(2017) ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN CÁC MÔN THI THỬ LẦN 2 NĂM 2017 – Trung Tâm Phổ Thông Năng Khiếu (Dạy – Học Thêm) DAP AN TOAN CHUYEN

ĐÁP ÁN TOÁN CHUYÊN THI THỬ LẦN 2 NĂM 2017

Bài 1.
a) 0 = a 2 ( b + c − a ) − b 2 ( c + a − b ) = ( a 2 − b 2 ) c − ( a 2 + b 2 ) ( a − b )

(

= ( a − b ) ac + bc − a 2 − b 2

)

( b − c ) ( ba + ca − b 2 − c 2 ) = 0
( c − a ) ( cb + ab − c 2 − a 2 ) = 0

Tương tự ta có

(1)
(2)

(0.5)

(3)

Nếu có hai số bằng nhau, giả sử a = b , thì từ (2) suy ra
b = c
⇒a=b=c
( b − c ) ca − c 2 = 0 ⇒ 
a = c

(

)

(0.25)

Nếu a , b, c khác nhau đôi một thì
ac + bc − a 2 − b 2 = 0; ba + ca − b 2 − c 2 = 0; cb + ab − c 2 − a 2 = 0
2
2
2
Nên 0 = 2a + 2b + 2c − 2ab − 2bc − 2ca
2

2

2

= ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ( Vô lý).
V ậy a = b = c .

(0.25)

x =1
b) x3 − 3x 2 + ( a + 2 ) x − a = ( x − 1) x 2 − 2 x + a = 0 ⇔  2
 x − 2x + a = 0

(

)

(0.25)

Phương trình x − 2 x + a = 0 có hai nghiệm có tổng bằng 2 nên có một nghiệm nhỏ hơn 1 và một
nghiệm lớn hơn 1
⇒ x1 < 1 = x2 < x3 và x1 , x3 là nghiệm của phương trình x 2 − 2 x + a = 0 . (0.5)
Do đó S = ( x3 − x1 )( x3 + x1 ) + 4 x1 = 2 ( x3 − x1 ) + 4 x1 = 2 ( x1 + x3 ) = 4
(0.25)
Bài 2.
a)Giả sử x1 là số lớn nhất, x5 là số bé nhất trong bộ x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5
2

(

)

Ta có x12 = x4 + x5 ≤ 2 x1 ⇒ x1 ≤ 2
x52 = x3 + x4 ≥ 2 x5 ⇒ x5 ≥ 2 (0.5)
⟹ 2 ≥ x1 ≥ x5 ≥ 2 ⇒ x1 = x5 = 2
Vậy hệ có 1 nghiệm ( 2;2;2;2;2 ) (0.5)

(Nếu xi là số lớn nhất, xJ là số bé nhất thì cũng chứng minh tương tự).
b) Ta có a1 + a2 + ... + a6 ≤ 6a6
a7 + a8 + a9 + a10 ≥ 4a6
⇒ 4 ( a1 + a2 + ... + a6 ) ≤ 4 ( 6a6 ) = 6 ( 4a6 ) ≤ 6 ( a7 + ... + a10 )

⇒ 10 ( a1 + a2 + ... + a6 ) ≤ 6 ( a1 + ... + a10 )


a1 + ...+ a 6 a1 + ...+ a10
≤
.
6

10
(1đ)
Bài 3.a) Phương trình (1)luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 và
x12 + x 22
+ x1 + x 2 +17 = a 2 +1+ 2a + 7 = a 2 + 2a + 8. (0.25)
2
Tồn tại k nguyên dương sao cho
⇒

2

k
⇔
k

a 2 + 2a + 8 = k 2 ⇔ k 2 − ( a +1) = 7 ⇔ ( k − a −1) ( k + a +1) = 7 ( 0.25)
k = 4
− a −1 = 1
( k + a +1 > k − a −1 > 0) ⇔ 
+ a +1 = 7
a = 2
(0.5)

b) Tồn tại b nguyên dương sao cho a 2 + 3a = b 2 ⇒ b − a b + a = 3a

(

)(

Nên + = 3

và − = 3 với k là số tự nhiên.
Vì b − a < b + a ⇒ k < a − k ⇒ a − 2k ≥ 1

Nếu a − 2k = 1 thì 2a = ( a + b ) − ( b − a ) = 3

a−k

k

k

(

a −2 k

−3 =3 3

)

(0.25)
− 1) = 3k ( 3 − 1) = 2.3k

k

⟹ a = 2k + 1 = 3k = (1 + 2 ) = 1 + 2k + ... ≥ 2k + 1
⇒ k = 0 hoặc k = 1 khi đó a = 1 hoặc a = 3

(0.25)

x = 0

Với a = 1 ta có phương trình x 2 − 2 x = 0 ⇔ 
x = 2
x = 2
Khi a = 3 ta có phương trình x 2 − 6 x + 8 = 0 ⇔ 
x = 4

(0.25)

Nếu a − 2k > 1 ⇒ a − 2k ≥ 2 ⇒ k ≤ a − k − 2
Nên 3k ≤ 3a− k − 2
a −k
k
a−k
a −k −2
= 3a −k −2 32 − 1 = 3a −k −2.8
Do đó 2a = ( a + b ) − ( b − a ) = 3 − 3 ≥ 3 − 3

(

= 8 (1 + 2 )

a−k −2

= 8 1 + 2 ( a − k − 2 ) + ... ≥ 8 1 + 2 ( a − k − 2 )  = 16a − 16 k − 24

⇒ 8k + 12 ≥ 7a mà a ≥ 2k + 2 ⇒ 7a ≥ 14k + 14 (mâu thuẫn).
Bài 4.

)

(0.25)


a) Ta có:

(cùng ch
chắn cung BD).
( cùng chắn cung CD).

Do đó
Nên tứ giác ABEC nội tiếp.( 1đ)
b) Gọi O là tâm đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC.
ED cắt (O) tại E và T.

⇒ AT / / BC
Ta có
⇒ T cố định hay ED đi qua T cố địịnh.( 1đ)
c) OI vuông góc BE và cắt BE tạii K, OJ vuông góc CE và cắt CE tại H
(1)( 0.25)
OJ cắt (J) tại P (J thuộc đoạnn OP)
OP), khi đó tứ giác DEPC nội tiếp (J)
Do đó
(2)
Từ (1) và (2) ta có
⇒ tứ giác OIEJ nội tiếp hay đường
ng tròn ngoại tiếp tam giác IEJ luôn đi qua O cố
c định . (0.75)
Bài 4.

{

}

Tuấn không thể chọn cả basố trong m
mỗi tập Bi = 10 − i ;10 + i ; (10 − i ) (10 + i ) vớii nguyên dương
và 1 ≤ i ≤ 9 , nên có ít nhất 9 số Tuấnn không th
thể chọn trong các tập đó. Do đó Tuấn
Tu chọn được
không quá 91 số. (0.5)


Mặt khác xét tập A = {10,11,12,....,100} , do c = a. b ≥10.11 = 110 > 100 với mọi a ≠
nên Tuấn có thể chọn được tất cả 91 số của tập A.
Vậy Tuấn chọn được nhiều nhất là 91 số.( 0.5)

thuộc A