Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức n4 – n3 – 6n2 + 7n – 21 là số nguyên tố.

(

)

2

c. Tìm số tự nhiên n để n2 − 8 + 36 là số nguyên tố.